1. Distribuciones Derivadas del Muestreo

1.3 Teorema del Límite Central

1.3 Teorema del Límite Central

1.3.1 Teorema del Límite Central

Del ejemplo expuesto en la distribución de muestreo sugieren varios aspectos:

1.- La media de la distribución muestral de medias es igual a la mediapoblacional, sin importar la magnitud de muestra, incluso si la población no esnormal.2.- Al incrementarse el tamaño de la muestra la distribución muestral demedias se acercará a la normalidad.3.- La desviación de las medias del muestreo (error estándar) varía inversamenteproporcional a la magnitud de muestra.

Esta relación entre la forma de la distribución de la población y la forma de ladistribución de muestro se denomina teorema del límite central, el cual es talvez el más importante de toda la estadística inferencial, puesto que permiteutilizar estadísticas muestrales para hacer inferencias a parámetros poblacionalessin saber nada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa poblaciónmás que lo que se puede obtener de la muestras. Este teorema queda enunciadode la siguiente forma:

"Si " "es la media de una muestra aleatoria de tamaño "n" extraída deuna población con media " " y desviación finita (conocida) " ", entonces

es el valor de una variable cuya función de distribución se aproxima a la dela distribución normal estándar cuando

Donde:

.Z = puntuación estandarizada = media muestral = media poblacional o media de la distribución muestral

= error estándar de la media

OBSERVE Y ANALICE:

a) La media y desviación poblacional deben ser conocidas.b) La magnitud de muestra debe ser grande ("n mayor o igual a 30", tiende ainfinito)c) La distribución muestral tiende a ser normald) La fórmula de la distribución normal estándar muestral es parecida a la dedistribución normal estándar para variables aleatorias continuas, cambiandoúnicamente los datos individuales por muestrales.

Los gráficos siguientes muestran que, independientemente de la forma de ladistribución poblacional, la distribución muestral de medias es aproximadamente

normal con media " " desviación , siendo la magnitud de la muestra

grande (n 30)

La ilustración muestra la tendencia hacia la normalidad para la distribuciónmuestral de medias como incrementos de tamaños muestrales.

Al cumplir la distribución muestral con la normalidad, también cumple con losporcentajes de distribución especificados en la regla empírica. A continuación seexpondrá la representación gráfica del teorema del límite central

1.3.2 Casos especiales para el Cálculo del Error Estándar

Hasta este punto en nuestro análisis de las distribuciones de muestro hemos

utilizado la ecuación para calcular el error estándar de la media.

Esta ecuación está diseñada para situaciones en las que:

a) La población es infinita, es decir la magnitud poblacional es desconocida (N)b) Para muestreo con reemplazo (es decir, después de que se ha muestreadocada elemento, éste se regresa a la población antes de elegir el siguienteelemento, de tal forma que es posible que el mismo elemento sea elegido más deuna vez (población infinita)c) Para muestras cuya magnitud sea menor al 5% de la magnitud poblacional (n< 0.05 N)

Existen casos en donde la magnitud poblacional es finita (N conocida), porejemplo estudios sobre los clientes de una empresa, la producción en un díadeterminada en una fábrica manufacturera, etc. En estos casos la población esconocida, así que es necesario modificar la ecuación del error estándar agregandoun factor de corrección, conocido como multiplicador de población finita

= error estándar de la distribución de medias

= desviación estándar de la poblaciónn = Magnitud muestralN = Magnitud Poblacional

Este factor se utiliza en los siguientes casos:

a) La población es finita, es decir la magnitud poblacional es conocida (N)d) Para muestreo sin reemplazo e) Para muestras cuya magnitud sea mayor al 5% de la magnitud poblacional n >

0.05 N

En muchos estudios inferenciales la desviación poblacional es desconocida,pero se conoce la desviación de la(s) muestra(s), en estos casos para calcularel error estándar se utiliza precisamente la desviación de la muestra como unestimador de la poblacional, siempre y cuando la magnitud de la muestra seagrande (por lo menos de 30 elementos n 30)

Para poder aplicar el TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL es necesario saber calcularel error estándar de la distribución.A continuación se ejemplificarán los casos mencionados para su calculo:

1.3.3 Ejemplos

* Para encontrar los valores de la puntuaciones en Tabla consultar lasiguiente dirección:

http://www.fie.us.es/~calvo/tablas_estadisticas.html

EJEMPLO 1POBLACIÓN INFINITA, DESVIACIÓN POBLACIONAL CONOCIDA ( ), NOIMPORTANDO LA MAGNITUD DE LA MUESTRA (n)

a) Un despacho contable tiene un gran número de clientes. El contador generalsabe que en promedio las cuentas por cobrar son de $30,000 y que la desviaciónes de $ 2000.00. Si el contador toma una muestra de 25 cuentas por cobrar:

Calcule el error estándar de la distribución

:__ SOLUCIÓN:___ :

OBSERVE Y ANALICE: Este problema cae en el primer caso del uso de la aplicacióndel teorema del límite central, puesto que se conoce la desviación población yno importa cual sea la magnitud de la muestra

EJEMPLO 2POBLACIÓN INFINITA, DESVIACIÓN POBLACIONAL DESCONOCIDA ( n 30), MUESTRA GRANDE (n 30), DESVIACIÓN MUESTRAL CONOCIDA ( S )

b) Suponga ahora que el contador no conoce la desviación de todas las cuentaspor cobrar, pero sí la desviación de una muestra de 36 cuentas, la cual es de s=$1800.00. Calcule ahora el error estándar de la distribución

:__ SOLUCIÓN::___

OBSERVE Y ANALICE: Este es el tercer caso de la aplicación del teorema del límitecentral ya que se desconoce la desviación poblacional, pero como n 30 sepuede utilizar su desviación como estimador de la desviación poblacional.

EJEMPLO 3POBLACIÓN FINITA

c) Supóngase que el contador sabe que el número total de cuentas por cobrar esdel 1000, con desviación $ 2000.00 y media de $30 000.00. Si selecciona unamuestra de 75 cuentas , calcule el error estándar de la distribución .

:__ SOLUCIÓN::___

En este ejemplo se está proporcionando la magnitud poblacional "N" y lamagnitud de la muestra "n" por lo tanto se tiene que comprobar si:

n > 0.05 N ó n < 0.05 N ya que el cálculo del error estándar de distribución esdiferente para cada caso:

75 > 0.05 ( 1000 )75 > 50 por lo tanto se tendrá que calcular el error de distribución utilizando elfactor de corrección:

OBSERVE Y ANALICE: En el caso que n < 0.05 N, el cálculo del error estándar dela distribución hubiera sido:

Una vez que se ha analizado los diferentes casos para calcular el error estándarde la distribución, a continuación se ejemplificará las aplicaciones que teorema delímite central

EJEMPLO 4

La distribución de los ingresos anuales de todos los pagadores de un banco concinco años de experiencia es aproximadamente normal con media de $ 19 000.00y desviación de $ 2 000.00. Si se extrae una muestra de 30 pagadores, ¿Cuál esla probabilidad de que el promedio de los ingresos anuales para la muestra sea:

a) Mayor a $ 19750.00b) Entre $ 18 250 y $ 19 750

:__ SOLUCIÓN::___

OBSERVE: El problema es parecido a los de distribución de probabilidad normalpara variables, la diferencia es que ahora se esta trabjando con datos muestralesy por lo tanto se tendrá que aplicar el teorema del límite central,

a)

estandarizando

Como se conoce la desviación poblacional y además la magnitud de la muestra esmayor que 30

b) Entre $ 18 250 y $ 19 750

estandarizando

1.3.4 Diagramas

CONCLUSIONES

1.- La media de la distribución muestral de medias es igual a lamedia poblacional, sin importar la magnitud de muestra, incluso si lapoblación no es normal.

2.- Al incrementarse el tamaño de la muestra la distribución muestralde medias se acercará a la normalidad.

