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TE220

DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS

Bibliografia:

1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J. Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.

2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U. Cambridge University Press (1988)

3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company (1977)

4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)

Introdução

Como resolver estes circuitos? i(t)=?, v(t)=?, q(t)=?...Utilizando equações no domínio dos números reaisUtilizando equações no domínio dos números complexosA relação de Euler ei = cos + i sen (relaciona funções harmônicas com exponenciais complexas!!!)Vamos analisar o primeiro circuito RLC acima

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Segundo Kirchhoff 𝑅𝐼+𝑞𝐶

+𝐿𝑑𝐼𝑑𝑡

=𝑉 (𝑡 )=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)

𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑞𝐶

=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)Como i=dq/dt temos

Com a solução do tipo: ]

3

Método da amplitude complexa

Utilizando Euler

Passamos a trabalhar com

Onde:

𝑞 (𝑡 )=𝑞0 (𝜔 ) cos [𝜔𝑡−𝛼 (𝜔 ) ]=ℜ {𝑞0𝑒𝑖 (𝜔𝑡−𝛼 ) }=¿

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𝑞 (𝑡 )=𝑞0𝑒−𝑖 (𝜔𝑡 −𝛼 )=𝑞0𝑒

𝑖 𝛼𝑒−𝑖 𝜔𝑡

𝑞0(𝜔)𝑒𝑖𝛼 (𝜔)≡𝑞 (𝜔)Amplitude complexa, ela contem todas as informações que precisamos para determinar a solução unívoca da equação do circuito!!!!!

¿ ℜ{𝑞0𝑒−𝑖 (𝜔𝑡 −𝛼 )}

Método da amplitude complexa

O mesmo com I(t)

Passamos a trabalhar com

Onde:

𝐼 (𝑡 )=𝑑𝑞 (𝑡 )𝑑𝑡

=ℜ{−𝑖𝜔𝑞0𝑒− 𝑖 (𝜔𝑡−𝛼 ) }

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𝐼 0 (𝜔 )=−𝑖𝜔𝑞0𝑒𝑖 𝛼=− 𝑖𝜔𝑞(𝜔)

Vamos agora resolver a equação do circuito RLC

𝑖𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )≡ 𝐼 0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )≡ 𝐼 (𝜔)

𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑞𝐶

=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)

Método da amplitude complexa

Solução proposta é:

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𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑞𝐶

=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)

]

Procedimento no domínio dos números reais

Procedimento no domínio dos reais ou dos complexos???

Escrevemos: cos [𝜔𝑡−𝛼 (𝜔 ) ]=cos (𝜔𝑡 )𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 )𝑠𝑒𝑛𝛼

A equação acima se transforma em: 𝐷 cos (𝜔𝑡 )+𝑆 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Onde D e S contem as constantes L, R, C e além de q0 e

Logo: D=V0 e S=0 e assim determinamos q0 e

Método da amplitude complexa

Solução proposta é:

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𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑞𝐶

=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)

]

Procedimento no domínio dos números complexos

Aqui definimos: =

Neste caso V()=V0 pois =0 para a fonte de tensão

Substituindo na equação temos:

(−𝜔2L−iω𝑅+ 1𝐶 )𝑞 (𝜔 )=𝑉 (𝜔)

Método da amplitude complexa

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De onde:𝑞 (𝜔 )= 𝑉 (𝜔)

1𝐶−𝜔2 L−iω𝑅

Cociente entre dois complexos!O de cima é um número real (V0)O de baixo tem modulo e ângulo de fase:

√¿¿ 𝑡𝑔𝛿=−𝜔𝑅

1𝐶−𝜔2L

Como a amplitude da razão entre dois números complexos é igual à razão entre as amplitudes e o ângulo de fase é a diferença entre os ângulos de fase individuais, teremos:

𝑞0 (𝜔 )=𝑉 0

√¿ ¿¿𝑡𝑔𝛼=

𝜔 𝑅1𝐶−𝜔2 L

(𝛼=−𝛿)

Método da amplitude complexa

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O mesmo poderia ser feito para a amplitude complexa da corrente no circuito. Ela é obtida multiplicando q() por (i), ou seja:

I (𝜔 )≡ 𝐼 0 (ω )𝑒𝑖 𝛽=− 𝑖𝜔𝑞 (𝜔 )=− 𝑖𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖 𝛼 (𝜔 )=𝑒− 𝑖 𝜋

2 𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )=¿Ou seja: 𝐼 0 (ω)=𝜔𝑞0𝑒𝛽=𝛼−

𝜋2

O mesmo poderia ser feito para dI/dt

𝑎 (𝜔 )  ≡𝑎0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛾 (𝜔 )=−𝜔2𝑞 (𝜔 ) ¿𝜔2𝑞0❑(𝜔)𝑒𝑖(𝛼 (𝜔 )−𝜋)

𝑎0 (𝜔 )  ≡𝜔❑2 𝑞0 (𝜔 ) 𝛾 (𝜔)  =𝛼 (𝜔 )−𝜋

Método da amplitude complexa

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No caso geral, em que V(t) = V0 cos(t+)

Re

Im

V()(1 𝐶−𝜔

2 L )q(ω)

−𝑖 𝜔𝑅𝑞(𝜔)

q (ω )1𝐶

−𝜔2 𝐿q (ω )

𝑞 (𝜔 )= 𝑉 (𝜔)1𝐶−𝜔2 L−iω𝑅

Como:

teremos:=

em fase fora de fase

Como: 𝑞 (𝜔 )≡𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖 𝛼 (𝜔 )→â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝛼

𝑡𝑔(𝛼−∅ )=𝜔𝑅

1𝐶−𝜔2 L

Defasagem entre V(t) e q(t) será:

Método da amplitude complexa