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www.eltemario.com Oposiciones Secundaria – Física y Química© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 24

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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 24

ELEMENTOS DE IMPORTANCIA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS:RESISTENCIAS, BOBINAS Y CONDENSADORES. SU PAPEL EN LOS CIRCUI-TOS DE CORRIENTE CONTINUA Y ALTERNA. ENERGÍA ALMACENADA OTRANSFORMADA.

Esquema

1. Introducción a los elementos de circuito.1.1. Principales elementos: Resistencias, Condensadores y Bobinas.1.2. Papel regulador y transformador de los elementos de circuito.

2. Resistencias eléctricas2.1. Resistencia. Resistividad. Resistencias óhmicas.2.2. Resistencias en c/c. Disipación de energía. Ley de Joule.

2.2.1. Variación de la resistencia con la temperatura.2.2.2. Resistividad de semiconductores.2.2.3. Superconductividad.

2.3. Resistencias óhmicas en serie y paralelo.2.4. Medida de resistencias.

3. Condensadores.3.1. Capacidad de un condensador.3.2. Corrientes de carga y descarga de un condensador en c/c.3.3. Condensadores en serie y paralelo.

4. Bobinas o Solenoides.4.1. Campo magnético de una corriente circular.4.2. Campo magnético de una bobina recorrida por corriente continua y por

corriente alterna.4.3. Fenómenos de inducción mutua y autoinducción en las bobinas.4.4. Producción de corriente en un circuito inductivo.4.5. Autoinducciones en serie.

5. Otros elementos de circuito: de vacío, de estado sólido.6. Papel de los elementos de circuito en Corriente Alterna. (c/a).

6.1. La resistencia en los circuitos de c/a.6.2. Los condensadores y bobinas en circuitos de c/a.

6.2.1. Capacitancia e Inductancia. Resonancia.6.2.2. Descarga oscilante. Producción de corrientes de alta frecuencia.

7. Energía de los elementos de circuito.7.1. Energía disipada en una resistencia. Ley de Joule.7.2. Energía de un condensador cargado.

7.2.1. Densidad de energía del campo eléctrico.7.3. Energía asociada a una autoinducción.

7.3.1. Densidad de energía del campo magnético.


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TEMA 24

ELEMENTOS DE IMPORTANCIA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS:RESISTENCIAS, BOBINAS Y CONDENSADORES. SU PAPEL EN LOS CIRCUI-TOS DE CORRIENTE CONTINUA Y ALTERNA. ENERGÍA ALMACENADA OTRANSFORMADA.

1. INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO

Llamamos elementos de circuito eléctrico a todos aquellos dispositivos que inter-calados en el circuito de corriente, o sea sometidos a diferencia de potencial entre susextremos, producen una transformación de la energía eléctrica en cualquier otra formade energía como térmica, magnética, electrostática, mecánica, luminosa, etc. Constitu-yen pequeñas máquinas transformadoras de energía y generalmente están construidospor otros componentes constituyentes elementales más sencillos, entre los que destaca-mos las Resistencias, los Condensadores y las Bobinas o Solenoides.

1.1. Principales elementos: Resistencias, Condensadores y Bobinas.

Estos elementos de circuito son denominados elementos pasivos, pues su misiónes consumir, almacenar o transmitir energía eléctrica en otra forma de energía.

Las Resistencias son elementos de circuito cuya finalidad es oponer dificultad oresistencia al paso de la corriente eléctrica, con transformación de la energía eléctrica encalor, lo que llamamos disipación de energía. Se distingue entre resistencias metálicas yresistencias de cerámica. La primera consiste en un núcleo aislante rodeado por unalambre metálico resistente. La segunda consiste en una capa fina de carbón endurecidoen una cápsula de cerámica.

Los Condensadores son sistemas formados por dos conductores separados por undieléctrico y cuando están sometidos a d.d.p. son capaces de almacenar una gran canti-dad de carga en los conductores incluso a pequeñas diferencias de potencial. Los con-ductores metálicos del condensador se llaman armaduras y una es la armadura colectoray otra es la armadura condensadora. La primera tiene carga positiva y un potencial ma-yor que la segunda y ambas poseen en sus superficies enfrentadas la misma carga eléc-trica, pero de signo opuesto y crean un campo eléctrico en su interior.

Las Bobinas o Solenoides están compuestos por una serie de circuitos iguales (es-piras), colocados paralelamente, por los que circula una misma corriente eléctrica en elmismo sentido. En la práctica un solenoide o bobina está formado por un hilo conductoraislado arrollado en espiral, embobinado sobre un núcleo aislante, por el que circula unacorriente. La corriente espiral resultante se puede considerar como un conjunto de co-rrientes paralelas, que crean campos magnéticos paralelos, y dos corrientes (entrada ysalida) rectilíneas paralelas que anulan sus acciones magnéticas.

1.2. Papel regulador y transformador de los elementos de circuito.

Si por un conductor fluye una corriente eléctrica, los portadores de carga (elec-trones libres) se mueven en el seno del conductor, pero éste ofrece una resistencia al


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paso de los electrones, que se manifiesta por una disipación de energía en forma de ca-lor (efecto Joule) y que debe ser superada y restituida por la corriente.

Un conductor cuya resistencia es pequeña conduce bien la corriente eléctrica, porello en las conducciones, la resistencia es indeseable sin embargo en los dispositivostransformadores de electricidad en calor, la resistencia es fundamental.

El condensador, como tal dispositivo, impide el paso de corriente continua. Du-rante la carga o la descarga de un condensador, la aguja de un amperímetro intercaladoen el circuito se mueve un instante, en una dirección o la contraria, e inmediatamentevuelve a cero. Durante la carga del condensador, el generador de tensión absorbe elec-trones de una placa y los impele a la otra placa. Aparece un defecto de electrones en unaplaca y un exceso en la otra. Entre las placas del condensador se crea una diferencia depotencial de sentido opuesto a la suministrada. En la descarga del condensador, circulauna corriente eléctrica de descarga producida por esta d.d.p. opuesta.

Físicamente, el condensador es un acumulador de cargas electrostáticas que alma-cena energía electrostática en forma de campo electrostático, y a la capacidad de alma-cenamiento se designa como capacidad eléctrica (C) del condensador. Se mide en Fara-dios en el sistema internacional.

Al ser sometido a una tensión o d.d.p. V, el condensador almacena una carga totalQ y la capacidad eléctrica del condensador se define:

VQ

C = (1)

Una bobina o solenoide que está conectada a un circuito de corriente, crea en suinterior un campo magnético. Al establecerse la corriente en el momento de la conexión,el campo magnético crece desde cero al valor máximo y a causa de esta variación apa-rece un potencial de autoinducción opuesto al potencial externo, que impide la eleva-ción de la corriente y por ello el establecimiento del campo (ley de Lenz). Sólo puedepasar por la bobina la totalidad de la corriente cuando el campo no varía y el potencialde autoinducción desaparece. En la desconexión de la corriente, en la bobina se destruyeel campo magnético y pasa de valor máximo a cero y con ello aparece un potencial deautoinducción en favor de la corriente que desaparece de forma que la corriente conti-núa circulando en la misma dirección hasta que desaparece lentamente.

Después de la desconexión del generador, la bobina actúa como generador duranteunos instantes generando una corriente que circula en la misma dirección que la co-rriente principal. Sin embargo, durante la conexión la bobina actuaba como consumi-dor, pues producía una corriente que se oponía a la principal. El potencial de autoinduc-ción al cerrar el circuito tiene dirección contraria al de autoinducción al abrirlo.

Físicamente, la bobina almacena energía en forma de campo magnético. Al ser re-corrida por una corriente I crea un flujo magnético Φ, que depende de un coeficiente deautoinducción que la caracteriza L, es decir:

ILN ⋅=Φ⋅ (2)Al variar el flujo que la atraviesa, en la bobina se crea una fuerza electromotriz E

que se opone a la variación de flujo y que está determinada por la ley de Faraday, es

decir: dtd

NΦ−=E (3)


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2. RESISTENCIAS ELÉCTRICAS

2.1. Resistencia. Resistividad. Resistencias óhmicas.

Consideremos una corriente eléctrica circulando en un conductor como un equili-brio no electrostático, en donde la carga libre se mueve por la acción de una diferenciade potencial entre sus extremos que origina en el conductor un campo eléctrico.

