tema 3 - sucesiones y series
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TEMA 3
� Objetivos.
� Sucesiones numéricas.
� Series numéricas.
� Manejar los conceptos de sucesión y serie y
utilizar las series de potencias para
representar las funciones.
Sucesiones de números reales: monotonía, acotación y convergencia
Se llama sucesión de números reales a toda aplicación f: N � R. El elemento
f(1) se denomina primer término de la sucesión y llamamos término
general de la sucesión al enésimo término f(n)
Cuando hablemos de la sucesión la podemos denotar como
Dadas dos sucesiones {an} y {bn} denominamos sucesión suma a la sucesión
que tiene por término general la suma de los términos generales
...}...,{ 21 naaa }{ na
Sucesiones de numeros reales: monotonía, acotación y convergencia
Definiciones:
Definición de límite de una sucesión
Se dice que un número real l es límite de una sucesión {an} y se denota:
Se dice que la sucesión {a } tiene límite + y se denota:
εε <−≥∀∈∃>∀⇔=∞→
||/0:}{lim 00 lannNnla nnn
Se dice que la sucesión {an} tiene límite + y se denota:
Se dice que la sucesión {an} tiene límite - y se denota:
∞MannNnMa nn
n>≥∀∈∃∀⇔+∞=
∞→ 00 /:}{lim
∞
mannNnma nnn
<≥∀∈∃∀⇔−∞=∞→ 00 /:}{lim
Tipos de sucesiones
Una sucesión {an} que posee límite finito se dice que es convergente, es decir
laRl nn
=∈∃∞→
}{lim/
Se dice que una sucesión {an} es divergente si:
Una sucesión se llama oscilante si no es convergente ni divergente
n ∞→
+∞=∞→ n
nalim
Subsucesiones
Se dice que es una subsucesión de {an} si {rn} es una sucesión estrictamente
creciente de números naturales
� Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, es único. � Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.
}{nr
a
� Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.� Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, todas sus subsucesiones tienen
también el mismo límite. � Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.
Además el límite coincide con el supremo del conjunto de los términos de la sucesión.
� Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. Además el límite coincide con el ínfimo del conjunto de los términos de la sucesión.
� Toda sucesión monótona creciente y no acotada superiormente tiene límite .� Toda sucesión monótona decreciente y no acotada inferiormente tiene límite
∞+∞−
Operaciones con límites de sucesiones
Si se verifica
Rla
mlba nn
∈∀→+→+
·}·{
}{
ααα
RmbyRla nn ∈→∈→ }{}{
nbymlsidivergenteesb
a
nbymsim
l
b
ay
mb
aaparticularEnlaRla
mlba
Rla
nn
n
nn
n
n
nnnn
nn
n
∀≠=≠
∀≠≠→
→
→⇔→→−⇔∈→→
∈∀→
00,0
0011
0|}{|0}{,0|}{|}{
·}·{
·}·{ ααα
Teorema de la sucesión intermedia
Supongamos que para todo n suficientemente grande
Si entonces
nnn cab ≤≤
lcb nn
nn
==∞→∞→
limlim ( )−∞=+∞=∈=∞→
lólóRllannlim
Corolario:
Si y es acotada, entones
En efecto, y basta aplicar el teorema de la
sucesión intermedia
0}{ →na }{ nb 0}{ →⋅ nn ba
nnnnn aKbaba ··0 ≤=⋅≤
Algunos limites importantes
pSi
laentoncesla
aSi n
nn
n
=>
→→+
01
lim,0
1
Raen
a
aaSi
namayorunesnn
npSi
npSi
an
n
n
n
ppn
pn
∈∀=
+
=<
=>
=>
∞→
∞→
∞→
∞→
1lim
0lim,1
loginf0log
lim,0
01
lim,0
Sucesiones Recurrentes
La forma recurrente de representar una sucesión consiste en dar uno o
varios términos iniciales de la sucesión e indicar la fórmula para calcular
los términos sucesivos a partir de los dados
Ejemplos:
...}24,6,2,1,1{·1 11 Nnanaa nn ∈== +
...}5,3,2,1,1,0{10 1221 Nnaaaaa nnn ∈+=== ++
Sucesiones Recurrentes
Para calcular el límite de una sucesión recurrente, podemos intentar
demostrar la existencia de dicho límite mediante técnicas de monotonía y
acotación, usando para ello el principio de inducción
Por ejemplo, para demostrar que una sucesión recurrente es estrictamente
creciente mediante inducción comprobamos en primer lugar que a1 < a2 .
A continuación suponemos por hipótesis de inducción que an < an+1 y
demostramos que también an+1 < an+2
Introducción
Sea {an} una sucesión de números reales y formemos una nueva sucesión {sn}
de la forma:
∑n
La sucesión así formada se llama serie y se representa .
El numero sn es la suma parcial n-ésima de la serie
El numero an es el término n-ésimo de la serie
∑=
=+++=+==n
kknn aaaasaasas
12121211 ......
