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TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
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TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO:
1- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CÁLCULO DEL
MONTANTE Y DE LOS INTERESES
1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN
2- DIFERENCIAS ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE
3- TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO
4- CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA
5- DESCUENTO COMPUESTO
5.1- EL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO O MATEMÁTICO
6- EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
7- SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO ÚNICO
8- VENCIMIENTO COMÚN
9- VENCIMIENTO MEDIO
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1- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Como ya vimos en los temas anteriores, la capitalización es una operación financiera:
- que tiene por objeto la constitución de un capital en un momento futuro del tiempo a
partir de uno dado,
- o bien a la que nos permite la obtención de un capital financiero equivalente con
vencimiento posterior a otro con vencimiento presente,
- o aquella que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento presente por
otro con vencimiento posterior
Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen compuesto,
decimos entonces que se trata de la capitalización compuesta.
Este régimen financiero es propio de operaciones a largo plazo, es decir, de duración
superior a un año.
CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
La principal característica de la capitalización compuesta es que los intereses son
productivos, es decir:
- a medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos
intereses en los períodos siguientes.
- los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de
dicho período, y no el capital inicial. La cuantía de los intereses será cada vez mayor,
ya que el capital incorpora los intereses de los periodos anteriores.
1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CÁLCULO DEL MONTANTE Y DE LOS INTERESES
Partiendo de un capital del que se dispone inicialmente (Co), se trata de determinar la
cuantía final o montante (Cn) y el importe de los intereses (I) que se obtendrá en el
futuro, conociendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo (n) y tipo
de interés (i)).
El capital final o montante (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial
(Co) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van
acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n).
Cn = Co + I
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Para calcular los intereses tenemos que tener en cuenta que éstos no se calculan
siempre sobre el capital inicial, sino que los intereses de cada periodo se calculan a
partir del capital existente al inicio del mismo:
I1 = C0·i
I2 = C1·i
…
It = Ct-1·it
Si suponemos que el tipo de interés (i) es constante, la evolución del montante
conseguido en cada momento es la siguiente:
Momento 0: Co
Momento 1: C1 = Co + I1 = Co + Co·i = C0·(1 + i)
Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1·(1 + i) = Co·(1 + i)·(1 + i) = Co·(1 + i)2
Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2·i = C2·(1 + i) = C o·(1 + i)2
· (1 + i) = Co·(1 + i)3
…
Momento n: Cn = Cn-1 + In = Cn-1 + Cn-1·i = Cn-1·(1+i) = Co·(1+i)n-1
·(1+i) = Co·(1+i)n
Cn = Co · (1+i)n
Esta última es la expresión que permite calcular el montante en capitalización
compuesta, conocidos el capital inicial, el tipo de interés y la duración de la operación.
Al término (1 + i)n se le denomina “factor de capitalización compuesto”, y permite
calcular el valor de un capital inicial en cualquier momento futuro del tiempo utilizando
la ley de capitalización compuesta. Se utiliza para trasladar capitales de un momento
dado a otro posterior.
