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Fundamentos de Geometría

ComputacionalI.T.I. Gestión

Triangulaciones

Tema 5



1. Triangulaciones de nubes de puntos (modelado de terrenos)

2. Triangulaciones de polígonos (problema de la galería de arte)

Índice



Triangulaciones de polígonos

Tema 5 Triangulaciones

Triangulaciones de nubes de puntos

Modelado de terrenos







¿QUÉ ES UN S.I.G.?(Sistema de Información Geográfica)

Visualización de la información:

geográfica, numérica, estadística, etc.

Recolección

DATOS

Taquímetro / GPS

Interpolación de información

Sistema dinámico

Mapas topográficos

Transformación

Análisis







Introducción






10

00

6

4

124019

20

36

28

23890

1000

980

990

1008

00

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6

4

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23985








P={p1,p2,...,pn} conjunto de puntos en el plano

triangulación de P ≡ pslg maximal con V(T) = P







Dado P siempre existe una triangulación de P.







Dado P siempre existe una triangulación de P.Las aristas de CH(P) están en cualquier triangulación de P.







Dado P siempre existe una triangulación de P.Las aristas de CH(P) están en cualquier triangulación de P.Todas las triangulaciones de P tienen el mismo número de aristas y triángulos.2n-2-k triángulos, 3n-3-k aristas (n = |P|, k = |CH(P)|)






Vector de ángulos de T:

V(T)={α1,α2,...,α3m} con α1≤ α2≤ ... ≤α3m

V(T) > V(T’) si existe i ∈ {1,...,3m} tal queαj=α’j si j<i

αi>α’i

T es la triangulación Equilátera de P={p1,p2,...,pn} si V(T) ≥ V(T’), para toda triangulación T’ de P.








flip diagonal

pi

pj

pk

pr

α6α1

α4

α5

α3α2

e

pi

pj

pk

pr

pi

pj

e

β6β1

β4

β5

β3

β2

e = pi pj arista ilegal si, y sólo si,min {αi } < min{βi }

Una triangulación es legal si no tiene aristas ilegales

T equilatera T legal







pi

pj

Caracterización de las triangulaciones legales (criterio del circunciclo)

p1

p2

p3

p4

Teorema del arco capaz (Thales)

p1 > p2 = p3 > p4







pi

pj

pk

pr

e


e = pi pj ilegal si, y sólo si, pr∈C(pi,pj,pk)

pi

pr

pj

pk

e







pi

pj

pk

pr

e


e = pi pj ilegal si, y sólo si, pr∈C(pi,pj,pk)

e

e = pi pj ilegal si, y sólo si, pk∈C(pi,pj,pr)

pi

pr

pj

pk







Algoritmo para obtener una triangulación legal:

Encontrar una triangulación T cualquiera de P

Entrada: Una nube de puntos P={p1, …, pn}

Salida: Una triangulación legal T de P

Mientras en T haya alguna arista ilegal e = pipj, realizar flip en la arista e






Triangulación de Delaunay

Grafo de Delaunay: DG(P) ≡ grafo dual de Vor(P)V(DG(P)) = P ; pipj∈A(DG(P)) si pi y pj son vecinos en Vor(P)







arista de Vor(P) arista de DG(P)Vértice de Vor(P) Región acotada de DG(P)







arista de Vor(P) arista de DG(P)Vértice de Vor(P) Región acotada de DG(P)

DG(P) es un pslg (planar straight line graph)







P en posición general DG(P) es una triangulación

Triangulación de Delaunay(es única si P están en posición general)







Si P tiene más de tres puntos cocirculares

Podemos obtener una triangulación legal añadiendo aristas a DG(P)








Un punto q es vértice de Vor(P) si y sólo si el círculo máximo vacío centrado en q contiene tres o (en el caso de tratarse de un diagrama degenerado) más generadores en su frontera

Los vértices de un triángulo de la triangulación de Delaunay definen un círculo que no contiene a ningún otro generador del diagrama.






Proposición 1.

P={p1,p2,...,pn} puntos en el plano.

pipjpk es un triángulo de Delaunay si y sólo si C(pi,pj,pk) no contiene a ningún punto de P en su interior.








La mediatriz entre dos generadores define un borde de Vor(P) si y sólo si existe un punto q sobre dicha mediatriz tal que el círculo máximo vacío centrado en q contiene solamente a estos dos generadores en su frontera.

Para cada arista de un triángulo de Delaunay existe un círculo pasando por sus extremos que no contiene a ningún otro generador del diagrama.






Proposición 2.

P={p1,p2,...,pn} puntos en el plano.

pipj es una arista de Delaunay si y sólo si existe un círculo a través de pipj que no contiene a ningún punto de P en su interior.







Sea P={p1,p2,...,pn} una nube de puntos en el plano y T una triangulación de P:

T legal T es de DelaunayT equilatera T es de Delaunay

Si P={p1,p2,...,pn} están en posición general:

T equilatera T es de Delaunay








Algoritmo para obtener una (la) triangulación de Delaunay:

Encontrar una triangulación T cualquiera de P

Input: Una nube de puntos P={p1, …, pn}

Output: Una triangulación de Delaunay de P

Mientras en T haya alguna arista ilegal e = pipj, realizar flip en la arista e







Algoritmo de flips (Sibson, 1978) O(n2)Transforma una triangulación arbitraria en la de Delaunay realizando flips en triángulos adyacentes y decidiendo por el criterio del circunciclo.

