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Technische Mechanik Formelsammlung
Institut für Festkörpermechanik
Fakultät Maschinenwesen
Version: Mai 2017
Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik:
Massenerhaltung Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung
- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.
Inhaltsverzeichnis
Statik Ebene Statik .......................................................................................... 1 Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 1 Tragwerkselemente ...................................................................... 4 Lagerungen .................................................................................. 5 Gelenke ........................................................................................ 6 Schnittgrößen beim Balken .......................................................... 7 Räumliche Probleme ............................................................................. 8 Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 8 Lagerungen und Gelenke (Beispiele) ........................................ 10 Schnittgrößen beim Balken ........................................................ 11 Reibung................................................................................................ 12
Festigkeitslehre Grundlagen .......................................................................................... 13 Spannungen ............................................................................... 13 Verzerrungen .............................................................................. 15 HOOKEsches Gesetz ................................................................. 16 Zulässige Spannungen............................................................... 18 Vergleichsspannungen ............................................................... 19 Linientragwerke ................................................................................... 21 Zug (Druck) ................................................................................. 21
Biegung....................................................................................... 21 Reine Torsion ............................................................................. 24 Querkraftschub ........................................................................... 25 Federn ........................................................................................ 26 Satz von CASTIGLIANO ............................................................ 27 Stabilitätsproblem Knicken ......................................................... 27
Flächentragwerke ................................................................................ 28 Rotationsschalen ........................................................................ 28
Kreis- und Kreisringscheiben .................................................... 29 Kreis- und Kreisringplatten ......................................................... 30
Formelsammlung Technische Mechanik i
Kinematik Kinematik des Punktes ............................................................... 32 Kinematik des starren Körpers ................................................... 34
Kinetik starrer Körper Translation .................................................................................. 36 Beliebige Bewegung ................................................................... 37
Bewegung in der x,y-Ebene ....................................................... 39
Gerader zentrischer Stoß ........................................................... 41 LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ......................................... 42 Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 .................................... 43 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1 ...................... 47
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte Schwerpunkt ebener Linienstrukturen ....................................... 48 Schwerpunkt ebener Flächen .................................................... 49 Schwerpunkt von Körpern .......................................................... 50 Flächenmomente 2. Ordnung .................................................... 51 Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 53 Massenmomente 2. Ordnung ..................................................... 54 Ergänzungen ....................................................................................... 58
ii Formelsammlung Technische Mechanik
Formelsammlung Technische Mechanik
1
Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft
F
Vektorielle Darstellung Betrag, Richtung Koordinaten Moment bezüglich der z-Achse Resultierende Kraft aus n Kräften (Einzel-)Moment z
M
Vektorielle Darstellung
Statik
2 2
1 1
tan
mit:
RyR Rx Ry R
Rx
n n
Rx ix Ry iyi i
FF F F
F
F F F F
y
z x
F
Fy
exez
Fx
x
y
x y
x x y yF F
F F F
e e
2 2
tan
x y
y
x
F F F
FF
F
cos sinsin cos
x
y
F F FF F F
z z z y x zM x F y F M e e
z z zM M e
y
z x
Mz
Ebene Statik
Formelsammlung Technische Mechanik
2
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft Streckenlasten (auch: Linienlasten) in Längsrichtung des Balkens n: in Querrichtung des Balkens q: Reduktion der Streckenlasten äquivalente Einzellasten: (demonstriert an Streckenlast q)
1 1 1 1
n m n m
Rz iz kz i iy i ix kzi k i k
M M M x F y F M
Ry Rz
Rx Rx
F My xF F
A
q(z)
zl
dz A
FR
zR
q0
l
F =q lR 0
l/2 l/2
q0
lA
F =q l/R 0 2
2 3 l/ l/3A
223
0R
R
q lF
z l
0
2
R
R
F q llz
l
RF q z dz0
0
1 l
RR
z q z z dzF
q
nIntensität
Intensität
Formelsammlung Technische Mechanik
3
Gleichgewichtsbedingungen
Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht
10
n
ixi
F
1 1
0
n m
i iy i ix kzi k
x F y F M
10
n
iyi
F
mit: m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten)
0R
F 0RzM
Formelsammlung Technische Mechanik
4
Tragwerkselemente Linientragwerke Eine Hauptabmessung dieser Tragwerke ist wesentlich größer als die beiden anderen.
Seil, Kette
(Fachwerk-)Stab
Torsionsstab
Knickstab
(Biege-)Balken
Flächentragwerke Zwei Hauptabmessungen dieser Tragwerke sind wesentlich größer als die dritte.
Scheibe (Belastung in Mittelfläche)
Platte (nur bei räumlichen Problemen) (Belastung Mittelfläche)
Schale (nur bei räumlichen Problemen
3D-Körper (nur bei räumlichen Problemen) Alle Hauptabmessungen dieser Tragwerke liegen in der gleichen Größenordnung.
Zwischen Stab und Balken bzw. zwischen Scheibe und Platte unterscheidet nur die Belastung. Die Geometrie kann jeweils gleich sein.
