Technische Mechanik I Vorlesungs- Rumpfmanuskript Prof. Dr.- ing. Jens Jensen Hochschule Bremen (FH) - University of Applied Sciences Fachbereich 05 Maschinenbau

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Edition 07, Oktober 2007

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Vorwort Wer dieses Skript aufmerksam liest, wird die Handschrift von Karl- August Reckling (†) /1/ erkennen, meinem Lehrer an der Technischen Universität Berlin (TUB)- auch er war, wie viele namhafte „Mechaniker der Berliner Schule“, Schüler von István Szabó (†): Beide habe ich als Student gehört und vieles von ihnen gelernt ! Dieses Skript soll sich nicht neben die vielen hervorragenden Lehrbücher und Texte über die „(Technische) Mechanik“ stellen, schon gar nicht den Studenten dazu ver-leiten, während seines Studiums keine weiteren Texte zu lesen: Ich möchte aber meinen Studenten meine Denk- und Vorgehensweise bei der Modellbildung, Berech-nung und Lösung mechanischer Aufgaben darstellen, unter besonderer Berücksich-tigung des an den deutschen Fachhochschulen geforderten Praxisbezugs. Die Technische Mechanik ist wohl eines der schwierigsten Lehrfächer des Maschi-nenbau- Studiums, an der Technischen Universität/ Hochschule genauso wie an ei-ner (Technischen) Fachhochschule, das soll hier nicht verhehlt werden: Natürlich gehe ich bei meiner Vorlesung und auch bei diesem begleitenden Skript davon aus, dass der Student einerseits einige Grundlagen der Naturwissenschaft in Mathematik und Physik mitbringt, andererseits die Bereitschaft besitzt, sich reinzu-knien in die spezifische, abstrakte Denkweise des Mechanikers oder Maschinenbau- Ingenieurs, zu dessen unverzichtbaren Werkzeugen die Technische Mechanik ge-hört. Letzteres wird nicht immer leicht sein, und für den Studenten, in Anbetracht der limitierten Zeit für das einzelne Lehrfach, so manches Mal auch zeitraubend. Und so ist man als Student leicht geneigt, die Lösung zu suchen: Denn vielfach hört man heute „die Lösung Deines technischen (mechanischen) Problems findest Du doch im internet“. Doch das stimmt so eben doch nicht, denn meist findet man dort nur sehr spezielle Lösungen eines noch spezielleren Problems, nicht jedoch grundsätzliche Lösungsansätze. Und noch ein Wort zu den „Praktikern“, die jedem (technisch-) wissenschaftlichen Arbeitsansatz mit dem Argument „das ist doch alles Theorie“ gegenübertreten: „Der (Maschinenbau-) Ingenieur kann nur dann erfolgreich an der Lösung technischer Probleme (im Bereich der Mechanik) arbeiten, wenn er die zugehörige Theorie be-herrscht, d.h. mit wissenschaftlicher Methoden arbeitet, ansonsten bleibt er in purem Empirismus stecken“ (Reckling). __________________________________________________________________ /1/ Reckling, K.A. Mechanik I, Fr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1968

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Dieses Skript MECHANIK I hat drei Teile, den der Kinematik, den der Grundlagen der NEWTONschen Mechanik und den der Statik. Es basiert auf der NEWTON-schen Mechanik- die sogenannten Prinzipien der Mechanik müssen leider Vorlesun-gen anderer Fächer vorbehalten bleiben. In der Einleitung wird ein geschichtlicher Abriss zur Technischen Mechanik und wer-den die mathematischen Hilfsmittel kurz vorgestellt. In MECHANIK I wird zunächst die Kinematik (das „Wie“ der Bewegung eines mechanischen Systems dargestellt. In der Grundlagen der NEWTONschen Mechanik wird u.a. der Kraftbegriff, die mechanische Energie und die Leistung definiert. Der Statik- Teil beinhaltet die Statik starrer Körper – die Statik deformierbarer Körper, die „klassische Festigkeitslehre“ beinhaltend, ist ebenso wie die Kinetik Teil des Skripts MECHANIK II. Im Text wird durchgehend die vektorielle Notation verwendet: Vektor- Größen werden in fett geschrieben und einfach, Matrizen- Größen werden in fett geschrieben und doppelt unterstrichen. Viel Wert wird auf eine hinreichende Darstellung der technischen Probleme durch adäquate technische Skizzen gelegt, denn die technische (Freihand-) Skizze ist, trotz CAD, scanner und fax, immer noch eines der wichtigsten Kommunikationsmittel des Ingenieurs. Eine große Hilfe bei der Erstellung der Abbildungen dieses Skripts war mir stud. ing. Merlin Barschke: Ihm gebührt mein Dank für seine Akribie und seinen Fleiß. Korrektur lesen tun Sie als aufmerksamer Leser, so wie es viele meiner Studenten. getan haben. Aber besonders habe ich mich gefreut über die konstruktive Kritik meines Freundes Prof. Dr.- Ing. Albrecht Bertram, Otto von Guericke- Universität Magdeburg. der Autor Bremen, Oktober 2007 scio nescire (Sokrates)

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Inhaltsverzeichnis Vorwort 003 Inhaltsverzeichnis 005 1. Einleitung 007 1.1 Zur geschichtlichen Entwicklung der Technischen Mechanik 007 1.2 Mathematische Grundlagen 008 1.2.1 Zur Differential- und Integralrechnung 008 1.2.2 Zur Vektorrechnung 011 1.2.3 Tensoren 020 1.2.4 Berechnung des Schwerpunkts, der Flächenmomente und der Massenmomente 021 MECHANIK I 4.1 Kinematik 025 4.1.1 Zur Kinematik des GALILEI 025 4.1.2 Bezugssystem und Freiheitsgrad 026 4.1.3 Kinematik des Punktes 027 4.1.4 Kinematik des Starren Körpers 035 4.1.5 Die Relativbewegung 043 2. Grundlagen der Mechanik 046 2.1 Grundbegriffe 046 2.1.1 Der Kraftbegriff 046 2.1.2 Die NEWTONschen Axiome 046 2.2 Der (rechnerische und graphische) Umgang mit Kräften 048 2.2.1 Kräfte in einer Ebene mit gemeinsamem Angriffspunkt 048 2.2.2 Kräfte in einer Ebene ohne gemeinsamen Angriffspunkt 053 2.3 Das NEWTONsche Grundgesetz und abgeleitete Sätze 060 2.3.1 Das NEWTONsche Grundgesetz 060 2.3.2 Mechanische Energien und Leistung (bei geradliniger Bewegung) 061 2.3.3 Das NEWTONsche Grundgesetz in Impulsform 062 2.3.4 Das NEWTONsche Grundgesetz in d’ALEMBERTscher Form 063 3. Statik 064 3.1 Statik starrer Körper (Klassische Statik) 064 3.1.1 Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Untersuchung des Gleichgewichts mechanischer Systeme 064

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3.1.2 Über Auflager, Auflagertypen und – reaktionen 064 3.1.3 Reduktion des allgemeinen ebenen Kräftesystems; Gleichgewichtsbedingungen (rechnerisch) 067 3.1.4 Graphische Methoden zur Bestimmung von Kräften 071 3.1.5 Statik typischer ebener Systeme aus endlich vielen starren Körpern 075 3.1.6 Das Seil 081 3.1.7 Räumliche Kraftgruppen 083 3.1.8 Flächenhaft verteilte Innere Kräfte, Spannungen 084 3.1.9 Schnittlasten am geraden (Biege-) Balken 091 Literatur MECHANIK II 3.2 Statik deformierbarer Körper (Klassische Festigkeitslehre) 3.2.1 Der Deformationszustand 3.2.2 Das Werkstoffgesetz 3.2.3 Zug und Druck 3.2.4 Biegung 3.2.5 Torsion 3.3 Spezielle Probleme der Statik 3.3.1 Reibung 4. Dynamik 4.1 Schwerpunktsatz 4.1.1 abgeleitete Sätze 4.2 Momentensatz und Drallsatz 4.3 Dynamik der Ebenen Bewegung des Starren Körpers 4.4 Dynamik der Ebenen Bewegung von Starrkörper- Systemen 4.4.1 Der Stoß 4.5 Dynamik der Relativbewegung

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1. Einleitung

1.1 Zur geschichtlichen Entwicklung der Tech-nischen Mechanik

Bis ins 16. Jahrhundert war außer wenigen Bruchstücken (aus der griechischen An-tike) nichts Brauchbares vorhanden, auf dem die Mechanik als Wissenschaft hätte aufgebaut werden können. Erst als Handwerk und Technik dem Experimentator das notwendige Handwerkzeug zur Verfügung stellen konnten, wurde es möglich, auf in-duktivem Wege, also mit Hilfe von Experimenten, mechanische Probleme zu behan-deln. Mit der ersten großen wissenschaftlichen Leistung im modernen Sinne auf dem Ge-biet der Mechanik, den „discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove science (über den freien Fall und den schiefen Wurf)“ von Galileo Galilei (1569- 1642) aus dem Jahre 1638, wird die Grundlegung der Klassischen Mechanik eingeleitet, die durch Evangelista Torricelli (barometrische Messung des atmosphärischen Druckes und Gesetz der Ausflussgeschwindigkeit einer Idealen Flüssigkeit aus einem Gefäß), Otto von Guericke (Erfindung der Luftpumpe, Experimente mit den Magdeburger Halbkugeln), Christian Huygens (1629- 1695) (Theorie des Pendels, Existenz der Zentripetalbeschleunigung bei der gleichförmigen Kreisbewegung, Erhaltungssatz der mechanischen Energie im Schwerefeld der Erde, Theorie des Stoßes elastischer Körper) und Robert Hooke (Gesetz der elastischen Feder, Modell für elastisches Werkstoffverhalten) ausgebaut und schließlich durch Isaac Newton (1643- 1727) (allgemeines Gravitationsgesetz, dynamisches Grundgesetz) in seiner Publikation „Philosophiae naturalis principia mathematica“ aus dem Jahre 1684 abgeschlossen.

Galileo Galilei Isaac Newton Leonard Euler

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Der Ausbau der Klassischen Mechanik, der bis heute anhält, erfolgte, auf der Basis der Newtonschen „Principia“, in vier Hauptrichtungen: 1. Leonard Euler (1707- 1783) (Schnittprinzip, Bewegungsgleichungen für ausge-dehnte Körper in allgemeiner Form) schuf die Basis für die Kontinuumsmechanik. 2. Johann Bernoulli (1667- 1748) (Prinzip der virtuellen Arbeiten) schuf gemeinsam mit Leonard Euler die Basis für eine analytische Mechanik, die durch Jean le Rond d’Alembert (1717- 1783) (d’Alembertsches Prinzip), Joseph Louis Lagrange (1736- 1783) (Lagrangesche Gleichungen) und William Rowan Hamilton (1805- 1865) (Hamiltonsches Prinzip) auf die Kinetik erweitert wurde. 3. Die wichtigsten Beiträge zum Ausbau einer Elastizitätslehre stammen von Leonard Euler (systematische Behandlung elastischer Linien) und Augustin Louis Cauchy (1789- 1857) (allgemeine Spannungstheorie). 4. Der Aufbau einer Kontinuumsmechanik für Flüssigkeiten und Gase ist das Werk von Daniel Bernoulli und Leonard Euler. Die Klassische Mechanik reicht hin zur Behandlung der allermeisten Vorgängen des Ingenieurwesens, nämlich solche, die nicht von atomarer Größenordnung sind- der-artige Vorgänge müssen dann unter Zuhilfenahme der Planckschen Quanten-mechanik behandelt werden- oder bei denen die Geschwindigkeit die Größenord-nung der Lichtgeschwindigkeit erreicht- für derartige Vorgänge muss die Einstein-sche spezielle Relativitätstheorie herangezogen werden.

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1.2 Mathematische Grundlagen Die Mathematik ist das wichtigste Hilfsmittel für die Behandlung mechanischer Pro-bleme. Hier soll aus den Grundlagen der Differential- und Integralrechnung sowie der Vek-torrechnung (als der Kurzschrift der Mechanik) lediglich das zur Behandlung mecha-nischer Probleme unerlässliche, mathematische Handwerkzeug vorgestellt werden. Der strenge Aufbau, das Durcharbeiten und die Beweisführung bleibt natürlich der Mathematik- Vorlesung vorbehalten ! 1.2.1 zur Differential- und Integralrechnung Die Ableitung I’(x) – (sprich „I- Strich“)- einer Funktion I (x), Abb. 1.1,

Abb. 1.1: Geometrische Deutung der Ableitung einer Funktion ist definiert als Quotient der Differentiale dI und dx: I’(x) = dI/dx = lim ΔI/Δx Δx→0 = lim [I(x + Δx) - I(x)]/Δx = tanα (1.1) Δx→0 Bemerkung: d( )/ dx ist ein Operator, d.h. er gibt an, was mit dem Argument ( ) zu tun ist.

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Die Beziehung (1.1) stellt die Grundformel der Differentialrechnung dar, anhand derer sich, geometrisch gesehen, die (Steigung bzw. die Änderung ) der Funktion I(x) an der Stelle (oder in Richtung von) x analysieren lässt. Bemerkung: Nach dem Fundamentalsatz der Integralrechnung, (1.5), kann die Integral-rechnung als Umkehrung der Differentialrechnung gesehen werden: Kennt man I’(x), dann ist I(x) das Integral dieser Funktion (mathematische Be-dingung: I(x), I’(x) müssen stetig sein). Der Operator der Integralrechnung wird als ∫ ( ) dx dargestellt, er zeigt an was mit dem Integranden ( ) zu tun ist. Das Bestimmte Integral F oder der Wert einer Funktion y(x) in den Grenzen von x = a bis x = b ist dem Flächeninhalt unter der Kurve y(x) zwischen den o.a. Grenzen proportional, Abb. 1.2: b b F ⎮ = ∫ y(x) dx (1.2.1) x = a x = a Macht man nun die obere Grenze des Integrals (1.2.1) variabel, x x F ⎮ = F(x) = ∫ y(ξ) dξ , (1.2.2) ξ = a ξ = a so wird die Integralfunktion F eine Funktion der variablen oberen Grenze.

Abb. 1.2: Geometrische Deutung des Integrals einer Funktion

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Die Gesamtheit aller sich um eine willkürliche additive Konstante C unterscheiden-den Integralfunktionen I(x) heißt Unbestimmtes Integral, x I(x) = ∫ y(ξ) dξ + C = F(x) + C . (1.3) ξ = a Zwischen dem Bestimmtem Integral F(x) und dem Unbestimmtem Integral I(x) der Funktion y(x) besteht die Beziehung b b b F ⎮ = ∫ y(x) dx= I(x)⎮ = I(b)- I(a). (1.4) a x= a a 1.2.2 zur Vektorrechnung Mechanische Größen sind von zweierlei Typ: Die einen sind bestimmt durch Angabe ihres Betrages (Bei- oder Zahlenwert und physikalische Einheit)- es sind dies z.B. Länge, Flächen- und Rauminhalt, Masse, Temperatur, Druck, Zeit, Arbeit, Leistung, man nennt sie Skalare- ein Skalar ohne physikalische Einheit heißt Beiwert oder Zahlenwert. Andere Größen sind erst durch Angabe ihres Betrages und ihrer Richtung (im Raum) eindeutig bestimmt, man nennt sie Vektoren; es sind dies z.B. Geschwindigkeit, Be-schleunigung, Kraft. 1.2.2.1 Kennzeichnung von Vektoren Neben der geometrischen Darstellung von Vektoren (siehe nachfolgende Abbildun-gen) gibt es verschiedene formelmäßige Darstellungen. a) Vektoren mit zeitlich konstantem Betrag Man stellt diese zumeist im Kartesischen Koordinatensystem dar, Abb. 1.3, das einen Festpunkt 0 mit feststehenden Richtungen x, y, z besitzt. Hinweis: Der Anfänger scheue sich nicht, die rechte Hand zur Darstellung der (rechts-drehenden) orthonormalen Koordinatensysteme zu nutzen: Der Daumen repräsentiert im Kartesischen Koordinatensystem die x- Achse, der Zeigefinger die dazu senkrechte y- Achse und der Mittelfinger die zu beiden senkrechte z- Achse. Ähnlich verhält es sich mit dem Natürlichen Koordinatensystem und dem Zylin-der- Koordinatensystem, auf die an entsprechender Stelle dann noch hingewiesen werden wird.

