tema 7-relaciones-elipses-mate básicas-pre-cálculo
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MATEMATICAS BASICAS
Autor: Lorenzo Acosta GempelerEdicion: Jeanneth Galeano Penaloza
Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 1 / 1
Parte I
Relaciones
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 2 / 1
Relaciones
Una relacion (real) es un subconjunto de R2.
Si S es una relacion entonces el dominio de S es el conjunto de lasprimeras componentes de las parejas en S ,
Dom(S) = {x : (∃y)((x , y) ∈ S)}.
La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejasen S ,
Im(S) = {y : (∃x)((x , y) ∈ S)}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 3 / 1
Relaciones
Una relacion (real) es un subconjunto de R2.
Si S es una relacion entonces el dominio de S es el conjunto de lasprimeras componentes de las parejas en S ,
Dom(S) = {x : (∃y)((x , y) ∈ S)}.
La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejasen S ,
Im(S) = {y : (∃x)((x , y) ∈ S)}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 3 / 1
Relaciones
Una relacion (real) es un subconjunto de R2.
Si S es una relacion entonces el dominio de S es el conjunto de lasprimeras componentes de las parejas en S ,
Dom(S) = {x : (∃y)((x , y) ∈ S)}.
La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejasen S ,
Im(S) = {y : (∃x)((x , y) ∈ S)}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 3 / 1
Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5,−1, π}
Im(A) = {2,√
2, 0, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,√
2)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 4 / 1
Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5,−1, π}
Im(A) = {2,√
2, 0, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,√
2)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 4 / 1
Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5,−1, π}
Im(A) = {2,√
2, 0, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,√
2)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 4 / 1
Ejemplo 1
A = {(1, 2), (5,√
2), (−1, 0), (π, π)}
Dom(A) = {1, 5,−1, π}
Im(A) = {2,√
2, 0, π}
x
y
(−1, 0)
(1, 2)
(π, π)
(5,√
2)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 4 / 1
Ejemplo 2
B = {(x , y) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
Im(B) = [2, 6]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 5 / 1
Ejemplo 2
B = {(x , y) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
Im(B) = [2, 6]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 5 / 1
Ejemplo 2
B = {(x , y) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
Im(B) = [2, 6]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 5 / 1
Ejemplo 2
B = {(x , y) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
Im(B) = [2, 6]
x
y
(1, 2)
(3, 6)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 5 / 1
Ejemplo 3
C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C ) = [−1, 1]
Im(C ) = [−1, 1] x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 6 / 1
Ejemplo 3
C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C ) = [−1, 1]
Im(C ) = [−1, 1]
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 6 / 1
Ejemplo 3
C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C ) = [−1, 1]
Im(C ) = [−1, 1]
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 6 / 1
Ejemplo 3
C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
Dom(C ) = [−1, 1]
Im(C ) = [−1, 1] x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 6 / 1
Relaciones
Cuando se define una relacion S por comprension se obtiene
S = {(x , y) ∈ R2 : p(x , y)},
donde p(x , y) es un predicado en las variables x e y .La relacion S queda completamente determinada por el predicado p(x , y).
Ejemplo: Si C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}entonces p(x , y) es la conjuncion
−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 7 / 1
Relaciones
Cuando se define una relacion S por comprension se obtiene
S = {(x , y) ∈ R2 : p(x , y)},
donde p(x , y) es un predicado en las variables x e y .La relacion S queda completamente determinada por el predicado p(x , y).
Ejemplo: Si C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}entonces p(x , y) es la conjuncion
−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 7 / 1
Ejemplo 4
C1 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 8 / 1
Ejemplo 4
C1 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 8 / 1
Ejemplo 4
C1 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 8 / 1
Ejemplo 4
C1 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 8 / 1
Ejemplo 5
C2 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x + 4, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −5 ≤ x ≤ −3;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 9 / 1
Ejemplo 5
C2 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x + 4, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −5 ≤ x ≤ −3;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 9 / 1
Ejemplo 5
C2 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x + 4, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −5 ≤ x ≤ −3;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 9 / 1
Ejemplo 5
C2 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x + 4, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −5 ≤ x ≤ −3;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 9 / 1
Ejemplo 6
C3 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − 1)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y−1 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 10 / 1
Ejemplo 6
C3 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − 1)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y−1 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 10 / 1
Ejemplo 6
C3 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − 1)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y−1 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 10 / 1
Ejemplo 6
C3 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − 1)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y−1 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 10 / 1
Ejemplo 7
C4 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y + 3)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y+3 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−4 ≤ y ≤ −2}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 11 / 1
Ejemplo 7
C4 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y + 3)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y+3 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−4 ≤ y ≤ −2}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 11 / 1
Ejemplo 7
C4 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y + 3)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y+3 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−4 ≤ y ≤ −2}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 11 / 1
Ejemplo 7
C4 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y + 3)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y+3 ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−4 ≤ y ≤ −2}
x
y
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 11 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}
x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Ejemplo 8
C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}
= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}
{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 12 / 1
Propiedades
1. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y) y
T = {(x , y) ∈ R2 : p(x − a, y)}
entonces la grafica de T se obtiene de la de S mediante una traslacionhorizontal de |a| unidades (hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda sia < 0).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 13 / 1
Propiedades
2. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y) y
U = {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − b)}
entonces la grafica de U se obtiene de la de S mediante una traslacionvertical de |b| unidades (hacia arriba si b > 0 y hacia abajo si b < 0).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 13 / 1
Relaciones
Realicemos otras variaciones a p(x , y) en el ejemplo
C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 14 / 1
Ejemplo 9
D1 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 15 / 1
Ejemplo 9
D1 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 15 / 1
Ejemplo 9
D1 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 15 / 1
Ejemplo 9
D1 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 15 / 1
Ejemplo 10
D2 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1
2≤ y ≤ 1
2
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 16 / 1
Ejemplo 10
D2 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1
2≤ y ≤ 1
2
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 16 / 1
Ejemplo 10
D2 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1
2≤ y ≤ 1
2
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 16 / 1
Ejemplo 10
D2 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1
2≤ y ≤ 1
2