Divide y vencerás (Guibas y Stolfi, 1985) O(nlog n)

Algoritmo del barrido plano (Fortune, 1987) O(nlog n)

Algoritmo incremental de inserción aleatoria (Guibas, Knuth y Sharir, 1992)

O(n2) O(nlog n) esperadoComienza con un triángulo ficticio e inserta aleatoriamente los puntos en la triangulación. Se generaliza a R3.

Algoritmos de triangulación equilátera






Algoritmo incremental







pj

pi

pk

pr







Las diagonales que se crean al insertar un punto son siempre legales.

pj

pi

pk

pr







Pero después de insertar el punto una arista legal puede dejar de serlo.

Hay que comprobar el critero del circunciclo en los nuevos triángulos y hacer un flip cuando tengamos aristas ilegales.







Pero después de insertar el punto una diagonal legal puede dejar de serlo.








Pero después de insertar el punto una arista legal puede dejar de serlo.








pj

pi

pk

pr

Pero después de insertar el punto (o hacer un flip), una arista legal puede dejar de serlo.






Algoritmo incrementalAlgoritmo DelaunayTriangulation(P)

Entrada: Un conjunto P={p1,…,pn} de puntos en el planoSalida: Una triangulación de Delaunay de P

Sean p0,p-1 y p-2 tres puntos de forma que P ⊂ p0p-1p-2 ;

Inicializar T con los lados del triángulo p0p-1p-2 ;for r = 1 to n

encontrar el triángulo t1= pipjpk ∈T que contiene a pr ;if (pr está en el interior de t1)

thenañadir a T los lados pipr, pjpr y pkpr;LegalizaLado(pipj,pr,T) ;LegalizaLado(pjpk,pr,T) ;LegalizaLado(pkpi,pr,T) ;

else (pr está en un lado de t1, por ejemplo en pipj)

añadir a T los lados prpi, prpj, prpk y prpl y quitar pipj ;encontrar el triángulo t2= pipjpl ∈T adosado a t1 ;

LegalizaLado(pipl,pr,T) ;LegalizaLado(plpj,pr,T) ;LegalizaLado(pjpk,pr,T) ;LegalizaLado(pkpi,pr,T) ;

quitar de T los lados adyacentes a p0, p-1 y p-2 ;return T;

pi

pj

pk

pr

pi

pjpl

pk

pr







LegalizaLado(pipj,pr,T)(* pr es el punto añadido y pipj el lado a “corregir” *)

Sea pipjpk el triángulo de T adyacente a pipjpr;

if (pipj es ilegal) (* pk está contenido en C(pi,pj,pr) *)

then

Sustituir en T el lado pipj por prpk ; (* flip pipj *)

LegalizaLado(pipk,pr,T) ;

LegalizaLado(pkpj,pr,T) ;

pi

pjpk

pr







Las aristas creadas por DelaunayTriangulation(P) son legales en la triangulación parcial

Cada flip de LegalizaLado convierte una arista ilegal en legal de la triangulación parcial

prpi

pj

pk









pi

pj

pk

pr









Las triangulaciones de Delaunay de una nube de puntos tienen un número lineal de aristas y triángulos.

Tras el proceso:

No quedan aristas ilegales

No se produce un bucle infinito

Obtenemos la triangulación de Delaunay







Bibliografía

Computational Geometry: Algorithms and Applications. M. de Berg et al. Springer-Verlag, 1997.

Computational Geometry in C.J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.






Ejercicios1. El grafo de Gabriel de un conjunto S de puntos en el plano se define como sigue: dos puntos p y q están unidos mediante una arista del grafo de Gabriel si y sólo si el círculo de diámetro pq no contiene ningún otro punto de S.

a) Probar que el grafo de Gabriel de S está contenido en la triangulación de Delaunay de S.

b) Probar que p y q son adyacentes en el grafo de Gabriel de S si y sólo si la arista de Delaunay que une p y q corta su arista de Voronoi dual.

c) Dar un algoritmo O(nlogn) que calcule el grafo de Gabriel de un conjunto de n puntos.

2. Sea S un conjunto de n puntos. Una triangulación greedy de S se obtiene ordenando por su longitud todas las posibles aristas entre puntos de de S y añadiéndolas a la triangulación de menor a mayor, siempre y cuando la nueva arista no corte a ninguna que se haya añadido anteriormente.

a) Estudiar los tiempos de ejecución asociados a casa paso en la construcción de una triangulación greedy, así como orden de ejecución del algoritmo.

b) Dados los siguientes enunciados probar si son ciertos o dar un contraejemplo si son falsos (donde d(x,y) representa la distancia euclídea entre dos puntos x e y):

i. Supongamos que estamos en un paso intermedio de la construcción de la triangulación, y tenemos ya dos triángulos abc y bcd (que comparten la arista bc) sin puntos en su interior, formando un cuadrilátero convexo, entonces d(b,c) ≤ d(a,d).

ii.Consideramos dos puntos p y q de S y sea C el círculo centrado en el punto medio entre p y q y de diámetro d(p,q). El segmento pq divide a C en dos semicírculos. Si ambos semicírculos contienen al menos un punto de S, entonces pq no puede formar parte de la triangulación greedy de S.

c) Dar un conjunto cuyas triangulaciones greedy y Delaunay sean distintas.

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