tema 1 bases matematicas

8/16/2019 Tema 1 Bases Matematicas

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Dinámica Aplicada yTeoría de Control

IntroducciónBases Matemáticas


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Las ondas sinodalesUna onda senoidal se caracteriza por:

• Amplitud: A0• Longitud de onda (λ) es la distancia entre dos máximos o compresiones consecutivos.•

Período: tiempo en completar un ciclo, medido en segundos. T• Frecuencia: es el número de veces que se repite un ciclo en un segundo, se mide en(Hz) y es la inversa del periodo (f=1/T)• Fase: el ángulo de fase inicial en radianes. (ßRd). Es el punto donde nace el sonido.Fase 0 indica que el sonido parte de cero y fase de 90º, que empieza en su valormáximo. Como la función matemática del seno, es decir, sen(0) = 0 y sen(90) = 1


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• altura: se vincula tradicionalmente a la frecuencia o periodo de la fundamental.• amplitud: corresponde al volumen del sonido. En el mundo real se mide en decibelios(dB) y su rango suele estar entre los 20 y los 120 dBs, pero en el mundo digitalhablamos de ceros y unos. Todo esto, pues, tiene que ver con la forma en quedescribimos las ondas. Su fórmula es:

Posicion(tiempo)=Amplitud*sin(frecuencia*tiempo+fase)

• frecuencia: es la velocidad a la que se mueve o vibra el sonido (la senoide). Porejemplo una frecuencia de 440 Hz corresponde a un LA en la octava media de un piano.Esta es por ejemplo la nota a la que se suele afinar. Es una magnitud subjetiva y serefiere a la altura o gravedad de un sonido. Sin enbargo, la frecuencia es una magnitudobjetiva y mensurable referida a formas de onda periódicas. Para expresar una

frecuencia lo hacemos refiriéndonos a vibraciones por segundo. Así un frecuencia de 1Herzio es lo mismo que decir que el sonido tiene una vibración por segundo.

*Wiki*

https://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttps://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide


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Teorema de Fourier

Cualquier función periódica, con periodo T, se puede representarcomo suma de sinusoides de frecuencias f, 2f, 3f,. . . , llamadasarmónicos. (La relación entre el periodo y la frecuencia es f = 1 T .)

Observación Los armónicos también se suelen llamar parciales. Dehecho, los parciales son componentes frecuenciales de una onda nonecesariamente periódica. Por lo tanto, el termino parcial es másgeneral que el término armónico.


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Forma amplitud-fase de la serie de Fourier

Observación: La forma amplitud-fase de la serie de Fourier se deducede la fórmula trigonométrica:

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β


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Espectro de Fourier

Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda s(t) esúnicamente se requieren los valores de amplitud y fase de cada uno delos parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores sellama espectro

Espectro de amplitud Representación frecuencia-amplitud.


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Espectro de fase Representación frecuencia-fase


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Ejemplo: la onda cuadrada

La onda cuadrada de periodo 2π es la función definida por

Los coeficientes de Fourier de esta función son


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los primeros 8 los primeros 60 los primeros 2


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Variable compleja

Números complejos: Se define el conjunto de los números complejos C como.

Al número real a se le denomina parte real de z y se simboliza por a = Re(z). Al número realb se le llama parte imaginaria de z y se representa por b = Im(z). Igual que representamos atodo número real en la recta por medio de un punto, de la misma forma podemos pensarque un número complejo es un punto del plano. Los puntos del eje OX se identifican conlos números reales z = a = a + i0 = (a, 0), y los del eje OY z = ib = 0 + ib = (0, b) sedenominan imaginarios puros.

Dos números complejos serán iguales cuando lo sean suspartes reales e imaginarias, respectivamente.Es decir z 1 = a + ib = z 2 = c + id a = c , b = d.Suma: z 1 = a + bi y z 2 = c + di:

z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)


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Producto: z 1 = a + ib y z 2 = c + id. En base a que i 2 = −1, se define

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = (ac − bd) + i(ad + bc)

que respeta el producto de números reales y sigue teniendo como elementoneutro al 1 = 1 + i0

(a + i0)(c + i0) = (ac) + i0 ; (a + ib)(1 + i0) = a + ib.

Este producto permite definir el cociente a partir del inverso. Sea z = a + ib=/= 0. Entonces:

Es fácil comprobar que


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Conjugado: Dado z = a + ib, se define su conjugado z = a −determina el punto del plano simétrico a z respecto al eje OX. Se verifica:

Forma Polar: Todo punto del plano tiene asociadas unas coordenadaspolares (r, θ) que lo determinan. Dado z = a + ib, se tiene


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La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy útil para la resoluciónde ecuaciones diferenciales. Laplace demostró cómo transformar lasecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que puedenresolverse por medios algebraicos.

La transformada de Laplace

Definición 1. La transformada de Laplace de una función f(t), 0 ≤ una función L[f] de una variable real s dada por:

Está definida para todo s R donde la integral tenga sentido


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Transformada de una derivada

Supongamos que y(t) es continua para t ≥ 0 y que para toda s > s(para algún s 0) se verifica que e −sτ y(τ) → 0 si τ → ∞ . Entonces se tie

que:


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Solución de Ecuaciones diferenciales

LinealidadLa linealidad es una propiedad de algunas funciones. Para poseer estapropiedad es necesario satisfacer dos condiciones. Sea la función f(x) :U -> V , para x 1 , x 2 v U y a un escalar, las dos condiciones son:

1. Superposición: f(x 1 + x 2) = f(x 1) + f(x 2)2. Proporcionalidad: f(ax 1) = af(x 1)

Las derivadas, las integrales y las diferencias finitas son operacioneslineales. La función f(x) = ax + b no es una función lineal, a menos queb sea cero.


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E.D. lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma

mientras que las ecuaciones de diferencia lineales son de la forma

Aquí se estudian solo ecuaciones con coeficientes constantes, es decir, loscasos en los que las ecuaciones (1) y (2) se convierten en (3) y (4),respectivamente. Estas ecuaciones representaran el comportamiento desistemas dinámicos como los de las figuras 3.1 y 3.2 en los que la variableu estimula al sistema, y la respuesta de este se manifiesta en la variable y.Además solo se estudiaran aquellos casos en los que n en mayor o igual am.


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Métodos de solución de E.D. lineales

La solución de una E.D. lineal tiene dos componentes:

y total (t) = y homogenea (t) + y particular (t)

y(t) = y h(t) + y p(t)

o en el caso discreto

y total (k) = y homogenea (k) + y particular (k)

y(k) = yh(k) + yp(k)Existen varios métodos de solución para las E.D. Lineales. Aunque en generalemplearemos los métodos de las transformadas de Laplace.


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Vectores y Matrices


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Algebra Matricial


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