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Abb. 1.3: Vektor A im Kartesischen Koordinatensystem (Rechtssystem) Der Vektor A , Abb. 1.3, hat also die Form A = Ax i + Ay j + Az k = Ax ex + Ay ey + Az ez = { Ax, Ay, Az } (1.5) mit dem Betrag | A | = A, d.h. ________________ A = √ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 , (1.6) den Einheitsvektoren e; ex , ey , ez , mit | e( )| = 1 oder i, j, k und den Richtungs-cosinus cosα = Ax/ A, cosβ = Ay/ A, cosγ = Az/ A, (1.7) mit cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. (1.8) b) Vektoren mit zeitlich veränderlichem Betrag Man stellt diese in einem raumfesten, Kartesischen Koordinatensystem, Abb. 1.4, r(t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez = { x(t), y(t), z(t) }, (1.9) oder einem

- mitbewegten, Natürlichen Koordinatensystem, Abschnitt 1.2.2.4 oder einem

- feststehenden, sich drehenden Zylinder- Koordinatensystem, Abschnitt 1.2.2.5

dar:

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Abb. 1.4: Vektor r(t) im raumfesten, Kartesischen Koordinatensystem Bemerkung: Die wesentliche Besonderheit des Kartesischen Koordinatensystems- im Vergleich zu den beiden anderen wichtigen Koordinatensystemen der Mechanik, dem Zylinder- und dem natürlichen Koordinatensystem, ist, dass es (zumeist) in einem festen Punkt oder einem Punkt mit konstanter Geschwindigkeit, v = const befestigt wird und die Richtungen seiner Richtungsvektoren ex, ey, ez ebenfalls konstant bleiben. 1.2.2.2 Vektoralgebra a) Summation von Vektoren, Abb. 1.5 R1= A1 + A2 = { A1x + A2x ; A1y + A2y ; A1z + A2z } = { Rx ; Ry ; Rz } (1.10) R = [(A1 + A2) + A3] + A4 = [R1 + A3] + A4 = R2 + A4 R = A1 - A2 = A1 + (- A2) (1.11)

Abb. 1.5: Addition und Subtraktion von Vektoren

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b) Skalarprodukt (zweier Vektoren), auch Inneres Produkt (engl.: dot- product, also Punkt- Produkt) genannt B · A = A · B = |A| |B| cosϕ (1.12) (sprich: B „Punkt“ oder „Skalar“ A) Ein spezielles Skalarprodukt stellt die sogenannte Orthogonalitätsbedingung zwischen zwei Vektoren dar: Für ϕ = π /2 gilt nach (1.12) A · B = 0; (1.13) insbesondere gilt ex · ey = 0, ex · ez = 0, ey · ez = 0, denn die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems stehen ja senkrecht aufeinander. Für ϕ = 0 gilt A · B = |A| |B| = A B, und natürlich gilt ex · ex = 1, ey · ey = 1, ez · ez = 1, Hinter dem Skalarprodukt steht die geometrische Aussage „Projiziere den Vek-tor B auf den Vektor A“, Abb. 1.6.

Abb. 1.6: Skalarprodukt zweier Vektoren A · B = { Ax, Ay, Az } · { Bx, By, Bz } = ( Ax Bx + Ay By + Az Bz ) = |A| |B| cosγ (1.14) A . B = (A1 + A2) . B = A1 . B + A2 . B und cosγ = (A · B) / |A| |B| (1.15) Hinweis: Es gibt in der Vektoralgebra keine Division von Vektoren !

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c) Vektorprodukt (zweier Vektoren), auch Äußeres Produkt (engl.: cross- product, also Kreuz- Produkt) genannt A x B = C = |A| |B| sinϕ e = - B x A , (1.16) (sprich: A „Kreuz“ B) Ein spezielles Kreuzprodukt stellt die sogenannte Parallelitätsbedingung zwischen zwei Vektoren dar: Für ϕ = 0 gilt A x B = 0, (1.17) insbesondere gilt ex x ex = ey x ey = ez x ez = 0 . Wichtig ist auch die Determinantenschreibweise dieses Produkts:

= ex ( Ay Bz - Az By ) - ey ( Ax Bz – Az Bx ) + ez ( Ax By - Ay Bx ) (1.18.1) = { Ay Bz - Az By , Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx }. (1.18.2) Bemerkung: Hinter dem Vektor- Produkt steht die geometrische Aussage „drehe Vektor A in die Richtung von Vektor B“, Abb. 1.7.

Abb.1.7: Vektorprodukt zweier Vektoren d) Skalarprodukt dreier Vektoren, auch Spatprodukt genannt Das Spatprodukt (Skalarprodukt dreier Vektoren), (1.19), wird im Rahmen der Mechanik eher selten benötigt.

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Das Spatprodukt dreier Vektoren A, B, C, die vom gemeinsamen Punkt O ausgehen, Abb. 1.8, bildet das Volumen V eines Parallelepipeds, (1.19), (A x B) · C = (B x C) · A = (C x A) · B = V (1.19 ) Da z.B gilt, (A x B) · C = A · (B x C), für zyklische Vertauschung und, (A x B) · C = - (B x A) · C, für nicht zyklische Vertauschung, lässt sich für das Spatprodukt schrei-ben

Abb. 1.8: Skalarprodukt dreier Vektoren A · B · C = A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = (B x C) · A = = - A · (C x B) = - B · (A x C) = - C · (B x A) = - (C x B) · A = … , (1.20) was sich mit A = {Ax, Ay, Az}, B = {Bx, By, Bz}, C = {Cx, Cy, Cz} als

= Ax (By Cz – Bz Cy) + Ay (Bz Cx – Bx Cz) + Az (Bx Cy – By Cx) (1.20.2) schreiben lässt. Verschwindet das Spatprodukt dreier Vektoren A, B, C, d.h. V = 0, so bedeutet das, dass alle drei Vektoren in einer Ebene liegen !

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e) das dreifache Vektorprodukt Für dieses Produkt gilt

Abb. 1.9: Vektorprodukt dreier Vektoren nach Abb. 1.9, für den in der B, C- Ebene liegenden Vektor der sogenannte Ent-wicklungssatz A x (B x C) = (A · C) B – (A · B) C . (1.22) f) die Gleichung einer Geraden im Raum Die Gleichung wird bestimmt durch den Radiusvektor r, der, ausgehend vom Punkt O, zum Punkt P der Geraden weist, Abb. 1.10. Ist g, |g| = 1,der Richtungsvektor der Geraden, ro ein fester Radiusvektor zu einem beliebigen Punkt Po auf der Geraden, so gilt r = r (t) = r0 + g t = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez , (1.23) mit x(t), y(t) und z(t) als Funktionen der Zeit t.

Abb. 1.10: Gerade im Raum

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1.2.2.3 Differentiation (und Integration) eines Vektors Ein zeitlich veränderlicher Vektor r(t), im raumfesten, kartesischen Koordinaten-system, wird nach der Zeit differenziert gemäß r = dr/dt = dx/dt ex + dy/dt ey + dz/dt ez = { vx , vy , vz }, (1.24) also komponentenweise. Hinweis : Auch die Integration eines Vektors erfolgt komponentenweise ! 1.2.2.4 Das natürliche Koordinatensystem Der Punkt P bewegt sich während der Zeit t längs der Raumkurve der Bogenlänge s, Abb. 1.11 a). An den bewegten Punkt P wird nun das natürliche Koordinatensystem geheftet- deshalb wird es auch « begleitendes Dreibein » genannt-, und zwar so, dass für die drei Einheitsvektoren, den Tangential- Einheitsvektor et, den Normal- Einheitsvektor en und den Binormal- Einheitsvektor ec folgende Festlegungen gelten : et (t) = dr (s)/ ds , | et (t) | = 1. (1.25.1) Dieser Vektor ändert beim Fortschreiten von P (t) zu P (t + Δt) um | Δr | ≈ | Δ s | le-diglich seine Richtung, geht also über in et + Δet . Beide Vektoren bilden die so-genannte Schmiegungsebene Π, in Abb. 1.11 b) schraffiert dargestellt. Der Normal- Einheitsvektor en soll in der Schmiegungsebene liegen, also en (t) = (det / ds)/ |det / ds| , |en| = 1 , (1.25.2) - da en in der Schmiegungsebene liegt, senkrecht zu et steht und die Richtung von det besitzt, weist en stets zur konkaven Seite der Raumkurve, in Richtung ihres momentanen Krümmungsmittelpunkts; mit der Festlegung von et und en gilt ec (t) = et x en . (1.25.3) Bemerkung: Das natürliche Koordinatensystem lässt sich in der Mechanik besonders vor-teilhaft für räumliche Bewegungen verwenden: Die Schmiegungsebene „os-zilliert“ dabei so an der räumlichen Bahnkurve entlang, dass die Beschleu-nigung in Binormalen-Richtung stets Null ist.

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Abb. 1.11: zum natürlichen Koordinatensystem a) Bewegung von P längs einer Raumkurve b) Bildung der Schmiegungsebene Π 1.2.2.5 Das Zylinder- Koordinatensystem Der Punkt P’ bewegt sich während der Zeit t längs einer Raumkurve- beschrieben durch die Zylinderkoordinaten r,φ,z. Seine Projektion P bewegt sich in der soge-nannten Polarebene, in der seine Verschiebung beschrieben wird durch die Polar-koordinaten r,φ, Abb. 1.12. Für den in Radialrichtung weisenden Radial- Einheitsvektor er gilt er = ex cos φ+ ey sinφ (1.26.1) und für den Zirkular- Einheitsvektor eφ gilt eφ = - ex sinφ + ey cosφ , (1.26.2) mit φ = φ (t). Hinweis: Der Einheitsvektor ez steht natürlich senkrecht auf der Polarebene !

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Abb. 1.12: zum Zylinder- Koordinatensystem - dargestellt ist die sogenannte Polarebene er, eφ Bemerkung: Das Zylinder- Koordinatensystem setzt man vorteilhaft zur Beschreibung von Drehbewegungen ein, wie z.B. im dargestellten Fall, des Punktes P um die z- Achse. Dabei verfolgt der Radiusvektor r, der bei diesem Koordinatensystem immer in der Polarebene liegt, stets die Projektion des Punktes P auf die Polar-ebene ! 1.2.3 Tensoren Tensoren stellen eine kompakte Beschreibung der Zusammenhänge geometrischer und physikalischer Größen dar, die durch einen Zahlenwert und eine Richtung oder durch mehr als zwei Merkmale festgelegt sind. Im Gegensatz zum Vektor kann der Tensor i.Allg. nicht geometrisch gedeutet werden, er ist ein „abstraktes Gebilde“. Tensoren werden in zwei gleichberechtigten Formen dargestellt, in Index- Schreib-weise oder in symbolischer Schreibweise- letztere ist aus der klassischen Vektor-rechnung abgeleitet und weit verbreitet in der Kontinuumsmechanik. Es gibt eine Tensoralgebra und eine Tensoranalysis, /2/. __________________________________________________________________ /2/ Riemer, Michael/ Wauer, Jörg/ Wedig, Walter Mathematische Methoden der Technischen Mechanik; Springer Verlag, Berlin 1993

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1.2.4 Berechnung des Schwerpunkts, der Flächenmomente und der Massenmomente /3/ 1. Berechnung des Schwerpunkts S einer Strecke, einer Fläche oder eines Vo- lumens; Statisches (Strecken,- Flächen- oder Volumen-) Moment 1. Ordnung Man unterscheidet die Ermittlung eines Strecken-, eines Flächen- und eines Massen-schwerpunkts S. Der Streckenschwerpunkt S mit der Koordinate xS ermittelt man nach xS = ∑(xSi li)/ ∑(li) (1.27.1) (i) (i) mit den Teillängen li in x- Richtung und ihren jeweiligen Schwerpunktsabständen xSi; für ySi, zSi erhält man die äquivalenten Gleichungen zu (1.27.1). Der Flächenschwerpunkt S (einer Fläche in der x,y- Ebene) berechnet sich bei ei-ner endlichen Anzahl von i Teilflächen Ai mit einfacher Geometrie (geometrischen Grundformen) nach xS = ∑(xSi Ai)/ ∑ (Ai) (1.28.1) (i) (i) mit den Teilflächen Ai in x- Richtung und ihren jeweiligen Schwerpunktsabständen xSi; für ySi erhält man eine äquivalente Gleichung zu (1.28.1). Ist die Zerlegung in i Teilflächen mit einfachen geometrischen Grundformen nicht möglich, dann gilt an-stelle von (1.28.1) xS = ∫ x dA/ ∫ dA (1.29.1) (A) (A) und yS = ∫ y dA/ ∫ dA (1.29.2) (A) (A) - mit der Bedingung, dass die Fläche A auf einen analytisch lösbaren Integralausdruck x dA bzw. y dA führt. Der Massenschwerpunkt oder- bei konstanter Dichte ρ – der Volumenschwer-punkt berechnet sich analog zu den vorhergehenden Größen: Bei einem Körper, der aus i geometrischen Grundkörpern besteht, berechnet man den Schwerpunktsabstand in x- Richtung nach xS = ∑( xSi Vi)/ ∑(Vi), (1.30.1)

(i) (i) ___________________________________________________________________ /3/ Mayr, Martin Technische Mechanik; Carl Hanser Verlag, München, 2002

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und m.H. entsprechender Gleichungen berechnet man yS und zS. Bemerkung: Der Ausdruck xSi li bzw. x dA, y dA bzw. xSi Vi d.h. Strecke x Länge bzw. Strecke x Fläche bzw. Strecke x Volumen , heißt Statisches Moment (oder Moment erster Ordnung) der Strecke l oder der Fläche A oder des Volumens V bezogen auf die x- Achse, y- Achse durch den Schwerpunkt S. 2.1 Berechnung des Flächen(trägheits)moments; Statisches (Flächen-) Moment 2. Ordnung Es werden für die Statik deformierbarer Systeme (Festigkeitslehre) folgende Größen definiert: Die Axialen Flächenträgheitsmomente der (ebenen) Fläche A bezogen auf die Achse y und z Iyy ≡ Iy = ∫ z2 dA, (1.31.1) (A) Izz ≡ Iz = ∫ y2 dA (1.31.2) (A) und das Polare Flächenträgheitsmoment der (ebenen) Fläche A bezogen auf eine Achse durch den Koordinatenursprung 0 IP = ∫ r2 dA = Iy + Iz (1.32) sowie das Zentrifugal- oder Deviationsmoment der (ebenen) Fläche A Iyz = Izy = - ∫ yz dA . (1.31.3) (A) Besitzt die Fläche A eine Symmetrieachse, die gleichzeitig y- oder z- Achse ist, so ist Iyz ≡ 0. Bemerkung: Man erkennt natürlich sofort, dass der Begriff des Moments 2. Ordnung auf den quadratischen Term z2 dA, y2 dA, r2 dA, yz dA, also „Strecke hoch zwei x Fläche“ zurückzuführen ist. 2.2 Parallelverschiebung des Koordinatensystems; STEINERscher Satz Für die wichtigsten Querschnittsflächen von Bauteilen (Profilen) sind die axialen Flächenträgheitsmomente tabelliert. Und zwar werden diese Flächenträgheitsmo-mente auf Achsen y’, z’ durch den Koordinatenursprung 0’ (meistens wählt man für diesen den Schwerpunkt S der Querschnittsfläche)- parallel zu den Achsen y, z durch den Koordinatenursprung 0- bezogen angegeben.

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Man erhält so für z’ = z + b und y’ = y + a Iy’y’ = Iyy + b2 A, (1.33.1) Iz’z’ = Izz + a2 A, (1.33.2) IP’ = IP + (a2 + b2) A und (1.34) Iy’z’ ≡ Iz’y’ = Izy + ab A . (1.33.3) Hinweis: Der Term b2A, a2A, (a2 + b2)A, abA, der bei der Umrechnung der Flächenträg-heitsmomente von einem y,z- Bezugssystem auf ein paralleles y’, z’- System entsteht, wird STEINER- Term genannt. 3. Berechnung des Massenträgheitsmoments; Statisches (Massen-) Moment 2. Ordnung Für die Rotation von (Starr-) Körpern definiert man mit Θxx ≡ Θx = ∫ (y2 + z2) dm (1.35.1) (V) Θyy ≡ Θy = ∫ (x2 + z2) dm (1.35.2) (V) Θzz ≡ Θx = ∫ (x2 + y2) dm (1.35.3) (V) die axialen Massenträgheitsmomente und mit Θxy ≡ ∫ xy dm = Θyx, Θxz ≡ ∫ xz dm = Θzx, Θyz ≡ ∫ yz dm = Θzy (1.36.1/2/3) (V) (V) (V) die Deviationsmomente eines (Starr-) Körpers der Masse m. Tabelliert sind die auf eine Achse durch den Schwerpunkt S bezogenen Mas-senträgheitsmomente häufig für einfache geometrische Grundkörper: Kennt man ΘS, so lässt sich das auf eine zur Schwerachse parallele, um die Strecke a entfernte Achse bezogene Massenträgheitsmoment Θa – nach dem Satz von STEINER - als Θa = ∫ r2 dm = ∫ (a + s)2 dm = a2 ∫dm + 2a ∫ s dm + ∫ s2 dm (V) (V) (V) (V) (V) = ΘS + ma2 (1.37) schreiben.

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Für praktische Rechnungen führt man häufig den Trägheitsradius i und die reduzierte Masse mred ein, so dass gilt Θ = ∫ r2 dm = m i2 = mred R2 , (1.38) (V) mit dem vorgegebenen Radius R, in dem man sich die Masse mred konzentriert denkt oder den Abstand i von der Bezugsachse, in dem man die Gesamtmasse m konzen-triert. Bemerkung: Näheres zu der Berechnung des Schwerpunkts, der Flächenträgheitsmomente und der Massenträgheitsmomente wird noch in den Kapiteln abgehandelt, in denen diese Größen benötigt werden.