oder:
oder:
Formelsammlung Technische Mechanik
5
Lagerungen (Verbindungen von Linien- bzw. Flächentragwerken mit Umgebung)
Bezeichnung Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad
Feste Einspannung
0
Tangential (zur Balkenlängsachse) verschiebliche Einspannung (Schiebehülse)
1
(Verschiebung von B tangential zur Balkenlängs-
achse)
Normal (zur Balkenlängsachse) verschiebliche Einspannung (Parallelführung)
1
(Verschiebung von B normal
zur Balkenlängs-achse)
Festlager (gelenkiges Lager)
1
(Drehung um B)
Loslager (Rollenlager)
2 (Verschiebung
von B entlang der Gleitebene,
Drehung um B)
Pendelstütze (Stützstab, Seil)
2 (Verschiebung
von B auf Kreis-bogen um C,
Drehung um B)
B
C
FB
FBh
MB
B
B
FB
FBh
FB
FS
B
B
B
FB
MB
FBh
MB
Formelsammlung Technische Mechanik
6
Zug-/Druckfeder (Federkonstante c)
2 (horizontale
Verschiebung von B, Drehung
um B)
Drehfeder (Federkonstante ct)
2 (horizontale und
vertikale Verschiebung
von B)
Gelenke (Verbindungen von Linien- und/oder Flächentragwerken miteinander)
Bezeichnung Symbol Gelenkaktionenund -reaktionen
Reduzierter Freiheitsgrad
(Momenten-) Gelenk
1
(Drehung um G)
Normalkraftgelenk (Schiebehülse)
1 (relative Ver-
schiebung beider Balken tangential zu deren Längs-
achsen)
Querkraftgelenk (Parallelführung)
1
(relative Ver. Schiebung beider Balken normal zu
deren Längs-achsen)
F = c
M = ct t
B
c t
B
c
G
beliebig F FG G
F FGh Gh
F F
MM
G G
GGG
G
F F
MM
G G
GG
Formelsammlung Technische Mechanik
7
Schnittgrößen beim Balken Definition Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Streckenlasten
Für entgegengesetztes z gelten die unteren Vorzeichen.
M b
FQ
Mb
FQ
FLFL
mit: FL – Längskraft (auch: FN – Normalkraft) FQ – Querkraft Mb – Biegemoment
2
2
( ) ( )( ) ( )
( )( )
bQ
b
Q
dM z F zd M zdz q z
dF z dzq z
dz
Auftragerichtung für M b
Mb Mb-+
( ) ( )LdF z n zdz
q
z dzn F +dFQ Q
FQ
F +dFL LFL
M +dMb bMb
Formelsammlung Technische Mechanik
8
Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft
F
Vektorielle Darstellung Betrag Koordinaten Moment bezüglich des Punktes O
Resultierende Kraft aus n Kräften
x y z
x x y y z zF F F
F F F F
e e e
2 2 2
x y zF F F FF
coscoscos
x
y
z
F FF FF F
mit:
x x y y z z
x z y
y x z
z y x
M M MM y F z FM z F x FM x F y F
M r F e e e
Räumliche Probleme
F
y
yx
r
z
z
O
ez
ex e y
x
Fy
Fx
Fz
1
n
R ii
F F
Formelsammlung Technische Mechanik
9
(Einzel-)Moment
M
Vektorielle Darstellung
x y z
x x y y z zM M M
M M M M
e e e
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Weitere Streckenlast Torsionsstreckenlast Gleichgewichtsbedingungen
Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht
0
RF 0
RM
10
n
ixi
F
1 1
0
n m
i zi i yi kxi k
y F z F M
10
n
iyi
F
1 1
0
i
n m
i x i zi kyi k
z F x F M
10
n
izi
F
1 1
0
n m
i yi i xi kzi k
x F y F M
mit: m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten) Reduzierte Lasten - Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten (analog zu S. 2).
1 1
n m
R i i ki k
M r F M
yy
r
z
z
O
ez
ex ey xx
My
Mx
Mz
M
mt
10 Formelsammlung Technische Mechanik
Lagerungen und Gelenke (Beispiele) Bezeichnun Symbol Lagerreaktionen Reduzierter
Freiheitsgrad
(Feste) Einspannung
0
Festlager (gelenkiges Lager)
3
(Drehung um x-, y-, z-Achse
durch B)
Loslager (Rollenlager)
5 (Drehung um
x-, y-, z-Achse durch B,
Verschiebung in x- und z-Richtung)
Pendelstütze (Stützstab, Seil)
5 (Verschiebung
von B auf Kugel-fläche mit Radius
BC um C, Drehung um B)
Hülse (ohne axiale Verschieblichkeit)
1 (Drehung um
z-Achse)
(Momenten-) Gelenk
3
(Drehung um x-, y-, z-Achse
durch G)
FBy
FF
Bz
Bx
M
M
M
By
Bz
BxB
xy
z
B
xy
zFBy
F
FBz
Bx
B
xy
z FBy
x
y
zBFBy
F
FBz
Bx
M
M
By
Bx
Gx
z
yF F
Gy Gy
FF F
Gz
Gx Gx
FS
B
C
B
Formelsammlung Technische Mechanik 11
Schnittgrößen beim Balken Definition oder:
mit: FL - Längskraft (auch: FN – Normalkraft) FQx , FQy - Querkräfte Mbx , Mby - Biegemomente Mt - Torsionsmoment Achsen x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem z- Achse entlang der Schwerpunktachse, zeigt bei größerem Koordinatenwert aus dem Querschnitt heraus y- Achse zeigt nach unten
z
dz
y
Mbx
Mbx
Mt
MtFQx
FQx FLFL
FQy
FQy
Mby
Mby
SSx
Schnittfläche
z
dzy
Mbx
Mbx
Mt
MtFQx
FQx
FL
FL
FQyFQy
Mby
Mby
SS
x
Schnittfläche
12 Formelsammlung Technische Mechanik
Haftreibung 0H NF F Gleitreibung Gl NF F , entgegengesetzt zur