En muchos conductores la densidad de corriente Jr

es proporcional al valor delcampo eléctrico existente en el interior del conductor que es originado por la diferenciade potencial. Esta proporcionalidad la podemos expresar introduciendo una constante deproporcionalidad σ : EJ

rrσ= (4)

Esta constante de proporcionalidad σ se llama conductividad eléctrica del con-ductor y aunque esta relación se puede considerar como la ecuación fundamental de laconducción eléctrica, es más cómodo trabajar con intensidades de corriente (I) y condiferencias de potencial (V). Considerando que J=dI/dA y E=-dV/dl, es decir, respecti-vamente definen la densidad de corriente y establecen el campo eléctrico como un gra-diente de potencial, sustituyendo:

dldV

dAdI σ−=

Si consideramos un conductor de longitud L y de sección constante A, por el quecircula una corriente de intensidad I debido a una diferencia de potencial Va-Vb aplicadaa sus extremos. En estas condiciones I, σ y A son constantes y puede integrarse fácil-mente, tomando como eje X de referencia el propio eje del conductor:

dxdV

AI σ−= ⇒

dxdV

AI σ−= ⇒ dVAdxI .. σ−=

e integrando: ∫∫ −= b

a

V

V

LdVAdxI σ

0 ⇒ ( )ba VVALI −= σ.

y despejando la corriente: ( )ba VVLA

I −= σ(5)

El factor σ(A/L), característico del conductor, se denomina conductancia del hiloconductor y se expresa por C:

LA

Cσ= (6)

Para una diferencia de potencial dada, cuanto mayor sea la conductancia, tantomayor será la intensidad de la corriente.

En la práctica no se utiliza la conductancia, sino su inversa, a la que llamaremosresistencia, que designaremos por R, y que para un conductor homogéneo y de secciónuniforme, para el que la conductancia sea constante, resulta:

AL

AL

AL

R ⋅=⋅== ρσσ1

(7)

La unidad internacional de resistencia es el ohmio (Ω) que equivale a 1 Vo l-tio/Amperio.

A la inversa de la conductividad (ρ=1/σ) la denominaremos resistividad y se re-presenta por σ. La unidad de resistividad en el S.I. es el Ω.m=ohmio.m2/m. De esta ma-nera la resistencia eléctrica del conductor se expresará por la ecuación (7).


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Finalmente la ecuación (5) se escribirá definitivamente así:

( )ba VVR

I −= 1 o bien ( ) RIVV ba .=− (8)

y es la denominada Ley de Ohm, la cual hemos deducido sin más que suponer constantela conductividad, por lo que sólo si σ (y ρ) es independiente de J, la resistencia R es unaconstante independiente de I y se cumple la ley de Ohm.

Las resistencias que cumplen esta ley se llaman resistencias óhmicas. Existen re-sistencias que no son óhmicas, al depender la conductividad de la densidad de corriente,como ocurre en el caso de las disoluciones electrolíticas.

2.2. Resistencias en C/C. Disipación de energía. Ley de Joule.

La resistencia al paso de la corriente eléctrica se manifiesta por la disipación deenergía en forma de calor, fenómeno descrito como efecto Joule.

Consideremos el movimiento de los electrones en un conductor como una serie demovimientos acelerados que terminan con un choque contra las partículas fijas del con-ductor. Los electrones ganarán energía cinética durante el trayecto entre dos choquessucesivos, energía que cederán a las partículas fijas en el choque, aumentando así laamplitud de la vibración de dichas partículas, esto es, convirtiéndose en energía cinéti-ca.

Consideremos un conductor metálico cilíndrico rec-tilíneo, (fig.1) por el que circula una corriente I de izquier-da a derecha, siendo Va y Vb los potenciales en los extre-mos a y b. Para determinar la cantidad de calor desarrolla- FIG. 1

da en el conductor, consideremos que en un intervalo de tiempo dt entra una cantidad decarga dQ=I.dt por el borne a y la misma cantidad saldrá por el borne b en igual tiempo,transportándose la carga dQ desde el potencial Va hasta el potencial Vb. La energía dWcedida por la carga, es: abba VdtIVVdQdW ..)( =−=

Esta expresión es válida para cualquier elemento de circuito comprendido entre ay b, pero en caso de tratarse de una resistencia pura, toda la energía se convierte en ca-lor, luego, siendo Vab=I.R: dtRIRIdtIVdtIdW ab ...... 2=== (9)

La cantidad de calor originada en una resistencia, al paso de la corriente eléctrica,es directamente proporcional al cuadrado de la intensidad de la corriente, y a igualdadde intensidad, es directamente proporcional a la resistencia y en todos los casos, el calordesprendido depende del tiempo que está pasando la corriente. Este hecho fue descu-bierto experimentalmente por Joule y se conoce como Ley de Joule.

2.2.1. Variación de la resistencia con la temperatura.

Al aumentar la temperatura, se produce un aumento de la resistividad de los con-ductores, cuya curva se puede representar satisfactoriamente por la ecuación:

...... 320 ++++= tctbtaρρ (10)

siendo ρ0 la resistividad a 0ºC, a, b, c,...constantes características de la sustancia y t latemperatura (oC). A temperaturas moderadas se pueden despreciar los términos poten-ciales de orden superior a la unidad, obteniendo:


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0

000

..

ρρρρρ ta

ta +=+= ⇒ ( )t.10 αρρ += (11)

siendo: t

a

0

0

0 ρρρ

ρα −== (12)

El parámetro α se denomina coeficiente de variación de la resistividad con latemperatura y cuya interpretación física nos dice que representa la variación experi-mentada por la resistividad por unidad de temperatura.

Puesto que la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, lo di-cho para ésta es válido para la resistencia y puede escribirse:

( )tRR .10 α+= (13)siendo R0 la resistencia a 0ºC y R la resistencia a t ºC.

Así pues, a mayor temperatura, se produce una mayor resistencia en un conductor,hecho fácilmente explicable pues aumenta la agitación térmica de los átomos o molé-culas que componen el material, y con ello el número de choques, disminuyendo portanto la velocidad media de arrastre, aumentando la dificultad o resistencia al movi-miento de las cargas.

2.2.2. Resistividad de semiconductores.

Existen elementos llamados semiconductores (entre ellos el silicio y el germanio)en los que la resistencia a bajas temperaturas es prácticamente infinita (conductividadnula) y va disminuyendo conforme aumenta la temperatura, es decir, son tanto más con-ductores cuanto más aumenta la temperatura (disminuye la resistividad), al revés de loque ocurre en la mayoría de los metales.

En los semiconductores la banda electrónica de valencia, incompleta, está separa-da de la banda de conducción por una estrecha banda de energía prohibida, que loselectrones podrán superar con una aportación limitada de energía. En el cero absoluto,los semiconductores son perfectos aisladores y al elevar la temperatura, la energía tér-mica comunicada a los electrones de los niveles energéticos superiores hace que se tras-pase la banda prohibida y adquieran el carácter de electrones libres. Cuanto más se ele-va la temperatura son más los electrones, de capas energéticas más internas, que ocupanla banda de conducción, lo que explica el aumento de la conductividad con la tempera-tura. Puesto que la resistencia es proporcional a la resistividad podremos escribir:

( )tRR .10 α−= (14)

2.2.3. Superconductividad.

Existen muchos metales para los cuales, se pierdeprácticamente de manera brusca, la resistencia eléctrica, osea, la resistividad, por debajo de una determinada tempe-ratura Tc denominada Temperatura crítica (en un margenque va desde 1’2ºK para el aluminio hasta 9’2ºK para elniobio), y a partir de ella hasta el cero absoluto, cualquiercorriente eléctrica inducida en el metal, persiste largotiempo y sin pérdidas aparentes, pues no hay disipación porefecto Joule. Este fenómeno se llama superconductividad. FIG. 2


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En la figura 2 tenemos la gráfica de la resistencia eléctrica del mercurio en fun-ción de la temperatura, mostrando una disminución repentina a la temperatura crítica deTc=4’2º K.

La conductividad de un superconductor no puede definirse puesto que puede exis-tir una densidad de corriente finita aún cuando sea nulo el campo eléctrico en el interiordel superconductor. La importancia de esta propiedad, que no es general a todos losmetales, radica en el enorme ahorro energético que supondría llegar a conseguir estefenómeno a temperaturas asequibles, evitando las pérdidas caloríficas en los circuitos.Este fenómeno sólo puede explicarse y comprenderse con ayuda de la mecánica cuánt i-ca.

2.3. Resistencias óhmicas en Serie y en Paralelo.

Dos o más resistencias óhmicas conectadas de modo que la misma corriente puedafluir a través de ellas, se dice que están asociadas en serie y equivale a otra resistenciaúnica suma de todas las conectadas en serie. Aplicando la ley de Ohm y al ser la mismala intensidad que circula por ellas, se cumplirá:

( ) ( ) ( )43322141 VVVVVVVV −+−+−=−

32141 IRIRIRVV ++=− = ( )321 RRRI ++y considerando una resistencia única R equiva-lente, con la misma intensidad de corriente re-sulta ser: IRVV =− 41

e igualando a la anterior ∑=++= iRRRRR 321 (15)

FIG. 3

En el caso de resistencias óhmicas conectadas en derivación o paralelo, (fig.3), ladiferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 es la misma para cada una de las ramas enparalelo, por lo que aplicando la ley de Ohm, tendremos:

33221121 RIRIRIVV ===−

1

211 R

VVI

−= 2

212 R

VVI

−= 3

213 R

VVI

−= 321 IIII ++=

luego: ( )

++−=

−+

−+

−=

32121

3

21

2

21

1

21 111RRR

VVR

VVR

VVR

VVI

y considerando una resistencia equivalente única R que haga el mismo papel que las tresresistencias en paralelo, se cumplirá:

RVV

I 21 −=

e igualando a la anterior, resulta para la resistencia equivalente:

∑=++=iRRRRR

11111

321

(16)

La resistencia equivalente a varias resistencias asociadas en paralelo, es más pe-queña que cualquiera de las resistencias asociadas, por lo que se usará la conexión enparalelo cuando el objetivo sea conseguir una resistencia muy pequeña, a partir de re-sistencias más elevadas. Por el contrario, cuando deseamos obtener una resistencia ele-vada utilizaremos la conexión en serie.