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4.1 Kinematik Bemerkung: Der Leser wird ein wenig erstaunt sein, hier, „vorgezogen“, das Kapitel „Kine-matik“ vorzufinden, doch stimme ich hier überein mit K.- A. Reckling /1/, der feststellt, dass die Kinematik nur wenige Konzepte der Mechanik beinhaltet und in erster Linie ganz formal mit mathematischen Methoden behandelt wer-den kann. Der Student lernt so die Anwendung der in der Mechanik notwendigen mathe-matischen Konzepte des Kap. 1.2 schon zu Beginn des Kurses kennen. 4.1.1 Zur Kinematik des GALILEI GALILEI war der erste Experimentator im modernen Sinn, der anhand von Ver-suchen die Kinematik der (geradlinigen) Fallbewegung intuitiv richtig beantworten konnte: Er beobachtete, dass verschiedene Körper offenbar „gleich schnell“ fielen, dass dabei die Geschwindigkeit v (engl. velocity) stetig zunahm und zwar nicht mit dem Weg s sondern mit der Zeit t. Also setzte er für die Fallgeschwindigkeit v richtig an v = g t (4.1.01) - mit g als Proportionalitätskonstanter. Da sich dieses Geschwindigkeits- Zeit- Gesetz v(t) schwer nachprüfen ließ, leitete GALILEI das zugehörige Weg- Zeit- Gesetz s(t) ab und bestätigte dieses dann expe-rimentell: GALILEI deutete den Flächeninhalt unter der v(t)- Kurve (einem Dreieck !), Abb. 4.1.01, als „Summe seiner Höhen“, woraus sich nach s(t) = gt t/2 = gt2/2 (4.1.02) die Verschiebung (oder der Weg) (richtig) berechnen lässt. Die Proportionalitätskonstante g = v/t, nach (4.1.01), stellt die Änderung der Ge-schwindigkeit v pro Zeiteinheit t dar, schon von GALILEI Beschleunigung genannt. Heutzutage werden Geschwindigkeit v und Beschleunigung a der geradlinigen (ungleichförmigen) Bewegung mathematisch, als differentielle Größen eingeführt: Die Geschwindigkeit v der geradlinigen Bewegung ist die erste Ableitung des Weges s nach der Zeit t, . v(t) = lim Δs/Δt = ds/dt = s (t), Δt→0 (4.1.03)

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Abb. 4.1.01: Zur Kinematik des Freien Falls oben: Geschwindigkeit v vs. Zeit t unten: Weg s vs. Zeit t die Beschleunigung a (engl. acceleration) der geradlinigen Bewegung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t oder die zweite Ableitung des Weges s nach der Zeit t, . .. a(t) = lim Δv/Δt = dv/dt = v(t) = d2s/dt2 = s(t). (4.1.04) Δt→0 Bemerkung: Spezielle Themen der geradlinigen Fallbewegung werden hier nicht explizit behan-delt, sondern lediglich im Rahmen von entsprechenden Übungsaufgaben bearbeitet. 4.1.2 Bezugssystem und Freiheitsgrad In der Mechanik werden für den festen realen Körper verschiedene Modelle verwendet, neben dem Punkt ist das der feste Körper, der als starrer Körper und als deformierbarer Körper, das sogenannte Kontinuum behandelt wird. Die Kinematik formuliert für diese Modelle die Gesetzmäßigkeiten (das „Wie“) einer Bewegung längs einer (geraden oder gekrümmten) Bahn, einer Ebene oder im Raum.

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In der Kinematik kann dabei jedes Koordinatensystem, fest oder bewegt, als Bezugs-system gewählt werden,1. Die Anzahl der Koordinaten, die man benötigt, um die Lage eines Körpers zu einer bestimmten Zeit t anzugeben, wird als Zahl n der Freiheitsgrade (FrGr) bezeichnet, Tab. 4.1.01, mit nT, der Zahl der FrGr der Translations- und nR, der Zahl der FrGr der Rotationsbewegung.

Körper Bewegung Anzahl und Typ der FrGr

nT nR Punkt längs Linie 1

längs Ebene 2 im Raum 3

Starrer Körper längs Ebene 2 1 im Raum 3 3

System Starrer Körper im Raum n ≥ 1

Kontinuum im Raum n = ∞ Tab. 4.1.01: Anzahl der Freiheitsgrade (FrGr) n der Bewegung von Modellen fester Körper der Mechanik 4.1.3 Kinematik des Punktes Der Punkt P bewege sich längs einer Raumkurve, Bahnkurve (oder Trajektorie) ge-nannt. Bezogen auf ein feststehendes kartesisches Koordinatensystem x,y,z mit dem Be-zugspunkt 0, beschreibt der Ortsvektor r (t) von 0 nach P die Bewegung des Punktes P vollständig, Abb. 4.1.02, a). Durch Differenzieren von r (t) nach t erhält man die (Absolut-) Geschwindigkeit v (t) des Punktes P zur Zeit t . v(t) = lim [r(t + Δt) – r(t)]/Δt = dr/dt ≡ r(t) Δt→0 . . . = {x(t), y(t), z(t)}. (4.1.05) Der Geschwindigkeitsvektor v hat dieselbe Richtung wie dr, tangiert also die Bahn-kurve in P; der absolute Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist gleich dem abso-luten Betrag der Bahngeschwindigkeit v(t), da nach _____________ ⎢dr ⎢ = ⎢r (t)⎢ dt = = dt ⎢dr ⎢/dt = √ dx2 + dy2 + dz2 = ⎢ds⎢ , ⎢dr ⎢ gleich dem Betrag des Bogenelements ds der Bahnkoordinate s(t) ist. Also

1 in der Kinetik sind die Grundgesetze an ein sogenanntes Inertialsystem gebunden

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v(t) = ⎢v(t)⎢ = ⎢dr ⎢/dt = ⎢ds ⎢/dt _______________________. = √ (dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2 . (4.1.05.1) Trägt man die Geschwindigkeitsvektoren v(t), von einem festen Bezugspunkt 0‘ aus, auf, und legt durch die Spitzen von v(t) eine Kurve, so wird diese Hodograph ge-nannt, Abb. 4.1.02 b). Die zeitliche Änderung der (Absolut-) Geschwindigkeit v(t), die (Absolut-) Beschleu-nigung a(t), ist . .. a(t) = lim [v(t + Δt) – v(t)]/Δt = dv/dt ≡ v(t) = r(t) . (4.1.06) Δt→0 Dieser Vektor hat die gleiche Richtung wie dv , tangiert also den Hodographen in P‘, jedoch nur in der geradlinigen Bewegung auch die Bahnkurve. Die Lage des Beschleunigungsvektors zur Bahnkurve lässt sich am besten m.H. des mitbewegten, sogenannten natürlichen Koordinatensystems mit den orthonormalen Einheitsvektoren et, en, ec – Kap. 1.2.2.4- (in Abb. 4.1.02 als t, n, c dargestellt) herleiten. Zunächst gilt v(t) = v(t) et . (4.1.07) Durch Differenzierung von (4.1.07) nach t erhält man a(t) = d[v(t) et]/dt = dv /dt et + v det /ds ds/dt . = v et + v2 ⎢det /ds⎢en . (4.1.08.1) Nach Abb. 4.1.02. b) gilt ⎢Δet ⎢ = 2 sin(Δα/2) und daraus erhält man, beim Grenz-übergang Δs→0, für ⎜det /ds⎜ = lim [2 sin(Δα/2)]/Δs Δs→0 = lim [2 Δα/Δα sin[(Δα/2)/(Δα/2)]]/Δs Δs→0 = lim Δα/Δs lim sin(Δα/2/(Δα/2)) = dα /ds = 1/R ; Δs→0 Δα→0 R ist der Krümmungsradius der Bahnkurve im Punkt P. Für die Beschleunigung des Punktes P längs der gekrümmten Bahnkurve ergibt sich damit also . a(t) = v et + v2/R en = at et + an en . (4.1.08)

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Abb. 4.1.02: Bewegung eines Punktes P längs einer räumlichen Bahnkurve

a) Bewegung bezüglich eines ruhenden kartesischen oder eines mit- bewegten Bezugssystems

b) zur Verschiebung des Tangenten- Einheitsvektors c) Bewegung des Punktes längs des zugehörigen (virtuellen) Hodo-

graphen

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Die Beschleunigung a besitzt also zwei Komponenten, die Tangentialbeschleunigung und die Normalbeschleunigung, at und an: Der Vektor a(t) liegt stets in der Schmiegungsebene, da er keine Komponente in Richtung der Binormalen besitzt; Da v2/ R > 0, ist die Normalbeschleunigung an stets in Richtung des Krümmungs-mittelpunktes M, also zur konkaven Seite der Bahnkurve gerichtet. Für at >0 (beschleunigte Bewegung entlang der Bahnkurve) weist at in Richtung et,, für at <0 (verzögerte Bewegung entlang der Bahnkurve) in Richtung – et . Durch an wird nur die Bewegungsrichtung geändert. Ist an = 1/R = 0, herrscht eine geradlinige Bewegung. Eine in der Technik sehr häufig verwendetes Bezugssystem ist das der Polarkoor-dinaten, Abb. 4.03, das hier für die ebene Bewegung eines Punktes dargestellt werden soll. Anstatt die Lage eines Punktes P zur Zeit t durch den Radiusvektor r (t) bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems anzugeben, kann man diese auch m.H. des Betrags und der Richtung von r (t), also die Polarkoordinaten r(t) und ϕ(t) beschrei-ben, r(t) = r(t) er (4.1.09) Durch Differenzieren erhält man daraus die (Absolut-) Geschwindigkeit des Punktes P . . . v (t) = r (t) = r er + r er ; nach Abb. 4.1.03.b) gilt aber Δer = ⎜er ⎜ Δϕ eϕ und also . . er = lim Δer /Δϕ = eϕ lim Δϕ/Δt = ϕ eϕ , Δϕ→0 Δt→0 womit dann gilt v(t) = r er + r ϕ eϕ = vr er + vϕ eϕ = vr + vϕ , (4.1.10) vr heißt Radial-, vϕ Umfangsgeschwindigkeit. . . Nach Abb. 4.1.03 b) gilt auch eϕ = - ϕ er , womit sich für die (Absolut-) Be-schleunigung des Punktes P .. . . . . .. . . a(t) = dv /dt = r er + r er + r ϕ eϕ + r ϕ eϕ + r ϕ eϕ .. . . . .. = (r – r ϕ2) er + (2 r ϕ + r ϕ) eϕ = ar er + aϕ eϕ = ar + aϕ (4.1.11) schreiben lässt. . . ar heißt Radial-, aϕ Umfangsbeschleunigung; der Term ( 2 r ϕ ) der Umfangsbe-schleunigung wird CORIOLIS- Beschleunigung genannt.

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Abb. 4.1.03: Bewegung eines Punktes P längs einer ebenen Bahnkurve

a) Bewegung bezüglich sich um den Koordinatenursprung drehende Polarkoordinaten

b) zur Verdrehung der Einheitsvektoren er, eϕ Für die Transformation der ebenen Bewegung eines Punktes P von Polarkoor-dinaten auf kartesische Koordinaten ergeben sich folgende Gleichungen: Für die Verschiebung oder den Weg x = r cosϕ y = r sinϕ , für die (Absolut-) Geschwindigkeit . . . vx = x = r cosϕ - r ϕ sinϕ

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. . . vy = y = r sinϕ + r ϕ cosϕ und für die (Absolut-) Beschleunigung .. .. . . .. . ax = x = r cosϕ - 2 r ϕ sinϕ - r ϕ sinϕ - r ϕ2 cosϕ .. .. . . .. . ay = y = r sinϕ + 2 r ϕ cosϕ + r ϕ cosϕ - r ϕ2 sinϕ . Im Fall der Punktbewegung längs einer räumlichen Bahnkurve lässt sich diese auch m.H. von Zylinderkoordinaten r(t), ϕ(t) und z(t) beschreiben. Die dabei auftretende Erweiterung der Polarkoordinaten r(t), ϕ(t) durch z(t) und die entsprechende Erweiterung der Gleichungen (4.1.09), (4.1.10) und (4.1.11) ist trivial. 4.1.3.1 Spezielle Probleme der Kinematik des Punktes a) ebene Kreisbewegung . Aus (4.1.10) und (4.1.11) folgt aufgrund von r = const, r = 0 die Umfangsge-schwindigkeit . v = r ϕ eϕ (4.1.12.1) und die Beschleunigung . .. a = - r ϕ2 er + r ϕ eϕ , (4.1.12.2) mit der Tangential- oder Bahnbeschleunigung .. ar = r ϕ eϕ und der Zentripetalbeschleunigung . aϕ = - r ϕ2 er . Diese Beschreibung der ebenen Kreisbewegung in polaren Koordinaten lässt sich ergänzen durch die Beschreibung in natürlichen Koordinaten, Abb. 4.1.04: . Die Umfangsgeschwindigkeit ist hier v = v(t) et = r ϕ et , . .. die Tangential- oder Bahnbeschleunigung ist at = v et = r ϕ et = aϕ und die Zentri-petalbeschleunigung ist . . an = v2/r en = (r ϕ)2/r en = r ϕ2 en = - ar .

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Abb. 4.1.04: ebene Kreisbewegung Mit der Definition der Winkelgeschwindigkeit Ω als Ω(t) = dϕ/dt (4.1.13.1) und der Winkelbeschleunigung ε als ε (t) = dΩ/dt = d2ϕ/dt2 (4.1.13.2) lassen sich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten der ebenen Kreisbewegung auch darstellen als vϕ = r Ω, aϕ = r ε und ar = - r Ω2 . b) geradlinige Bewegung Hierfür kann auf den Vektorcharakter der kinematischen Größen verzichtet werden. Es sind sechs Darstellungen zu unterscheiden

- die Verschiebung oder der Weg ist als Zeitfunktion s(t) mathematisch oder graphisch gegeben .

- die Geschwindigkeit ist als Zeitfunktion v(t)= s(t) gegeben . ..

- die Beschleunigung ist als Zeitfunktion gegeben, also a(t) = v(t) = s(t) - die Geschwindigkeit ist als eine Funktion des Weges v(s) gegeben - die Beschleunigung ist als eine Funktion des Weges a(s) gegeben - die Beschleunigung ist als eine Funktion der Geschwindigkeit a(v) gegeben.

Die Anfangsbedingungen (AB) für t = t0 lauten dabei z.B. s(t0) = s0 und v(t0) = v0. c) Schiefer Wurf Der Schiefe Wurf besteht darin, dass ein Festkörper der Masse m mit der Anfangs-geschwindigkeit v(t= t0) = v0 unter dem Winkel α0 zur Waagerechten im Schwerefeld der Erde abgeworfen wird, Abb. 4.1.05.

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Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes bestimmt allein die Erdbeschleunigung g die Wurf- und Fallbewegung des Körpers, d.h. es gilt .. r (t) = - g ez mit den Anfangsbedingungen (AB) . r (t= 0) = v0 = {vx(t= 0); 0; vz(t= 0)} = v0 {cosα0, 0, sinα0} . Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen beträgt die Geschwindigkeit zur Zeit t v (t) = {v0 cosα0, 0, v0 sinα0- gt} und hieraus berechnet sich der Weg zur Zeit t r (t) = {v0 t cosα0, 0, v0 t sinα0 – g t2 + z0} . Hiermit lassen sich nun unterschiedliche Fragestellungen analysieren bzw. berechnen: - der Betrag der Geschwindigkeit v(t) - die Geschwindigkeit im Scheitel der Bahnkurve - die Gleichung der Wurfparabel - die Wurfweite - die Steigzeit bis zum Scheitel - die Wurfhöhe - der senkrechte Wurf Interessant ist z.B. die Frage nach der Größe des Abwurfwinkels α0 um ein be-stimmtes Ziel zu erreichen: Anhand der Gleichung für die Wurfweite l l = v0

2 sin2α0/g lassen sich drei Fälle unterscheiden: __

- Für gl/v02 > 1 bzw. v0 < √gl ist die Geschwindigkeit v0 zu gering, um das Ziel

zu erreichen

- Für gl/v02 < 1 gibt es zwei Winkel 2α01, 2α02 zwischen 0 und π, deren sinus

gleich gl/v02 ist. Es sind dies nach Abb. 3.06 a) die Winkel

2α01 + 2ε = π/2, des sogenannten Flachwurfs unter dem Winkel α01 = π/4 - ε, und 2α02 - 2ε = π/2, des sogenannten Steilwurfs unter dem Winkel α02 = π/4 - ε , dargestellt in Abb. 4.1.06 b).

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___ - Für gl/v0

2 = 1 oder v0 = √ gl ist ε = 0, d.h die beiden Wurfparabeln fallen zusammen und der Abwurfwinkel beträgt α0 = π/4.

Abb. 4.1.05: schiefer Wurf

a) in kartesischen Koordinaten b) in natürlichen Koordinaten c) Hodograph

Abb. 4.1.06: zum Flach- und Steilwurf a) Ermittlung der Abwurfwinkel α01, α02 b) Wurfparabeln

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4.1.4 Kinematik des starren Körpers

Abb. 4.1.07: räumliche Bewegung des Starren Körpers Ein starrer Körper lässt sich durch drei unterschiedliche Körperpunkte P1, P2, P3 fixieren, so dass er sich kinematisch anhand eines Dreiecks, „beschreibendes Dreieck“ genannt, mit den Seitenlängen l1, l2, l3 beschrieben werden kann. Die Anzahl der Freiheitsgrade (FrGr) der räumlichen Bewegung beträgt nach Tab. 4.01 n = 6, denn neben den drei Radiusvektoren r1 (t), r2 (t) und r3 (t) mit neun Koordinaten existieren noch drei Beziehungen der Form (r2 – r1)2 = l32, so dass sich die Anzahl der unabhängigen Koordinaten, also FrGr, auf sechs verringert. Um die Form dieser FrGr zu analysieren, werden zwei beliebige, räumliche Positio-nen des starren Körpers gewählt, die sich stets aus einer Translation um Δri (mit drei Koordinaten für die Translation) und einer Rotation (mit den drei sogenannten EULER- Winkeln) um einen der Körperpunkte darstellen lässt- wobei die Reihenfolge von Translation und Rotation beliebig ist. Hält man einen starren Körper in einem Punkt fest, so führt er eine Kreiselbewegung aus, die durch die drei sogenannten EULER- Winkel eindeutig beschrieben werden kann. Hinweis: Aus didaktischen Gründen wird zunächst die ebene Bewegung des starren Körpers behandelt.

