technical report diku-tr-02/17 department of computer - atrey

36

Upload: others

Post on 12-Feb-2022

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

�������������� ������������������ �"!#�$�%!'&)()*,+.-�/���0�.�1�324���5�%��6879�)2:�0;<���=�/><��?���@�=�

����BA����DC�B�#EF�)6G79���H�������JI��������BA����DC�B�3����CK�0�.�1L����M+����!'(,+.&�&N� O9PRQ��SGT UWV/���

V�;�I�;�CK��(�&�&5(

XZYD[.\^]`_ba8c<[

d e�f�f,gihkj3lme�n�e�fpo)f0qid f,r0qps/e�f�j�tmu,v3e�f

V"w0C3�K�D�J�x�=y{z}|�~b�J�������x�)�K�����k�������<�������"�=�J�����1�"~b���b�=�J��� ���������b���3�x�,�H���b�J����|���~b�J�3����������~b���B�.�����8��| �K�%�K���3|�~���������3���3|�~��D~����=|,����� ~��K��������¡J�G���9�������¢����������|=~������B�K�£��¡.¤D�x|����3¡N¡.��~#�x�����3¥��`���#�N���^�����b¤=�9¡.���������)�=�b�¦~����=|N��|�¡���K����������|���|��J|J���B�����§�H���b�J����|��3�3�

Page 2: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

������������� �

��������������

+ ���5�3�1���@;��x���)� (

( �$��� O$!#CK�0 ?�@� O��JC�C��<;��@���3?����C (� � ��� ����|J��~b����| ��|�¡ � �b�=���3�`~��������x�0���}�b�J����|J�$�����b���"!��J|���~b����|������k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� �� � � z}���J���K���K|�~b��|J�$#��J�$���=�`����!J�J|���~b����|��£���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� %� � %&#��J� � �K����¤D�x~b��¤��3������#��J�$���=�`����!J�J|���~b����|�� ���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� '� � ( z}���J���K���K|�~b��|J�$#��J� � �K����¤1�x~b��¤����H���)#����$���=�`����!J�J|��'~b����|�� �k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� *

+ �$��� O$!#CK�0 ?�@� + +%J� ��� ����|J��~b����| �����H�}�`�J����|J���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � (%J� � z}���J���K���K|�~b��|J�$#��J�$�H�}�`������|J� ���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � (

, - ��w0�J H�K�5�3���1���� ?�.�3?��� +/.

. 79;<w0� 79;<�1A)�Z�����=��24����C�B���)� +.-'.� � #��J��0H�21����k���433���3�50H�J�b¤=�k�x|�¡/~b�����H�76��J����|���0H��|J|J���'~����=| �k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� �98'.� �&: ���;1����,�x|�¡=<,�.�3�x�>�¢�x�#�x����~��K�50H��|�¤=�K�#�`����|"��� � �K����¤D�x~b��¤��3�F�k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � *'.� %&?�|J��~�z}|��`�3�`~����=| ���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� �;@

'.� %J� � � ��¤���¡.�3¡ � �BA5�K���K|���� �k���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� �;@'.� %J� � <<�K�C1J|J�C3;DE!������ �J��� �^�k���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� �;@'.� %J� % #��J��!��J|J|��$FHG����x~b����|W���k���k���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � �'.� %J� ( #��J��IG�#¡.��|��x���%�H���b�J����|J�$���=�`����!J�J|���~b����| �k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � �'.� %J�J' #��J��?�|��x~�z}|��b�K�b~b����|�������������~b�J� �k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � %

K V����=;@2 ;@ ?�.�3�L� V"�D�NMH����I��3�{���.w� ?� ( K- �$��� ����I);@ ?�.��79;<w0��T �)��;@��6����12 O$!#CK�0 ?�@� ( K8 � � !����#�`~OIG��¡.�3� � �3�b��¤D�D~b��¤������D~P?�|J��~�Q �������3�^�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � 88 � � !����#�`~OIG��¡.�3� � �3�b��¤D�D~b��¤�����1��K~ �H�3�K|=?�|J�x~�Q �����J��� �k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k� � *

8 � � � � #@�H�R<<��|J���x� � �K�)�K|�¡.�3|�~OS D � ���k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k��% @8 � � � � #��J���K�T<<��|J���x� � �K�)�K|�¡J�K|�~US D � �k�k���k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k��% @8 � � � % 0H�=|��������b���=|/�=|V<<��|J���x� � �K�)�K|�¡J�K|��K� �k�^�k���k�k���k���k���k�k�^�k���k���k���k�k���k�^�k��% �

W 79������ ?;@C��)� + +

V �$���N�@�ZO9�,���"V� ?I����DB���@2 + +

O ���������.���L�F� �����%����C��=�1���)� + (

Page 3: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

��� �����T�����"��� � ��� �

�����)�� ���� �������z}|�~b�J���0�������3�¢�H���������.���b���`�3|=~0~��J�����������`���K����~b�J�3�����$�x�)|J��|��J|J���B����� �H�}�`�J����|J�3�¢��|�¡ �����������H��¡.����~ �H����������¡.�K����¤=����'�}� ~ ���������`�3��¡.�.���.¡.�^�B�=�����"�����K|�~����������3���3|�~��D~����=|/���@~��J��~b���K�������#��J��~��J�K�=�b� ���K���b���`�3|=~��3¡N��| ~��J���k���x�)�K� ���$�b���1��|N�B�b�=� ��|J�x~��J�K�k�J����� ���'~$�����H�=�b�=�3¡N��|:� 1)���.~�� 6.�K�b���.~b��¡� ��~b����|��x|�¡=6��J����|�� � ����¤=�K|���|J���%�D~����=|���� ����� � ����~b��~b�J����~b����~b�������3���H���J���3�b�K|�~���|�~b���������x�)�K���x�����������3|=~#�D~��3¡

~b�D���x�#¡J�����K���������H|J�=|��J|J���B����� ���)�K| �H���b�J����|��3���x|�¡��K�%�K���3|�~������J���K���K|�~#�D~b����|��x��~b���$�`�J����|J�^~b�J�3�������#��J��~��J�K�=�b�/�x� �H���b�J����|J�������8��� ���#� ����¡.�3�8�x���3�9~����x|�~��J�k~b���3�x~b���K|�~8���k����¤��k��|�~b�����8���x�)�K��¥J���k~b�J�3�b�K�B�����

�K|��������������G~b�J�k���3�=¡.�K��~b�����������x~��=�J�������B�K���K|����3����� �9����¡.�3�����D¤��3���������������x|�~b��¡�� �R1��3�����K¤=��~b�J���$�������3�$���k���3�`�B���'~$�B�=�k~b���=�b��¥!� ���`~ ���x|�~b��|J��~b�Z�����J���K���K|�~9��|�¡ ���b�%���)�K| |J��|��J|��¦�B�=�b� ����b�J����|J���������B����~��J�=�b����|�|J�3�3¡��x�0���b�3���J���x��|J�=|���|J�¦�B�=�b�§���)�K| �H���b�J����|J�=�

" #%$ �'&)(2��*�+,��� �-&/.��0���213�V��� �0�4��� ������B�=�b�������=�'~����x�������������/�D~�~b�J�$�H�}�`������|J�3��������������~��b���D~�~b�J�$�H�}�`������|J� 1����b�����B�J|��'~����=|��3�

4�576 8:9<;>=@?BA!?7CD=FE�=�GIHKJLCNMO9PJ!AQ?B90RSCDT�USV�RWMYX7?7=@9ZU[E\R�?7R^]`_@=�abA!?7CD=@R<,�K~^���k� ~#�x�b~U1�� ¡.����|J��|��/~��J��|J�����%�x��� 33�3¡ 1����b���8�B�J|���~b����|N�B���^~b�J���H���b�J����|����>#��J��|J�����%�x��� 33�3¡N1����b���8�B�J|���~b����|���x���k¡.����|J�3¡/�b�����J�#�b��¤=�K���R1��"~b�J��0H��c/¡J�$�H���=��¡J����|J��~b����|<�E!J�=�@d3egfih

jlknm oOp qsrut kt kwv�o�x<y rut k jlknm o�x<yDz t k{v�o ruqt k{v�o rSt k{v0y j|k{v0y}m o�x<y ~ ����x|�¡"�B�=�@d p fih j|k�m y�p�� f ��� t kN� q���t kwv�y� ��~b�J�3�b�����`�#��J����|�¡.��c[d ���k�K�������3¡Z~b�J���=��¡.�3���x��~��J� 1����b���8�B��|��'~����=|,��!J�=�k�/�=��¤=�K|N¤1������������d ~b�J���k¡.�4��|J��~b����| �b���`�J��~�����| ��)������|���������� ����¡.�K�=�b�3�ld r f��5�����@~b�J� t k D �G���b�9�K�x�����3¡ ��|J��~8¤D�x���J�3�3¥)��|�¡ ���b�$���`�����������x������|J����¡/��|Z�/�`���3�x������¡��|J�x~�¤=�3�'~�����¥!�$� � p������,�,� t knxPy � t k � t kwv0y � t k{vP� �,�,��� ���� �D�p���K~����������b�J���^�������1¤��k��¤D�x���J� q �b���#��~����D~

t k�� q��^t k{v0y#����x~H���¢~b���8¤D�x���J�8����~b�J�G��|�¡.��c������H��|J�D��|,� <<��������|�� �D~ ~��J�G¡J����|J��~b����|��x��~b���G�H���b�J����|��51��=�`���¢�B�J|��'~b����|������8�K��|�3�b������¡J�K����¤=�8~��J�@�`¡J�K�)�K|�¡.�3|������8~#� 1J����¥��`�J�D��|/��|N#�� 1J��� � �2#��J��~#� 1J���k�`�J�=�J��¡ 1)���b����¡"��| ��1���~`~b�=���m�J�/����b�J����|,¥

�Y��� �@�� Q¡£¢ ¤ �`�� b¥¦¢ ¤ �`��¢ ¤�Y�¨§ � �n ©¥¦¢ ¡ � ��¢ ¡�Y��ª �`��¢ ¥« �� b¥ « � ¬ « �w­<¥ « �{­L¡#�� 1J��� � h � �K�)�3¡J�K|��K� #�� 1J�����

�`~��x�b~b��|J���D~�~b�J�O1���~`~���� ����~b�/~b�J�^��|J�x~�¤����'~b�=�3¥=��|J���K��|%~b�#���#�%�����5|J�=|.� 33�K����1��=�`��� �B��|��'~����=|����J�"~�����|������x|�~b��¡d���¤D�x���J���>#��J�����x~`~b�3�b�3|N�����;1�¤��������^�x|�¡N�����K���J��¡Z�����b����� ���1¤=�9�,c�~��K|�¡J�3¡Z~b�J��~��;1J���9~�� �x|�� ¤D�x���J�9����d5� #����K����x����~b�J���K���J�b�=���3�`~������K¥��������#�:�K��| 1����b�K�3| �������3¡.���D~��K���Z�B����� ~b�J��~#� 1J������|�¡ ���J���#� ���"�x����������|J��~�� �J�.~$~���J�#����~b���K�x�5���b�k���D~b�3����|,�� ����~�~��J�|d D ~b�����#¡.�3��~b�J�3�b�k�x���^��cJ����~b����d 1����b�����B��|��'~����=|��K¥����J���#���x���k¡.� A)�3�b�3|=~��B����� 33�K�����

Page 4: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O %

� �P!J����� ~��J��~��;1J�������k�K�x|�¡.�3�b��¤��^~b���D~���� t k\� q�� t k{v0y~b�J�3|��=|J��� j|k�x o v�y}m oQ�,�,�����£jlknm o�������>1��k|���|233�K�����

%��U0H�����J�.~���|J� ~b�J� 1��=�`���/�B�J|��'~����=|��V1���~`~������m���,¥���|��`~b����¡{���$~b�=�.�}¡.�D��|,¥����������������N�¦~������b�b�C1J���N~b�F�b�3���b��J�b�3¤����=���`���"���=���J�.~b��¡��b���`�J��~��3�

� �����������b�����b�=���3�`~������ � ��|�¡ � ~�� ��������� �`�=�`~%�x�G����`~%�b�7� �3�'~����=|F�=|F�������#� 1����b�����B�J|��'~����=|�������|��K�3¡F~�����=���J�.~b�=� #��J��~b�J����¡��J�����)�K�b~ � ���¢� 1�¤��������¢�B�b�=�W~b����~��;1J���=¥;1J�J~��¦~H�b� G=�������3� �b��������������1)���B��������~H�K��|R1��8���J�J������¡���"�K���3|=~����/��|����J�#����~b���K�x�5�����J���3���K|�~��x~b����|,�

4�5 4 ��� MYXB9�� 9�= AQ?7=������@9ZU[E\R�?7R^]`_@=�abA!?7CD=@R<,�K~����������=���D~8��|/�,cJ�x���J�����2<,�K~����������b�J���G~����D~��������1¤��

t k � q��^t k{v0y#��J�3| 1�� ~b�J�/~b�J��¡.�4��|J��~b����| ����~b��� 1��=�`��� �B�J|��'~����=|����x|�¡:~b�J���J�����)�K�b~b���3� � �x|�¡ � ���/�3�x|4������~b���J�F�����H~b�J�|J�=|23K�3�b��1����b�����B�J|��'~����=|����B�=�@d p f j|k�m y�p f�x|�¡"�B�=�@d p��

j knxPy}m � p qsrut knxPyt kwv�� rSt k�x<y j k�x<y m y z2t kwv0y rSqt kwv0y rSt k j k�m y p t k{v0y ruqt k{v0y rut k j knm yjlknm � p qsrut kt kwv0y rSt k j|k�m yNz t k{vP� ruqt kwvP� rSt k{v0y jlkwv�y}m y`p qsrut kt kwv�y rSt k j|k�m y�x|�¡"�B�=�@d p��

j knx ��m � p qsrut knx �t kwv�� rSt k�xb� j k�xb�,m � z t k{v0y ruqt kwv0y rSt k�x<y j k�x<y m � p t kwv�y rSqt k{v0y rut knxPy j knxPy}m �jlknxPy}m � p qsrut knxPyt kwv0y rSt k�x<y j|k�x<y m � z2t kwvP� rSqt kwvP� rSt k j|k�m �j knm � p qsrut kt kwvP� rSt k j k�m � z t k{v � ruqt kwv � rSt k{v0y j kwv�y}m � p qsrut kt kwv�� rSt k j k�m � � �K��| �������3¡.���D~��K���/�%�����$�b�����k�;1��b�K��¤D�D~����=|����¦�¢���k�B���8��|��`~���|����k���������D~ j knxPy}m � ~��J�K|Z�H�k� 1��`�3�b¤=�^~b���x~�~b�J������`~ !"!"!t k{vP� rut k j knm ��x�@~b�J�k�b�3�K��|�¡�~b�3�b� ���3���J�)�K�#���H��|/~b�J� �����`~H~��K��� �x� j|k�m � ���8|J�x~��J�K��� 1��`�3�b¤D�x~b����|����k�K��|��%�x�=�G����~b���x~�~b�J� ���#�`~�����`~8��� j|k�xb�,m � ���G�x�������1�.��3K�3�b�"��|�¡�~b�J�9�b����� �����3���B�=��~b��� �����`~����x�b~8�x� jlknm � � #��J�������8�b�K�3| ¡.�����3��~b�����B����� ���J�¡.�3���3|�¡.�K|�����~��;1J��� ��| #�� 1J��� � � #��J���`�k~ ���"� 1��`�3�b¤D�x~b����|����3�x|����$���b�$~b�/�`�)�K��¡��J� �����8���=�����.~��x~b����|��3¥E1J�J~G����K��|/¡.���K¤=�K| 1��K~`~b�3�3�/<<���=����|J���D~�~b���8�B�#����~b����|����x�@��|��x~�¡.�BA5�K���K|����3�����^�b�K�G~b���D~�~b�J�3���x�J�)�3����~���1)�k�`���������x�H�B�����|������3�=�`��|J��¤D�x���J�3�����\d5� <,��~�����~b���"~��"�`�3�k�¦�0�H�$�3�x|��J�.~8�b�����$�b�.� ~��K�§��|�~b��~b���3�b�k�B���=�'~����=|��K� �k�������<�`~����`~P1����|=~��b�.¡.������|J��~ �H��|J�3�p�x�Qc����������x�����B�J|���~b����|����3�x������¡$#&%(' t �x|�¡*)��,+.- t �E#��J���`�k���b��¡.����|J�3¡������B�=�����D���

#&%/' t1032�4 p q�r[t kwv�y}x65)��,+7- t103284 p t k{v95 ruq

Page 5: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O (

��~b�/~b�J���`��|J�3�i����~��J�.¡J���H���K��|������¦~����J��~��J��� G����x~b����|��H��|��������,cJ�x���J���G�����=���H�^���1¤��^¡.��|��O1)�K���D� ~ �B����~b�J��K�=�`�����J�3�b� d p�� � �

j|k�xb�,m � p # %(' t10 � 4)��,+.- t10 � 4 z # %(' t10 � 4 j|k�xb�,m � z)��,+7- t10 f 4)��,+7- t10 f 4 z # %(' t10 � 4 j|k�x<y m �j|k�x<y m � p # %(' t10 � 4)��,+.- t10 f 4�r # %(' t10 � 4 j|k�x<y m � z)��,+7- t10 � 4)��,+7- t10 � 4 z # %(' t10 f 4 j|k�m �j|k�m � p # %(' t10 f 4)��,+.- t10 � 4 z # %(' t10 f 4 j|k�m � z

)��,+7- t10 � 4)��,+7- t10 � 4 z # %(' t10 � 4 j|k{v0y m �!J����� ~b�J���������3�x|�¡.�K����¤��^~b�J���B�=�����D����|J�9�=�K|J�3�����5�b�3���x~b����|

� 0 ) � d 4 p j k�x�� o�x��,x<y�� m op #&%(' t10 d r ) 4)��,+.- t10 ) 4�r # %(' t10 d r ) 4 jlknxPy}m o�xPyz )��,+.- t10 ) z f 4)��,+.- t10 ) z f 4 z #&%(' t10 d r ) r f 4 j knm o�x<y �J�3�b� � � ) � d

z��¢�H�9�����=�b�K������cJ������|J�k�=�J��� G����x~b����|����B�b�=� ���x�������K�����$|J��~b�����k~����D~8�����K| ���T1��3����| �"���=�����.~��x~b����|���| �%|��K�d D ~b�����K¤��3�5~b�J�3|�~b�J�k�=|J�������K� ~8�x|�¡������=�=~�¤D�x���J�����H�k¡.��|J��~8�x�������3�=¡.�%���1¤������=���J�.~b��¡��x���# %(' t10 d 4 ��|�¡ )��,+.- t10 d 4 �$�x���^|��D� �b����¡.�"~b�����b��~b�k���/~��J�k���b�K��¡J���K�.¡.��¥.���J���#� ���=�����.~b����~b�J�k¤D�x���J�����x�¢�x����|J��|233�K��� j knm o

Page 6: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O '

����������� ����������� ��� � ������������! "�$#&%� ' (�*)*���+����,"�- �./�%��0�����)1��� ����,"�- +.2/�%3 )1��� ����,"�- &%� ' (�54$6 7 )8�:9;#54<��.2/�7��0����54$6 7=)�#54<��7>9?�

� ' (�54@/�7 )8�:9;#54<��7��0����54@/�7=)�#54<��.2/�7A9?�3 4$6�7�)B/

�����8C1)1DE��E 1F��� ' ( 54GC�7E)8�B9?#54H��.2/�90C�7��0� ��I4JC�7K)�#54H��. C+7A9?�

����L�' F8)*6

��������)�6K��EC9MDM��NA) 3 4J��7�OP�-��0����54J��./�7+.���' (�I4JC&90�Q9�/�7Q%3 4G��78)R����L�' F8.��&�0� ��54G��.2/�7QS0M��N����L�' F8)A��' ( 54JC&90�9�/�7�S�M��N�T

