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Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.2
4.1. IntroducciónAnálisis de Filtros Analógicos
Filtro paso bajo
Filtro paso alto
Filtro paso banda
Filtro paso banda eliminada
1/Cs
Ls R1
Vg(s) V0(s)R2 )()()()( 0 ωjH
sVsVsH
g
→=→
)( ωjH
ω
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.3
4.1. IntroducciónSíntesis de Filtros Analógicos
circuitosH →→ )(
)( ωjH
ωSimetría
par
Normalización
Transformación de frecuencias
Teoría de la aproximación (filtros paso bajo)
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.4
4.2. Atenuación y Plantillas de Especificación de Filtros
H(s): función de transferencia de un filtro.
{ }
{ }⎩⎨⎧
→∠
→→⋅= ∠
fase en respuesta)(amplitud en respuesta)(
)()( )(
ω
ωωω ω
jHjH
ejHjH jHj
(dB) alogarítmic escala a )( pasar atenuación)( ωωα jH→→
(dB))(log20)(
1log10)( 2 ωω
ωα jHjH
⋅−=⋅=
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.5
Filtro paso bajo ideal. Especificaciones
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤=
c
cjHωω
ωωω
,0
,1)(
)( ωjH
ωcω
)(ωα
ωcω
⎪⎩
⎪⎨⎧
>∞
≤=
c
c
ωω
ωωωα
,
,0)(
4.2. Atenuación y Plantillas de Especificación de Filtros
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.6
Filtro paso bajo real. Especificaciones
⎪⎩
⎪⎨⎧
><
<>=
aa
pp
A
AjH
ωω
ωωω
,
,)(
⎪⎩
⎪⎨⎧
>>
<<=
aa
pp
ωωα
ωωαωα
,
,)(
)( ωjH
ωpω aω
aApA
)(ωα
ωpω aω
pαaα
transición de bandaatenuada banda la de límite
atenuada banda
paso de banda la de límitepaso de banda
⇒<<
⇒
⇒>
⇒
⇒<
ap
a
a
p
p
ωωω
ω
ωω
ω
ωω
atenuada de banda la en mínima atenuaciónpaso de banda la en máxima atenuación
≡
≡
a
p
α
α
4.2. Atenuación y Plantillas de Especificación de Filtros
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.7
Frecuencia de corte a 3 dBωc : frecuencia de corte a 3 dB. Se cumple que:
)(log20)(2
)( max ωωαω jHH
jH c ⋅−=⇒=
( ) ( ) )(3log202log20log20
2log20)(log20)(
maxmax
max
dBHH
HjH cc
+⋅−=⋅+⋅−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−=⋅−= ωωα
)()( dBωα
ωcω
( ) 3log20 max +⋅− H
dB3( )maxlog20 H⋅−
4.2. Atenuación y Plantillas de Especificación de Filtros
)( ωjH
ωcω
maxH
2maxH
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.8
Objetivoa) Evitar el manejo de potencias negativas de 10
b) Aprovechar el diseño de un filtro para distintas bandas de frecuencia o para diferentes cargas.
Parámetros de normalizacióna) R0 : resistencia de normalización
b) ω0 : frecuencia de normalización
Proceso de normalización
4.3. Normalización
)(1)( 00
ωsHR
sHN =escala de cambio)(
amplitud de cambio1
0
0
⇒
⇒
ωsHR
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.9
De esta forma, los valores normalizados de los elementos circuitales básicos resultan ser:
4.3. Normalización
R
Ls
Cs1
0RRRN =
0
00
0 RLLsLs
RL
NNωω =⇒=⋅
0000
1111 ωω
CRCsCRCs N
N
=⇒=⋅⋅
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.10
La transformación de frecuencias permite aprovechar diseños de filtros paso bajo para convertirlos en otro tipo de filtros.
4.4.1. Transformación paso bajo – paso alto
Especificaciones del filtro paso alto
4.4. Transformación de Frecuencias
ωωω
λω
′−
=⇒=20
20s
Plano complejoPaso bajo
Plano complejoPaso alto
)(ωα ′
ω′
pαaα
pω′aω′
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.11
Al hacer filtros de respuesta al impulso real, la atenuación y el módulo de la función de transferencia son simétricas, mientras que la respuesta en fase es antisimétrica. Por tanto, es suficiente con realizar especificaciones en el semiplano positivo de frecuencias.
Para bajas frecuencias, la atenuación debe ser muy elevada (la zona rayada es una zona prohibida para el filtro paso alto).
Para altas frecuencias, la atenuación debe ser baja.