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4.1.4.1 Ebene Bewegung des starren Körpers Die Bewegung des starren Körpers ist vollständig bestimmt, wenn man die Koordi-naten des zu einer Geraden, der sogenannten „beschreibenden Geraden“- mit den Endpunkten A, B in Abb. 4.1.08, entarteten „beschreibenden Dreiecks“ angeben kann:

Abb. 4.1.08: zwei Lagen der „beschreibenden Geraden“ der ebenen Bewegung des starren Körpers Die Bewegung besitzt also drei FrGr, zwei Translationen und eine Rotation- xA, yA und α in Abb. 4.1.08. Anhand Abb. 4.1.08 lässt sich aber auch zeigen, dass sich jede endliche ebene Ver-schiebung darstellen lässt als eine Drehung um eine senkrecht zur Bewegungsebene stehende Achse: Die beiden Lagen A,B und A1,B1 der Geraden der Länge l, zur Zeit t und t+Δt, lassen sich beschreiben durch eine Drehung um den Punkt M, der zunächst den Schnitt-punkt der Mittelsenkrechten der Strecken A,A1 und B,B1 darstellt. Für Δt→0 erhält man m.H. der Verschiebungsvektoren Δa und Δb die Geschwindig-keiten vA, vB der Punkte A, B zu vA = lim Δa/Δt , vB = lim Δb/Δt Δt→0 Δt→0 mit den Beträgen vA = rA dϕ/dt = rA Ω, vB = rB dϕ/dt = rB Ω, woraus sich die Beziehungen vA/rA = Ω = vB/rB (4.1.14) bilden lassen.

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Die im Punkt M senkrecht zur Bewegungsebene stehende Achse wird Momentan-achse genannt, M auch Momentanzentrum oder Momentanpol. I.a. verändert M während der Bewegung des starren Körpers seine Lage: Seinen geometrischen Ort in einem raumfesten Koordinatensystem nennt man Spur-kurve (oder Polhodie), den geometrischen Ort in einem körperfesten (mitbeweg-ten) Koordinatensystem nennt man Rollkurve (oder Herpolhodie). Bei der ebe-nen Bewegung des starren Körpers rollt die Rollkurve mit der Winkelgeschwindigkeit Ω auf der Spurkurve ab, ohne zu gleiten; d.h. beide Kurven berühren sich zu jedem Zeitpunkt nur in einem Punkt, dem Momentanzentrum M. 4.1.4.2 Drehung um einen festen Punkt Die Drehung des starren Körpers um einen festen Punkt, Abb. 4.1.09, ist der ebenen Bewegung verwandt:

Abb. 4.1.09: „beschreibender Kreisausschnitt“ des um einen festen Punkt rotieren- den starren Körpers

a) Bogenstück A,B eines Großkreises um Festpunkt 0 b) zwei Positionen des „beschreibenden Kreisausschnittes“ auf der

Kugel um 0

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Jeder Geraden der Abb. 4.1.08 entspricht hier ein Großkreis auf der Kugel um 0; für eine differentiell kleine Verschiebung um dϕ ist OM momentane Achse. Man kann die ebene Bewegung als Spezialfall der Bewegung um einen festen Punkt bezeichnen, als Bewegung mit unendlich großem Kugelradius. Die Drehbewegung erzeugt im feststehenden Koordinatensystem einen raumfesten Kegel, den soge-nannten Spurkegel, Abb. 4.1.10, im körperfesten Koordinatensystem einen kör-perfesten Kegel, den sogenannten Rollkegel; beide Kegel berühren sich im Punkt 0, d.h. der Rollkegel rollt auf dem Spurkegel mit Ω ab. Sind die beiden Kegel Kreiskegel, so nennt sich das Abrollen beider Kegel aufeinan-der Präzessionsbewegung. Führt man für die Drehbewegung des starren Körpers um seine Momentanachse den Vektor der Winkelgeschwindigkeit Ω(t) = Ω(t) eϕ(t) = {Ωx(t), Ωy(t), Ωz(t)} , (4.1.15) ein, Abb. 4.1.11, so gilt für die Geschwindigkeit u(t) eines beliebigen Körperpunktes P die sogenannte EULERsche Geschwindigkeitsformel u(t) = dr/dt = Ω x r , (4.1.16)

Abb. 4.1.10: Spur- und Rollkegel bei der Bewegung des starren Körpers um einen festen Punkt 0 was nach u = ⎜u(t)⎜ = ⎜Ω⎜⎜r⎜sinα = ρ Ω den Betrag der Umfangsgeschwindigkeit von P um die Momentanachse darstellt: Also wird die Bewegung des starren Körpers um den Punkt 0 durch den Vektor der Winkelgeschwindigkeit Ω mit drei Komponenten dargestellt, d.h. die Bewegung besitzt drei FrGr !

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Abb. 4.1.11: Um einen Festpunkt rotierender starrer Körper, Vektor der Winkelge- schwindigkeit Ω = ω 4.1.4.3 Die allgemeine Bewegung des starren Körpers

Abb. 4.1.12: Aus Translation (eines beliebigen Körperpunktes A) und Rotation (um diesen Punkt) zusammengesetzte allgemeine (räumliche) Bewegung des Starren Körpers

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Die (Translations-) Geschwindigkeit des beliebigen Körperpunktes A beträgt vA = drA /dt in einem feststehenden Koordinatensystem. Auch P hat die gleiche Translations-geschwindigkeit wie A, doch er besitzt daneben – infolge der Drehung um die Mo-mentanachse mm- die Umfangsgeschwindikeit u = Ω x b , woraus die sogenannte EULERsche Geschwindigkeitsformel v(t) = dr/dt = drA/dt + db/dt = vA + u = vA + Ω x b = vA + Ω x (r – rA) (4.1.17) entsteht, nach der sich die Geschwindigkeit m.H. von sechs Koordinaten vollständig beschreiben lässt. Für die Beschleunigung des Punktes P gilt zunächst b(t) = d2 rA /dt2 + dΩ/dt x b + Ω x da/dt, woraus mit db/dt = u = Ω x b schließlich .. . b(t) = rA(t) + Ω x b + Ω x (Ω x b) (4.1.18) wird. Die einzelnen Teile der Beschleunigung b(t) in (4.1.18) lassen sich einfach interpre-tieren: Der erste Vektor stellt die Translationsbeschleunigung des Bezugspunktes A dar. Der zweite Vektor lässt sich insbesondere dann anschaulich erklären, wenn die Mo-mentanachse ihre Richtung beibehält und der Körper eine ebene Bewegung aus-führt. Dann weist dΩ/dt x b = (dΩ/dt /⎜Ω ⎜) (Ω x b) in Richtung von u, d.h. stellt also die Tangentialbeschleunigung dar. Der dritte Vektor lässt sich umformen Ω x (Ω x b) = Ω (Ω b) – b Ω2 = Ω2 [eϕ(eϕ b) – b] = Ω2 [AC eϕ - b] = Ω2 ρ eρ, was die Zentripetalbeschleunigung darstellt. Stellt man die EULERsche Formel (4.1.17) m.H. der Elementarverschiebung dr = drA + dϕ eϕ x b dar, so erkennt man, dass sich die Verschiebung dr aus einem Translationsanteil drA und einem Rotationsanteil zusammensetzt, der die Rotation des Körpers um die mo-mentane Drehachse durch den Bezugspunkt A darstellt, also dϕ eϕ x b .

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Betont werden muss auch, dass die Translationsgeschwindigkeit eines anderen Be-zugspunkts A’ vA’ = drA’/dt = vA + Ω x c beträgt, mit der Differenz v – vA’ = Ω x (b – c) sich also schreiben lässt v = vA’ + Ω x b = vA’ + Ω x (r – rA’) = vA + Ω x (r – rA) . Bemerkung: Vergleicht man das mit (4.1.17), so stellt man fest, dass der Vektor der Winkel-geschwindigkeit Ω eine Invariante, also unabhängig vom Bezugspunkt ist, während die Translationsgeschwindigkeit des Bezugspunktes sich mit dessen Wahl ändert. 4.1.4.4 Die Bewegungsschraube Die Bewegung des starren Körpers, die sich nach (4.1.15) und (4.1.17) durch die Translationsgeschwindigkeit vA eines beliebigen Bezugspunktes A und die invariante Winkelgeschwindigkeit Ω darstellen lässt, wobei i.a. vA und Ω nicht parallel sind, kann m.H. des Bezugspunktes Az in anderer Form dargestellt werden: AZ soll dazu so gewählt werden, dass Ω und vZ = vA + Ω x cZ parallel sind. Ist z.B. cZ senkrecht zu Ω, so gilt für die Parallelität Ω x (vA + Ω x cZ) = 0 bzw. Nach dem sogenannten Entwicklungssatz des dreifachen Vektorprodukts (1.22) A x (B x C) = (A C) B – (A B) C erhält man Ω x vA + (Ω · cZ) Ω - Ω2 cZ = 0, mit Ω · cZ = 0 wegen Ω ⊥ cZ . Das aber heisst, dass sich die allgemeine Bewegung des starren Körpers auf eine sogenannte Bewegungsschraube reduzieren lässt: Dabei dreht sich der Körper im betrachteten Augenblick mit Ω um die soge-nannte Zentralachse und bewegt sich gleichzeitig mit vZ in ihrer Richtung. Die Zentralachse hat zum beliebigen Bezugspunkt A , für den Ω und vA bekannt sind, den senkrechten Abstand cZ = (Ω x vA)/Ω2 , (4.1.19) i.a. ändert sich die Lage der Zentralachse mit der Zeit. Die Größe vZ erhält man, indem man vA auf Ω projiziert und m.H. eines in Richtung Ω weisenden Einheitsvektor Ω0 =Ω/ ⎜Ω⎜ schreibt

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vZ = ⎜vA⎜ cosψ Ω = [ ⎜vA⎜⎜Ω⎜cosψ /⎜Ω⎜] / (Ω/⎜Ω⎜) ; mit vA Ω = ⎜vA⎜ ⎜Ω⎜cosψ erhält man so, mit dem Parameter p der Bewegungsschraube, vZ = vA Ω/Ω2 Ω = p Ω . (4.1.20) 4.1.5 Die Relativbewegung Bei allen bisher behandelten Bewegungen handelte es sich um Absolutbewegungen. Die Frage ist nun, wie berechnet man die relative Bewegung eines Punktes P inner-halb eines bewegten Führungssystems.

Abb. 4.1.13: Relativbewegung des Punktes P auf dem Starrkörper mit dem mitbe- wegten, körperfesten Koordinatensystem Der Punkt P besitzt die Relativgeschwindigkeit _ _ vrel = dr/dt (4.1.21) und die Relativbeschleunigung _ _ arel = dvrel/dt , (4.1.22) _ _ _ die im mitbewegten, körperfesten, hier x,y,z- Koordinatensystem angegeben wird. Hinweis: Mit dem Strich oberhalb des Buchstabens soll verdeutlicht werden, dass diese Größe im mitbewegten Koordinatensystem zu bestimmen ist.

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Die Absolutgeschwindigkeit v des Punktes P setzt sich aus der Führungsge-schwindigkeit vF des starren Körpers und der Relativgeschwindigkeit vrel des Punktes gegenüber dem starren Körper zusammen: _ . _ _ v = vF + vrel = R + (Ω x r) + vrel ; (4.1.23) die Absolutbeschleunigung des Punktes P ist .. . _ __ _ b = dv/dt = R + Ω x r + Ω x dr/dt + dvrel /dt , was sich mit _ _ _ dr/dt = (Ω x r) + vrel und _ _ _ dvrel /dt = (Ω x vrel) + brel als .. . _ _ _ _ b = R + (Ω x r) + Ω x(Ω x r) + 2 Ω x vrel + brel (4.1.24) schreiben lässt. Mit der Führungsbeschleunigung bF .. . _ _ bF = R + (Ω x r) + Ω x(Ω x r) , (4.1.25.1) der CORIOLIS- Beschleunigung bC _ bC = 2Ω x vrel (4.1.25.2) _ und der Relativbeschleunigung brel gilt also für die Absolutbeschleunigung des Punktes P _ b = bF + bC + brel . (4.1.24.1) Bei der Differentiation eines Vektors im mitbewegten körperfesten System ist einerseits stets der Zusammenhang _ r = r – R , andererseits _ _ _ dr/dt = (Ω x r) + vrel (4.1.26) zu berücksichtigen. Hinweis : Zu betonen ist, dass (4.1.26) für die Ableitung eines beliebigen Vektors in einem mitbewegten System gilt!

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Bemerkung : Hiermit ist die Kinematik, das « Wie » der Bewegung eines mechanischen Systems abgehandelt. Es wird später, in der Kinetik, in das « Warum » der Be-wegung eines mechanischen Systems eingebunden, um die Dynamik eines mechanischen Körpersystems zu beschreiben.

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2. Grundlagen der Mechanik 2.1 Grundbegriffe Ausgehend vom Trägheitsgesetz von GALILEI „Jeder Körper ohne jegliche Einwirkungen von außen bleibt in Ruhe oder in geradliniger, gleichförmiger Bewegung“ (Dieses Gesetz ist ein AXIOM, d.h. eine nicht beweisbare Aussage, deren Richtigkeit lediglich der Erfahrung entspricht; es gilt in einem Inertialsystem) formulierte NEWTON den Begriff der Kraft. 2.1.1 Der Kraftbegriff Hier soll nicht versucht werden, den schwierig zu erklärenden Kraft- Begriff zu be-handeln, er wird axiomatisch eingeführt ! „Kraft“ hängt eng mit der Erfahrung des täglichen Lebens zusammen: Man muss auf einen Körper einen „Druck“ oder allgemeiner eine „Kraft“ ausüben, damit sich dieser in Bewegung setzt; die hierzu erforderliche (Muskelan-)“Spannung“ ist, je Größe und Art des zu bewegenden Körpers, größer oder kleiner. Der „Tastsinn oder Kraftsinn“ zeigt auch, dass die „Spannung“, also die „flächenhaft verteilten Kräf-te“, eine vektorielle Größen ist. 2.1.2 Die NEWTONschen Axiome Die NEWTONschen Axiome- d.h. nicht beweisbare Aussagen, deren Richtigkeit le-diglich der Erfahrung entspricht- bilden für die Translationsbewegung eines Mechanischen Systems einen Pfeiler des Fundaments der klassischen Mecha-nik- der EULERsche Momentensatz für die Rotationsbewegung den zweiten Pfeiler. Zum Aufbau der Statik starrer Körper benötigt man die nachfolgend dargestellten vier Axiome, die ihrerseits die Definition der Gleichwertigkeit einer Kraftgruppe voraus-setzen, also von Kräften, die an einem starren Körper angreifen: Zwei Kräftegruppen sind dann gleichwertig, wenn sie einen starren Körper im Gleichgewicht halten oder ihn gleich bewegen. I. Axiom Das Trägheitsaxiom sagt aus, dass der starre Körper in Ruhe oder einer gleich-förmigen geradlinigen Bewegung beharrt, wenn sich die auf ihn wirkenden Kräfte nicht ändern. Der Zustand der Ruhe wird in der Statik Gleichgewichtszustand genannt:

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Ist die Summe aller an einem Körper angreifenden Kräfte Null, so befindet sich der Körper im Gleichgewicht ! II. Axiom Das Verschiebungsaxiom sagt aus, dass die auf den starren Körper wirkenden Kräfte, die einen gleichen Betrag, eine gleiche Wirkungslinie und eine gleiche Richtung besitzen, gleichwertig sind.

Abb. 2.01: zum Verschiebungsaxiom - die Kraft F (hier als F dargestellt) ist ein linienflüchtiger Vektor III. Axiom Das Parallelogrammaxiom sagt aus, dass die Wirkung zweier Kräfte F1, F2 mit gleichem Angriffspunkt gleichwertig ist mit der Wirkung einer einzigen Kraft FR, deren Vektor einen Betrag von der Größe der Diagonalen eines aus F1 und F2 gebildeten Parallelogramms be-sitzt und die am gleichen Angriffspunkt wirkt.

Abb. 2.02: zum Parallelogrammaxiom Nach FR = F1 + F2 (2.01) ist FR die Resultierende der Teilkräfte F1 und F2. IV. Axiom Das Reaktionsaxiom schließlich sagt aus, dass wenn von einem starren Körper auf einen zweiten eine Kraft ausgeübt wird (actio), von diesem zweiten ebenfalls eine Kraft auf den ersten ausgeübt wird (reactio); beide Kräfte besitzen den gleichen Be-trag und gleiche Wirkungslinie, sind aber entgegengesetzt gerichtet.

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Abb 2.03: zum Reaktionsaxiom - F12, Kraft, die der Körper 2 auf den Körper 1 ausübt; F21, Kraft, die der Körper 1 auf den Körper 2 ausübt. Man stellt also fest, actio = reactio . (2.02)

2.2 Der (rechnerische und graphische) Umgang mit Kräften Hier sollen nun die gebräuchlichsten, praktischen Methoden zum Umgang mit Einzel-kräften, also punktförmig angreifenden Kräften dargestellt werden. 2.2.1 Kräfte in einer Ebene mit gemeinsamem Angriffspunkt Die Einzelkräfte Fn eines ebenen Kräftesystems liegen in einer Ebene; schneiden sich die Wirkungslinien dieser Kräfte in einem Punkt, heißt es ein zentrales Kräfte-system oder eines mit gemeinsamem Angriffspunkt. Die Resultierende Fres derartiger Kräfte ist dem Kräftesystem gleichwertig, N Fres = F1 + F2+ F3 + ... FN = ∑ Fn (2.03) n= 1 die Kräfte Fn müssen nicht in einer Ebene liegen. Greifen die Kräfte eines Kräftesystems im Punkt A eines starren Körpers an, Abb. 2.04 a), bildet man die Resultierende (zeichnerisch) in einem sogenannten Kräfte-polygon oder Krafteck, Abb. 2.04 b): Hier reiht man von einem beliebigen Punkt P aus die gegebenen Kräfte zu einem Streckenzug von stetigem Umfahrungssinn aneinander.

