tema 04. medidas de tendencia central

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

EP: Medicina Humana

ESTADÍSTICA BÁSICA

Prof. Percy Ruiz

Tema 04

MEDIDAS DE RESUMEN

(Medidas de tendencia central)

Prof. Percy Germán Ruiz Mamani


EP: Medicina Humana


Prof. Percy Ruiz

Son estadísticos que sirven para describir en forma resumida un conjunto de datos que constituyen una muestra tomada de alguna población. Se pueden distinguir cuatro grupos de medidas de resumen:

1. Medidas de tendencia central

2. Medidas de dispersión o variabilidad

3. Medidas de posición

4. Medidas de forma

MEDIDAS DE RESUMEN


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Son estadísticos que permiten verificar el punto central de una distribución de datos. Los más conocidos y utilizados son los siguientes:

1. Media o promedio

2. Mediana

3. Moda

Medidas de tendencia central


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1. Media o promedio (datos no agrupados)

Es la medida más conocida y se obtiene sumando todos los valores de la muestra o población, dividida entre el total de elementos que contiene la muestra o población.

Las fórmulas estadísticas para calcular una media a partir de una muestra o una población son las siguientes (El procedimiento es el mismo, sólo cambia la notación):

X =

X i

i = 1

n

n µ =

X i

i = 1

N

N

Media muestral Media Poblacional



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Donde:

n = Muestra

N = Población

∑ = Indica sumatoria

∑xi = Sumatoria de valores observados

xi = Indica un valor específico

X =

X i

i = 1

n

n

µ =

X i

i = 1

N

N

Media muestral

Media Poblacional



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Ejemplo: Se tiene los pesos de 10 neonatos y se requiere calcular el peso promedio a partir de los siguientes valores:,

Datos: Pesos (kg)

Solución: = 2,3 + 4,1 + 3,6 + 3,3 + 2,8 + 4,6 + 2,5 + 3,7 + 3,1 + 2,3

10

= 3,23 Kg

2,3 4,1 3,6 3,3 2,8

4,6 2,5 3,7 3,1 2,3

X

X



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2. Mediana (datos no agrupados)

Es el número o valor que se encuentra en el centro o punto medio de una distribución de datos muestrales o poblacionales cuando éstos han sido ordenados de manera creciente.

Es decir, que la mediana divide la población en dos partes iguales. Así, el 50% de las observaciones son menores o iguales a su valor y el 50% restante son mayores. La mediana es muy resistente a valores extremos.

50% 50%

Me



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Si n es par,

Se calcula con dos fórmulas:

Si n es impar,

1. Se ordenan las observaciones, de menor a mayor.

2. Si el número n de observaciones es impar, la mediana es la que queda exactamente al centro.

3. Si el número de observaciones es par, la mediana es el promedio de las dos observaciones centrales.

𝑀𝑒 =

𝑥 𝑛2+ 𝑥 𝑛

2+1

2

𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛+12



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Ejemplo: Se ha medido la estatura de 20 alumnos en centímetros, Cuál es la mediana?.

Datos: Estatura (cm)

167 167 174 170 169 170 171 157 182 162 155 170 171 172 171 173 169 171 171 173



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Paso 1. Ordenar datos

Paso 2. Dividir el número de observaciones entre 2 (20/2 = 10). Como el número de observación es par, entonces aplicando la formula se promedias los valores de las observaciones centrales (10 y 11).

Me = (170 +171)/2 = 170,5

155 157 162 167 167 169 169 170 170 170 171 171 171 171 171 172 173 173 174 182

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Valores

N° de Observaciones



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3. Moda (datos no agrupados)

Es aquel valor que se observa con mayor frecuencia y puede presentarse de diferente manera:

1. Cuando ningún valor se repite, entonces se dice que no hay moda.

2. Cuando solo un valor se repite con mayor frecuencia entonces es un conjunto de datos unimodal.

3. Cuando existe dos valores con mayor frecuencia, entonces se dice que el conjunto de dato es bimodal



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Ejemplo: Edad de los estudiantes del Ciclo 4 de Medicina Humana de la UNMSM.

X ni Ni hi Hi

19 3 3 7,5 % 7,5 %

20 4 7 10,0 % 17,5 %

21 8 15 20,0 % 37,5 %

22 13 28 32,5 % 70,0 %

23 7 35 17,5 % 87.5 %

24 5 40 12,5 % 100 %

Total 40 100 %

Mayor frecuencia = 13

Valor de X = 22 (Moda)



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En una representación gráfica la distribución de datos unimodal o bimodal serían de las siguientes formas:

Unimodal Bimodal



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4. Media o promedio (datos agrupados)

Cuando los datos se encuentran agrupados en una tabla de distribución de frecuencias el promedio se obtiene sumando el producto de las marcas de clase por las frecuencias correspondientes, y dividendo el resultado por el total de frecuencias absolutas.

