temel makİna dİnamİĞİ eĞİtİmİ...

TEMEL MAKİNA DİNAMİĞİ

EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI

29 OCAK – 03 ŞUBAT, 2018

Düzenleyen Kuruluşlar:

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ve

MAKİNA TEORİSİ DERNEĞİ

Çalıştay Ders Notları:

MEKANİZMALARIN

HAREKET VE KUVVET ANALİZİ

Hazırlayan:

Prof. Dr. M. Kemal Özgören

Makina Mühendisliği Bölümü

ODTÜ

ISBN: 978-605-84220-4-9

1

ÖNSÖZ

Bu ders notları kitapçığını, 29 Ocak – 03 Şubat, 2018 tarihleri arasında Ondokuz Mayıs

Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü'nün ve Makina Teorisi Derneği'nin katkı ve

destekleriyle düzenlenen "Temel Makina Dinamiği Eğitimi" konulu çalıştay kapsamında vermiş

olduğum "Mekanizmaların Hareket ve Kuvvet Analizi" temalı derste anlattığım konulara

dayanarak hazırlamış bulunuyorum.

Bu çalıştayın düzenlenmesinde önayak olan Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Makina Mühendisliği

Bölümü Öğretim Üyesi Y. Doç. Dr. Nurdan Bilgin ile Makina Teorisi Derneği Başkanı Prof. Dr.

Eres Söylemez'e ve kendilerine özveriyle destek olan herkese teşekkür ederim. Ayrıca, çalıştaya

katılıp dersleri ilgiyle izleyen ve çeşitli konularda görüşlerini belirten genç meslektaşlarıma da

teşekkür ederim.

Bu arada, bu ders notlarının ders verilirken katılımcılara sunulan ilk taslaklarında bulunan çeşitli

hataları ve eksiklikleri tesbit edip belirten ve notların iyileştirilmesi için faydalı önerilerde

bulunan Y. Doç. Dr. Nurdan Bilgin ile Doç. Dr. Gökhan Kiper'e özellikle müteşekkir olduğumu

belirtmek isterim.

Bu kitapçıkta, yer yer uzaysal mekanizmaların farklı yönlerine deyinmeler yapmış olsam da, ana

içerik olarak düzlemsel mekanizmalara yer vermiş bulunuyorum. Çünkü, düzlemsel

mekanizmalar, hem fiziksel hem de matematiksel olarak uzaysal mekanizmalara göre daha

basittirler ve bu nedenle çok daha fazla tercih edilmektedirler. İlgili okuyucuların düzlemsel

mekanizmaların hareket ve kuvvet analizleri konusundaki en temel hususlara zaten yeterince

vakıf olduklarını varsaydığım için, bu kitapçığın ana amacı olarak, ayrıntılara fazla girmeden, her

türlü mekanizmaya her türlü çalışma koşullarında uygulanabilecek genel bir sistematik yaklaşım

sunmaya çalıştım. Uygulama ayrıntılarını göstermek için de, sayıca az olmakla birlikte, iki tipik

örnek kullandım. Bu örneklerden birini tek serbestlik dereceli bir krank-biyel mekanizması;

diğerini ise üç serbestlik dereceli bir paralel manipülatör olarak seçtim.

Bu kitapçığın ilgili okuyucular için yararlı olmasını umuyor ve diliyorum. Kendilerinden

alabileceğim yapıcı eleştiriler ve geliştirici öneriler için de kendilerine şimdiden çok teşekkür

ediyorum.

Prof. Dr. M. Kemal Özgören

02 Nisan, 2018

2

BÖLÜM 1

MEKANİZMALARIN KONUM ANALİZİ

M. Kemal Özgören

1.1. Bir Mekanizmaya Ait Genel Kinematik Bilgiler

Bir mekanizma, 𝑛𝑇 = 𝑛𝑀 + 1 uzuvdan oluşur. Bu uzuvlardan 𝑛𝑀 tanesi, ℱ0(𝑂) gibi seçilen bir

gözlem eksen takımına göre hareket edebilir; bir tanesi ise, aynı eksen takımına göre sabit tutulur.

Bir mekanizmanın uzuvları, birbirleriyle çeşitli eklemlerle bağlanırlar. Bu uzuvlar, ya açık bir

zincir biçiminde sıralanmış olabilirler (örnek: seri manipülatörler); ya da uzuvların bazıları,

çeşitli döngüler oluşturabilirler (örnek: döngülü mekanizmalar ve paralel manipülatörler).

a) Mekanizmanın Serbestlik Derecesi

Bir mekanizmanın serbestlik derecesi (𝑆𝐷 = 𝑚), o mekanizmanın seçilen ℱ0(𝑂) eksen takımına

göre duruşunu (pozunu) belirleyen birbirinden bağımsız parametre sayısı olarak tanımlanır.

Serbestlik derecesi, Kutzbach-Grübler formülüne göre, şöyle belirlenir.

𝑚 = 𝜆𝑛𝑀 − ∑ (𝜆 − 𝑘)𝑗𝑘𝜆−1𝑘=1 (1.1.1)

(1.1.1) denkleminde aşağıdaki tanımlar kullanılmıştır.

𝑛𝑀 : Mekanizmanın Hareket Edebilen Uzuvlarının Sayısı (1.1.2)

𝜆 : Mekanizmanın Çalışma Uzayının Serbestlik Derecesi (1.1.3)

𝑗𝑘 : Bağıl Serbestlik Derecesi 𝑘 Olan Bağımsız Eklemlerin Sayısı (1.1.4)

Yukarıdaki tanımlarla ilgili olarak aşağıdaki açıklamalar yapılabilir.

Mekanizmanın çalışma uzayının serbestlik derecesi (𝜆), mekanizmanın uzuvlarından herhangi

birinin, diğer uzuvlarla bağlantılı değilken, ℱ0(𝑂) eksen takımına göre konumunu (yerini ve

yönelimini) belirleyen birbirinden bağımsız parametre sayısıdır. Örneğin, çalışma uzayı üç

boyutlu ise, 𝜆 = 6 olur. Çünkü, üç boyutlu uzayda serbestçe hareket edebilen bir katı cisim, altı

serbestlik derecesine sahiptir. Yani, bu cismin yerini (belli bir noktasıyla) belirlemek için 𝑥, 𝑦, 𝑧

gibi üç koordinata; yönelimini belirlemek için de 𝜙, 𝜃, 𝜓 gibi üç açıya ihtiyaç vardır. Oysa,

çalışma uzayı iki boyutlu (yani düzlemsel) ise, 𝜆 = 3 olur. Çünkü, iki boyutlu uzayda serbestçe

hareket edebilen bir katı cisim, üç serbestlik derecesine sahiptir. Yani, bu cismin yerini (belli bir

noktasıyla) belirlemek için 𝑥 ve 𝑦 gibi iki koordinata; yönelimini belirlemek için de 𝜃 gibi tek bir

açıya ihtiyaç vardır.

(1.1.4) tanımında sözü edilen bağımsız eklemler, mekanizmanın uzuvlarını, diğer eklemlerin

bileşimleriyle sağlanamayacak bir biçimde bağlayan ikili eklemlerdir. Bu eklemlerin her birine,

yalnızca iki uzvu bağladığı için, bağımsız kinematik çift adı da verilir.

3

Örneğin, 𝐿𝑖, 𝐿𝑗, 𝐿𝑘 gibi üç uzvun tek bir pimle bağlanmış olduğu üçlü bir bileşik döner eklemde,

𝑅𝑖𝑘, 𝑅𝑗𝑘, 𝑅𝑖𝑗 kinematik çiftlerinden yalnızca ikisi (diyelim ki, 𝑅𝑖𝑘 ve 𝑅𝑗𝑘) bağımsız eklem olarak

sayılabilir. Çünkü, üçüncünün (yani 𝑅𝑖𝑗 kinematik çiftinin) ima ettiği bağlantı, bağımsız

sayılanların oluşturduğu bağlantıyla zaten sağlanmış durumdadır. Bu örnekte betimlenen bileşik

döner eklem, Şekil 1.1.1'de gösterilmiştir.

Şekil 1.1.1: Üç Uzuv Bağlayan Bir Bileşik Döner Eklem

Eğer mekanizmanın uzuvları arasında hiç bir bağlantı olmasaydı, mekanizmanın bağlantısız

serbestlik derecesi, 𝑚0 = 𝜆𝑛𝑀 olurdu. Ne var ki, uzuvlar eklemlerle bağlanınca, her eklem,

bağladığı iki uzuv arasında belli bir bağıl hareket kısıtlamasına yol açar. Bu nedenle de, (1.1.1)

denkleminde olduğu gibi, mekanizmanın bağlantılı serbestlik derecesi (𝑚), bağlantısız serbestlik

derecesine göre azalmış olur. (1.1.1) denkleminde de ifade edildiği gibi, bağıl serbestlik derecesi

𝑘 olan bağımsız bir eklem, çalışma uzayının türüne bağlı olarak, (𝜆 − 𝑘) kadar bağıl hareket

kısıtlamasına neden olur. Dikkat edilirse, serbestlik derecesi 𝜆 olan bir çalışma uzayında, bir

eklemin bağıl serbestlik derecesi en fazla (𝜆 − 1) olabilir. Böyle bir çalışma uzayında, bağıl

serbestlik derecesi 𝜆 olan bir eklem bulunamaz. Çünkü, böyle bir eklem, bulunabilseydi bile,

zaten hiç bir kısıtlama yaratamazdı.

Yukarıdaki açıklamalara göre, Kutzbach-Grübler formülü, düzlemsel ve uzaysal mekanizmalar

için aşağıdaki özel biçimlerde yazılabilir.

Düzlemsel Mekanizmalar için Kutzbach-Grübler formülü (𝜆 = 3):

𝑚 = 3𝑛𝑀 − (2𝑗1 + 𝑗2) (1.1.5)

Uzaysal Mekanizmalar için Kutzbach-Grübler formülü (𝜆 = 6):

𝑚 = 6𝑛𝑀 − (5𝑗1 + 4𝑗2 + 3𝑗3 + 2𝑗4 + 𝑗5) (1.1.6)

Farklı görünmekle birlikte, Kutzbach-Grübler formülü, aşağıdaki biçimlerde de yazılabilir.

𝑚 = 𝜆(𝑛𝑀 − 𝑗𝑇) + ∑ 𝑘𝑗𝑘𝜆−1𝑘=1 (1.1.7)

𝑚 = 𝜆(𝑛𝑀 − 𝑗𝑇) + ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑇𝑖=1 (1.1.8)

(1.1.7) ve (1.1.8) denklemlerindeki 𝑗𝑇 simgesi, bağımsız eklemlerin toplam sayısını

göstermektedir. Yani,

𝜆 = 3 𝑗𝑇 = 𝑗1 + 𝑗2 (1.1.9)

𝜆 = 6 𝑗𝑇 = 𝑗1 + 𝑗2 + 𝑗3 + 𝑗4 + 𝑗5 (1.1.10)

4

(1.1.8) denklemindeki 𝑓𝑖 simgesi ise, 𝑖 sayılı bağımsız eklemin sağlamış olduğu bağıl serbestlik

derecesini göstermektedir. Bu tanıma göre,

∑ 𝑓𝑖𝑗𝑇𝑖=1 = ∑ 𝑘𝑗𝑘

𝜆−1𝑘=1 (1.1.11)

b) Mekanizmanın İçerdiği Bağımsız Döngü Sayısı

Bağımsız eklem sayısı 𝑗𝑇 ve hareket edebilen uzuv sayısı 𝑛𝑀 olan bir mekanizmanın döngü

oluşturan uzuvları varsa, bu mekanizmanın sahip olduğu bağımsız döngülerin sayısı (𝑛𝐿),

aşağıdaki denklemle belirlenir.

𝑛𝐿 = 𝑗𝑇 − 𝑛𝑀 (1.1.12)

Aslında, mekanizma, toplam olarak 𝑛𝐿𝑇 = 𝑛𝐿 + 1 döngüye sahiptir. Fakat, bu döngülerden biri

diğer 𝑛𝐿 döngüye bağımlıdır çünkü onların kümesel toplamı ya da farkı biçiminde oluşturulabilir.

Örneğin, Şekil 1.1.2'de gösterilen altı uzuvlu (yani 𝑛𝑇 = 6 olan) düzlemsel mekanizmanın

uzuvları, yedi bağımsız döner eklemle (𝑅12, 𝑅14, 𝑅16, 𝑅23, 𝑅65, 𝑅43, 𝑅45) bağlanmıştır. 𝐿1 uzvu

sabittir. Dikkat edilirse, 𝐸 noktasındaki üçlü bileşik ekleme ait iki bağımsız eklem, 𝑅43 ve 𝑅45

olarak alınmıştır. Bu mekanizma için, 𝑛𝑀 = 6 − 1 = 5 ve 𝑛𝐿 = 7 − 5 = 2 olur. Oysa, şekilde de

görüldüğü gibi, mekanizmanın üç döngüsü vardır. Bu döngüler şunlardır:

ℒ1 = 𝐴𝐷𝐸𝐵𝐴 , ℒ2 = 𝐵𝐸𝐹𝐶𝐵 , ℒ3 = 𝐴𝐷𝐸𝐹𝐶𝐵𝐴 (1.1.13)

Ne var ki, bu döngülerden yalnızca ikisi bağımsızdır. Çünkü, üçüncü döngü, aşağıda belirtildiği

gibi, bağımsız olarak seçilen diğer ikisinin kümesel toplamı ya da farkı biçiminde oluşturulabilir.