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Abb. 2.04: Bildung der Resultierenden R ≡ Fres in einem ebenen Kräftesystem

a) gemeinsame Wirkung im Punkt A des starren Körpers b) im Kräftepolygon oder Krafteck Es gilt N Fres = {Fresx, Fresy, Fresz} = ∑ Fn n=1 N N N ={ ∑ ⎜Fn⎜cosαn; ∑ ⎜Fn⎜cosβn; ∑ ⎜Fn⎜cosγn} = (2.04) n=1 n=1 n=1 N N N ={ ∑ Fxn; ∑ Fyn; ∑ Fzn} n=1 n=1 n=1 mit den Richtungscosinus cosα = Fresx/ ⎜Fres⎜ ; cosβ = Fresy/ ⎜Fres⎜ ; cosγ = Fresz/ ⎜Fres⎜ (2.05.1) und dem Betrag _______________ ⎜Fres ⎜= √ Fresx

2 + Fresy2 + Fresz 2 . (2.05.2)

1. Gleichgewichtsbedingungen Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass N Kräfte mit gleichem An-griffspunkt Fn im Gleichgewicht stehen, ist das Verschwinden ihrer Resultierenden Fres: N Fres = ∑ Fn = 0, (2.06) n=1 bzw. N N N ∑ Fxn = 0; ∑ Fyn = 0; ∑ Fzn = 0 , (2.06.1) n=1 n=1 n=1

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die geometrische Bedingung für das Gleichgewicht ist das „Schließen des Kraftecks“, Abb. 2.04 b). 2. Statisches Moment einer Kraft bezüglich eines festen Punktes Die Erfahrung lehrt, dass eine Kraft dann eine Drehung eines Körpers um einen festen Punkt bewirken kann, wenn dieser Punkt nicht auf der Wirkungslinie der Kraft liegt, Abb. 2.09.

Abb. 2.05: zur Definition des Statischen Moments, an einem Schraubenschlüssel an- greifende Kraft K ≡ F Das Statische Moment (auch Drehmoment genannt) einer Kraft F bezüglich eines festen Punkts O ist gleich dem Produkt aus Kraft F = ⎜F ⎜ und dem senkrechten Abstand h ihrer Wirkungslinie vom Drehpunkt O. Diesem Drehmoment wird der Vektor M(O) = r x F (2.07) mit M(0) = ⎜M(O)⎜ = ⎜r ⎜⎜F ⎜ sinα = ⎜F ⎜h (2.07.1) zugeordnet; mit dem Index (0) wird der Bezugspunkt des Vektors angegeben. Für das Moment ist es dabei gleichgültig, welchen Punkt A oder B auf der Wirkungs-linie der Kraft F als deren Angriffspunkt gewählt wird. Greift im Punkt A, Abb. 2.06, eine Kräftegruppe aus N Kräften mit der Resul-tierenden Fres an, so errechnet sich deren Moment bezogen auf einen beliebigen festen Punkt 0 aus M(O) = r x Fres = r x (F1 + F2 + F3 + ... + FN) = r x F1 + r x F2 + r x F3 + ... + r x FN = r1 x F1 + r2 x F2 + r3 x F3 + ... + rN x FN = M1(O) + M2(O) + M3(O) + ... + MN(O) . (2.08)

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Abb. 2.06: Drehmoment einer an einem starren Körper angreifenden Kräftegruppe bezüglich eines festen Punktes 0 Das Moment wird Null für Fres = 0, wenn also die Kräfte FN ein Gleichgewichtssystem bilden, oder für sinα = 0, d.h. wenn der Bezugspunkt 0 auf der Wirkungslinie der Resultierenden Fres liegt. Im Fall einer ebenen Kräftegruppe braucht man sich nicht um den Vektorcharakter des Drehmoments zu kümmern, sondern man summiert nach (2.08) die Einzel-momente unter Beachtung des durch ihr Vorzeichen festgelegten Drehsinns. 2.1 Zerlegung des Kraft- und Momentenvektors in Komponenten Die Kräftezerlegung in Komponenten ist nicht immer eindeutig möglich. Die Kraft F soll zerlegt werden in durch die drei Einheitsvektoren e1, e2, e3 vor-gegebene, nicht notwendigerweise orthonormalen Richtungen, d.h. es soll gel-ten F = F1 e1 + F2 e2 + F3 e3 , mit den gesuchten Koordinaten F1, F2, F3. Multipliziert man nun F mit dem Vektorprodukt e2xe3, so erhält man F (e2xe3) = F1 e1 (e2xe3) + F2 e2 (e2xe3) + F3 e3 (e2xe3) = F1 e1 (e2xe3), denn die Skalarprodukte e2 (e2 x e3), e3 (e2 x e3) sind natürlich Null. Mit dem Spatprodukt der drei Vektoren A, B, C , also dem Vektorprodukt A (BxC) = A B C , (1.20) lässt sich für die o.a. Vektorprodukte schreiben

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F e2 e3 = F1 e1 e2 e3 , womit die Komponente in Richtung e1 berechnet werden können. Für diese Komponente von F gilt F1 = e2 e3 F / (e1 e2 e3) (2.10.1) und entsprechend erhält man die Komponenten F2, F3 aus F2 = e1 e3 F / (e1 e2 e3) , (2.10.2) F3 = e1 e2 F / (e1 e2 e3) . (2.10.3) Die Lösungen setzen voraus e1 e2 e3 ≠ 0; das aber bedeutet, dass die Zerlegung einer Kraft nach drei mit ihr in einer Ebene liegenden Richtungen – wofür dann gelten würde e1 e2 e3 = 0 - nicht eindeutig möglich ist. Hingegen lässt sich aber eine Kraft F stets eindeutig in zwei nichtparallele, mit ihr in einer Ebene liegende Richtungen zerlegen, Abb. 2.07: Es gilt F ={Fx, Fy} = F1 e1 + F2 e2 = F1 {e1x, e1y} + F2 {e2x,e2y}, woraus das lineare Gleichungssystem für F1, F2 Fx = F1 e1x + F2 e2x , Fy = F1 e1y + F2 e2y

Abb. 2.07: Zerlegung einer Kraft F ≡ K in zwei mit ihr in einer Ebene liegende Kom- ponenten entsteht, mit den Lösungen F1 = (Fx e2y – Fy e2x) / (e1x e2y – e2x e1y) (2.11.1) F2 = (Fy e1x- Fx e1y) / (e1x e2y – e2x e1y) (2.11.2)

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Die Kräftezerlegung ist also immer dann möglich, wenn der Zähler in (2.11) ungleich Null ist. Der Zähler ist Null lediglich für zwei parallele Vektoren e1, e2, d.h. dass sich die Kraft F nur dann nicht eindeutig in zwei Komponenten zerlegen lässt, wenn diese Richtungen parallel sind. Sehr oft interessiert nur die Komponente M1 (oder M2) des Momentenvektors M(0) der Kraft F , Abb. 2.08, da die entsprechende Komponente z.B. in Richtung einer Ma-schinenachse (Bezugsachse) fällt.

Abb. 2.08: Zerlegung eines Momentenvektors M(0) in Komponenten M1, M2 ; F ≡ K Unter Berücksichtigung des Spatprodukts dreier Vektoren (1.20) gilt, Abb. 2.08, M1 = M(0) e1 = ⎜M(0) ⎜ cosϕ = (r xF ) e1 = r F e1 = ⎜r ⎜⎜F ⎜ sinψ cosϕ __ oder mit AB = ⎜r ⎜ cosϕ __ M1 = AB ⎜F ⎜ sinψ e1. (2.12) Die Komponente M1 ist also das Produkt aus der Komponente von F senkrecht zu der durch e1 und r gebildeten Ebene, mit dem Abstand AB des Kraftangriffspunktes A von der Bezugsachse.

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2.2.2 Kräfte in einer Ebene ohne gemeinsamen Angriffs-punkt

Nach Abb. 2.09 wirken auf den starren Körper nun die in einer Ebene liegenden (hier vier !) Kräfte F1, ..., F4 ohne gemeinsamen Angriffspunkt und man erkennt, dass sich durch Verschieben der Kräfte längs ihrer Wirkungslinie und m.H. sukzessiver Bildung von Resultierenden FresI, FresII schließlich die Gesamtresultierende Fres bilden lässt.

Abb. 2.09: Bildung der Resultierenden R ≡ Fres für die (vier) in einer Ebene wirken- den Kräfte ohne gemeinsamen Angriffspunkt a) Bildung der Resultierenden durch sukzessive Verschiebung der Kräfte b) Bildung der Resultierenden m.H. des Kraftecks Für in der x,y- Ebene wirkende Kräfte gilt also N N Fresx = ∑ FXn , Fresy = ∑ FYn, (2.13.1) n=1 n=1 und ___________ ⎜Fres ⎜ = √ Fresx

2 + Fresy2 (2.13.2)

tanα = Fresy/ Fresx (2.13.3) Die Lage der Resultierenden ist nach Abb. 2.09 a) nur sehr umständlich zu ermitteln, nach Abb. 2.09 b) und rechnerisch jedoch nicht. Unter Hinzunahme des Konzepts des Drehmoments einer Kraft bezüglich eines (beliebigen !) Punktes 0 gilt

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N N M(0) = ∑ Mn(0) = ∑ (xn Yn – yn Xn) = ± ⎜Fres ⎜ h mit h > 0. (2.13.4) n=1 n=1 Die Lage von Fres berechnet sich aus (2.13.4) oder m.H. von M(0) = Fresy x0 zu N N x0 = M(0)/ Fresy = [∑ (xnFyn – ynFxn)] / ∑ Fyn . (2.13.5) n=1 n=1 Insbesondere die zeichnerische Methode, Abb. 2.09 a), zeigt das Problem paralleler Kräfte FresN-2 und FN auf, denn für derartige Fälle ist kein gemeinsamer Schnittpunkt zu bestimmen und das Kräfteparallelogramm lässt sich nicht mehr bilden. 1. parallele Kräfte a) gleichgerichtete Kräfte

Abb. 2.10: Ermittlung der Resultierenden R ≡ Fres bei (zwei) in der Ebene wirkenden, gleichgerichteten parallelen Kräften Durch Hinzufügen der beliebigen (!) Kräfte S und –S in der Wirkungslinie AB, der Verbindungsgeraden zwischen den Kraftangriffspunkten A,B, lassen sich die Resul-tierenden Fres1, Fres2 bilden, die sich- jeweils längs ihrer Wirkungslinie verschoben- im Punkt C vektoriell zur Gesamtresultierenden Fres addieren lassen.

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Anhand der Ähnlichkeit der gleichschraffierten Dreiecke lässt sich das sogenannte Hebelgesetz a1/ a2 = F2/ F1 (2.14) formulieren. M.H. des Momentengesetzes ergibt sich M(0) = r x Fres = r x (Fres1 + Fres2) = r1 x Fres1 + r2 x Fres2 = r1 x (F1 – S) + r2 x (F2 + S) = r1 x F1 + r2 x F2 = M1(0) + M2(0), d.h. man kann eine Einzelkraft in zwei parallele Kräfte zerlegen, Abb. 2.10.

Abb. 2.10: Zerlegung der Kraft F in zwei zueinander parallele Kräfte F1, F2 in vorge- gebenen Richtungen 1-1, 2-2

a) rechnerisch b) graphisch

b) entgegengesetzt gerichtete Kräfte unterschiedlicher Größe Auch hier ergänzt man die beiden Kräfte F1, F2 durch ein Kräftepaar S, -S auf der Geraden zwischen den Angriffspunkten A, B und bildet anschließend die Resul-tierende Fres der beiden Resultierenden Fres1, Fres2:

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Abb. 2.11: Resultierende aus zwei parallelen, entgegengesetzt gerichteten, ver- schieden großen Kräften Fres = Fres1 + Fres2 = F1 + F2, mit ⎜Fres ⎜ = ⎜F2 ⎜– ⎜F1 ⎜. Fres hat die Richtung der größeren der beiden angreifenden Kräfte. c) Kräftepaar, entgegengesetzt gerichtete Kräfte gleicher Größe

Abb. 2.12: Kräftepaar bestehend aus den parallelen, entgegengesetzten Kräften K, - K ≡ F, - F

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Man erkennt, dass das Kräftepaar nicht auf mehr auf eine Einzelkraft zurückgeführt werden kann. Es stellt daher ein neues Element der Mechanik dar, das den Körper, an dem es angreift, in Drehung versetzt. Das Kräftepaar kann stets durch ein anderes ersetzt werden, denn, siehe Abb. 2.15, das Drehmoment F h, gebildet aus dem Kräftepaar, F, - F, ist gleich dem Drehmo-ment r H’ des Kräftepaares Fres, - Fres und auch der Drehsinn beider stimmt überein: Zwei Kräftepaare mit gleichem Produkt aus Kraftabstand und Kraft und gleichem Drehsinn sind einander gleichwertig; das Kräftepaar ist eindeutig durch seinen Momentenvektor M = r x F mit ⎜M ⎜ = ⎜r ⎜⎜F ⎜ sinα = ⎜F ⎜ h (2.15) bestimmt, der seinerseits allen äquivalenten Kräftepaaren in derselben Ebene ge-meinsam ist. Ändert man die Entfernung H zum festen Punkt 0, Abb. 2.12, so ändert sich das Moment des Kräftepaares, (2.15), nicht, da h unverändert bleibt: Der Momentenvektor des Kräftepaares ist ein freier Vektor, Abb. 2.13, d.h. er ist nicht wie die Kraft an eine Wirkungslinie gebunden.

Abb. 2.13: Freier Momentenvektor M eines Kräftepaares, K ≡ F Wirken mehrere Kräftepaare in einer Ebene, lässt sich das resultierende Kräftepaar bilden, dessen Moment gleich der algebraischen Summe der Momente der gegebe-nen Kräftepaare ist, Abb. 2.14, N N M = M1 + M2 +… + MN = ∑ Mn = ∑ Kn hn (2.16) n=1 n=1 Zwei Kräftepaare mit entgegengesetzt gleich großem Momentenvektor bilden eine Gleichgewichtssystem.

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Abb. 2.14: Bildung eines resultierenden Kräftepaares für zwei in einer Ebene wirken- den Kräftepaare

a) zu summierende Kräftepaare b) zur Deckung gebrachte Kräftepaare c) resultierendes Kräftepaar

2. Versetzungsmoment Wirkt in einer Ebene im Punkt A eine Einzelkraft F, so lässt sich diese in einen beliebigen Punkt 0 verschieben, in dem man im Punkt 0 derselben Ebene ein Kräf-tepaar F, -F hinzufügt, das am statischen Zustand des Starrkörpers nichts ändert. Doch die ursprünglich gegebene Kraft F bildet nun mit -F ein Kräftepaar mit dem Mo-ment M = r x F , ⎜M ⎜= ⎜F ⎜h und in 0 wirkt allein F, Abb. 2.15.

Abb. 2.15: Parallelverschiebung einer Einzelkraft durch das Versetzungsmoment

a) zu verschiebende Kraft b) Hinzufügen des Kräftepaars c) parallel verschobene Einzelkraft und Versetzungsmoment M = r X

K ≡ r x F

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Um eine Kraft F parallel zu verschieben, muss man dieser ein Kräftepaar mit dem sogenannten Versetzungsmoment M = r x F hinzufügen, das den Betrag der parallelen Verschiebungsstrecke h multipliziert mit der Kraft F besitzt, M = F h. Bemerkung: Auf die Anwendung des hier dargestellten rechnerischen und graphischen Umgangs mit Kräften wird in den folgenden Kapiteln ständig zurückgegriffen: Man benutze diese Konzepte also als Handwerkszeug ! Zu diesem Handwerkszeug gibt es die ständig gestellte Frage: Muss man die Vektorschreibweise verwenden, um mit Kräften und (statischen) Momenten in der Statik umgehen zu können ? Natürlich kann man in Komponentenschreibweise arbeiten, doch die Vektor-schreibweise ist viel einfacher zu handhaben- sofern man mit den Regeln der Vektorrechnung umgehen kann ! – und insbesondere bei räumlichen Kräfte-gruppen, aus vielen Kräften bestehend, ist die Vektorschreibweise nicht zu schlagen ! Die Anwendung von allgemein ungeliebten graphischen Methoden bei ebenen Kräftegrupppen soll ausdrücklich empfohlen werden: Häufig liefern graphische (Näherungs-) Lösungen eine wichtige Kontrolle für rein numerisch bestimmte Lösungen.

2.3 Das NEWTONsche Grundgesetz und abge- leitete Sätze 2.3.1 Das NEWTONsche Grundgesetz Das Trägheitsgesetz von GALILEI impliziert den Schluss, dass jede Geschwindig-keitsänderung, d.h. Beschleunigung a, eines Körpers auf die Einwirkung einer Kraft F zurückgeht und die Richtung der Beschleunigung und die der einwirkenden Kraft übereinstimmen. Also setzt NEWTON für die Translationsbewegung eines Körpers eine (einfache) lineare, vektorielle Beziehung zwischen der Kraft F und der Beschleunigung a an, F = m a , (2.17) unter Verwendung einer (einfach messbaren !) Proportionalitätskonstanten, der Mas-se m des Körpers. (2.17) stellt das dynamische Grundgesetz für allgemeine Bewegung eines mas-sebehafteten Punktes bzw. die Translationsbewegung eines ausgedehnten Körpers dar, auch NEWTONsches Grundgesetz genannt.