La banda de transición, , sigue siendo necesaria, pues –como sabemos- no existen filtros reales de pendientes abruptas.
4.4. Transformación de Frecuencias
ap ωωω ′<′<′
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.12
4.4. Transformación de Frecuenciasω
pω−
'pωpω
'pω− 'ωPA
PB
aa
aa
a
ωωωωω
ωω
ωωω
ωω
αωα
=′
≥⇒′≤−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
−=′
′≤′
>′20
20
20
)(
pp
pp
p
ωωωωω
ωω
ωωω
ωω
αωα
=′
≤⇒′≥−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
−=′
′≥′
<′20
20
20
)(
)(ωα
ωpαaα
'
20
pωω
pω='
20
aωω
aω=
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.13
4.4. Transformación de Frecuencias
Ls
Cs1
20
20
1ωλ
λω ⋅
=⋅
CC
Transformación en circuitos
λω2
0=s 20
1ωC
L =C
L 20
1ωL
C =
λω2
0⋅L
20
20
1
1
ω
ω
LCL
CLC
=→
=→En resumen:
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.14
4.4.2. Transformación paso bajo – paso banda
Especificaciones del filtro paso banda
4.4. Transformación de Frecuencias
21'';
'' 2
0
20
220
2
ppBBs ωωω
ωωωω
λωλ
⋅=−
=⇒+
=
Paso bajo Paso banda
)'(ωα
'ω
pα
1aα
'1pω'
1aω '2pω '
2aω
2aα
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.15
4.4. Transformación de Frecuenciasω
pω−
pω
'1pω−
'ω'
2pω− '2pω+'
1pω+
aaa
a Bω
ωωωωω =
−≥⇒≤ 12
1
''''
ppp
pp Bω
ωωωωωω =
−≤⇒≤≤ 12
21
'''''
aaa
a Bω
ωωωωω =
−≥⇒≥ 12
2
''''
2121''''2
0 aapp ωωωωω ⋅=⋅=
Suponemos que se cumple la condición de
simetría:
En caso de no cumplirse, se ajusta
1'aω
)(ωα
ω
pαaα
pω aω
Se toma el peor caso:( )
21,max aaa ααα =
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.16
4.4. Transformación de Frecuencias
Ls
Cs1 λ
ωλλω
λλ
BC
BC
BC
BC 2
020
211
+=
+
Transformación en circuitos
λωλ
Bs
20
2 +=C
L
20
1 ωCBL =
BCC =1
λωλ
λω
λλ
BL
BL
BL
BL
20
20
2
+=+BLL =1 2
01 ωL
BC =
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.17
4.4. Transformación de Frecuencias
Ls
Cs1
En resumen
C
L
20
1 ωCBL =
BCC =1
BLL =1 2
01 ωL
BC =
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.18
4.4.2. Transformación paso bajo – banda eliminada
Especificaciones del filtro de banda eliminada
4.4. Transformación de Frecuencias
21'';
'' 2
0220
20
2 aaBBs ωωω
ωωωω
ωλλ
⋅=−
=⇒+
=
Paso bajoBanda eliminada
)'(ωα
'ω1pα
aα
'1pω '
1aω '2pω'
2aω
2pα
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.19
4.4. Transformación de Frecuencias
ppp
pB ωωω
ωωω =−
≤⇒≤12
1 ''''
aaa
aaB ωωω
ωωωω =−
≥⇒≤≤12
21 '''''
ppp
pB ωωω
ωωω =−
≤⇒≥12
2 ''''
2121''''2
0 ppaa ωωωωω ⋅=⋅=
Suponemos que se cumple la condición de
simetría:
En caso de no cumplirse, se ajusta
1'pω
)(ωα
ω
pαaα
pω aω
Se toma el peor caso:( )
21,min ppp ααα =
ω
pω−
pω
'1pω−
'ω'
2pω− '2pω+'
1pω+0ω− 0ω
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.20
4.4. Transformación de Frecuencias
λωλ
λω
λλωλ
λ
LBLBBLBL
BL20
20
220
211
+=
+=
+⋅
Transformación en circuitos
20
2 ωλλ+
=Bs
Cs1
C
Ls
L20
1 ωLBL =
LBC 1
1 =
λωλ
λωλ
ωλλ CBCBBCBC
20
20
2
20
2
1+=
+=
+⋅
CBL 1
1 = 20
1 ωCBC =
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.21
4.4. Transformación de FrecuenciasEn resumen
Cs1
C
Ls
L20
1 ωLBL =
LBC 1
1 =
CBL 1
1 = 20
1 ωCBC =
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.22
4.5. Teoría de la AproximaciónSe aplicará al prototipo paso bajo. Si deseamos diseñar otro tipo de filtro, debemos realizar el siguiente proceso:
Filtros PA, PB, BE
Convertir especificaciones para prototipo paso bajo.