U '�V+8�

3 4JC9�/�7E)R����L�' F

U '�V �C��'����� � 3

W ��F����������&�0 ���

4�5YX � �`9)8:9PJL?$Z�E�AQ?�Z 9�R[CNT*� �`9)U[E\R�?7R¨]`_�=@abAQ?BC =@R �k�������<�`~��x�b~����.~�1��/�b�J�D����|J�9~b�J�k���3�b�J��~����0�K�����J�.~���|��9~��J� ���#� ~��=��¡.�3��¡.�K����¤D�x~b��¤����x�¢��1����b�����B��|��'~����=|[ j k�m o[ q p d r ft k{v�o�x<y rSt k j k�m o�x<y r

d r ft k{v�o rut kwv0y j k{v0y m o�x<y ~ � �� �D�M����~8����~b���/~b�"�J���D¤���~����D~G~b�J����� G����D~����=| ���8��|.��=�'~�~��b����� � �������<�J���D¤���~��J� � G=���D~b����|=1�����|�¡J���'~����=| ��|Kd5�6��K~`~b��|J�3d p � ���k�`�3� 1��/¡.�����3��~8¡.� A)�3�b�3|=~����x~b����|��x��� G����D~����=| ~ ��� ~����D~�~��J�$¡.�K����¤1�x~b��¤��^�H�=�J��¡ 1)�

ft kwv0o�x<y rSt k ��� f

t kwv0o rSt k{v0y ��� �¡.�3���3|�¡.��|J� ��| �����x~���|�~b�3�b¤D�x� q �����3������~b�J��|,���H�N¡.�����3��~ �`�E1�� ~��¦~��.~b����| ��|�~b� � G����x~b����| ~ � � �H�%�K��|N�����b����� ¤=�K���¦�B�~b���D~8� G=���D~b����| ~ � � ����~b���J�k��|�~b�J�$�3���b�k�x�Nd p�� � � �D� ����~������=�b�b�J����~b���D~�� G����x~b����| ~ � � ����~b���J���B���Yd r f$��|�¡~b���D~H�������1¤=�@d3e � � � �D� �����x�����b����¡.� ~b�k~��b�9~b� �J�b�D¤=��~b���x~�� G����x~b����| ~ � � ���¢~��b�J���B��� ~��J�Yd>D ~��"�K���b��� �G� ~#�x�b~1����x���J������|J��~b�J�k���b�.¡.����~��b�����^~b��� G=���D~b����| ~ ��� �x|�¡/���K~�~b�J���B�=�����D����|J�9� G����D~����=|

[ j k�m o[ q p f

t k{v�o�xPy rut k j knm o�xPy rf

t kwv�o rut k{v0y j kwv0y m o�xPyz qsrSt kt k{v�o�xPy rut k[ j|k�m o�x<y[ q z t kwv�o ruqt k{v�o rut kwv0y

[ j|k{v0y}m o�x<y[ q ~ % �

Page 7: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O �� �D� ���8�������5�b�21��`~b��~b�.~��8� G����x~b����| ~ � � �B��� ~��J��~��K���%� j��knm o�xPy ��|�¡ j��k{v0y m o�x<y �L#��J���H����¤����0~b���8�B�=�����D����|��k� G����D~����=|

[ jlknm o[ q p f

t kwv�o�x<y rut k j|k�m o�x<y rf

t k{v�o rSt k{v0y j|k{v0y}m o�x<yz qsrut kt kwv�o�x<y rut k� d r �t kwv�o�xb� rut k jlknm o�xb� r

d r �t kwv0o�x<y rSt k{v0y jlkwv�y}m o�x ���z t k{v�o rSqt kwv�o rut k{v0y

� d r �t k{v�o�xPy rut kwv0y j k{v0y m o�xb� r

d r �t k{v�o rut kwvP� j k{vP�,m o�xb���� �D� ~��J��� �������.�$�#�D~��J�K���������J�����K�D~��3¡�¥0�b� ���K~����$~��b�N~b�N�������/�¦~�� ���¦~b~b���/�������"���3�=¡J� 1J���$1�� �b���x������|J����|J��~b�J�

� G����x~b����|,�[ j|k�m o[ q p f

t k{v�o�xPy rut k j k�m o�xPy rf

t k{v�o rut kwv�y j kwv0y m o�xPyz d r �t k{v�o�xPy rut k q3rSt kt k{v�o�xb� rSt k j|k�m o�x �z d r �t k{v�o�xPy rut kwv0y

� t k{v�o ruqt kwv0o rSt k{v0y r qsrut kt kwv0o�x<y rSt k ��j|k{v0y}m o�xb�r d r �

t k{v�o rut kwv0y t k{v�o ruqt kwv0o rSt k{vP� j|k{vP��m o�xb�� �D�F�H��¡J��������~`~b�����%�D~��J�K�%�D~����3�x�.�%�x|����J�����x~b����|,� ����¡�¡�33�K���^~b�^~b�J��� G����D~����=|,¥ 1�� ��¡�¡.��|���f���|�¡��`�21J~b�#���'~���|��f��[ j knm o[ q p f

t kwv�o�x<y rut k jlknm o�x<y rf

t kwv0o rSt k{v0y j|k{v0y}m o�x<yz d r �t kwv�o�x<y rut k qsrut kt k{v�o�x � rut k j knm o�xb�z d r �t kwv�o�x<y rut k{v0y

� t kwv�o ruqt k{v�o rut kwv0y r f z f r qsrSt kt k{v�o�xPy rut k ��j kwv0y m o�x �r d r �

t kwv�o rut k{v0y t kwv�o ruqt k{v�o rut kwvP� j|k{vP�,m o�xb�� �D�p�H���,c����b���b��~��J�k��|J�����H�k���1¤=�^�=¡J¡.��¡/��|�¡��`�21J~b�#���'~��3¡������B�#����~b����|��[ j|k�m o[ q p f

t k{v�o�xPy rut k jlknm o�xPy rf

t kwv�o rut k{v0y jlkwv�y}m o�xPyz d r �t k{v�o�xPy rut k q3rSt kt k{v�o�x � rut k j k�m o�x �z d r �t k{v�o�xPy rut kwv�y

� t k{v�o ruqt k{v�o rSt k{v0y r tk{v�o rSt k{v0yt k{v�o rSt k{v0yz�t k{v�o�xPy rut kt k{v�o�xPy rut k r q�rSt kt k{v�o�xPy rut k ��jlkwv0y m o�x �

r d r �t k{v�o rut kwv�y t k{v�o ruqt k{v�o rSt k{vP� j k{vP�,m o�xb�

Page 8: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O 8

6��K~`~b��|J�%�=|��K��������|�¡.�K|J�=����|��x~b�=�������k����~[ j|k�m o[ q p f

t k{v�o�x<y rSt k j k�m o�x<y rf

t k{v�o rut kwv0y j k{v0y m o�x<yz d r �t k{v�o�x<y rSt k qsrut kt kwv0o�xb� rSt k j|k�m o�xb�z d r �t k{v�o�x<y rSt k{v0y

� t kwv�o ruqsrut kwv0o z t k{v0yt k{v�o rut kwv0yz�t k{v�o�x<y rSt k ruq z t kt kwv�o�x<y rut k � j kwv�y}m o�x �r d r �

t k{v�o rSt k{v0y t k{v�o rSqt kwv�o rut k{vP� j kwvP�,m o�x �0H���3�x|���|J���J� ��1J��~��H���=��~�~b���G�B�=�����D����|J�

[ j k�m o[ q p f

t k{v�o�xPy rut k j|k�m o�xPy rf

t k{v�o rut kwv�y jlkwv0y m o�xPyz d r �t k{v�o�xPy rut k q3rSt kt k{v�o�xb� rSt k j k�m o�x �z d r �t k{v�o�xPy rut kwv0y

� t kwv0y rSqt kwv0o rSt k{v0y z2t kwv0o�x<y rSqt kwv0o�x<y rSt k � j k{v0y}m o�xb�r d r �

t k{v�o rut kwv0y t k{v�o ruqt kwv0o rSt k{vP� j k{vP��m o�xb�� �D�p�H�k���b�k�x�����=�`~��D~����J���=�=���?�.������~����D~��������1¤��^~b�%¡.������~b�����3���b�#�x|J�=��~��J�k� G����x~b����|��9����~`~b���T1J��~����������[ j knm o[ q p f

t kwv�o�x<y rut k j|k�m o�x<y rf

t k{v�o rSt k{v0y j|k{v0y}m o�x<yz d r �t kwv�o�x<y rut k

� qsrut kt kwv�o�xb� rut k jlknm o�xb� z t k{v�o�xPy ruqt kwv0o�x<y rSt k{v0y jlkwv�y}m o�x ���r d r �

t kwv�o rut k{v0y� qsrSt k{v0yt k{v�o�xPy rut kwv0y j k{v0y m o�xb� z t kwv�o ruqt k{v�o rut kwvP� j k{vP�,m o�xb���� �D�p�¦�0���k�������/�D~�~b�J�$~b�K���%����|�~��J�k���x���K|�~��3�b�3���H�k�������3¡.���D~��K���"�b�����=��|J�C3K��� G����x~b����| ~ ��� ¥���|�¡����0�H�$���J�J���"�¦~

���^�=��~�~��J�^�B�������D����|J�[ j|k�m o[ q p f

t k{v�o�x<y rSt k j|k�m o�x<y rf

t k{v�o rut kwv0y j|k{v0y m o�x<yz d r �t k{v�o�x<y rSt k j k�m o�x<y r

d r �t k{v�o rut kwv0y j k{v0y m o�x<y

0H���3�x|���|J���J� ��1J��~��������^�������K~[ j knm o[ q p 0 d r � 4 z ft k{v�o�xPy rSt k j|k�m o�x<y r 0 d r � 4 z ft k{v�o rSt k{v0y jlkwv�y}m o�xPyp d r ft k{v�o�xPy rut k j knm o�xPy r

d r ft kwv0o rut k{v0y j kwv�y}m o�xPy!���|��x���������9�K��|Z���=|�������¡.� ~b���x~G� G=���D~b����| ~ � � ���8~b���J�=� � �D� ���K~G���8~b����~b��������� �D~^�J�����J�3�8���#¡.�3�G¡.�3�b��¤D�D~b��¤����K��z������¡J�BA5�K���K|�~b���D~��k� G����x~b����| ~ � � ~��J�K|����^�=��~

[ � j k�m o[ q � p d r ft k{v�o�x<y rSt k

[ j knm o�x<y[ q r d r ft k{v�o rSt k{v0y

[ j kwv0y m o�xPy[ q

Page 9: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O �!J����� ~b�J������~�����|J��~����x�#¡�~b�%�`�3��~b���x~������K|��K�#�x�)�B����� �J�����K�x|V1)�k���b��~`~��K|��B����~��J� 2 D ~���¡J�K����¤D�D~���¤=���

[ 5 j k�m o[ q 5 p d r ft kwv0o�x<y rSt k

[ 5�xPy j knm o�x<y[ q 5�x<y r d r ft kwv0o rut k{v0y

[ 5�x<y j k{v0y m o�x<y[ q 5�x<y ~ ( �

IG�J�����3�b�J��~����K��| 1)�k���3|J�K�#�x���C3K�3¡���|�~��9~��J���B�������D����|J��� G=���D~b����|<�

[ 5 j knm o[ q 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2Or f 4��5

���� ���

5 m � j kwv � m o�x75 ~ ' � ��~b�

2s� d�x|�¡

���m � p f ~ ����5 m � p �

5�x<y m �t k{v�o�x65 rut k ~ 8��

�5£m � p �

5�x<y m � r �5�x<y m � x<yt kwv�o�v � x75 rut kwv � ~ � �

�5£m 5 p r �

5�x<y m 5�x<yt k{v�o rSt k{v95 ~ * �

� �������@|J�D� ~b����~����J���D¤���� G����x~b����| ~ ' � 1�����|�¡.���'~����=| ��| 2 � <,��~^���8�`~����`~G���.~O1�����cJ������|J��|J�"���0~b�J�9� G����D~����=|�J�=��¡J���B�=� 2 p f��2!��b�=�§¡.���b���'~8�b�21��`~b��~b�.~����=|���|�~b��� G����x~b����| ~ ' � �H�����K~�~b�J���B�=�����D����|������3�b�J��~3�[ jlknm o[ q p 0 d r f 4��

0 d r � 4�� 0 �y m � j k�m o�x<y z

�y m y j kwv0y m o�xPy 4

p 0 d r f 4 � ��,m �

t k{v�o�xPy rut k j knm o�xPy z r � ��m �t kwv�o rut k{v0y j kwv0y m o�xPy �p 0 d r f 4 � ft k{v�o�xPy rut k jlknm o�xPy r

ft kwv�o rut k{v0y jlkwv0y m o�xPy �p d r ft kwv�o�x<y rut k j knm o�x<y r

d r ft k{v�o rSt k{v0y j k{v0y}m o�x<y �"�������3¡J���x~b�K���Z���3�K���=��|J�C3K��� G=���D~b����| ~ � � ��|�¡ ����|�������¡.��~b���D~ � G=���D~b����| ~ ' � ����~b���J���B�=� 2 p f�� � �D�k¥,����~ ��������b�J���$~b���D~G� G����D~����=| ~ ' � ����~��b���$�B���G~b�����3���b�$�x� 2 p 2lr f9��|�¡ ����~����8~b���/~����J���D¤��$~b���x~^��~������b�"����~��b��� ��|~b��� 2 D ~b� �3���b��� �k���1¤��

[ 5�x<y j|k�m o[ t 5�x<y p 0 d r f 4��

0 d r 0 2|r f 4�r f 4��5�xPy���� ���

5�xPy}m � j kwv � m o�x65£v0yz��0�H�k¡.� A)�3�b�3|�~b���D~b��~��J������|��K�^���=�b�����^�=��~�~��J� 2 D ~���¡J�K����¤D�D~���¤=��¥�~b���D~����

[ 5 j k�m o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 032 r f 4�r f 4��5�xPy���� ���

5�x<y m � [ j k{v � m o�x75£v�y[ q� �D�p���K~������x���J���/� G����x~b����| ~ � � ~���~b�J�$¡.�3�b��¤D�D~���¤=�G��|��b��¡.��~��J�$�b�J�����x~b����|[ 5 j k�m o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2�4��5�x<y���� ���

5�x<y m � � d r 2t kwv � v�o�x75 rut kwv � j k{v � m o�x65r d r 2t k{v � v�o�x65£v0y rut kwv � v�y j kwv � v0y m o�x65 �

Page 10: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O *

� ���x������|J����|J� �����K��¡J�

[ 5 j|k�m o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2|r f 4��5�x<y���� �

��5�xPy}m �t k{v � v�o�x65 rSt k{v � j|k{v � m o�x65

r �5�x<y m �t k{v � v�o�x65£v0y rut k{v � v0y jlkwv � v�y}m o�x65��

<,�K~����������¦~��k�J��~��J�$�b�J�����x~b����|���|=~�����c.�J�����K�¦~�~��K�����3�2#��J�������3�b�J�¦~#����|/~b�����B�������D����|J�����x~b�J�3�����3|J�x~������ G����D~����=|[ 5 j k�m o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2Or f 4���

�5�x<y m �

t k{v�o�x65 rSt k j k�m o�x75 r �5�xPy}m �

t kwv�o�x75£v0y rSt k{v0y j k{v0y}m o�x75z �5�xPy}m y

t kwv�yBv�o�x75 rSt k{v0y j k{v0y m o�x75 r �5�xPy}m y

t kwv�o�x75£vP� rSt k{vP� j k{vP��m o�x75z �5�xPy}m �

t kwv��£v�o�x75 rSt k{vP� j|k{vP�,m o�x75 r �5�xPy}m �

t kwv�o�x75£v � rSt k{v � j|k{v ��m o�x75!"! !z �5�x<y m 5�x<y

t kwv�o�x<y rut kwv 5�x<y j k{v95�x<y m o�x65 r �5�x<y m 5�x<y

t k{v�o rSt k{v95 j kwv 5£m o�x65 �#��J����� G����x~b����|��K�x|=1)�k�b�3���b��~`~��K|V1������=�����3��~b��|J��~b�K���%���x�0� G������ j �?��=�'~����#�

[ 5 jlknm o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2 r f 4���

�5�x<y m �

t kwv0o�x75 rut k jlknm o�x65z �5�xPy}m y r �

5�x<y m �t k{v0y7v�o�x65 rut k{v0y jlkwv�y}m o�x65z �5�xPy}m � r �

5�x<y m yt k{vP� v�o�x65 rut k{vP� j kwv���m o�x65! !"!z �5�xPy}m 5�xPy r �

5�xPy}m 5�x �t kwv0o�x<y rut k{v95�x<y j kwv 5�x<y m o�x75

r �5�x<y m 5�x<y

t k{v�o rut kwv95 j|k{v95£m o�x65��<,���=����|J�"�x~8�J�D�p~b�J�

��}�����K�%�K���3|�~�����| � G����x~b����|�� ~ ��� � ~ * � ���b�$¡J����|J��¡��H�9�K�x| ���`�����/���K�����¦~���~b�J� � G����D~����=| ��|�~��

~b�����B�������D����|J�9�B�������[ 5 j knm o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2 r f 4�� 0 � 5£m � j k�m o�x75 z �5 m y j kwv0y m o�x65 z

�5£m � j k{vP��m o�x75 z ! !"!