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Bemerkung: Dass mit (2.17) nur die Translationsbewegung beschrieben werden kann ist einleuchtend, denn jeder Körperpunkt eines ausgedehnten Körpers besitzt bei Bewegung längs einer gekrümmten Bahnkurve eine unterschiedliche Be-schleunigung. Das Gesetz beschreibt andererseits natürlich exakt die Bewegung eines Punk-tes, der ja keine Ausdehnung besitzt. Dass (2.17) mit unserer Erfahrung übereinstimmt, zeigt die Gewichtskraft G eines Körpers der Masse m, für die die skalare Beziehung G = mg (2.18) gilt, denn die geradlinige Fallbewegung des Körpers erfolgt unter Einfluss der Erdbe-schleunigung g ≈ 9,81 ms-2. Bemerkung: Kräfte werden z.Zt. vorwiegend in der (etwas unpraktischen !) physikalischen Einheit N (NEWTON) gemessen: 1 N = 1 ms-2 (abgeleitete Einheit im MKS- Maß-system). Häufig trifft man aber noch auf die (oft praktischere !) Kraftangabe in Kp (Kilopond): 1 Kp = 9,81 N, der Grundeinheit des Technischen Maßsystems. Der Vorteil des Kilopond als Maßeinheit der Kraft ist insbesondere für die Ge-wichtskraft gegeben, denn die Masse von 1Kg besitzt eine Gewichtskraft von 1Kp. 2.3.2 Mechanische Energien und Leistung (bei geradliniger Bewegung) Für die geradlinige Bewegung besitzen also Kraft F und (Absolut- ) Beschleunigung a bzw. (Absolut-) Geschwindigkeit v die gleiche Richtung, F = ma = m dv/dt. Multipliziert man diese Gleichung mit dem Wegelement ds, so erhält man mit F ds = dW = dv/dt (ds) = m dv/dt (v dt) = m (v) dv = m d(v2/2) = m d(v2/2) (2.18) links das Differential der Arbeit (engl.: work, W ) und rechts die Kinetische Energie Ekin der Translationsbewegung des Körpers mit der Masse m. (2.18) definiert das Differential der (mechanischen) Arbeit dW einmal als Produkt von Kraft F und differentiell kleiner (Translations)Verschiebung ds und einmal als differentiell kleine Änderung der Kinetischen Energie der (Translations)-Bewegung des Körpers mit der Masse m, dEkin = m d(v2/2). Integriert man nun (2.18) auf beiden Seiten längs s, zwischen s1 und s2, so erhält man mit

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(s2 ) (v22/2)

∫ F (s) ds = W1,2 = ∫ m d(v2/2) = m v22/2- m v1

2/2 = Ekin2- Ekin1 (2.19) (s1) (v1

2/2) den sogenannten Arbeitssatz, bei dem sich die mechanische Arbeit W1,2 der Kraft F (s) zwischen den Punkten s1 und s2 einerseits aus dem nicht immer einfach zu lösenden linken Integralausdruck oder andererseits aus der Differenz der Kinetischen Energie zu Ende und zu Beginn der Bewegung bestimmen lässt. Die mechanische Leistung P (engl.: power, P) berechnet sich als „Arbeit pro Zeit“ für die geradlinige Bewegung nach P = dW/dt = (F ds)/dt = F v (2.20) als Produkt von Kraft F und Geschwindigkeit v der Translationsbewegung. Für die nichtgeradlinige Bewegung einer Punktmasse (Punkt mit Masse m) ist in den Ausdrücken (2.19) und (2.20) der vektorielle Charakter der Kraft F und der Verschie-bung dr zu berücksichtigen. r ist der Vektor der Verschiebung in einem Inertial-system, d.h. der Bezugspunkt 0 ruht (v0 = 0) oder besitzt eine konstante Ge-schwindigkeit, d.h. v0 = const. Für das Differential der Arbeit erhält man die Arbeit erhält man also dW = F dr = {Fx, Fy, Fz} {dx, dy, dz} = │F││dr│cosφ , (2.21) ein Skalar, so dass sich die Arbeit W1,2 wiederum nach (2.19) berechnet. Für die Leistung P gilt P = F dr/dt = F v = │F││dr│ cosφ (2.22) mit dem Richtungscosinus φ. Wirkt allein die Gewichtskraft G (in Richtung der Erdschwere) auf einen Körper, so gilt (z) Wz0, z = - ∫ mg dz = (mg z0 – mg z) = Ekin- Ekin0 (2.23.1) (z0) Man nennt die Größe mg z die Potentielle Energie Epot der Gewichtskraft G = mg bezüglich des (Null)Niveaus z0. Also gilt Ekin0 + Epot0 = Ekin+ Epot = const. (2.23.2) Diese Gleichung stellt den Energieerhaltungssatz der Mechanik dar.

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Bemerkung: Der Energieerhaltungssatz gilt nur, wenn alle auf den Körper wirkenden Kräfte konservativ sind, d.h. energieerhaltend sind: Die Gewichtskraft ist also eine konservative Kraft ! 2.3.3 Das NEWTONsche Grundgesetz in Impulsform (2.17) lässt sich auch in der sogenannten Impulsform F dt = m dv = d (mv) = d I (2.17.1) schreiben, bei Einführung des Impulses I = mv , hier der Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit v. Durch Integration (t ) (mv) ∫ F (t) dt = ∫ d(mv) = mv – mv0 (2.24) (t0) (mv0) erhält man den Impulssatz, der sich dann vorteilhaft verwenden lässt, wenn die Kraft (oder die Kräfte) F (t) als Zeitfunktion gegeben ist und die (End-) Geschwindigkeit v des mechanischen Systems gesucht wird. Ist F (t) ≡ 0, so erhält man aus (2.24) den Impulserhaltungssatz, mv = mv0 = const (2.24.1) 2.3.4 Das NEWTONsche Grundgesetz in d’ALEMBERTscher Form Auf d’ALEMBERT zurück geht die Form F – ma = 0 (2.25) des NEWTONschen Grundgesetzes. Bei dieser Form wird der auf ein mechanisches System einwirkenden Kraft F (oder den Kräften ) die negative Massenkraft ma hinzugefügt. Bemerkung: Formal überführt man mit der d’ALEMBERTschen Form ein dynamisches Problem in ein statisches, eine „Hilfe“ für den, der nur „ungern“ Dynamik betreibt.

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Bemerkung: Mit diesem Einblick in die Kinematik und die Grundlagen der Mechanik sind die Begriffe soweit erklärt, dass man mit ihnen arbeiten kann, um praktische Fra-gestellungen im Hinblick auf den Zusammenhang zwischen Kräften/ Momenten und der Translations- / Rotationsbewegung beantworten zu können.

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3. Statik 3.1 Statik starrer Körper (klassische Statik) Die klassische Statik untersucht das Gleichgewicht starrer Körper und stellt Lösungsmethoden für diese Aufgabe zur Verfügung. Um diese Methoden vor-zustellen, müssen zunächst einige Grundtatsachen zur Modellbildung realer stati-scher Probleme dargestellt werden. 3.1.1 Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Unter- suchung des Gleichgewichts mechanischer Systeme Die Untersuchung des Gleichgewichts eines mechanischen Systems ist eine der Hauptaufgaben der Statik, meist geht es dabei um die Berechnung von Kräften, insbesondere von Auflagerreaktionen. Dabei geht man in drei Schritten vor, so dass man a.) zunächst das zu untersuchende mechanische System abgrenzt von der Um-gebung. b.) das zu untersuchende mechanische System freimacht, d.h. es werden alle am System angreifenden Äußeren Kräfte bestimmt, insbesondere an Stellen, an de-nen das betrachtete mechanische System von benachbarten Körpern getrennt wird. c.) die noch unbekannten Kräfte m.H. der Gleichgewichtsbedingung berechnet, d.h. dass die Summe der am zu untersuchenden mechanischen System wirkenden Äußeren Kräfte einer Nullkraft äquivalent sein muss- das sagt das Trägheitsaxiom aus. 3.1.2 Über Auflager, Auflagertypen und - reaktionen Meistens interessiert nur die Art der Kraftübertragung an der Berührungsstelle zwischen verschiedenen Körpern, die Körper selbst interessieren meist nicht. Man unterscheidet, Abb. 3.1.01, die reine Berührung, die durch ein verschieb-bares Gelenklager (a), die Gelenkverbindung, die durch ein festes Gelenklager (b) beschrieben werden, und die feste Einspannung (c). Kräfte, die an den Berührungsstellen eines Körpers mit anderen auftreten- und da-durch das Gleichgewicht des Körpers aufrechterhalten-, heißen Auflagerkräfte oder Auflagerreaktionen. Auflagerkräfte sind keine Reaktionskräfte der an einem Körper angreifenden Belastungskräfte, denn sie greifen am selben Körper an, an dem auch schon die Belastungskräfte angreifen. Die Kräfte , die an einem mechanischen System von Körpern angreifen, werden unterschieden in

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- Äußere Kräfte Das sind Kräfte, die von außen auf den betrachteten Körper einwirken. Gewichtskräfte sind äußere Kräfte; Auflagerkräfte werden dann zu Äußeren Kräften, wenn sie durch das Schnittprinzip freigeschnitten worden sind, siehe weiter unten.

Abb. 3.1.01: Symbole für Auflager als Berührungsstelle zwischen starren Körpern

a) reine Berührung b) Gelenkverbindung c) Feste Einspannung

- Innere Kräfte wirken zwischen oder innerhalb der Teile des mechanischen Systems und treten als Kraft und Reaktionskraft stets paarweise auf; sie wirken an Körpern die zum mechanischen System gehören. Dass diesen Definitionen etwas Willkürliches anhaftet, ist leicht zu erkennen: Offen-sichtlich hängt sie von der Abgrenzung des mechanischen Systems ab. Diese Abgrenzung erfolgt durch das sogenannte Freischneiden oder Freimachen des betrachteten Systems von Körpern: Auf das betrachtete System wirken zunächst nur Äußere Kräfte. Um Innere Kräfte zu ermitteln, schneidet man (gedanklich !) an der zu betrachtenden Berührungsstelle frei, wodurch die hier wirkende Innere Kräfte zu einer Äußeren Kraft wird. Die Inneren Kräfte trägt man als gleich große, entgegengesetzt gerichtete Äußere Kräfte an beiden Schnittufern an. Durch das Freischneiden stellt man also alle auf das betrachtete System wirkenden Äußeren Kräfte fest. 1. Der gestützte Körper Das Gleichgewicht an starren Körpern wird durch eine Einschränkung der Be-wegungsmöglichkeiten hergestellt, die ihrerseits durch Bindungen, Stützungen oder Auflager bewirkt wird. Anhand des Reaktionsaxioms lässt sich formulieren:

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Die Wirkungen, die vom starren Körper auf seine Bindungen ausgeübt werden, rufen entgegengesetzt gleiche Reaktionen der Bindungen auf den Körper hervor. Um nun das Gleichgewicht starrer Körper zu untersuchen, müssen die starren Körper (gedanklich) von ihren Bindungen befreit werden, indem man die Wirkung der Bin-dungen auf den Körper durch die Reaktionskräfte ersetzt. Man muss die Art der Bindung, Stützung oder Auflagerung genau beachten, um die Reaktionskräfte richtig anzusetzen. Es sind die in Tab. 3.1.01 und Tab. 3.1.02 dargestellten wichtigen Stützungsarten und ihre technische Ausführung zu unterscheiden. Tab. 3.1.01: Stützungsarten Starrer Körper mit bekannter Richtung der Auflagerkraft (Reibungsfreiheit vorausgesetzt) /1/ Da in Richtung der gemeinsamen Berührungsebene keine Kräfte auftreten können, steht die Auflagerkraft A stets senkrecht zur gemeinsamen Berührungsfläche. Bei den dargestellten Stützungen kann sich der gestützte Körper gegenüber dem stützenden verschieben. Tab 3.1.02 zeigt verschiedene Ausführungsformen des festen, unverschieblichen (aber immer noch reibungsfrei angenommenen) Stützgelenks, bei dem die Richtung der Auflagerkraft A erst durch die Gleichgewichtsbedingungen am gestützten Körper zu bestimmen ist.

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Tab. 3.1.02: Stüzungsarten Starrer Körper mit (zunächst) unbekannter Richtung der Auflagerkraft /1/ Lassen sich die Reaktionskräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen, so hat man es mit einer statisch bestimmten Lagerung zu tun. Im Fall von mehr unbekannten Reaktionskräfte als Gleichgewichtsbedingen heißt die Lagerung sta-tisch unbestimmt. Die „überzähligen Reaktionen“ können nur m.H. von Verfor-mungsbedingungen (aus der Statik deformierbarer Körper) bestimmt werden. 3.1.3 Reduktion des allgemeinen ebenen Kräftesystems; Gleichgewichtsbedingungen (rechnerisch) Verschiebt man alle N angreifende Kräfte Fn des ebenen Systems in einen beliebi-gen Punkt 0 und fügt dabei das entsprechende Versetzungskräftepaar hinzu, so kann man die Fn nach N N N Fres = ∑ Fn = { ∑ Fxn ; ∑ Fyn ; 0 } (3.1.01) n=1 n=1 n=1 zur resultierenden Kraft Fres und nach N M(O) = ∑ rn x Fn n=1 zum resultierenden Moment M(0) zusammensetzen. Gibt es daneben noch K von vornherein existierende Kräftepaare, so sind die zugehörigen Kräfte zwar in der Summe (3.20.1) enthalten, doch die K Momente Mk nicht in der Summe M(o) ; die Formel für das resultierende Moment besitzt also zwei Anteile und lautet folglich N K M(0) = ∑ rn x Fn + ∑ Mk . (3.1.02) n=1 k=1

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Bei dieser Reduktion können folgende Fälle auftreten: a) Fres ≠ 0, M(0) ≠ 0 : Man verschiebt Fres parallel um den Betrag h = ⎜M(0)⎜/ ⎜Fres ⎜, so dass das gesamte Kräftesystem einer einzigen Resultierenden Fres äquivalent ist. b) Fres ≠ 0 , M(0) = 0: Es liegt bereits das reduzierte System a) vor. c) Fres = 0, M(0) ≠ 0: Das System ist einem Kräftepaar äquivalent und lässt sich nicht weiter reduzieren. d) Fres = 0, M(0) = 0: Es herrscht Gleichgewicht. Für das Gleichgewicht einer ebenen Kräftegruppe gelten also die folgenden Gleichungen: N N ∑ Fxn = 0 und ∑ Fyn = 0 (3.1.03.1/2) n=1 n=1 N K M(0) = ∑ Mn(0) + ∑ Mk n=1 k=1 N K = ∑ (rxn Fyn – ryn Fxn) + ∑ Mk = 0 . (3.1.03.3) n=1 k=1 Anstelle der beiden Bedingungen (3.1.03.1/2) kann man eine der Kraftbedingung durch eine zweite Momentenbedingung ersetzen, die bezüglich eines weiteren Punktes 01 formuliert wird, Abb. 3.1.01

. Abb. 3.1.02: Einführung eines zweiten Bezugspunktes 01 (auf einer gemeinsamen Geraden mit 0) oder eines dritten Bezugspunktes 02 (außerhalb der gemeinsamen Geraden zwischen 0, 01) für die Formulierung des Mo- mentengleichgewichts

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N N ∑ Fxn = 0 oder ∑ Fyn = 0 (3.1.04.1) n=1 n=1 N K N K ∑ Mn(0) + ∑ Mk = 0 und ∑ Mn(01) + ∑ Mk = 0 . (3.1.04.2/3) n=1 k=1 n=1 k=1 Auch die zweite Kraftbedingung lässt sich ersetzen durch N K N K ∑ Mn(0) + ∑ Mk = 0 und ∑ Mn(01) + ∑ Mk = 0 (3.1.05.1/2) n=1 k=1 n=1 k=1 sowie N K ∑ Mn(02) + ∑ Mk = 0 , (3.1.05.3) n=1 k=1 also eine Momentenbedingung bezüglich eines weiteren (dritten) Referenzpunktes 02. Bemerkung: Für welche Formulierung der drei Gleichgewichtsbedingungen (3.1.03), (3.1.04), (3.1.05) man sich entscheidet, hängt von der speziellen Aufgabenstellung ab. 3.1.3.1 Aus den Gleichgewichtsbedingungen abgeleitete Sätze 1. Verschiebungssatz Zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte, die am starren Körper in derselben Wirkungslinie angreifen, heben sich auf. Hieraus folgt der Verschiebungssatz als Grundlage der Statik: Man darf am starren Körper eine Kraft beliebig in ihrer Wirkungslinie verschie-ben oder Der Kraftvektor am starren Körper ist ein linienflüchtiger Vektor. Zu beachten dabei ist, dass die Verschiebung der Kräfte am starren Körper längs ihrer Wirkungslinie den Gleichgewichtszustand nicht ändert, sich die Inneren Kräfte ändern. 2. Richtungsänderung der Wirkungslinie Zur Richtungsänderung der Wirkungslinie einer Kraft dient das ideale, d.h. vollkommen biegsame, undehnbare und gewichtslose Seil, Abb. 3.10. Die Gleichgewichtsbedingung für die reibungsfrei um einen festen Auflagerbolzen drehbare Rolle liefert, bei Vernachlässigung der Masse der Rolle,

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Abb. 3.1.03: Ideales Seil an freigemachter Rolle A = -(F1 + F2) und A = ⎜A⎜ = (⎜F1 ⎜ + ⎜F2 ⎜) cosα = 2 ⎜F ⎜ cosα Bemerkung: Eine durch ein ideales Seil (auch idealer Faden genannt) über eine reibungs-lose Rolle umgeleitete Einzelkraft ändert also nicht seine Größe. 3.1.4 Graphische Methoden zur Bestimmung von Kräften 1. Die SEILECK- Methode zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden einer ebenen Kräftegruppe Eine immer noch weit verbreitete Lösungsmethode zur Bestimmung der Resul-tierenden (Reduzierung) eines ebenen Kräftesystems stellt das sogenannte Seileck-verfahren dar, einer graphischen Methode basierend auf einem geometrisch maßstäblichen Lageplan und einem maßstäblichen Kräfteplan, Abb. 3.1.04. Insbesondere für viele Kräfte eines ebenen Kräftesystems ist diese Methode beson-ders geeignet: Im maßstäblich dargestellten Kräfteplan werden die Kräfte F1, ..., FN eingetragen. Eine der Kräfte, in der Regel F1, wird in zwei beliebigen Richtungen in die Kräfte S1, S2 zerlegt. S2 wird dann mit F2 zu S3, S3 mit ..., SN mit FN zu SN+1 vektoriell addiert. Die beiden „äußeren „Seilkräfte“ S1, SN+1 sind damit dem gegebenen Kräftesystem äquivalent, so dass gilt, Abb. 3.1.04,

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F1 + F2 + F3 = S1 + S2 + S3 – S2 + S4 – S3 = S1 + S4 = Fres . Trägt man nun (m.H. von Parallelverschiebung) in einem beliebigen Punkt, hier Punkt 1, auf der Wirkungslinie einer Kraft, hier F1, einerseits die Wirkungslinie der Seilkraft S1 andererseits die der Seilkraft S2 ein, so erhält man m. H. letzterer zunächst den Schnittpunkt mit der Wirkungslinie der Kraft F2 , hier trägt man die Wirkungslinie von S3 ein, ..., bis man im Schnittpunkt N zwischen der Wirkungslinie SN und der Kraft FN die „äußere“ Seilkraft SN+1 einzeichnen kann. Der Schnittpunkt der beiden „äußeren“ Seilkräfte, S1, SN+1 der Punkt N+1, stellt die „Lösung“ der Aufgabe dar, die Ermittlung der Größe, der Richtung und des Richtungssinns der Resultierenden Fres des ebenen Kräftesystems. Fres lässt sich damit aus dem Kräfteplan in den Lageplan übertragen.

Abb. 3.1.04: Seileckverfahren zur Bestimmung der Resultierenden eines ebenen Kräftesystems

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Die „Seilstrahlen“ S1, ..., SN+1 bilden im Lageplan die Gleichgewichtsfigur eines durch die Einzelkräfte F1, ..., FN belasteten, in den Punkten A (längs S1) und B (längs SN+1) aufgehängten Seiles, daher „Seileckverfahren“; „Ecken“ bilden sich in den N Punkten in denen die Einzelkräfte eingeleitet werden. Krafteck und Seileck sind reziproke Figuren, das zeigt auch der in Abb. 3.1.04 eingetragene Winkel ! Aus dem Seileck lässt sich das Moment der ebenen Kräftegruppe bezüglich eines beliebig gewählten Punktes O bestimmen: Verlängert man die „äußeren“ Seilstrahlen S1 und S4 , erstere durch den Punkt N+1, letztere- parallel zu Fres- durch den Punkt 0, so erhält man einen Schnittpunkt, der im Lageplan die Strecken a und y entstehen lässt, die zu Fres und H im Kräfteplan im Verhältnis y/ a = Fres/ H stehen. Das Produkt Fres a = y H ist proportional zum Drehmoment von Fres um 0, für das- mit dem Kräftemaßstab κ im Kräfteplan und dem Längenmaßstab λ im Lageplan – gilt M(O) = κ λ H y . (3.1.06) 2. Die SEILECK- Methode zur zeichnerischen Ermittlung der Lagerkräfte eines statisch bestimmt gelagerten starren Körpers Abb. 3.1.05 zeigt das Beispiel eines durch drei Kräfte F1, F2.,F3 belasteten Krag-trägers. Zunächst konstruiert man Kraft- und Seileck, wobei man den ersten Seilstrahl S1 das Auflager A ziehen muss, das Auflager mit unbekannter Kraftrichtung. So erhält man also das den gegebenen Kräften F1, F2, F3 äquivalente System S1, S2, S3, S4, das mit den unbekannten Lagerkräften A, B ein Gleichgewichtssystem bilden soll. Legt man durch A und durch den Punkt B, dem Schnittpunkt zwischen der Wirklinie der unbekannten Lagerkraft B und dem äußeren Seilstrahl S4 die sogenannte Schlusslinie (s, s,) und überträgt diese in den Pol P des Kraftecks, so kann man das Gleichgewicht für den Punkt B, S4 + B + S = 0, mit dem schraffiert dargestellten Dreieck (B) erfüllen. Entsprechend gilt im Punkt A die Gleichgewichtsbedingung A + S1 – S = 0, zeichnerisch durch das Dreieck (A) im Krafteck dargestellt. Aus beiden Gleichungen wird S4 + B + A + S1 = B + A + Fres = 0, da gilt S1 + S4 = Fres. Damit ist A aus dem Krafteck nach Größe und Richtung bekannt. Abb. 3.1.05 zeigt die in gestrichelten Linien dargestellte „Gelenkkette“ aus starren Stäben an der die Kräfte F1, F2, F3, - S1, - S4 ein instabiles Gleichgewichtssystem bilden.

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Abb. 3.1.05: Seileckverfahren zur Bestimmung der Lagerkräfte eines statisch be- stimmt gelagerten starren Körpers 3. Zeichnerische Kräftezerlegung in der Ebene, CULMANNsche Hilfsgerade Diese Methode eignet sich zur zeichnerischen Bestimmung des Gleichgewichts eines starren Körpers auf den vier ebene Kräfte wirken.

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Die Leiter in Abb. 3.1.06 ist auf reibungsfreien Rollen gestützt und durch ein Seil gehalten.

Abb. 3.1.06: Gleichgewicht eines starren Körpers auf den vier ebene Kräfte wirken Man bringt nun je zwei der bekannten Kraft- Wirkungslinien zum Schnitt, z.B. in den Punkten 1 und 2 und ersetzt im Krafteck I die Wirkung von G und S durch die Resultierende C. Damit Gleichgewicht herrscht, muss die Wirkung der beiden Stützkräfte A, B gleich –C sein. Aus dem Krafteck II lassen sich dann Größe und Richtungssinn von A, B ermitteln, denn es muss gelten G + S + A + B = 0. Die Verbindungslinie zwischen 1 und 2 wird CULMANNsche Hilfsgerade genannt. 3.1.5 Statik typischer ebener Systeme aus endlich vielen starren Körpern Tragwerke aus einer größeren Anzahl von Starren Körpern (Scheiben, Balken und Stäben) bilden ein „System“: Systeme mit einer endlichen Anzahl von Starren Kör-pern bilden z.B. ein Fachwerk, Systeme mit „unendlich vielen“ Teilen bilden Gebilde wie Ketten und Seile. 1. Statische Bestimmheit oder Unbestimmtheit eines Systems Zur Untersuchung des Gleichgewichts eines Systems aus endlich vielen, s, Einzel-körpern stehen 3 s Gleichgewichtsbedingungen zur Ermittlung von 3 s Unbekannten (Lagekoordinaten oder Kräften) zur Verfügung. Ist r die Zahl der Reaktionskräfte in den Auflagern und z die Anzahl der „Zwischenreaktionen“ zwischen den Einzelkörpern, so muss für ein statisch bestimmtes System gelten

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r + z = 3 s. Ist r + z < 3s, dann ist das System „statisch unbestimmt“. Bei statisch unbe-stimmten Systemen muss man die zur Bestimmtheit fehlenden Gleichungen aus der Verformung des Systems herleiten. 2. Der statisch bestimmt gelagerte, starre Balken Abb. 3.1.07 zeigt Balken auf zwei Stützen, Abb. 3.1.08 zeigt den eingespannten Balken, Abb. 3.1.09 verschiedene Gelenk- oder GERBER- Träger und Abb. 3.1.10 den Dreigelenkbogen.

Abb. 3.1.07: Typische praktische Ausführungen von Balken auf zwei Stützen

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Abb. 3.1.08: Eingespannter Balken

Abb. 3.1.09: GERBER- Träger

a) dreifach gelagert mit einem Gelenk b) vierfach gelagert mit zwei Gelenken c) einfach gestützter, eingespannter Balken mit einem Gelenk d) Dreigelenkbogen (oder – rahmen)

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3. Das (ebene) Fachwerk Fachwerke, Abb. 3.1.11, werden für Brückenträger, Dachbinder, Gerüste, Krane, usw. eingesetzt.

Abb. 3.1.11: Fachwerkträger oben: Dreiecksfachwerk, K ≡ F unten: Knotenblech Man macht zur angenäherten rechnerischen Behandlung (1. Näherung) eines Ein-fachen bzw. Dreiecks- Fachwerks zwei idealisierende Annahmen: 1. Die einzelnen Stäbe können an den Enden kein Moment übertragen ,d,h. das normalerweise verwendete (eckensteife) Knotenblech zur Verbindung der Stäbe wird idealisiert durch reibungsfreie Gelenke. (In der Praxis wird diese Idealisierung dadurch sehr gut angenähert, dass man die Stäbe auf den Knotenblechen so verschweißt, dass sich ihre Achsen im „Knoten-punkt“ des Blechs schneiden) 2. Die äußeren Kräfte sollen nur in den Knotenpunkten angreifen. Man ver-nachlässigt also das Eigengewicht der Stäbe oder man schlägt dies den angrenzen-den Knoten zu.

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Beim Einfachen Fachwerk vereinigt man in jedem Knotenpunkt drei Stäbe. Ist n die Anzahl der Knoten, so benötigt man s ≥ 2n – 3 Stäbe; bei s> 2n – 3 werden „überzählige Stäbe installiert. Damit das Fachwerk im Ganzen sich im Gleichgewicht befindet, muss an jedem Kno-tenpunkt Gleichgewicht herrschen zwischen den eingeprägten Kräften und den dort wirkenden Reaktionskräften, so dass die r = 3 Reaktionskräfte aus den drei Gleich-gewichtsbedingungen bestimmbar sind, oder allgemein: Ein Fachwerk ist innerlich bestimmt für s = 2 n – r (3.1.07.1) (s Anzahl der unbekannten Stabkräfte, r Anzahl der unbekannten Reaktionskräfte, 2n Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen) und äußerlich bestimmt für r = 3. Ein äußerlich bestimmtes Fachwerk ist also auch innerlich innerlich statisch bestimmt für s = 2 n -3 (3.01.7.2) Stäbe. Für n Knoten lautet die vektorielle Gleichgewichtsbedingung für eine innerliche stati-sche Bestimmtheit K ∑ Sik = - Fi , i = 1, 2, …, n . (3.1.08) k=1 Diese Gleichung von 2n skalaren, inhomogenen, linearen Gleichungen besitzt nur dann eine Lösung, wenn die zugehörige Koeffizientendeterminante Null ist und gemeinsam mit (3.1.07) bildet das eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine innerlich statische Bestimmtheit des Fachwerks. Die Bestimmung der Stabkräfte erfolgt rechnerisch m.H. des RITTERschen Schnitt-verfahren oder grapisch m.H. des sogenannten CREMONA- Plans. 4. Das Schnittverfahren von RITTER Das Verfahren ist insbesondere dann angebracht, wenn nicht alle Stabkräfte interessieren. Man zerschneidet das ganze Fachwerk derart in zwei Teile, dass von diesem Schnitt drei nicht durch ein und denselben Punkt hindurchgehende Stäbe getroffen werden, z.B. Schnitt s-s in Abb. 3.1.11: Man untersucht nun das Gleichgewicht am linken Fachwerkteil, das als „starre Scheibe“ unter Wirkung der Kräfte A, F1 = K1 und der Stabkräfte S6, S7, S8 im Gleichgewicht sein muss, und berechnet hieraus die drei unbekannten Stabkräfte, vorzugsweise m.H. von Momentengleichungen mit einem Bezugspunkt, in dem sich zwei der geschnittenen Stäbe schneiden.

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5. Der CREMONA- Plan Man kann m.H. dieses Verfahrens alle Stabkräfte in einem Kräfteplan graphisch ermitteln. In Abb. 3.11.2 ist das beispielhaft für den Fachwerkträger Abb. 3.1.11 durchgeführt: Man legt die Kräftepläne der einzelnen Knoten so übereinander, dass die paarweise auftretenden Kräfte zusammenfallen unter Beachtung zweier Regeln.

Abb. 3.1.11.1: Schnitt durch den Fachwerkträger in Abb. 3.1.11

Abb. 3.1.11.2: CREMONA- Plan für den Fachwerkträger in Abb. 3.1.11

a) Kräfteplan in Knoten I, II, III b) Superposition der Kräftepläne in den einzelnen Knoten

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Zunächst bestimmt man graphisch oder rechnerisch die Auflagerkräfte und setzt sie mit den eingeprägten Kräften unter Beachtung der Regel 1 zu einem Krafteck zu-sammen:

Regel 1: Man füge die äußeren Kräfte in der Reihenfolge zu einem geschlossenen Krafteck aneinander, in der sie beim Umfahren des Fachwerks im Uhrzeigersinn auftreten.

Ausgehend von einem Knoten mit nur zwei unbekannten Stabkräften überlagert man nun alle Kraftecke zum CREMONA- Plan unter Beachtung der Regel 2: Regel 2: Man füge alle Kräfte in der Reihenfolge aneinander, in der sie beim Umfahren des Fachwerks im Uhrzeigersinn auftreten. 3.1.6 Das Seil Es wird das Ideale Seil behandelt, das gewichtslos und dehnstarr ist und nur Zug-kräfte aufnehmen kann. Das Seil soll durch die kontinuierliche Streckenlast q(x) belastet sein, Abb. 3.1.12.

Abb. 3.1.12: belastetes Seil In jedem Schnitt x wird die Seilkraft S(x) übertragen, mit einer konstanten Horizontal-komponente H(x) = H = const. Aus tan α = V(x)/ H = dz/ dx ≡ z’ (x)- mit der Vertikalkomponente V(x) der Seilkraft S(x)- erhält man zunächst z’’(x) = V’(x)/ H , (3.1.09) woraus mit dem Gleichgewicht am freigemachten rechten Seilende

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(x=l) (x) V(x) = FB - ∫ q(x) dx = FB + ∫ q(x) dx

(x) (x=l) und V’(x) = q(x) die Differentialgleichung der Seillinie z’’(x) = q(x)/ H (3.1.10) entsteht. Diese Gleichung lässt sich auch anhand des Gleichgewichts am Seilelement Abb. 3.1.12 herleiten. Integriert man (3.1.10), so erhält man die Gleichung der Seilkurve z(x) = { ∫ [ ∫ q(x) dx ] dx }/H + C1x + C2 . (3.1.11) Zwischen der Vertikal- und Horizontalkomponente der Seilkraft S(x), V(x) und H(x), gilt V(x) = H tanα = H z’(x) (3.1.12.1) womit gilt _________ ________ S(x) = √ H2 + V2(x) = H √ 1 + z’2(x) . (3.1.12.2) Bemerkung: Besondere Lösungen erhält man für (3.1.11) für die Fälle des „gleichmäßig be-lasteten“ Seils, d.h. q(x) = q0 = const, und das „gleichmäßig schwere“ Seil mit q(x) = q0 ds/dx. 3.1.7 Räumliche Kraftgruppen Die in den vorangegangenen Kapiteln dargestellten Methoden werden nun verwen-det, um das an einem starren Körper angreifende Kräftesystem aus N nicht in einer Ebene liegenden Kräften Fn, die in Punkten Pn angreifen, in ein äquivalentes, möglichst einfaches System umzuformen: Man verschiebt dazu die Einzelkraft Fn aus Pn in einen beliebigen Punkt 0, Abb. 3.1.14, indem man zu der Kraft das Versetzungsmoment Mn = rn x Fn hinzufügt. Bei beliebig vielen Kräften lassen sich die in 0 verschobenen Kräfte zu der Resultie-renden N N N Fres = ∑ Fn = ∑ {Fxn; Fyn; Fzn}= ∑ (Fxn ex + Fyn ey + Fzn ez) = n=1 n=1 n=1 = { Fresx; Fresy; Fresz } (3.1.13) und alle K Versetzungsmomente zum resultierenden Momentenvektor

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Abb. 3.1.14: Verschiebung der Kraft Fn ≡ Kn vom Punkt Pn in den Punkt O, Ver- setzungsmoment Mn

N = ∑ {(ryn Fzn – rzn Fyn); (rzn Fxn – rxn Fzn); (rxn Fyn – ryn Fxn)} n=1 K + ∑ { Mkx, Mky, Mkz} = {Mx(O); My(O); Mz(O)} (3.1.14) k=1 Das räumliche Kräftesystem lässt sich stets auf eine Einzelkraft Fres und ein Mo-ment M(0) zurückführen. Dabei ist die Wahl des Bezugspunktes 0 willkürlich ! Aus den Gleichgewichtsbedingungen Fres = 0, M(0) = 0 folgen sechs skalare Be-dingungsgleichungen, die für das Gleichgewicht eines starren Körpers auch hin-reichend sind. Ähnlich wie im ebenen Fall können auch hier die Kraftbedingungen durch ent-sprechende Momentenbedingungen für andere Bezugspunkte ersetzt werden. 3.1.8 Flächenhaft verteilte Innere Kräfte, Spannungen Die bisher allein betrachteten Äußeren Kräfte rufen im Inneren der Körper flächenhaft verteilte (Innere) Spannungen hervor. Um diese berechnen zu können, werden auch diese durch die Anwendung des Schnittprinzips in der Schnittfläche zu Äußeren (Flächen-) Kräften. Sie werden in den Schnittflächen zu ihrer Resultierenden zu-sammengefasst, den Schnittlasten.