Gráficamente:
Aquí se puede ver como I1 < I2 < I3 <… < In
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CASO PRÁCTICO 1:
El Sr. Sancho deposita en un banco 10.000€, a plazo fijo durante tres años a un interés
compuesto del 4% anual. Calcula el montante que recibirá una vez que acaba dicha
operación 11.248'64€
Una vez conocidos el capital inicial y el final, podemos calcular los intereses
generados en la operación mediante la diferencia de ambas cuantías
I = Cn – Co
I = Cn – Co = Co·(1+i)n
– Co = Co [(1+i)n – 1]
I = Co [(1+i)n – 1]
(Nota: es mucho más sencillo si en vez de aprenderte ésta fórmula de los intereses
calculas Cn y luego le restas Co)
CASO PRÁCTICO 2:
Determina la cantidad que obtiene de intereses el Sr. Sancho con la inversión del caso
práctico anterior 1.248'64€
CASO PRÁCTICO 3:
Determina la cantidad que tendrá que ingresar el Sr. Blasco en concepto de intereses
por un préstamo de 100.000€ dentro de cuatro años en un banco, si el tipo de interés
compuesto anual pactado es del 4'5% 19.251'86€
EJERCICIOS: 1, 2, 3, 4, 5 y 6
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1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL (Co)
A partir de la fórmula principal Cn = Co·(1+i)n , despejamos Co
n
niCn
i
CnCo
)1(
1
También lo podemos calcular de una forma más sencilla si conocemos la cuantía de los
intereses y del montante:
Co = Cn - I
CASO PRÁCTICO 4:
¿Cuál fue el capital invertido durante un cierto periodo de tiempo que generó unos
intereses de 498€ y un montante de 7.747'25€? 7.249'25€
CASO PRÁCTICO 5:
Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4% anual compuesto durante
cinco años, produjo un montante de 100.000€ 82.192'71
EJERCICIOS: 7 y 8
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*** REPASO DE MATEMÁTICAS***
a) Cómo despejar una incógnita cuando tiene un exponente
nnn aaxax
1
Ejemplo: 288 3
1
3 xx
11)1(
11
nnn axaxax
Ejemplo: 21312727127)1( 3
1
3
1
3 xxx
b) Cómo despejar una incógnita que está en el exponente
En este caso hay que utilizar los logaritmos
DEFINICIÓN DE LOGARITMO
logab = x El logaritmo en base “a” de “b” es “x”
ax = b Si elevamos “a” a “x”, el resultado es “b”
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1) log (a·b) = log a + log b
2) log
b
a= log a – log b
3) log ab = b·log a
DESPEJAR LA INCÓGNITA
a
bxbaxbaba XX
log
logloglogloglog
Ejemplo: 32log
8log8log2log8log2log82 xxXX
)1log(
loglog)1log(log)1log()1(
a
bxbaxbaba XX
)1log(
log
log)1log(log)1log()1()1(a
c
b
xc
bax
c
ba
c
babac XXX
Ejemplo:
)05'1log(
3log3log)05'1log(
2
6)05'1(6)05'01(2 xXXX
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1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
A partir de la fórmula principal: Cn = Co·(1+i)n, despejamos i
iCo
Cni
Co
Cni
Co
Cn nnn
1)1()1(
11
1
1
n
Co
Cni
CASO PRÁCTICO 6:
Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 90.000€ durante cuatro años, si se
convirtieron en 107.327€ 4'5%
EJERCICIOS: 9, 10 y 11
1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN
A partir de la fórmula principal: Cn = Co·(1+i)n, despejamos n
)1log(
loglog
)1log(
log
)1log(log)1log(log)1(i
CoCn
i
Co
Cn
ninCo
Cni
Co
Cni
Co
Cn nn
)1log(
loglog
)1log(
log
i
CoCn
i
Co
Cn
n
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CASO PRÁCTICO 7:
¿Cuántos años han pasado desde que en una entidad financiera se depositaron 500.000€,
al 5% anual compuesto, si hoy se reciben 670.047'80€ 6 años
CASO PRÁCTICO 8:
Calcula el tiempo necesario para que un capital de 5.000€ colocado a un tipo de interés
compuesto del 4% se duplique 17'6729 = 17 años, 8 meses y 2 días
EJERCICIOS: 12, 13 y 14
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2- DIFERENCIAS ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE
Según hemos visto:
En capitalización compuesta: Cn = Co·(1+i)n
En capitalización simple: Cn = Co·(1+i·n)
Estas dos expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización:
(1+i)n
para la capitalización compuesta
(1+i·n) para la capitalización simple
Para comparar la capitalización compuesta y la simple vamos a dar valores a dichos
factores de capitalización
Si n = 0 → Cn simple = Cn compuesta
Si n = 1 → Cn simple = Cn compuesta
Si 0 < n < 1 → Cn simple > Cn compuesta
Si n> 1 → Cn simple < Cn compuesta
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CASO PRÁCTICO 9:
Calcula el capital final en capitalización compuesta y en capitalización simple de
100.000€ colocados a un tipo de interés del 5% anual:
a) Si el periodo de capitalización es de seis meses (0'5 años) C.C = 102.469'51 y C.S = 102.500
b) Si el periodo de capitalización es de un año C.C = 105.000 y C.S = 105.000
c) Si el periodo de capitalización es de 5 años C.C = 127.628'16 y C.S = 125.000
EJERCICIO: 15
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3- TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO
En los cálculos realizados hasta ahora, hemos supuesto que los periodos de tiempo eran
anuales. Sin embargo, los periodos no tienen por que ser siempre anuales
La capitalización compuesta se suele utilizar para operaciones con una duración
superior al año. Ahora bien, los intereses, se suelen liquidar en periodos de tiempo
inferiores. Es decir, puede ser que una operación tenga una duración de un año, pero los
intereses se paguen mensualmente
En las fórmulas, el tipo de interés y el periodo de tiempo en el que se liquidan los
intereses han de estar referidos a periodos homogéneos, es decir, expresados en la
misma unidad temporal.