! !"! z �5£m 5�jlkwv95 m o�x75 4 �J���#� ����|�¤����K|�~b���"�K��|V1)�k�����¦~b~b�K|����

[ 5 jlknm o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2Or f 4��5

���� � �

5 m � jlkwv � m o�x75�������=�����x�����b��|/���¦~���� G����D~����=| ~ ' � ���k�K�x|�|J�D� ����|�������¡.�^~b���x~��¦~8�����b���J����¡J����| 2 D ~b� �3���b���4�5�� ��� MYXB9�� 9�= AQ?7=������@9Z8 9PJL?�Z�E�AQ?�ZD9�R[CDT$� �`9 U[E�R�?£R¨]`_@=�abAQ?BCD=�R� �D�p���K~�����~b���b|��������D~`~��K|�~b����|/~b�D���x�#¡J���%�x����|J�%�x|����"�����K|�~����������3���3|�~��D~����=|,�J����� G=���D~b����| ~ ' � �H�����1¤=�

[ 5 j knm o[ t 5 p 0 d r f 4��

0 d r 2|r f 4��5

���� � �

5 m � j kwv � m o�x65 2s� d

Page 11: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O � @

��|�¡��B�����§� G����D~����=| ~ ' � ���k�`�3�G~����D~�~��J�k|��J���K�#�D~����#�H��|�~b�J�k� G����D~����=|�� ~ 8�� � ~ * � ���b�Sl� p t kwv�o�v � x75 rut kwv � �B�=� � ��� � 2 ~ � @ �

���"� G����x~b����| ~ ��� �H�����1¤=�j kwv � xPy}m o�x65£v0y p qsrut kwv � xPyt k{v�o v � x75�xPy rut kwv � xPy j kwv � xPy}m o�x75 z t k{v�o v � x75 ruqt k{v�o v � x65 rSt k{v � j k{v � m o�x65� �D�i�¦�0�H�����=�����x���8~��J��|��J���K�#�D~b�=�H���<~��J�k�`������|�¡%~b�3�b� ~b��� G����x~b����| ~ � @ � ���^�������3¡.���D~��K�����b�K�G~b���x~�~b�J�3���x���

��¡.�K|�~b���K���?�<z}| ��~b�J�3�k�H�=��¡����H�%���1¤=���b�K�3| ~b���x~k~b�J�"��|J��~ ¡.� A)�3�b�3|����������`��¡N~b� ���=���J�.~b��~��J� j ��¤D�x���J�3�k�3�x| 1�����K���b�3¡ ��|N~��J���K�����J�.~#�D~b����| �x��~��J�"¡.�K����¤1�x~b��¤����K� <<��~ ��� �����3�D~��%��~�� 1����=¥,���J���#� ���"�K����� � ¥<�x|�¡ ����~$���9� ~������¤D�x���J�3����|�~b� � �����B�������D���K¥��B���`� � ) � d h j|k�x o v�yBv �£m o � � �7m o�x<y

S|� � �^o�x<y m �#��J�k¡.���x�=��|����������`�)�3�K�����5�b��|����^�H�^�������,�`~b�=�b� j k�m o ��|/��~3�.z}|V#@�;1J��� � ���G���1¤=�8�=��¤=�K|/��|��,c.�����J���^�x���x| � �m~��;1J���~b���J�3���9��x���������x���C3K�������9���¦~��9��~3�LIU1��`�3�b¤=� ~����D~ � �K��|�~�����|���������~��J��|J��|.� 3K�3�b�G¤D�x���J�3�0��� j �B�b�=�M~b�J��¡.�3���3|�¡.�K|����

j knm y j k�x<y m � j k�xb�,m � j k�x9�,m �t k{v0y rut k j k�m � j k�x<y m � j k�xb�,m �t kwv0y rSt k�x<y t k{vP� rut k jlknm � j|k�x<y m �t kwv0y rSt k�xb� t kwvP� rSt k�x<y t kwv�� rSt k j knm �#�� 1J��� � h � �m~��;1J�����,c.�����J���^�B�=�@d p�� �

~��;1J���8�x|�¡"�¦~��x���`�$�`~b�=�b���0~b�J�^���=�b���3�b���=|�¡.��|J�k��|J�x~�¡.�BA5�K���K|��3����� ~ �B�b�=�£~��J�8��������~¢~b�3�b�%�H��|J��� � ��|"~b�J���}~�����|��`�)�=�b� ��)�=�b�¦~����=|/���@~��J�$���=�b���3�b���=|�¡.��|J� j ¤D�x���J�=�#��J�G��|��x~�¡.�BA5�K���K|����8���8|��K�3¡���|�~b�J�

����K�����"�����K|�~���� j k{v � m o�x75 �������=���J�.~b��¡$1�� j k{v � x<y m o�x75£v�y � �J�3�b���x���~b���3�b�%~ �H� ���.�K�x~b�3¡ ���K���D~���¤=�K��� ~b�Z�3���#� ��~b�J�3�$��| ~��J� � �m~��;1J����� j kwv � xPy}m o�x65£v0y �H�=�J��¡ ����� � ��� ~9~b��~��J�������=��~$�x�j k{v � m o�x65 �2?�|J�D����|J��~b�J���������3�x|��3�=�`�����/���������J������~b��~b�J���B�=�����D����|J�9���J�����B��������������|��9�J��~��J�k��|J�x~8¡.� A5�K���K|��K����^|��K�3¡����J�3|��H�����x|�~�~b�%���=�����.~b��~��J�����K���K�%�3�����K|�~#�K�/#��J�k���J���^�����=���B�=�����D���

� � : ��~�~b���G~�����|��b�����`���)�=�b�¦~����=|/���@~��J�$���=�b���3�b���=|�¡.��|J� j �m¤D�x���J�=�� ����¡J¡��=|J��~b��~��J�k�b�D�i��|�¡J��c��

z��¢�H�$�K�����J�.~��k~b��� ¡.�K����¤1�x~b��¤�������| �b���K�K�3¡.��|J�%�=��¡.�3��� ~#�x�b~b��|J�%�D~���¥.~b���K|�f � �!���w�{� 2 r f � 2 ~��J�K| ���$� 1��`�3�b¤=�8~����D~���J�3| ���"���=���J�.~b��~��J� 2 D ~b�:¡.�K����¤1�x~b��¤���~��J�K| ���%��|J���Z|J�3�3¡N~b��� ��}�����K�%�K�K|�~$¤D�x���J�3�$���J���#� �����B���J|�¡ ��| ~b�J�

���=���J�.~��x~b����| �x��~��J� 2�r f;D ~b�:¡.�K����¤1�x~b��¤���� ~ ��|�¡N~b�J�"��|J��~ ¡.� A)�3�b�3|������$�x�����=�J�#�`� � ��#��J���k���3��|���~����D~ ���%��|�������1¤=�G~��"���K���K��1��3��~b�J���}�������%�3|����3|=~��B�����§~b�J� �J�b�3¤����=�����¦~��K�#�D~����=|,��8�b��|J�"�%���.�������k���K�������$1J�/A5�K�G�%�x�������¦~

�)�=���`�C1J���G~��%�����J���K���3|=~8��¤=�K���%���%�3�K���3|=~����1�%�x�¢���=���J�.~b��|J��~b�����}�����K�%�K���3|�~��3�

<,���=����|J���K�����`�3��� �x~G� G����x~b����| ~ ' � �H�9�;1�¤����=���b�����`�3� ~����D~k�b����� ���¢~b�J�9~b�3�b�%�^��|�¤=����¤��3¡���| ~��J���`�J���%�D~����=|���=�J��¡"�)�x~b�3|�~b���x�����"���1¤��G��3K�3�b� j ��¤1����������z}|���|������J���3���K|�~��x~b����|��H�����=�J��¡"~���������¡.¤D�x|�~#�x���G�x�,~��J������|��D������¡.���=�#��J�������=�J��¡ 1��$¡J��|J�����H�B�������D���K�/!����#�`~������`�J����~�~b�J�k�b�J�����x~b����|/��|�~b��~��J�b�3�G���x�b~��3¥.�3���#�/���x�b~����������3�b���=|�¡.��|J�$~��~b���k~b�J���K�$¡J�BA5�K���K|�~8���1�.���x� ���=�����.~b��|J��~b���

����K���K�"�����K|�~�� ~ � G����D~����=|�� ~ 8�� � ~ * �7� � #����x~8���3¥J���$�x���k���=��|J��~��"���b�

~b�����B�������D����|J����|�¡J��c/¤D�����J�����B����~��J� j ��¤1�������3�3�� r d z f z ) �B���

�5 m �� r d z f z ) z f ~b� � r d z f z ) z 2|r f �B���

�5 m y ~b�

�5£m 5�xPy� r d z f z ) z 2 �B���

�5 m 5

� �D�k¥.�b��|������x���5~b�J���`� j ��¤1�������3���x���8���@���#¡.�3��d r$2 ���G��|J�D�{~����D~�~b���K�������b�^�D~����=�`~�d r$2 |J�=|.� 3K�K��� j �m¤D�x���J����x|�¡����$�x���`����|J�D� ~����D~�~��J�K������|�¡.��c�����|J���^���� r d z 2 z f ~b� �

Page 12: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O � �

z}|��x~��J�K�������#¡J�3¥����

� r d z f z ) � � r d z 2 z f) � 2~b���K|�~b���

�5 m � ~b�3�b� ���1¤��k��|J�=|.� 33�K��� j �m¤D�����J�k��|�¡��`�J�=�J��¡�~��J�K�����B�=�b� 1)�$��|�������¡.��¡/��|�~b���$�`�J���%�D~����=|,� 6����������x�

�����b�K�^~����D~����

� r d z f z ) z 2 � �) � d r f r 2

#��J�3| ~b�J��5 m 5 ~��K��� �b�J������¡ 1)�"��|�������¡.��¡:���k���K���?��#��J�

�5£m � ~b�3�b�%� ~ �B��� � p f�~b� 2 r f � ��� ���x|�¡.����¡:������~`~����¡.� A)�3�b�3|�~3��z}| ~b�J���8�3���b�k�H�$���x|�~�~���¡.�K����¤��k~��J�$�#�x|J�=�k�x� � ��¤D�x���J�3�3¥ ����k�� �,���,�,� ������� ¥)���J���#� �b���`���¦~#���x�¢|J�=|.� 33�K���

¤D�x���J�3�3�2!����#�`~��H�������=�%�B���������D�H�3���������¦~����

� r d z f z ) z f� � r d z 2 z f) z f� 2~b���K| � ��k�� �b�J������¡ 1��k�b��~�~���f=�.z���|��x~��H�����1¤=�8~��"�`�=��¤=�8�B�=� � ��k� �b���#��~����D~����O��|�¡/~b���^���D���3�`~�¤D�����J����� � ��k�����J�3�b�

� r d z f z ) z � � k�� � � r d z 2 z f��� k�� � 2 r )��� k�� p 2 r )

z}| ���`���������x�����1�%�H�O��|�¡ � ����� �.z��

� r d z f z ) z 2|r f � �) z 2 � d

) � d r 2~b���K| � ����� p 2 r f�¥J��|�¡����0|J�x~�~��J�K|����^|��K�3¡/~��J�T1J�����3�`~�¤D�x���J���x� � ����� �`���#��~����D~� r d z f z ) z ��������� ����J���#�/��� � ��� � p d r f r )��#��J���¢���=|�������¡.���0���J�0���x���=~��J�����J�=� �x�)�����J���K���3|=~#�D~����=|�¡.�K~��������K¥x��|�¡9�H���K��|9|��D�F�b�J�D�:~b�����K|�~b���b�������=�����¦~��J���

Page 13: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5�����O � � Y������� � ���O � �

����������� ���B����0�M��������' 3 � ���$� �$ "�!#%� ' (�*)*���+����,"�- �./�%��0�����)1��� ����,"�- +.2/�%3 )1��� ����,"�- "�! %� ' (�54$6 7 )8�:9;#54<��.2/�7��0����54$6 7=)�#54<��7>9?�

� ' (�54@/�7 )8�:9;#54<��7��0����54@/�7=)�#54<��.2/�7A9?�3 4$6�7I4$6 7E)B/

�����8C1)1DE��E 1F��� ' ( 54GC�7E)8�B9?#54H��.2/�90C�7��0� ��I4JC�7K)�#54H��. C+7A9?�

����L�' F8)*6

��������)�6K��EC9MD3 4GC9�/�7I4G��7K) �-��0� �+54J��.2/�7+.�� ' (�54GC9��9�/�7&%M��NA) 3 4J��7�4JC9MD 7�O 3 4JC9�/�7I4J� 7

3 4G��7I4JC9�/�7K)>����L�' F8.8��0� �+54J��.2/�7QS�M��N����L�' F8)A��' ( 54JC&90�9�/�7�S�M��N�T

U '�V+8�3 4JC9�/�7I4JC9�/�7=)>����L�' F

U '�V �C��'����� � 3

W ��FE���������&�0 ���

Page 14: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5� � %

����������� ���1F�'���0L���&�0L�'���� ���$� �$ "�!# ����%� ) ���+����,"����.2/2�! &% O O � 4�� 7I4J��7=)���!���F�'���0L����0L�'=� ( jlknx<o v0y7v �£m o�8)1��� ����,"�HD �! %3 ) ����0�M��������' 3 � ���$���! �!#&%

�����8��)+68��K 9�/� 4$6 7I4G��7E) 3 4J��7I4J &9�/�7

U '�V ��

�����8��)+68��K 9�/��/?)*6 � ��D8):/2� ��4�6 7I4$6 7E)B/������ )2/ ����F�� U )*6 (8����)�E ��'M���4<��D 7�4$6 7K)*��4<��/�7I4$6 7�O 3 4J 9���7I4G�9�� 7F�� U .+) ��4<�MD 7I4$6 7�S 3 4G�9�� 7I4G 9��Q9�/�7

W ��F ��( (8�*.:/���)��8 ��'��8N 3 ���*)B/W ����'=N 3 ���*)��Q90� W ��F>��( (8����)� 9�� ��'��8N 3 ��V�)�� 91/W ����'=N 3 ��V�)8 B9A/890� W ��F ��(������N�)�N 3 ���8��=N 3 ��V��4<��D 7�4GN�7+) �<��4<��/�7 4GN�7Q9���4<��/�7�4YN29�/�7�%�O 3 4J &9���7I4G�+.�N9���7F�� U .+)+��4<��D 7�4GN�7QS 3 4J�+.�N9�� 7 4J &9��Q9�/�7

U '�V+EN (8����) �! 9�/�9���% ��'����4<��D 7�4�� 7K)R9M��4<��/�7I4J 9�/�7�O 3 4G 9�� 7 4J�+7F�� U .+) ��4<�MD 7I4�� 7�S 3 4G��7I4J 9��Q9�/�7

W ��F ��(� 4�� 7I4J��7E)�F�� U������N � ��/�@��DQ%

U '�V+��U '�V ��

(����0����8)8 9�/2T������� )/ ������������)�6K��E 9�/� 4�� 7I4J��7E)�(����0����AS � 4�� 7I4G��7

U '�V+8�(���������8)*(���������AS �- 9�/�9��Q%

��'�V ����'����� � �

W ��FE���������&�0 ���

� #%$ �'&)(2��*�+,��� �� �1¤���|J��~������K|��K���b�^�x��~b���O1����b�����B�J|��'~b����|����H�k���b��|J�D�p�b����¡.���B�=��~b�J�$�=�'~b���x�,�H���b�J����|����

Page 15: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P����� �� � �5� � (

X�576 8:9<;>=@?BA!?7CD=FCNT�USV R�MYX7?£=`9�M|J�=|.�m�)�K������¡J���^|J�=|.�m��|J�¦�B�=�b� d��m�=��¡J�K�����}�b�J����|J������¡.����|J�3¡V1��

� 0nq�4 p�� k � � j k�m o���k ~ �;���

�J�3�b��� q ���

#��J��� z f����=��|�~���� �0k � p � �,���,��� �������b���K�������3¡�~b�J�k�K��|�~b�����5�)����|=~#���x|�¡�~b���G�B��|��'~����=|���� j knm o � p � ���,�,�,� ���$�x���~b���Od>D ~������#¡.�3�H|J�=�b�%�����C3K��¡R1����b�����B��|��'~����=|��K¥����J���#�����K���G~b���3�D~��3¡%��|/~b�J���J���K¤����������`���'~����=|��K�L#��J���`���x���G¡.�4��|J��¡��|�����|J�x~�¤=�3�'~������$¥J�b���#�/~b���x~ � p%�

����,�����

�� ��� �o � t o �,�,����� t � �����,���,����� ��� �o � �� ��~b�����^~b���D~�~b�J����|J��~�¤=�3�'~��������1¤���� ~b�x~#�x������� z d z f^�K���K���K|�~#����|�¡�~b�J�O���#� ~`d����K���K���K|�~#�����������1¤���~��J�k�b�����¤D�x���J�%�x|�¡Z~b���������`~|d �3���3���K|�~��k�����b�/���1¤��9~b�J�%���x����¤1����������6����3����¡.��|��/¤D�x���J������|N~b�J�%��|J��~k¤��3��~b�=�^�b�J������¡ 1��|J�=|.��¡J�3�����3�=�`��|J���� �D�p���K~�����¡.� A)�3�b�3|�~b���D~b��� G=���D~b����| ~ � ��� ����~b�����3�b�����'~�~b� q �����%~b�J�k���b�.¡.����~��b�J�����H�k�=��~

� � 0nq�4 p�� k � � j �knm o ��k z^j k�m o�� �k

��|�¡��b��|������ ��k �k���b�k�����,�K��|��`~���|=~#���x|�¡���|�¡.�K�)�K|�¡.�K|�~��x� q ~b���������3¡J��������~b�� � 0nq�4 p

�� k � � j �knm o ��k

!J����� ~b�J������~����������b�������b�K�K|/~b���D~� � 5 � 0nq�4 p

�� k � � j

� 5 �0 � � d 4 �0k ~ � � �

X�5 4 ��� MYXB9�� 9�= AQ?7=������@9ZUSV RWM�X7?£=`9� ���K�x������|J�9���J��¤��3�b�����#� ~��x�����=�b��~b�J�£�B�������=���J�.~b��|J�9~b�J�O1��=�`���¢�B�J|��'~b����|�� ~ �`�3�^�b�3��~b����| � � � � ���G�3�x|"�����b�����%¡.�K����¤=��x|��x�����=�b��~b��� �B�����K�����J�.~���|J�%���b��|J�=�����)����|�~���|����H�}�`������|J���

����������� ��� �0�+�+L�'���������"�!� �! �$#"���%�;)�C ����R����F�'�V"� �0��0�� ���� t k � q���t kwv�yU )8������� ��� � ��+����� �$���! ��#%��)16�����8��)+68��K 9�/�*)��*. U 4J��7�S��54H�+9� �.2/�. �+7

U '�V ����'����� ���

W ��FE���������&�0 ���

!J�����§� G����D~����=| ~ � � � ��~8����|J�x~����x�#¡"~��"�`�3�^���D�i���$�K�x|��J�.~��=�J���J���K¤��������b���/�x����������~b�J� �B�=�8���=�����.~b��|J��~b�J�¡.�3�b��¤D�D~b��¤������x��~b�J�T1��=�`�����B�J|���~b����|�� ~ �b�K�k�`���'~����=| � � ( � ~��%�J�#���'~����3�x�5���b���

Page 16: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� � � � � � �����D���U� �P� � ��� � '

����������� ��� �0�+�+L�' � '���0L���&�0L�'�� �$���! �!#"��� � ��%�;)�C ����R����F�'�V"� �0��0�� ���� t kN� q���t kwv�y�E) 3 ��� � � �! &9�/�%F ��)1���+����,"����.2/�%F U )*F+'���0L����0L�'�� �����$���� �$#"� ��%������� )+68����F �I4�� 78)*6��������)�6K��E 9�/F ��4�� 78)*F �I4�� 7E. U 4�� 7I4G��7QS��54<�+90 �.2/ . �+7

U '�V+8�U '�V ���'����� ��F �

W ��FE���������&�0 ���

� � +���� . + ��������* � +�.T�0�����z}|�~b�J��� �b�3��~b����|��H�����������������9�D~0~b�J�D�`��|�¤=�K�#�`���H�J���;1J���K� �x���������J�J~b��|J�����=��|�~�� ��|��k���}�b�J����|J�=�Dz}|�� ~��3�=¡9�����������.~��b�~b�9�������J�J~b��~��J�G�H�}�`�J����|J������¤��3|"�`�=�����)����|�~�����|%��~3�L#��J�8�x���J�b�����#���H�8�������J~#�x���8���H�K�x�����3¡������;1��x�J��|�~b�K���)�����D~b����|<�� �D�:����~0���0�K������~��J�H��|J��~b���x������¤��3|$�)����|=~#����|k~��J���`�J����|J�H�������x|�~�~b�^�������J�J~b�H�B���)1J���3�x���)����|�~����x|�¡ ��|�~b���.¡.���K�~b���%|J�x~#�D~b����| ��� k ���B�=��~b�J�3����#��J����|�¡.�����3�$���1¤��9~b�J�%�����x|J��|J��~b���x~$�¦� 2[� ��~b�J�3| ���%�`�����J��¡ �K|��K���.~�|J�K��� 51)���B������� k �¦�0�H�k���x���"�x����|��9~��J�k���x|�~b��¡��b�J����|J�$�=��~b�J�k������������~b�3� q ��|��K�b�����b�3�3� ��~b�F~b�J� ��|�~b����¡J������¡:�B�����%�x�����b� �����3�x| � ~#�D~b���=�J��~����b�4�D~%����|�¡ G=���¦~����b����������h : ��¤=�K| �N�b��~%�x�O1J���3�x��)����|=~#�%�x|�¡F�Z��|J��~%¤��3��~b�=�3¥��H��|J�3�3¡ ~b� ��|�¡ ~b�J� ���=|�~b���������=��|�~#� � � k ���x�8~��J��|J��|��J|��¦�B�=�b� �H�}�`�J����|J��¥0���J���#����=�b�b�3��~��J�b�=�J�����x����~��J��1J���3���"���=��|�~#�K���G�b�b�J����~b���D~8�������1¤��k����|J�x~�¤=�3��~b�����K��|��b��� ~���|J�����@~��J�k�B�������D����|J����|J��~¤D�x���J�3� t ��� t y�� t �i�,���,��� t o�x<y�� t o����,����� t �<� t ��v0y � t ��vP�i�,���,��� t ��v�o �J�3�b� t � p ! !"! �Wp t o�xPy��|�¡ t ��v0y p !"! ! p t �iv�o: ��¤��K|��b���#� �9��|J��~�¤��3��~b�=�����k��|J�D�

� 0nt o�xPy 4 p � �� 0�t ��v0y 4 p � � ~ � % �~ � ( �

F��=�#� ~ �J|J� G��J� � ��|J��~�¤1�������k�������<���=�b���3�b�)��|�¡"~b�"���`��|J�=���T1J���3���"�)����|=~��E!J����� ~b�J�������$�`�3��~b���x~��H��� ��� ~����1¤=�k�~b��~������x��� r d z � 1J���3���%���=��|�~#�K�

� � � � y � � � �,�,���,� � �!x o v0y � � ��x<o vP�!J�=���3�=�#�/���<~b���3�b�T1J�b���x�%�)����|�~��������������,��� G��J���b�G~b���x~

� 0nt k{v�o�xPy 4 p � k �B��� � � � � � r d z � ~ � ' �#����x~����K¥����8���1¤=�G�$~b�x~#�x�5�x� � r d z � � G����x~b����|��3¥ 1J�.~��H�^���1¤�� � z fG�J|���|��D��|��K¥��x|�¡"�9�b�J����|��G����~b� � z d z f��|J�x~H¤1�������3�¢�9��� ~H���1¤�� � z f��K��|�~b�����.�)����|�~��3��z}|"�b�J���b~ ������������~�|��K�3¡%�^�B�3� ���=�b��� G����D~����=|��¢��|%���#¡.�K�0~�� �`�=��¤=��������J�b� 1J���K���2#����J���K�������3d p�� ��|�¡/~ �H���������^� G����D~����=|����x���G|��K�3¡J�3¡���|�~��J���8�K���b��� �$���=�J��¡��b�����J���"�J���#�

� � p �\y ��|�¡ � � p � ��x<y

Page 17: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� � � � � � �����D���U� �P� � ��� � ���� ~b�J�G~ ���$��c�~b�#�k� G=���D~b����|��K� � �D� ���G�K��|��b����¤���~��J�G�b�.� ~��K� �x�,����|��3�x�H� G����x~b����|�������¤��K| 1���� G����x~b����| ~ � ' � �/#��J����`~b�#�D~b�3�����K���J��¡V1��$���J�J������¡��B������|���� 1��¦~#�x���"¤D�x���J�k�x�Nd5� � �D�H�3¤��K��¥��H�k�����b�/~��%�H�=�b����|�~��J�$�K�=�`�k���J�3�b� d p � ¥�b�$���K~����H�`�K~ ~b�J�G¤D�x���J���x��d9~�� � �x|�¡%�`�3���¦�,���8�3�x|%¡.�K����¤��8��|%���"�����K|�~����1� �����b����¤���|��k� G����D~����=| ~ � @ � � �G� ~#�x�b~���J~P1������b��~`~���|J���J� � 0�t kwv � 4 �

� 0nt k{v � 4 p�� k � � � k j|k�m �

IG|J��� d p � ���¢~b�J��1����b�����B�J|���~b����|��^�x���$�)�x~��K|�~b���x������|J�=|23K�3�b��¥��`��|��K�$~b���K�����1¤��$���`�J�����=�`~G~b���x~G�D¤��3�b���x�������¦~��t k{v � �2#����D~����� 0�t kwv�� 4 p

�� k � � � k j|k�m ��p � k j|k�m � z � kwv�y�jlkwv0y m � z � k{vP��j|k{vP�,m � z � k{v ��jlkwv���m �

� �D�p���K~8�����,c.������|J�k�����#���x��~b�J� ��j �m~b�3�b�%�3� �9� ~#�x�b~��=�.~P1��"�����=����|J�%�x~ j|k�m � �������=�J��¡.�4��|J��~b����|��x�¢��1����b����B�J|���~b����|������3�x|����=|�� ~��b���'~�~b�J���B�=�����D����|J��~b���K��¥.�������#� �b�J�D�����J�D� jlknm � �������=�����.~b��¡��

u-t i t i+3 - t i

N i,3

t i+4 -u

t i+4 - t i+1

N i+1,3

N i,4

u-t i t i+2 - t i

N i,2

t i+3 -u

t i+3 - t i+1

N i+1,2

u-t i+1

t i+2 - t i+1

N i+1,2

t i+4 -u

t i+4 - t i+2

N i+2,2

t i+4 -u

t i+4 - t i+3

N i+3,1

u-t i+2

t i+3 - t i+2

N i+2,1

t i+3 -u

t i+3 - t i+2

N i+2,1

u-t i+1

t i+2 - t i+1

N i+1,1

t i+3 -u

t i+3 - t i+2

N i+2,1

u-t i+1

t i+2 - t i+1

N i+1,1

t i+2 -u

t i+2 - t i+1

N i+1,1

u-t i t i+1 - t i

N i,1

!������J��� � hE#��J�k���=���J�.~��x~b����|��x�@~b�J�T1����b�����B�J|��'~b����|<�6���|����G�H�G��|J�D� ~b���x~ j knm � �`�����J��¡R1)�G�3¤1�������D~b��¡"�D~ t kwv�� ¥��H�^�K��|"�3�=�`�����������¦~��8�J���x|"�,c.�J��������~H�,c.�J�b���b�b����|��B���j k�m � ¥��B�b�=�§~��J�k~��b�3�$��|=�����J��� � ��� �`�3�k~b���D~8��~8�����J��¡=1��$~b�J� ~b�K���%���x����|���~b�J�9���D~����B�b�=� ~b��� �����=�=~����=�`~������D�

�J��~b��~��J�k�b����~����@~��J��~b���K�=� jlknm �Yp 0nt k{v � rSt k{v � 4 �0nt k{v � rut k{v0y 4"0nt k{v � rut kwv�� 4

z����H�8���b��~b���J�/�`���������x�¢~��b�3�3�0�B�=� j k{v0y m � � j k{vP��m � ¥=��|�¡ j k{v �,m � �x|�¡��3¤D�x�����D~���~b�J�3� �x~ t k{v � ~b���K|"�����H�=�J��¡%¡.�K����¤=�~b���k�b�3������|���|J���,c����b���b�b���=|��H�H��|J�3�3¡��j k{v0y m � p 0�t kwv�� rSt k{v � 410nt k{v � rSt k{vP� 4

0�t kwv�� rSt k{vP� 410nt k{v � rSt k{vP� 4 z 0�t kwv � rSt k{v0y 410nt k{v � rSt k{v � 40�t kwv � rSt k{v0y 410nt k{v � rSt k{vP� 4j k{vP�,m � p 0�t kwv�� rut kwvP� 4 �

0�t kwv�� rSt k{vP� 410nt k{v � rSt k{vP� 4j|k{v �,m � p �

Page 18: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� �98

� �D�p���K~����������¦~��k�J� �x���5~b�J�k� G=���D~b����|���~b���x~�¡J��~b�3�b����|J��~b���T1J�b���x�%�)����|�~��3�� p � � � 0nt � 4 p � y p � �� p f � � 0nt � 4 p � y��\y z�� y���� z y�� � p � y!"! ! !"! !� p � � � 0nt k{v � 4 p � k ��k z�� k �0k{v0y z k ��kwvP� p � k!"! ! !"! !� p � r � � � 0�t ��v0y 4 p � ��x<y p � ��x � �J�3�b�� k p 0�t kwv � rSt k{v � 4 �

0�t kwv � rSt k{v0y 410nt k{v � rSt k{vP� 4� k p 0�t kwv�� rSt k{v � 410nt k{v � rSt k{vP� 40�t kwv�� rSt k{vP� 410nt k{v � rSt k{vP� 4 z 0�t kwv � rSt k{v0y 410nt k{v � rSt k{v � 4

0�t kwv � rSt k{v0y 410nt k{v � rSt k{vP� 4 k p 0�t kwv�� rSt k{vP� 4 �0�t kwv�� rSt k{vP� 410nt k{v � rSt k{vP� 4

������~��J�3�b� � r f�� G����x~b����|����3�x|V1��k�,c����b���b�b�3¡���|��%�D~��b�wc"�B������¥J�����b�J�D��|V1��3���D������ f� y � y y

!"!"!!"!"! � ��x9� � ��x9� ��x9�f

������������

��y� ��xPy

������� p

�����

� �

� ��xb�

�������

<,���=����|J���D~�~b�J�����%�D~b���wc�� G����D~����=|,¥��H�^�;1��b�K��¤��8~b���x~���~��������9���x�b~b�����������b��|J�����������=����|J���`�������=¥.�`���#���9�b�������^����K�������3¡�~��b��¡.���x�=��|����?�Jz�~^���8���x�b~b�������������3�=�`�/~b���b����¤��9�"�`�.�`~b�3� ����~��b��¡.���x�=��|����,����|J���x�8� G����D~����=|�� ~ �`�3�s� 8 � � �x|�¡=1��¡.�=��|J�%�b���H�k�K��|��K�����J�.~��$�x���5~b�J�$�K��|�~b�����5�)����|�~��3�I8�����=�J�#�`�$��� ���1¤��$�=����~`~��3¡N�"���¦~b~b����¡.�K~������ h � �D�W�b�J���J��¡�~��J�9��|J��~G¤=�3�'~����U1������=|�� ~��b���'~b��¡ �����H���x���$��|����

����¤��3|Z~��J�$1J���3��� �)����|=~#� ��� �����.¡ �x�J�J���=�=�#�Z~���~b�J���k�J���;1����3� ����~b� ���b�"���J�3�J�b���`~b���x¥,���J���#� ���$��|��D��| �=�^~b�J��b�#�J���#¡����K|��x~b� ���K�J�����`~b���}�'�������b���K�x�����%~b�J���������x|���~����D~G�H�$�������<��� G��J���b�^~b���D~�~��J�k�B�������D����|J�"�K��|�¡J�¦~����=|����8�������1�.��B�J� ��������¡ t kwv � rSt k{v �t kwv�� rSt k{v � p

� k{v0y r � k � k{vP� r � k{v0y� ~ ���W�

� �� � ��� ���������� ������ * ���0� �0������ �=|��J|J���B����� ���}�b�J����|J�������b�^�3�=�`�������K��|�¤��3�`~��3¡%��|�~b�%���������)�=�b�¦~����=|��������=�b���3�b�)��|�¡.��|J��1)�433���3�����J��¤��^�`�3�����K|�~#�1���)�K�b�B��������|J���x| ���)�K�#�D~����=| ��|N~b�J�3� ���J���#�N���k�K�������3¡Z��|J�x~k��|��`�3�`~����=|,� �%���1¤��9¡J�K¤���~b��¡ ~��J���k�b�3��~b����|Z~b��~b���3�x~�x���@~b�J��¡.��~#�x�����G��|Z�J�D� ��|J� ~������3�^�"|���|��J|J���B����� ���}�b�J����|J���x|�¡ �3|�¡J�G�J�Z����~b� ���K���������`��~b����|Z�x�����E1J����1)�43K���K������b¤=���b�K�=�K���K|�~#�K��H���b�J����|��3� ���b���x~`~b�#����~b��¤���¡.����~b� ~ �H�k�J�����)�K�b~b���3�3�;#��J�3�9���1¤��������3�x�)�`�J�����=�`~H��|�¡�~b���K������������|=~��K�����=|�~b��|����¦~ �

���K�b���b����¡��`�=���K|�~H�K�J��¤��8�b�K�=���3|�~��3� #��J���`�G�J�b�=���3�`~����������b��|��x~H�9�.~b���x�������J���3�b�K|�~����J�3|"���1¤���|J� �$�K���������`��~b����|��x�1)�43K���K�^���J��¤��9�`�3���K���3|=~#�K�>0H���x|�����|J���"�K��|�~b�����,�)����|�~G�=| ��|J�9���J��¤�� �b�K�=�K���K|�~8�����x|���~b���x~G��|��$������~b���#���x|J�=�~b���^�K��|�~b�����)���=��|�~#�H�=|��x���5�x~��J�K�������b¤=�8�`�3���3���3|�~���~b���K|��b�J���^�K��|�~b��|��J�¦~ �=� � �D�H�3¤��3�H��1�� 3K���K�����J��¤��^�������)�=�b�¦~����=|���¢��x�1��K~`~��K�H~b� ������� ����~b�"�B�������K|�¡.�K����|��$�x|�¡��3¤1�������D~b����|<��z}|"�=�J� ������|J����|%��~H���1����� A���|%~��K���%� �x�,�)�K�b�B�����%�x|��K�~b�����=|�¤��K�b~H�9���}�b�J����|J�8~b��� ���=�������`��~b����|"����1)�43K���K�������b¤=�G�b�K���3���K|�~��H���J�K|/��|J�G�����|����b�J�3¡"���¦~��/���.¡.�K������|J� ~b�J���|����,�`���x�)�k�x�<~��J�$�b�J����|J�=�

��576 � �`9��u_��Y?7agU[9��P?B9PJ �u_`J�ZD9gE\=�G A.�@9)USV"! MYX7?£=`9#�uCD=@=@9�abAQ?BCD=#��J�R1)�3�`~$���1��~�� �`�3�%�J�D� � ���E1J����|J�=|��J|J���B����� �H���b�J����|J�%�K�����b���`�)��|�¡��8~�� ���K�21J��� 1�� 3K���K� �K�J��¤������T1��Z¡J�����3��~���=���J�.~��x~b����|,�J�G�b�b�J����~b���D~����^���1¤��G~b�J�k|J�=|��J|J���B�����§�H���b�J����|J�

� 0nq�4 p�

� k � � ��k j k�m �

Page 19: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � �� ����|J��¡���|/~b�J�k��|J��~�¤��3��~b�=� � p%� � � � � � � � � f � f � f � f � � �$�b�1�%~����D~^�`���#������|J�x~�¤=�3��~b�������=��|J�%��|�~b�K��|�������|��x~��8�x|�¡�~b���x~8��~����9�J�¦~�������������~ �����0�����,��~�����|��x~��8�x���Od p � � �k�������3¡.���D~��K���/�b�K�^~b���D~���|����%�B�=�J��1��=�`�����B�J|���~b����|������b�^��|�¤=����¤���¡�¥�~b�J���`�$���b�

j �,m � �£j y m � � j �,m � �£j ��m �<,���=����|J�4�x~$�������b� � ��~/���%����������F�3�=�`� ~b�4�3¤1�������D~b��~��J�3�b� �B�=�J� 1��=�`�����B�J|��'~b����|��K� �N�������3¡.���D~��K��� �b�K��~����D~��|�����~b���=�b� ���x~b���G���¦~��Z���3�1¤=�3�������K���$~b��� |��J���K�#�D~���� t 5£v�y r�t 5 ���b� |J��|233�K�������=|�~b��� 1J�J~b�3�8~b��~b�J��¤D�x���J� ���¢~b�J�j �m�B�J|���~b����|,������¡J�����3��~��b�21��`~b��~b�J~b����|��H�k¡.�3�b��¤��

j �,m � p 0 f ruq 4 �j y}m � p � q 0 f rSq�4 �j ��m � p � q � 0 f ruq 4j ��m � p q �0H���3�x|���|J���J� ��1J��~��H���=��~

j �,m � p r�q � z � q � r � q z fj y}m � p � q � r��iq � z � qjl��m � p r � q � z � q �j ��m � p q �� ���J���=��|����=�J�����3�b�J�¦~#����|�~��9~��J�k����������|��x���b�J�����x~b����|/�B����~��J�$�H���b�J����|J�k��|�¡����`��|J���%�D~��b�wc�|J��~��D~����=|/���k¡.�K����¤��

� 0nq�4 p�� q � � q � � q � f����� r f � r � f� r�� � �r � � � �f � � �

�������� � �� y� �� �

����� ~ � 8i�

���.~�~b�J���^���k�=�'~����x������~��J�����x~b����cZ¡J����|J��~b����| �x���/�K�21J����1)�433���3�k���J��¤��=� #��J�3�b������|J��¡J���21.~ 1�� |J�D� ~����D~�~b���K���¡.�4��|J��~b�K���:�����N���=|J|J�3��~b����| 1)��~ ���K�3|4~��J���b�J����|�����|�¡ 1)�43K���K�%�K�J�b¤=�"���K�J���3�b�K|�~��x~b����|��3� � �D�H�3¤��3� ���/¡.� ���1¤��/����¦~b~b�������b� 1J���3� h � �x~k�x���@|J�=|��J|J���B����� �H�}�`������|J�3�^���1¤=�k~b���9�����`~����K�J���x�^|J���K�9����������|J�"��|J�x~�¤����'~����G�=�^�H�9���`��¡ ~���b�J�D� ~b�J�k�K��|J|J���'~����=|"���¦~�� 1)�433���3���K�J��¤��3�3� ���D~��b�J���J��¡%���^¡J���;1��=�.~��9���3|J�K�#�x�������=����|J�����}�b�J����|J��� <,��~����H�B���~b���$�������K|�~P1)�K��|J�"�����`������~����D~��3¤��3�b�"��|J��~�¤D�x���J�k��|�~��J�k���3|J�K�#�x�,�H�}�`������|J�k���1¤=�^�9�J��~b���J��������~ ��d ~ ��|�~��J�k|J�,c�~�b�21��b�3�'~����=| �H�%�������H� ~#�x�b~$��|:�D~b~����#����|J��~b�J���J�b� 1J���K� ����~ �����`~b��|J��~b�J�"�b�J����|��"��|�~���~b�J�����B����� � ��#����l� �=�K|J�3����� ����E1J���9|J�=|���|J�¦�B�=�b� �H�}�`�J����|J�9�3�x| ~��J�K| 1����b�K�K|N���^���b� G��J�K|������x���b�K�������x~b� |���|��J|J���B����� ���}�b�J����|J���51)�3�3�x���b�9�x~�3�=�#�9��|J�CG��J����|J��~¢¤1��������~b�J�����#�`~Nd r f�¡.�3�b��¤D�D~b��¤�����¤1��|J���`�J��� ~ �b�K���b�3��~b����| 8 � ��� �9FH���#� �`�b� G��J�3|������H�x�)~b����� �b�)�3�����x������=����|J���`������|J�������=���^�x�����=�`~^�������9~b�J����|��9���9���`��¡ ��|N�=�J�^¡J�K����¤D�D~����=|N�;1��D¤=�$~b�����=|J��� ¡.�BA5�K���K|��������^~����D~^~b�J���|J�x~�¤D�x���J�����x���G|��x~P3K�3�b��������|�¡/��|J���K�.z}|��`~b����¡/~b���k��|��x~�¤����'~b�=���������.�������=�^~b�J���

� p%� t k � t k � t k � t k � t kwv�y � t kwv0y � t k{v0y � t k{v0y ���#��J�^��|�¡.���K�3�����b�8~b�J����|��3�H�B�b�=� ~b�J�^����������|��x�5�`������|J�����¦~����9�J�¦~�������������~ ��f�� �k�K�x|/�3�=�`�������=��~�~b�J�O3K�3�b�������b���������1)���`�21J~b�#���'~���|��G~��J�D�`���K� ~B����|��x~ ¤D�x���J���B�b�=�£������~��J����|J�x~¢¤D�x���J���K�;#������0���¢�)�K�b�B�3�'~����9���3�=���/1����K�x���`�������x��������������|J��D~������.�K�x�,�b�K�=���K|�~��x�<~��J�$�b�J����|J�=� �k�3|�¡/�J�����¦~�������|J��~�¤��3��~b�=���������^~b�J���B�=�����D����|J�

� p%� � � � � � � � ���������������� � �J�3�b�

��p t kwv�y rSt k#��J���¢��|J�x~H¤��3��~b�=� �x�������=�`~ �����=� �����=��~b�J�8��|J����������|�~ ��cJ���3�.~ �B��� ~b�J� � ��¤1��������¥��������#�����¢|J�x~H|J�3�K�3���b���b�����3f��xz���������K�)�3�D~�~b���^�;1��D¤=�8���=�����.~��x~b����|����8�������,¡.�K����¤=�G�x~������21J���U1�� 3K���K�����J��¤��G���J�K���8��~���������������~b�3�H�����1��3�K|/���K������¡

Page 20: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � *

1�� � � ���K��| ���=|�������¡.�%~����D~��H�/� ~������H���1¤��%~��J�/�K��|J|J���'~����=| 1��K~ �H�3�K| �K�21J���$1)�43K���K�����J��¤���� ��|�¡ |J��|��J|��¦�B�=�b��H���b�J����|��3�3�<,�K~�����~b����~b�$�=��~H����¡%�x�5~b���������K�x����|J�k�J���;1J���K��� �G��|�~b���.¡.���K��~b�J�8~b�3�b����|J�������=�9���,�����;1������x|�¡"���.�K���������������

��~��K�#�K�/#��J���=��� 1��x�5�����������K~b�3�H����¡.�K|��x~b��¡ 1���� �x|�¡/��~�����~b���^���x�#�x����~��K�H~b���x~����=�����b�3¡�~b�%¡.�4��|J�^~b���^�=�b������|����|J�=|���|J�¦�B�=�b� �H���b�J����|��8����~b� ~ �`�3� ~ ���7� � �^|J�D� ���`� q �B�=� ~��J�G���.�K���������������K~b�3���x��~��J�@� D ~b�����J��¤��8�b�K�=���K|�~�� 0�q 4�x��~b���^�=�b������|����5�b�J����|���� �k����|�~

� 0nq�4 p � 0 � 4z��0�H�k���=���J�.~b� q �=���B�������D��� q p � rut kt kwv0y rSt k#��J�3|��=�J���J�����)�K�b~ �%�����B���B�������3¡��)��|J��~b�J�3��|J���K�k�J�����)�K�b~ �%����~����D~ q ���J|����B�����F� ~���f����5 4 � XBC ��E�X�E\=@G��|C�a E�X�H E�JQE � 9<A!9PJ �uCD=�ZD9PJLR�?BC =FCDT38:9PJL?$Z�E�AQ?�Z 9�Rz��0�H�����1¤=�������.�K�x�>1)�433���3���`�3���3���3|�~�� k 0�q 4 ��� � 0 � 4 ���J�3�b�����^��|J�D�

� 0 � 4 p � k 0�q 4�x|�¡����3�3�x���5~b���x~�~b�J�$�K��|�¤��3���b���=|$1)��~ ���K�K|/~b���k���.�K���,�x|�¡��=��� 1��x���b�J����|J�k������������~b�3�������=��¤=�K|V1��

q p ' 0 � 4���J�3�b�

' 0 � 4 p � rut kt k{v0y rut k�����`~b�#�x���x~b�J�B����������¡"¡J�BA5�K���K|�~b���D~����=|/�������K~

[[ �

� 0 � 4 p [[ � �

k 0 ' 0 � 4 4 p � �k 0 ' 0 � 4 4 ' � 0 � 4���J�3�b�

' � 0 � 4 p ft k{v0y rut k

� �.~b~b��|J�%��~�~b���=��~��J�K����������~�~��J�$���=|�¤��K�#�b���=|"�b�����^�B����~��J� ���#� ~��=��¡.�3��¡.�K����¤D�x~b��¤����H�����K��������������|J�9�B�����

� � 0 � 4 p ft k{v0y rut k � �k 0 ' 0 � 4 4 p

ft k{v0y rut k � �k 0�q 4 ~ � � �

z��0�H�k���=|�~b��|����^�=�J��¡.� A)�3�b�3|�~b���D~b����|����^�=��~[ �[ � � � 0 � 4 p [

[ � ��k 0 ' 0 � 4 4 ' � 0 � 4 p � � �k 0 ' 0 � 4 4 ' � 0 � 4 � z � �k 0 ' 0 � 4 4 ' � � 0 � 4

��|�¡/���k�K��|������b�����"���=���J�.~b�' � � 0 � 4 p [

[ �� ft k{v0y rut k � p �

6��21�� ~��¦~��.~b��|J�R1��=�#�"��|�~����=�J�����=���J�.~��x~b����|��H�k�=��~�~b���$����|�¤=�K�#�`����|"���J�����H�����K���^����������|J���B�����

� � � 0 � 4 p � ft kwv0y rSt k �

�� � �k 0 ' 0 � 4 4 p � f

t k{v0y rut k ��� � �k 0nq�4 ~ � * �

���"|J�D�i~b�J�k���x~`~��K���K|��`�J�=�J��¡ 1)�k�;1�¤����������x|�¡����k�K�x| �K��|��K����¡J�

� � 5 � 0 � 4 p � ft kwv0y rSt k �

5�� 5 �k 0 ' 0 � 4 4 p � f

t kwv�y rSt k �5�� 5 �k 0nq�4 ~ � @ �

Page 21: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� �;@

��5YX �Z=`C\A �W=@RW9PJ!AQ?7CD= ���x���%|J�D� �b����¡.� ~�� ~������%�=|N~��J�%~#���b�Z�x����|J��~$��|��b�K�b~b����|<� F ¤��3| ~b�J�=�J��� ~��J�"���3�b�J�¦~���|�� �x����������~b�J� ����G��J��~b��b�����J���$�x|�¡ 1����b�k�b�����G���3�b�K��1J���K|��K�G~���~b�J�$¡.�$�������������=�����¦~��J� ~ �b�K�$�8�J���3|�¡.�wc�� � �H��|J�3�3¡/~b��~������k��¡.��~����J�~b� �b¡.��¤���¡.��¡�¡J�BA5�K���K|��K�3�B�^��|����#¡.�K��~b���J���D¤��G~b���$�x����������~b�J���.�� + �+ ��BA, �@�L� ��������D���@�=� �k���1¤����`�=���G�B��|��'~����=|$+ 0nt 4 ��|�¡�����|��x~�¤����'~b�=�� p)�w�,���,� t k7� t kwv0y �,���,�,� t kwv0o��,���,� � � �J�3�b� t k � t k{v0y �^t k{v�o!J�=� �x���.¤D�x���J�3�¢���©�#� ��¡.����|J��~b�J��¡J��¤���¡.�3¡�¡.� A)�3�b�3|������=| +$���3�K�J�#�`��¤��3����� ��|�~b�J���B�=�����D����|��G�%�x|�|J�K���;#��J��3K�3�b� D ~��¡.��¤���¡.��¡�¡.�BA5�K���K|�������������¤��K| 1��

S k + p + 0nt k 4�x|�¡"�B�=�@d p f

S k�m kwv�y + p S kwv0y + 0nt k 4\r S k + 0�t k 4t kwv0y rSt k#��J�k�=�K|J�3�����<d>D ~���¡J��¤���¡.�3¡�¡.� A)�3�b�3|������W����¡.����|J�3¡V1��

S k�m m kwv0o + p S k�m m ���� �� m �������}m m kwv�o + r S k�m m ���� ��}m ������� m m k{v�o +t��Drut ���|������)���b~���|�~��J�����)�K�b~ ���x�@~b�J�k¡.��¤���¡.��¡�¡.� A5�K���K|��K��¥.���J���#�����^���b�^���=��|��$~b�����b��¥����H~b���x~���~������b�������K~b������¥/#��J������¢�3�=�`�����9�`�J�D��|<�Dz�~¢�B�������D����~��b��¤����������$��|9~��J�8�3���b�����<d p �J� �G�`��|J�����)�K�#�D~����¢|J��~��D~����=|���|�¡������`������|J�^~b���@d r f D ~��¡.��¤���¡.��¡�¡.�BA5�K���K|��������8�`��������~b�����8�B�=���x����d�e � ¥.�H��|J��~b������~b���D~

S k�m m ��m m ��m m k{v�o p S k{v0y}m m ��m m ��m m kwv�o r S knm m ��m m ��m m kwv�o�x<yt k{v�o rut kp S k{v0y}m m ��m m ��m m kwv�o r S knm m ��m m ��m m kwv�o�x<yt k{v�o rut kp S k�m m ��m m ��m m kwv0o#��J���������3���b���"�b�J�D���H~b���x~�~b�J�$¡.��¤���¡J�3¡�¡.� A)�3�b�3|����������`��������~��b���x�

.�� + ��( MH��Bw0�@����)�<���12 ;� �<<�x~b�3�8��| ���$�������@���b��<,�3��|�� 3 DJ�B����� ������¥��b�%�H�9�������@�`~��x~b�$��~G�J�3�b�=¥�����~b�J�=�.~G���b���x� ¡.���$~b�/�`���=��� �K��|��b��¡.�K�#�D~����=|���x|�¡�1)�3�3�x���b��~b�����J�������)��� G��J�����3�¢�x|��x~b���K��¡.�4��|J��~b����|%����~��J�8¡.��¤���¡.��¡%¡.� A)�3�b�3|�����~����x|�~��J����|����H�����b�����b��|���� #������|=~��K���3�`~b��¡����3�=¡.�K���b�J���J��¡/�b�K�B�K��~b��� ( �,�B�=�����J�b����� �.z����������1¤�� ' 0nt 4 p + 0nt 4 - 0nt 4 ~��J�K|N<<�K�C1J|J�C3;D.�B�=�b�9�J�����`~��D~��3�

S knm m k{v�o ' p k{v�o�� � k S knm m � +/S �£m m k{v�o - ~ � ���

���! �"�#�"%$&#�"('&)� *"+#!,-$�.0/!)�'21*"�354*"6)� *"61*7 8071*"+191*7 :;"+#�"�4�<�">=?/�"�"2@ A&BDC�FEG"6 *$�8H"(7I>4*'>#�"�1J)K *"(<�$&/K"6L ��MON+N+N0M L �w­QP =�/K"+"2@ A&B�RS'>#�1*"�)T$&7U/�C

Page 22: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � �

.�� + � + � �@� �@;@���5EFS���;��.�3?���<<�x~b�3����|��H���������,���`�k���#�D~b���K���B�J|J|���� G����D~����=|

� p 0nt k rSt k{v�o 4 S k�m m k{v�o z 0�t 5 rut k 4 S knm m k{v�o�xPy}m 5 z 0nt k{v�o rut 5 4 S 5£m k{v0y m m k{v�o ~ �;� �!J�=�¢|J�D�4�����������.~b���k~����b�J�D�:~����D~¢~��J�����B�J|J|�� � G=���D~b����|9���0��|.��=�'~¢~b���J�=� <,��~ ���¢� ~#�x�b~0�=�.~�1��$���b��|J�^~��J��¡.����|��¦~����=|�x��~b����¡J��¤���¡.�3¡�¡.� A)�3�b�3|���������|�~b�����B�J|J|���� G=���D~b����| ~ � � � h� p 0�t k rut kwv0o 4 S k�m m kwv�o z 0nt 5 rut k 4 S k{v0y m m kwv0o�x<y m 5 r S k�m m k{v�o�xPyt 5 rSt k z 0nt k{v�o rut 5 4 S kwv�y}m m k{v�o r S 5 m kwv0y m m kwv0o�x<yt k{v�o rut 50H���3�x|���|J���J���=��¤=�3�����

� p S knm m k{v�o z S k{v0y m m kwv�o�x<y m 5 r S 5£m k{v0y m m k{v�o�xPyt k rut kwv0o r S kwv0y m m kwv0o r S k�m m kwv�o�x<yt kwv0o rut k�����b��������~��b���x��~b�J�$¡.��¤���¡J�3¡�¡.� A)�3�b�3|��������^���1¤��

S kwv�y}m m k{v�o�xPy}m 5�p S 5 m kwv0y m m kwv0o�x<y�b�k���J���b�3�K��|�¡9~��K���£¤D�x|����b�J�3�¢�B�b�=� ����� � G����x~b����|,� � �D� ����������|J�k�D~ ~��J��~��J���#¡�~b�3�b� �����b�������=|J�C3K��~b�J�G¡.����|��¦~����=|�x��~b����¡J��¤���¡.�3¡�¡.� A)�3�b�3|����=¥.~b���D~����,h

S knm m k{v�o p S k{v0y m m k{v�o r S knm m k{v�o�x<yt k{v�o rut k6���~b��� �����`~��x|�¡/~b�����#¡"~��K���%���K�x|����K�5�����#���x~b���K�����.~�¥��x|�¡������������3¡.���D~��K�����b�K�^~b���x~�~b�J���B�J|�|���� G����D~����=| ~ �;� �����~b���J���

.�� + � , � �@���%�9�@?�@�.�1E O$!#CK�0 ?�@��O��JC3?C �<;��@���3�)�#��J���J|J|J�=�b�%�����C3K��¡|d D ~b�����#¡.�K�����}�b�J����|J�"1����b���,�B�J|��'~b����| � k�m o ¥D�x���`�^�K�x�����3¡k~��J�����#¡.��|��x���^�H�}�`�J����|J�1����b���<�B�J|���~b����|,¥����¡.����|��3¡��b�����J�#�b��¤=�K�����/#��J��������¤=�K���"�`���������x��~��%� G����x~b����| ~ ��� � �k���1¤��^�B���@d�e f�h

��k�m oOp qsrut kt k{v�o rSt k ��k�m o�x<yDz�t k{v�o ruqt k{v�o rut k ��k{v0y m o�x<y ~ � % ��x|�¡"�B�=�@d p fih

� k�m y p � y��� ��� xQ��� ��� t k\� q���t kwv0y� �x~��J�K�������`�#��J�k�=�b��¡.��|��x���%���}�b�J����|J�T1��=�`���H�B�J|���~b����| �K��|V1)��~b���b|J��¡���|�~b��~��J�k|J�����%�x��� 33�3¡/���}�b�J����|J� 1��=�`�����B�J|���~b����|

j knm o p 0nt k{v�o rut k 4 � knm o ~ � ( �#��J�������%�����������b�����:¤��3�b� ����¡ 1�� �`~b�#�x������~`�B�=�b���x�#¡:���=���J�.~��x~b����| �x|�¡F���=�����x�����b���=| ����~b�F~b�J� ¡J����|J��~b����| �x�G~b�J�|J�=�b�%�x���C3K�3¡/�H���b�J����|J�T1����b���H�B�J|���~b����| ~ �b�K�k� G����D~����=| ~ ���7� � ���x~��������x����~��J����~b�%¡.�����¦~�� ¡.��¤���¡.�3¡�¡.� A5�K���K|��K�3� �kz��0�H���J���#�����`�)�3�K��������|J�D��|��B��|��'~����=|��^�B����+

+ 0nt 4 p � � �¦� t � q0�t�ruq�4 o�xPy �¦� t e q ��~b�4�=�J� �#�J�=���K����� + ~b�J� d D ~b�4¡.��¤���¡.��¡:¡.� A)�3�b�3|����"�K�����b���`�)��|�¡��^~b� ~��J�"���#¡.��|��x���Sd D ~b�:�=��¡J�K�$�H���b�J����|��R1����b���

�B�J|���~b����|,¥J~b���x~����� knm o p S k�m m kwv�o� 0nt�ruq 4 o�x<y� ��� ~ � ' �

��� '&)�7<�" , "6 5$�8H"(1*"�354*"+1� 1*7 :;"�#�"+4 )�U .9)� 5$&4J74G@ A�=��>BDC

Page 23: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � �

�J�3�b���������1¤��9�=¡.���J~b�3¡Z~b���%|J�x~#�D~b����| � 0�t�rSq�4 o�xPy ��� ~��������x| 0nt r¨q 4 o�x<y ��� t e q ��|�¡u�/��~b�J�3�b�����b��� ��������,|��D� ~b���%~����b�J�D�i~b�J����1��"��|�¡.����~b����|��k�=|�dZ�E!������`~��H���;1��`�3�b¤=�8~����D~��B�=�@d p f��H�����1¤=���k�m y�p S k�m kwv�y � 0nt�rSq�4 �� � � p S k{v0y � 0nt�ruq 4

� ��� r S k � 0nt�ruq 4 � ���t kwv0y rSt k p � 0�t kwv�y ruq 4 � ��� r � 0nt k ruq 4 � ���t k{v0y rut k� �D�p�¦� q�� t k ~b�J�3|� k�m y p 0nt k{v0y ruq 4 � r 0�t k ruq 4 �t kwv0y rSt k p f r ft k{v0y rut k p �

z�� t k � q���t k{v0y ~b�J�3|� k�m y p 0�t kwv0y rSq�4 � r �t kwv�y rSt k p f r �t kwv0y rSt k p

ft kwv�y rSt k

��|�¡ ��|��x�������¦� q � t kwv0y ~��J�K|�¨knm y`p � r �t kwv�y rSt k p �

6������$�K�x|����=|�������¡.�^~����D~�� G=���D~b����| ~ � ' � ����~b���J�k���J�3|�d p f�� � �D�i����~������=�b�b�J���^~b���x~�� G����x~b����| ~ � ' � ����~��b����B���@d p d r f=¥J�x|�¡/~��������%�����=�b�G�������"�=|�~��J�k� G����x~b����|Ph

� 0nt�rSq�4 o�x<y ��� p 0�t�ruq�4 � 0�t�rSq�4 o�x � ��� �$�K�x|/~b����|J�/�x��~b�J�����=��~��J�k�J���.¡.���'~����<~ �����B�J|��'~����=|��3¥��`������~�����~��b��~b�����b��<,�3� 1J|�� 3 D��B����� �J��� ~ � ��� ��|��¦~��S knm m k{v�o � 0nt�ruq 4 o�x<y � � p S k 0nt�ruq 4 S k�m m kwv0o � 0�t�ruq�4 o�x �� ��� ~ � �W�z S knm k{v0y 0nt�rSq�4 S k{v0y}m m k{v�o � 0nt�rSq�4 o�xb� � �z S knm m k{vP� 0�t0ruq�4 S kwv���m m k{v�o � 0nt�rSq�4 o�x � ���

! !"!z S knm m k{v�o 0nt�ruq 4 S kwv�o � 0nt�ruq 4 o�xb� ���� �D� 1���� ~��������=��~`�B�������x�#¡"���=�����.~��x~b����|��H�����1¤=�S k 0nt�ruq 4 p 0nt k ruq 4

S knm k{v0y 0nt�ruq 4 p 0nt k{v0y ruq 4�r 0nt k rSq�4t k{v0y rut k p fS k�m m k{vP� 0nt�ruq 4 p S k{v0y m kwv�� 0�t�ruq�4�r S k�m kwv0y 0nt�ruq 4t kwvP� rSt k p f r ft kwv�� r[t k p �!"! ! !"!"!S k�m m kwv0o 0nt�ruq 4 p �

�8�b��|J��~b�J���`�k���3�b�J��~���� G����x~b����| ~ � ��� �b��¡.���K�3��~b�S knm m k{v�o � 0nt�rSq�4 o�xPy ��� p 0�t k ruq 4 S k�m m kwv0o � 0�t�ruq�4 o�x � ��� z S kwv�y}m m k{v�o � 0nt�rSq�4 o�x � ��� ~ � 8i�

���%~b���$¡.����|��¦~����=|����@~��J�|d D ~b� ¡.��¤���¡.��¡/¡J�BA5�K���K|��K�k�H�����1¤=�S knm m k{v�oOp S k{v0y m m k{v�o r S knm m k{v�o�x<yt k{v�o rut k� �J��~b���J������|J�R1�� 0�t k ruq 4 �=��¤=�3�����

0nt k rSq�4 S k�m m kwv�oOp 0�t k ruq 40nt k{v�o rut k 4 0 S kwv0y m m kwv0o r S k�m m k{v�o�xPy 4