Bağımsız Döngüler: ℒ1 ve ℒ2 Bağımlı Döngü: ℒ3 = ℒ1 + ℒ2 (1.1.14)

Bağımsız Döngüler: ℒ3 ve ℒ1 Bağımlı Döngü: ℒ2 = ℒ3 − ℒ1 (1.1.15)

Bağımsız Döngüler: ℒ3 ve ℒ2 Bağımlı Döngü: ℒ1 = ℒ3 − ℒ2 (1.1.16)

Şekil 1.1.2: Altı Uzuvlu Bir Düzlemsel Mekanizma

c) Mekanizmanın Duruşunu Gösteren Eklem Değişkeni Sayısı

Bir mekanizmanın ℱ0(𝑂) eksen takımına göre duruşunu gösterebilmek için 𝑛𝑉 adet eklem

değişkeni gerekli ve yeterlidir. Bu sayı şöyle belirlenir.

𝜆 = 3 𝑛𝑉 = 2𝑛𝐿 +𝑚 (1.1.17)

𝜆 = 6 𝑛𝑉 = 6𝑛𝐿 +𝑚 (1.1.18)

2

1

3

1

5

4 6

5

Örnek olarak Şekil 1.1.2'deki mekanizma göz önüne alınırsa, bu mekanizmanın serbestlik

derecesi 𝑚 = 1 ve bağımsız döngü sayısı 𝑛𝐿 = 2 olduğu için, duruşunu göstermek için 𝑛𝑉 = 5

adet eklem değişkenine gereksinim vardır. Bu değişkenler, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ve 𝐹 noktalarındaki döner

eklemlerin dönme açıları olarak alınabilir. Bu açılar, 𝐿1 uzvu referans olarak alınıp şöyle

tanımlanabilirler.

𝜃2 = 𝜃𝐿2/𝐿1 , 𝜃3 = 𝜃𝐿3/𝐿1 , 𝜃4 = 𝜃𝐿4/𝐿1 , 𝜃5 = 𝜃𝐿5/𝐿1 , 𝜃6 = 𝜃𝐿6/𝐿1 (1.1.19)

1.2. Mekanizmanın Duruşunun Belirlenmesi

Serbestlik derecesi 𝑚 olan bir mekanizmanın eklem değişkenleri, aşağıdaki dikeysıra

matrisleriyle gösterilen iki gruba ayrılır.

�� ∈ ℛ𝑚 : Eyletimli Eklem Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (1.2.1)

�� ∈ ℛ𝑛 : Eyletimsiz Eklem Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (1.2.2)

Mekanizmanın serbestlik derecesinin 𝑚 olması, zemine göre duruşunun (yani, tüm hareketli

uzuvlarının yer ve yönelimlerinin) tam olarak belirlenebilmesi için eklem değişkenlerinden 𝑚

tanesinin değerlerinin belirtilmesini gerektirir. Bu belirtme, sözü edilen 𝑚 değişkenin ait olduğu

eklemlere kumanda eden 𝑚 adet eyleticiye verilen komutlarla sağlanır. Bu nedenle, bu

değişkenlerden her birine "eyletimli eklem değişkeni" denir. Eyletimli bir eklem değişkenine

"etken (aktif) eklem değişkeni" de denilebilir. Mekanizmanın diğer eklemleri ise, eyletilmezler;

yani serbesttirler. Dolayısıyla, bu eklemlere ait değişkenlerden de her birine "eyletimsiz eklem

değişkeni" denir. Önceki ikincil tanıma benzer bir biçimde, eyletimsiz bir eklem değişkenine

"edilgen (pasif) eklem değişkeni" de denilebilir.

Söz konusu mekanizmanın kinematik döngü kapanım denklemleri, �� ve �� dikeysıra matrislerini

içermek üzere, aşağıdaki matris denklemi biçiminde yazılabilir.

��(��, ��) = 0 ; �� ∈ ℛ𝑛 (1.2.3)

(1.2.3) denklemi, daha ayrıntılı olarak aşağıdaki skalar denklem kümesi biçiminde de yazılabilir.

𝜙𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞𝑚, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (1.2.4)

(1.2.3) denkleminde görüldüğü gibi, �� matris işlevi ile �� matrisinin boyutları, 𝑛 olarak aynıdır.

Dolayısıyla, (1.2.3) denklemi çözülerek belirtilmiş olan �� matrisine karşılık gelen �� matrisi

belirlenebilir. Şöyle ki,

�� = 𝑓��(��) ; 𝑙 = 1, 2, … , 𝑛𝐾 (1.2.5)

Yukarıdaki çözüm, incelenen mekanizmanın 𝑛𝐾 adet değişik kapanım biçimi ya da kurulum

biçimi olabileceğini göstermektedir. Çözümdeki 𝑙 indisi ise, bu kapanım biçimlerinden birini

temsil etmektedir. Mekanizma, bir sonraki bölümün konusu olan hız analizinde görülecek olan

devinimsel tekil duruşlardan birine girmediği sürece, kurulurken seçilmiş olan kapanım biçimini

değiştiremez.

6

Mekanizmanın çalışma koşullarına göre uygun bir kapanım biçimi seçildikten sonra, (1.2.5)

denklemi, daha yalın bir biçimde, kısaca şöyle de yazılabilir.

�� = 𝑓(��) (1.2.6)

Böylece, �� ile birlikte, mekanizmanın �� tarafından belirlenen duruşu da ortaya çıkmış olur.

1.3. Mekanizmaya Ait Uzuvların Konumlarının Belirlenmesi

Konum analizi kapsamında, mekanizmanın uzuvlarının zemin eksen takımına göre konumlarının

da belirlenmesi yer alır. Bu amaçla, tipik bir 𝐿𝑘 uzvunun zemin eksen takımına göre konumu

(yeri ve yönelimi), şöyle ifade edilebilir.

𝜉�� = ��𝑘(��, ��) ; 𝜉�� = [��𝑘��𝑘] (1.3.1)

(1.3.1) denkleminde de belirtildiği gibi, 𝜉�� dikeysıra matrisi, 𝐿𝑘 uzvunun zemin eksen takımına

göre yerini ve yönelimini temsil eden iki ayrışımdan oluşmaktadır.

Mekanizmanın düzlemsel ya da uzaysal oluşuna göre, 𝜉�� dikeysıra matrisinin yer ve yönelim

gösteren ayrışımları, aşağıda açıklanan biçimlerde tanımlanır. Uzvun yeri, uzvun üzerindeki tipik

bir 𝑃𝑘 noktasının koordinatlarıyla temsil edilir. Çoğu kez, 𝑃𝑘 noktası olarak uzvun kütle merkezi

olan 𝐶𝑘 noktası alınır.

Mekanizma düzlemsel ise, 𝐿𝑘 uzvunun konumu, 𝑃𝑘 noktasının yerini gösteren iki koordinat ve 𝐿𝑘

uzvunun yönelimini gösteren tek bir açıyla temsil edilir. Yani,

��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘]𝑡 (1.3.2)

��𝑘 = 𝜙𝑘 (1.3.3)

Mekanizma uzaysal ise, 𝐿𝑘 uzvunun konumu, 𝑃𝑘 noktasının yerini gösteren üç koordinat ve 𝐿𝑘

uzvunun yönelimini gösteren üç açıyla temsil edilir. Yani,

��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑧𝑘]𝑡 (1.3.4)

��𝑘 = [𝜙𝑘 𝜃𝑘 𝜓𝑘]𝑡 (1.3.5)

Yukarıdaki denklemlerdeki 𝑡 üstyazıtı, transpoz (devrik) anlamına gelmektedir.

(1.3.5) denklemindeki açılara, Euler Açıları denir. Bu üç açı, 𝐿𝑘 uzvunun 𝐿0 uzvuna (yani

zemine) göre yönelimini seçilen belli bir dönüş sıralamasıyla belirler. Örneğin, uzvun dönüşüne

bağlı 1-2-3 sıralaması seçilirse, yönelimin belirlenmesi şöyle gerçekleşir.

Dönüş-1 (�� 1∘ etrafında 𝜙𝑘 açısıyla): 𝐿𝑘

∘ → 𝐿𝑘′ ; 𝐿𝑘

∘ ∥ 𝐿0

Dönüş-2 (�� 2′ etrafında 𝜃𝑘 açısıyla): 𝐿𝑘

′ → 𝐿𝑘′′

Dönüş-3 (�� 3′′ etrafında 𝜓𝑘 açısıyla): 𝐿𝑘

′′ → 𝐿𝑘

Yukarıdaki �� 1∘ , �� 2

′ ve �� 3′′ birim vektörleri, 𝐿𝑘 uzvuna bağlı eksen takımının birinci, ikinci ve

üçüncü eksenlerinin başlangıçta ve uzuv döndükçe aldıkları yönelimleri göstermektedir.

7

Döngü kapanım denklemlerinden �� dikeysıra matrisi, (1.2.6) denklemine göre belirlendikten

sonra, (1.3.1) denklemi, 𝐿𝑘 uzvunun konumunu, doğrudan doğruya eyletimli eklem

değişkenlerine bağlı olmak üzere şöyle verir.

𝜉�� = ℎ𝑘(��) = ��𝑘(��, 𝑓(��)) (1.3.6)

1.4. Örnek 1.1: RRRP Mekanizması (Üç Döner ve Bir Kayar Eklemli Mekanizma)

Şekil 1.4.1: RRRP Mekanizması (R: Döner Eklem; P: Kayar Eklem)

* Mekanizmanın Geometrik Parametreleri:

𝑂𝐴 = ℎ1 , 𝐴𝐵 = 𝑏2 , 𝐵𝐶 = 𝑏3

𝐴𝑃2′ = 𝑑2 , 𝑃2

′𝑃2 = ℎ2 ; 𝐶𝑃3′ = 𝑑3 , 𝑃3

′𝑃3 = ℎ3 ; 𝐶𝑃4′ = 𝑑4 , 𝑃4

′𝑃4 = ℎ4

Burada, 𝑃𝑘′ noktası, 𝑃𝑘 noktasının 𝐿𝑘 uzvunu belirleyen doğrultu üzerindeki izdüşümüdür. Bu tür

yardımcı noktalar, sadelik amacıyla Şekil 1.3.1'de gösterilmemiştir.

* Mekanizmanın Serbestlik Derecesi:

𝑚 = 1

* Eyletimli Eklem Değişkeni:

𝜃2

* Eyletimsiz Eklem Değişkenleri:

𝜃3 , 𝑠4

* Vektörel Döngü Kapanım Denklemi:

𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐵 (1.4.1)

(1.4.1) denklemi, mekanizmanın kinematik özelliklerini açıkça gösterecek biçimde şöyle de

yazılabilir.

ℎ1𝑗 + 𝑏2�� (𝜃2) = 𝑠4𝑖 + 𝑏3�� (𝜃3 + 𝜋/2) (1.4.2)

Not: Bir vektörün bir eksen takımına göre yönelimi, geleneksel olarak o eksen takımının 𝑖 birim

vektörüne göre tanımlanır. Bu nedenle, (1.4.2) denklemi, (𝜃3 + 𝜋/2) açısıyla yazılmıştır.

4

3 2

3 2

4 =

8

(1.4.2) denklemindeki �� (𝜃) simgesi, birim yön vektörü adıyla şöyle tanımlanmıştır.

�� (𝜃) = 𝑖 cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 (1.4.3)

Bu vektörün dik ortağı ise, şöyle tanımlanmıştır.

�� ′(𝜃) = �� (𝜃 + 𝜋/2) = −𝑖 sin 𝜃 + 𝑗 cos 𝜃 (1.4.4)

Yukarıdaki tanımlara göre, �� (𝜃) ve �� ′(𝜃), zemin eksen takımının yatay ve dikey eksenlerine göre

𝜃 açısıyla dönmüş olan birim vektörleri göstermektedir.

* Skalar Döngü Kapanım Denklemleri:

(1.4.2) ve (1.4.3) vektör denklemlerinden aşağıdaki skalar denklemler elde edilir.

𝑏2 cos 𝜃2 = 𝑠4 − 𝑏3 sin 𝜃3 (1.4.5)

ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2 = 𝑏3 cos 𝜃3 (1.4.6)

* Eyletimsiz Eklem Değişkenlerinin Belirlenmesi:

(1.4.5) ve (1.4.6) denklemleri, 𝜃3 açısını yok etmek üzere şöyle de yazılabilir.

𝑏3 sin 𝜃3 = 𝑠4 − 𝑏2 cos 𝜃2 (1.4.7)

𝑏3 cos 𝜃3 = ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2 (1.4.8)

(1.4.7) ve (1.4.8) denklemlerinin karelerinin toplamı, aşağıdaki denklemi verir.

𝑏32 = (𝑠4 − 𝑏2 cos 𝜃2)

2 + (ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2)2

𝑠42 − 2(𝑏2 cos 𝜃2)𝑠4 + (ℎ1

2 + 𝑏22 − 𝑏3

2 + 2ℎ1𝑏2 sin 𝜃2) = 0 (1.4.9)

(1.4.9) denkleminden aşağıdaki iki alternatif çözüm elde edilir.