Relativgeschwindigkeit
Rollreibung Ro N
fF F
R
Seilreibung 0
2 1S SF F e Haften 2 1S SF F e Gleiten
mit: FH - Haftreibungskraft FGl - Gleitreibungskraft FRo - Rollreibungskraft FN - Normalkraft (Druckkraft) FS1, FS2 - Seilkräfte
0 - Haftreibungskoeffizient - Gleitreibungskoeffizient f - Hebelarm der Rollreibung R - Radius des Rollkörpers - Umschlingungswinkel
Reibung
} meist: fR
Formelsammlung Technische Mechanik 13
Spannungen Spannungsvektor
mit: Koordinaten:
n - Einheitsvektor in Normalenrichtung s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung
Räumlicher Spannungszustand Spannungstensor
xx xy xz
kl yx yy yz
zx zy zz
Normalspannung
Tangentialspannung oder Schubspannung
, , ,
kl lk
kl kl
k l x y z
z
xy
zz
yy
xx
zyyz
xz
xy
zx
yx
Festigkeitslehre Grundlagen
dA
AFi
Mk
dFN
dFT
ns
dF
N
T
dFdA
dFdA
ddA
Ft n s
14 Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen ( 1, 2, 3)i i aus: mit: Hauptspannungsrichtungen in aus: mit: Ebener Spannungszustand (ESZ) Spannungstensor
Für gedrehtes Koordinatensystem
3 21 2 3 0 i i iS S S
2 2
( )1
i ix x iy y iz z
i ikk
n n e n e n e
n n
xx xykl
yx yy
Einheitsvektor der i-ten Hauptspannungsrichtung
0
0
0
xx i ix xy iy xz iz
yx ix yy i iy yz iz
zx ix zy iy zz i iz
n n n
n n n
n n n
cos 2 sin 22 2
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
xx yy xx yyuu xy
xx yy xx yyxy
xx yyu u xy
x
y
σxx
σxx
yx
yx
xy
xy
σyy
σyy
x
u
yσxxyx
xy
σyy
u
k = x, y, z
1 2 3
, ,
kl lk
kl kl
k l x y
1
2 2 22
2 2 23 2
xx yy zz
xx yy yy zz zz xx xy yz zx
xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy
S
S
S
Formelsammlung Technische Mechanik 15
Hauptspannungen Hauptspannungsrichtungen Verzerrungen Verschiebungsvektor
Räumlicher Verzerrungszustand Verzerrungstensor
Dehnungen Gleitungen
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim räumlichen Spannungszustand ( ) kl kl S. 14
x y z
x x y y z z
u w
u u ue e e
u e e e
1 12 2
1 12 21 12 2
xx xy xz
kl yx yy yz
zx zy zz
, , ,
, , ,
, , ,
yx xxx x x xy x y y x
y y zyy y y yz y z z y
xz zzz z z xz x z z x
uu uu u ux y xu u uu u uy z y
uu uu u uz z x
, , ,2
kl lk
kl kl
k l x y z
22
1,2 2 2xx yy xx yy
xy
01,02
012
2tan 2
tan
xy
xx yy
xy
xx
für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1
x
1
1
2
2
yσxx
yx
xy
σyy
2
u
y
z
O
ez
exey
x
uyux
uz
P
P'
16 Formelsammlung Technische Mechanik
Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Verzerrungstensor
Für gedrehtes Koordinatensystem Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim ebenen Spannungszustand kl kl S. 15 HOOKEsches Gesetz Voraussetzung: isotropes Material
12
12
xx xy
kl
yx yy
1
1
1
1
1
1
xx xx yy zz
yy yy zz xx
zz zz xx yy
xy xy
yz yz
zx zx
TE
TE
TE
G
G
G
1cos2 sin 2
2 2 21
cos2 sin 22 2 2
sin 2 cos2
xx yy xx yyuu xy
xx yy xx yyxy
u u xx yy xy
x
u
y
xx u u
yy
2 u
2 xy
, ,2
kl lk
kl kl
k l x y
Formelsammlung Technische Mechanik 17
mit:
E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul) G – Schubmodul – Querkontraktionszahl ( - POISSONsche Zahl) – Temperaturdehnzahl T - Temperaturdifferenz Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ) Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
1
1
1
xx xx yy
yy yy xx
zz xx yy
xy xy
TE
TE
TE
G
1 1 1
1 1 1
1
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
TE
TE
G
2 1E G
1m
18 Formelsammlung Technische Mechanik
Zulässige Spannungen
mit:
Bei anisotropem Material zusätzlich mit analoger Definition.
zähes Material
sprödes Material
F
Fzul
B
B
S
S
))
( 1,2...2)( 4...9)
Fließfestigkeit (Bruchfestigkeit (Sicherheitsfaktor gegen FließenSicherheitsfaktor gegen Bruch
F e
B m
F F
B B
RR
S SS S
Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung
d zul
Formelsammlung Technische Mechanik 19
Vergleichsspannungen Festigkeitskriterium
mit: Vergleichsspannung
Bei anisotropem Material zusätzlich
Allgemein
Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 3 S. 14
Normalspannungshypothese Isotropes Material:
Anisotropes Material:
Schubspannungshypothese
Gestaltänderungsenergiehypothese
Analog für Zylinderkoordinaten:
2 1 3
2 2 23 1 2 2 3 3 1
2 2 2 2 2 2
121 32 xx yy yy zz zz xx xy yz zx
1 3 1 1
1 3 1 1 1 3
1 3 1 3
0 , 0 :0 , 0 :
0 , 0 :
und
d
d
1 3 1 1
1 3 1 3
:
:
2 2 2 2 2 23
1 32 rr zz zz rr r z zr
zul
d d zul
20 Formelsammlung Technische Mechanik
Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 21 ff
