Technische Mechanik I

Prof. Dr. Manfred Braun

m.braun@uni-duisburg.de

Wintersemester 2003/2004

Lehrveranstaltung Zeit Hörsaal Beginn

Technische Mechanik I V 3 Mi 14:00–15:30 LB 104 15.10.2003

Fr 08:15–09:45 LB 104 17.10.2003

14tägig

Technische Mechanik I Übungen Ü 2 Fr 10:00–11:30 LB 104 17.10.2003

(Dr.-Ing. E. Schopphoff)

Technische Mechanik I Tutorium T 2

Gruppe 1 Mi 16:00–17:30 LB 104 22.10.2003

Gruppe 2 Fr 15:00–16:30 LB 104 24.10.2003

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E S S E NLehrstuhl Mechanik

Technische Mechanik I Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 0-1

Lehrunterlagen

Internet-Adresse des Lehrstuhls für Mechanik

http://www.mechanik.uni-duisburg.de

→ Lehre → Lehrunterlagen

Technische Mechanik I (Prof. Braun)

Folien

Skript

Übungsaufgaben imA

ufba

u

Technische Mechanik I (Prof. Kecskeméthy)

Vorlesungsunterlagen

Übungsaufgaben

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Lehrunterlagen Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 0-2

Technische Mechanik I

1. Kräftesysteme und Gleichgewicht

2. Gewichtskraft und Schwerpunkt

3. Reibung

4. Statik des starren Balkens

5. Grundbegriffe der Festigkeitslehre

6. Fachwerke

7. Torsion

8. Biegung gerader Balken

9. Seilstatik

A. Vektorrechnung

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Inhalt Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 0-3

Literatur

Lehrbücher

• D. Gross, W. Hauger, W. Schnell: Technische Mechanik 1–3.Band 1: Statik, Band 2: Elastostatik, Band 3: Kinetik.4. Auflage. Springer, Berlin 1992.

• S. Kessel, D. Fröhlich: Technische Mechanik/Technical Mechanics.Fachbegriffe im deutschen und englischen Kontext.Teubner, Stuttgart 1998.

• H. G. Hahn: Technische Mechanik fester Körper.Hanser, München 1990.

• K. Wohlhart:Statik. Grundlagen und Beispiele.Dynamik. Grundlagen und Beispiele.Vieweg, Braunschweig 1998.

• K. Magnus, H. H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik.Teubner, Stuttgart 1974.

• F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., E. R. Eisenberg, W. E. Clausen, G. H. Staab:Vector Mechanics for Engineers: Statics. McGraw-Hill, 7 th edition, 2003

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Literatur Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 0-4

Literatur (Fortsetzung)

Übungsbücher

• W. Hauger, H. Lippmann, V. Mannl: Technische Mechanik 1–3,Aufgaben.Springer, Berlin 1991.

• W. Schnell, D. Gross: Formel- und Aufgabensammlung zur TechnischenMechanik I–III.I Statik, II Elastostatik, III Kinetik.BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1985–1989.

• H. H. Müller, K. Magnus: Übungen zur Technischen Mechanik.Teubner, Stuttgart 1974.

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Literatur (Fortsetzung) Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 0-5

Inhalt

1. Kräftesysteme und Gleichgewicht

1.1 Die Kraft

1.2 Addition und Zerlegung von Kräften

1.3 Ebene Kräftesysteme

1.4 Kräftedipol und statisches Moment

1.5 Räumliche Kräftesysteme

1.6 Gleichgewicht des starren Körpers

1.7 Erstarrungs-, Schnitt- und Gegenwirkungsprinzip

2. Gewichtskraft und Schwerpunkt

3. Reibung

4. Statik des starren Balkens

5. Grundbegriffe der Festigkeitslehre

6. Fachwerke

7. Torsion

8. Biegung gerader Balken

9. Seilstatik

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Inhalt Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-0

Die Kraft

Bestimmungsgrößen einer Kraft

• Betrag F

• Richtung

}

Kraftvektor F ( ~F )

• Wirkungslinie

• AngriffspunktWirkungslinie

F 1

F 2

Angriffspunkt

Statische Äquivalenz von Kräften

Zwei Kräfte heißen statisch äquivalent, wenn sie denselben Betrag, dieselbe Richtung und dieselbeWirkungslinie haben.