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2.4. Medida de Resistencias.

Puente de Wheatstone. Consiste en cuatro resistencias conectadas formando uncircuito cerrado, como se indica en la fig.4. Tres de esas resistencias son graduables(mediante cajas de resistencias) y la cuarta resistencia es desconocida y es la que trata-mos de averiguar. Entre los vértices opuestos CD se instala una fuente de alimentacióno generador de corriente continua y entre los vértices opuestos AB se instala un galva-nómetro, que nos indicará el paso de corriente cuando se produzca, al desviarse la agujaen un sentido u otro.

Modificando las resistencias graduables se consigue elequilibrio del puente, es decir, que por el galvanómetro no pasecorriente eléctrica alguna, estando, por tanto, los puntos A y Ba igual potencial, o lo que es lo mismo, la caída de potencialentre C y B es igual a la caída de potencial entre C y A; asímismo, la caída de potencial entre B y D es igual a la caída depotencial entre A y D. Puesto que la intensidad de corriente enel galvanómetro es nula, la intensidad de corriente en r4 esigual a la intensidad de corriente en r3, o sea I' y la intensidadde corriente en r1 es igual a la de r2, o sea I. Como VCB=VCA sededuce: 14 .'. rIrI = FIG.4

y como además, se cumple que VBD=VAD se deduce:

23 .'. rIrI =y dividiendo miembro a miembro, obtenemos:

2

1

3

4

rr

rr

= ⇒

=

3

421 r

rrr (17)

Por lo cual, conocidas tres resistencias de las cuatro, puede determinarse la cuartaresistencia problema.

Este dispositivo se utiliza para efectuar medidas rápidas y precisas de resistenciasy fue inventado en 1843 por el físico inglés Charles Wheatstone.

Puente de Hilo. Consiste en una modificación del anterior dispositivo, en el que sesustituyen las resistencias r3 y r4 por un hilo metálico homogéneo lo suficientementedelgado para que su resistencia sea apreciable (fig.5). Sobre este hilo homogéneo sedesliza un cursor B, ligado a través de un galvanómetro, al vértice A. De este modo lasresistencias r3 y r4 se pueden sustituir por las dos resistencias de los dos trozos de hilo acada lado del cursor B, que son:

=

A

lr 3

3 ρ y

=

Al

r 44 ρ

donde ρ es la resistividad del Hilo y A es su seccióntransversal constante. La expresión (17) del puente deWheatstone se transforma en:

=

3

421 l

lrr (18)

que permite hallar la resistencia desconocida r1 a par-tir de la resistencia variable r2 y las longitudes de los FIG. 5

dos trozos del hilo de resistencia.


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Potenciómetro. Consiste en un circuito de resistencia AB, entre cuyos extremos seinstala una pila cuyas características E y r no se conocen ni interesan. En oposición conella se monta otra pila (los hilos que parten de A y van a las dos pilas han de conectarsea los polos de igual signo) cuya FEM es E1 y se trata de determinar. En el circuito deesta pila hay intercalado un galvanómetro con un cursor que se puede deslizar a lo largodel hilo AB, haciendo contacto con él cuando interesa.

Se modifica la posición del cursor hasta que elgalvanómetro no indique paso de corriente, entonces, lalongitud AC tiene la resistencia r1. Se sustituye la pilaE1 por otra de FEM conocida E2. Se consigue un nuevoequilibrio, desplazando nuevamente el cursor por elhilo AB y en este caso la resistencia AC será ahora r2.

Se verifica: 2

1

2

1

rr=

E

E (19)

FIG: 6

En efecto, por el hilo AB circula en los dos equilibrios, la misma intensidad:

11 'rrrI

++= E

La corriente I no se modifica por ser E y r constantes características del generador(instalado en la parte superior del dibujo) y que es el mismo durante toda la experiencia,y r1+r’1 es la resistencia total del hilo AB. Por consiguiente, la corriente en AC enambos casos es la misma:

Con la pila desconocida: 1

1

rI

E=

Con la pila conocida: 2

2

rI

E=

Luego: 2

2

1

1

rrEE = ⇒

2

1

2

1

rr=

E

E c.q.d.

3. CONDENSADORES

3.1. Capacidad de un condensador.

Definimos la capacidad de un condensador como la carga que adquiere la armadu-ra colectora al establecer entre las dos armaduras la diferencia de potencial unidad (1voltio). Se designa por C y su unidad en el Sistema Internacional es el Faradio:

1 Faradio=1 Culombio/Voltio. 21 VV

QC

−= (20)

Si consideramos un conductor cargado (por ejemplo, una esfera metálica cargadapositivamente) además de poseer una carga Q definimos en él su potencial eléctrico. Elpotencial de este conductor cargado es "el trabajo necesario para transportar la cargapositiva unidad desde el infinito (de potencial nulo) hasta la superficie del conductor".El potencial se mide en Voltios (1 Voltio=1 Julio/Culombio).

Si se coloca el conductor cargado en las proximidades de otro conductor neutro,éste se carga por inducción y se verifica que la fuerza de repulsión que aparece al trans-portar la unidad de carga positiva desde el infinito hasta el conductor es menor en este


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caso, F2 (fig.7) puesto que se presenta una influencia de la carga polarizada en A que esmayor que la influencia contraria de la carga polarizada en B por estar esta última a ma-yor distancia del conductor que la otra. Al existir menorfuerza de repulsión, el trabajo realizado en el transportees menor y por tanto, el potencial del cuerpo cargado esmenor, y como la carga es constante, al ser C=Q/V, ladisminución del potencial (por la presencia del conductoneutro) implica un aumento de la capacidad. FIG. 7

La capacidad eléctrica es, por lo tanto, una magnitud característica no sólo delcuerpo, sino que está influenciada por la naturaleza y posición de los cuerpos que lerodean. En un sistema formado por dos láminas paralelas planas cuya distancia es pe-queña en comparación con las dimensiones de las láminas, su capacidad es:

dA

C 0ε= (21)

donde A es la superficie de cada armadura y d su separación.

En efecto, como el condensador consta de una armadura cargada y otra armadurapróxima a la primera que se carga por inducción, existe en ambas la misma carga eléc-trica sólo que de signo contrario y se origina en el espacio entre ellas un campo eléctricoprácticamente uniforme, cuyo valor se determina aplicando la ley de Gauss:

0ε

σ=E (22)

siendo σ la densidad superficial de carga en las armaduras. Consideremos una superficiediferencial dA en la parte central de la lámina. En realidad el campo tiene una pequeñadistorsión en los bordes del condensador (fig.8), que será tanto menor cuanto más pró-ximas estén las armaduras, distorsión que despreciamos en nuestro razonamiento. Ladiferencia de potencial entre las armaduras, viene expresada por:

ddrdrErdEVV0

2

1

2

10

2

121 .εσ

εσ

∫ ∫∫ ===•=− rr

Consideramos en el producto escalar que eltransporte de carga unidad se realiza a lo largo de unalínea de fuerza (en la que el ángulo entre E

r y rd

r es

cero y 10cos = ). La carga de la armadura positiva es: ∫=

SdAQ .σ

FIG. 8

y considerando σ prácticamente constante en todos los puntos de las armaduras, resulta:

AdAQS

.. σσ == ∫luego la capacidad del condensador, tal y como se quería demostrar, es:

dA

dA

VVQ

C 0

021 .. εεσ

σ ==−

=

3.2. Corrientes de carga y descarga de un condensador en C/C.

Cuando se conecta un condensador descargado a una diferencia de potencial, elcondensador no se carga instantáneamente sino que adquiere cierta carga por unidad detiempo que depende de su capacidad y de la resistencia del circuito. En el circuito de lafig.9 se representa un condensador y una resistencia conectados en serie a una diferencia


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de potencial Vab. Llamamos i a la intensidad de corriente en cierto instante posterior alcierre del interruptor y q a la carga del condensador en ese instante. Se puede escribir:

dtdq

i = Cq

Vax = iRVxb = y xbaxab VVV +=

y sustituidas las tres en la cuarta

0=−+ abViRCq

⇒ 0=−+R

Vi

RCq ab ⇒

FIG. 9

⇒ 01 =−+

RV

qRCdt

dq ab (23)

ecuación diferencial que tiene por solución: ( )RCt

ab eCVq −−= 1 (24)Puesto que CVab es igual a la carga final del condensador Q, podemos escribir:

( )RCteQq −−= 1 (25)

La fig.10 representa la gráfica de la ecuación(25). Se ve que la carga del condensador se aproximaasintóticamente a su valor final y se requiere por con-siguiente, un tiempo infinito para que el condensadoralcance su carga final. Queda, sin embargo, perfecta-mente definido el tiempo necesario para incrementarla carga hasta una determinada fracción de su valorfinal, y se encuentra experimentalmente que para valo-res cualesquiera de R y C basta un tiempo muy cortopara que la carga aumente hasta un valor esencial-mente igual a su valor final. FIG. 10

En un instante t cualquiera, la diferencia entre la carga final Q y la carga ya adqui-rida q es: RCteQqQ −=− . (26)si hacemos esta diferencia igual a Q/e y despejamos el valor de t se encuentra:

RCt = (27)Esto es, el producto RC es igual al tiempo necesario para que la carga que le falta

al condensador (Q-q) sea una fracción 1/e=1/2'71=0'369 de su valor final, y se denomi-na constante de tiempo del circuito. Para un condensador dado este tiempo es tanto ma-yor cuanto mayor es la resistencia y viceversa. Así, aunque la forma general de la gráfi-ca de q en función del tiempo es la misma cualquiera que sea la resistencia, esta curvasube rápidamente hasta su valor final si R es pequeña y lentamente si R es grande. Porejemplo, si C=1 µF y R=106 Ω resulta t=1 s y el condensador adquiere el 63% de lacarga final en 1 s como demuestra el siguiente cálculo: ( )631'0369'01 =− 63%

Dado que i=dq/dt, la ecuación que da la corriente de carga puede obtenerse deri-vando la (25) con lo que se encuentra:

RCtabRCtRCt eR

Ve

RCQ

RCeQ

dtdq

i −−− ==== 1.. (28)

La corriente de carga inicial (para t=0) es, por tanto, la misma que si el circuitosólo contuviese resistencia R, y la corriente disminuye exponencialmente en la mismaforma que aumenta la carga, descendiendo a un valor igual a 1/e de su valor inicial des-pués de haber transcurrido un tiempo igual a la constante de tiempo.


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Si se desconecta el condensador de la línea y se conectan los bornes entre sí a tra-vés de una resistencia R, se puede demostrar que la carga que queda sobre cada armadu-ra del condensador al cabo del tiempo t es:

RCteQq −= .donde Q es la carga inicial y la corriente de descarga es:

RCtabRCt eR

Ve

RCQ

i −− ==

3.3. Condensadores en Serie y en Paralelo.

Asociación en Paralelo o Derivación. En este tipo de asociación se conectan a unsolo punto todas las armaduras colectoras (o positivas) y a otro punto todas las armadu-ras condensadoras (o negativas), fig.11. La capacidad equivalente del sistema es igual ala suma algebraica de las capacidades asociadas:

321 CCCC ++= (29)En efecto: el potencial de las armaduras colectoras es el

mismo en todas las ramas, V1 por estar unidas a un único con-ductor. Asimismo, el potencial de todas las armaduras conden-sadoras es el mismo, V2 por idéntico motivo. La carga de cadacondensador será:

( )( )( )2133

2122

2111

VVCQ

VVCQ

VVCQ

−=−=−=

FIG. 11

luego: ( )( )21321321 VVCCCQQQQ −++=++=En el condensador equivalente, de capacidad C, carga total Q y sometido a la

misma diferencia de potencial V1-V2, se cumplirá:

321

21

CCCVV

QC ++=

−= c.q.d.

Asociación en Serie. En este tipo de asociación se conecta la armadura positiva decada condensador con la negativa de la anterior y la armadura negativa con la positivadel siguiente, como se observa en la fig.12, quedando los dos terminales extremos comolas armaduras del condensador equivalente del conjunto. La inversa de la capacidad delconjunto es la suma de las inversas de las capacidades de los condensadores asociados:

321

1111CCCC

++= (30)

En efecto: El potencial de cada armadura es el mismoque el potencial de la armadura asociada. Las cargas de todaslas armaduras es la misma, puesto que la primera produce, por FIG.12

inducción en la segunda una carga igual a la suya y de signo contrario, y en la tercerauna carga igual y de su mismo signo; la tercera induce sobre la cuarta y quinta y así su-cesivamente.

1

21 CQ

VV =− 2

32 CQ

VV =− 3

43 CQ

VV =−

luego:

++=++=−

32132141

111CCC

QCQ

CQ

CQ

VV

y en el condensador equivalente, fig.12, resulta: V1-V4 = Q/C luego:


13/29

321

1111CCCC

++=

Se utilizan las asociaciones de condensadores en serie para obtener capacidadesmenores que las capacidades disponibles asociadas. Y se utilizan asociaciones de con-densadores en paralelo para obtener capacidades mayores que las capacidades disponi-bles que asociamos.

4. BOBINAS O SOLENOIDES

4.1. Campo Magnético de una corriente circular.

Una corriente circular, denominada espira, crea un campo magnético a su alrede-dor cuyo vector Inducción Magnética B

r en un punto cualquiera, resulta muy complejo

de determinar mediante la integración de la ecuación de Biot-Savart aplicada al punto.Únicamente en los puntos situados en el eje de la espira, la integración puede realizarsede manera sencilla.

Consideremos una espi-ra situada en el plano XZ deun sistema de coordenadas,recorrida por una corriente I.El Vector Inducción Magné-tica B

r creado en el punto P

de coordenadas (0,Y,0), porun elemento de corriente

ldIr

. de la espira, vendrá da-do por la ley de Biot-Savart:

30

4 rrld

IBdrr

r ∧=π

µ

El campo total Br

en elpunto P, será el resultado de

FIG. 13

sumar todos los vectores Bdr

debidos a todos los elementos de corriente de la espira. Laintegración de la expresión anterior habrá de hacerse descomponiendo Bd

r en dos com-

ponentes yBdr

y zBdr

como se indica en la fig.13, resultando:

ϑπ

µcos

4 2

0 ⋅⋅=rdlI

dBy y ϑπ

µsen

4 2

0 ⋅⋅=rdlI

dB z

por simetría, la inducción magnética total será la suma de todas las componentes dBy,pues las componentes dBz se anulan todas entre sí al sumar las correspondientes a loselementos de corriente de toda la espira. Luego:

ϑµ

πϑπ

µϑπ

µϑ

πµ

cos2

2cos

4cos

4cos

4 2

0

2

0

2

0

2

0 ⋅=⋅⋅=⋅=== ∫∫∫ r

IRR

r

Idl

r

I

rdlI

dBB y =…

siendo: rR=ϑcos y ( ) 2122 yRr += resulta:

( ) 2322

20

2 yR

IRB

+= µ

y en forma vectorial ( ) jyR

IRB

rr2322

20

2 += µ

(31)

El vector Inducción Magnética Br

es máximo en el propio plano de la espira,


14/29

punto donde la coordenada y=0 jRI

Brr

20µ

= (32)

4.2. Campo magnético de una bobina recorrida por corriente continua ypor corriente alterna.

La ecuación (31) puede utilizarse para calcular la Inducción Magnética Br

en unpunto del eje de un solenoide, teniendo en cuenta que éste se considera formado por unconjunto de espiras iguales puestas en serie una detrás de otra y recorridas por la mismacorriente I.

Consideremos un sole-noide de longitud total L, nú-mero total de espiras N y radiode cada espira R, que está re-corrido por una corriente eléc-trica de intensidad I. El núme-ro de espiras por unidad delongitud es N/L y el número deespiras en una longitud ele-mental de solenoide dx será: FIG. 14

(N/L)dx. La inducción magnética dBx producida por dicho elemento de solenoide en P

será: ( )

( )[ ] 2320

2

20

2 xxR

dxIRLNdBx

−+⋅=

µ

ecuación que resulta de aplicar (31) multiplicada por el número de espiras del elementodel solenoide. La inducción total valdrá dada por:

( )[ ]∫−+

=L

xxxR

dxL

NIRB

0 2320

2

20

2

µ(33)

Realizaremos el siguiente cambio de variable:

αtg.0 Rxx =− y diferenciando: αααα 2

2

cos.

.sec.dR

dRdx ==

[ ] [ ] ...tg1

cos.

2tg.cos

.

22

1

2

12323

220

23222

220 =

+=

+= ∫∫

α

α

α

α ααα

µ

ααα

µ

R

dR

LNIR

RR

dR

LNIR

Bx

=

+

= ∫2

123

2

22

220

cossen

1

cos2

...α

α

αα

αα

µ

R

d

LNIR =

+∫

2

123

2

222

220

cossencos

cos2

α

α

ααα

αα

µ

R

d

LNIR

…

…= ( )1200

3

2

220 sensen

2.cos

2cos

cos2

2

1

2

1

ααµααµ

α

αα

µ α

α

α

α−== ∫∫ L

NId

LNI

R

d

LNIR

donde α1 y α2 son los ángulos

−=

Rx0

1 arctgα y

−=

RxL 0

2 arctgα

El signo negativo de α1 se obtiene haciendo x=0 y α=α1 en la ecuación general:


15/29

x-x0 = R.tg α.