𝑠4 = 𝑏2 cos 𝜃2 + 𝜎√(𝑏2 cos 𝜃2)2 − (ℎ12 + 𝑏2

2 − 𝑏32 + 2ℎ1𝑏2 sin 𝜃2)

𝑠4 = 𝑏2 cos 𝜃2 + 𝜎√𝑏32 − (ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2)2 ; 𝜎 = ±1 (1.4.10)

Buradaki 𝜎, 𝜃2 aracılığı ile yapılan eyletime ait döngü kapanım işaret değişkeni olarak

tanımlanmıştır. Bu değişkenin (+1) ya da (−1) olması, mekanizmaya ait kinematik döngünün, 𝐶

noktası 𝐵 noktasının sağında ya da solunda kalacak biçimde kapatılmış olduğunu gösterir.

Buna göre, mekanizmanın Şekil 1.3.1'de gösterilen duruşu, 𝜎 = +1 olmasını gerektirmektedir.

Mekanizmanın 𝜎 = +1 ve 𝜎 = −1 için kapanım biçimleri ise, karşılaştırmalı olarak Şekil

1.3.2'de gösterilmiştir.

Uygun olan 𝜎 seçeneği ile 𝑠4 belirlendikten sonra, (1.4.7) ve (1.4.8) denklemleri, 𝜃3 açısını ek bir

işaret değişkenine gerek kalmaksızın aşağıdaki formülle verir.

𝜃3 = atan2[(𝑠4 − 𝑏2 cos 𝜃2), (ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2)] (1.4.11)

9

Şekil 1.3.2: RRRP Mekanizmasının 𝜃2 Eyletimine Göre Kapanım Biçimleri

* Çift Değişkenli Arktanjant İşlevi Hakkında Açıklamalar:

(1.4.11) denklemindeki atan2(𝑦, 𝑥) işlevi, "çift değişkenli arktanjant işlevi" adıyla anılır. Bu

işlev, 𝑦 ve 𝑥 değişkenlerine karşılık gelen 𝜃 açısını, −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 olacak biçimde vermek üzere

aşağıdaki özdeşliğe göre tanımlanmıştır.

𝜃 ≡ atan2(𝑟 sin 𝜃 , 𝑟 cos 𝜃) ; 𝑟 > 0 (1.4.12)

Yukarıdaki tanım, pozitif olmak koşuluyla, herhangi bir 𝑟 katsayısı için geçerlidir. Dolayısıyla,

atan2(𝑦, 𝑥) işlevi için (1.4.12) özdeşliğine dayanan aşağıdaki özdeşlik de yazılabilir.

atan2(𝑦, 𝑥) ≡ atan2(𝑘𝑦, 𝑘𝑥) ; 𝑘 > 0 (1.4.13)

Eğer 𝑦 = 𝑥 = 0 olursa, atan2(𝑦, 𝑥) işlevi tanımsızlaşır ve belirgin bir 𝜃 açısı veremez. Bunun

dışında, 𝑦 = 0 ve 𝑥 < 0 olmadığı sürece, atan2(𝑦, 𝑥) işlevi, 𝜃 için tek bir değer verir. Ancak,

𝑦 = 0 ve 𝑥 < 0 olursa, atan2(𝑦, 𝑥) işlevi, 𝜃 için 𝜃 = ±𝜋 gibi iki değer verir. Bu iki değerden

hangisinin alınacağına, 𝑦 değişkeninin değişim sürecine bakılarak karar verilebilir. Örneğin, 𝑦

değişkeni, her zaman 𝑦 ≥ 0 olacak biçimde değişiyorsa, 𝑥 < 0 iken 𝑦 = 0 olduğunda, 𝜃 için

𝜃 = +𝜋 değeri alınır.

Öte yandan, eğer 𝑥 < 0 iken 𝑦 değişkeni, küçük bir 휀 > 0 için, 𝑦 = +휀 değerinden 𝑦′ = −휀

değerine küçük bir değişim geçiriyor olsa bile, 𝜃 açısı, 𝜃 = 𝜋 − 𝛾 değerinden 𝜃′ = −(𝜋 − 𝛾)

değerine ∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃′ = 2𝜋 − 2𝛾 radyanlık büyük bir sıçrama yapar. Buradaki 𝛾 açısı, 𝛾 =

atan2(휀, |𝑥|) ≅ 휀/|𝑥| biçiminde tanımlanmış küçük bir açıdır.

3 2

= +1

2

3 < 0

= −1

10

Yukarıda açıklanan büyük sıçramayı engellemek için, atan2(𝑦, 𝑥) işlevi yerine atan2∗(𝑦, 𝑥) =

atan2(𝑦, 𝑥) + 2𝜋 biçiminde modifiye edilmiş bir işlev kullanılabilir. Bu yeni işlev kullanılırsa,

sözü edilen 𝜃 açısı, 𝜃 = 𝜋 − 𝛾 değerinden 𝜃′′ = −(𝜋 − 𝛾) + 2𝜋 = 𝜋 + 𝛾 değerine değişmiş olur.

Böylece, 𝜃 açısındaki yeni değişim de, ∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃′′ = −2𝛾 değerini alarak küçülmüş olur.

* Uzuvlara Ait Noktaların Konumlarının Belirlenmesi:

Bu noktalara kinematik zincir üzerinde uygun bir yol (tercihan en kısa yol) izlenerek ulaşılabilir.

Şöyle ki,

𝑟 2 = 𝑂𝑃 2 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 2′ + 𝑃2

′𝑃 2 = ℎ1𝑗 + 𝑑2�� (𝜃2) + ℎ2�� (𝜃2 + 𝜋/2) (1.4.14)

𝑟 3 = 𝑂𝑃 3 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝑃 3′ + 𝑃3

′𝑃 3 = 𝑠4𝑖 + 𝑑3�� (𝜃3 + 𝜋/2) + ℎ3�� (𝜃3) (1.4.15)

𝑟 4 = 𝑂𝑃 4 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝑃 4′ + 𝑃4

′𝑃 4 = 𝑠4𝑖 + 𝑑4𝑖 − ℎ4𝑗 (1.4.16)

Yukarıdaki konum vektörleri, zemin eksen takımında, 𝑟 𝑘 = 𝑥𝑘𝑖 + 𝑦𝑘𝑗 biçiminde bileşenlerine

ayrıştırılabilir. Buna göre, yukarıdaki vektör denklemlerinden 𝑃1, 𝑃2, ve 𝑃3 noktalarının

koordinatları için aşağıdaki ifadeler elde edilir.

𝑥2 = 𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2 𝑦2 = ℎ1 + 𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2

} (1.4.17)

𝑥3 = 𝑠4 − 𝑑3 sin 𝜃3 + ℎ3 cos 𝜃3𝑦3 = 𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3

} (1.4.18)

𝑥4 = 𝑠4 + 𝑑4 𝑦4 = −ℎ4

} (1.4.19)

* Eyletimli Eklem Değişkeni Olarak Bir Başka Değişkenin Kullanılması:

Eğer aynı mekanizmanın 𝜃2 yerine 𝑠4 aracılığı ile eyletilmesi istenirse, (1.4.5) ve (1.4.6)

denklemleri, bu kez, 𝜃2 ve 𝜃3 açılarını 𝑠4 değişkeninin işlevleri olarak bulmak üzere çözülürler.

Bu amaçla, yine önce 𝜃3 açısını yok etmek üzere, (1.4.5) ve (1.4.6) denklemleri şöyle yazılabilir.

𝑏3 sin 𝜃3 = 𝑠4 − 𝑏2 cos 𝜃2 (1.4.20)

𝑏3 cos 𝜃3 = ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2 (1.4.21)


𝑏32 = (𝑠4 − 𝑏2 cos 𝜃2)

2 + (ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2)2

𝑠4 cos 𝜃2 − ℎ1 sin 𝜃2 = 𝑧2 (1.4.22)

(1.4.22) denkleminde,

𝑧2 = (𝑠42 + ℎ1

2 + 𝑏22 − 𝑏3

2)/(2𝑏2) (1.4.23)

(1.4.22) denklemi, 𝜃2 için, aşağıda açıklanan iki yöntemden biriyle çözülebilir.

11

a) Faz Açısı Yöntemi

Bu çözüm yönteminde, iki ara değişken (𝑟2 ve 𝛽2), aşağıdaki tanımlarla işin içine katılır.

𝑠4 = 𝑟2 cos 𝛽2 (1.4.24)

ℎ1 = 𝑟2 sin 𝛽2 (1.4.25)

Yukarıdaki denklem çiftinden, 𝑟2 ve 𝛽2 değişkenleri, bilinenlere bağlı olarak şöyle belirlenir.

𝑟2 = √𝑠42 + ℎ1

2 (1.4.26)

𝛽2 = atan2(ℎ1, 𝑠4) (1.4.27)

Bu arada, (1.4.24) ve (1.4.25) denklemleri sayesinde, (1.4.22) denklemi, şu şekli alır.

𝑟2 cos 𝛽2 cos 𝜃2 − 𝑟2 sin 𝛽2 sin 𝜃2 = 𝑧2

cos 𝛽2 cos 𝜃2 − sin𝛽2 sin 𝜃2 = 𝑧2/𝑟2

cos(𝜃2 + 𝛽2) = 𝜉2 (1.4.28)

(1.4.28) denklemindeki görünümü nedeniyle, 𝛽2 açısı, "faz açısı" olarak adlandırılır. Aynı

denklemdeki 𝜉2 boyutsuz değişkeni ise şöyle tanımlanmıştır.

𝜉2 = 𝑧2/𝑟2 = 𝑧2/√𝑠42 + ℎ1

2 (1.4.29)

(1.4.28) denkleminden 𝜃2 açısı, iki aşamada, aşağıda gösterilen biçimde elde edilir.

sin(𝜃2 + 𝛽2) = 𝜂2 = 𝜎′√1 − 𝜉22 ; 𝜎′ = ±1 (1.4.30)

𝜃2 = atan2(𝜂2, 𝜉2) − 𝛽2 (1.4.31)

Buradaki 𝜎′, eyletimli hale getirilen 𝑠4 değişkenine ait döngü kapanım işaret değişkeni olarak

tanımlanmıştır. Bu değişkenin (+1) ya da (−1) olması, mekanizmaya ait kinematik döngünün 𝐵

noktası 𝐴𝐶 doğrusunun üstünde ya da altında kalacak biçimde kapatılmış olduğunu gösterir.

Mekanizmanın 𝜎′ = +1 ve 𝜎′ = −1 için kapanım biçimleri ise, karşılaştırmalı olarak Şekil

1.3.3'de gösterilmiştir.

Yukarıdaki analize göre, mekanizmanın Şekil 1.3.1'de gösterilen duruşu, 𝜎′ = +1 olmasını

gerektirmektedir.

Uygun olan 𝜎′ seçeneği ile 𝜃2 açısı belirlendikten sonra, (1.4.20) ve (1.4.21) denklemleri, 𝜃3

açısını ek bir işaret değişkenine gerek kalmaksızın aşağıdaki formülle verir.


12

Şekil 1.3.3: RRRP Mekanizmasının 𝑠4 Eyletimine Göre Kapanım Biçimleri

b) Yarım Açılı Tanjant Yöntemi

Bu çözüm yönteminde, aşağıdaki 𝜏 tanımı ve onunla ilgili trigonometrik özdeşlikler kullanılır.

𝜏 = tan(𝜃/2) (1.4.33)

sin 𝜃 ≡ 2𝜏/(1 + 𝜏2) (1.4.34)

cos 𝜃 ≡ (1 − 𝜏2)/(1 + 𝜏2) (1.4.35)

Yukarıdaki denklemler kullanılarak (1.4.22) denklemi, aşağıda gösterildiği gibi bir polinom

denklemine dönüştürülebilir.

𝜏2 = tan(𝜃2/2) (1.4.36)

𝑠4 cos 𝜃2 − ℎ1 sin 𝜃2 = 𝑧2

𝑠4(1 − 𝜏22) − ℎ1(2𝜏2) = 𝑧2(1 + 𝜏2

2)

(𝑧2 + 𝑠4)𝜏22 + 2ℎ1𝜏2 + (𝑧2 − 𝑠4) = 0 (1.4.37)

(1.4.37) denkleminin 𝜏2 için çözümü şöyledir.

𝜏2 = [−ℎ1 + 𝜎′′√ℎ1

2 − (𝑧2 + 𝑠4)(𝑧2 − 𝑠4)]/(𝑧2 + 𝑠4)

𝜏2 = [−ℎ1 + 𝜎′′√𝑠4

2 − 𝑧22 + ℎ1

2]/(𝑠4 + 𝑧2) ; 𝜎′′ = ±1 (1.4.38)

3

2 < 0

′ = −1

2

13

Uygun bir 𝜎′′ seçimiyle, 𝜏2 bulunduktan sonra, (1.4.34) ve (1.4.35) denklemleri, yeni bir işaret

değişkenine gerek kalmadan 𝜃2 açısını şöyle verir.

𝜃2 = atan2[(2𝜏2), (1 − 𝜏22)] (1.4.39)

Bunun üzerine, 𝜃3 açısı da, aşağıda tekrar yazıldığı gibi (1.4.32) denklemiyle belirlenmiş olur.


Tabii, bu yöntemdeki 𝜎′′ işaret değişkeni ile önceki yöntemdeki 𝜎′ işaret değişkeni, genel olarak

birbirlerinden farklı olabilirler.

Öte yandan, (1.4.39) denklemine göre, 𝜃2 ile 𝜏2 arasında aşağıdaki işaret ilişkisi vardır.

sgn(𝜃2) = sgn(𝜏2) (1.4.41)

Dolayısıyla, Şekil 1.3.3'te gösterilen iki kapanıma göre 𝜎′′ şu değerleri alır.