3.- La desviación de la distribución muestral de medias es inferior a

la desviación poblacional , debido a que en una población, los valoresindividuales pueden ser extremadamente pequeños o grandes y por lotanto poseer un rango grande. La disminución en es debido a que al

seleccionar aleatoriamente todas las muestras posibles, los valoresextremos pueden caer en una o varias muestras, afectando así a la mediade las muestra que los incluye, sin embargo su efecto disminuirá alpromediarse con los demás valores de la muestra. Además si seincrementa la magnitud de la muestra, el efecto del valor extremo sehace cada vez menor, puesto que se está promediando con másobservaciones:Esto es: < cuanto la magnitud de muestra "n" es mayor, de aquí,

que el error estándar varía inversamente proporcional a la magnitud demuestra

4.- La desviación de las medias del muestreo (error estándar de ladistribución) varía inversamente proporcional a la magnitud de muestra

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

"Si " "es la media de una muestra aleatoria de tamaño "n"extraída de una población con media " " y desviación finita(conocida) " ", entonces

es el valor de una variable cuya función de distribución se aproximaa la de la distribución normal estándar cuando

TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL

• DESVIACIÓN POBLACIONALCONOCIDA

• CUALQUIER MAGNITUD DEMUESTRAPoblación infinita

• Con reemplazoPoblación Finita n<0.05N

• Población Finita n>0.05 NSin reemplazo

(factor de corrección)

___ • DESVIACIÓN POBLACIONALDESCONOCIDA

• DESVIACIÓN DE LA MUESTRACONOCIDA "s"Población infinita

n 30 ____

___

• Sin reemplazoPoblación Finita n<0.05N

• Población Finita n>0.05 NSin reemplazo

(factor de corrección)

CASOS PARA EL CÁLCULO DEL ERRORESTÁNDAR DE DISTRIBUCIÓN

1.- DESVIACIÓN POBLACIONAL ___ CONOCIDA ( )2.- CUALQUIER MAGNITUD DE ___ MUESTRA

1.- DESVIACIÓN POBLACIONAL ___ DESCONOCIDA ( )2.- DESVIACIÓN MUESTRAL ___ CONOCIDA (S)3.- MAGNITUD MUESTRAL:___ n 30

MAGNITUD POBLACIONAL

DESCONOCIDA

MAGNITUD POBLACIONAL

CONOCIDA

MAGNITUD POBLACIONAL

DESCONOCIDA

MAGNITUD POBLACIONAL

CONOCIDA

• n<0.05N• Con reemplazo

• n>0.05 N• Sin reemplazo

• n<0.05N• Con reemplazo

• n>0.05 N• Sin reemplazo

1.3.5 Ejercicios Resueltos

1.- Una máquina llena latas de sopa con un promedio de 15.9 onzas y una de1 onza, se toma una muestra de 80 latas, sabiendo que la maquina llena 125latas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 80latas este por debajo de 15.8 onzas?

:__ DATOS:___:

P(<15.8)

= 15.9= 1

n = 80LatasN = 125

En este caso se proporción la magnitud poblacional N=125, por lo tanto paracalcular el error estándar es necesario checar si: n<0.05N ó n>0.05N

Sustituyendo los datos:

(0.05)(125) = 6.25 n > 0.05 N80 > 6.25

Por lo tanto el error estándar se calcula con el factor de corrección

=

Estandarizando a la variable

P( <15.8)=P(Z<-1.49)=0.5 - P(0 z -1.49) = 0.5 - 0.4319= 0.0681

2.- Una institución bancaria calcula que sus cuentas de ahorros individuales estánormalmente distribuidas con media de $50 (miles de pesos) y una desviaciónestándar de $10 (miles de pesos). Si el banco toma una muestra aleatoria de 36cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

A) La media de la muestra esté entre 45 y 55 (miles de pesos)?B) La media de la muestra tenga un valor mayor a 48 (miles de pesos)?

DATOS:n = 36

= 50= 10

a) P(45 55)Estandarizando a la variable:En este caso la magnitud de la población es desconocida, y n>30, por lo tanto elerror estándar se calcula por:

P(45 55) = P(-2.99 Z 2.99)=P( -2.99 Z 0) + P( 0 Z 2.99)=0.4986+0.4986=0.9972

b) P( > 48)

P(Z >-1.19) = 0.5 + P(0 Z -1.19) = 0.5 + 0.38298=0.88298