tema 3 dinamica fluidos
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fisica de ciencias ambientaslesTRANSCRIPT
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Tema3.Dinmicadefluidos.
Descripcindelestadodinmicodeunfluido.
Conservacindelamasa:Teoremadecontinuidad.
Conservacindelaenerga:TeoremadeBernouilli.
AplicacionesdelteoremadeBernouilli.
Viscosidad.
Rgimenlaminaryrgimenturbulento.
NmerodeReynolds.
Movimientodeslidosenelinteriordeunfluido.Sedimentacin
LeydePoiseuille.Perdidadecarga.Aplicaciones
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Hasta ahora hemos considerado fluidos estticos, pero a menudo nos encontramos con
fluidos que se estn moviendo (los vientos transportan el aire de un lado a otro de la
superficie de la Tierra, los ros y las corrientes ocenicas transportan volmenes de agua,
etc).
Para trabajar en el estado dinmico de un fluido y para entender el movimiento o flujo de
un fluido vamos a suponer en principio un fluido ideal con las siguientes caractersticas:
Fluido incompresible (buena aproximacin lquidos modulo compresibilidad grande)
Fluido estacionario (campo de velocidades no depende del tiempo)
Fluido no viscoso (no rozamiento)
En un rgimen estacionario la velocidad de todas las partculas que pasan por un punto
determinado del fluido es siempre la misma, aunque puede ser diferente de un punto a
otro.
Los fluidos estacionarios se estudian a partir de las lneas de corriente.
Descripcindelestadodinmicodeunfluido
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lneas de corriente.
Estas se definen como las tangentes a los vectores velocidad en cualquier punto
del fluido
Descripcindelestadodinmicodeunfluido
En un rgimen estacionario dos lneas de
corriente no pueden cortarse, ya que si lo
hicieran, en el punto de corte el fluido tendra
dos velocidades distintas posibles, lo que
estara en contradiccin con su condicin de
estacionario
Permiten una representacin grfica de los
fluidos a partir de los tubos de corriente, que
son conducciones imaginarias cuyas paredes
estn constituidas por un conjunto de lneas
de corriente
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TIPOSDEREGIMENES
Laminar:Laslneasdecorrientenoseentrecruzan(estacionario)Turbulento:Laslneasdecorrienteseentrecruzadandolugarturbulencias
Noviscoso:Seprescindedelafriccinentremolculas.(esunrgimenideal)
Viscoso:Eselcasorealenelquesetieneencuentaelrozamientoviscoso.(es
elcasoreal)
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DescripcindelestadodinmicodeunfluidoLos tipos de rgimen (movimiento) de los fluidos se caracterizan por el rozamiento
(viscosidad) y la velocidad. Podemos distinguir tres tipos de rgimen:
Estacionario
Noviscoso
REGIMEN DEBERNOULLI
(REGIMENIDEAL)
Estacionario
Laminar
Viscoso
REGIMENDEPOISEULLE
(REGIMENREAL)
Turbulento
Viscoso
REGIMENDEVENTURI
(REGIMENREAL)
Formacin de remolinos.lneas de corriente seentrecruzan
Elestudiodelflujodelosfluidosidealesserealizaapartirdedosteoremasfundamentales,el
teoremadecontinuidadyelteoremadeBernoulli, basadosenlosprincipiosdeconservacin
delamasaydeconservacindelaenergamecnica,respectivamente.
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Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad
Sea un tubo de corriente en el interior de un
fluido estacionario.
Consideremos dos superficies normales a las
lneas de corriente, SA y SB. La velocidad es la
misma en todos los puntos de la superficie, vAen SA y vB en SB.
Laecuacindecontinuidadestablecequeenelinteriordeltubodecorriente
nosepierdeniseganamasa (todalamasaqueentraporSA saleporSB).
A B
dm dmdt dt
m=V
A B
dVol dVoldt dt
(A=B= =cte):
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Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad
Laecuacindecontinuidadestablecequeenelinteriordeltubodecorrientenosepierde
niseganamasa (todalamasaqueentraporSA saleporSB).