Normalspannungshypothese
Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 (ESZ) S. 15
Isotropes Material:
Anisotropes Material:
Schubspannungshypothese
Gestaltänderungsenergiehypothese
Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)
Gestaltänderungsenergiehypothese
Behälter S. 28
Scheiben, Platten S. 29 ff
2 22 4
2 23 l u l u
2 23 rr rr
1 2 1 1
1 2 1 1 1 2
1 2 1 2
0 , 0 :0 , 0 :
0 , 0 :
und
d
d
1 2 1 1
1 2 1 2
:
:
2 23 3
Formelsammlung Technische Mechanik 21
Zug (Druck)
Sonderfall: ., 0 zz konst T
mit:
Biegung (Definition der Schnittgrößen S. 11, Definition der Verschiebungskoor-dinaten S. 15, Definition der Flächenmomente 2. Ordnung S. 51) Spannung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
mit: max
xxbx
IWy
Widerstandsmoment gegenüber Biegung
Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss
( )( )( )
L z Lzz zz
F z du Fz TA z dz EA
Linientragwerke
A - Querschnittsfläche EA - Dehnsteifigkeit l - Längenänderung l - Ursprungslänge
zz
ll
bxzz
xx
M yI
maxmax
bxzz
bx
MW
bybxLzz
xx yy
MMF y xA I I
22 Formelsammlung Technische Mechanik
Gleichung der Spannungsnulllinie Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen, einschließlich Längskrafteinfluss
mit:
Gleichung der Spannungsnulllinie
Verformung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
Differenzialgleichung 2. Ordnung
mit: ´ddz
Neigung
EI(xx) – Biegesteifigkeit
I(xx) – axiales Flächenträgheitsmoment S. 51
Randbedingungen für bzw. ´
( )
( )
´́ b x
xx
MEI
xMb(x) Mb(x)
xz z
y, y,
2
bx xy by xx xx yy xyL
bx yy by xy bx yy by xy
M I M I I I IFy xM I M I A M I M I
0 zz
0 zz
2 xx yy xyI I I I
bx yy by xy bx xy by xxLzz
M I M I M I M IF y xA I I
by xx xxL
bx yy bx
M I IFy xM I M A
Formelsammlung Technische Mechanik 23
Differenzialgleichung 4. Ordnung
Randbedingungen für , ´ , ( )´́ b xM , bzw. ( )´́ ´ Q yF
Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen
( )
( )
´́ ´́ y
xx
qEI
´́
´́
bx
xx
by
yy
MEI
Mu
EI
1´́
1´́
bx yy by xy
by xx bx xy
M I M IEI
u M I M IEI
24 Formelsammlung Technische Mechanik
Reine Torsion
mit: z - Verdrehwinkel l - Stablänge - Drillung GIt - Torsionssteifigkeit It - Torsionsträgheitsmoment Wt - Widerstandsmoment gegenüber Torsion
- Torsionsstreckenlast Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy
p
pa
IW
r - polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby
r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts ra – Außenradius
max
t tz
t t
M MdW dz GI
max( ) t t
p p
M Mr rI W
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 53
z dz
mt
M +dMt tMt
tt
dMm = -dz
Formelsammlung Technische Mechanik 25
Querkraftschub Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen
Massive Querschnitte (annähernd rechteckig) Schubspannungen
Dünnwandige offene Querschnitte Schubspannungen
0
0
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
mit:
Qy x Qx yzs
xx yy
l s
xsl s
ys
F S s F S ss
I s I s
S s y s s ds y s s ds
S s x s s ds x s s ds
Koordinaten des Schubmittelpunkts M
0
0
1( )
1( )
l
M x txx
l
M y tyy
x S s r s dsI
y S s r s dsI
zy
dy
S
A y( )
FQy
b yx( )
b yx( )y
y
yR
x~
~
~
~
( )
( )( )
( )
( ) ( )
statisches Moment der (unterlegten)Restfläche
mit:
R
Qy xzy
xx xy
x xy
A y
F S yy
I b y
S y y b y dy
y
z
FQy
s
s s=l
s=s=0r st( )
x S
MFQx
xM
yM
~~
( )s( )s ds
( )( )
( ) Qx y
zxyy y
F S xx
I b x
Analog:
26 Formelsammlung Technische Mechanik
Federn Federgesetze
Feder Federgesetz Potenzielle Energie
Zug-/Druck-Feder
Drehfeder
Ersatzfederkonstanten
Federschaltung Ersatzfederkonstante
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Federkonstanten elastischer Linientragwerke
Beanspruchungsart Federkonstanten
Zug
Biegung
Torsion
1 2
1 2
1 1 1
1 1 1t t t
c c c
c c c
1 2
1 2t t t
c c c
c c c
FL
M t
c1 c2
c t2c t1
w
FL
M t
c1 c2
c t2c t1
w1 w2
1 2
EAc
lFL
EA, l
M t
GI , lt
tt
GIc
l
3 2
2
3 2:
2:
Q t
b t
EI EIF c cl lEI EIM c c
l l
FQ
M b
EI, l
F c w
t tM c
FL
c w
M t
ct
212
U c w
212
tU c
Formelsammlung Technische Mechanik 27
Satz von CASTIGLIANO Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0
mit: U - linearelastische Verzerrungsenergie x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts
Stabilitätsproblem Knicken Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle mit: Schlankheitsgrad i - Trägheitsradius S. 52
P - Proportionalitätsgrenze
)(für p
P
E
Kli
1 ( )
...