Birinci kapanımda, 𝜃2 her zaman pozitif olmasa bile, 𝜎′′ = +1 değeri alınmalıdır. Böylece,

(1.4.38) denklemine göre, hiç değilse, √𝑠42 − 𝑧2

2 + ℎ12 > ℎ1 olduğu sürece, 𝜃2 açısının pozitif

olması sağlanmış olur.

İkinci kapanımda ise, 𝜃2 her zaman negatiftir. Bu özelliği sağlayabilmek için de, yine (1.4.38)

denklemine göre, 𝜎′′ = −1 değeri alınmalıdır.

1.5. Örnek 1.2: Üç PRR Bacaklı Düzlemsel Paralel Manipülatör

Şekil 1.5.1: Üç PRR Bacaklı Düzlemsel Paralel Manipülatör

* Manipülatörün Kinematik Yapısı:

Bu manipülatörün 𝐷𝐸 platformu, üç bacak tarafından taşınmaktadır. Bu bacaklardan her biri,

zemine bir kayar (P) ve bir döner (R) eklemle bağlıdır. Aynı bacak, manipülatörün platformuna

ise yine bir döner (R) eklemle bağlıdır. Bu nedenle, bacaklarının sayısına ve yapısına bakılarak,

bu manipülatör için "Üç PRR Bacaklı" tanımlaması kullanılmıştır.

14

* Manipülatörün Geometrik Parametreleri:

𝐴𝐷 = 𝑏4 , 𝐵𝐷 = 𝑏5 , 𝐶𝐸 = 𝑏6 , 𝐷𝐸 = 𝑏7, 𝑄𝐷 = 𝑄𝐸 = 𝑑7 = 𝑏7/2 , 𝑄𝑃 = ℎ7

* Manipülatörün İşlem Aygıtı:

𝐷𝐸 platformuna (𝐿7 uzvuna) bağlı 𝑄𝑃 doğru parçası ile temsil edilen işlem aygıtı

* Manipülatörün Serbestlik Derecesi:

𝑚 = 3

* Eyletimli Eklem Değişkenleri:

𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3


𝜃4 , 𝜃5 , 𝜃6 , 𝜃7 = 𝜙

* Bağımsız Vektörel Döngü Kapanım Denklemleri:

𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷

𝑏4�� (𝜃4) = (𝑠2 − 𝑠1)𝑖 + 𝑏5�� (𝜃5) (1.5.1)

𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐸

𝑏4�� (𝜃4) + 𝑏7�� (𝜃7) = (𝑠3 − 𝑠1)𝑖 + 𝑏6�� (𝜃6) (1.5.2)


𝑏4 cos 𝜃4 = (𝑠2 − 𝑠1) + 𝑏5 cos 𝜃5 (1.5.3)

𝑏4 sin 𝜃4 = 𝑏5 sin 𝜃5 (1.5.4)

𝑏4 cos 𝜃4 + 𝑏7 cos 𝜃7 = (𝑠3 − 𝑠1) + 𝑏6 cos 𝜃6 (1.5.5)

𝑏4 sin 𝜃4 + 𝑏7 sin 𝜃7 = 𝑏6 sin 𝜃6 (1.5.6)

* İşlem Aygıtının Uç Noktasının Konumu:

𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐷 + 𝐷𝑄 + 𝑄𝑃

𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 = 𝑠1𝑖 + 𝑏4�� (𝜃4) + 𝑑7�� (𝜃7) + ℎ7�� (𝜃7 + 𝜋/2)

𝑥 = 𝑠1 + 𝑏4 cos 𝜃4 + 𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7 (1.5.7)

𝑦 = 𝑏4 sin 𝜃4 + 𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7 (1.5.8)

* Eyletimsiz Eklem Değişkenlerinin Belirlenmesi:

Birinci döngünün (1.5.3) ve (1.5.4) denklemleri, 𝜃5 açısını yok etmek üzere şöyle yazılırlar.

𝑏5 cos 𝜃5 = (𝑠2 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4 (1.5.9)

𝑏5 sin 𝜃5 = 𝑏4 sin 𝜃4 (1.5.10)

15


𝑏52 = [(𝑠2 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]

2 + (𝑏4 sin 𝜃4)2

2𝑏4(𝑠2 − 𝑠1) cos 𝜃4 = (𝑠2 − 𝑠1)2 + 𝑏4

2 − 𝑏52 (1.5.11)

Eğer 𝑠2 ≠ 𝑠1 ise, (1.5.11) denkleminden 𝜃4 için iki alternatif çözüm aşağıda gösterilen biçimde

elde edilir.

cos 𝜃4 = 𝜉4 = [(𝑠2 − 𝑠1)2 + 𝑏4

2 − 𝑏52]/[2𝑏4(𝑠2 − 𝑠1)] (1.5.12)

sin 𝜃4 = 𝜂4 = 𝜎1√1 − 𝜉42 ; 𝜎1 = ±1 (1.5.13)

𝜃4 = atan2(𝜂4, 𝜉4) (1.5.14)

Buradaki 𝜎1, birinci döngüye ait döngü kapanım işaret değişkenidir. Bu döngünün Şekil 1.4.1'de

olduğu gibi, yani D noktası yukarıda ya da sin 𝜃4 > 0 olacak biçimde kapanabilmesi için

𝜎1 = +1 olmalıdır.

𝜃4 açısı belirlendikten sonra, (1.5.9) ve (1.5.10) denklemleri, 𝜃5 açısını, ek bir işaret değişkenine

gerek kalmaksızın şöyle verir.

𝜃5 = atan2{(𝑏4 sin 𝜃4), [(𝑠2 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]} (1.5.15)

İkinci döngüye gelince, (1.5.5) ve (1.5.6) denklemleri, 𝜃7 açısını yok etmek üzere şöyle yazılırlar.

𝑏7 cos 𝜃7 = 𝑏6 cos 𝜃6 + (𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4 (1.5.16)

𝑏7 sin 𝜃7 = 𝑏6 sin 𝜃6 − 𝑏4 sin 𝜃4 (1.5.17)


𝑏72 = [𝑏6 cos 𝜃6 + (𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]

2 + (𝑏6 sin 𝜃6 − 𝑏4 sin 𝜃4)2

(𝑏4 sin 𝜃4) sin 𝜃6 − [(𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4] cos 𝜃6 = 𝑧6 (1.5.18)


𝑧6 = [(𝑏62 + 𝑏4

2 − 𝑏72) + (𝑠3 − 𝑠1)

2 − 2𝑏4(𝑠3 − 𝑠1) cos 𝜃4]/(2𝑏6) (1.5.19)

𝜃6 açısını belirlemek üzere, Örnek 1.1'de açıklanan "faz açısı yöntemi" kullanılabilir. Bu amaçla,

𝑟6 ve 𝛽6 ara değişkenleri, aşağıdaki denklemlerle tanımlanır.

𝑟6 sin 𝛽6 = 𝑏4 sin 𝜃4

𝑟6 cos 𝛽6 = (𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4

Yukarıdaki tanımlar sayesinde, (1.5.18) denklemi, aşağıdaki denkleme dönüşür.

cos(𝜃6 + 𝛽6) = −𝜉6 (1.5.20)


𝛽6 = atan2{(𝑏4 sin 𝜃4), [(𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]} (1.5.21)

16

Ayrıca,

𝜉6 = 𝑧6/𝑟6 (1.5.22)

𝑟6 = √(𝑏4 sin 𝜃4)2 + [(𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]2 (1.5.23)

(1.5.20) denklemi ise, 𝜃6 açısını iki aşamada şöyle verir.

sin(𝜃6 + 𝛽6) = 𝜂6 = 𝜎2√1 − 𝜉62 ; 𝜎2 = ±1 (1.5.24)

𝜃6 = atan2(𝜂6, −𝜉6) − 𝛽6 (1.5.25)

Buradaki 𝜎2, ikinci döngüye ait döngü kapanım işaret değişkenidir. Bu döngünün Şekil 1.4.1'de

olduğu gibi, yani E noktası yukarıda ya da 𝜃6 > 0 olacak biçimde kapanabilmesi için 𝜎2 = +1

olmalıdır.

𝜃6 açısı da belirlendikten sonra, (1.5.16) ve (1.5.17) denklemleri, 𝜃7 açısını, ek bir işaret

değişkenine gerek kalmaksızın şöyle verir.

𝜃7 = atan2{(𝑏6 sin 𝜃6 − 𝑏4 sin 𝜃4), [𝑏6 cos 𝜃6 + (𝑠3 − 𝑠1) − 𝑏4 cos 𝜃4]} (1.5.26)

* İşlem Aygıtının Duruşunu Belirleyen İleri Konum Çözümü:

Eyletimsiz eklem değişkenleri (𝜃4, 𝜃5, 𝜃6, 𝜃7) belirlendikten sonra, (1.5.7) ve (1.5.8) denklemleri

kullanılarak işlem aygıtının zemin eksen takımına göre duruşu da, yani platformun 𝜙 açısı ile P

noktasının 𝑥 ve 𝑦 koordinatları da, belirlenmiş olur. Şöyle ki,

𝜙 = 𝜃7 (1.5.27)



* Manipülatörün İleri Konum Çözümüne Ait Konumsal Tekil Duruşu:

Eğer 𝑠2 = 𝑠1 olursa, (1.5.11) denklemi, 0 = 0 biçimine dönüşerek dejenere olur. Tabii, böyle bir

durum, ancak 𝑏4 = 𝑏5 olması koşuluyla gerçekleşebilir. Manipülatör, böyle bir konumsal tekil

duruşa girerse, 𝜃4 açısı (kendisiyle eşitleşen 𝜃5 açısıyla birlikte) belirsizleşir. Bunun sonucunda,

manipülatör kontroldan çıkar. Diğer bir deyişle, kontrol edilemeyen bir dört-çubuk

mekanizmasına dönüşmüş olur. Dolayısıyla, manipülatör kullanılırken, sözü edilen konumsal

tekil duruştan (yani 𝑠2 = 𝑠1 olmasından) mutlaka kaçınılması gerekir. Bunun da en basit ve

garantili yolu, simetrinin biraz bozulmasına razı olup, manipülatörü 𝑏4 ile 𝑏5 uzuv boyları farklı

olacak biçimde tasarlamaktır.

* İşlem Aygıtının Duruşuna Karşılık Gelen Ters Konum Çözümü:

Eğer işlem aygıtının duruşu belirtilmişse, yani 𝜙 açısı ile P noktasının 𝑥 ve 𝑦 koordinatları

verilmişse, manipülatörün buna karşılık gelen duruşunu oluşturan eyletimli ve eyletimsiz eklem

değişkenleri, hep birlikte, aşağıda anlatılan üç aşamada belirlenebilir.

17

İlk aşamada, D ve E noktalarının koordinatları, belirtilmiş olan konum değişkenleri (𝑥, 𝑦, 𝜙)

cinsinden belirlenir. Bu belirleme şöyle yapılır.

𝑟 𝐷 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷 = (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ) − ℎ7�� (𝜃7 + 𝜋/2) − 𝑑7�� (𝜃7)

𝑥𝐷 = 𝑥 + ℎ7 sin 𝜃7 − 𝑑7 cos 𝜃7 (1.5.30)

𝑦𝐷 = 𝑦 − ℎ7 cos 𝜃7 − 𝑑7 sin 𝜃7 (1.5.31)

𝑟 𝐸 = 𝑂𝐸 = 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐸 = (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ) − ℎ7�� (𝜃7 + 𝜋/2) + 𝑑7�� (𝜃7)

𝑥𝐸 = 𝑥 + ℎ7 sin 𝜃7 + 𝑑7 cos 𝜃7 (1.5.32)

𝑦𝐸 = 𝑦 − ℎ7 cos 𝜃7 + 𝑑7 sin 𝜃7 (1.5.33)

İkinci aşamada, D ve E noktalarının koordinatları, ilgili eklem değişkenleri cinsinden ifade edilir.

Bu ifadeler şöyledir.

𝑟 𝐷 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐷 = 𝑠1𝑖 + 𝑏4�� (𝜃4)

𝑥𝐷 = 𝑠1 + 𝑏4 cos 𝜃4 (1.5.34)

𝑦𝐷 = 𝑏4 sin 𝜃4 (1.5.35)

𝑟 𝐷 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐷 = 𝑠2𝑖 + 𝑏5�� (𝜃5)

𝑥𝐷 = 𝑠2 + 𝑏5 cos 𝜃5 (1.5.36)

𝑦𝐷 = 𝑏5 sin 𝜃5 (1.5.37)

𝑟 𝐸 = 𝑂𝐸 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐸 = 𝑠3𝑖 + 𝑏6�� (𝜃6)

𝑥𝐸 = 𝑠3 + 𝑏6 cos 𝜃6 (1.5.38)

𝑦𝐸 = 𝑏6 sin 𝜃6 (1.5.39)

Üçüncü aşamada, ikinci aşamada elde edilen denklemler, eklem değişkenlerini belirlemek üzere

çözülürler. Bu çözümler aşağıda açıklanan biçimde gerçekleştirilir.