}x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 16 / 1
Ejemplo 11
D3 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1
3≤ x ≤ 1
3;−1 ≤ y ≤ 1
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 17 / 1
Ejemplo 11
D3 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1
3≤ x ≤ 1
3;−1 ≤ y ≤ 1
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 17 / 1
Ejemplo 11
D3 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1
3≤ x ≤ 1
3;−1 ≤ y ≤ 1
}
x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 17 / 1
Ejemplo 11
D3 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1
3≤ x ≤ 1
3;−1 ≤ y ≤ 1
}x
y
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 17 / 1
Ejemplo 12
D4 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y
3≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
3
)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y
3≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 18 / 1
Ejemplo 12
D4 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y
3≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
3
)}{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y
3≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 18 / 1
Ejemplo 12
D4 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y
3≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
3
)}{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y
3≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 18 / 1
Ejemplo 12
D4 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y
3≤ 1}
={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
3
)}{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y
3≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 18 / 1
Ejemplo 13
D5 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, 3y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1
3≤ y ≤ 1
3
}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 19 / 1
Ejemplo 13
D5 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, 3y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1
3≤ y ≤ 1
3
}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 19 / 1
Ejemplo 13
D5 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, 3y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1
3≤ y ≤ 1
3
}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 19 / 1
Ejemplo 13
D5 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, 3y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1
3≤ y ≤ 1
3
}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 19 / 1
Ejemplo 13
D5 ={
(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x
2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1
}={
(x , y) ∈ R2 : p(x
2, 3y)}
{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −1 ≤ x
2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1
}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}
{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1
3≤ y ≤ 1
3
}
x
y
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 19 / 1
Propiedades
1. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),a es un numero mayor que 1 y
T ={
(x , y) ∈ R2 : p(xa, y)}
entonces la grafica de T se obtiene de la de Smediante una expansion horizontal por un factor de a unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 20 / 1
Propiedades
2. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),a es un numero entre 0 y 1 y
T ={
(x , y) ∈ R2 : p(xa, y)}
entonces la grafica de T se obtiene de la de Smediante una compresion horizontal por un factor de a unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 20 / 1
Propiedades
3. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),b es un numero mayor que 1 y
U ={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
b
)}entonces la grafica de U se obtiene de la de Smediante una expansion vertical por un factor de b unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 20 / 1
Propiedades
4. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),b es un numero entre 0 y 1 y
U ={
(x , y) ∈ R2 : p(x ,
y
b
)}entonces la grafica de U se obtiene de la de Smediante una compresion vertical por un factor de b unidades.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 20 / 1
Relaciones
Estudiemos ahora el efecto de estos cambios sobre una relacion particular:
S = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 21 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}
La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 14
S1 ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2
14
= 1
}La grafica de S1 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 22 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 15
S2 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :x2
14
+ y2 = 1
}
La grafica de S2 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 23 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 16
S3 ={
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}
se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :x2
14
+y2
19
= 1
}
La grafica de S3 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 24 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+ 9y2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
19
= 1
}La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+ 9y2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
19
= 1
}La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1
2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+ (3y)2 = 1
}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+ 9y2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
19
= 1
}La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+ (3y)2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+ 9y2 = 1
}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
19
= 1
}La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+ (3y)2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+ 9y2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
19
= 1
}
La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 17
S4 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+ (3y)2 = 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+ (3y)2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+ 9y2 = 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
19
= 1
}La grafica de S4 es una elipse.
x
y
1
−1
1−1 2−2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 25 / 1
Ejemplo 18
S5 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
9= 1
}La grafica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 26 / 1
Ejemplo 18
S5 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
9= 1
}La grafica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 26 / 1
Ejemplo 18
S5 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1
}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1
}La grafica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 26 / 1
Ejemplo 18
S5 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
9= 1
}
La grafica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 26 / 1
Ejemplo 18
S5 =
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1
}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1
}{
(x , y) ∈ R2 :x2
4+
y2
9= 1
}La grafica de S5 es una elipse.
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 26 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba
{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
S6 ={
(x , y) ∈ R2 : (x−2)2
4 + (y−3)2
9 = 1}
se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{
(x , y) ∈ R2 :(x
2
)2+(y
3
)2= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
x2
4+
y2
9= 1}
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 2)2
4+
(y − 3)2
9= 1}
La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
(2, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 27 / 1
Relaciones
Si se da la ecuacion
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1, a 6= b,
esta representa una elipse con centro en (h, k), eje horizontal de longitud2a y eje vertical de longitud 2b. Este tipo de ecuacion se llama ecuacioncanonica de la elipse.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 28 / 1
Relaciones
Si a > b entonces la elipse tiene eje mayor horizontal y eje menor vertical.
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 29 / 1
Relaciones
Si a < b entonces la elipse tiene eje mayor vertical y eje menor horizontal.
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 30 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x
+ 1
) + 9(y2 + 6y
+ 9
) = −49
+ 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y
+ 9
) = −49 + 4
+ 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
Ejemplo
Hallar la ecuacion canonica de la elipse
4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0
Solucion.
4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49
4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49
4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81
4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 31 / 1
Relaciones
(x − 1)2
9+
(y + 3)2
4= 1
x
y
-2 1 4-1
-3
-5
(1,−3)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 32 / 1