analog
i
nbyi byibxi bxi ti ti
kik xx k k t kl yyi ii
Qxi Qxi Qyi QyiLi Lixi yi i
k k ki i i
kk
M MM M M MUF EI F F GI FEI
F F F FF F dsEA F GA F GA F
UM
22Kk
E IF
l
FK FKFKFK
2 1 0,5lKl
: 0,7
28 Formelsammlung Technische Mechanik
Voraussetzung: Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymme-trisch: Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch
Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie)
Behälter
Längs- spannung
Umfangs- spannung
allgemein
Kugelschale
Zylinder- schale
Kegelschale
2R
ph
Flächentragwerke
R1
p
hR2
l
l
u
u
1 2
: (Rotationsachse)
l u pR R h
h R
uu
p
pR
l
u u
h
p
h
u u
ll Ø2R
2R
ph
sinR p
h 2 sinR p
h
Rp
h
Formelsammlung Technische Mechanik 29
Kreis- und Kreisringscheiben
Differenzialgleichung mit: ( )ru r - Verschiebung in radialer Richtung
- Massendichte 2 n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)
Allgemeine Lösung mit: Randbedingungen (je 1 pro Rand) für bzw. r rru Spannungen
1 2
0 ((
,
Vollscheibe)Innenradius Ringscheibe)
Integrationskonstanten aus Randbedingungen
a
C C
2
2
´ 11
´ 11
rrr r
rr
uE u Tr
uE u Tr
2
22
´ 1 1´´ ´ ´ 1 ´r rr r
u uu r u r Tr r r E
´r
2
2 31 2
1 1 1 ( )8
r
ra
u C r C r r T r drr E r
rr rr+d
2r
r dr
rr
d
30 Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20 Dehnungen
Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)
mit: K1, K2 – Integrationskonstanten Dehnungen wie oben
Kreis- und Kreisringplatten
2
2 31 2
2 21 22 2
2 21 22 2
1 1 1 1 1 ( )8
1 3 ( )8
1 1 3 1 ( )8
r
ra
r
rra
r
a
u K r K r r T r drE E r E r
EK K r r T r drr r
K K r E T r T r drr r
mn
z,w
dr
mr
p r( )qr+dqr
qr
mn
hd
r
mr +dmr
´
rrr r zz rr
uu Tr E
Formelsammlung Technische Mechanik 31
Differenzialgleichung mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung Allgemeine Lösung für 0( ) .p r p konst mit: r0 - beliebiger Bezugsradius C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr
Schnittgrößen
Spannungen
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20 Dehnungen
3
212 1
´
PlattensteifigkeitKE h
ddr
2
´ ´´́ ´´
´́ ´´´´
r
r
w wm K w m K wr r
w wq K wr r
3 3
1212
2 2mit:
rrr
mm z zh hh hz
2 3
´´´ ´́ ´ 1 1 ( )´´´́ 2 ´ ´ ´ ´
w w w p rw w r r wr r r r r K
42 2 0
1 2 3 40 0
ln ln64p rr rw C C C r C r
r r K
´´́ 0 rr zzwz w zr
32 Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik-
Bewegung auf gerader Bahn
Weg ( )s s t
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Bewegung auf Kreisbahn (Dreh-)Winkel ( ) t
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben
Kartesische Koordinaten
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y z
x y z
x y z
t x t y t z t
t x t y t z t
t x t y t z t
r e e e
r e e e
a r e e e
P
O
x
y
z
ez
exey
r t( )
y t( )
z t( )
x t)(
s
a s
( )
mit:
- Punkt auf Bahn
d ddt ds
P
Kinematik des Punktes
Ps t( )a
Bahn
22 n
T
P
O
r=konst.
( )t ( )
mit:
- Kreisfrequenz (Umlaufzeit) - Drehzahl
d ddt d
Tn
Formelsammlung Technische Mechanik 33
Natürliche Koordinaten Polarkoordinaten (ebene Bewegung)
2
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ρ( )
t t
t n
t t
tt t t
s s tt s t t
t t
e e
a e e
mit: - Krümmungsradius
e er
P
O
r( )t
2
( )( )
( ) ( 2 )CORIOLIS-Beschleunigung
r
r
r
r tt r r
t r r r r
ee e
a e e
r
en
e tP
O
s t( )
( )t
34 Formelsammlung Technische Mechanik
Translation
Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) ist repräsentativ für alle Körperpunkte; Kinematik des Punktes anwendbar Rotation um raum- und körperfesten Punkt O Allgemeine Bewegung
Ebene Bewegung Momentanpol mit:
A AP
A AP
A AP AP
r r r
r r r
a r r r r
r r
a r r
PA
AP
O
rrA
r
P
A
AP
O
rrA
rer
e
e
ex
ey
ez
z AM A
er r
z A A y A xx ye e e
A
A´´A´
BB´ B´´
0t t1t t
2t t
2
A AP
A AP
AP AP
z
A z
e r
e
r r rr r
a r r r r
P
O
r
Kinematik des starren Körpers
Formelsammlung Technische Mechanik 35
2CORIOLIS-FührungsbeschleunigungBeschleunigung
B BP
B BP rel
B BP BP rel rel
r
r
a r r a
r rr rr r
Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem mit: - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten Bezugssystems
B (körperfestesBezugssystem)
B
B P
O
rr
rP
36 Formelsammlung Technische Mechanik
R SmF r 0
R SmF r
1 1
0 0
2 21 0 1 0
1 1( ) ( ) ( )2 2
t
R Rt
d t t dt m m T TF r r F
Kinetik starrer Körper- Translation NEWTONs statische Interpretation Bewegungsgleichung (D´ ALEMBERT) mit: m s - Hilfskraft (Trägheitskraft)
Mathematische Folgerungen für beliebige Translation
mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende Für 0
RF (Impulserhaltung) : .konst
Mechanischer Arbeitssatz (Translation) mit:
RP F Leistung (bei Translation)
kinetische Energie (der Translation)
1
0
1 0( ) t
Rt
t dt mF
: 0F m s F m s
F
mSO
s geradlinige Translation infolge der Kraft F
F
mSO
s F
m
msSO
s
212
T m
beliebige Translation ( 0RM
)
Formelsammlung Technische Mechanik 37
1( ) ( ) ( ) ( )
n
R i ii
t t t t TF F
Mechanischer Energiesatz (Translation)
mit:
RF - Potenzialkraft U - potenzielle Energie (der Translation) Beispiele: Gewicht: Federenergie S. 26
Mechanischer Leistungssatz (Translation) Beliebige Bewegung Schwerpunktdefinition folglich:
Definition von Impuls und Drehimpuls Impuls
Drehimpuls bezüglich des Punktes O
0 0 1 1 .U T U T konst
1
0
2 20 1 1 0 1 0
1 1( )2 2
R d U U m m T TF r r
( )
1S
m
dmm
r r
: Höhemit -U mg h h
( )m
dm L r r
( )S
mdm m
p r r
dmS
m
O
rrS( )
1S
m
dmm
r r
dmS P
m
O
r
ri
rS
rSP
Fi
Mk
Schwerpunktsatz
38 Formelsammlung Technische Mechanik
1 1 1 2 3 2 3
2 2 2 3 1 3 1
3 3 3 1 2 1 2
R
R
R
M J J J
M J J J
M J J J
1
1
1
n
ixin
iyin
izi
Rx S
Ry S
Rz S
F
F
F
F m x
F m y
F m z
EULERs Grundgesetze der Kinetik Impulsbilanz
Drehimpulsbilanz
Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem Impulsbilanz Drehimpulsbilanz
bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen 1, 2, 3i durch den Schwerpunkt S (EULERsche Gleichungen)
mit:
Koordinaten des resultierenden Moments(Massen-)Hauptträgheitsmomente Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit
S. 54Ri
i
i
MJ
R SmF p r
RM L
Formelsammlung Technische Mechanik 39
1 1: 0 : 0
n n
ix s iy Si i
F m x F m y
Bewegung in der x,y-Ebene Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für verschiedene Bezugspunkte mit: zzJ - Hilfsmoment (Moment der Trägheit) Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)
Momentengleichgewichte
1 1
1 1
1 1
: 0
: 0
: 0
n m
iy i ix i k S S S S zzi k
n m
iy i B ix i B k S S B S S B zzi k
n m
iy i S ix i S k zzi k
O F x F y M m y x m x y J
B F x x F y y M m y x x m x y y J
S F x x F y y M J
bzw.