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Die Kraft Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-1

Addition und Zerlegung von Kräften

α β

F 1

F 2

F

Betrag F der resultierenden Kraft: (Cosinussatz)

F 2 = F12 + F2

2 − 2F1F2 cos(π − α) = F12 + F2

2 + 2F1F2 cos α

Richtungswinkel β der resultierenden Kraft: (Sinussatz)

sin β =F2

Fsin(π − α) =

F2 sin α√

F12 + F2

2 + 2F1F2 cos α

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Addition und Zerlegung von Kräften Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-2

Ebene Kräftesysteme: Reduktion paralleler Kräfte

F 1

F 2

F 0

−F 0

F 1+ F 0

F2 − F

0

F = F 1 + F 2

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Ebene Kräftesysteme: Reduktion paralleler Kräfte Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-3

Transformation eines Kräftedipols

F 0

−F 0

bc

bc

F−F

F′

−F′

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Transformation eines Kräftedipols Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-4

Kräftepaar und statisches Moment

Kräftepaar in der Ebene

F

F0

F ′

aa′

Fa = F ′a′

Invarianten:

• Statisches Moment Fa

• Drehsinn + oder −

Kräftepaar im Raum

r

F

M = r × F

Momentenvektor M = r × F

• Betrag: statisches Moment

• Richtung: – orthogonal zur Ebene des Kräftepaars

– Rechtsschraubenregel

Der Momentenvektor ist ein freier Vektor: Er ist nichtan einen Angriffspunkt oder eine Wirkungslinie gebunden.

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Kräftepaar und statisches Moment Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-5

„Verpflanzung“ einer Kraft

r

bc

bc

PF

O

bc

bc

PF

O

F

−F

bc

bc

P

F

OM = r × F

F F

M

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„Verpflanzung“ einer Kraft Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 1-6

Inhalt

1. Kräftesysteme und Gleichgewicht

2. Gewichtskraft und Schwerpunkt

3. Reibung

4. Statik des starren Balkens

5. Grundbegriffe der Festigkeitslehre

5.1 Normal- und Schubspannungen

5.2 Der Mohrsche Spannungskreis

5.3 Dehnung und Scherung

5.4 Hookesches Gesetz

6. Fachwerke

7. Torsion

8. Biegung gerader Balken

9. Seilstatik

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Inhalt Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-0

Normal- und Schubspannungen

dAσ dA

τ dA

n

t dA

n Normaleneinheitsvektor

(nach außen orientiert)

t Spannungsvektor

Normalspannung:Komponente senkrecht zur Schnittfläche

σ = n . t

σ > 0 Zugspannung

σ < 0 Druckspannung

Schubspannung:Komponente in der Schnittfläche

τ = |t − σn|

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Normal- und Schubspannungen Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-1

Mohrscher Kreis: Einachsiger Spannungszustand

σ1A1

ϕ

A1

σA

τAτA

A1 = A cos ϕ

A

Normal- und Schubspannungen

σ =1

2σ1(1 + cos 2ϕ)

τ =1

2σ1 sin 2ϕ

σ

τ

12σ1

σ1

−12 σ1

12 σ1

0

+

+

2ϕ

σ

τ

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Mohrscher Kreis: Einachsiger Spannungszustand Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-2

Mohrscher Kreis: Zweiachsiger Spannungszustand

σ1A1

A0

ϕ

A1

A0

A2

σA

τAτA

A

σ2A0

σ2(A0 + A2)A1 = A cos ϕ

A2 = A sin ϕ

Normal- und Schubspannungen

σ =1

2(σ1 + σ2) +

1

2(σ1 − σ2) cos 2ϕ

τ =1

2(σ1 − σ2) sin 2ϕ

σ

τ

σ2

1

2(σ

1+ σ

2)

σ1

−1

2(σ

1− σ

2)

0

1

2(σ

1− σ

2)