Transformación de frecuencias
Diseñar prototipo paso bajo
Especificar componentes del PB
Transformar al circuito definitivo: PA, PB, BE
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.23
4.5. Teoría de la Aproximacióna) Concepto de función aproximante
Nuestro objetivo es hallar una función racional que se aproxime a la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo ideal. Para simplificar los cálculos, se normaliza a la frecuencia de corte a 3 dB (ωc)
2)( ωjH
c
c
ss
ωωω
ω
=
=
2)( ωjHI
ωcω
1
Filtro paso bajo ideal
2)( ωjHI
ω
1
1
2)( ωjH
Filtro paso bajo ideal normalizado (ωc=1)
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.24
4.5. Teoría de la AproximaciónDe esta forma, buscaremos que se cumpla:
al menos en las zonas de interés.
Esta función, siempre tendrá la forma:
Siendo así la función aproximante buscada, que será de tipo polinómico o cociente de polinomios.
Deberá cumplir que:
Según sea tendremos un tipo de aproximación u otro.
22 )()( ωω jHjH I≈
)(11)( 2
2
ωω
DjH
+=
)(2 ωD
1)0(acotado) (ó0)(0
2 ≈⇒=→
jHDω
ω
)(2 ωD
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.25
4.5. Teoría de la Aproximaciónb) Filtros de Butterworth
La aproximación de Butterworth es la más simple de las posibles; es una aproximación de máxima planicidad, o máximamente plana.
Esto significa, desde un punto de vista matemático, que la mayor cantidad posible de derivadas de la función aproximada sean iguales (en el límite cuando ), a las de la función que se desea aproximar, (filtro paso bajo ideal).
2)( ωjH0→ω
2)( ωjHI
2)( ωjH
ω
1 2)( ωjHI
cω
Mejor aproximación en ω=0
Mejor aproximación en ω>>0
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.26
4.5. Teoría de la Aproximación
En este caso, , con:
Respuesta en frecuencia de Butterworth normalizada (se normaliza respecto a la frecuencia de corte a 3 dB, ωc)
nD 22 )( ωω =filtro del ordenpolinomio del grado2
≡≡
nn
njH 22
11)(ω
ω+
=
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.27
4.5. Teoría de la AproximaciónPolos de (normalizados)
Es decir, se encuentran en una circunferencia de radio unidad, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)
Existen tablas con los polos ya calculados para diferentes órdenes.
2)( ωjH
nkes nnkj
k , ... 2, 1,2)12(
== ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+ π
n=2
σ
ωj
n=3
σ
ωj
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.28
4.5. Teoría de la AproximaciónFunción de transferencia (normalizada)
También existen tablas con los coeficientes del polinomio de Butterworth normalizados.
DesnormalizaciónSe aplica el cambio de variable:
)(sH
1...1
)(...)()(1)(
11
121 ++++=
−⋅⋅−⋅−= −
− sasassssssssH n
nn
n
1...
1)(
1
1
1 +++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−c
n
cn
n
c
sasassH
ωωω
n
c
jH 22
1
1)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ω
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.29
4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro
A medida que ‘n’ aumenta, es más abrupta la transición de la banda de paso a la banda atenuada.
n
c
jH 22
1
1)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ω )(1log10)(2
dBn
c ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
ωωωα
cω
)()( dBωα
ω
pαaα
pω aω
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.30
4.5. Teoría de la AproximaciónDespejamos ωc :
Según la figura, debe cumplirse que:
ncn
c
nn
c 21
10)(
10)(
2
22
10)(
110
110110
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⇒−=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
ωα
ωαωα ωωωω
ωω
n
pcpp
p 21
10 110
)()1(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
=⇒=⇒=α
ωωαωαωω
n
acaa
a 21
10 110
)()2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⇒=⇒=α
ωωαωαωω
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.31
4.5. Teoría de la AproximaciónIgualando (1) y (2) obtenemos el orden del filtro requerido, ‘n’:
⇒−
=
−
⇒
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⇒≡110110110110
)2()1(10
2
10
2
21
102
1
10
apap
na
np
n
a
n
pαα
αα
ωωωω
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⇒
−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒
110
110loglog2110
110
10
10
10
102
a
p
a
p
a
pn
a
p n α
α
α
α
ωω
ωω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
a
p
a
p
n
ωω
α
α
log2
110
110log10
10
Donde el orden del filtro de Butterworth será la parte
entera de n más 1h
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.32
4.5. Teoría de la Aproximación
c) Filtros de Chebyshev
El principal problema de la aproximación de Butterworth es que el error respecto a la curva ideal es mínimo en las cercanías del origen, pero se incrementa considerablemente en la zona de la frecuencia de corte a 3 dB.