Es más conveniente utilizar los ángulos complementarios φ1 y φ2, ambos posit i-vos, en lugar de α1 y α2 con lo que la ecuación del campo será:

( )210 coscos2

φφµ −=LNI

Bx (34)

Si el solenoide es muy largo y de radio R muy pequeño, en comparación con lalongitud, pueden aproximarse los ángulos φ1 y φ2 a 0 resultando entonces cosφ1=1 ycosφ2=1 con lo que la ecuación anterior quedará:

LNI

Bx0µ= (35)

siendo en este caso, B constante, es decir, independiente de la posición del punto en eleje del solenoide.

4.3. Fenómenos de Inducción Mutua y Autoinducción en las bobinas.

La ley de Faraday nos dice que en un circuito conductor se origina una FEM in-ducida siempre que a través de él se produzca una variación del flujo magnético, inde-pendientemente de la fuente magnética que dé origen a dicho flujo. El fenómeno in-ductor (flujo magnético) y el fenómeno inducido (fuerza electromotriz que origina unacorriente) pueden producirse en dos lugares diferentes e independientes dando lugar aun fenómeno de inducción mutua, o bien pueden producirse ambos en el mismo circuitodando lugar a un fenómeno de autoinducción.

Consideremos dos circuitos o bobinas pró-ximas entre sí y arrolladas sobre un núcleo dehierro, fig.15. La corriente que circula por labobina 1 debido a la batería de FEM, E y regu-lada por la resistencia variable R, genera uncampo magnético, cuyo flujo atraviesa parcial-mente la bobina 2 que está conectada, única-mente a un galvanómetro y es independiente dela bobina 1.

FIG. 15

En el caso de que la corriente I1 por la bobina 1 varíe, variará el flujo magnéticoque engendra y variará el flujo parcial que atraviesa la bobina 2. Ello dará lugar a unaFEM inducida en la bobina 2, mientras dura la variación del flujo. El flujo en 2 depen-derá de la corriente en 1, o sea: 12 I∝Φ o bien 12 .Ic=Φsiendo c una constante que dependerá de la geometría del sistema.

Aplicando la ley de Faraday al circuito 2 resultará:

dtdI

MdtdI

cNdt

dN 11

22

22 −=−=Φ−=E (36)

siendo M el coeficiente de Inducción Mutua, una constante que depende exclusivamentede la geometría del sistema y del número de espiras de la bobina. La expresión anteriorrepresenta la FEM inducida en la bobina 2 por la variación del flujo magnético que laatraviesa originada por la variación de corriente en la bobina 1. El coeficiente de Induc-ción Mutua M expresa la FEM engendrada por una variación de corriente de 1 A/s:


16/29

dtdI

M1

2E−=

==== H

AWb

AAJ

sACJ

sAV

..(37)

Este fenómeno de inducción de corriente se produce también en la propia bobina1 donde se origina la variación del flujo magnético. Así, cuando en una bobina de Nespiras circula una corriente I, se origina un campo magnético cuyo flujo total Φ, en lapropia bobina es proporcional a la corriente circulante I y se puede escribir:

I∝Φ o bien Ik.=Φsiendo k una constante que depende de las características geométricas de la bobina.

Cuando varía la corriente I (por ejemplo, en elcierre o apertura del circuito o accionando una resis-tencia variable o reóstato) se originará una variación deflujo magnético Φ y se induce en la propia bobina unaFEM inducida dada por:

dtdI

LdtdI

kNdtd

N −=−=Φ−= .E (38) FIG. 16

Donde L es el coeficiente de Autoinducción (también se mide en Henrios) y representala FEM autoinducida por una variación de corriente, en el propio circuito de 1 A/s.

El signo negativo de las expresiones (36) y (38) indica que la FEM inducida ha degenerar una corriente inducida de tal sentido que origine un flujo magnético propio quese oponga a la causa que lo produce que es la variación del campo magnético inductor,es decir:

A) si la corriente originaria disminuye, la corriente inducida tendrá su mismo sentido,sumándose los flujos magnéticos y

B) si la corriente originaria aumenta, la corriente inducida tendrá sentido contrario y losflujos magnéticos se restarán.

Las corrientes inducidas, originadas por los fenómenos de inducción mutua o au-toinducción, son débiles en conductores lineales, sin embargo en los solenoides o bobi-nas, cada espira influye por autoinducción sobre ella misma y por inducción mutua so-bre las demás espiras próximas y los efectos de la inducción se acrecientan.

Corrientes autoinducidas se producen en el cierre y en la apertura de circuitos, loque puede dar lugar a chispas en los interruptores o enchufes. Los interruptores que co-necten circuitos que posean bobinas (motores) han de construirse de manera que pro-porcionen una ruptura instantánea, y así, la fuerte corriente de autoinducción generadaen la ruptura no se sumará a la corriente principal, ya inexistente, evitando que se alma-cenen valores elevados de intensidad de corriente.

El coeficiente de autoinducción de una bobina puede determinarse a partir de suscaracterísticas geométricas y eléctricas. La ley de Faraday E=−N.dΦ/dt la sustituimosen la expresión (38) y resulta:

dtdI

Ldtd

N =Φ ⇒ dILdN .. =Φ e integrando ∫∫

Φ=Φ

IdILdN

00

resulta finalmente: ILN .. =φ ⇒ I

NLΦ= (39)


17/29

expresión que nos da el coeficiente de Autoinducción de una bobina de N espiras, ali-mentada por una corriente I y atravesada por un flujo Φ. Considerando que el flujo deuna bobina viene definido por:

∫ =•=Φ SBSdB .rr

para el caso del campo magnético perpendicular a las espiras, la expresión de L será:

I

SBNL

..= (40)

y como el campo magnético B de una bobina es: l

INB

..µ=

resulta: l

SNL

2µ= (41)

como vemos el coeficiente de autoinducción de la bobina depende de sus característicasgeométricas y físicas. Depende de cómo ha sido construida.

4.4. Producción de corriente en un circuito inductivo.

Supongamos un circuito con autoinducción alimentado por una batería. Al cerrarel circuito, la FEM será la de la batería (E=IoR, donde Io es la intensidad que se produ-ciría sin el fenómeno de la autoinducción) más la FEM generada en la autoinducción(Ea=−L.dI/dt).

La aplicación de la ley de Ohm al circuito, conduce:

IRdtdI

La =−=+ EEE ⇒ IRdtdI

LRI =−0 ⇒ dtLR

IIdI =−0

Por integración obtenemos:

( ) CtLR

II −=−− 0ln

y para t=0 (instante de cerrar el circuito), I=0, sustituyendo valores en la anterior, re-sulta: CI =− 0ln

por tanto: ( ) 00 lnln ItLR

II −=−− ⇒ tLR

III −=−−

0

0ln

Para t=0, I=0 y para t=∞, I=I0, luego tomando antilogaritmos, resultará: ( )LtReII .

0 1 −−= (42)La representación gráfica de esta función es la de la

fig.17. En la práctica, para un determinado tiempo, la in-tensidad se acerca tanto a la de régimen estacionario I0,que podemos identificarlas. Se llama constante de tiempodel circuito, al factor L/R. Así cuando t=L/R la expresiónanterior queda: FIG.17

( ) 0001

0 632'011

11 Ie

eI

eIeII =−=

−=−= − (43)

La constante de tiempo es, en definitiva, el tiempo necesario para que la intensi-dad, al cerrar un circuito, aumente hasta 0'632 de su valor estacionario. Cuanto mayor esla constante de tiempo, I tarda más tiempo en adquirir su valor límite.

Si una vez adquirido el valor límite, cortocircuitamos la batería, la intensidad en la


18/29

línea decrece según la curva cuya ecuación es: LtReII .