1

2(σ

1−

σ 2)

+

+

2ϕ

σ

τ

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Mohrscher Kreis: Zweiachsiger Spannungszustand Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-3

Mohrscher Kreis: Hauptspannungen

τ

τxy

σx

τxy

σy τxy

α

σ1

σ2

σ

τ

σ21

2(σ

x+ σ

y) σ1

0

+

+

2α

−τxy

τxy

σx

σy

τxy

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Mohrscher Kreis: Hauptspannungen Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-4

Verzerrungen

Dehnung:relative Längenänderung

ℓ0

ℓ

d0

d

Längsdehnung ε =ℓ − ℓ0

ℓ0

Querdehnung εq =d − d0

d0

Volumendehnung εV =V − V0

V0

≈ ε + 2εq

Scherung:Winkeländerung

γ

Scherungswinkel γ

Scherung, Gleitung k = tan γ ≈ γ

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Verzerrungen Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-5

Hookesches Gesetz

Längs- und Querdehnung

σ

ε =1

Eσ εq = −

ν

Eσ

Materialkonstanten

E Elastizitätsmodul Young’s modulus

ν Querdehnungszahl Poisson’s ratio

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Hookesches Gesetz Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-6

Hookesches Gesetz

Scherung

τ

γ =1

Gτ

Materialkonstante

G Schubmodul shear modulus

Beziehung zwischen den Materialkonstanten: G =E

2(1 + ν)

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Hookesches Gesetz Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-7

Einfache Scherung: Hauptspannungsrichtungen

τxy

τxy

τxy

π/4

σ1 = τxy

σ2 = −τxy

π/2 σ

τ

−τxy

τxy

σ1 = τxy

σ2 = −τxy

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Einfache Scherung: Hauptspannungsrichtungen Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-8

Zusammenhang zwischen Dehnungen und Scherung

π/4

a

a

σ1 = τ

σ2 = −τ

π / 4−

γ / 2

a(1 + ε)

a(1

−ε) τττ

1 − ε

1 + ε= tan

(π

4−

γ

2

)

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Zusammenhang zwischen Dehnungen und Scherung Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-9

Zusammenhang zwischen den Materialkonstanten

σ1 = τ

σ2 = −τ

Näherung für kleineVerzerrungen|ε|, |γ| ≪ 1

γ ≈ 2ε

τττ

Hookesches Gesetz

ε =1

E(σ1 − νσ2) =

1 + ν

Eτ γ =

1

Gτ

G =E

2(1 + ν)

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Zusammenhang zwischen den Materialkonstanten Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 5-10

Inhalt

1. Kräftesysteme und Gleichgewicht

2. Gewichtskraft und Schwerpunkt

3. Reibung

4. Statik des starren Balkens

5. Grundbegriffe der Festigkeitslehre

6. Fachwerke

6.1 Verschiebungsmethode

7. Torsion

8. Biegung gerader Balken

9. Seilstatik

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Inhalt Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 6-0

Fachwerke

bc bc bc

bc bc bc bc bc bc bc

bc bc bc bc bc bc bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

Kennzeichen eines Fachwerks:

• Verband von gelenkig verbundenen Stäben

• Krafteinleitung ausschließlich in den Knoten

• Stäbe nur auf Zug oder Druck beansprucht

Gegeben:

– Geometrie– Materialdaten– Lagerung– Belastung

Gesucht:

– Knotenverschiebungen– Stabkräfte– Lagerreaktionen

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Fachwerke Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 6-1

Fachwerkstab

Längenänderung eines Fachwerkstabes

bc

bc

bc

bc

ℓ

e

ℓ + ∆ℓu1

u2

∆ℓ = e . (u2 − u1) +

+1

2ℓ|e × (u2 − u1)|

2 + · · ·

Hookesches Gesetz

bc

bc

F

F

ℓ

EAF =

EA

ℓ∆ℓ

E Elastizitätsmodul

A Stabquerschnitt

EA Zugsteifigkeit

EA/ℓ Federkonstante

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Fachwerkstab Prof. Dr. Manfred BraunTechnische Mechanik I 6-2