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Tema 1: movimiento oscilatorio
Oscilaciones y OndasOscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer CursoPrimer Curso
Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
1
ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Movimiento oscilatorio
Movimiento periódico Ejemplos: Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna
En general cualquier objeto desplazado En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio
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Movimiento oscilatorio
Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS)movimiento armónico simple (MAS)
¿Por qué estudiar el MAS?Ej l ill d i i t il t i Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio
Aproximación válida en muchos casos de i i t il t imovimiento oscilatorio
Componente básico de la ecuación del d l i t d i i t il t i ádesplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos
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ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Representación matemática del MAS: dinámica del MAS
Cuerpo unido a un muelle
F kx • k : constante del muelleF
0 0x
x• Signo: fuerza restauradora
0
• Segunda ley de Newton:
kF ma kx
kxa
m Condición de MAS
para la aceleración
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Representación matemática del MAS
Segunda ley de Newton:F ma kx
2
0d x
m kx F ma kx2
0m kxdt
2
2 22
0 con: d x k
x
Solución:
2co :
dt m
( ) cos( )x t A t Solución: ( ) cos( )x t A t
sen( )dx
A tdt
• Comprobación:dt
22 2
2cos( )
d xA t x
dt
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dt
Representación matemática del MAS
Significado físico de las constantes:( ) cos( )x t A t
A Amplitud (m)
Frecuencia angular (rad/s)
( ) cos( )x t A t
Frecuencia angular (rad/s)
Constante de fase (rad)
Determinación de A y
(0) cos( )x A Dos ecuaciones(0) sen( )v A (0) cos( )x A Dos ecuaciones
con dos incógnitas
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Representación matemática del MAS: Ejemplo
0t
x
0t
(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A
(0) sen( ) 0v A
A A0A
02ASolución: 0
0
A A
0
( ) ( )t A t
x0A
0( ) cos( )x t A t t
A
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0A
Representación matemática del MAS: Resumen
Fuerza que provoca un MAS:F kx Ley de Hooke
Ecuación diferencial del MAS
F kx Ley de Hooke
22
20
d xx
dt
Ecuación del MAS
( ) cos( )x t A t
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Representación del MAS:periodo y frecuencia
Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir un ciclo completoun ciclo completo
( ) ( )x t x t T
( ) cos( )x t T A t T 2T x
T
t2
T
T
TUnidades: segundos (s)
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Representación del MAS:periodo y frecuencia
Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo)unidad de tiempo (ciclos por segundo)
-11 Unidades: s Hzf
Para el resorte:
2f
T
22
mT
k
k La frecuencia
d d d1 1
2
kf
T m
m
no depende de la amplitud
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2T m
Representación del MAS: aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de laoscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
El astronauta Alan LEl astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973)
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viaje del Skylab (1973)
Representación del MAS: aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de laoscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un pianocuerda del instrumento o la tecla de un piano.
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Representación del MAS: velocidad y aceleración
( ) cos( )x t A t Posición:
Velocidad:( ) sen( )
dxv t A t
dt
Velocidad:
k
El signo indica el sentidodt
Aceleración:maxv A (para el resorte)
kA
m
22 2
2( ) cos( ) ( )
d xa t A t x t
Aceleración:
El signo indica el sentido2
( ) ( ) ( )dt
2maxa A (para el resorte)
kA
sentido
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m
Representación del MAS: velocidad y aceleración
( ) cos( )x t A t A x ( ) cos( )x t A t
• Suponemos =02T 3
2TT
( ) sen( )v t A t cos( )2
A t
-A
A ( )v t
2 2
• Desfase /2 con x(t)2
2T 3
2TT
2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t -A
A2 ( )a t• Desfase /2 con v(t)
• Desfase con x(t)2T 3
2TT
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( )
-A2
Representación del MAS:
A xvelocidad y aceleración
0t 0
2T 3
2TT
x0t 0v
2a A
-AA ( )v t
2 2
x
T
2T 3
2TT x
4Tt
v A 0a
-A
A2 ( )a t x
2T 3
2TT
x2Tt
0v 2a A
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17-A2-A2
x a A
Representación del MAS:
A xvelocidad y aceleración
2Tt
0
2T 3
2TT
x2 0v
2a A
-AA ( )v t
2 2
3T
x
2T 3
2TT x
34Tt
v A 0a
-A
A2 ( )a t x
2T 3
2TT
x
t T0v
2a AJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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18-A2
x a A
ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Energía del MAS
Si no hay rozamiento: energía mecánica constante cteE E U constante
Energía cinética:
ctecE E U
21E mv
Energía potencial:2cE mv
g p
0
( ) (0)x
muelleU x U W Fdx 0
x
Kx dx 21
2kx
0 0 2
21( )
2U x kx
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2
Energía del MAS
Energía mecánica:
( ) cos( )x t A t 1 1 ( ) cos( )con:
( ) sen( )
x t A t
v t A t
2 21 1
2 2E mv kx
2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )
2 2E mA t kA t
2 2
Usando: (para un resorte)2m k
2 2 2 21 1(sen ( ) cos ( ))
2 2E kA t t kA
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1
Energía del MAS
21
2E kA
2
¡ No depende de la masa ! 21E kA
• La energía se trasvasa continuamente de cinética a
cE2
E kA
2max
1x A E U kA
potencial y viceversa
max 2x U k
2 2max max
1 10
2 2cx E E mv kA Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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,max max2 2c
Energía del MASC l i tí l d l li t d Cualquier partícula que se desplaza ligeramente de su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva puede aproximarse cerca del mínimo con unapuede aproximarse cerca del mínimo con una parábola:
U(x) para una partícula en el f d d fé i
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fondo de un cuenco esférico
ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Sistemas oscilantes: muelle vertical
Supongamos muelle vertical
Definimos eje y hacia abajoj y j
Fuerza del muelle
F k
yF kyu
y
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Sistemas oscilantes: muelle vertical
Añadimos una masa m
Aparece una fuerza adicional, el peso:
Se puede hallar el alargamiento del yP mgu
muelle ( y0 ):
Condición de equilibrio: 0F P
0mg ky
P d0
mgy
k Puede usarse
para medir kk
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Sistemas oscilantes: muelle vertical
Hacemos oscilar el sistema:
D fi img ky ma
Definimos: 0y y y
0
mgy y y y
mg ky ky 2 2
0y y y yk
2 2
2 2
d y d yma m m
dt dt
2
2
d ym ky
dt
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dt
Sistemas oscilantes: muelle vertical
2
2
d y ky
dt m
Ecuación diferencial
de un MAS
Solución:
dt m de un MAS
cos( )y A t ( )y
k
2; 2
mT
m ; 2T
k
El ú i f t d d lEl único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio
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ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Sistemas oscilantes: péndulo simple
Objeto de masa m
Suspendido de una cuerda ligera (mc<<m) de longitud L
Extremo superior fijo
Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos:
il ioscilaciones
¿Es un M.A.S.?
