tÉcnicas de integraciÓn. 1ª. integraciÓn por partes regla nemotécnica para la integración por...
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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
duv -uv dvu
Regla nemotécnica para la integración por partes
Un Dia Vi / Una Vaca / Vestida De Uniforme
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Para elegir “u ”, puede ayudar tomar como “u ”, la primera función que aparezca de Izquierda aDerecha en el integrando, en correspondencia con la palabra ILATE:
I = Inversas trigonométricas; L = Logarítmicas; A = Algebraicas; T = Trigonométricas; E = Exponenciales.
dv es el resto de la integral.
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 1.: dxx senx
x u dxx sen dv
dx du x cos - dxx sen v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx senx Así:
vdu -uv
dxcosx x cosx -Sustituyendo cx en x cosx - s
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 2.: dxx ln
x ln u dx dv
dxx1
du x dx v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx lnAsí:
vdu -uv
dxx1
x x lnx Sustituyendo
cx x lnx
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 3.: dxx secx 2
x u dxx sec dv 2
dx du x an xdxsec v 2 t
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx secx 2Así:
vdu -uv
dxx tan x tanx Sustituyendo
c xsec x tanx ln
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 4.: dxx sen-1
x sen u -1 dx dv
dxx-1
1 du
2 x dx v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx sen-1Así:
vdu -uv
dx x-1
x x senx
2
1-Sustituyendo
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
dv u dxx sen-1 vdu -uv
dx x-1
x x senx
2
1-Sustituyendo
Ahora, hacemos un cambio de variables a la última integral 2x-1 w
dxx 2
dw
dx2x -dw
Así: dww 2
1-
21
w w 2
1
12
21
Ejemplo 4.:
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Regresando a:
dxx sen-1 dx x-1
x x senx
2
1-
Tenemos que
cw x senx -1
Ejemplo 4.:
cx 21 x senx -1
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.: dxe x 2x2
2x u dx e dv 2x
2xdx du 2x2x e2
dxe v1
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxe x 2x2
Así:
vdu -uv
dx xe ex21
2x2x2Sustituyendo
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.:
dv u dxe x 2x2 vdu -uv
dx xe ex21
2x2x2Sustituyendo
Ahora, hacemos de nuevo una integración por partes a la última integral
x u dx e dv 2x
dx du 2x2x e2
dxe v1
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1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.: dv u dxex 2x vdu -uv
dx e 21
xe21
2x2xSustituyendo
2x2x e41
xe21
Regresando a:
Tenemos que
dxe x 2x2 dx xe ex21
2x2x2
c 2x2x2x2 e41
xe21
ex21
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
dxricaTrigonomét fcn.
dxricaTrigonomét Identidad
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
x cos -1 x in 22 s.1.4
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 1:
Separamos sen3 x:
xdx senx sen2
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx senx cos-1 2
dx x senx cos dx -x sen 2
c x cos 31
x cos 3
dxx sen3
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 2:
xdxcosx sen 74
Separamos cos7 x:
xdx cosxcosxsen 64
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx cosxcosxsen324
xdx cosxsen-1xsen324
duu-1u324 du3u-1u 24 643 uu
du3u-u 64 1083 uu cuu 119
111
31
51 75 u
73
-u
csensenenen xxxs73
-xs 75 119
111
31
51
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 3:
xdxsecx tan 42
Separamos cos7 x:
xdx secxsxt 222 ecan
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx secxnt1xt 222 aan
duu1u 22 duu2 4u
c 35 uu51
31
cen xxs51 35 tan
31
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2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 4:
xdxsecx tan2
xdxsec xt 2an
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdxsec 1-x2sec
duxsec xsec 3
c x tan x sec x tan x sec ln tanxx sec 21
ln
c x tan x sec ln tanxx sec 21