bzw.
S
Jzz
..
..
..
Fix
F iym, Jzzy
yi
yS
yB
y
z
xxixSxB
x
O
mxSmyS
Mk
B
40 Formelsammlung Technische Mechanik
Mechanischer Energiesatz
Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A Bewegungsgleichung (analog zur Translation) mit mit: Satz von STEINER S. 54 Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung
Für 0R zM (Drehimpulserhaltung) : Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)
mit: RzP M Leistung (bei Rotation)
kinetische Energie (der Rotation)
1 1
0 0
2 21 0 1 0
1 1( ) ( ) ( ) 2 2R z R z
t
zz zzt
M d M t t dt J J T T
Rz zzM J
2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1
1 1 1 12 2 2 2
.
S S zz S S zzU U m x y J m x y J T T
U T U T konst
1 1
:n m
iy i ix i ki k
Rz F x F y MM
. .bzw.zzJ konst konst
1
0
1 0( )R z zz
t
zzt
M t dt J J
1 1
0n m
iy i ix i k zzi k
F x F y M J
2zz zz sJ J r m
2 2 2S S Sr x y
S. 2
212
T J
S
Fix
Fiy
m, J zz
y
yi
yS
y
z
zx
xixS
rS
x
Mk
O=AFAh
AF
Formelsammlung Technische Mechanik 41
Mechanischer Energiesatz (Rotation)
mit: R zM aus Potenzial ableitbar U - potenzielle Energie (der Rotation) Mechanischer Leistungssatz (Rotation) Gerader zentrischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß
mit: Stoßzahl
Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Verlust an kinetischer Energie
1
0
2 20 1 1 0
0 0 1 1
1 1( )2 2
.
R z zz zzM d U U J J
U T U T konst
1 1 2 2 2 1 21
1 2
1 1 2 2 1 1 22
1 2
m m k mm m
m m k mm m
1 2
1 2
k
S1
S2
m1m2
1 2,
( 1: elastischer Stoß0 : plastischer Stoß )
kk
2
21 21 2
1 2
12k m mT T
m m
1( ) ( ) ( ) ( )
n
R i ii
t t t t TM M
42 Formelsammlung Technische Mechanik
LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art
mit: T - kinetische Energie des Gesamtsystems lq - verallgemeinerte Koordinate
lQ - verallgemeinerte Last aus
W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten
lq - virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit f - reduzierter Freiheitsgrad
Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verall- gemeinerten Lasten
1, ...,ll l
T TQ l f
q q
0 mit :l l
L L L T Uq q
1
f
l ll
W Q q
Formelsammlung Technische Mechanik 43
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen
mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung. Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt: Freie gedämpfte Schwingungen Bewegungsgleichung
andere Formulierung: mit:
Lösung für schwache Dämpfung (0
1D
)
andere Formulierung: mit:
0m s b s c s
202 δ 0s s s
1 2δ( ) cos sint C Cs t e t t
s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)
0 0 0b D
20
δ =2
Dämpfung
Abklingkonstante
Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
b -bmcm
s
O
m
c b
δ( ) cos αts t e C t
2 21 2C C C
C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen: 0 00 : ,t s s s
2
1
α arctanCC
Phasenwinkel
( Formelzeichen s. u. )
44 Formelsammlung Technische Mechanik
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad) Schwingungsdauer
Logarithmisches Dekrement Erzwungene gedämpfte Schwingungen Voraussetzung: Harmonische Erregung
Lasterregung Unwuchterregung Bewegungserregung
2 2 20 0δ 1 D
2T
2
2 πln1
k
k
s t D Ts t T D
t
s(t)
Ttk
te
te
0 02b
Dm
s
O
m
F t =F sin t( ) 0
c b s
O
mmu
t
ru
c b
s
O
B
u=u sin t0 s =s-ur
m
c b
Formelsammlung Technische Mechanik 45
Erregungsart Lasterregung
Erregungsfunktion F0 - konstante Lastamplitude
Bewegungsgleichung
Homogene Lösung
Anfangsbedingungen
Partikuläre (stationäre) Lösung
Vergrößerungsfunktion
Phasenwinkel 22 η
arctan1 η
D
Frequenzverhältnis
Eigenkreisfrequenz (gedämpft)
LEHRsches Dämpfungsmaß
0( ) sin F t F t
δ cos αts e C t
0 00 : ,t s s s
0 sinp IFs V tc
22 2 2
max 2
1
1 η 4 η
12 1
I
I
VD
VD D
VI
D = 0
D = 0,2
0 sinms b s c s F t
0
20 1 D
0 02 2b b mD
m c
46 Formelsammlung Technische Mechanik
Unwuchterregung Bewegungserregung mu ru 2
- konstante Kraftamplitude u0 - konstante Wegamplitude
22 ηarctan1 η
D
3
2 21 42 ηarctan
1 ηDD
2( ) sinu uF t m r t
VII
D = 0
D = 0,2
VIII
D = 0
D = 0,2
sinup u II
u
ms r V tm m
2 sinu u um m s b s c s m r t
δ costs e C t
0 00 : ,t s s s
0 sinr p IIIs u V t
0 00 : ,rr r rt s s s
δ cos αtrs e C t
0( ) sinu t u t