Por ejemplo, si los intereses se liquidan de forma mensual, el tipo de interés debe ser
mensual
Lo habitual, es que:
- el tipo o tanto de interés se exprese de forma anual,
- el periodo de liquidación de los intereses se mida en días, meses, trimestres o
semestres.
Así pues, si la unidad temporal del tipo de interés y del tiempo en el que se liquidan los
intereses es diferente, tendremos que homogeneizarla.
Para homogeneizar ambas variables, tenemos que tener en cuenta que en las
operaciones de interés compuesto realizadas con las entidades financieras, suelen
aparecer tres tipos de interés de referencia:
a) el tipo de interés fraccionado: im
b) el tipo de interés efectivo o tasa anual equivalente (TAE): i
c) el tipo de interés nominal: j(m)
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Recordemos los periodos en los que se puede dividir el año:
Periodos Frecuencia de fraccionamiento (m)
Años 1
Semestres 2
Cuatrimestres 3
Trimestres 4
Meses 12
Semanas 52
Días (año natural) 365
Días (año comercial) 360
A) EL INTERÉS FRACCIONADO: im
Es el tipo de interés referido a una fracción de año
Ejemplos:
a) tipo de interés del 2% trimestral → i4 = 2%
b) tipo de interés del 1% mensual → i12 = 1%
B- EL INTERÉS EFECTIVO O TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE)
El interés efectivo o TAE, es el tipo de interés i realmente abonado o cargado en las
operaciones financieras en un año
En capitalización simple vimos que el 1% mensual era lo mismo que el 12% anual, o
que el 4% semestral era igual al 8% anual. Sin embargo, esa relación no se cumple en la
capitalización compuesta.
Veamos la relación que debe existir entre un tipo de interés anual y otro fraccionado
para que sean equivalentes:
Dos tantos son equivalentes si aplicados a un mismo capital durante el mismo periodo
de tiempo, producen idéntico montante, aunque se refieran a periodos diferentes de
capitalización.
El montante (Cn) de 1€ al tipo i, al cabo de un año, será:
Cn = 1 · (1 + i)1 = (1 + i)
El montante Cn de 1€ al tipo im, al cabo de un año, será:
Cn = 1 · (1+ im)m
= (1+ im)m
Si el tanto im es equivalente al tanto i, ambas expresiones han de coincidir, luego:
(1 + i) = (1+ im)m
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A partir de esta expresión podemos ver la relación que debe existir entre i e im para que
sean equivalentes
a) Tipo de interés efectivo anual o TAE a partir de im
i = (1 + im)m
– 1..
b) Tipo de interés fraccionado a partir del interés efectivo o TAE
1)1(
1
mm ii .
Ejemplos:
a) Calcula el interés efectivo equivalente al 2% trimestral
%24'808243216'01)02'01( 4 i
b) Calcula el tipo de interés semestral equivalente al 6% efectivo anual
%96'2029563014'01)06'01( 2
1
2 i
CASO PRÁCTICO 10:
Si el tipo de interés es el 10% anual, calcula:
a) El tipo de interés mensual equivalente 0'00797414 = 0'797414%
b) El tipo de interés trimestral equivalente 0'02411368 = 2'411368%
c) El tipo de interés diario equivalente (año natural) 0'00026115 = 0'026115%
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CASO PRÁCTICO 11:
Si el tipo de interés es el 1'5% mensual, calcula el tipo de interés anual equivalente 0'19561817 = 19'561817%
CASO PRÁCTICO 12:
Si el tipo de interés es el 5% semestral, calcula el tipo de interés anual equivalente 0'1025 = 10'25%
EJERCICIOS: 16, 17, 18, 19 y 20
C) EL INTERÉS NOMINAL: j(m)
El tipo de interés nominal j(m), es un “invento o truco bancario” para que parezca que
el tipo de interés que nos van a cobrar es menor de lo que realmente es, y así
aprovecharse de las personas que no tienen conocimientos sobre esta materia, que
pensarán que tienen que pagar menos intereses de los que van a pagar realmente
Ejemplos:
a) tipo de interés nominal del 12% anual pagadero mensualmente → j(12) = 0’12
b) 8% nominal anual pagadero trimestralmente → j(4) = 0’08
c) 6% nominal anual pagadero diariamente → j(365) = 0’06
RELACIÓN ENTRE EL TIPO DE INTERÉS NOMINAL Y EL FRACCIONADO
El interés nominal, j(m), se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés de un
periodo fraccionado im
j(m) = m · im .