0−= (44)

En efecto, al abrir el circuito, la única FEM que actúa es la de autoinducción:

IRdtdI

L =− ⇒ dtLR

IdI −= e integrando Kt

LR

I +−=ln

Para calcular la constante K, consideremos que para t=0, I=Io luego: lnIo=K ysustituyendo tendremos:

0lnln ItLR

I +−= ⇒ tLR

II −=0

ln ⇒ LtReII .0

−= (45)

4.5. Autoinducciones en serie.

Supongamos dos bobinas acopladas en serie, por las que circula la misma intens i-dad I. Si su separación es suficientemente grande para poder despreciar las influenciasde los flujos mutuos (el efecto de inducción mutua), la FEM de la autoinducción será:

dtdI

Ldt

d1

11 −=Φ−=E y

dtdI

Ldt

d2

22 −=Φ−=E

por lo que la FEM total inducida entre los extremos de las dos bobinas en serie, será:

( )dtdI

LL 2121 +−=+= EEE

por tanto ambos inductores equivalen a una única bobina que tuviera una autoinducción: 21 LLL += (46)

Consideremos ahora los efectos mutuos entre ambasbobinas, fig.18. En el caso (a) los flujos magnéticos de au-toinducción (autoflujos) y los flujos magnéticos de la in-ducción mutua (flujos mutuos) deberán tener el mismo sen-tido y por tanto, teniendo en cuenta las expresiones obteni-das para la FEM de la autoinducción y de la inducción mu-tua, así como que M12=M21=M, la FEM total entre las ex-tremos 1 y 3 de las espiras es:

( )dtdI

MLL 221211221 ++−=+++= EEEEE

luego el sistema se puede sustituir por una espira o bobinaúnica de coeficiente de autoinducción: FIG.18

MLLL 221 ++= (47)

En el caso (b), los autoflujos (flujos debidos a la intensidad de una de ellas) llevansentidos contrarios al de los flujos mutuos (flujo que en una de ellas es atravesado porefecto de la intensidad de la otra); lo mismo ocurre con las FEM, por tanto:

( )dtdI

MLL 221211221 −+−=−−+= EEEEE

en este caso equivale a una autoinducción de valor: MLLL 221 −+= (48)


19/29

5. OTROS ELEMENTOS DE CIRCUITO: DE VACÍO, DE ESTADO SÓ-LIDO.

Otros elementos de circuito, de funcionamiento más complejo, son los de vacío(diodo, triodo) y los estado sólido (transistores, etc).

La lámpara de dos electrodos o diodo de vacío consiste en un filamento F, puestoen incandescencia por una pila de pequeño voltaje, E’, y una placa metálica P enfrentedel filamento, (fig.19). Ambos están encerrados en una ampolla de vidrio en la que se hahecho el vacío.

Si conectamos el diodo provisto de un galvanómetro y una batería de generadores,de forma que el filamento F funcione como polo negativo y la placa metálica P comopolo positivo, los electrones liberados por el filamento en incandescencia, son atraídospor la placa produciéndose una circulación electrónica o corriente eléctrica, cuya inten-sidad nos indica el galvanómetro G.

FIG.19

FIG.20

FIG.21

Si aumentamos la diferencia de potencial, la intensidad de la corriente aumentahasta un cierto valor denominado intensidad de saturación, S, y adquirida dicha intens i-dad, aunque aumente la diferencia de potencial, la intensidad no varía, (fig.20). El diodose caracteriza por que permite el paso de electrones de filamento a placa (corriente placaa filamento) pero no permite el paso de electrones de placa a filamento (corriente defilamento a placa).

El diodo puede actuar como rectificador permitiendo el paso de la corriente sin re-sistencia alguna en un sentido e impidiendo totalmente el paso contrario, (fig.21).Cuando la placa actúa como polo positivo la corriente circula pues los electrones delfilamento son atraídos por el potencial positivo de la placa, pero cuando la placa actúacomo polo negativo, repele los electrones del filamento y no existe corriente.

De funcionamiento semejante es el diodo de estado sólido, que consiste en dosplacas de semiconductores unidas. Una de las placas, llamada placa n (negativa) poseeelectrones disponibles, como ocurre en un cristal de silicio impurificado con arsénico yla otra placa, llamada placa p (positiva) posee déficit de electrones, es decir, huecos paraalojar electrones, como ocurre en un cristal de silicio impurificado con galio.

Conectada la placa n al polo negativo del generador de corriente y la placa p alpolo positivo, los electrones disponibles en n podrán pasar a p y se establece la corrienteen la unión n-p. La conexión con polaridad opuesta no dará lugar a paso de corriente enla unión n-p, luego puede actuar como rectificador de manera semejante al diodo devacío.


20/29

Otro elemento a considerar es el Triodo de vacío, construido por una lámpara dedos electrodos a la que se le añade un tercer electrodo, consistente en una rejilla metáli-ca colocada entre la placa y el filamento y a la que se suministra un ligero potencialvariable positivo o negativo. Un débil potencial en la rejilla puede controlar un flujoelevado de electrones en su paso de filamento a placa, lo que significaría que un débilpotencial en rejilla puede modular y controlar un alto potencial entre filamento y placa.Esto le da al triodo un efecto amplificador de la corriente de placa. El triodo ha tenidomuy variadas aplicaciones, no sólo como amplificador de corriente sino como osciladory como detector.

Los transistores son elementos semejantes en su funcionamiento al triodo peroconstruido con semiconductores. Consta de una lámina de material semiconductor tipon rodeada de dos láminas de semiconductor tipo p, y conectado el conjunto a un circuitocomo se describe en la fig.22. El polo positivo delgenerador está conectado a la placa p izquierda(emisor) y el polo negativo a la placa p derecha(colector). La lámina central n se llama electrodobase. La intensidad de corriente en el electrodocolector depende de la regulación de corriente queproduzca el electrodo base, según su potencial. Éstecontrola la corriente de todo el circuito.

FIG. 22

6. PAPEL DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO EN CORRIENTE AL-TERNA

6.1. La Resistencia en los Circuitos de Corriente Alterna.

Consideremos en primer lugar cómo se genera la corrientealterna, para lo cual el circuito en forma de espira rectangular dela fig.23 gira en el seno de un campo magnético B

r con una ve-

locidad angular constante ω=2π/T=2πν. Comenzamos a contar eltiempo (origen de tiempos)cuando coincide el campo B

r con la

normal del plano de la espira (vector nr

). Al cabo de un tiempo, t,finito, el ángulo girado por la espira es ωt y el flujo que atraviesael circuito de la espira será:

ABtABrr

•==Φ ωcos.. (49)en la que A es la superficie total limitada por el circuito, que seobtiene multiplicando la superficie de la espira por el número total

FIG. 23

de ellas, si las espiras determinan superficies iguales.

El valor de la FEM inducida: tABdtd ωω sen...=Φ−=E (50)

El valor máximo del seno es 1, por tanto la FEM máxima es:ω..0 AB=E (51)

El valor máximo de la FEM inducida es directamente proporcional a la velocidadangular de rotación de la espira o bobina y de la superficie del circuito y por lo tanto,proporcional al número de espiras de las bobinas del inducido, si éstas tienen superficiesiguales.


21/29

Prescindiendo de las influencias de la autoinducción y de la capacidad del circui-to, y siendo R su resistencia óhmica, la intensidad de la corriente alterna tiene el valor

(Ley de Ohm): tItRR

I ωω sensen 00 === EE

(52)

siendo I0=E0/R la intensidad máxima.

Si introducimos una corrección de fase de π/2, es de-cir, empezamos a contar el tiempo (origen de tiempos) 1/4de período después, o sea, cuando el plano del circuito esparalelo a las líneas de fuerza del campo magnético y con-siderando que: ( ) tt ωπω cos2sen =+las ecuaciones anteriores de la FEM y la Intensidad alternapueden escribirse también: FIG. 24

ttT

t πνπω 2cos2

coscos 000 EEEE === (53)

tItT

ItII πνπω 2cos2

coscos 000 === (54)

Representando la FEM. y la Intensidad en ordenadas y ωt en abscisas, obtenemospara E e I la representación gráfica del coseno. Observemos que E e I están en fase.

6.2. Los Condensadores y Bobinas en circuitos de corriente alterna.

6.2.1. Capacitancias e Inductancias. Resonancia.

Consideremos un circuito RCL en el que existe una FEM alterna dada por: tωcos0EE = (55)

tal circuito posee una resistencia total R, una autoinducción L y hay intercalada una ca-pacidad C. La intensidad de corriente que circula es:

( )ϕω −= tII cos0 (56)variando la intensidad I desdelos valores +I0 hasta –I0.Siendo I0 el valor absoluto dela intensidad máxima y ϕ elángulo de desfase de la inten-sidad con respecto a la FEM.El ángulo positivo indica unretraso de la intensidad conrespecto a la FEM(fig.25) y un

FIG. 25 FIG. 26

un ángulo ϕ negativo indica un adelanto de I con respecto a la FEM (fig.26).

El valor de ϕ viene dado por la expresión: R

CL

ωω

ϕ

1

tg−

= (57)

El numerador de esta fracción Lω−1/Cω se le llama Reactancia, X, que consta dedos términos: Inductancia (Reactancia Inductiva), XL=Lω y Capacitancia (ReactanciaCapacitiva), XC=1/Cω. La intensidad máxima de la corriente viene expresada por:


22/29

Z

CLR

I 0

22

00

1

EE=

−+

=

ωω

(58)

Al denominador de la fracción, se le llama Impedancia, Z, del circuito:

2

2 1

−+=

ωω

CLRZ (59)

La ecuación (58) no es mas que la Ley de Ohm de la Corriente Alterna: "La inten-sidad máxima de la corriente alterna es igual a la FEM máxima dividida por la Impe-dancia".