(1.5.35), (1.5.37), ve (1.5.39) denklemleri, eyletimsiz eklem değişkenlerini şöyle verir.

sin 𝜃4 = 𝜂4 = 𝑦𝐷/𝑏4 cos 𝜃4 = 𝜉4 = 𝜎4√1 − 𝜂42 ; 𝜎4 = ±1

𝜃4 = atan2(𝜂4, 𝜉4) (1.5.40)

sin 𝜃5 = 𝜂5 = 𝑦𝐷/𝑏5 cos 𝜃5 = 𝜉5 = 𝜎5√1 − 𝜂52 ; 𝜎5 = ±1

𝜃5 = atan2(𝜂5, 𝜉5) (1.5.41)

sin 𝜃6 = 𝜂6 = 𝑦𝐸/𝑏6 cos 𝜃6 = 𝜉6 = 𝜎6√1 − 𝜂62 ; 𝜎6 = ±1

𝜃6 = atan2(𝜂6, 𝜉6) (1.5.42)

18

Yukarıdaki işaret değişkenleri, manipülatörün ayaklarının ileri adımlı mı yoksa geri adımlı mı

olduğunu gösterir. Manipülatörün Şekil 1.4.1'deki duruşunda, A ayağı geri adımlıdır. Yani, 𝜃4 dar

açı olup cos 𝜃4 pozitiftir. Bu ise, 𝜎4 = +1 olduğunu gösterir. Diğer ayaklar (B ve C ayakları) ise,

ileri adımlıdır. Yani, 𝜃5 ve 𝜃6 geniş açı olup cos 𝜃5 ile cos 𝜃6 negatiftir. Bu ise, 𝜎5 = 𝜎6 = −1

olduğunu gösterir.

(1.5.34), (1.5.36), ve (1.5.38) denklemleri ise, eyletimli eklem değişkenlerini yukarıda belirlenen

eyletimsiz eklem değişkenlerine bağlı olarak şöyle verir.

𝑠1 = 𝑥𝐷 − 𝑏4 cos 𝜃4 = 𝑥𝐷 − 𝜎4𝑏4√1 − 𝜂42 (1.5.43)

𝑠2 = 𝑥𝐷 − 𝑏5 cos 𝜃5 = 𝑥𝐷 − 𝜎5𝑏5√1 − 𝜂52 (1.5.44)

𝑠3 = 𝑥𝐸 − 𝑏6 cos 𝜃6 = 𝑥𝐸 − 𝜎6𝑏6√1 − 𝜂62 (1.5.45)

İşaret değişkenleri için önceki paragrafta belirtilen değerler kullanılınca, yukarıdaki denklemler,

mekanizmanın Şekil 1.4.1'de gösterilen duruşunu daha belirgin bir biçimde yansıtmak üzere,

aşağıdaki görünümleri alırlar.

𝑠1 = 𝑥𝐷 − 𝑏4√1 − 𝜂42 (1.5.46)

𝑠2 = 𝑥𝐷 + 𝑏5√1 − 𝜂52 (1.5.47)

𝑠3 = 𝑥𝐸 + 𝑏6√1 − 𝜂62 (1.5.48)

19

BÖLÜM 2

MEKANİZMALARIN HIZ ANALİZİ

M. Kemal Özgören

2.1. Mekanizmaya Ait Eklemlerarası Hız İlişkileri

Bölüm 1'de sözedildiği gibi, serbestlik derecesi 𝑚 olan bir mekanizmanın eklem değişkenleri,

aşağıdaki dikeysıra matrisleriyle gösterilen iki gruba ayrılır.





��(��, ��) = 0 ; �� ∈ ℛ𝑛 (2.1.3)


𝜙𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞𝑚, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (2.1.4)

(2.1.3) denklemi çözülerek �� matrisi, �� matrisine bağlı olarak belirlenebilir.

Mekanizmanın hız durumunu belirlemek üzere (2.1.3) denkleminin türevi alınınca, aşağıdaki

denklem elde edilir.

��(��, ��)�� + ��(��, ��)�� = 0 (2.1.5)

(2.1.5) denklemindeki 𝑛 × 𝑛 boyutlu ��(��, ��) matrisi ile 𝑛 ×𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisinin

elemanları, (2.1.4) denklemi de göz önüne alınarak şöyle oluşturulmuştur.

[��(��, ��)]𝑖𝑗 = 𝛹𝑖𝑗(��, ��) = 𝜕𝜙𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞𝑚, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛)/𝜕𝑝𝑗 (2.1.6)

[��(��, ��)]𝑖𝑗 = 𝛷𝑖𝑗(��, ��) = 𝜕𝜙𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞𝑚, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛)/𝜕𝑞𝑗 (2.1.7)

(2.1.5) denklemi, aşağıdaki skalar denklemler kümesi biçiminde de yazılabilir.

∑ 𝛹𝑖𝑗��𝑗𝑛𝑗=1 + ∑ 𝛷𝑖𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (2.1.8)

(2.1.8) denklem kümesinde ��𝑗 ve ��𝑗 ile gösterilen eklem değişkeni türevleri, kısaca eklem hızları

olarak adlandırılır. Buna dayanarak (2.1.5) denklemindeki �� ve �� dikeysıra matrisleri de, eklem

hızları dikeysıra matrisleri olarak adlandırılır.

Mekanizma zamanın işlevleri olarak belirtilmiş olan eyletimli eklem değişkenlerine göre hareket

ettirilirken, eyletimsiz eklem hızları dikeysıra matrisi, belli olan eyletimli eklem hızları dikeysıra

matrisine bağlı olarak (2.1.5) denkleminden aşağıdaki ifadeyle elde edilir.

20

�� = ��(��, ��)�� (2.1.9)

(2.1.9) denklemindeki 𝑛 × 𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisi, ��(��, ��) matrisinin tekil olmaması, yani

det[��(��, ��)] = 0 olmaması koşuluyla şöyle tanımlanmıştır.

��(��, ��) = −��−1(��, ��)��(��, ��) (2.1.10)

(2.1.10) denklemiyle tanımlanan ��(��, ��) matrisi, hız etki matrisi olarak adlandırılır. Bu matris,

aynı zamanda, eyletimli ve eyletimsiz eklem hızları arasındaki Jacobi (Yakobi) matrisi olarak da

adlandırılır.

Bu arada, (2.1.9) denklemi, aşağıdaki skalar denklemler kümesi biçiminde de yazılabilir.

��𝑖 = ∑ 𝐺𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 ; 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (2.1.11)

Bu denklem kümesindeki 𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗(��, ��) katsayısı ise, ��𝑗 eklem hızının ��𝑖 eklem hızı üzerindeki

etkisini gösteren hız etki katsayısı olarak adlandırılır.

2.2. Mekanizmanın Devinimsel Tekil Duruşları

Eğer ��(��, ��) matrisi tekil olursa, mekanizmanın almış olduğu duruşa devinimsel tekil duruş

denir. Böyle bir tekil duruşta, ��(��, ��) matrisinin rankı, 𝑛 değerinden 𝑛′ değerine düşer. Bu rank

düşmesi nedeniyle, �� dikeysıra matrisinin öğelerinden 𝑛′′ = 𝑛 − 𝑛′ tanesi belirsizleşir. Aynı

matrisin geri kalan 𝑛′ öğesi ise, belirsizleşmiş olan 𝑛′′ öğeye bağımlı hale gelir. Böylece, onlar da

bu bağımlılık nedeniyle dolaylı olarak belirsizleşmiş olur.

Yukarıda sözü edilen bağımlılığı ifade etmek üzere, (2.1.5) denklemi, ikiye ayrıştırılarak şöyle

yazılabilir.

��𝑎𝑎(��, ��)��𝑎 + ��𝑎𝑏(��, ��)��𝑏 = −��𝑎(��, ��)�� (2.2.1)

��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎 + ��𝑏𝑏(��, ��)��𝑏 = −��𝑏(��, ��)�� (2.2.2)

(2.2.1) ve (2.2.2) denklemleri, aşağıdaki özelliklere göre ayrıştırılmışlardır.

��𝑏 ∈ ℛ𝑛′′ : �� matrisinin bağımsızca belirsizleşmiş kısmı

��𝑎 ∈ ℛ𝑛′ : �� matrisinin ��𝑏 matrisine bağımlı hale gelmiş kısmı

det[��𝑎𝑎(��, ��)] ≠ 0 rank[��𝑎𝑎(��, ��)] = 𝑛′

Bu özellikler sayesinde, ��𝑎 matrisinin, �� matrisinin yanısıra, ��𝑏 matrisine bağımlılığı, (2.2.1)

denklemi kullanılarak şöyle ifade edilebilir.

��𝑎 = −��𝑎𝑎−1(��, ��)[��𝑎𝑏(��, ��)��𝑏 + ��𝑎(��, ��)��] (2.2.3)

(2.2.3) denklemi, (2.2.2) denkleminde yerine konunca aşağıdaki denklem elde edilir.

[��𝑏𝑏(��, ��) − ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��)]��𝑏

= [��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎−1(��, ��)��𝑎(��, ��) − ��𝑏(��, ��)]�� (2.2.4)

21

Öte yandan, ��(��, ��) matrisinin tekilliği nedeniyle rankındaki 𝑛′′ kadar düşme, aşağıdaki eşitliğe

yol açar.

��𝑏𝑏(��, ��) = ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��) (2.2.5)

(2.2.5) eşitliği nedeniyle, ��𝑏 ayrışımı, (2.2.4) denkleminde yok olur ve dolayısıyla belirsiz keyfi

değerler alabilir. Sonuçta (2.2.4) denklemi, aşağıdaki basitleşmiş biçime indirgenmiş olur.

��𝑏∗(��, ��)�� = 0 (2.2.6)

(2.2.6) denklemindeki 𝑛′′ × 𝑚 boyutlu ��𝑏∗(��, ��) matrisi şöyle tanımlanmıştır.

��𝑏∗(��, ��) = ��𝑏(��, ��) − ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎

−1(��, ��)��𝑎(��, ��) (2.2.7)

��𝑏∗(��, ��) matrisi 𝑛′′ × 𝑚 boyutlu olduğu için, (2.2.6) denkleminden iki farklı sonuç ortaya çıkar.

a) Eğer 𝑚 ≤ 𝑛′′ ise ve çok özel bir durum olarak rank[��𝑏∗(��, ��)] < 𝑚 değil ise, eyletimli eklem

hızları aşağıdaki kısıtlamaya uymak zorunda kalırlar.

�� = 0 (2.2.8)

Böyle bir durumda, mevcut eyleticiler mekanizmayı hareket ettiremez. Diğer bir deyişle,

mekanizma mevcut eyleticilere karşı kilitlenmiş olur. Buna karşılık, daha önce de sözedildiği

gibi, eyletimsiz eklemlerden 𝑛′′ tanesi, tümüyle belirsiz bir hareket serbestliği kazanmış olur.

b) Eğer 𝑚 > 𝑛′′ ise, bu durumda (2.2.6) denklemi de kendi içinde ayrıca ayrıştırılabilir. Şöyle ki,

��𝑏𝑐∗ (��, ��)��𝑐 + ��𝑏𝑑

∗ (��, ��)��𝑑 = 0 (2.2.9)

Bu ayrıştırma, şu özelliklere sahiptir.

��𝑐 ∈ ℛ𝑛′′ , ��𝑑 ∈ ℛ

𝑚−𝑛′′ ; rank[��𝑏𝑐∗ (��, ��)] = 𝑛′′ (2.2.10)

Böyle bir durumda ise, mevcut eyleticilerden ancak ��𝑑 matrisine kumanda eden (𝑚 − 𝑛′′) tanesi,

sınırlı bir biçimde de olsa, mekanizmayı hareket ettirebilir. Sayısı 𝑛′′ olan diğer eyleticiler ise,

(2.2.9) denklemince belirlenen aşağıdaki hareket bağımlılığına uymak zorunda kalırlar.

��𝑐 = −[��𝑏𝑐∗ (��, ��)]−1��𝑏𝑑

∗ (��, ��)��𝑑 (2.2.11)

Bu arada, eyletimsiz eklemlerden 𝑛′′ tanesi, yine tümüyle belirsiz bir hareket serbestliği

kazanmış olur.

2.3. Eyletilen Eklemlerin Değiştirilmesi

Hız etki katsayıları ve onlardan oluşan hız etki matrisi, belli bir eyletimli eklem takımı için elde

edildikten sonra, eğer bu eklem takımında değişiklik yapılacak olursa, yeni hız etki katsayılarını

yeni baştan elde etmek gerekmez. Yeni katsayılar, önceki katsayılardan yararlanılarak elde

edilebilir. Bu amaçla, (2.1.9) denklemi, aşağıda gösterilen biçimde iki kısma ayrıştırılır.

��𝑎 = ��𝑎𝑎(��, ��)��𝑎 + ��𝑎𝑏(��, ��)��𝑏 (2.3.1)

��𝑏 = ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎 + ��𝑏𝑏(��, ��)��𝑏 (2.3.2)

22

Yukarıdaki ayrıştırma, ��𝑎 ile ��𝑎 ayrışımlarının yer değiştirmesi istemiyle yapılmıştır. Bu isteme

göre, yeni eyletimli eklem değişkenleri, ��𝑎 ile ��𝑏 ayrışımları içinde; yeni eyletimsiz eklem

değişkenleri ise, ��𝑎 ile ��𝑏 ayrışımları içinde yer alacaktır. Diğer bir deyişle, önceki �� ve �� ile

yeni ��′ ve ��′ dikeysıra matrisleri, karşılaştırmalı olarak şöyle ifade edilmiş olacaklardır.

�� = [��𝑎��𝑏] , �� = [

��𝑎��𝑏] ��′ = [

��𝑎��𝑏] , ��′ = [

��𝑎��𝑏] (2.3.3)

Önceki ve yeni hız ilişkileri ise, yine karşılaştırmalı olarak şöyle ifade edilmiş olacaktır.