20 sinr r rs b s c s tm m u
2 2
22 2 2
max
1 4
1 41 1
2
III
III
DV
D
V DD
für
2
22 2 2
max 2
1 41
2 1
II
II
VD
VD D
0
20 1 D
0 02 2
b bDm m c 0 02
u
bDm m
Formelsammlung Technische Mechanik 47
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1
Bewegungsgleichung
mit: Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,
keine Dämpfung Anfangsbedingungen für t = 0 : Lösungsanteil der freien Schwingung Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden 1 2ˆ ˆ( / )iq q aus: Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung Amplituden 1 2, q q aus:
11 1 12 2 11 1 12 2 0
21 1 22 2 21 1 22 2
sin0
m q m q c q c q F tm q m q c q c q
1 1 11 12
2 2 21 22
ˆ cos sin
ˆ cos sinh
h
q q C t C t
q q C t C t
2 211 11 1 12 12 2
2 221 21 1 22 22 2
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ 0
c m q c m q
c m q c m q
1 1 1
2 2 2
sin
sin
p p
p p
q C q t
q C q t
2 211 11 1 12 12 2 0
2 221 21 1 22 22 2 0
c m q c m q F
c m q c m q
M q B q C q F
, 1, ...,
Vektor der verallgemeinerten Koordinaten
Massenmatrix Komponenten:
Dämpfungsmatrix
Steifigkeitsmatrix
Vektor der Erregerlasten
k
kl lk
kl lk
kl lk
k
b
F
q
m m
b
c c
k l f
q
M
B
C
F
1 10 1 10 2 20 2 20q q q q q q
48 Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen Allgemein
Spezielle Linien
Linie Schwerpunktskoordinaten
cos
2 2
sin2 2
S L
S L
a cx
b cy
2S L S Lx y R
Bei bekannten Werten für n Teillinien
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
x
xS L
xx
yS L
y
y y
S
ds
s=l
s
x
xS L xS Li
x
yS L
yS Li
y y
S
SLi
li
x
xS L
x
yS L
b
y yc
a
S
x
xS L
x
yS L
y y
R
S
( )
( )
( )
1
1
S Ll
S Ll
l
x x dsl
y y dsl
l ds
1
1
1
1
1
n
S L S Li ii
n
S L S Li ii
n
ii
x x ll
y y ll
l l
Formelsammlung Technische Mechanik 49
Schwerpunkt ebener Flächen Allgemein
( )
( )
( )
1
1
S AA
S AA
A
x x dAA
y y dAA
A dA
Spezielle Flächen
Fläche Schwerpunktskoordinaten
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
x
xS A
xx
yS A
y
y y
S
A dA
x
xS A
xyS A
b
y y
a
S
x
xS A
x
yS A
y y
R
S4
3S A S Ax y R
2313
S A
S A
x a
y b
1
1
1
1
1
i
i
n
S A S A ii
n
S A S A ii
n
ii
x x AA
y y AA
A A
yiy
xi
AiSi
S x yS A_
_
xS A
_
xS Ai
yS Ai
x
y
50 Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt von Körpern Allgemein
Spezielle Körper
Körper Schwerpunktskoordinaten
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
x
xS m xx
yS m
y
y
z
z
z
zS m
yS
m dm
x
x
zS mb1
a2
a1
b2
y
z
y
z
h1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
32 2 2
S ma b a b a b a bhza b a b a b a b
1
1
1
1
1
1
1
n
S m S mi iin
S m S mi iin
S m S mi ii
n
ii
x x mm
y y mm
z z mm
m m
( )
( )
( )
( )
1
1
1
S mV
S mV
S mV
V
x x dmm
y y dmm
z z dmm
m dm
Keil(stumpf) Pyramide(-nstumpf) Quader
Kegel(stumpf) Pyramide(-nstumpf)
xx
zS m
S1
A1
S
S2
A2
r1
r2
y
z
y
z
h
2 21 1 2 2
2 21 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 34
2 34
S mr r r rhzr r r r
A A A AhA A A A
Formelsammlung Technische Mechanik 51
Flächenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor
Satz von STEINER Spezielle Flächen
Fläche Flächenmomente 2. Ordnung
x,y- Koordinatensystem ,x y -Koordinatensystem
3
312
120
xx
yy
xy
b hI
h bI
I
3
3
2 2
3
3
4
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
xx xykl
yx yy
I II
I I
2
( )
2
( )
:
xiale Flächenträgheitsmomente
mit
Axx
A
yyA
I y dA
I x dA
( )
( )Zentrifugal- oder Deviationsmoment xy xy yxA
I x y dA I I
2 2 xx xx S yy yy S xy xy S SI I y A I I x A I I x y A
y
x
y
x S
h
b
y
x
y
xS
h
b
3
3
2 2
36
36
72
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
3
3
2 2
12
12
24
xx
yy
xy
b hI
h bI
b hI
52 Formelsammlung Technische Mechanik
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
Hauptträgheitsmomente 1 2I I Hauptträgheitsrichtungen
01,02
012
2tan 2
tan für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
xy
xx yy
xy
xx
II I
II I
Trägheitsradius
y
x
D=2R
S
2
1
2
1
1
i i i
i i i
i i i i
n
xx x x S iin
yy y y S iin
xy x y S S ii
I I y A
I I x A
I I x y A
22
1,2 2 2xx yy xx yy
xy
I I I II I
,kkk
Ii k x yA
x
2
1
S
y
2
2
1
1
y
x
y
x S R
4
4
1618
xx yy
xy
I I R
I R
4
4
416 9
4 19 8
xx yy
xy
I I R
I R
4
4
4
640,5
xx yy
p
I I R
D
I
