integraciÓn por partes - ejercicios resueltos.docx
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INTEGRACIÓN POR PARTES.
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SOLUCIÓN
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SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x)
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SOLUCIÓN
Si escogemos dv = ln(x) , no podremos obtener fácilmente v. Es mejor escoger u = ln(x)
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SOLUCIÓN
Normalmente escogemos u = x 2 para reducir su exponente, pero entonces tendremos que dv = arctan xy no conocemos la primitiva del arctan . Escogemos lo contrario
!hora tenemos que calcular la integral de una funci"n racional. #ara simplificar su expresi"n vamos aefectuar la divisi"n de polinomios
#$x%&'$x%(#$x%)'$x%*$x%+ $x%
donde C(x) y R(x) son los polinomios cociente y resto respectivamente.
-ividiendo en la expresi"n por Q(x) tenemos
#$x%&'$x%)*$x%+ $x%&'$x%
usaremos esta descomposici"n en la integral
esolvemos la integral
#or tanto
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SOLUCIÓN
*ada ve que integramos o derivamos cos(x) obtenemos ± sin(x) . #or tanto, no nos importa si es u "dv. Sin embargo, es mejor escoger u = x 2 ya que al derivar reducimos el exponente du = 2x .Escogeremos dv = cos(x)
/ntegramos por partes otra ve , pero tenemos que escoger u = x porque si no, volvemos al pasoanterior
Es decir,
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SOLUCIÓN
Escogemos u = x para reducir su exponente $y por tanto, desaparece x%.
Notemos que la primitiva de
0&cos1 $x%
es inmediata.
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SOLUCIÓN
#arecido a lo que ocurre con sin(x) y cos(x) , al derivar o al integrar e x obtenemos e x, por lo que noimporta si es u " dv. Si escogemos que la exponencial sea u, este factor se mantendrá siempre en laintegral y, además, el monomio $la potencia% será dv e iremos aumentando su grado al calcular v. #ortanto, escogemos dv = e x y u los monomios del polinomio para reducir su exponente hasta que sea una
constante.
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SOLUCIÓN
En este ejemplo no importa cuáles son los factores u y dv, ya que al integrar y al derivar e-x obtenemos-e -x y al integrar y al derivar cos(x) obtenemos ± sin(x) . Se trata de una integral cíclica en la quetendremos que aplicar dos veces integraci"n por partes $con la misma elecci"n para no volver al pasoanterior% y tendremos que despejar la integral de la expresi"n obtenida.
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SOLUCIÓN
2enemos de nuevo una exponencial por un seno, por tanto, se trata de una integral cíclica ya quetendremos que aplicar dos veces integraci"n por partes $con la misma elecci"n para no volver al pasoanterior% y despejar la integral de la expresi"n obtenida. #odemos escoger u y dv al a ar.
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SOLUCIÓN
Escogeremos el polinomio como u para reducir los exponentes hasta que desapare can
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SOLUCIÓN
!plicaremos integraci"n por partes 3 veces
SOLUCIÓN
*ada ve que derivamos a integramos la exponencial obtenemos la misma exponencial peromultiplicada por una constante $o la inversa de dicha constante%, por lo que no nos importa si es u " dv.Escogemos seg4n el otro factor, que como es un monomio, elegimos u = x 2 para reducir su exponente
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