�� = ��(��, ��)�� ′ = ��′(��, ��)��′ (2.3.4)

Bu yer değiştirmeye göre, (2.3.1) ve (2.3.2) denklemlerinin aşağıdaki gibi yazılması gerekir.

��𝑎 = ��𝑎𝑎−1(��, ��)��𝑎 − [��𝑎𝑎

−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��)]��𝑏 (2.3.5)

��𝑏 = [��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎−1(��, ��)]��𝑎 + [��𝑏𝑏(��, ��) − ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎

−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��)]��𝑏 (2.3.6)

Tabii, burada, söz konusu yer değiştirmenin ��𝑎𝑎(��, ��) matrisi tekil olmayacak biçimde yapıldığı

varsayılmıştır.

Yukarıdaki denklemler, yeni oluşan hız etki matrisinin, yani ��′(��, ��) matrisinin ayrışımları

kullanılarak kısaca şöyle de yazılabilir.

��𝑎 = ��𝑎𝑎′ (��, ��)��𝑎 + ��𝑎𝑏

′ (��, ��)��𝑏 (2.3.7)

��𝑏 = ��𝑏𝑎′ (��, ��)��𝑎 + ��𝑏𝑏

′ (��, ��)��𝑏 (2.3.8)

��′(��, ��) matrisinin ayrışımları ise, önceki ��(��, ��) matrisinin ayrışımlarına bağlı olarak aşağıdaki

ifadelere sahip olurlar.

��𝑎𝑎′ (��, ��) = ��𝑎𝑎

−1(��, ��) (2.3.9)

��𝑎𝑏′ (��, ��) = −��𝑎𝑎

−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��) (2.3.10)

��𝑏𝑎′ (��, ��) = ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎

−1(��, ��) (2.3.11)

��𝑏𝑏′ (��, ��) = ��𝑏𝑏(��, ��) − ��𝑏𝑎(��, ��)��𝑎𝑎

−1(��, ��)��𝑎𝑏(��, ��) (2.3.12)

2.4. Mekanizmaya Ait Uzuvların Hızlarının Belirlenmesi

Bölüm 1'de sözedildiği gibi, tipik bir 𝐿𝑘 uzvunun zemin eksen takımına göre konumu (yeri ve

yönelimi), şöyle ifade edilebilir.

𝜉�� = ��𝑘(��, ��) ; 𝜉�� = [��𝑘��𝑘] (2.4.1)

(2.4.1) denklemindeki 𝜉�� dikeysıra matrisinin yer ve yönelim gösteren iki ayrışımı aşağıda

gösterilen biçimlerde tanımlanır.

23

Mekanizma düzlemsel ise,

��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘]𝑡 (2.4.2)

��𝑘 = 𝜙𝑘 (2.4.3)

Mekanizma uzaysal ise,

��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑧𝑘]𝑡 (2.4.4)

��𝑘 = [𝜙𝑘 𝜃𝑘 𝜓𝑘]𝑡 (2.4.5)

Söz konusu 𝐿𝑘 uzvunun hızını belirlemek üzere, (2.4.1) konum denkleminin türevinden yola

çıkılarak aşağıdaki hız denklemi elde edilir.

��𝑘 = ℒ𝑘(��, ��)�� + ��𝑘(��, ��)�� ; ��𝑘 = [��𝑘��𝑘] (2.4.6)

(2.4.6) denklemindeki ��𝑘 dikeysıra matrisi, 𝐿𝑘 uzvunun hız matrisi olarak adlandırılır.

Denklemde de görüldüğü gibi, ��𝑘 matrisi, 𝐿𝑘 uzvunun hem öteleme hem de açısal hız

ayrışımlarından oluşur. Bu ayrışımlar şöyle tanımlanır.


��𝑘 = [𝑣𝑘𝑥 𝑣𝑘𝑦]𝑡 = ��𝑘 = [��𝑘 ��𝑘]𝑡 (2.4.7)

��𝑘 = 𝜔𝑘 = ��𝑘 (2.4.8)


��𝑘 = [𝑣𝑘𝑥 𝑣𝑘𝑦 𝑣𝑘𝑧]𝑡 = ��𝑘 = [��𝑘 ��𝑘 ��𝑘]𝑡 (2.4.9)

��𝑘 = [𝜔𝑘𝑥 𝜔𝑘𝑦 𝜔𝑘𝑧]𝑡 (2.4.10)

Burada dikkat edilecek husus, uzaysal mekanizmalarda ��𝑘 matrisinin doğrudan doğruya ��𝑘

matrisinin türevine eşit olmamasıdır. Bununla birlikte, tabii ki, aralarındaki bir ilişki vardır ve bu

ilişki aşağıdaki tipik denklemle ifade edilebilir.

��𝑘 = ��𝑘(��𝑘)��𝑘 (2.4.11)

(2.4.11) denklemi için verilebilecek en tipik örnek, bir rijit cismin sabit eksen takımındaki açısal

hız bileşenleri ile Euler açılarının türevleri arasındaki ilişkidir. Eğer kullanılan Euler açı üçlüsü

(𝜙, 𝜃, 𝜓), cismin dönüşüne bağlı 1-2-3 sıralamasına göre tanımlanmışlarsa, sözü edilen ilişki,

aşağıda gösterilen biçimde ortaya çıkar.

�� = ��(��)��

[

𝜔𝑥𝜔𝑦𝜔𝑧] = [

1 0 sin 𝜃0 cos 𝜙 − sin𝜙 cos 𝜃0 sin𝜙 cos 𝜙 cos 𝜃

] [

��

��

] (2.4.12)

24

Tekrar 𝐿𝑘 uzvuna dönülecek olursa, (2.4.6) ve (2.1.9) denklemleri birleştirilerek bu uzvun hızı,

doğrudan doğruya eyletimli eklem değişkenlerinin türevlerine bağlanabilir. Şöyle ki,

��𝑘 = ℒ𝑘(��, ��)�� + ��𝑘(��, ��)�� ; �� = ��(��, ��)��

��𝑘 = ��𝑘(��, ��)�� (2.4.13)


��𝑘(��, ��) = ℒ𝑘(��, ��) + ��𝑘(��, ��)��(��, ��) (2.4.14)

(2.4.14) denklemiyle tanımlanan ��𝑘(��, ��) matrisi, 𝐿𝑘 uzvuna ait hız etki matrisi olarak

adlandırılır. Bu matris, aynı zamanda, 𝐿𝑘 uzvuna ait Jacobi (Yakobi) matrisi olarak da

adlandırılır. Tabii, ��𝑘(��, ��) matrisi de, ��(��, ��) matrisi gibi, mekanizmanın devinimsel tekil

duruşlardan birinde olmadığı, yani (2.1.10) denklemindeki ��(��, ��) matrisinin tekil olmadığı

anlar için tanımlanmıştır.

(2.4.13) denklemi, eğer istenirse, aşağıdaki skalar denklemlere ayrıştırılabilir.

𝜂𝑘𝑖 = ∑ 𝒥𝑘𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 (2.4.15)

Yukarıdaki 𝑖 indisi, mekanizmanın düzlemsel ya da uzaysal olmasına göre, şu değerleri alır.

𝑖 = 1, 2, 3 ya da 𝑖 = 1, 2, … , 6

2.5. Örnek 2.1: RRRP Mekanizması (Üç Döner Bir Kayar Eklemli Mekanizma)

Şekil 2.5.1: RRRP Mekanizması


𝑂𝐴 = ℎ1 , 𝐴𝐵 = 𝑏2 , 𝐵𝐶 = 𝑏3

𝐴𝑃2′ = 𝑑2 , 𝑃2

′𝑃2 = ℎ2 ; 𝐶𝑃3′ = 𝑑3 , 𝑃3

′𝑃3 = ℎ3 ; 𝐶𝑃4′ = 𝑑4 , 𝑃4

′𝑃4 = ℎ4


𝑚 = 1

25


𝜃2


𝜃3 , 𝑠4


𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐵 (2.5.1)

(2.5.1) denklemi, mekanizmanın kinematik özelliklerini gösterecek biçimde şöyle de yazılabilir.

ℎ1𝑗 + 𝑏2�� (𝜃2) = 𝑠4𝑖 + 𝑏3�� (𝜃3 + 𝜋/2) (2.5.2)


�� (𝜃) = 𝑖 cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 (2.5.3)

Bu vektörün dik benzeri ise, şöyle tanımlanmıştır.

�� ′(𝜃) = �� (𝜃 + 𝜋/2) = −𝑖 sin 𝜃 + 𝑗 cos 𝜃 (2.5.4)

Yukarıdaki tanımlara göre, �� (𝜃) ve �� ′(𝜃), yatay ve dikey eksenlere göre 𝜃 açısıyla dönmüş olan

birim vektörleri göstermektedir.



𝑏2 cos 𝜃2 = 𝑠4 − 𝑏3 sin 𝜃3 (2.5.5)

ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2 = 𝑏3 cos 𝜃3 (2.5.6)

* Mekanizmanın Hız Denklemleri:

(2.5.5) ve (2.5.6) denklemlerinin türevleri, aşağıdaki hız denklemlerini verir.

��4 = (𝑏3 cos 𝜃3)��3 − (𝑏2 sin 𝜃2)��2 (2.5.7)

(𝑏3 sin 𝜃3)��3 = −(𝑏2 cos 𝜃2)��2 (2.5.8)

* Eklemlerarası Hız Etki Katsayıları:

Eğer sin 𝜃3 ≠ 0 ise, yani mekanizma bir devinimsel tekil duruşa girmemişse, (2.5.8) ve (2.5.7)

denklemlerinden ��3 ve ��4 eyletimsiz eklem hızları için aşağıdaki çözümler elde edilir.

��3 = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3��2 = 𝐺32��2 (2.5.9)

��4 = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3��2 = 𝐺42��2 (2.5.10)

Görüldüğü gibi, elde edilen çözümler, ��2 eyletimli eklem hızına göre mekanizma bir devinimsel

tekil duruşta değilken tanımlanmış olan aşağıdaki hız etki katsayılarını da içermektedir.

26

𝐺32 = 𝐺32(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3 (2.5.11)

𝐺42 = 𝐺42(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (2.5.12)

* Mekanizmanın Eyletilen Ekleme Göre Devinimsel Tekil Duruşları:

Eğer sin 𝜃3 = 0 olursa, yani 𝜃3 = 0 ya da 𝜃3 = 𝜋 olursa, mekanizma, 𝜃2 eyletimine göre bir

devinimsel tekil duruşa girer. Bu tekil duruşta, (2.5.8) denklemi, aşağıdaki özel biçime dönüşür.

(𝑏2 cos 𝜃2)��2 = 0 ∙ ��3 = 0 (2.5.13)

Eğer cos 𝜃2 ≠ 0 ise, (2.5.13) denklemi şu iki sonucu ortaya koyar.

��2 = 0 (2.5.14)

��3 = ? (belirsiz) (2.5.15)

Bu sonuçlara göre, mekanizma, 𝜃2 eyletimine göre kilitlenmiş olur. Öte yandan, böyle bir tekil

duruşta, (2.5.7) denklemi aşağıdaki biçime dönüşür.

��4 = 𝜎3𝑏3��3 ; 𝜎3 = sgn(cos 𝜃3) = {+1, 𝜃3 = 0 ise −1, 𝜃3 = 𝜋 ise

(2.5.16)

(2.5.16) denklemi ise, belirsizleşmiş ��3 türevine bağlı olarak ��4 türevinin de nasıl bir belirsizlik

kazandığını göstermektedir.

Mekanizmanın 𝜃2 eyletimine göre tekil duruşları, Şekil 2.5.2'de gösterilmiştir. Dikkat edilirse, bu

tekil duruşlar, ancak, 𝐵𝐶 < 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 (yani 𝑏3 < ℎ1 + 𝑏2) olursa ortaya çıkabilir. Görüldüğü

gibi, mekanizma, bir kere girmişse, bu tekil duruşlardan 𝜃2 eyletimiyle hiç bir zaman çıkamaz.

Çıkabilmesi, ancak dışarıdan alınabilecek ek bir destekle, örneğin 𝜃2 eyletimi yerine bir an için

𝑠4 eyletiminin kullanılmasıyla (yani kayar uzvun kısa bir süre ittirilmesiyle) mümkün olabilir. Ne

var ki, bu dış müdahelenin yönüne bağlı olarak mekanizmanın kapanım biçimi (yani 𝐶 noktasının

𝐵 noktasının sağında ya da solunda olma özelliği) değişebilir.

Şekil 2.5.2. RRRP Mekanizmasının 𝜃2 Eyletimine Göre Tekil Duruşları

3 = 0

2

3 =

2 < 0

27

Bu arada, çok özel bir durum olarak eğer 𝐵𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 (yani 𝑏3 = ℎ1 + 𝑏2) ise, mekanizma,

tekil duruşa cos 𝜃2 = 0 yani 𝜃2 = ±𝜋/2 olunca girer. Bu çok özel duruşta, (2.5.8) denklemi,

0 ∙ ��3 = 0 ∙ ��2 biçimine girer ve yalnızca ��3 eklem hızı değil, ��2 eklem hızı da (önceki gibi sıfır

olmayıp) belirsizleşir, yani eyletim serbestliği kazanır. Böyle olunca da, mekanizma yine 𝜃2

eyletimiyle tekil duruştan çıkabilir. Diğer bir deyişle, dış desteğe hiç gerek kalmadan yalnızca 𝜃2

eyletimiyle çalışmasına devam edebilir.