Si ahora consideramos un circuito de resistencia R con un alternador y una au-toinducción L, a fin de determinar el retraso que provoca la autoinducción en la intens i-dad con respecto a E. Al ser nula la capacitancia XC=1/Cω (lo que implica que C=∞):

R

Lωϕ =tg y ( )22

00

ωLRI

+=

E(60)

Al ser Lω y R positivos por naturaleza, tg ϕ>0, lo cual interpretamos físicamentehaciendo 0<ϕ<π/2. Llevando el valor de ϕ a la expresión de la intensidad, observamosque la autoinducción del circuito provoca retrasos de I con respecto a E.

Y si R fuese despreciable frente a Lω; tgϕ=∞ y ϕ=π/2. En un circuito con in-fluencia exclusiva de la autoinducción, la intensidad está retrasada en fase π/2 con res-pecto a la FEM. Se dice entonces que ambas magnitudes están en cuadratura de fase, yel valor de la impedancia es:

ωLZ = ωLZ

I 000

EE == (61)

Y por último, considerando ahora que el circuito está formado por resistencia R,con un alternador de FEM E y un condensador intercalado de capacidad C, al ser nula lainductancia XL=Lω obtenemos:

RCωϕ 1

tg−= y

( )22

00

1 ωCRI

+= E

(62)

El valor negativo de la tangente determina que ϕ está comprendido entre 0 y -π/2.Llevando el valor de ϕ a la expresión de la intensidad, observamos que la capacidadprovoca un adelanto de fase de la intensidad con respecto a la FEM. Si además R fueradespreciable frente a 1/Cω entonces: ∞=ϕtg ⇒ ϕ=−π/2

En un circuito con influencia exclusiva de la capacidad, la intensidad de corrienteestá adelantada en fase π/2 con respecto a la FEM y ambas se dice que están en cuadra-tura de fase.

Se produce Resonancia en un circuito cuando la reactancia es nula, es decir:

ωω

CL

1= ⇒ 0tg =ϕ

entonces, la intensidad y la FEM están en concordancia de fase, es decir, las dos seanulan o se hacen máximas en el mismo instante. La impedancia se hace mínima e iguala R e I0 adquiere su mayor valor posible, al ser mínimo el denominador de (58):


23/29

RI 0

0

E=

Así, cuando hay concordancia entre la fase de la intensidad y la FEM, I crece ex-traordinariamente haciéndose peligrosa para la seguridad del aislamiento de la línea.

Siendo: ω

ωC

L1= →

LC12 =ω y como:

Tπω 2=

resulta: LCT π2= (63)que nos da el período de la corriente alterna en el fenómeno de la resonancia, en funciónde la autoinducción y la capacidad del circuito. Este tiempo es el llamado período dedescarga del condensador.

6.2.2. Descarga Oscilante. Producción de corrientes de alta frecuencia.

Cuando aumenta la frecuencia de una corriente alterna, lo cual puede lograrsehasta un cierto límite, mediante alternadores provistos de gran número de polos quegiran rápidamente, las propiedades de los circuitos recorridos por dichas corrientes sonmuy interesantes; en particular los fenómenos de inducción adquieren mucha importan-cia y una simple espira, colocada en las proximidades de tales circuitos, puede recogeruna fracción considerable de energía.

Para entender mejor lo que ocurre en la descarga de un condensador nos valdre-mos de un símil mecánico que nos dará la interpretación física del fenómeno. Supon-gamos un tubo en U que contiene mercurio y provisto de una llave, de modo que el ni-vel de una de sus ramas queda por encima del alcanzado en la otra. Cuando pongamosambas ramas en comunicación, el mercurio buscará su posición de equilibrio, pero unavez alcanzada ésta, no se detendrá y, en virtud de la inercia, si no hubiera rozamiento oresistencia, alcanzaría en la segunda rama la altura que tenía en la primera y, descen-diendo de nuevo, iniciaría una serie de oscilaciones. En realidad, debido a que siemprehay rozamientos, las oscilaciones se amortiguan, es decir, su amplitud va disminuyendoexponencialmente.

Si repetimos la experiencia con un tubo cuya parte inferior posea un estrecha-miento, observaremos que, por ser la resistencia mucho mayor, el líquido no oscila, opor lo menos que sus oscilaciones son fuertemente amortiguadas. En consecuencia, elhecho de que se produzcan o no oscilaciones, depende de la importancia de la resisten-cia frente a la inercia. En resumen: si la inercia es mucho mayor que la resistencia vis-cosa (rozamiento), el líquido oscila y si la inercia es mucho menor, el líquido no oscila.

Este ejemplo justifica lo que ocurre al unir con un solenoide (autoinducción L)dos esferas cargadas de signo contrario.La neutralización de tales cargas mediante el pa-so de electrones de B hacia A (fig.27) no tiene lugar enuna sola vez sino que alternativamente cada esfera ad-quiere cargas de uno y otro signo, y por el conductorpasa una corriente de sentido variable (descarga osci-lante) y cuya intensidad se amortigua tanto más rápida-mente cuanto menor sea la autoinducción L que hace elpapel de inercia, frente a la resistencia óhmica R quehace el papel de rozamiento, en la que se disipa energía.Si R<<Lω habrá oscilaciones eléctricas, pero no puede

FIG. 27


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haberlas en el caso contrario en que R>>Lω. En la descarga eléctrica que acabamos dedescribir, todo el proceso dura un tiempo muy corto, pero puede obtenerse fácilmenteuna sucesión de descargas (fig28) mediante el dispositivo esquematizado en la fig.29.

Cada vez que el interruptor abre o cierra el cir-cuito primario de un carrete de inducción, se carga elcondensador C conectado al secundario S, ya que entresus armaduras se establece una d.d.p. de modo que si és- FIG. 28

ta es suficiente obtendremos en el circuito del condensador una sucesión de descargasoscilantes mientras estemos accionando el interruptor, aunque entre cada una de ellas yla siguiente no pasa corriente por el circuito. Dicha sucesión dedescargas la podemos obtener automáticamente alimentando elprimario P con corriente alterna.

Si V es la diferencia de potencial en un instante entre las ar-maduras del condensador, la ley de Ohm aplicada a este caso es:

Ridtdi

LCq

V +==

donde R es la resistencia, L su autoinducción, C la capacidad y q lacarga instantánea que posee el condensador y cuando ésta varíacon el tiempo aparece una corriente cuya intensidad es i=dq/dt. FIG. 29

La integración de esta última ecuación para hallar la expresión de la intensidad enfunción del tiempo i=f(t), da como resultado para el valor instantáneo de la intens idad:

)sen(0 ϕωλ −= − teAi t (64)donde A0, l, ω y ϕ son constantes que dependen de las características del circuito.

La expresión anterior nos dice que la corrienteeléctrica viene representada por una función sinusoi-dal cuya amplitud va amortiguándose exponencial-mente con el tiempo, tal como se muestra gráfica-mente en la fig.30. El valor de λ que determina larapidez del amortiguamiento, es precisamente: FIG. 30

LR=λ (65)

de donde se deduce lo que ya habíamos adelantado: Si R>>Lω, λ es elevada, la oscila-ción se amortigua rápidamente, mientras que si R<<Lω, λ es pequeña y la oscilaciónestar poco amortiguada.

Por otra parte, la constante ω que figura en la ecuación (64) está ligada a las ca-racterísticas del circuito por:

LC

1=ω y por tanto: LCT πωπ

22 == (66)

ecuación que nos da el período y, en consecuencia, la frecuencia ν de las oscilacioneseléctricas que tienen lugar en el circuito.

Así, con un circuito oscilante pueden obtenerse corrientes alternas de frecuenciastan elevadas como se quiera, si bien hay que tener en cuenta que con el dispositivo de la


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fig.29 sólo tendremos corrientes a intervalos, pues entre cada tren de ondas fuertementeamortiguadas transcurre un cierto tiempo.

Es posible por medio de dispositivos especiales obtener oscilaciones eléctricasmantenidas, es decir, verdaderas corrientes alternas de alta frecuencia. Un circuito osci-lante puede oscilar de un modo continuo por autoexcitación, empleando un dispositivoque carezca de inercia para que sea capaz de suministrar los impulsos de energía necesa-rios en el instante oportuno. Esto se consigue conectando el circuito oscilante al circuitode placa de un triodo, que suministra en cada oscilación la carga necesaria para com-pensar la pérdida por amortiguamiento.

Cuando un circuito provisto de una autoinduc-ción y una capacidad variables (fig.31) con unabombilla en serie, se aproxima a un circuito osci-lante, se observa en el primero la producción de os-cilaciones eléctricas inducidas que se ponen de ma-nifiesto porque dichas corrientes de alta frecuenciaencienden la bombilla. El fenómeno es tanto másimportante cuanto mayor sea el acoplamiento entrelas bobinas L y L' y en especial cuando la frecuencia

FIG. 31

propia del circuito 2 coincide con la del circuito inductor 1. En este caso la bombillabrilla con la máxima intensidad. Se trata simplemente de un fenómeno de resonanciaentre ambos circuitos y se dice que en 2 se realizan oscilaciones forzadas.