∑∞
=1nna
Convergencia y suma de una serie
Se dice que la serie es convergente, divergente u oscilante según que la
sucesión de sumas parciales {sn} sea convegente, divergente u oscilante
∑∞
=1nna
Si diremos que l es la suma de la serie y escribiremos
Si , se denota .Si , se denota
El carácter de una serie no se altera si se suprimen un número finito de
sumandos
+∞→}{ ns +∞=∑+∞
=1nna −∞→}{ ns −∞=∑
+∞
=1nna
lan
n =∑+∞
=1
lsn →}{
La serie geométrica
Si entonces
Si entonces
1|| <rr
rr
n
n
−=∑
+∞
= 11
11|| => rór divergenteesrn
n∑+∞
=1
Si la serie es oscilante
Ejemplo:
n=1
1−=r
1
21
1
21
2
1
2
1
1 1
=−
=
=∑ ∑∞
=
∞
=n
n
nn
La serie geométrica (Demostración)
1322
1
...·;... +
=
+++=+++==∑ nn
nn
kkn rrrsrrrrrs
rrsrsipuesAsírrsr
nn
11 1,.)·1(
++ −=≠−=−
−=−=
+∞→==
imparn
parnsrSi
divergentensrSi
n
n
1
01
,1
divergenteessentoncesydivergenteesrentoncesrSi
r
rsentoncesyrentoncesrSi
rsrsipuesAsírrsr
nn
nn
nn
n
1
1
1
,1
10,1
11,.)·1(
+
+
+
>−
→→<
−=≠−=−
Condición necesaria de Convergencia
La condición necesaria (no suficiente) para que una serie sea convergente es
que el término general de la misma converja a cero
Ejemplos:
� La serie no es convergente, puesto que
� La serie armónica es divergente puesto que
∑∞
= +1 1n n
n1
1→
+n
n
∑∞
=1
1
n n+∞→+++=
nsn
1...
2
11
Operaciones con Series
� Si
� Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir
∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+=+==1111
·)·()(n
nn
nnn
nn
n lamlbaentoncesmbyla αα
� Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir
grupos de términos consecutivos por sus sumas
� Si una serie es divergente, lo sigue siendo al sustituir grupos de términos
consecutivos por sus sumas
� Para series oscilantes lo anterior, en general, no se verifican
Series de Términos no Negativos
Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de
naa nn
n ∀≥∑∞
=
01
Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de
sumas parciales es acotada
Una serie con términos no negativos es convergente o bien divergente a
pero nunca es oscilante (debido a que sn es monótona creciente)
Ejemplo:
� La serie llamada serie armónica generalizada converge si α > 1 y
diverge si α ≤ 1
∞+
∑∞
=1
1
n nα
Series de Términos no Negativos
Criterio de Comparación en el Límite:
� Sea y dos series con términos positivos tal que lb
a
n
n
n=∃
∞→lim∑
∞
=1nna ∑
∞
=1nnb
� Se verifica que:
� Si las dos series convergen o divergen simultaneamente
� Si y la serie converge, entonces también converge
� Si y la serie diverge, entonces también diverge
∞≠> lyl 0
0=l ∑∞
=1nnb ∑
∞
=1nna
∑∞
=1nnb+∞=l ∑
∞
=1nna
Series de Términos no Negativos
Criterio de la raíz:
� Sea una serie de términos positivos tal que lan
nn
=∞→
lim∑∞
=1nna
� Se verifica que:
� Si la serie es convergente
� Si la serie es divergente
� Si el criterio no decide
10 <≤ l
1>l
1=l
Series de Términos no Negativos
Criterio del cociente:
� Sea una serie de términos positivos tal que la
a
n
n
n=+
∞→
1lim∑∞
=1nna
� Se verifica que:
� Si la serie es convergente
� Si la serie es divergente
� Si el criterio no decide
1<l
1>l
1=l
Series de Términos no Negativos
Criterio de Raabe:
� Sea una serie de términos postiivos tal que la
an
n
n
n=
− +
∞→
11·lim∑∞
=1nna
� Se verifica que:
� Si la serie es convergente
� Si la serie es divergente
� Si el criterio no decide
1>l
1<l
1=l
Series de Términos Arbitrarios (Series Alternadas)
Una serie alternada es aquella en la que dos términos consecutivos tienen
signos apuestos. La forma más común que presentan estas series es:
0;...)1( ≥+−+−=−∑∞
n aaaaa
Criterio de Leibniz:
� Sea {an} una sucesión monótona decreciente de números no negativos,
es decir, y, además, convergente a cero.
Se verifica que la serie alternada es convergente
0...321 ≥≥≥≥ aaa
0;...)1(1
321 ≥+−+−=−∑=
nn
nn aaaaa
∑∞
=
−1
)1(n
nna
Definiciones
� La serie es absolutamente convergente la serie es
convergente.
� Si es absolutamente convergente es convergente
∑∞
=1nna :⇔ ∑
∞
=1nna
∑∞
na ∑∞
⇒ na� Si es absolutamente convergente es convergente
� Las series que son convergentes, pero no absolutamente convergentes, se
llaman condicionalmente convergentes
∑=1n
na ∑=
⇒1n
na
Suma de algunas series
Serie geomética
� Si 1<a ∑∞
= −=
1 1n
n
a
aa
Series aritmético-geométricas
� La serie aritmetico-geometrica tiene la forma siendo P(n) un
polinomio
� Si |a| < 1 es convergente
� Si llamamos S a su suma, se verifica donde k es
una constante y Q un polinomio de grado menor que P
∑∞
=
⋅1
)(n
nanP
∑∞
=
⋅+=−1
)(n
nanQkaSS
Suma de algunas series
Series telescópicas
� La serie es telescópica si an puede escribirse en la siguiente forma
an = bn – bn+1 y por tanto la suma parcial es sn = b1 – bn+1
∑∞
=1nna
an = bn – bn+1 y por tanto la suma parcial es sn = b1 – bn+1
� Esta serie converge si la sucesión {bn} converge y en este caso:
nn
nn bba
∞→
∞
=
−=∑ lim11