A B
dm dmdt dt
m=V
A B
dVol dVoldt dt
(A=B= =cte):
Alcabodeuntiempodt tenemosquelassuperficiessehandesplazadoundL:dV =d(SL)=SdL
A BA B
dL dLS Sdt dt
SAvA =SBvB Sv=cte
Que se conoce como ecuacin de continuidad, que indica que en un tubo decorriente, el producto de la seccin por la velocidad permanece constante .
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Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad
Unamagnituddeusocomnenladinmicadefluidoseselgasto,quesedefinecomola
cantidaddefluidoquepasaatravsdeunaseccin,normalalaconduccin,enlaunidadde
tiempo.
Estacantidadpuedeexpresarseentrminosdemasaydevolumen
cbicodVol dLG (volumen) S Svdt dt
msico cbicodm dVol dLG (masa) S Sv Gdt dt dt
laecuacindecontinuidad,sepuedeexpresardiciendoqueelgastoenunaconduccin,
porlaquecirculaunfluidoestacionarioyhomogneo,esconstante.
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Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad
El caudal de un ro es 10 m3/s. Calcula la velocidad del agua en dos puntos de
secciones 500 y 2000 cm2. Calcula el gasto msico.
msico cbicodm dVol dLG (masa) S Sv Gdt dt dt
cbicoG Sv
1 1 1G S v2 2 2G S v
4110 500 10 v
4
210 2000 10 v
21 2
10v 2 10 m / s5 10
1
1 110v 5 10 m / s
2 10
4 3 3 4msicoG (masa) 1000 10 10 kg / m (m / s) 10 kg / s
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Conservacindelaenerga.TeoremadeBernouilliComo =cte y todas las molculas del mismo son idnticas, en su movimiento por el tubo decorriente podemos suponer que todo ocurre como si nicamente se desplazara, sin rozamiento,
la parte rayada inferior a la zona rayada superior.
Elprincipiodeconservacindelaenergamecnicaindicaque:Eltrabajorealizadosobreel
sistema+laenergapotencial+laenergacintica=constante.
1 1 P1 C1 2 2 P2 C2F L E E F L E E 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 21 1p S L mgh mv p S L mgh mv2 2
2 21 1 1 2 2 2
1 1p V V gh V v p V V gh V v2 2
2 21 1 1 2 2 21 1p gh v p gh v2 2
m=V
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Endondepeslapresinhidrosttica,gh esuntrminodepresindebidaalaalturayesuntrminodepresindebidaalavelocidad
Conservacindelaenerga.TeoremadeBernouilli
2 21 1 1 2 2 2
1 1p gh v p gh v2 2
21 v2
La expresin anterior es la forma matemtica del teorema de Bernouilli, que se enuncia como:
En todos los puntos de un tubo de corriente de un fluido ideal, la suma de la presin
hidrosttica, la presin debida a la altura y la presin debida a la velocidad es constante .
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AplicacionesdelteoremadeBernouilli: EfectoVenturi
Cuandounfluidoaumentasuvelocidadsinvariardenivel,supresinhidrostticadisminuye
Seaunaconduccinhorizontalprovistadeunestrechamientoporlaquecirculaunfluidode
Bernouilli.Aplicolaecuacin:
2 21 1 1 2 2 2
1 1P gh v P gh v2 2
2 21 1 2 2
1 1P v P v2 2
Comolaconduccineshorizontal(h1 =h2):
2 21 2 2 1
1P P (v v )2
Despejandolaspresiones
Adems:S1v1 =S2v2 S1> S2v1 0P1>P2
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Supongamos un fluido de Bernouilli contenido en un
recipiente que tiene en una de sus paredes un
orificio (de rea mucho menor que la superficie libre
del fluido), situado a una profundidad h bajo el nivel
de dicha superficie libre. El teorema de Torricelli
proporciona la velocidad de salida del fluido por
dicho orificio.
AplicacionesdelteoremadeBernouilli: TeoremaTorricelli
2 2A A A B B B
1 1P gh v P gh v2 2
PA=PB=P0 2 2A A B B
1 1gh v gh v2 2
2 2B A A B1 v v g h h gh2 Delaecuacindecontinuidad:SAvA =SBvB SA>>SB yvA
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Unlquidoidealdedensidad08circulaporlaconduccindelafigura.Calculalavelocidadencadatramoyelgasto.