02
01
yiy
xi
A ,I ,I ,Ii x x y y x yi i i iiiSi
S x yS_
_
xS
_
xSi
ySi
x
y
Formelsammlung Technische Mechanik 53
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion
Querschnitt It Wt
Kreis (Ri=0), Kreisring
4 4
4 4
2
32
a i
a i
R R
D D
4 4
4 4
2
16
a i
a
a i
a
R RR
D DD
dünnwandig offen
3
1
13
n
i ii
l
max
t
i
I
dünnwandig geschlossen
24
1( )
mA
dss
min2 mA
Rechteck (h>b)
h/b 1 1,5 2 3 4
c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281
c2 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282
Di=2Ri
Da=2Rah
b
s
Am
(s)
31c h b 2
2c h b
54 Formelsammlung Technische Mechanik
Massenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor
mit:
Axiale Massenträgheitsmomente
Zentrifugal- oder Deviationsmomente Satz von STEINER Trägheitsradius
( , , , ) kl lkJ J k l x y z
2 2
( )
2 2
( )
2 2
( )
xxm
yym
zzm
J y z dm
J z x dm
J x y dm
( )
( )
( )
xym
xzm
yzm
J x y dm
J x z dm
J y z dm
2 2
2 2
2 2
xx xx S S xy xy S S
yy yy S S xz xz S S
zz zz S S yz yz S S
J J y z m J J x y m
J J z x m J J x z m
J J x y m J J y z m
xx xy xz
kl yx yy yz
zx zy zz
J J JJ J J J
J J J
dm
m
y
z
xSyS
zS
x
S
_
__
_ __
, ,kkk
Jj k x y zm
Formelsammlung Technische Mechanik 55
Spezielle Körper (Masse m)
Körper Massenmomente 2. Ordnung
Kreiszylinder
Stab
Kreisscheibe
Kreisring (dünner Kreiszylinder)
Kugel
Quader
xz R
l
Sy 2
2zzmJ R 2 23
12xx yymJ J R l
x
x
y
y z
l
S
2
2
12
3
xx yy
xx yy
mJ J l
mJ J l
x
y
z
R
S2
2zzmJ R
2zzJ m R
Rx
y
z
x
y
z
ca
b
S
2 2
12zzmJ a b
2 2
12yymJ a c
2 2
12xxmJ b c
225xx yy zzJ J J m R
x
y
z
R
S
56 Formelsammlung Technische Mechanik
0
0
0
xx i ix xy iy xz iz
yx ix yy i iy yz iz
zx ix zy iy zz i iz
J J c J c J c
J c J J c J c
J c J c J J c
i ix x iy y iz ze c e c e c e
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen S. 14):
mit: Hauptträgheitsrichtungen ie aus (vgl. Hauptspannungen S. 14):
mit:
Einheitsvektor der i-ten Hauptträgheitsrichtung 2 2
( )
1i ikk
e c
3 21 2 3 0 i i iJ S J S J S
k = x, y, z
1 2 3J J J
1
2 2 22
2 2 23 2
xx yy zz
xx yy yy zz zz xx xy yz zx
xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy
S J J J
S J J J J J J J J J
S J J J J J J J J J J J J
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
i i i i
i i i i
i i i i
n n
xx x x Si Si i xy x y Si Si ii in n
yy y y Si Si i xz x z Si Si ii in n
zz z z Si Si i yz y z Si Si ii i
J J y z m J J x y m
J J z x m J J x z m
J J x y m J J y z m
Formelsammlung Technische Mechanik 57
Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper (vgl. Flächenmomente 2. Ordnung S. 52) Hauptträgheitsmomente Hauptträgheitsrichtungen
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
x
v
2
y 1
S
y
2
2
1
1
22
1,2 1 2
3
2 2xx yy xx yy
xy
zz
J J J JJ J J J
J J
01,02
2tan 2 xy
xx yy
JJ J
01
012
tan xy
xx
JJ J
58 Formelsammlung Technische Mechanik
Ergänzungen:
Formelzeichen
O Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem
Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer physikalischen oder mathematischen Größe
z Vektor bzw. Matrix z ´z (Orts-)Ableitung der Größe z
,xz partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x
z Zeitableitung der Größe z z parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt
gehenden) Achse z
Z bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem z
e z-Komponente des Einheitsvektors
e
Kombinationen von Symbolen sind möglich. Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeich-nungen nicht eindeutig ist.
Farbsymbolik im Text S. Z Verweis auf Seite Z (in gedruckter Version) Hyperlink zu Seite Z (in elektronischer Version)
Farbsymbolik in den Skizzen Einheitsvektoren Lasten, Schnittgrößen, Spannungen, Drücke Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:
apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi e-Mail: [email protected] Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen.
Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik: Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke Technische Universität Dresden Fakultät Maschinenwesen Institut für Festkörpermechanik 01062 Dresden
George-Bähr-Straße 3c [email protected] [email protected]