Öte yandan, eğer 𝐵𝐶 > 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 (yani 𝑏3 > ℎ1 + 𝑏2) olursa, mekanizma hiç bir zaman söz

konusu tekil duruşlara giremez ve böylece 𝜃2 eyletimiyle sorunsuzca çalıştırılabilir.

* Eyletilen Eklemin Değiştirilmesi:

Eğer eyletimli eklem değişkeni olarak 𝜃2 yerine 𝑠4 kullanılacak olursa, 𝑠4 eyletimine göre

tanımlanan 𝐺24 ve 𝐺34 hız etki katsayıları, 𝜃2 eyletimine göre tanımlanan 𝐺32 ve 𝐺42 hız etki

katsayılarını içeren (2.5.9) ve (2.5.10) denklemlerinden aşağıda gösterilen biçimde elde edilirler.

��2 = −sin𝜃3

𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)��4 = 𝐺24��4 (2.5.17)

��3 = +cos𝜃2

𝑏3 cos(𝜃2−𝜃3)��4 = 𝐺34��4 (2.5.18)

Yukarıdaki denklemlere bakınca, önceki ve şimdiki hız etki katsayıları arasında aşağıdaki

ilişkilerin olduğu görülür.

𝐺24 = 1/𝐺42 𝐺24 = 𝐺24(𝜃2, 𝜃3) = −sin𝜃3

𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3) (2.5.19)

𝐺34 = 𝐺32𝐺24 = 𝐺32/𝐺42 𝐺34 = 𝐺34(𝜃2, 𝜃3) =cos𝜃2

𝑏3 cos(𝜃2−𝜃3) (2.5.20)

* Mekanizmanın Değiştirilen Eyletimli Ekleme Göre Devinimsel Tekil Duruşları:

(2.5.17) ve (2.5.18) denklemleri, 𝑠4 eyletimine göre tekil duruşların aşağıda belirtilen koşullarda

ortaya çıkacağını göstermektedir.

cos(𝜃2 − 𝜃3) = 0 𝜃2 − 𝜃3 = ±𝜋/2 (2.5.21)

Bu tekil duruşlarda, mekanizma 𝑠4 eyletimine göre kilitlenir ve ��4 = 0 olur. Buna karşılık ��2 ve

��3 türevleri belirsizleşir. Bu tekil duruşlar, Şekil 2.5.3'te gösterilmiştir.

Dikkat edilirse, mekanizmanın Şekil 2.5.3'teki tekil duruşlara girmesi, geometrik parametreleri ne

olursa olsun kaçınılmazdır. Dolayısıyla, mekanizmanın bu tekil duruşlarda kilitlenip kalmaması

için kumandalı 𝑠4 eyletiminin yanısıra 𝐿2 uzvunun da volan gibi kinetik enerji depolayan bir

hareket sürdürücüsüyle desteklenmesi gerekir.

28

Şekil 2.5.3. RRRP Mekanizmasının 𝑠4 Eyletimine Göre Tekil Duruşları

* Uzuvlara Ait Noktaların Hızlarının Belirlenmesi:

Bölüm 1'deki konum analizi kapsamında, uzuvlara ait 𝑃1, 𝑃2, ve 𝑃3 noktalarının koordinatları için

aşağıdaki ifadeler elde edilmişti.


} (2.5.22)


} (2.5.23)

𝑥4 = 𝑠4 + 𝑑4 𝑦4 = −ℎ4

} (2.5.24)

Yukarıdaki denklemlerin türevleri alınarak aynı noktaların hızları, aşağıda gösterilen biçimde

elde edilebilir.

��2 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2)��2��2 = +(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2)��2

} (2.5.25)

��3 = ��4 − (𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3)��3��3 = (ℎ3 cos 𝜃3 − 𝑑3 sin 𝜃3)��3

} (2.5.26)

��4 = ��4��4 = 0

} (2.5.27)

Bu denklemler, eyletimli eklem değişkenin 𝜃2 olduğu kabul edilerek ve hız etki katsayıları

kullanılarak aşağıda olduğu gibi düzenlenebilir.

��2 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2)��2 = 𝑋22��2��2 = +(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2)��2 = 𝑌22��2

} (2.5.28)

��3 = [𝐺42 − (𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3)𝐺32]��2 = 𝑋32��2��3 = [(ℎ3 cos 𝜃3 − 𝑑3 sin 𝜃3)𝐺32]��2 = 𝑌32��2

} (2.5.29)

��4 = 𝐺42��2 = 𝑋42��2��4 = 𝑌42��2 = 0

} (2.5.30)

3

2 < 0

4 =

3

2

4 =

( 2 − 3 = − /2) ( 2 − 3 = + /2)

29

Görüldüğü gibi, uzuvlara ait hız etki katsayıları da, eklemlerarası hız etki katsayıları kullanılarak

ifade edilmişlerdir. Dolayısıyla, onların da aşağıda belirtilen tanımları, mekanizma bir devinimsel

tekil duruşta değilken geçerlidir.

𝑋22 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2) (2.5.31)

𝑌22 = +(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2) (2.5.32)

𝑋32 = 𝐺42 − (𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3)𝐺32 (2.5.33)

𝑌32 = (ℎ3 cos 𝜃3 − 𝑑3 sin 𝜃3)𝐺32 (2.5.34)

𝑋42 = 𝐺42 (2.5.35)

𝑌42 = 0 (2.5.36)








𝑚 = 3


𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3


𝜃4 , 𝜃5 , 𝜃6 , 𝜃7 = 𝜙

30


𝑏4 cos 𝜃4 = (𝑠2 − 𝑠1) + 𝑏5 cos 𝜃5 (2.6.1)

𝑏4 sin 𝜃4 = 𝑏5 sin 𝜃5 (2.6.2)





𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 = 𝑠1𝑖 + 𝑏4�� (𝜃4) + 𝑑7�� (𝜃7) + ℎ7�� (𝜃7 + 𝜋/2)



* Manipülatörün Hız Denklemleri:

Döngü kapanım denklemlerinin türevleri, aşağıdaki hız denklemlerini verir.

𝑏4��4 sin 𝜃4 = 𝑏5��5 sin 𝜃5 − (��2 − ��1) (2.6.7)

𝑏4��4 cos 𝜃4 = 𝑏5��5 cos 𝜃5 (2.6.8)

𝑏4��4 sin 𝜃4 + 𝑏7��7 sin 𝜃7 = 𝑏6��6 sin 𝜃6 − (��3 − ��1) (2.6.9)

𝑏4��4 cos 𝜃4 + 𝑏7��7 cos 𝜃7 = 𝑏6��6 cos 𝜃6 (2.6.10)

* İşlem Aygıtının Hız Denklemleri:

İşlem aygıtının uç noktasının hız bileşenleri, (2.6.5) ve (2.6.6) denklemlerinin türevi alınarak

aşağıdaki ifadelerle elde edilir.

�� = ��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)��7 (2.6.11)

�� = 𝑏4��4 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)��7 (2.6.12)

İşlem aygıtının açısal hızı ise, şudur.

𝜔7 = ��7 = �� (2.6.13)

* Eyletimsiz Eklem Hızlarının Belirlenmesi:

Eyletimsiz eklem hızlarından ilk ikisini (��4 ve ��5) belirlemek üzere, (2.6.7) ve (2.6.8)

denklemleri birlikte aşağıdaki matris denklemi biçiminde yazılabilir.

[𝑏5 sin 𝜃5 −𝑏4 sin 𝜃4𝑏5 cos 𝜃5 −𝑏4 cos 𝜃4

] [��5��4] = [

(��2 − ��1)0

] (2.6.14)

31

(2.6.14) denklemindeki katsayı matrisinin determinantı şudur.

𝐷45 = −𝑏4𝑏5(sin 𝜃5 cos 𝜃4 − cos 𝜃5 sin 𝜃4) = −𝑏4𝑏5 sin(𝜃5 − 𝜃4) (2.6.15)

Eğer 𝐷45 ≠ 0 ise, yani sin(𝜃5 − 𝜃4) ≠ 0 ise, (2.6.14) denklemi, ��4 ve ��5 eyletimsiz eklem

hızlarını şöyle verir.

[��5��4] =

1

𝐷45[−𝑏4 cos 𝜃4 𝑏4 sin 𝜃4−𝑏5 cos 𝜃5 𝑏5 sin 𝜃5

] [(��2 − ��1)0

]

��4 =cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) = 𝐺41 ��1 + 𝐺42 ��2 (2.6.16)

��5 =cos𝜃4

𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) = 𝐺51 ��1 + 𝐺52 ��2 (2.6.17)

Yukarıdaki denklemlere göre, devinimsel tekil duruşlar dışında, ilgili eklemlerarası hız etki

katsayıları şöyle tanımlanmışlardır.

𝐺41 = −cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.18)

𝐺42 = +cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.19)


𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.20)

𝐺52 = +cos𝜃4

𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.21)

��4 eyletimsiz eklem hızının belirlenmiş olduğu göz önüne alınarak bu kez kalan iki eyletimsiz

eklem hızını (��6 ve ��7) belirlemek üzere, (2.6.9) ve (2.6.10) denklemleri birlikte aşağıdaki matris

denklemi biçiminde yazılabilir.


] [��6��7] = [

(��3 − ��1)0

] + [sin 𝜃4cos 𝜃4

] 𝑏4��4 (2.6.22)



Eğer 𝐷67 ≠ 0 ise, yani sin(𝜃6 − 𝜃7) ≠ 0 ise, (2.6.22) denklemi, ��6 ve ��7 eyletimsiz eklem

hızlarını şöyle verir.

[��6��7] =

1


] {[(��3 − ��1)0

] + [sin 𝜃4cos 𝜃4

] 𝑏4��4}

��6 =cos𝜃7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) +

𝑏4 sin(𝜃4−𝜃7)

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)��4 (2.6.24)

��7 =cos𝜃6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) −


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)��4 (2.6.25)

32

Elde edilen eklem hızları, (2.6.16) denklemi kullanılarak şöyle de ifade edilebilir.

��6 =cos𝜃7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) +

sin(𝜃4−𝜃7) cos𝜃5

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1)

��6 = 𝐺61��1 + 𝐺62��2 + 𝐺63��3 (2.6.26)

��7 =cos𝜃6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) −


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1)

��7 = 𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3 (2.6.27)

Yukarıdaki denklemlere göre, yine devinimsel tekil duruşlar dışında, ilgili eklemlerarası hız etki

katsayıları şöyle tanımlanmışlardır.


𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)−


𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4)= −


𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.28)

𝐺62 = +sin(𝜃4−𝜃7) cos𝜃5

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.29)

𝐺63 = +cos𝜃7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) (2.6.30)


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)+


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4)= +


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.31)


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (2.6.32)

𝐺73 = +cos𝜃6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) (2.6.33)

* İşlem Aygıtının Hızını Belirleyen İleri Hız Çözümü:

��4 ve ��7 eklem hızları belirlendikten sonra, işlem aygıtının hız bileşenleri de (2.6.11), (2.6.12), ve

(2.6.13) denklemleri kullanılarak aşağıdaki ifadelerle belirlenebilir.

�� = 𝑋1��1 + 𝑋2��2 + 𝑋3��3 (2.6.34)

�� = 𝑌1��1 + 𝑌2��2 + 𝑌3��3 (2.6.35)

𝜔7 = ��7 = �� = 𝛷1��1 +𝛷2��2 + 𝛷3��3 = 𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3 (2.6.36)

Yukarıdaki hız etki katsayıları da, doğal olarak devinimsel tekil duruşlar dışında tanımlıdırlar.

Çünkü, eklemlerarası hız etki katsayılarına aşağıdaki ifadelerle bağlıdırlar.

𝑋1 = 1 − 𝑏4𝐺41 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺71 (2.6.37)

𝑋2 = −𝑏4𝐺42 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺72 (2.6.38)


𝑌1 = 𝑏4𝐺41 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺71 (2.6.40)



33

𝛷1 = 𝐺71 (2.6.43)

𝛷2 = 𝐺72 (2.6.44)

𝛷3 = 𝐺73 (2.6.45)

* İleri Hız Çözümüne Ait Devinimsel Tekil Duruşlar:

Daha önce de sözedildiği gibi, eğer 𝐷45 ya da 𝐷67 determinantları sıfır olursa, manipülatör, ileri

hız çözümüne ait devinimsel tekil duruşlardan birine girer. Bu tekil duruşlar, aşağıdaki

denklemlerle temsil edilir.

sin(𝜃5 − 𝜃4) = 0 𝜃5 = 𝜃4 ya da 𝜃5 = 𝜃4 ± 𝜋 (2.6.46)

sin(𝜃6 − 𝜃7) = 0 𝜃6 = 𝜃7 ya da 𝜃6 = 𝜃7 ± 𝜋 (2.6.47)

Yukarıda sözü edilen tekil duruşlardan iki örnek, Şekil 2.6.2 ve 2.6.3'te gösterilmiştir.