7. ENERGIA DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO

7.1. Energía disipada en una Resistencia. Ley de Joule.

La caída de potencial (V1-V2) entre dos puntos de un hilo conductor constituye lacaída o pérdida de energía potencial por unidad de carga que circula por el conductordesde el punto 1 al 2. Si la carga transportada es q, la pérdida de energía potencial (U)

será: ( ) ( ) ( )R

tVVRtItIVVqVVU

2212

2121 .−==−=−= (67)

En un conductor con resistencia eléctrica se produce la transformación de la ener-gía eléctrica en calorífica al circular por él una corriente. Al pasar la carga eléctrica delos potenciales elevados a los potenciales bajos se produce una disminución de energíapotencial la cual se transforma en calor, con la consiguiente degradación.

Si R, I y t vienen expresados en Ohmios, Amperios y Segundos respectivamente,U viene expresada en Julios. Cada Julio (J) es capaz de producir 1/4'18=0'24 Calorías.La cantidad de calor, expresada en calorías, producida en un conductor de resistencia Rserá pues: RtIQ 224'0= (68)

7.2. Energía de un Condensador cargado.

La energía de un condensador cargado puede medirse por el trabajo que habríaque realizar para llevar de una a otra armadura la carga necesaria para conseguir queellas quedasen al final con las cargas +Q y −Q, transporte que se considera realizadopor una sucesión de infinitos transportes de cargas elementales. Supuesta una de las


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armaduras en contacto con tierra (potencial cero), si el potencial de la otra armadura esV, el trabajo realizado en el paso de la carga dQ es dW=V.dQ y la energía será pues:

CQ

dQQC

dQCQ

dQVUQQQ 2

000 21

.1

. ⋅==== ∫∫∫ (69)

Sustituyendo Q o C por sus valores deducidos de la ecuación de la capacidad delcondensador [C=Q/(V1−V2)], obtenemos:

( ) ( )22121

2

21

21

21

VVCVVQCQ

U −=−=⋅= (70)

7.2.1. Densidad de energía del Campo eléctrico.

La energía de un condensador queda localizada en el espacio entre las armadurasdonde se genera el campo eléctrico. Supongamos un condensador plano, el espacio delcampo eléctrico es el paralelepípedo que existe entre sus armaduras. Considerando queV1−V2=E.d, siendo E el valor del campo eléctrico y d la distancia que separa ambas ar-maduras y teniendo en cuenta que la capacidad de un condensador plano viene dada porla expresión C=ε0A/d, se obtiene para la energía acumulada en el condensador:

( ) vEAdEdAdE

VVCU 20

20

022

221 2

121

221 εεε ==⋅=−=

siendo v=Ad el volumen comprendido entre las armaduras del condensador. Suponiendoel campo eléctrico limitado a tal volumen, la energía por unidad de volumen o densidadvolúmica de energía eléctrica es:

202

1E

vU

u ε== (71)

7.3. Energía asociada a una Autoinducción.

Consideremos un solenoide lo suficientemente largo para considerar nulo el cam-po magnético en el exterior a él. Al cerrar al interruptor que lo conecta a una batería dealimentación, hemos de considerar la FEM de ésta y la de autoinducción del solenoide.La cantidad de energía generada en el circuito será:

IdtdtdILdW

−= E ⇒ dWdILIdtI += ..E (72)

El primer término EIdt representa la energía suministrada por el generador en eltiempo dt la cual se distribuye en una producción de calor en el circuito dW y en unaenergía localizada en el interior del solenoide, correspondiente al campo magnético queen él se crea, LIdI. Esta última expresión de la energía del campo magnético, integradaentre los límites de 0 e I (intensidad final del circuito) nos dará la energía del campomagnético del solenoide:

2

0 21

LILIdIUI

∫ == (73)

Por otro lado, el flujo magnético que atraviesa a un solenoide de n espiras es:nABIL ... ==Φ

ya que BA es el flujo a través de cada una de las espiras. Sustituyendo el valor de LI enla anterior, obtenemos:

InABU ...21= (74)


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Considerando que el valor del campo magnético B en el interior de un solenoiderecto e infinito viene dado por:

lnI

B 0µ= de donde despejando I: nlB

I0

.µ

= (75)

y sustituyendo en (74) resulta para la energía del campo magnético:

0

2

0

2

21.

21

µµvBlAB

U ⋅=⋅= (76)

ya que v=A.l es el volumen del solenoide.

7.3.1. Densidad de Energía del Campo Magnético.

A partir de la expresión anterior de la energía asociada a un solenoide, y puestoque v=A.l es el volumen del solenoide, la energía magnética localizada por unidad devolumen o densidad volúmica de energía magnética viene dada por la expresión:

0

2

21

µB

vU

u ⋅== (77)

expresión completamente independiente de las características del solenoide, y que portanto generalizamos a todo campo magnético. En el caso de materiales magnéticos ho-mogéneos e isótropos, en los que la permeabilidad magnética es µ entonces:

µ

2

21 B

u ⋅= (78)

y teniendo en cuenta el vector campo magnético o excitación magnética, H, relacionadocon el vector inducción magnética B por:

HBrr

µ= (79)la expresión de la densidad volúmica de energía magnética y la energía magnética de undeterminado volumen, serán respectivamente:

BHu .21= y ∫=

vdvBHU ..

21

(80)


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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

Raymond A.SERWAY. Física. Nueva Editorial Interamericana. MEJICO.

Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. Saber, Entidad Española deLibrería. VALENCIA.

Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo. Edito-rial Aguilar. 1967. MADRID.

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.

Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio-nes. Tomo II. Ediciones McGraw-Hill. MADRID.

Juan CABRERA Y FELIPE. Introducción a la Física Teórica. Volumen II. Elec-tricidad y Optica. Librería General de Zaragoza. 1967. ZARAGOZA.


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Tratamiento Didáctico----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVOS

Se pretende en este tema dar una visión globalizada de los efectos que los 3 princi-pales elementos de circuito (resistencias, condensadores y bobinas) producen en circui-tos alimentados con corriente continua y alterna y a partir de este estudio realizar susaplicaciones tecnológicas.UBICACION

En la E.S.O. el tema se ubica en la Física y Química de 3º curso en lo referente aC/C, a un nivel elemental de introducción para ampliar en 4º curso. Lo concerniente aCorriente Alterna se ubica en la Física de 2º de Bachillerato.TEMPORALIZACION

Puede desarrollarse el tema en un período de 4 horas para explicar todos sus puntos ydebe completarse con 2 horas para la resolución de problemas numéricos relacionadoscon circuitos de continua y alterna con diversos elementos de circuito y una hora paramontaje y medición en el laboratorio.METODOLOGIA

Los conceptos eléctricos y el funcionamiento de los circuitos deben explicarse ex-haustivamente en clase de manera teórica, salpicada de ejemplos prácticos, dada la grandificultad que tienen para su comprensión por los alumnos, haciendo hincapié en losefectos que los elementos estudiados producen en el circuito bien de continua como dealterna.

La explicación debe estar salpicada de resolución de problemas numéricos sobre re-solución de circuitos inicialmente sencillos que aumenten su complicación con la expli-cación.

Pueden demostrarse los fenómenos explicados mediante la realización de circuitosbásicos de alterna y continua en el laboratorio con utilización exhaustiva de aparatos demedidas, como amperímetros y voltímetros.CONTENIDOS MINIMOS

Descripción de Resistencias óhmicas. Condensadores. Bobinas.Efecto Joule.Conceptos de Carga y descarga de un condensador.Efecto de la bobina: formación de un campo magnético.Energía disipada en la resistencia. Energía almacenada en condensadores y bobinas.Aplicaciones. Producción de corrientes alternas de alta frecuencia.

MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOSLibro de Texto, complementado con apuntes de clase.Materiales de laboratorio: Equipos de electricidad escolar para prácticas de circuitos

eléctricos y medidas de corrientes y potenciales tanto en c/c como c/a que incluya re-sistencias, condensadores y bobinas, fuentes, polímetros con shunt y resistencias, poten-ciómetros, bombillas y paneles de conexión.

Programas de ordenador llamados Corrientes Continuas y Corrientes Alternas parala demostración cualitativa y cuantitativa de las magnitudes estudiadas: intensidades decorriente, voltajes, resistencias, capacidades, impedancias, etc.EVALUACION

Pruebas objetivas escritas sobre conceptos teóricos y prácticos fundamentales rela-cionados con el tema valorando la comprensión y razonamiento.

Pruebas escritas de problemas numéricos sobre el tema.Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas que obligue al alumno

al razonamiento.

temas de fÍsica y quÍmica (oposiciones de …usuaris.tinet.cat/acas/apunts/opos/24,27-33/tema...

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