P1 +gh1 +v12 =P2 +gh2 +v22P1 +v12 =P2 +v22P1 =gz1 +Patm ;P2 =gz2 +Patm
gz1 +v12 =gz2 +v22 S1v1 =S2v2 ;30102v1 =15102 v2 ;v2=2v1
gz1 +v12 =gz2 +4v12 3/2v12 =g(z1 z2)
3/2800v12 =8009.8(0.22 0.16)
v1 =0.626m/s;v2 =1.25m/s
G=Sv=30104 0.626=1.878103 m3/s
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Viscosidad
En los fluidos ideales se admite que las nicas fuerzas que existen son las debidas al campo
gravitatorio y a la presin. Esto significa que las nicas fuerzas que actan sobre la
superficie dS de un elemento diferencial de volumen del fluido (al margen de las del campo
gravitatorio) son normales a dicha superficie (fuerzas de presin).
Este es tambin el caso de un fluido real en reposo, por lo que la ecuacin fundamental de
la esttica de fluidos tambin es vlida para ellos. Ahora bien, cuando un fluido real se
encuentra en movimiento aparecen fuerzas tangenciales que se oponen al desplazamiento
relativo de unas molculas del fluido sobre otras. Estas fuerzas de rozamiento en el interior
de los fluidos reciben el nombre de fuerzas de viscosidad (o viscosas).
Veamos como podemos cuantificar estas fuerzas de viscosidad.
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ViscosidadConsideremos un fluido contenido entre dos placas planas y paralelas, por ejemplo de vidrio.
Supongamos que el sistema est inicialmente en reposo, y que al aplicar una fuerza tangencial
la placa superior se pone en movimiento en la direccin del eje OX, con una velocidad
constante v. Es preciso realizar esta fuerza para deslizar la placa porque el fluido prximo a ella
ejerce una fuerza de friccin que se opone al movimiento.
F
Newton demostr que el mdulo de la fuerza (por unidad
de superficie tangencial sobre la que acta) que una capa
ejerce sobre la contigua es funcin del gradiente de la
velocidad en la direccin perpendicular a la del
movimiento del fluido
F dvS dy Navier F dv
S dy leydeNewtonyfluidosNewtonianos
recibe el nombre de viscosidad, y su inversa, , el de fluidez, y es caracterstica de cadafluido a una T y P dadas. En el Sistema Internacional (S.I.) la unidad de viscosidad es el
Pascal.segundo (Pa.s) aunque es habitual utilizar como unidad el poise = 101 Pa.s.
1
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ViscosidadLaviscosidadsiempredependedelatemperaturaydelapresin.Ladependenciade conelaumentodelatemperaturaesinversaenloslquidosyenlosgases,aumentandoenestosy
disminuyendoenaquellosEsto ocurre porque al aumentar la temperatura, las
fuerzas de cohesin existentes en el estado lquido
disminuyen (si T aumenta lo suficiente pueden pasar a
estado gaseoso), por lo que disminuye la interaccin
entre las capas del fluido, y la viscosidad se hace
menor. En un gas, al aumentar la temperatura aumenta
la energa cintica de las molculas, con lo que
aumenta la probabilidad de los choques entre ellas, y
por tanto aumenta la viscosidad.
En cuanto a la presin, al aumentar sta siempre aumenta la viscosidad, tanto en lquidos
como en gases, ya que un aumento de P siempre dificulta el movimiento de las molculas del
fluido.
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Rgimenlaminaryrgimenturbulento.NmerodeReynoldsElqueunfluidocirculeenrgimenlaminaroenrgimenturbulentodependede:
Fluido (densidad , viscosidad ) Conduccin (radio R) Movimiento del fluido en la conduccin (velocidad v)
Sedefineunamagnitudadimensional conocidacomonmerodeReynolds:R
2 RvN R
vN/ 2 R
0v 2 R
Velocidadcaracterstica
R0
vNv
R 0v N v
Secompruebaexperimentalmenteque:
v3000)Rgimenturbulento
Cuando ms elevada sea la velocidad caracterstica del fluido, a mayor velocidad puede circularpor la conduccin manteniendo el rgimen laminar. Ahora bien, recordando la expresin de lavelocidad caracterstica, para un fluido determinado (de y dadas) podremos tener un valorrelativamente alto de esta magnitud con un radio de conduccin elevado si la viscosidad delfluido es alta. Mientras que si la viscosidad del fluido es muy baja, el radio de la conduccinnecesariamente deber ser muy pequeo, para que circule en rgimen laminar. Esta es la razndel gran tamao de los oleoductos (empleados para transportar petrleo, de alta viscosidad), ydel empleo de cortachorros (tela metalica en duchas y fregaderos) que divide el chorro enpequeos hilos de agua para pasar a regimen laminar (agua, viscosidad muy baja)
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Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.SedimentacinCuando un slido se mueve en el interior de un fluido aparecen fuerzas de interaccin mutuas
que se superponen a las aplicadas directamente sobre el slido, de forma que el movimiento del
cuerpo es distinto al que tendra en el vaco. La resultante de estas fuerzas siempre es
perpendicular a la superficie del slido
Esta fuerza ,resultante de la interaccin, se suele
descomponer en dos componentes, R , en la direccin
de v, que se llama fuerza de Resistencia al avance, y , S
perpendicular a v, que se llama fuerza de Sustentacin.
F
En cuanto a la fuerza se puede comprobar experimentalmente que si el rgimen es claramente
laminar (NR
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El estudio del movimiento de los slidos en el interior de un fluido es muy complejo y depende
Rgimen del fluido Forma del slido (perfil de forma o perfil aerodinmico)
Caso particular: movimiento de un slido en un lquido, causado nicamente por las fuerzas del
campo gravitatorio (slido ms denso que el fluido) Sedimentacin.
Sea un lquido en reposo ( y L,) y coloquemos en su seno un slido de densidad S > L
Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.Sedimentacin
Ecuacindelmovimientodelslido: F ma P F E=maPeso del cuerpo: P = mSg = SVgFuerza de resistencia: F = kv
Empuje: E = mLg = LVgSVg LVg kv =ma
P y E = constantes, F aumenta con el tiempo (al depender de v, que es acelerada), con lo que
llega un instante en que la suma de F y E pueden anular a P, y la aceleracin se hace cero. A
partir de este instante v permanece constante, y el cuerpo sigue cayendo con dicha velocidad
constante, que recibe el nombre de velocidad lmite (vL) en general, o velocidad de
sedimentacin (vS) para el caso particular que nos ocupa.
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Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.Sedimentacin
Velocidadlmite(vL)ovelocidaddesedimentacin(vS):
s L SVg Vg kv 0 s L SVg Vg kv s LS Vg( )v k
que es un valor constante para el slido estudiado en ese fluido en concreto. La dificultad en su
determinacin estriba en determinar el valor de k.
Paraslidosesfricosmuypequeos(r
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LEYDEPOISEUILLEConsideremos un rgimen laminar viscoso (Rgimen de Poiseulle), en una conduccinhorizontal como la de la Figura, de radio R y longitud L
F1 =P1 S;F2 =P2 SFR =(P1 P2)SPS
LeydePoiseulleL8PRG
4
m
4
vSL8PRG
L8PRv
2
m
En la figura se muestra la velocidad del fluido, debido al rozamiento entre las paredesinternas y el fluido la velocidad es menor junto a las paredes y aumenta hacia el centro delfluido, aunque tambin se ve ralentizado debido al fluido adyacente. Por tanto la velocidades mayor en el centro. La viscosidad consume energa haciendo que la presin disminuyaa medida que el flujo progresa.
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MEDIDADEVISCOSIDADES:ViscosmetrodeOstwald
4Volumen R PG svt 8 L
tLV8
PR4gzP
tLV8gzR4
tk
LV8gzRk
4
tkaaa tk
aaa tt
Consideramos el tiempo de cadadel lquido entre las marcas 1 y 2
z
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PRDIDADECARGA
4R8G
LP
L8PR
tVG
4