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Sistemas oscilantes: péndulo simple
Segunda Ley de Newton:
2d ssenmg ma
g y
2sen
d smg m
dt usando: s L
2dL
2seng L
dt
Si sen Si sen 2
2
d g
2dt L
Ecuación diferencial de un MASJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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Ecuación diferencial de un MAS
Sistemas oscilantes: péndulo simple
22
2
d g
dt L
Solución:
cos( )t g0 cos( )t con:
g
L
Periodo del péndulo simple:
22
LT
g
g
¡ T no depende de m !
¡ T no depende de !Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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¡ T no depende de !
Péndulo simple: aplicaciones
El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa niun péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantesresulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones:
Técnica sencilla para calcular la aceleración de la Técnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad.
M did d l ti é d l d l j Medida del tiempo: péndulo de un reloj
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ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Sistemas oscilantes: péndulo físico
Objeto rígido de masa m
Oscila alrededor de un eje jfijoEje
Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: equ b o y o so ta ososcilaciones
¿Es un M.A.S.?¿Es un M.A.S.?
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Sistemas oscilantes: péndulo físico
senM mgD M D P
Segunda Ley de Newton Eje
g ypara una rotación:
2dM I
senmgD 2i
M Idt
senmgD
Si sen S se 2
2
d mgD
2dt I
Ecuación diferencial de un MASJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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Ecuación diferencial de un MAS
Sistemas oscilantes: péndulo físico
22
2
d mgD
dt I
EjeSolución:
cos( )t mgD0 cos( )t con:
g
I
Periodo del péndulo simple:
22
IT
mgD
g
• Puede usarse para medir I
• Si I=mD2: T del pendulo simpleJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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• Si I=mD2: T del pendulo simple
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Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Oscilaciones amortiguadas
Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento
kp
Este efecto puede incluirse en los cálculos:
t tb
k
constante con:
velocidad
bR bv
v
Fuerza resistiva:
Segunda Ley de Newton:
Amortiguamiento lineal (muy habitual)
g y
kx bv ma 2
2
dx d xkx b m
dt dt
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dt dt
Oscilaciones amortiguadas2d x dx
20
d x dxm b kx
dt dt Ecuación:
Solución: 2( ) cos( )b
tmx t Ae t
2 220 ;
k b b 0
k
m
0 ;2 2m m m
m
Frecuencia natural(corresponde a b=0) (corresponde a b 0)
0 El sistema oscila con frecuencia menor
que si no hubiera rozamiento (b=0)Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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que si no hubiera rozamiento (b=0)
Oscilaciones amortiguadas
2( ) cos( )b
tmx t Ae t
La amplitud decrece exponencialmente
decrece más rápido cuanto mayor es b
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Oscilaciones amortiguadas
La solución propuesta es válida para 02b m 2
2 b Si t b ti d
Si l i t il
20 2
b
m
Sistema subamortiguado
2b Si : el sistema no oscila02b m
Críticamente amortiguado 0( 2 )b m g
Sobreamortiguado0( )
0( 2 )b m
Cuanto mayor sea bCuanto mayor sea bmás tarda en alcanzar el
equilibrio
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q
ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS
Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Oscilaciones forzadas
En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempoenergía decrece con el tiempo
Para mantener las oscilaciones es precisooscilaciones es preciso suministrar energía de forma
ticontinua
Esto precisa la acción de una fuerza externa
0 cos( )eF F t Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010
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0 ( )e
Oscilaciones forzadas: resonancia
Movimiento del oscilador forzado: Estado inicial transitorio Estado inicial transitorio
Estado estacionario: Oscila con y A( ) Oscila con e y A(e)
Energía es constante (suministrada=disipada)
Resonancia: ocurre cuando Resonancia: ocurre cuando 0e
El sistema oscila con amplitud y energía máximas
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Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows
• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el vientoa las vibraciones provocadas por el viento.
• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.
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Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows
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Resonancia: ejemploBahía de Fundy La bahía de Fundy se conoce por registrarLa bahía de Fundy se conoce por registrar
la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).
Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río
f d )profundo). El folklore popular afirma que las mareas
son causadas por una ballena gigante que chapotea en el aguachapotea en el agua.
Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesitacoincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).
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mareas altas (12.4 horas).
Resonancia: ejemploBahía de Fundy
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Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una
fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.
La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal
La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimientoconstante del movimiento.
Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.cuerpo oscilante.
Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.
Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia
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