Su formula es:

𝑥𝑖

𝑖=𝑛

𝑖=1

. 𝑓𝑖

X =

𝑓𝑖

𝑖=𝑛

𝑖=1


Marca de clase

Frecuencias observadas


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Ejemplo:

Se presentan los siguientes datos correspondientes a la cantidad de Creatinina (en mg/100 cm3) en muestras de orina de un grupo de 40 personas normales atendidos en el Hospital «Dos de Mayo».

1.51 1.63 1.51 1.56 1.69 1.65 2.18 1.68

1.09 1.46 2.29 1.48 2.29 1.60 1.38 1.56

1.22 1.50 1.58 1.37 1.65 1.67 1.23 1.73

1.65 1.47 1.89 1.61 1.81 1.61 2.01 1.33

1.53 1.60 1.47 1.67 1.66 1.69 1.54 1.83


Datos


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Solución: Como es una variable con escala de razón utilizaremos la regla de Sturges para agrupar los datos.

1. Calcular el rango: R = X máx. – X mín. = 2.29 – 1.09 R = 1.20

2. Calcular el n° de clases (Sturges): K = 1+3,3 LogN

K = 1+ 3,3 Log40

K = 1+3,3(1,60)

K = 6.28 ≈ 6

3. Calcular la amplitud de los intervalos: W = (R + C)/k

W = (1.20 + 0.01)/6 = 0.2017 W = 0.21


C=1, cuando n es entero

C=0.1 cuando n con un decimal

C=0.01 cuando n con dos decim. Redondear al entero más próximo

Redondeo por exceso.

Redondear al n° de decimales de los datos


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Formación de intervalos y frecuencias

Clase Xi fi Xi.fi

1.09 – 1.29 1.19 3 3.57

1.30 – 1.50 1.40 8 11.2

1.51 – 1.71 1.61 21 33.8

1.72 – 1.92 1.82 4 7.20

1.93 – 2.13 2.03 1 2.03

2.14 – 2.34 2.24 3 6.72

Total 10.29 40 64.52


𝑥 =64.52

40= 1.61

Reemplazando la fórmula se tiene:

Interpretación: La cantidad promedio de

creatinina es de 1.61 mg/100 cm3 (orina).

Distancia que existe entre

1.09 y 0.21 = 1.29

Ojo: incluye el valor del Li

Nota: Los intervalos no siempre tienen la misma amplitud.

Dependerá del juicio o necesidad del investigador para presentar la información y su análisis.


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5. Mediana (datos agrupados)

Cuando los datos se encuentran agrupados, la mediana se obtiene a través de la siguiente fórmula:

50% 50%

Me


𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +𝑊

𝑓𝑖2− 𝑓𝑖 −1

𝑓𝑀𝑒


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5. Mediana (datos agrupados)

Con el ejemplo anterior se tiene que:

Clase Xi fi Fi

1.09 – 1.29 1.19 3 3

1.30 – 1.50 1.40 8 11

1.51 – 1.71 1.61 21 32

1.72 – 1.92 1.82 4 36

1.93 – 2.13 2.03 1 37

2.14 – 2.34 2.24 3 40

Total 10.29 40

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +𝑊

𝑓𝑖2− 𝑓𝑖 −1

𝑓𝑀𝑒

𝑀𝑒 = 1.51+0.21 20 −11

21

𝑀𝑒 = 1.6

Reemplazando valores se tiene:

𝑓𝑖2

= 40/2 = 20

Interpretación: El 50% de personas atendidas en el hospital 2 de mayo presenta como máximo 1.6 mg de Creatinina /100

cm3 (Orina). El 50% restante tiene más de ese valor.


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6. Moda (datos agrupados)

En este caso se halla a través de la siguiente fórmula:

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝑑′.𝑊

𝑑′ + 𝑑′′

Donde:

Li = Límite inferior de la clase modal

d‘ = Diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior a ella.

d‘’ = Diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente a ella.

W = Amplitud del intervalo



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5. Moda (datos agrupados)

Con el ejemplo anterior se tiene que:

Clase Xi fi Fi

1.09 – 1.29 1.19 3 3

1.30 – 1.50 1.40 8 11

1.51 – 1.71 1.61 21 32

1.72 – 1.92 1.82 4 36

1.93 – 2.13 2.03 1 37

2.14 – 2.34 2.24 3 40

Total 10.29 40

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝑑′.𝑊

𝑑′ + 𝑑′′

𝑀𝑜 = 1.51 +(13)(0.21)

13 + 17

𝑀𝑜 = 1.60

Reemplazando valores se tiene:

d’ = 21 – 8 = 13

d’’= 21 – 4 = 17

Interpretación: Las personas en estudio presentan con mayor frecuencia 1.60 mg de Creatinina / cm3 de orina

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