��� '&)�" )K 5$�) 7 R ,-"��*/�" )K �"61*"�354*7 )�7'>4 '&R � 74 @ A*=���B�)� *"+49)� *"��5$&/K"6<�$&/K" ,!7UU $&U ,�$�.0/�R $&7U C

Page 24: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � %

6��21�� ~��¦~��.~b��|J��~b��������|�~b�%� G=���D~b����| ~ � 8�� �����3��¡��S k�m m k{v�o � 0�t�ruq�4 o�xPy ��� p 0nt k ruq�4

0nt k{v�o rut k 4 � S k{v0y m m kwv�o � 0nt�ruq 4 o�xb� � � r S knm m k{v�o�x<y � 0�t�rSq�4 o�x � �����z S k{v0y}m m k{v�o � 0nt�r[q 4 o�xb� � �� �D� 1��"��|�¡.���'~����=|�~b�J�������3��|���~b���x~��H�����1¤=���k�m oYp 0nt k ruq 4

0nt k{v�o rut k 4 0 ��k{v0y}m o�x<y r ��k�m o�x<y 4 z �¨kwv0y m o�xPy� ���x������|J����|J�$~��J��~b�3�b�%��~��J����� G����D~����=|��3�x|V1��k���K������~`~b�3|/��|�~b�

� k�m o p qsrut kt k{v�o rut k � y m o�x<y z t k{v�o ruqt k{v�o rut k � k{v0y m o�x<y���.~�~b����������~��J� ¡.�4��|J��~b����|��x� ��k�m o ¥J���J���#�������x|���~����D~����k���1¤=�G�J���D¤��3|�~��J�$���=�b���3�b�)��|�¡.�3|����^�x� ��k�m o ��|�¡/~b�J�d D ~b� ¡.��¤���¡.��¡�¡.�BA5�K���K|������.�� + � . � �@� � ����������C��=�1���)� V/ I)���D�3��2z}�%�x�=��|J�^~����D~�������|��b�K�b~���|J�K� ��|J�x~�¤D�x���J��¥ t�� ¥J��|�~b��~b���k��|��x~�¤����'~b�=�3¥!� ¥������K���

t � � t � ��t �£v0y#��J�3|��������K~���|J�3�p��|J��~�¤��3��~b�=� �

� p%�w�,���,� t � � t � � t � v0y ���,�,��� t � v�o �,���,� � �IU1��b�K��¤��G~b���x~ �

t k p��� t k ����� � )t�� ����� p ) z ft k�x<y ����� e ) z fz�� ���k���1¤��$�%|���|��J|J���B����� �H�}�`�J����|J��¥ � 0nq�4 ¥�¡J����|J��¡ ��|�� ~��J�K| ���$���x|�~�~b�R��|�¡ �%|J�3�M|J��|��J|J���B����� �H�}�`������|J��¥�� 0nq�4 ¥�¡.����|��3¡���|

��k¥��b���#��~����D~

� 0�q 4 p�� 0nq�4

�B�����x����¤D�����J������� q ��z��,���8�����=���x~�~��J�^¡J����|J��~b����|��x��~b���8|J�=|���|J�¦�B�=�b� �H�}�`�J����|J��~b���������3��|��¢~����D~��H�8���1¤���~�����|�¡�x���

�� k D ���b���#��~����D~ �

� k � � j k�m o���k p��v0y� k � �

�j knm o

���k

�J�3�b��~��J� ���x~`��|J�x~#�D~b����|<¥ ���3�x|���~b���x~"~b��� G����x|�~b��~ � ���"¡.�4��|J��¡ ���¦~��{�b���`�)�3��~%~b���k� � �3�3�x����~b���x~ j|k�m o �����

�b�J�J�)���b~��=|�~b�J�k��|J��~�¤D�����J��� t k ���,����� t k{v�o �E#������������x|���~����D~ t�� �=|J�����9A5�3��~���~b���T1����b�����B��|��'~����=|��j �,x o v0y m o ���,�,�,�£j �£m o6���|���� � 0�q 4 ��|�¡

�� 0nq�4 �`�J�=�J��¡/���1¤��G~b�J�$���x���k�`���x�)�^���k�K��|��K��|��K����¡J��~b���x~�

j k p � j k �¦��� � ) r d z fj knxPy �¦���De ) z f!J�����§���J���#����~��B�������D���H~����D~������ ���`~����1¤���

��k p � ��k ����� � ) r d z f� knxPy �����Ne ) z f

Page 25: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � (

� �D�i~b�J�������3�1¤=�3����������~b��~b�J�k���b� 1J���3� �x�¢¡.�K~b�K������|���|J��~��J��� k D ���`���#��~����D~

��k � ��x<o v0y j k�m o �0k p

� v0y�k � ��x<o v0y

�j k�m o

��0k ~ � � �

#@���b����¤��^~��J�����J�b� 1J���K� ���k��������~��b�%~��%���b��~b� j ��|/~��K���%���x��j �E#@���=�K�K�����J�����b��~��J�����H�k��������~b�J��|=1����#�"~b��~b�J�

�B�J|J|��/� G����D~����=| ~ �;� � �E<,�K~������b��~ t 5 p t�� ��|�¡��b���x������|J����~��J�k� G����x~b����|,�2#����K|��H�����1¤=�0nt k{v�o rut k 4 S knm m k{v�oOp 0�t � rut k 4 S k�m m k{v�o�x<y m � z 0nt k{v�o rut � 4 S � m k{v0y m m kwv0o

�8�b��|J��� G����D~����=| ~ � ' � ���k���K~��B�����x����¤D�x���J�3������� p ) r d z f^~b� )��0nt k{v�o rut k 4 ��knm oOp 0nt � rSt k 4

���k�m o`z 0�t kwv0o rSt � 4

���k{v0y m o

<,�K~��������=|�¤��K�b~�~b�J� � �m~b�3�b�%����|=~�� j �?~��K���%��1������`��|J��� G����x~b����| ~ � ( �j knm o p t � rSt k�

t kwv0o r�t k�j k�m o z t kwv0o rSt ��

t k{v�o v0y r�t k{v0y

�j k{v0y}m o

� �D�:�����H�=�J��¡ ��������~b���`���¦� ~¢|J��~��D~����=|k�B����� ����¡$��|J��~@¤D�x���J���@��|�~b�^|J�K� ��|��x~0¤1�������3�3¥3�����3�x|�¡.��~��J���)1����;1��`�3�b¤���|J�~b���D~��B������|��"¤D�x���J���x��� p ) r d z f�~b� )9�H�k���1¤=�

t k p�t k �x|�¡ t k{v�o p

�t k{v�o v0y

6������^�3|�¡��J�����¦~�� j knm o p t���r�t k�

t kwv0o r�t k�j k�m o z

�t k{v�o v�y rut���t k{v�o v0y r

�t k{v0y

�j k{v0y}m o

� �D�p���K~�����~b���"~������`��~��J����~b�%���K�����¦~��G~��J��~b�3�b�%����|�~b�J�$�b�J���%�D~b����|��x� � 0nq�4 ¥�~b���x~�����

�k � ��x<o v0y j k�m o��0k p�

�k � �,x o v0y� t � r

�t k�

t k{v�o r�t k�j k�m o z

�t kwv�o�v0y rut ��t k{v�o v�y r

�t kwv0y

�j k{v0y m o � �0k

� �D�p���K~����������¦~��k���.~�~b���$�`�J���%�D~����=|�

�k � �,x o v�y j k�m o���k p � t � r�t �,x o v0y�

t �£v�y r�t �,x o v�y

�j �,x o�v0y}m o z

�t � vP� rSt ��

t �£v�� r�t �,x o�vP�

�j ��x<o vP�,m o � � �,x o v�y

z � t���r�t �,x o v���

t � vP� r�t ��x<o vP�

�j ��x<o vP�,m o�z

�t � v � rut���

t � v � r�t ��x<o v �

�j ��x<o v �,m o � � ��x<o vP�

! !"!z � t���r�t ��

t � v�o r�t ��j �£m o z

�t � v�o v�y rSt���t � v�o v0y r

�t � v0y

�j �£v0y m o � � �

� ���K�x���=~b���x~ t�� p�t �£v�y ¥����¦~��$~b�����@��|J�D������¡.�����H�H�������3¡.���D~��K���k�`�3� ~b���D~��b�����H�x�.~b�����B�#����~b����|��<��|k~��J���`�J���%�D~����=|1)�3���=����f=�

��k � �,x o v�y j k�m o���k p � �j �,x o v�y}m o z

�t �£vP� rSt���

t �£vP� r�t �,x o vP�

�j �,x o v���m o � � �,x o v0y

z � t���r�t �,x o v���

t � vP� r�t ��x<o vP�

�j ��x<o vP�,m o�z

�t � v � rut���

t � v � r�t ��x<o v �

�j ��x<o v �,m o � � ��x<o vP�

! !"!z � t���r�t ��

t � v�o r�t ��j �£m o�z

�j �£v0y m o � � �

Page 26: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �Y� � � � �Y�0����� �5�O����� �U�� � � � ��� � '

� �D�p���K~��������K�����¦~��^�=|������������^~b�%���=�����3��~�~b�3�b�%���x��� G�������j

��k � ��x<o v0y j|k�m o � k p

�j ��x<o v0y m o � �,x o v�yz�j ��x<o vP�,m o �

�t � vP� r[t���

t � vP� r�t �,x o�vP� � ��x<o v0y z t���r

�t �,x o v���

t � vP� r�t ��x<o vP� � �,x o vP���!"! !z

�j �£m o �

�t �£v�o rut ��t �£v0o r

�t � � �,x<y z t � r

�t ��

t �£v0o r�t � � � �z

�j �£v�y}m o � �

IU1��b�K��¤��8~b���x~����^|J�D� ���1¤=�G���`�J���%�D~����=|/�D¤=�K�

�j k � ���`~��������^�H�^���x|�~b��¡"��|/� G=���D~b����| ~ � � � �������H�^|J�K��¡�|��D� ���

~b�%�%������~b����|J���8�����¦~b~b���$�������k|J�����k�����=����|J��� � ¡.��~b�����51�� ���#� ~��,c����b���b�b��|��9~��J�k�B�#����~b����|�����|�~b�3�b�%������� ��|�¡|J��~

��k�

��k � ��x<o v0y j|k�m o � k p

�j ��x<o v0y m o � �,x o v�yz�j ��x<o vP�,m o � t � v0y r[t��t � v0y rSt �,x o�vP� � ��x<o v0y z t���rSt �,x o v��t � v0y rut ��x<o vP� � �,x o vP� �!"! !z�j �£m o � t �£v�o�x<y rut��t �£v0o�x<y rut � � �,x<yNz t���rut �t �£v0o�x<y rut � � � �z�j �£v�y}m o � �

!���|��x�����"���k����������|�~b����¡J������~��J��|J�x~#�D~b����| � k p t���rSt kt k{v�o�xPy rut k!J�����§���J���#�������;1��b�K��¤��G~b���x~

0 f r ��k 4 p�t kwv0o�x<y rSt��t kwv0o�x<y rSt k ��~b��~b�J�k|��K� |J�x~#�D~b����|��D~�����|�¡��H�����1¤=��

�k � �,x o v�y jlknm o � k p�j �,x o v0y m o � ��x<o v0yz�j �,x o v���m o 0 0 f r � �,x o v�� 4 � �,x o v0y z�� ��x<o vP� � �,x o�vP� 4

! !"!z�j �£m o 0 0 f r � � 4 � �,x<y z � ��� � 4z�j � v0y m o � �

!J�����§���J���#�����k����|�������¡.�^~b���x~�~b�J�$�b�����.~����=|�~���� G����D~����=| ~ � � � ������k p �� ��k ����� p ) r d z f

0 f r � k 4 ��knxPy z�� k �0k ����) r d z ��� � � )� k�x<y ����� p ) z f

� �.~b~b��|J�%��~8�x����~b�=����~��J�K�����$�K��|/|J�D� � ~#�D~��G~��J�k��|J�x~���|��b�K�b~b����|��x����������~b�J��� �k���1¤���� 0�q 4 p

��v0y� k � �

�j knm o

��0k

Page 27: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �����Y� � � ��P��� ���@�T� �H� � ��� �6� � � � �����~b�

�� k0p 0 f r ��k 4 � k�x<yNz ��k � k �J�3�b�

��k0p �� f ����� � ) r d z f���,x � �� � ���> �� x ��� ����) r d z �l� � � )� ����� � ) z fz��,���8���=�����x����~b�J�^�x�����=�b��~b�J�£���¦~��%~b���G¡.�^�H���=���x�����=�b��~b�J� ~ �b�K�^���J�)�K|�¡J��c"� � ~b���K|"�����������5¡.���b�K�D¤��K�0~����D~H~b�J�|J�3�������K�����J�.~��3¡����=|�~b�����5���=��|�~#�����=�b���3�b���=|�¡%~���~b�J��~��J�$¡.�$�����������=��|�~#� � y� � � y�,x<y �,�,����� � y�,x o vP� �� � � � � �'��+�. ���� � ����� ��� � $ # . ��+��z}|�~b�J�����b�3¤����������b�3��~b����|��H���,c���������|J��¡ ���D�4~b�����`�J����|J�����=�J��¡�1)��¡.�3�K���������`��¡ ��|�~b�k���`� G��J�K|��K���x� 1�� 3K���K� �����b¤=�3�3�6��=���K~b�����3�^�H���x��� ��|�~b�K�����3�`~b�3¡ ��| G=�����#����� ��|�¡.��|J��~��J� 1�� 3K���K�����J��¤����`�3�����K|�~����J���#�Z���=�b���3�b���=|�¡J��~b���"����¤��3|�x�#�^���3|J�x~��/¤D�����J�$�����=|J�9~b�J�$�b�J����|J� � 0�q 4 �E!J�=����|�� ~#�x|��K�^���0�H�k¡.�%�b�J����|J�$¡.����¤��K|��x|����%�D~����=|,�6�~#�D~b��¡��%�D~b���K�%�D~����3�x�������H�^�x��������¤��3|"�x|"�x�#�����K|J��~b�%¤D�x���J� � ��|�¡����8�x����|J�D� �����=����|J���B�=� ~��J�51)�433���3���K�J�b¤=��b�K�����3|=~ � k ¥J�b���#�/~b���x~ �

0�t k 4 � � � �0nt k{v0y 4

IG|J�����1�N~�� G=�����#�����4¡.��~��K������|J��~b��� ���J��¤����`�3�����K|�~���� 1��4���`��|J� �x| ���K�K�J� �����x~b�3¡F�x�#�����K|��x~b�F~��;1J����� ��� ~��K����1¤���|J� �B���J|�¡ ~��J�Z¡.�����=���)�=�b��~b����| �x��~b��� �`�J����|J� ��|=~�� 1�� 3K���K�����J��¤�� �b�K�����3|=~#�K¥�� � �,�,���,� � ��xPy ¥¢~��J���%~��;1J��� ����3�=�`�������K��|��`~b�����'~��3¡ 1����������J�J~b��|J�k~b����~b��~������x�#�����K|J��~b�"�����3���#�R1)�433���3�H�K�J�b¤=�8�b�K�����3|=~

�� � �x|�¡�����~b~b��|J� �3|�~b���l�

�`~b�����G~b�J��¤D�x���J�� k�x<y5 � ����� � �k�K�x|/|J�D� �)�K�b�B�����§�9����|J�3�����`���x�#�#�%~b�J���������/~b�J�^~��;1J���G~�� ��|�¡/~b�J�k�b�K�����3|=~����

�x���^����������|J���B����¥������K¤=�K|V1��K~`~��K�������3�x|�¡.�%��1J��|��x���"�`���x�#�#�,�/#��J���B�������D����|J�����b�K��¡.�%�K��¡J���b�J�D�����J�D� � ����|��3�x��b�3�x�#�#�/�3�x|V1��$¡J��|J�=�

����������� ���>� � ��C �+N�� '��M�'��+"� �+%����R��)+6 TF������.+."T

� �+���� ' �-� �&����'��+�+ �+#����Q� '"4H�07�����%�T�+9+9 T��'����� �R��T

W ��FE���������&�0 ���

#��J���¢�`�=�`~¢���5�`~b�#�D~��K��� ��� �����b�^��|��D��|���|�¡.�K�0~��J��|��������=�K�K�J� �J���D~��3¡��#�J���#¡9���3|J�x~�����|�¡��¦~��K�����3�0��|"¡.� A)�3�b�3|�~� �1¤=���#�K¥ 1J�.~�~��J�T1����b���G��¡.���%� ~��������b�3�%�x��|���~b�J�$���x���=�2!J�������=�b�k¡.�K~��x������� 1)���.~�~��J���x~b���K�D� � �1¤��=���B�G�`�3� � � �m�� #%$ ��� �� ��+,.O� �� ���,��� ��� � ��� �9�O� � & (E��*�+��4� �z}|/~b�J�����`���'~����=|����G���������������%�D~����`�E1)�K���=�b���x�<~b�J�k�H���b�J����|��3�3¥��������#��������|J�D��|������b�3���J���x���H���b�J����|��3�3���p���K����������H���b�J����|��8����¡J����|J��¡$1��%���1¤���|J�$|J�=|23K�3�b� �����`~H�=��¡J�K��¡.�K����¤D�x~b��¤��3�H�K¤=�K�������J�K����� � �K�����������H�}�`�J����|J�3���x���8���b���B�����)�B���¡.���b�K�b�C1J��|J�$���J���.�`���K���J���3�x|���|J���B�J�������x~����=|,�;#����x~����¢~b�J�8�K�K|�~b�3� �x���%�����0~������ �3�'~������$�x�,�����3���J�H�=�b��¡9�;1!� ���'~ ~ �`�3��B������|��`~���|���� � � � � �z}|"~��J�����`���'~b����|��H�^�������5�B����� �����x~b�G¡J�BA5�K���K|�~�����|�¡.�¦~����=|�����|/�J�D� ��|��^�b�J������¡/¡.����|��^���H���b�J����|J���b���#�"~����D~��¦~

�����J��¡ 1)�$���b�3���J���x���H�}�`�J����|J��� �k�������,�=|J���/����|��`��¡.�K���K�21J���k���}�b�J����|J���K�

Page 28: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P�:��� � � ���� �Y� � � � �����s��� � ��� � ��� �� � �P� � 8

� 576 ]�?BJ©RiA���J©G`9PJ 8:9PJL?$Z�E�AQ?�Z 9�R[E�A �g=@C\A��KE\X£_`9�R<,�K~�����¡.�3�b��¤��k�x|�� G����x~b����|/�B����~��J�$¡.�K����¤1�x~b��¤��k�D~�~��J�k��|J�x~�¤D�x���J� t k

� � 0�t k 4 p j �k�x9�,m � ��k�x9� z^j �k�xb�,m � ��k�xb� z^j �k�x<y m � ��knxPy z^j �k�m � ��kp � �

t k rut k�x9� j k�x9�,m � r�

t k{v0y rut k�xb� j knx ��m ��� �0k�x9� z� �t k{v0y rut knx � jlknx ��m � r

�t k{vP� rut knxPy jlknxPy}m ��� � k�xb��z� �

t k{vP� rut knxPy j knxPy}m � r�

t k{v � rut k j knm ��� �0k�x<y z� �t k{v � rut k jlknm � r

�t k{v � rut kwv�y j|k{v0y m ��� � k

� ���K�x����~b���x~ j k�x9�,m � p ���x|�¡ j k{v0y m � p ���b��|������H���x��������������|J�G�x~0~b�J��� D ~��9��|J��~¢¤1�������H���)�G~b�J���#¡ �=��¡.�3���H�}�`������|J����8�b��|J��~b�J������|J�D�����3¡.�=�G���$�K��|/���K�����¦~��G�=�J��� G����x~b����|���|�~��9~��J���B�������D����|J�%�b�J�§����¡.� A5�K���K|��K�3�

� � 0nt k 4 p ��j|k�xb�,m �t k{v0y rut knx � 0 �0k�xb� r ��knx � 4 z��j k�x<y m �t k{vP� rut knxPy 0 � k�x<y r � knx � 4 z��j|k�m �t k{v � rut k0 �0k r ��knxPy 4

<,�K~������3¤1�������D~b�8~b�J�O1��=�`���¢�B�J|��'~b����|��1������b��|��9¡.��0H��c>D �H¡.����|��¦~����=| ~ �b�K�G� G����x~b����| ~ ���7� ¥=���G�`~����`~"1�������������|J�9�x~j k�m � ��

� xQ������ ��� xQ��� j|k�m y� xQ���� � ��� xQ� � j k�m �� ��� �� x �� � ���xQ� � ��� jlkwv�y}m yj knm � �

� x ��� ������ �� xQ��� ��� jlkwv�y}m y��� �� x ���� �� xQ��� ��� jlkwv�y}m �

��� �� x ���� �� xQ��� ��� j kwv���m y� ���K�x���5~b���D~���|���� j knm y ����|J�=|23K�3�b�9�B��� q p t k � !J����� ~��J�����H�k�b�K�^~b���x~ j k�m � �����������1�.�H33�K����� � �D�i����~��������������x~j k�x<y m �

�� xQ��� ����� xQ��� �� j knxPy}m y� x � � ��

� � ���}xQ� � �� j k�x<y m �� � � ���}x �

� � ���}xQ� � j k�m yj knxPy}m � �

� xQ� ���� ��� xQ��� j k�m y� � ���x �� � ���xQ� � j knm �

� � ��,x �� � ��� x � � ��� j kwv0y m y

6��K~`~b��|J� q p t k �H�$�b�K�^~����D~ j|k�x<y m ��p t k rut knxPyt k{v0y rut k�x<y � �!���|��x�����"���k��|����"���1¤��G~b�%�K¤D�������x~b� j k�xb�,m �

Page 29: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P�:��� � � ���� �Y� � � � �����s��� � ��� � ��� �� � �P� � ��

� xQ��� ���� �� x ��� � j|k�xb�,m y� xQ��� �

���¦x ��� � jlknx ��m �� ���Bx �� � xQ� � �� jlknxPy}m yj k�xb�,m � �

� xQ��� ����� xQ��� �� jlknxPy}m y��� ��� x �

��� ��� x ��� �� j|k�x<y m � ��� ��� x �

��� ��� xQ��� j k�m y�����x��|/�������1¤�� q p t k ¥���|�¡/�B�b�=� ~b���������k���=|�������¡.�^~b���D~j k�xb�,m � p t k{v0y rut kt k{v0y rut k�x<y � �6��21�� ~��¦~��.~b��|J��~b���T1����b�����B��|��'~����=|������ � ��� ~��B�=�J|�¡���|�~��%���J��� G����x~b����|/�B����~��J� ���#� ~��=��¡.�3��¡.�K����¤D�x~b��¤��^�H�k� 1.~�����|

� � 0nt k 4 p �t k{v0y rut k�x<y

� t k{v0y rut kt k{v0y rut k�xb� 0 � k�xb� r � knx � 4 z t k rSt k�x<yt k{vP� rut knxPy 0 � k�x<y r � knx � 4 �z����H�����x|�~��3¡9~b�k�%�x�=� � � 0�t k 4 � G����x�J~b��33�K���^���D� �K���J��¡��H��~��J�K|%�=�$� 1)���.~¢~��J��� �U!J����� �=�J� � G=���D~b����|������K��|�1���`~b�#�x������~`�B�=�b���x�#¡"��|��b�����'~b����| ¡J�K����¤=��~b�J�k�B�=�����D����|J�"���=�������K~b�$�����`~8���¢�K��|�¡J�¦~����=|��K¥����J���#� �������<�%�x�=� � � 0�t k 4 � G����x�~b� 33�K���

��0k�x<y p �0k�xb� p ��knx �

��0k�x<y p �0k�xb� �x|�¡ t kwv�y p t k

�� k�xb��p � k�x9� �x|�¡ t k0p t k�x<y

� t kwv0y�p t k0p t knxPy�#��J�O��|��x�@����|�¡.�¦~����=|/����� 1J��~��������^¡.���"���J��~�~���¡J�K����¤=�

� p t kwv�y rSt kt k{v0y rut k�xb� 0 � k�xb� r � knx � 4 z t k rSt k�x<yt k{vP� rut knxPy 0 � k�x<y r � knx � 4!J����� ���J���#���H�����K~

r 0�t kwv0y rSt k 4�0nt k{vP� rSt k�x<y 40�t kwv0y rSt k�xb� 4 0nt k rSt k�x<y 4 0 � k�xb� r � k�x9� 4 p 0 � knxPy r � k�xb� 4#��J����~b�3���������H~b���x~H~��J�G~b�J���K���`���K����¡.��|J�9�K��|�~b���������=��|�~�� ��knx � ¥ ��knx � ��|�¡ ��knxPy �x���)���1¤���~��9�����^��|"~b�J���b���������|J���x|�¡$~b�J���%�x�=|J��~b��¡.����� 0 ��k�xb� r ��k�x9� 4 �9���`~)1)�����b�3�x���x��� �J��~b���J��������~��J��������|J��~b��¡.���x� 0 �0k�x<y r �0k�xb� 4 � ��~b�Z�����<~b�J����~��J�K�=�b�/~b�"�=�J�8¡.���b�����b���<���$�`�J���K������|��D�p�J�D� ~����1¤��=��¡�~b���x~ � � 0nt k 4 �3¤��K�51������������P3K�3�b���B�=�8�x|����|J�x~�¤D�x���J��� � � 0nt k 4 �����x�����1�.��|J��|E3K�K���9�B�����x|��"��|J��~b¤D�x���J� t k ���@~��J���B�������D����|J��~b���b�3���K�b��~b�3�b���9�����B���B�������3¡��

� � � ����|J�x~�¤1�������^������� ���¦~����J��������~ �������3�x~b�J�3��~b����|��=|J���� �������<���=|=~��b�=�5���=��|�~������b���J|��CG����%�� �k|J�3¤��3�����1¤��G~b�J���K� ~ ����������� � �b���K�K�3¡.��|J�%���=|=~��b�=�5���=��|�~���������|��%��|/~b�J�$���x��������|J�=�

� ��~b� ~b���x~8�¦� ���$�J�J~G~��J����~b�J�3������~��"�J�#����~b���K�x�@���b�k~b�J�3| ��~G���8�b��������~b�������=�b� �b��� ~��b���'~���¤=��~b����| �¦~^|J�K��¡=1��=¥�~����D~�����¦~8¡.��������cJ������¡.�k�b�����k�`������|J�3�����1¤���|J��|J�=|23K�3�b�����#� ~����#¡.�3��¡.�K����¤D�x~b��¤��3�3�

Page 30: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P�:��� � � ���� �Y� � � � �����s��� � ��� � ��� �� � �P� � *

� 5 4 ]�?BJ©RiA���J©G`9PJ 8:9PJL?$Z�E�AQ?�Z 9�R �O9<A��[9P9�= �Z=`C\A��SE�X£_`9�R���N|��D� ���"���1¤=�����=���J���K~b�"��|J�D�����3¡J���"� 1)���J~9�J�D� �����K��|4����|�~��b�=� � � 0nq�4 �D~��x|��N��|J��~b¤D�x���J�=¥ t k ¥�1J�J~9�����x~�����J���3|���1)��~ ���K�3|�~��J�k��|J�x~�¤1�������3� �T#����D~������J�D� ¡.���H���K|��`�J���^~b���x~

� � 0�q 4 �p �!J�=���x| q ��¤D�x���J����|L1)��~��K���K�K|/~ ������|J��~b¤D�x���J��� �T#����D~����t k ��q��^t k{v0y<,�K~������`~��x�b~����b��~`~���|��%�J��~��J�k� G����x~b����|/�B��� � � 0nq�4 �x���x��|

� � 0nt k 4 p ��j k�xb�,m �t k{v0y rut knx � 0 �0k�xb� r ��knx � 4 z��j k�x<y m �t k{vP� rut knxPy 0 � k�x<y r � knx � 4 z��j k�m �t k{v � rut k 0 �0k r ��knxPy 4

��|�¡/���������J���K¤����=���b���"�����������,|J�D�i�K¤D�x�����D~���~b�J�T1����b���H�B�J|���~b����|��3�

j|k�xb�,m � p 0�t kwv0y rSq�4 �0 t k{v0y rut k 4 0�t kwv�y rSt k�x<y 4j k�x<y m � p 0 t k{v0y ruq 40 t k{v0y rut k 4 0nq3rSt k�x<y 4

0nt k{v0y rut knxPy 4 z 0 qsrut k 40�t k{v0y rut k 4 0nt

k{vP� ruq�40nt k{vP� rut k 4j|k�m � p 0 qsrSt k 4 �

0 t k{v0y rut k 4 0�t kwv�� rSt k 4!J�����§���J����|J�D�����3¡.�=�G���@~��J�k��|J�x~�¤=�3�'~����

t knxPy � t k � q���t kwv0y ��t k{vP� �^�3�x|/�K��|��K����¡.�8~����D~ j|k�m � ¥ j|k�x<y m � �x|�¡ j|k�xb�,m � ���b�^�x�����1�.�������`��~b��¤����x|�¡�|J�K¤=�K�"3K�3�b���L6��������H� G=���D~b����|��B���H~b�J����#� ~��=��¡.�3��¡.�K����¤D�x~b��¤����b��¡.���K�3��~b��~��J�k� G����x~b����|,�

� � 0nt k 4 p� 0 ��k�xb� r �0k�x9� 4 z� 0 �0k�x<y r ��knx � 4 z� 0 �0k r ��knxPy 4 �J�3�b�

�p � 0nt k{v0y ruq 4 �

0nt k{v0y rut k�xb� 4�0nt k{v0y rut k 4 0�t k{v0y rut knxPy 4 e��� p �

0nt k{vP� rut k�x<y 4� 0 t k{v0y ruq 4 0 qsrut knxPy 40 t kwv0y rSt k 4�0�t k{v0y rut k�x<y 4 z 0�qsrut k 4 0�t k{vP� ruq 4

0�t kwv0y rSt k 4�0 t kwvP� rSt k 4 � e �� p � 0�qsrSt k 4 �

0nt k{v � rut k 4�0�t k{v0y rut k 4 0�t k{vP� rut k 4 e�������,�������1¤�������� ~�~b�%¡.�%����~b�%�b����¤��^~b���k����|J�3�����`�.�`~b�3�

�S k�xb� z � S k�x<y z � S k p � �J�3�b�RS k�p � k r � k�x<y ��|�¡Z�b��|������H���x�����b����¡.�����1¤=�9¡.������¡.�3¡Z~b���x~k|J��|J���x�H~b�J�%�K��|�~b���������=��|�~#�k������|��K��¡.�������|J�D�4~����D~ ����� S k ���b��|J�=|23K�3�b����z}|��x~��J�K�¢�����#¡J�������K�x|���|����T��|�¡��^�b�����.~����=|9����~��J�5S k D �¢�x��������|J�3���b�9¡.�K�)�K|�¡J�K|�~3�

z}|N~b�J���K��¡.�����3|��b���=|����x|�¡Z�J���=�J�K����~k���TG��J��~b���3�=�`��~����K�����9���N����~b� �/�K��|�¡J�¦~����=|,¥����J���#�N�x�����1���8�K|��b�J��� ~����D~� � 0nq�4 ����|J�=|23K�3�b��¥.�`�����J���/�%�x�����b�J�b�^~����D~�|J���B�=�J���`���K����¡.��|J�%����|�~��b�=�)�)����|�~�����������|�~b�J�$���x���^�J����|J��� � �D���K¤��3���|/~ ����������|���¡J�����K|��`����|�����~������J|��1¤��=��¡�� 1J����~��%���1¤��^����|J���x��¡.�K�)�K|�¡.�K|�~US D �3¥���|�¡"~��J�k�J���;1J���K� � ~����������3���b��� ~���|~b���b�3�^¡.�����K|��b����|����5�b���=��� ~ �����J�����J�3� � ���<��|J�^���x|�~��H~b���^�b�J����|J� ~ �����9�b�21J�����`~��x�@�¦~ � ~��9�����^��|/�9�J���x|J�=�26��9����~����~b���%~��%���x|�¡J���^~b���k����|J�3����¡.�K�)�K|�¡.�K|��K���

Page 31: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ���P�:��� � � ���� �Y� � � � �����s��� � ��� � ��� �� � �P� % @

-���(��+ ��� � MH�����J���/���������@���5�$S ��C� ���K�x����~b���x~������#�

�¥ � �x|�¡ � �����$�B�J|���~b����|���� q ¥��=�'~b���x������~b���K�"�x���8�����5�`�����=|�¡%���#¡.�3�H�)������|J�������x���K�L6����=�b�b�J����|J����^���1¤��^~ �H������|J���x���"��|�¡.�K�)�K|�¡.�K|�~US D ��~b�����J��¡J���b�����b���5~b�J�3|��H�����1¤=�G~��J���K�������`�C1J������~b���3�3�

� S k z t S knxPy p S k�xb�� S knx � z�� S k p S k�x<y

� S k�x<y z�� S knx � p S k�B�����b������|J�=|23K�3�b���b�3�x���x��¤D�x���J�3� � ¥ t ¥ � ¥ � ¥ � �x|�¡ � � � �D�p���K~����������=�"�����=�b�K�����D~�~��J� ���#� ~��)�=�b� 1������¦~ �=�

� 0nq�4�0 � S k z t S knxPy 4� ��� �� � �

z�� 0nq�4 S knxPy z � 0nq�4 S k p �0 � 0nq�4 � z � 0nq�4 4 S k z 0 � 0�q 4Bt z � 0�q 4 4 S k�x<y p �

6���|���� S k ��|�¡NS k�x<y ���b������|��3�x���%��|�¡.�K�)�K|�¡.�K|�~G��|�¡/¡J�BA5�K���K|�~��B����� 33�K����¥�~b�J�����3�x|���|J���"�.�K�K�J���¦�� 0�q 4 � z � 0nq�4 p �� 0nq�4¦t z � 0nq�4 p �

6����������x���%~b���k�x~b���K��~ �����)�=���b� 1J�����¦~��3������¤��������b�G~b�� 0�q 4 � z � 0�q 4 p �� 0nq�4 � z � 0�q 4 p �

�x|�¡� 0nq�4 � z � 0�q 4 p �� 0nq�4 �Oz � 0�q 4 p �

z}|��x~b���K�������#¡J�����J���J���;1����3� ������1)�K�3|����3¡J������¡"~���¡J��~b�3�b����|J���¦��~ ���9�������;1��=���9��|=~��K�#�`���'~��x|�¡����@~��J�K�/¡.��~b�J�3|~b�%¡.�K~b�3�b����|J��~b�J� q ��¤1�������3�����J�K���^~b�J�3����|�~b�K�#�b�3�'~��-���(���( � �<�D��� M�?�@���.�/�/���������@���5�RS ��C!J�=�����D����|J�9�=�J��¡.�3�b��¤D�D~b����|/�B����� �J���K¤����������b�3��~b����|��H�����1¤=�

� 0nq�4 � S k z � 0�q 4 � S kbz � 0�q 4 S k�p �!J�=���`�=���^|���|233�K�������K��������¤D�����J��� � ¥ � ��|�¡ ~ �x���,|J�=|23K�3�b� � �.������~b������1)��������¡.�D��|/~b�%���`��|J������� G����x~b����|,�

� 0nq�4 � z � 0�q 4 �Yz � 0nq�4� p � ~ � * �����|J�D�{�H���x����~��K���.~b��¡"~�� ���K�)�3�x~H�����H���x�������K�H��¡.���9��|�¡%�������%�D~�~b�J�^����|J���x��¡.�K�)�K|�¡J�K|��K�%�x�,~��J�8~��J���K�8�)������|J�x����������

� 0nq�4 ¥ � 0�q 4 �x|�¡ � 0�q 4 �.z��<~��J�K�����������b�^����|J���x����|�¡.�K�)�K|�¡J�K|�~�~b�J�3|/|����b�����.~����=|���c.��� ~���|�¡"���k�x���8�����x�#�x|�~b�3�3¡~b���D~ � � 0nq�4 ���8�x�����1����|���|233�K�����.z��¢��|�~b���$�x~��J�K�����x|�¡����k���1¤��$�b�����k�)������|J�������x����~b���x~8�x���k����|J���x�8¡.�3���3|�¡.�3|=~~b���K|����G���b�G��|��K�G���=�x��|"����� ~����¦~��/¡.�K~b�3�b����|J��|��9���@�x|�¡%���J�K����~ ��� ���x�#� 1)�����k��|�~��K�#�`���'~3�L#@���b�K�8~b�J�������%�x�=��|��8������1¤=�

� 0nq�4 p � � 0�q 4 z�� � 0�q 4#��J�3|�� G����D~����=| ~ � * � 1)�3�K�����3�

� 0nq�4 � z � 0�q 4 �>z � 0nq�4� p �0 � � 0nq�4 z�� � 0�q 4 4 � z � 0�q 4 �>z � 0nq�4� p �

0 ��� z�� 4 � 0nq�4 z 0 � � z �4 � 0�q 4 p �0 � � z�� 40 � � z �4 � 0�q 4 z � 0�q 4 p �

� ��� ~������=�k�H�����1¤=�^�b�K�3|/���b�3¤��������`�����

Page 32: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� ��������@�� � ��� % �

-���(�� + 79�)�@�= ;�C3?��� �)� M������.�����������������@��E ���3�x|����=|�������¡.��~b���D~¢�H���3�x| �=|J���$���1¤�� � � 0nq�4 p �O1)��~ ���K�K| t k �x|�¡ t k{v0y ���J�K|9~ �����b�3�K��|�¡ ���#¡.�K�0�)������|J�������x�����| q ���1¤����x| ��|�~b�K�#�b�3�'~����=| ��| ~b�J����|=~��K��¤D�x� � t k �w� t k{v0y � �5z}|Z��~b�J�3�G�����#¡J��~��J�������`~^¡J�K����¤D�D~���¤=�9�3�x| �=|J����¤D�x|����b�N�x~���`�=���x~b�3¡/¤D�x���J�3����� q ¥J�m� �=� � � 0�q 4 p ��1��K~ �H�3�K|���|J�x~�¤D�x���J�����K�x|���|����"�.�3���J���x~8�����b���3�� �� ��� +��V�������z}|N~b�J���k�������3�k�H�����1¤=�9�J���3�b�K|�~��3¡ ~��J��~b���K����� �x�����)�K| |J�=|���|J�¦�B�=�b� �H�}�`������|J�3�3�,�����0~b����~b�J�3����� �H�����1¤=�9�J������b�K|�~b��¡ �x���$�`�3�¦��K��|�~�����|J��¡���cJ���3�.~��B���8~b�J��<,�K�C1J|J�C3;D ���B�=�b�9�J���J� �$���1¤=�$¡.�K����¤=�3¡��3�=�`�������J|�¡J�K�#� ~#�x|�¡J�;1J��� �'�}� ~ ��������b�K��¡J���K�.¡.�^�B�������"�K���3|=~������J���K���K|�~��x~b����|��x�0���)�K|�|J��|��J|��¦�B�=�b�§�H�}�`������|J�3�3����3�b��¡J�3�����1¤���|J�%�J���3�b�K|�~��3¡�~b��� 1��=�`����~b���K�������H�9���1¤��k����������¡���|�~����`�=��� �������$��¡.¤D��|�����¡�~b�=�J���3�K¥����J���#� ���

�B��� G��J�K|�~����"���`��¡/�����K|��H�=�b����|J�9��|N% � ¥J�����;1��x�5��|�~��K�����=���x~b����|,¥J��|�¡/�K�J��¤��k¡.�3�K�����)�=�b�¦~����=|,�!���|��x�����=¥=���8���1¤=��~b���3�x~b��¡%�b�3���J���x�H���}�b�J����|J������|��=�b���D~H¡.�K~������5�x|�¡"�J�b���`�3|�~b�3¡�� �b��~H���©� ¤=�K���B�)�K�D~����=|����b�J���3���B���

¡.�K~b�K������|���|J�����J�K~b�3¤��K�k������¤��3|N�=���3|N|���|��J|J���B�b�=� �H���b�J����|J�������b�3���J���x���=�^|��x~3� �"�����b���K|�~b��� �b�������J���D~��9~����D~~b���3�b�%�b�J���3�k�����b� ���=�J��¡ 1)�%���b�3¡N~b� ���=|��`~b�����'~ ��| �����=�����¦~��J� �B���k��|�~b�3�b�)�����D~���|J� ���b��~$�x��1J���3��� ���=��|�~#�k���¦~��:����K�����������=���3|/|���|��J|J���B�����§�H���b�J����|���¥/1J�.~G�H�����3�1¤��G~b�������=���9�B�.~b�J���k���3�b�3�x�#�#�%~����J���x�

� ���9������������@���B�� C���7"+I>U�$&4*1 EOC5��7UU"+#�� ������� �������������>=��! �#�74*I>"+##"%$Q"�#�U $&I�& "+#�U74�' "+71*"+U �?"+#�I �!"+,)(Q'>#+*;C,��-.-���C@ /�B�0 C0E $�)�) $&4*121 C0E $�)�)��43�5.687.9;:<�<5=3>9�?A@=7.B%?C�.9D7E9;5=�F��9;5E�HGI?A9!JK;�<:�!9�?CLHMN��OT=*�� *"+'>#�. $&4�12�Q#�$&<�)K7<+">=;0�1*1*7/�'>4�" E "+/KU"�.���-.-./�C@ P�B�Q*CR' '>/K<K *"* $&4*1TS CU��$&/K/K"+#�WV,M!9;5E7E@X�H9�BY7.Z O[�]\K^R�.@`_;M�BY��Ga3`?C5E�<5cbF�<�.@=��B%GI?C:�de�HO<? JE95=gfQ4*I>U7/� )K#�$&4*/�U $�)K7'>4)��-.-.P � .h0ji

� "+)�"+#�/�=���)�1�C@ A&B[k-$&#�U 1*"e& '0'>#��3ml�G+7n:�B%?C:<7.Z�b�M�?C5n�oBY�X�n_�Z ?C9;��OT=��! �#�74*I>"+##"%$Q"�#�U $&I*=;0` � *U7"+121 $�)� *"p $�)K7<�$&UU�0<+7"+4*<+"+/F=*8H'>U CN/Eq0=,��-Eq8r�C@ ��B E '>U R IH$&4*I=& '0"+ Np2��sI9�OI��GIB%?A9!Jt9;�HuT�.9;�.B%O>?A9�BY�=�wvYO%_;Z ?A9;�a:HM!GI68�HOK=;k '.pa ��)�"+#w0 71*"+1[S "�/�7I>4K��/�x+��-.r.yEz���-.-�"Y/.y��>C@ {�B[| "+#K$&U1�}?$&#�74 ��^UM!GI68�HOX7.9;5���M�GC\I7n:~�HOF\I�.G2^R�.@`_;M�BY��Ge3`?�5E�<5�bF�~�E@X�HB%GI?C:=de�HO<? JE9��U3�l�G]7E:�B%?�:~7EZwb�M�?C5E�F= �� *7#�1Df�1*7 )K7'>4 =40�<�$�"

1*"p 7<>��#�"+/K/�=����>k C=�k-'.pa ��)K"+#��0<+7"+4*<+"%$&4*1��0<+7"+4H)K7 35<ok '.pa ��)�74*I*=4��-.-.P�C@ qFB E 7UU7 $8p�'(C;�Q#�"+/K/F=���$ �*Ug0%C*� " �N*>'>U/~*H.H=*E 7UU7 $8p �6C�$Q"�)�)�"+#�U74�IJ$&4�12& #�7 $&4���C }�U $&4*4�"�#�.��4��M!@=�HGI?C:<7.Z �F�~:H? _���O�?C9T^��� ����3`GIB

�]\`�4:�?���9�B%? �W:�^R�E@�_;M�B%?A9!JH=�� "�<+'>4*12fQ1*7 )�7'>4�=;k-$8p �*#�71�I>"�� 4*7 8H"+#�/K7 )D.��Q#�"+/K/F= ��-.-.-�C@ r�B�i 4 ��1['!"�4�#�7�* /K"+4 '>I=i "+4*4H.�fQ#�U" �?"+4 �4�4:�GI? _;BY�~5=����5.?���O�7.9;5a�n_;Z ?C9;��d�GI?C6��H9����EB�?��.95=0� "�<K *4*7<�$&Ug��"� ?'>#�)�y./E�!��r�=�S " 5$&#�)~p "+4H)

'&R�k '.pa ��)�"�#��0<+7"+4*<+"e� 4*7 8H"+#�/K7 )D.J'&R�k '. ;"+4* *$&I>"�4 =�/.y.y./�C

� #)$ � � & �R�O� � + �� ��� � $ �z}| ~b�J���$���J���3|�¡.�wcN���%���������`~��x~b��~b�J��~��J��¡.�"�������k�����=�����¦~��J� �x|�¡Z�J���D¤�����~3��#����"¡.�"�����=�k�x����������~b�J� �3�x| 1���`~��D~��3¡������B�=�����D���,h

� 0�q 4 p��v95� k � � j knm o�x65 �

5k �B��� � � 2 � d r f ~ % @ � �J�3�b�

� 5k p 0 f r �knm 5 4 � 5�x<yk�x<y z

�knm 5 � 5�xPyk �B��� 2 e �

�x|�¡

�k�m 5@p t�rut kt kwv0o�x75 rut k ��|�¡ � �k p � k

#��J�G���=��|�~�� � 5k ���b�8�3�x������¡�~b���G¡.�������=���)����|�~��3� � �D� ���8�������)���b�D¤=��¡.�^�������#� �����=�����¦~��J��� !����#�`~�����~�����������~b�8���~b���$¡.����|��¦~����=|�������|J�=|��J|.�B����� �H���b�J����|����

� 0nq�4 p�� k � � j k�m o���k

Page 33: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �P� � ��P���D���T���T� � �UL� ��� � ��� % �

z��0�H��|J�D� �x�J�J����¡.��0H��c>D ��¡.����|��¦~����=|/�B�=� j|k�m o ~b�J�3|��������K~� 0nq�4 p

�� k � � q3rSt kt k{v�o�x<y rSt k j k�m o�xPy���k z

�� k � � t kwv0o r[qt k{v�o rut kwv0y j k{v0y m o�x<y ��k

#��J���¢�����=�.�¢� 1J�¦~H|����`~ ��¥ 1��.~ 1��9�x���J������|J�$�����¦~b~b�����%�D~b���K�%�D~����3�x��~b�����#� �x���b�J�¦� ~���|���~b�J����|�¡.�,c9���)~��J���b�3���=|�¡9~b�3�b�1��s� p � r f��H���=��~

� 0nq�4 p�� k � � qsrSt kt k{v�o�xPy rut k jlknm o�xPy � k©z

��v0y� k � y t

kwv�o�x<y ruqt kwv�o�x<y rut k j|k�m o�x<y � k�x<y!���|��x����� �����H�%¡.�4��|J� �Dx<y p ���x|�¡ � �iv0y p ��~��J�K| ���%�x�����������D�H��¡ ~������K������~b��~b�J��~ �����`�J���%�D~����=|�����|=~�� ��b��|J�=���k�b�J���%�D~b����|

� 0nq�4 p��v�y� k � �

��k 0nq3rSt k 4 z ��k�x<y 0�t kwv0o�x<y rSq�4t k{v�o�xPy rSt k j knm o�xPy�����x��|4���/�x���J���:�Z����~`~������%�D~��J�K�%�D~����3�x�H~b�����#� �x�^��¡J¡.��|J� �x|�¡4�b�21.~����=�'~���|J� t k �B����� ~��J���b�3�K��|�¡:~b�K��� ��| ~b�J�¡.�3|J������|��D~������L#����D~����

� 0�q 4 p ��v0y� k � �

�0k 0�qsrut k 4 z ��knxPy 0�t kwv�o�x<y rut k z t k ruq 4t kwv�o�x<y rut k j|k�m o�x<yp ��v0y

� k � ��0k 0�qsrut k 4 z ��knxPy 0�t kwv�o�x<y rut k r 0nqsrut k 4 4t k{v�o�xPy rSt k j knm o�x<y

p ��v0y� k � � � ��k �

yk z ��knxPy � f r � yk j knm o�xPy �J�3�b� � yk ����¡.����|��3¡ ������| ~b�J� ¡J����|J��~b����| ���G~��J� ¡.� �������"�������=�b��~b����� #����=��|��x�8� G����D~����=|F���"¡.�3�b��¤���¡ 1����|=~��b�.¡.������|J��~b�J�k|J��~��x~b����|

� yk p � f r � yk �0k�x<y z�� yk ��k6������^�=��~

� 0�q 4 p��v0y� k � � �

yk jlknm o�xPy!J����� �x����~��J�����H���K��|��K��|��K����¡.�8~����D~����^���1¤��^�J���D¤��K|�¡.�k�����=�����x�����=�b��~b��� ��|/~b�J�$�3���b�G�����K��� 2 p f=��z�~�����|J��~������¡�~����`�3�k~b���D~G��� ��� �x�J�����/~b�J�9�b����� ��|�¡J��c �`���¦� ~���|J�/�x|�¡ ¡J����|J��~b����|������3�������b��¤=�K���"���$���������K|�¡ ��� ���¦~�� ~b�J�¡.�$�������#���x����������~b�J� ��|�~b�J�k�=�K|J�3����� 2 D ~b� �K�=�`�=�

& � ��* ��. ���� �� �V� � �V�������0��� �z����=�J�^�b�J����|���¥ � 0 � 4 ¥,¡.��|��x~����1¤����x|�� �`� G=���K|��K�3�G�x� ��¡.�K|�~b���K���¢����|�~��b�=�<�)����|=~#�^���^��|��x~G¤D�����J���G~b�J�3| ~b���9���.�K�x�1)�43K���K���b�K���3���K|�~�� k 0�q 4 ���������3�b���=|�¡.��|J��~b� ~b�J���`�3�����K|�~ t k ~b� t kwv�y �������5���1¤=�����3������~��b��¤����'~b�=���3¥�� � ¥ � y ¥ � � ��|�¡� � ¥.���J���#� ���b�^�J|J� G��$�x|�¡�¡.��� ~���|���~3� #��J�����)�=�`~b�����x~b���B�������D���H�#�D~��J�K�������b�������B�����§¡.�����3�'~8�K�����J�.~#�D~����=|,�<,�K~^���k�����`�J���9~b���x~^�������1¤������9�J��~b���J��������~ � ��� d p � �B�=�k�x���¢��|��x~�¤1�������3�G~b��~b��������� ~k��� t � �x|�¡ ~b���x~k�������|J�x~�¤D�x���J����~b��~b���k�b������~��x� t � �x|�¡ t � �¦~#�`�3�¦�¢���1¤=�^��� ���¦~����J��������~ ���x��f�� � �D�i���%�x����|J�����^���1¤��

t � � t � ��t �£v0y#��J���������x|�� ~b���x~��B�����$���E1J���G�`������|J� ~ �?� ���!d p�� � �������1¤�� j �,x9�,m � �,���,�,� j �£m � �p ��� !��b�=�£~��J�������8�x���b�$��|J�D� ~����D~��~ ���^~��J���K��|�~b�����¢�)����|�~�� � ��x � ¥ � �,xb� ¥ � �,x<y �x|�¡ � � ���J���#� ���1¤���~b�N1)�l�`�b�����=�����.~b��¡W�9��| ~b�J�%|J�3� �b�J����|�����#����|J�3� ¡.�k���������)����|�~����x�������3|J�K�#�D~��3¡��=����|�~��J��~��;1J���3� 1)�K���D�

Page 34: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �P� � ��P���D���T���T� � �UL� ��� � ��� % %

� ���x � �

0 f r ��,xb� 4 �

� ���x � ���,xb� � � y�,xb��

0 f r ��,x<y 4 �

� ���xPy ���,x<y � � y�,x<y�

0 f r �� 4 �

� �� ��� � � y� �J�3�b�

��,xb� p 0nt � rut �,xb� 4

0�t �£v�y rSt �,xb� 4 e����,x<y p 0nt � rut �,x<y 4

0�t �£v�� rSt �,x<y 4 e���� p 0nt � rut � 4

0�t �£v�� rSt � 4 p �� �D�p�H�k�3�x|�����|�� ~��b����~�~b�J�k|J�3� �K��|�~b�����5�)����|�~���� �

��� ��y �0� �,��� � ��x � � y��x � � y��xPy � y� � � � � v0y ���,� � �� � � y � � �,��� � ��x � � y��x � � y��xPy � ��xPy � � � � v0y ���,� � �����

���y

��0� �,���

�� ��x �

�� ��x �

�� ��xPy

�� �

�� � v0y

�� � vP� ���,�

�� ��v�y

��|�¡�~��J�k|J�3�p��|J��~�¤=�3��~b���

��k�

t � t y �,�,� t � t�� t � v0y ���,� t ��v�ot � t y �,�,� t � t � t � v0y ���,� t ��v�o�t �

�t y �,�,�

�t �

�t � v0y

�t � vP� ���,�

�t ��v�o v0y �k|J�D�p���1¤��^� �J��~b���J�����K�¦~ ���x� � �B����~b���$��|J�x~�¤D�x���J� t � ¥����K~�����~b���"~��%��|��`�3�`~ t�� p t � ��|����k���������2#��J����~������k����������<¡J�������D¤=�K�H~b���x~

�t �£v�y � t � �

�t � vP�

!J����� �������#�/�H�^����|�������¡.�G~b���x~���~����H~b���^�K��|�~b�����)���=��|�~#�

�� �,xb� ¥

�� ��xPy ¥

�� � ��|�¡

�� � v0y ¥����J���#�����1¤=��~���1)���`���3���=���

�J�.~��3¡W�k��|/~��J�k|J�3�p�b�J����|J�=� �� ���x � �

0 f r ��,x<y 4 ��

� ���xPy ���,x<y �

�� y�,x<y�

0 f r �� 4 ��

� �� ��� �

�� y��

0 f r ��£v0y 4 ��

� ��£v�y ��� v0y �

�� y� v0y

Page 35: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �P� � ��P���D���T���T� � �UL� ��� � ��� %;(

�J�3�b����xPy p 0�t � r

�t ��xPy 4

0

�t � vP� r

�t �,x<y 4 p t � rut �,x<yt �£v�y rSt �,x<y e �

�� p 0�t � r

�t � 4

0

�t � v � r

�t � 4 p t � rut �t �£v�� rSt � p �

��£v�y p 0�t � r

�t �£v0y 4

0

�t � v � r

�t � v0y 4 p t � rut �t �£vP� rSt � p � ��~b��~b�J������|.�B�����%�D~����=|/���k�K�x|������¦~��k�J��~b�J�k|J�3�p�K��|�~b�����5�)����|=~#�����

��� �,����� ��x �

�� ��x �

�� y�,x<y

�� y�

�� y� v0y

�� � v0y ���,�

�� �iv0y

��� �,��� � ��x � � y��x ��� y�,x<y

�� ��,x<y

�� �� � � ���,� � �

� � �,��� � ��x � � y��x ��� y�,x<y � y�,x<y � �,x<y � � ���,� � �

�� � �,��� �� ��x � �� ��x � �� �,x<y �� � �� � v0y �� � vP� ���,� �� �ivP���|�¡�~��J�k|J�3�p��|J��~�¤=�3��~b��� �� �

t ��t y �,�,�

�t �

�t � v0y t��

�t � vP� ���,�

�t ��v�o v0yt � t y �,�,� t � t � t � t � v0y ���,� t ��v0o

�t � �t y �,�,� �t � �t � v0y �t � vP� �t � v � ���,� �t ��v�o vP� ����|J�D� ���1¤����N� �J��~b���J�����K�¦~ �F�x� � �B����~��J����|J�x~%¤D�x���J� t � ¥¢����~"���%�b�K�������x~����x�J�)�K|��������=|F~��J�����=� ~%��|J��~��|��`�3�`~����=|,�2!����#�`~����0���������k�`�3��~b���x~��H�k���1¤=���

�t �£v��>� t � � �t � v �!J�����§���J���#��������|��D� ~b���D~��H�k���1¤��G~b���b�����=�����.~b�^~b�����B�������D����|J�%���=|=~��b�=�5���=��|�~��3�

�� ��,x<y �

0 f r �� 4 �

�� �� ��� � �� y��

0 f r ��£v0y 4 �

�� �� v0y ��� v0y � �� y� v0y�

0 f r ��£vP� 4 �

�� �� vP� ��� vP� � �� y� vP� �J�3�b�

�� p 0nt � r �t � 4

0 �t � v � r �t � 4 p t � rSt �t � v0y rut � p ��� v0y p 0nt � r �t � v0y 4

0 �t � v � r �t � v0y 4 p t � rSt �t � vP� rut � p ��� vP� p 0nt � r �t � vP� 4

0 �t � v�� r �t � vP� 4 p t � rSt �t � v � rut � p �!���|��x�����"���k�����¦~��^���/~��J�k|J�3�p���=|�~b�������)����|=~#� � �

Page 36: Technical Report DIKU-TR-02/17 Department of Computer - Atrey

� �P� � ��P���D���T���T� � �UL� ��� � ��� % '

�� � ���,� �� �,x9� �� �,xb� �� �,x<y �� y� �� y� v0y �� y� vP� �� �£v�� �,��� �� ��vP�� � ���,� � �,x9� � y�,xb�

�� y�,x<y �� �,x<y �� � �� � v0y � � �,��� � �

� � ���,� � �,x9� � y�,xb��� y�,x<y

�� y�,x<y � y��xPy � ��xPy � � �,��� � �

� � ���,� � �,x9� � �,xb� � �,x<y � � � � v0y � � vP� � �£v�� �,��� � ��v ���|�¡�~��J�k|J�3�p��|J��~�¤=�3��~b�������

�t � �,�,� �t � �t � v0y �t � vP� t�� �t � v � �,��� �t ��v�o v��t � �,�,� t � t � t � t � t � v0y �,��� t ��v0o� � �,�,� � � � �£v�y � � vP� � � v � � �£v � �,��� � �iv�o v �� �D� ����~����H��cJ�x����|J�����������3�b�J�¦~#�H�$����~`~����������=�b�K��� �G���1¤=��|J�D�{¡.���b�K�D¤��3�b��¡ ~����D~���|J���9~b�J���K�G|J�K� �K��|�~b���������=��|�~��

�������'~����x���������=�����.~b��¡<h � y��x � ¥�� y��xPy �x|�¡ � y��xPy ¥J���J���#���x���������,¡J���`~b��|��'~��� ��~b�����9~b���x~

�� y�,x<y p � ���xPy � #��J���^�����x|��G~��J�9|��K�£�K��|�~b�����@���=��|�~#�k���'~����x�������3�x| 1��%���=���J�.~b��¡Z¡.�����3�'~����N1��

���b��|��9~��J�$¡.�$���������x�����=�b��~b��� ~ �b�K�$�x�����3|�¡.�wc�� � �=| � �,x9� ¥ � ��x � �x|�¡ � �,x<y �� ���x � �

� ���x � � � y�,xb�� �

� ���xPy � � y�,x<y �

�� ���xPy