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Bemerkung: Hiermit wird dann gedanklich schon ein wichtiger Schritt beim Übergang zur Statik deformierbarer Systeme vollzogen ! Der Spannungsvektor s, Abb. 3.1.15, ist definiert als Grenzwert der je Flächen-element ΔA übertragene Kraft ΔF, für ΔA → 0, s = lim ΔF/ ΔA = dF/ dA (3.1.15) ΔA→0

Abb. 3.1.15: Der Spannungszustand

a) Schnitt durch den deformierbaren Körper b) Zerlegung der Spannung in Normal- und Tangentialspannung c) Indizierung der Normal- und Tangentialspannungs- Komponenten

Der Spannungsvektor s wird zerlegt in zwei Komponenten, eine in Richtung der Flächennormalen, der Normalenrichtung, und eine in der Ebene der Fläche, der sogenannten Tangentialrichtung. Die Spannungskomponente in Normalenrichtung heißt Normalspannung σ (sigma), die Komponente in Tangentialrichtung heißt Tangential- oder Schubspannung τ (tau). Die Normalspannung ist positiv als Zugspannung; der Vektor σ weist dann al-so in Richtung der Flächennormalen n. Die Festlegung der Tangentialspannung macht die Angabe zweier Komponenten erforderlich: In τjk gibt der erste Index (j) die Ebene (Fläche mit konstanten Koordinaten an, x in Abb. 3.1.15.c)) an, in der die Tangentialspannung wirkt; der zweite Index (k) gibt die Richtung der zwei Komponenten der Tangentialspannung in der betrachteten Schnittfläche an (τxy und τxz liegen in der Fläche mit x = const und wirken in y- bzw. z- Richtung, in Abb. 3.1.15.c). Nun besteht allerdings das Problem, dass durch den Punkt P ein beliebig gerichteter Schnitt gelegt werden kann, d.h. die Spannung s in Abhängigkeit von der Lage der Schnittebene angegeben werden muss. Dazu werden solche mechanischen Körper herangezogen, die bestimmte geometri-sche Eigenschaften besitzen: Der Stab mit einer Ausdehnung längs einer Achse,

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die Scheibe mit einer Ausdehnung längs zweier Achsen und der dreidimensionale Körper mit drei Längsausdehnungen. Anhand dieser drei Modelle werden der einachsige, der ebene und der allgemeine Spannungszustand definiert. 1. Der einachsige Spannungszustand Abb. 3.1.16 zeigt einen Zugstab, bei dem in jedem Element Δ A der Querschnitts-fläche A, deren Normale in x- Richtung weist, die Normalspannung σx wirkt. Untersucht man nun die Spannung in einer beliebigen Schnittebene, deren Normale unter dem Winkel φ gegenüber der x- Achse geneigt ist, so erhält man für die Normalspannung σ = Fn/ Aφ = F cos2φ/ A = σx cos2φ und für die Tangentialspannung τ = FT/ Fφ = F sinφ cosφ = σx sinφ cosφ. Mit σ = σx cos2φ = σx (1 + cos2φ)/ 2 (3.1.17.1) und τ = σx sinφ cosφ = σx sin2φ/ 2 (3.1.17.2) ist der Spannungszustand in jedem Punkt der schrägen Schnittfläche gegeben. Die in der schrägen Schnittfläche liegenden Tangential- oder Schubspannungen τ haben die Tendenz, ein „Gleiten längs dieser Schnittfläche“ hervorzurufen, Abb. 3.1.16 b), während die Normalspannungen σx versuchen, die Schnittflächen vonein-ander zu trennen: In der Praxis tritt bei hohen Spannungen ein „Fließen des Werkstoffes“ auf und es zeichnen sich unter etwa 45o geneigte „Gleit- oder Fließlinien, sogenannte „LÜDERsche Linien“ ab, denn bestimmt man nach dτ/dφ = d /dφ (σx sin2φ/2) = σx cos2φ = 0 den Extremwert der Schubspannung τ, dann stellt man fest, dass dieser mit τmax = σx/2 bei φ = ± π/4 liegt. MOHR hat eine graphische Darstellung des Zusammenhangs zwischen σ und τ in Abhängigkeit des Winkels φ entwickelt, Abb. 3.1.17: Quadriert man die Gleichungen (3.1.17) und addiert sie, so erhält man eine Kreis- gleichung (σ- σx/2 )2 + τ2 = (σx/2)2 . (3.1.18)

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Abb. 3.1.16: Zum einachsigen Spannungszustand a) Kräfte am Schnitt unter dem allgemeinen Winkel φ b) „Gleiten längs der schrägen Schnittfläche“ c) Gleichgewicht am Element des Zugstabes

Abb. 3.1.17: Der MOHRsche Spannungskreis für den einachsigen Spannungs- zustand 2. Der allgemeine ebene Spannungszustand Abb. 3.1.18 zeigt die (rechteckige) Scheibe an der die Grundgleichungen für die Spannungen im Schnitt unter dem beliebigen Winkel φ hergeleitet werden. Die Scheibe ist durch die Normalspannungen σx, σy und die Schubspannungen τ xy, τyx belastet. Für das Gleichgewicht der Kräfte in Abb. 3.1.18 b) gilt, da die Normalspannungen keine Momente hervorrufen, die Momentengleichung (τxy dy .1) dx – (τyx dx 1)dy = 0 aus der die Gleichheit der einander zugeordneten Schubspannungen hervor geht.

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Am Element in Abb. 3.1.18 c) lassen sich nun unter Verwendung der trigonometri-schen Beziehungen cos2φ = (1 + cos2φ)/2 ; sin2φ = (1 – cos2φ)/2 ; sinφ cosφ = sin2φ/ 2 die Gleichungen für die Normalspannung σ und die Schubspannung τ in der schrä-gen Schnittfläche angeben: σ = σx cos2φ + σy sin2φ + 2 τxy sinφ cosφ = (σx + σy)/2 + (σx – σy)/2 cos2φ +τxy sin 2φ (3.1.19.1) τ = (σy – σx) sinφ cosφ + τxy (cos2φ – sin2φ) = - (σx – σy)2 sin2φ + τxy cos2φ (3.1.19.2) - hier hat τ das Vorzeichen aus Abb. 3.1.18 b). Durch Quadrieren von (3.1.19) und Summieren erhält man wiederum eine Kreis-gleichung [σ – (σx + σy)/2 ]2 + τ2 = [σx – σy)/2 ]2 + τxy

2 (3.1.20) des zugehörigen MOHRschen Spannungskreises, Abb. 3.1.18 c). Wie im Fall des einachsigen Spannungszustandes bestimmt man die Extremwerte von Normal- und von Schubspannung: Für die Normalspannung erhält man nach entsprechender Differentiation von (3.1.20) eine Gleichung tan 2φ0 = tan (2φ0 + π) = 2 τxy/ (σx – σy) , (3.1.21) für die Winkel φ0, (φ0 +π/2), unter denen die beiden sogenannten Hauptspannungen σ1, σ2, _____________ σ1,2 = (σx + σy)/2 ± √(σx – σy)2/2 + τxy

2 (3.1.22) wirken. In diesen Ebenen sind die Schubspannungen Null. Die Winkel φ1, für die die Schubspannungen Extremwerte annehmen, erhält man m.H. der Gleichung dτ/ dφ = - (σx – σy) cos2φ – 2 τxy sin2φ = 0 aus tan 2φ1 = tan ( 2φ1 + π) = - (σx – σy)/ 2τxy ; (3.1.23) es sind dies die beiden Winkel φ1 = φ0 ± π/4. Die Hauptschubspannungen sind ________________ τmax1,2 = ± √ [(σx – σy)/2]2 + τxy

2 . (3.1.24) In diesen Ebenen sind die Normalspannungen Null.

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Abb. 3.1.18: Zum allgemeinen ebenen Spannungszustand

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1. Sonderfall: τxy = 0 Die Normalspannungen σx = σ1, σy = σ2, sind also gleichzeitig die Hauptspannungen. Dafür ergibt sich die max. Schubspannung zu │τmax │=│σx – σy│/2 (3.1.25.1) in den Schnittebenen φ = π/4 , 3π/4, 5π/4, 7π/4, … (3.1.25.2) Man hat also hier einen Schubspannungszustand τ mit allseitig überlagertem, gleichen Zugspannungszustand. 2. Sonderfall: σx = σy = σ In allen Richtungen herrscht der gleiche Spannungszustand, bei dem die Spannung nicht von der Orientierung der Schnittfläche abhängt. 3. Sonderfall: der reine Schubspannungszustand Die Normalspannung ist Null, die Schubspannung wird nach (3.1.25.1) │τmax│= (σx + σx )/2 = σx. Es gilt das Gesetz der zugeordneten Schubspannungen, also τxy = τyx ; τxz = τzx; τyz = τzy . (3.1.26) 4. Sonderfall: τxy = τxz = τyz = 0, σx = σy = σz = σ Das ist der sogenannte Hydrostatische Spannungszustand . Bemerkung: Der Hydrostatische Spannungszustand bildet die Grundlage der Hydrostatik, der Statik von inkompressiblen (Flüssigkeiten) und kompressiblen (Gasen, Dämpfen) Fluiden. 3. Der allgemeine (räumliche) Spannungszustand Man stellt die insgesamt neun Spannungen im sogenannten Spannungstensor S

dar, (3.1.27)

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Abb. 3.1.19: Zum allgemeinen (räumlichen) Spannungszustand Der Tensor ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen, d.h. es genügen drei Normalspan-nungen σx, σy, σz und drei Schubspannungen τxy, τxz, τyz zur vollständigen Be-chreibung des räumlichen Spannungszustands.

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3.1.9 Schnittlasten am geraden (Biege-) Balken Ein Balken oder Träger ist ein Tragwerk, dessen Abmessungen in Längsrichtung viel größer sind als die des Querschnitts. Der Balkenquerschnitt wird als symmetrisch angesehen: Die Symmetrieebene stellt auch die Lastebene dar ! Der Balken in Abb. 3.1.20 mit den Auflagerkräften A, B und den diskreten Äußeren Kräften F1, F2, … FN-1, FN, befinde sich im Gleichgewicht. Um nun zu wissen, wie diese Kräfte durch den Balken hindurch übertragen werden, führt man im Querschnitt s-s einen zur Balkenachse senkrechten Schnitt an.

Abb. 3.1.20: Schnittlasten am geraden (Biege-) Balken a) äußere Lasten F1, …, FN und Auflagerkräfte A, B b) Spannungszustand im Schnitt s-s c) Innere oder Schnittlasten im Schnitt s-s d) äußere Lasten und Auflagerkraft A am linken Balkenteil, sowie Re- sultierende Fres ≡ R der äußeren Lasten und der Auflagerkraft B am rechten Balkenteil e) freigemachtes linkes Balkenteil f) freigemachtes rechtes Balkenteil

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Bemerkung: Wichtig bei der Berechnung der Schnittlasten ist eine eindeutige Vorzeichen-regelung, Abb. 3.1.21. Die Schnittlasten, Abb. 3.1.21,

- die Normalkraft N(x), positiv in positiver x- Richtung - die Querkraft Q(x) ≡ Qz (x), positiv in positiver z- Richtung und - das Biegemoment M(x) ≡ Mby(x), positiv um die positive y- Richtung

drehend

Abb. 3.1.21: Zur Vorzeichenregel der Schnittlasten am linken und am rechten Schnittufer s-s; eingetragen sind die jeweiligen positiven Schnittlasten halten den links und rechts vom Schnitt wirkenden Äußeren Kräften des Balkens das Gleichgewicht, d.h., Abb. 3.1.22. 3.1.9.1 Ermittlung der Schnittlasten 1. rechnerische Bestimmung

Abb. 3.1.22: Zu den Gleichgewichtsbedingungen am linken und rechten Balkenteil

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Am linken Balkenteil gilt für die Normalkraft N(x) N(x) + Fx1 + Fx2+ Fxn = 0, (3.1.28.1) am rechten Balkenteil gilt - N(x) + FX(n+1) + FX(n+2) = 0. (3.1.28.2) Für die Querkraft Q(x) gilt am linken Balkenteil - Q(x) + Fz1 + Fz2 + Fzn = 0 (3.1.29.1) und am rechten Balkenteil Q(x) + Fz(n+1) + Fz(n+2) + FZN= 0 . (3.1.29.2) Und schließlich gilt für das Biegemoment M (x) am linken Balkenteil - M(x) + x Fz1 + (x- x2) Fz2 + (x- xn) Fzn = 0 (3.1.30.1) und am rechten Balkenteil M(x) – (l - x) FzN – (x(n+2) - x) Fz(n+2) – (x(n+1) - x) Fz(n+1) = 0 . (3.1.30.2) Bemerkung: An welchem der Balkenteile, links oder rechts, die Schnittlasten berechnet wer-en, ist zunächst beliebig. Meist richtet sich das nach dem jeweils anfallenden Arbeitsaufwand. Die Querkraftkurve Q (x), Abb. 3.1.23, hat an den Stellen xi der Einleitung der Kräf-te Fzi einen unstetigen Verlauf und ändert sich an diesen Stellen sprunghaft um den Betrag der eingeleiteten Kräfte Fzi . Die Gleichungen n Q (x) = - FA + ∑ Fzi (3.1.31.1) i=1 am linken oder N Q(x) = FB - ∑ Fzi (3.1.31.2) i=n+1 am rechten Balkenteil- mit den Auflagerkräften FA, FB – gelten also für den mit dis-kreten Kräften belasteten Biegebalken immer nur für das „Feld“ zwischen den ein-geleiteten Kräften. Die Biegemomentkurve M (x) ist eine lineare Funktion des Abstandes x des Quer-schnitts vom Auflager und berechnet sich am linken Balkenteil zu

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n M(x) = - x FA + ∑ (x- xi) Fzi (3.1.32.1) i=1 und am rechten Balkenteil zu N M(x) = - (l – x) FB + ∑ (xi – x) Fzi ; (3.1.32.2) i=n+1 die Kurve setzt sich aus Geradenstücken zusammen, die an den Stellen xi der Ein-leitung der Kräfte Fzi einen Knick besitzen. Differenziert man die Biegemomentkurve M (x) nach x, so erhält man die wichtige Beziehung dM(x)/ dx = Q(x), (3.1.33) die sowohl für den Balken unter diskreten Kräften als auch für den unter kontinuier-lichen Kräften, Abb. 3.1.24, gilt.

Abb. 3.1.23: Zur rechnerischen Ermittlung der Schnittlasten bei diskreten Lasten

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Kontinuierliche Belastung für den Balken infolge von Eigengewicht, Windlast oder „Schüttungen“ führen zur sogenannten Streckenlasten q(x), Abb. 3.1.23.

Abb. 3.1.24.1: Zur rechnerischen Ermittlung der Schnittlasten bei kontinuierlichen Lasten Bemerkung: Man muss hier genau unterscheiden zwischen der Stelle ξ, an der q(ξ) wirkt, und x, der Stelle, an der die Schnittlast zu berechnen ist ! Für die Querkraft Q(x) erhält man- mit der Lagerkraft FA - am linken Balkenteil x Q(x) = - FA + ∫ q(ξ) dξ (3.1.34) ξ=0 und für das Biegemoment M(x) x M(x) = - FAx + ∫ q(ξ) (x –ξ) dξ. (3.1.35) ξ=0 Die Differentiation von (3.1.35) nach x ergibt zunächst wiederum (3.1.33). Differentiert man auch (3.1.33) nach x, so erhält man dQ(x)/ dx = d2M(x)/dx2 = q(x). (3.1.36) Die Beziehungen (3.1.33) und (3.1.36) kann man auch auf andere Weise herleiten: Aus der Gleichgewichtsbetrachtung am Balkenteil Abb. 3.1.24.2 erhält man diese direkt als Q(x) – [Q(x) + dQ(x)/ dx] – q(x) dx = 0 und [M(x) + dM(x)/ dx] – M(x) – Q(x) dx = 0

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Abb. 3.1.24.2: Gleichgewicht am Balkenteil bei kontinuierlicher Belastung 2. graphische Bestimmung von Querkraft und Biegemoment Für den Fall diskreter Kräfte, Abb. 3.1.25, werden m.H. des Seileckverfahrens zu-nächst die Lagerkräfte FA, FB bestimmt. Dann bestimmt man die Resultierende Fres der rechts von einem beliebigen Schnitt c-c liegenden Kräfte, d.h. man bestimmt ihre Lage aus dem Schnittpunkt von S3 und der Schlusslinie S.

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Abb. 3.1.25: Zur zeichnerischen Ermittlung der Schnittlasten bei diskreten Lasten

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Abb. 3.1.27: Zur zeichnerischen Bestimmung der Schnittlasten bei kontinuierlichen Lasten

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Literaturhinweis Hinweis: Genannt wird hier insbesondere weiterführende Literatur, insbesondere solche für das Fachhochschulstudium und solche mit Übungsaufgaben. Reckling, K.- A. Mechanik I, II, III Vieweg Verlag, Braunschweig; 1969 Szabó, I. Einführung in die Technische Mechanik Springer Verlag, Berlin; 1966 Szabó, I. Repertorium und Übungsbuch der Technischen Mechanik Springer Verlag, Berlin; 1963 Göldner, H. Lehr- und Übungsbuch Technische Mechanik Fachbuchverlag Leipzig (Hanser), München; 1997 Hardtke, H.- J./ Heimann, B./ Sollmann, H. Technische Mechanik Fachbuchverlag Leipzig (Hanser), München; 1997 Göldner, H. Übungsaufgaben aus der Technischen Mechanik Vieweg Verlag, Braunschweig; 1966 Singer, F. L. Engineering Mechanics Harper & Row, New York; 1975 Meriam, J. L. Statics, Dynamics Wiley, New York; 1978 Neuber, H. Technische Mechanik I, II, III Springer Verlag, Berlin; 1977 Franeck, H. Technische Mechanik (Klausurtraining) Teubner Verlag, Stuttgart; 2000 Mayer, M. Technische Mechanik Hanser Verlag, München; 2002 Mayer, M. Mechanik Training

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Hanser Verlag, München; 2000 Schnell, W./ Gross, D. Formel- und Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik I, II, III BI Wissenschaftsverlag, Darmstadt; 1980