Conociendo j(m), podemos calcular el interés fraccionado im que le corresponde
m
mjim
)(
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Ejemplos:
a) 12% nominal anual pagadero mensualmente → 01'012
12'0
12
)12(12
ji
b) 8% nominal anual pagadero trimestralmente → 02'04
08'0
4
)4(4
ji
c) i = 6% nominal pagadero diariamente → 360
06'0
360
)360(360
ji
Al decir que el tipo es nominal, automáticamente se asocia a un periodo anual
CASO PRÁCTICO 13:
Si el tipo de interés nominal pagadero mensualmente es del 6%, calcula el tipo de
interés mensual 0'005 = 0'5%
CASO PRÁCTICO 14:
Si el tipo de interés es el 10% nominal pagadero trimestralmente, calcula el tipo de
interés trimestral 0'025 = 2'5%
CASO PRÁCTICO 15:
Si el tipo de interés diario es el 0'075%, calcula el tipo de interés nominal pagadero
diariamente 0'27375 = 27'375%
CASO PRÁCTICO 16:
Si el tipo de interés semestral es el 3%, calcula el tipo de interés nominal pagadero
semestralmente 0'06 = 6%
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RELACIÓN ENTRE EL TIPO NOMINAL j(m) Y EL EFECTIVO O TAE (i)
En las operaciones bancarias (préstamos, plazos fijos,...) es muy frecuente que el tipo de
interés expresado sea el nominal.
Si queremos calcular el interés efectivo a partir del nominal:
- tenemos que calcular primero el interés fraccionado im → m
mjim
)(
- una vez que tenemos el interés fraccionado im, podemos calcular el efectivo:
i = (1 + im)m
– 1..
Ejemplo:
Calcula el interés efectivo o TAE que corresponde a un tipo de interés nominal del 12%
pagadero mensualmente
%68'121268'01)01'01(
01'012
12'0
12
12
i
i
El TAE o interés efectivo (i) es el tipo de interés que debemos conocer para comparar
diferentes operaciones financieras con distintos periodos de capitalización
TAE (i) > NOMINAL j(m)
CASO PRÁCTICO 17:
Si el tipo de interés nominal pagadero mensualmente es del 8%, calcula el tipo de
interés efectivo o TAE 0'0829995 = 8'29995%
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CASO PRÁCTICO 18:
Si el tipo de interés es el 10% nominal pagadero trimestralmente, calcula el tipo de
interés efectivo o TAE 0'10381289 = 10'381289%
EJERCICIOS: 21, 22, 23, 24, 25 y 26
EJERCICIOS: 27 y 28
4- CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA
Se entiende por capitalización fraccionada aquella operación financiera en la que el
periodo de capitalización de los intereses no es anual (puede ser mensual, trimestral,
diaria, etc)
En este caso, hemos de trabajar con un tipo de interés referido al periodo de
capitalización (tanto fraccionado im)
Por ejemplo, si el periodo de capitalización es semestral, el tipo de interés será
semestral, y el tiempo estará expresado en semestres
La fórmula del capital final o montante para la capitalización fraccionada es:
n
miCoCn )1(
Siendo n el tiempo total de la operación, expresado en la misma unidad que el tanto
fraccionado
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CASO PRÁCTICO 19:
Calcula el montante que se obtiene al invertir 300.000€ al 5% de interés compuesto
anual durante tres años y seis meses 355.863'79€
CASO PRÁCTICO 20:
Calcula el montante que se obtiene al invertir 25.000€ si el tipo de interés es el 6%
nominal capitalizable trimestralmente, y la duración de la operación son 7 trimestres 27.746'12€ - primero calculamos i4 = 0'015
CASO PRÁCTICO 21:
Calcula el montante de 5.230€ si el tipo de interés es el 10% nominal capitalizable
diariamente, y la duración de la operación son 90 días 5.360'54€
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CASO PRÁCTICO 22:
Halla el montante obtenido al invertir 400.000€ al 6% anual capitalizable mensualmente
si la operación dura 4 años 508.195’66
HACER EJERCICIOS: 29, 30, 31, 32, 33 y 34
HACER EJERCICIOS: 35, 36, 37 y 38
5- DESCUENTO COMPUESTO
Se denomina descuento a la operación financiera:
- que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento futuro por otro con
vencimiento presente
- o bien a la que nos permite obtener, a partir de un capital dado, un capital financiero
equivalente con vencimiento anterior
Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen
compuesto, decimos entonces que se trata del descuento compuesto.
Es la operación inversa a la capitalización compuesta
Existen dos tipos de descuentos compuestos:
- el racional (Dr)
- el comercial (Dc)
Nosotros vamos a estudiar únicamente el descuento racional compuesto
El descuento es la diferencia entre el capital final o nominal y el capital inicial o
efectivo
D = Cn - Co
TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
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5.1- EL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO O MATEMÁTICO
El descuento racional es la cuantía de los intereses que genera el valor efectivo (Co)
durante el tiempo que se adelanta el cobro del nominal o capital final.
La cuantía del descuento racional se calcula sobre el efectivo Co
A) CÁLCULO DE Co
Co se puede calcular a partir de la fórmula de la capitalización compuesta
niCoCn )1( →
n
niCn
i
CnCo
)1(
1
También se puede calcular a partir de la siguiente diferencia:
Co = Cn - Dr
CASO PRÁCTICO 23:
¿Cuál será el efectivo que se recibirá por el descuento racional de un efecto de 147.250€
que vence dentro de 30 días? El tipo aplicado es el 7% anual compuesto. Año natural Co = 146.433'42
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CASO PRÁCTICO 24:
¿Cuál será el efectivo que se recibirá por el descuento racional de un efecto de 42.500€
que vence dentro de 4 meses? El tipo aplicado es el 8% nominal capitalizable
mensualmente Co = 41.385'31
HACER EJERCICIOS: 39, 40, 41 y 42
B) CÁLCULO DE Dr
- Si conocemos Cn y Co
Dr = Cn – Co
CASO PRÁCTICO 25:
Si por un pagaré de 7.500€ de nominal nos han entregado en el banco 7.150€, ¿a cuanto
asciende el importe del descuento realizado por el banco? Dr = 350 €
- Si conocemos Co, n e i:
11)1( nn iCoCoiCoCoCnDr
(Nota: esta fórmula es muy complicada, así que es mejor calcular Cn, y después,
mediante su diferencia entre Cn y Co, calcular el importe del descuento D)
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CASO PRÁCTICO 26:
Calcula el descuento racional de un efecto por el que nos entregaron un efectivo de
8.754'20€, sabiendo que se aplicó un tipo del 4% compuesto anual, y que el mismo
vencía dentro de 72 días. Año natural Cn = 8.822'19 y Dr = 67'99 €
- Si conocemos Cn, n e i:
n
nn
n
niCn
iCn
i
iCn
i
CnCnCoCnDr
)1(1
)1(
11
)1(
11
)1(
(Nota: esta fórmula es muy complicada, así que es mejor calcular Co, y después,
mediante su diferencia entre Cn y Co, calcular el importe del descuento D)
TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
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CASO PRÁCTICO 27:
Calcula el descuento racional de un efecto de 6.000€ de nominal, sabiendo que en la
operación se aplica un tipo del 8% compuesto anual, y que el mismo vence dentro de 3
meses Co = 5.885'66 y Dr = 114'34 €
EJERCICIOS: 43, 44 y 45
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6- EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Cuando el valor actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales,
diremos que son financieramente equivalentes
Dos capitales C1 y C2, con vencimientos en n1 y n2 respectivamente, serán equivalentes
si el valor actual de ambos coincide, es decir, si:
21 )1()1(
21
nni
C
i
C
Para averiguar la equivalencia financiera utilizaremos el descuento racional o
matemático
CASO PRÁCTICO 28:
Una empresa desea aplazar un pago de 6.500€ que tiene que realizar dentro de un mes.
Para ello negocia con el proveedor y pactan que el pago lo hará dentro de 3 meses.
¿Cuál será el importe a pagar en ese momento suponiendo que el tipo de interés es del
4'5%? C = 6.547'86€
Una característica importante de la capitalización compuesta es que ahora podemos
calcular la equivalencia en el momento del tiempo que queramos
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CASO PRÁCTICO 29:
Vuelve a realizar el caso práctico anterior, pero ahora calcula la equivalencia en el
momento t = 1 mes C = 6.547'86€
CASO PRÁCTICO 30:
Vuelve a realizar el caso práctico anterior, pero ahora calcula la equivalencia en el
momento t = 3 meses C = 6.547'86€
EJERCICIOS: 46 y 47
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7- SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO ÚNICO
Dados los capitales C1, C2,.., Ck, con vencimiento en n1, n2,..., nk, se pueden sustituir por
un único capital Cn con vencimiento en n siempre que exista una equivalencia
financiera
Tenemos que aplicar la “ecuación de la equivalencia financiera”:
Valor actual de la opción 1 = Valor actual de la opción 2
kn
k
nnni
C
i
C
i
C
i
Cn
)1(...
)1()1(1 21
21
Abreviando:
sn
s
ni
C
i
Cn
)1(1
Para calcular Cn:
sn
sn
i
CiCn
)1(1
CASO PRÁCTICO 31:
Una sociedad tiene tres capitales de 30.000, 40.000 y 60.000 euros, con vencimiento a
los dos, tres y cuatro años respectivamente, y desea sustituirlos por un único capital con
vencimiento a los cinco años. ¿Cuál será el importe del mismo si el tipo de interés
aplicado es del 5% compuesto anual? C = 141.828’75€
EJERCICIOS: 48, 49 y 50
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8- VENCIMIENTO COMÚN
El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del
conjunto de capitales por uno único
Para calcular el vencimiento común tenemos que despejar n de la fórmula del apartado
anterior:
sn
sn
i
CiCn
)1(1
n
n
s
i
i
C
Cn
s
1
)1(
n
n
s
i
i
C
Cn
s
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(Esta fórmula no me la se ni yo. Lo mejor es razonar todos los pasos y despejar la ecuación que queda al
final. Si en vez de letras tenemos números es más sencillo)
Es más fácil de calcular de lo que parece, para ello tenemos que aplicar la ecuación de la
equivalencia financiera, pero esta vez la incógnita es “n”
Valor actual de la opción 1 = Valor actual de la opción 2 → despejar “n”
TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
28
CASO PRÁCTICO 32:
Calcula el vencimiento común de tres capitales de 3.000.000, 5.000.000 y 7.000.000 de
euros, con vencimiento a los tres, cuatro y cinco años respectivamente, si se desea
sustituirlos por uno único de 17.000.000€, aplicando un 4% anual en capitalización
compuesta Solución: 7 años, 5 meses y 11 días
TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
29
9- VENCIMIENTO MEDIO
El vencimiento medio es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del
conjunto de capitales por uno único, que coincide con la suma del nominal de todos los
anteriores
Sh cCCCCn ...21
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C
C
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s
s
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CASO PRÁCTICO 33:
¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de 100.000, 200.000 y 300.000€, con
vencimiento a tres, cuatro y cinco años respectivamente, aplicando un 4’5% en
capitalización compuesta Solución: 4 años, 3 meses y 26 días
TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA
30
CASO PRÁCTICO 34:
¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de 47.500, 21.250 y 42.300€ , con
vencimiento dentro de 15, 21 y 24 meses respectivamente, sabiendo que se aplica una
TAE del 8’244%? Solución: 19’5 meses o 1 año, 7 meses y 15 días
HACER EJERCICIOS: 51, 52, 53 y 54