tema 7: polarización Índice

Campos ElectromagnéticosCurso 2010/2011

Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III

Tema 7: Polarización1

Tema 7: Polarización

Campos Electromagnéticos




Índice

Introducción

Vector polarización

Vector desplazamiento

Leyes constitutivas

Energía en presencia de dieléctricos

Fuerzas sobre dieléctricos




Introducción

Conductores: poseen una cantidad apreciable de carga libre

Dieléctricos: todas las cargas se encuentran ligadas a algún átomo o molécula Ejemplos: madera, plásticos, granito...

Entonces ¿Cómo reacciona un dieléctrico ante un campo externo? Las cargas en las moléculas o átomos sufre

desplazamientos microscópicos




Dipolos inducidos

Un átomo posee un núcleo positivo y una nube de electrones con carga negativa

El núcleo se ve desplazado en el sentido del campo y los electrones en sentido contrario:

El átomo se encuentra polarizado

Momento dipolar inducido: Para campos extremos la relación pasa a ser no lineal

e incluso el átomo puede ionizarse

Polarizabilidad




Alineamiento de moléculas polares

Algunas moléculas presentan un momento dipolar no nulo en ausencia de un campo eléctrico externo Ejemplo: molécula de agua

Ante un campo eléctrico externo estas moléculas polares tienden a girar, de forma que su momento dipolar quede paralelo al campo

Moléculas polares




Polarización

Materiales con átomos o moléculas no polares: Aparecerá en cada átomo un momento dipolar paralelo

al campo eléctrico Materiales con moléculas polares:

Cada molécula experimenta un momento de fuerzas que tiende a alinearla con el campo

La alineación no es perfecta debido al efecto de agitación térmica

En ambos casos tenemos un dieléctrico polarizado: muchos pequeños dipolos orientados paralelos al campo

eléctrico aplicado




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Introducción



Leyes constitutivas







Vamos a estudiar el campo que crea un dieléctrico polarizado No analizamos la causa de la polarización

Cada molécula presenta un momento dipolar:

Desde el punto de vista macroscópico definimos el vector polarización: Densidad de momento dipolar por unidad de volumen




Campo creado por un material polarizado

Sea un material polarizado:

Suponiendo que conocemos el vectorpolarización. ¿qué campo eléctrico crea?

Idea: el campo será la superposición de los campos de todos los dipolos que contiene el material Potencial de un dipolo en el origen de coordenadas:

Si esta situado en un punto cualquiera:





Momento dipolar de un diferencial de volumen del material:

Potencial que crea este dif. de volumen:

Integrando en todo el volumen del material polarizado:





El potencial del material polarizado puede escribirse de otra manera

Usando:

Tenemos para el integrando que:





Y el potencial queda:

Y aplicando el Teorema de la divergencia:

: Volumen del dieléctrico polarizado

: Superficie que envuelve al dieléctrico polarizado




Cargas de polarización

Potencial creado por unas densidades de carga volumétrica y superficial conocidas:

Por analogía entre ambas expresiones definimos:

Carga volumétrica de polarización

Carga superficial de polarización




Cargas de polarización

Para calcular el campo eléctrico creado por el dieléctrico polarizado puedo sustituir el dieléctrico por sus cargas de polarización Se convierte en un problema de electrostática (tema 3) Esto requiere conocer el vector polarización

Preguntas sobre las cargas de polarización: ¿Se trata de cargas reales o solamente son una

herramienta matemática? Si son reales, ¿Cómo es posible que “aparezca” carga

en un cuerpo que inicialmente era neutro?




Realidad física de las cargas de polarización

Material polarizado uniformemente: Las capas de dipolos adyacentes a las superficies

crean distribuciones de carga superficial:




Realidad física de las cargas de polarización

Polarización no uniforme No hay compensación entre las capas positivas de una

capa y las negativas de la siguiente carga neta en volumen

Las cargas de polarización son cargas reales




Carga total de polarización

La carga total es la suma de la carga de polarización en la superficie y en el volumen del material:

Teorema de la divergencia

La carga total de un dieléctico polarizado es nula(salvo que se deposite carga libre)




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Introducción



Leyes constitutivas







Hemos calculado el campo debido al dieléctrico polarizado: cargas de polarización

El campo eléctrico total es el producido por las cargas de polarización y las cargas libres (todas las demás) y cumple la Ley de Gauss:

Desplazamiento eléctrico ó vector desplazamiento

con:





La Ley de Gauss puede escribirse en términos del vector desplazamiento:

Se trata de un campo auxiliar: no medible

Unidades: C/m2 (las mismas que )

Sus fuentes escalares son solamente las cargas libres

Condición de salto:

Forma diferencial Forma integral




Fuentes vectoriales del vector desplazamiento

Un campo vectorial viene dado por sus fuentes escalares y vectoriales

A partir de la definición:

Tenemos:

La polarización aparece en las fuentes vectoriales del vector desplazamiento

(Electrostática)




Utilidad del vector desplazamiento

El paralelismo entre y es un poco engañoso:

No puede decirse que el vector desplazamiento sea equivalente al campo eléctrico que se obtiene considerando sólo las cargas libres

Sin embargo en situaciones de alta simetría se cumple: y se puede calcular el vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss:




Ejemplo

Condensador plano relleno de dieléctrico

Por la simetría plana

Aplicando Ley de Gauss:




Ejemplo

Hilo infinito de carga rodeado de cilindro dieléctrico Determino en función de las cargas libres:

Si conociera podría calcular usando: PERO NORMALMENTE: necesitamos

conocer esa relación (ecuación constitutiva del medio)




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Introducción



Leyes constitutivas






Leyes constitutivas

Un material se polariza como consecuencia de la existencia de un campo eléctrico

En muchas sustancias la polarización es proporcional al campo eléctrico:

: susceptibilidad eléctrica (adimensional) En el vacío: es el campo eléctrico total (debido a las cargas libres

y las de polarización), no el campo externo aplicado

Material lineal, isótropo y homogéneo




Medios lineales

Homogéneo: la susceptibilidad no depende de la posición

Isótropo: la susceptibilidad es un escalar (no un tensor)

Lineal: la polarización es proporcional al campo Es cierto para campos de valor moderado Otros medios no cumplen esto:

Materiales ferroeléctricos: la polarización depende de la historia del material

Electretes: presentan polarización en ausencia de campo eléctrico externo




Medios lineales

Relación entre la polarización y el campo eléctrico:

Definimos: Permitividad del material: ;(F/m) Permitividad relativa:

Entonces: y:




Valores de permitividad relativa




Ejemplo

Condensador plano relleno de un dieléctrico lineal

La capacidad es veces mayor que cuando el condensador está relleno de aire

Teníamos:




Ejemplo

Condensador plano: cargas de polarización

En general, para dieléctricos lineales:




Condensador con y sin relleno dieléctrico

Para la misma carga libre en las placas, la caída de potencial es más pequeña cuando está relleno de dieléctrico: Porque el campo eléctrico es menor, debido a que

queda en parte contrarrestado por las cargas de polarización

Para la misma diferencia de potencial, la carga libre acumulada es mayor con dieléctrico: Ya que para tener el mismo campo eléctrico entre

placas es preciso que en el caso con dieléctrico exista mayor cantidad de carga libre, para contrarrestar el efecto de las cargas de polarización




Ejemplo

Condensador plano parcialmente relleno de dieléctrico

Aplicando Ley de Gauss:

Capacidad de dos condensadores en serie




Ejemplo

Condensador plano parcialmente relleno de dieléctricoEn las dos regiones ha de cumplirse:

Capacidad de dos condensadores en paralelo




Ejemplo

Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica

Simetría:

Ley de Gauss:




Ejemplo

Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica: cargas de polarización

Ejercicio: comprobar que la carga total de polarización es nula

dentro del dieléctrico:

(dieléctrico lineal)




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Introducción



Leyes constitutivas







Ya conocemos la expresión:

Representa el trabajo necesario para llevar todas las cargas desde el infinito a su posición final

En presencia de dieléctricos lineales es más conveniente esta expresión:

Representa el trabajo necesario para llevar las cargas libres desde el infinito a su posición final en presencia del medio dieléctrico




Energía de un condensador plano

Para un condensador plano relleno de dieléctrico: Teníamos:

Entonces:





La fuerza ejercida en una dirección sobre una pieza dieléctrica puede calcularse también a partir del principio de los trabajos virtuales. Se obtiene:

Ejemplo: pieza de dieléctrico parcialmente introducida en un condensador plano:




Resumen (I)

Un material dieléctrico reacciona a un campo eléctrico externo polarizándose: Sus moléculas forman dipolos eléctricos alineados en

la dirección del campo A nivel macroscópico el estado de polarización viene

dado por el vector polarización Un dieléctrico polarizado presenta en general cargas

de polarización en volumen y en superficie. El vector desplazamiento es un campo auxiliar

cuyas fuentes escalares son exclusivamente las cargas libres




Resumen (y II) En situaciones de alta simetría se puede calcular el

vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss

Para calcular el campo eléctrico es necesario además conocer la relación entre el vector polarización y el propio campo eléctrico: relación constitutiva del medio En medios lineales el vector polarización es

proporcional al campo eléctrico total Para calcular la energía de un sistema en presencia de

dieléctricos es más útil una expresión alternativa que no incluye el trabajo para llevar las cargas de polarización hasta su posición final.

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