Otro criterio de aproximación es el de Chebyshev, que considera que todas las frecuencias de la banda de paso son igualmente importantes. Así, se admite cierta atenuación y ondulación (rizado) en la banda de paso, pero se consigue una mejor aproximación para ωc .
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.33
4.5. Teoría de la Aproximación
En este caso, , con:
2)( ωjH
ω
1
2)( ωjHI
cω
Esta aproximación también es denominada aproximación de
rizado de amplitud constante en la banda de paso
)()( 222 ωεω nCD =
)(11)( 22
2
ωεω
nCjH
+=
Respuesta en frecuencia de Chebyshev normalizada
(respecto a ωp)
≡≡≡
)(ω
ε
nCn
constante que determina el rizado en la banda de paso (real)
orden del filtro
polinomio de Chebyshev normalizado de orden ‘n’
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.34
4.5. Teoría de la AproximaciónPolinomios de Chebyshev (normalizados)
En la práctica, se calcula de forma recurrente:
)coscos()( 1ωω −⋅= nCn
)()(2)( 11 ωωωω −+ −= nnn CCC
Es una función pseudotranscendente, que varía entre ±1
...34)12(2)(
12)()(
1)(
323
22
1
0
ωωωωωω
ωω
ωωω
−=−−⋅=
−=
=
=
C
C
CC
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.35
4.5. Teoría de la AproximaciónPROPIEDADES
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤→<=
1
1)(1)(
ω
ωωω n
n
CC
Oscilante
Crece monótonamente
[ ][ ])(coshcosh)(1
)(coscos)(11
1
ωωω
ωωω−
−
⋅=⇒>
⋅=⇒<
nC
nC
n
n
2)( ωjH
ωpω
p
aa ω
ωω =
[ ][ ])(coshcosh)(
)(coscos)(1
1
ωω
ωω−
−
⋅=⇒
⋅=⇒
nCnC
n
nBanda de paso
Banda atenuada
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.36
4.5. Teoría de la AproximaciónPolos de (normalizados)
Los polos se encuentran situados sobre una elipse, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)
2)( ωjH
nkn
kajn
kask
, ... 2, 1,2
)12(cos)cosh(2
)12(sen)(senh
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⋅+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⋅−=ππ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅= −
ε1senh1 1
na Existen tablas para calcularlos
n=3
σ
ωj
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.37
4.5. Teoría de la AproximaciónFunción de transferencia (normalizada)Se realiza como anteriormente.
DesnormalizaciónSe realiza como anteriormente.
Determinación de .
)(sH
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
pnC
jH
ωωε
ω22
2
1
1)(
ε
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=⋅=
pnC
jH ωωε
ωωα 22
2 1log10)(
1log10
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.38
4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación de (cont.)ε
( ) { } { }222 1log10)1(1log10 εεαωαωω +⋅=+⋅=== nppp C
1)0(cos2 =⋅n110110 10102 −=⇒−=
pp αα
εε
)(ωα
ω
pαaα
pω aωdBΔ
{ }21log10 εα +⋅=p
El parámetro se elige según el valor requerido para (también
llamado “error en la banda de paso”, en dB = Δ dB), que resultará ser la
amplitud de rizado máxima permitida.
εpα
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.39
4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro
Banda de paso:
Banda atenuada:
)1(110)1log(10)()(
1022 −=⇒+⋅==⎪⎭
⎪⎬⎫
=
= p
ppp
ppα
εεαωαωω
αωα
)2(1log10)()( 22
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅==
⎭⎬⎫
=
=
p
anaa
a
aa Cωωεαωα
ωωαωα
110coshcosh110 101221022 −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⇒−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒ −
aa
p
a
p
an nC
αα
ωωε
ωωε
Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.40
4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro (cont.)
2
101 110coshcosh
εωω
α
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⇒ −
a
p
an
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=⇒−
−
p
a
a
n
ωω
ε
α
1
101
cosh
110cosh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⇒−
−
p
a
p
a
n
ωω
α
α
1
10
101
cosh
110
110cosh
( )1ln)(cosh2
)cosh(
21 −+=
+=
−
−
xxx
eexxx
NOTA: