tarea4 06 sol+suspmag

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Universidad Politécnica de Valencia

INGENIERÍA DE CONTROL I 2006-7

__________________________________________________________________________________________________J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 4. Sistema de suspensión magnética (entrega 11-01-07) Este sistema de Suspensión Magnética consiste en mantener flotando, en el aire, una pelota de material magnético por medio de un solenoide cuya corriente es controlada a partir de una realimentación (de tipo óptica) de la posición de la pelota. Este sistema tiene los ingredientes básicos de los sistemas de levitación de masas, usado en giroscopios, acelerómetros y trenes de alta velocidad.

Sistema de suspensión magnética Usando la segunda ley de Newton se puede obtener la siguiente ecuación de movimiento:

( )iyFgmykym ,+⋅+⋅−=⋅ &&& donde:

- m = 0.01 Kg, es la masa de la pelota, - k = 0.001 Kg/s, es el coeficiente de fricción viscoso, - g = 9.81 m/s2, es la aceleración de la gravedad, - F(y, i) es la fuerza generada por el solenoide, - i es la corriente eléctrica.

La inductancia del solenoide va a depender de la posición de la pelota y será modelada como:

( )a

yL

LyL+

+=1

01

donde L0 = 0.01, L1 = 0.02 y a = 0.05 son constantes positivas. Puede verificarse fácilmente que el modelo presentado considera que la inductancia es máxima (L0+L1) cuando la pelota está más cerca del solenoide y decrece a L1 cuando no hay pelota (y = ∞).

Como la energía almacenada en el campo magnético de la bobina es ( ) ( ) 2

2

1, iyLiyE ⋅= , la

fuerza F(y, i) viene dada como:





( )2

20

12

,

+

⋅−=∂∂=

a

ya

iL

y

EiyF

Por último, el modelo de la parte del circuito eléctrico se consigue usando las leyes de Kirchhoff de tensión, obteniendo:

iRV ⋅+= φ& donde:

- V es la tensión aplicada, - R = 10 Ω, es la resistencia del circuito eléctrico, - ( ) iyL ⋅=φ es el flujo magnético.

SE PIDE:

1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensión magnética. 2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de

equilibrio determinado por la posición: y0 = 0.05 m. 3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior.

Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. 4. Diseño del control LQR de la posición de la bola para el sistema linealizado

aproximado, que minimice el siguiente índice cuadrático:

( )∫∞

=

+=0

221000t

dtVyJ

5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentación del estado. 6. Diseño del control por realimentación del estado para el sistema linealizado por

realimentación que sitúe los polos del sistema en -20, -21 y -22. 7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y

partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.





Solución

1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensión magnética. Tomando los estados como:

=

=i

y

y

x

x

x

x &

3

2

1

y la entrada V, se obtiene la siguiente representación en Espacio de Estados:

( )( )

===

Vxxxfx

xxxfx

xx

,,,

,,

32133

32122

21

&

&

&

Con:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+⋅⋅⋅++⋅−=

+⋅⋅⋅−+−=

21

2303

13213

21

230

23212

1,,,

2,,

xa

xxaLVxR

xLVxxxf

xam

xaLgx

m

kxxxf

2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de equilibrio

determinado por la posición: y0 = 0.05 m. De la representación no lineal del apartado anterior, pueden calcularse los valores de

régimen permanente de la corriente i0 = x30 y de la tensión V0 que son necesarios para

mantener la pelota en una posición de equilibrio deseada y0 = 0.05. Como estamos en régimen permanente:

=

=0

0

0

3

2

1

x

x

x

x

&

&

&

&

con lo que se puede obtener que:

( )( )

( )A

aL

xamgix

xam

xaLgx

m

k9809.1

2

20

0

20100

3201

20300

2 =⋅

+⋅⋅==→+⋅⋅⋅−+−=

( ) ( ) VxRVxa

xxaLVxR

xL809.19

10 0

30

201

02

03000

301

=⋅=→

+⋅⋅⋅++⋅−=

Este último resultado es lógico dado que en régimen permanente, el circuito eléctrico es puramente resistivo. También puede verse de la última expresión, que a medida que la posición de equilibrio de la pelotita se aleja del núcleo, la corriente, y por lo tanto la tensión de régimen permanente, necesariamente deben ser mayores (variando linealmente con respecto a y0).





3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior. Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. En el punto de operación del sistema (punto de equilibrio), los valores de los estados

son:

=

=

9809.1

0

05.0

0

0

0

03

02

01

i

y

y

x

x

x

&

Por lo tanto, procederemos a linealizar el modelo no lineal obtenido en el apartado 1, en torno al punto de operación.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∆⋅∂

∂+∆⋅∂

∂+∆⋅∂

∂+∆⋅∂

∂=∆

∆⋅∂

∂+∆⋅∂

∂+∆⋅∂

∂=∆

∆=∆

VV

Vxfx

x

Vxfx

x

Vxfx

x

Vxfx

xx

xxxfx

x

xxxfx

x

xxxfx

xx

0

33

03

32

02

31

01

33

3

03

32122

02

32121

01

32122

21

,,,,

,,,,,,

&

&

&

Donde:

( ) ( )( )

( )

( )( ) 9045.9

,,

1.0,,

2.196,,

201

030

03

3212

02

3212

301

2030

01

3212

−=+⋅

⋅⋅−=∂

∂

−=−=∂

∂

=+⋅⋅⋅=

∂∂

xam

xaL

x

xxxf

m

k

x

xxxf

xam

xaL

x

xxxf

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) 401,

4001,

9618.3,

021,

010

3

201

020

0103

3

201

01

030

02

3

301

01

03

020

201

03

02000

3

01

120

101

3

==∂

∂

−=

⋅+⋅⋅+−⋅=

∂∂

=⋅+⋅

⋅⋅=∂

∂

=⋅+⋅⋅⋅⋅−

⋅+⋅⋅⋅−+⋅−⋅⋅−=

∂∂

xLV

Vxf

xa

xaLR

xLx

Vxf

xaxL

xaL

x

Vxf

xaxL

xxaL

xa

xxaLVxR

dx

xdL

xLx

Vxf

Recordar que: ( )1

01

1

011

1 xa

aLL

a

xL

LxL+

⋅+=+

+= , y por tanto: ( )

( )21

0

1

1

xa

aL

dx

xdL

+⋅−=

El modelo en espacio de estados (A, B, C, D) queda de la siguiente forma:





[ ]

∆⋅+∆⋅=∆

∆⋅

+∆⋅

−−−=∆

Vxy

Vxx

0001

40

0

0

4009618.30

9045.91.02.196

010

&

Los valores propios de la matriz A son: 13.9101, -14.1083 y -399.9017, como tiene un polo positivo se trata de un punto de equilibrio inestable. 4. Diseño del control LQR de la posición de la bola para el sistema linealizado

aproximado, que minimice el siguiente índice cuadrático:

( )∫∞

=

+=0

221000t

dtVyJ

Para expresar el índice de forma normalizada, hacemos la siguiente transformación:

( ) ( ) ( )∫∫∫∞

=

∞

=

∞

=

⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=+=000

22 10001000t

TT

t

TTT

t

dtVRVxQxdtVVxCCxdtVyJ

Siendo:

=⋅⋅=000

000

001000

1000 CCQ T , y 1=R .

Calculamos la matriz de realimentación del estado que minimiza el índice, aplicando el comando lqr de MATLAB: >> K = lqr(A, B, Q, R) = [-412.5111, -29.1606, 0.6977] La ley de control será la siguiente:

( )000 xxKVxKVV −⋅−=∆⋅−= 5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentación del estado.

Para linealizar el sistema no lineal:

( )( )

===

Vxxxfx

xxxfx

xx

,,,

,,

32133

32122

21

&

&

&

mediante una realimentación del estado, aplicamos el siguiente cambio de variables de estado:

( ) ( )21

230

23212223

212

11

2,,

xam

xaLgx

m

kxxxfx

x

x

+⋅⋅⋅−+−====

==

=

&&

&

ξξ

ξξξ

Con esto conseguimos trasladar la no linealidad a la última ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )

33

32122

2

32121

1

321232123

,,,,,,,,x

x

xxxfx

x

xxxfx

x

xxxf

dt

xxxdf&&&&

∂∂+

∂∂+

∂∂==ξ

Siendo:





( )( )

( )

( )( )2

1

30

3

3212

2

3212

31

230

1

3212

,,

,,

,,

xam

xaL

x

xxxf

m

k

x

xxxf

xam

xaL

x

xxxf

+⋅⋅⋅−=

∂∂

−=∂

∂+⋅⋅⋅=

∂∂

La 3ª ecuación de estado queda de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Vxxxxxx

Vxxxfxam

xaLxxxf

m

kx

xam

xaL

xxam

xaLx

m

kx

xam

xaL

⋅+=

+⋅⋅⋅−−

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅−−

+⋅⋅⋅=

3213213

321321

30321223

1

230

3

321

30213

1

230

3

,,,,

,,,,,

βαξ

ξ

ξ

&

&

&&&&

Con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12

1

30

321

230

12

1

30321223

1

230

1

1,,

xLxam

xaLx

xRxa

xxaL

xLxam

xaLxxxf

m

kx

xam

xaLx

+⋅⋅⋅−=

⋅−

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅−−

+⋅⋅⋅=

β

α

El sistema transformado:

( ) ( )

⋅+=

=

=

Vxxxxxx 3213213

32

21

,,,, βαξξξξξ

&

&

&

se linealiza con:

( ) ( )[ ]uxxxxxx

V +−= 321321

,,,,

1 αβ

Quedando el siguiente sistema:

uBA

u

LL ⋅+⋅=

⋅

+

⋅

=

ξξ

ξξξ

ξξξ

&

&

&

&

1

0

0

000

100

010

3

2

1

3

2

1

6. Diseño del control por realimentación del estado para el sistema linealizado por

realimentación que sitúe los polos del sistema en -20, -21 y -22. La acción de control que nos permite linealizar el sistema mediante realimentación del

estado y conseguir a la vez asignar los polos del sistema es la siguiente:

( ) ( )[ ]ξαβ

⋅−+−= Krxxxxxx

V 321321

,,,,

1





La matriz de realimentación del estado que nos permite fijar los polos en la posición deseada, la podemos calcular con el comando place de MATLAB: >> K = place(AL, BL, [-20, -21, -22]) = [ 9240, 1322, 63]

7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.

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