Şekil 2.6.2: İleri Hız Çözümüne Ait Birinci Tekil Duruş (𝜃5 = 𝜃4 + 𝜋)

Şekil 2.6.3: İleri Hız Çözümüne Ait İkinci Tekil Duruş (𝜃6 = 𝜃7 + 𝜋)

34

Tekil duruşlardan birincisinde, (2.6.16) ve (2.6.17) denklemlerine göre, ��4 ve ��5 eklem hızları

belirsizleşir. Buna karşılık, bu eklem hızlarının belirsiz olsa bile hiç değilse sınırlı kalabilmeleri

için, ��2 = ��1 olması gerekli hale gelir. Bu koşul ise, eyletim kısıtlamasına yol açar. Diğer bir

deyişle, bu tekil duruş, eyletimsiz eklem değişkenlerinde belirsizliklere, eyletimli eklem

değişkenleri arasında ise kısıtlamalara neden olur.

Tekil duruşlardan ikincisinde ise, (2.6.24) ve (2.6.25) denklemlerine göre, ��6 ve ��7 eklem hızları

belirsizleşir. Buna karşılık, bu eklem hızlarının belirsiz olsa bile yine hiç değilse sınırlı

kalabilmeleri için, bu kez aşağıdaki koşulun sağlanması gerekli hale gelir.

��3 = ��1 ± 𝑏4��4 sin(𝜃4 − 𝜃7) = ��1 ± 𝑏4(𝐺41��1 + 𝐺42��2) sin(𝜃4 − 𝜃7)

��3 = [1 ± 𝑏4𝐺41 sin(𝜃4 − 𝜃7)]��1 ± [𝑏4𝐺42 sin(𝜃4 − 𝜃7)]��2 (2.6.48)

Bu koşul ise, bir başka eyletim kısıtlamasına yol açar. Diğer bir deyişle, bu tekil duruş da öteki

gibi, eyletimsiz eklem değişkenlerinde belirsizliklere, eyletimli eklem değişkenleri arasında ise

kısıtlamalara neden olur.

* İşlem Aygıtının Hızına Karşılık Gelen Ters Hız Çözümü:

Bu çözümün amacı, işlem aygıtının belirtilen hız bileşenlerine (yani ��, ��, ve ��7 = �� türevlerine)

karşılık gelen eyletimli ve eyletimsiz eklem hızlarını bulmaktır. Bu amaçla, (2.6.11) ve (2.6.12)

denklemleri, 𝜃7 = 𝜙 eşitliğiyle, şöyle yazılabilir.

��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 = �� + (ℎ7 cos𝜙 + 𝑑7 sin 𝜙)�� (2.6.49)

𝑏4��4 cos 𝜃4 = �� + (ℎ7 sin 𝜙 − 𝑑7 cos𝜙)�� (2.6.50)

Eğer cos 𝜃4 ≠ 0 ise, yukarıdaki denklemlerden önce ��4 daha sonra da ��1 eklem hızları şöyle elde

edilir.

��4 = [�� + (ℎ7 sin𝜙 − 𝑑7 cos𝜙)��]/(𝑏4 cos 𝜃4) (2.6.51)

��1 = �� + (ℎ7 cos𝜙 + 𝑑7 sin𝜙)�� + 𝑏4��4 sin 𝜃4 (2.6.52)

Diğer eklem hızları ise, daha önce yazılmış olan (2.6.7) – (2.6.10) sayılı döngü kapanım

denklemlerinin türevlerinden aşağıda açıklanan biçimde elde edilir.

Eğer cos 𝜃5 ≠ 0 ise, (2.6.8) ve (2.6.7) denklemleri, ��5 ve ��2 eklem hızlarını şöyle verir.

��5 = (𝑏4��4 cos 𝜃4)/(𝑏5 cos 𝜃5) (2.6.53)

��2 = ��1 + 𝑏5��5 sin 𝜃5 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 (2.6.54)

Eğer cos 𝜃6 ≠ 0 ise, (2.6.10) ve (2.6.9) denklemleri, ��6 ve ��3 eklem hızlarını şöyle verir.

��6 = (𝑏4��4 cos 𝜃4 + 𝑏7�� cos 𝜙)/(𝑏6 cos 𝜃6) (2.6.55)

��3 = ��1 + 𝑏6��6 sin 𝜃6 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − 𝑏7�� sin𝜙 (2.6.56)

35

* Ters Hız Çözümüne Ait Devinimsel Tekil Duruşlar:

Yukarıda anlatılan çözüme göre, ters hız çözümüne ait devinimsel tekil duruşlar, 𝜃4, 𝜃5, ve 𝜃6

açıları aşağıda belirtilen değerleri alırlarsa ortaya çıkar.

cos 𝜃4 = 0 𝜃4 = ±𝜋/2 (2.6.57)

cos 𝜃5 = 0 𝜃5 = ±𝜋/2 (2.6.58)

cos 𝜃6 = 0 𝜃6 = ±𝜋/2 (2.6.59)

Birinci tekil duruşta, (2.6.51) ve (2.6.52) denklemlerine göre, ��4 ve dolayısıyla ��1 belirsizleşir.

Bunun yanı sıra, işlem aygıtının hızı, artık keyfi olarak belirtilemez; aşağıdaki tekil duruş

kısıtlamasına uyulması gerekir.

�� = −(ℎ7 sin𝜙 − 𝑑7 cos𝜙)�� (2.6.60)

Bu kısıtlamaya göre, işlem aygıtına ancak 𝐷 noktasının hızı yatay (yani, ��𝐷 = 0) olacak biçimde

bir hareket komutu verilebilir.

İkinci tekil duruşta, (2.6.53) ve (2.6.54) denklemlerine göre, ��5 ve dolayısıyla ��2 belirsizleşir.



��4 = 0 (2.6.61)

Bu kısıtlamaya göre, manipülatör ancak 𝐴𝐵𝐷 üçgeni sabit kalacak bir biçimde hareket edebilir.

Bu nedenle de, birinci tekil duruşta olduğu gibi, işlem aygıtına ancak 𝐷 noktasının hızı yatay

(yani, ��𝐷 = 0) olacak biçimde bir hareket komutu verilebilir.

Üçüncü tekil duruşta, (2.6.55) ve (2.6.56) denklemlerine göre, ��6 ve dolayısıyla ��3 belirsizleşir.



𝑏4��4 cos 𝜃4 + 𝑏7�� cos 𝜙 = 0 (2.6.62)

Bu kısıtlamaya göre, işlem aygıtına ancak 𝐸 noktasının hızı yatay (yani, ��𝐸 = 0) olacak biçimde

bir hareket komutu verilebilir.

Yukarıda özellikleri anlatılan tekil duruşlardan birincisi ve üçüncüsü bir arada Şekil 2.6.4'te

gösterilmiştir. Böyle birleşik bir tekil duruş meydana geldiğinde, hem 𝐷 hem de 𝐸 noktaları

ancak yatay (yani, ��𝐷 = ��𝐸 = 0 olacak biçimde) hareket edebilirler. Bu ikili kısıtlama nedeniyle

de, işlem aygıtına ancak yatay hızlı bir ötelenme hareketi komutu verilebilir.

36

Şekil 2.6.4: Ters Hız Çözümüne Ait Birinci ve Üçüncü Tekil Duruşlar

37

BÖLÜM 3

MEKANİZMALARIN İVME ANALİZİ

M. Kemal Özgören

3.1. İvme Analizi Öncesinde Mekanizmanın Duruşunun ve Hızının Belirlenmesi

Bölüm 1 ve 2'de sözedildiği gibi, serbestlik derecesi 𝑚 olan bir mekanizmanın eklem

değişkenleri, aşağıdaki dikeysıra matrisleriyle gösterilen iki gruba ayrılır.





��(��, ��) = 0 ; �� ∈ ℛ𝑛 (3.1.3)


𝜙𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞𝑚, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (3.1.4)

(3.1.3) denklemi çözülerek �� matrisi, �� matrisine bağlı olarak belirlenebilir.

Mekanizmanın hız durumunu belirlemek üzere (3.1.3) denkleminin türevi alınınca, aşağıdaki


��(��, ��)�� + ��(��, ��)�� = 0 (3.1.5)

(3.1.5) denklemindeki 𝑛 × 𝑛 boyutlu ��(��, ��) matrisi ile 𝑛 ×𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisinin

elemanları, (3.1.4) denklemi de göz önüne alınarak şöyle oluşturulmuştur.




∑ 𝛹𝑖𝑗��𝑗𝑛𝑗=1 + ∑ 𝛷𝑖𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (3.1.8)

(3.1.8) denklem kümesinde ��𝑗 ve ��𝑗 ile gösterilen eklem değişkeni türevleri, kısaca eklem hızları

olarak adlandırılır. Buna dayanarak (3.1.5) denklemindeki �� ve �� dikeysıra matrisleri de, eklem

hızları dikeysıra matrisleri olarak adlandırılır.


ettirilirken, eyletimsiz eklem hızları dikeysıra matrisi, belli olan eyletimli eklem hızları dikeysıra

matrisine bağlı olarak (3.1.5) denkleminden aşağıdaki ifadeyle elde edilir.

38

�� = ��(��, ��)�� (3.1.9)

(3.1.9) denklemindeki 𝑛 × 𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisi, mekanizmanın devinimsel tekil duruşlar

dışında olması, yani ��(��, ��) matrisinin tekil olmaması ya da det[��(��, ��)] = 0 olmaması

koşuluyla şöyle tanımlanmıştır.

��(��, ��) = −��−1(��, ��)��(��, ��) (3.1.10)

(3.1.10) denklemiyle tanımlanan ��(��, ��) matrisi, hız etki matrisi olarak adlandırılır. Bu matris,

aynı zamanda, eyletimli ve eyletimsiz eklem hızları arasındaki Jacobi (Yakobi) matrisi olarak da

adlandırılır.


��𝑖 = ∑ 𝐺𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 ; 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (3.1.11)

Bu denklem kümesindeki 𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗(��, ��) katsayısı ise, ��𝑗 eklem hızının ��𝑖 eklem hızı üzerindeki

etkisini gösteren hız etki katsayısı olarak adlandırılır.

3.2. Mekanizmaya Ait Eklemlerarası İvme İlişkileri

Mekanizmanın ivme durumunu belirlemek üzere (3.1.5) denkleminin türevi alınınca, aşağıdaki


��(��, ��)�� + ��(��, ��)�� + ��(��, ��)�� + ��(��, ��)�� = 0 (3.2.1)

Kısım 3.1'den anımsanacağı üzere, (3.2.1) denklemindeki 𝑛 × 𝑛 boyutlu ��(��, ��) matrisi ile

𝑛 × 𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisinin elemanları, (3.1.4) denklemi de göz önüne alınarak şöyle

oluşturulmuştur.




∑ (𝛹𝑖𝑗��𝑗 + ��𝑖𝑗��𝑗)𝑛𝑗=1 + ∑ (𝛷𝑖𝑗��𝑗 + ��𝑖𝑗��𝑗)

𝑚𝑗=1 = 0 ; 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (3.2.4)

(3.2.4) denklem kümesindeki ��𝑖𝑗 ve ��𝑖𝑗 türevlerinin ayrıntılı ifadeleri şöyledir.

��𝑖𝑗 = ∑ (𝜕𝛹𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘)��𝑘𝑚𝑘=1 + ∑ (𝜕𝛹𝑖𝑗/𝜕𝑝𝑘)��𝑘

𝑛𝑘=1 (3.2.5)

��𝑖𝑗 = ∑ (𝜕𝛷𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘)��𝑘𝑚𝑘=1 + ∑ (𝜕𝛷𝑖𝑗/𝜕𝑝𝑘)��𝑘

𝑛𝑘=1 (3.2.6)

Yukarıdaki denklemler, (3.2.2) ve (3.2.3) denklemleri kullanılarak şöyle de yazılabilirler.

��𝑖𝑗 = ∑ (𝜕2𝜙𝑖/𝜕𝑝𝑗𝜕𝑞𝑘)��𝑘𝑚𝑘=1 + ∑ (𝜕2𝜙𝑖/𝜕𝑝𝑗𝜕𝑝𝑘)��𝑘

𝑛𝑘=1 (3.2.7)

��𝑖𝑗 = ∑ (𝜕2𝜙𝑖/𝜕𝑞𝑗𝜕𝑞𝑘)��𝑘𝑚𝑘=1 + ∑ (𝜕2𝜙𝑖/𝜕𝑞𝑗𝜕𝑝𝑘)��𝑘

𝑛𝑘=1 (3.2.8)

39

(3.2.4) denklem kümesinde ��𝑗 ve ��𝑗 ile gösterilen eklem değişkeni ikinci türevleri, kısaca eklem

ivmeleri olarak adlandırılır. Buna dayanarak (3.2.1) denklemindeki �� ve �� dikeysıra matrisleri de,

eklem ivmeleri dikeysıra matrisleri olarak adlandırılır.


ettirilirken, eyletimsiz eklem ivmeleri dikeysıra matrisi, belli olan eyletimli eklem ivmeleri

dikeysıra matrisine bağlı olarak (3.2.1) denkleminden şöyle elde edilir.

�� = ��(��, ��)�� + ��(��, ��; ��, ��) (3.2.9)

(3.2.9) denklemindeki 𝑛 × 𝑚 boyutlu ��(��, ��) matrisi, (3.1.10) denkleminde olduğu gibi,

mekanizmanın devinimsel tekil duruşlar dışında olması koşuluyla şöyle tanımlanmıştır.

��(��, ��) = −��−1(��, ��)��(��, ��) (3.2.10)

Aynı denklemdeki ��(��, ��; ��, ��) dikeysıra matrisi ise, yine aynı koşulla, şöyle tanımlanmıştır.

��(��, ��; ��, ��) = −��−1(��, ��)[��(��, ��)�� + ��(��, ��)��] (3.2.11)

(3.2.10) denklemiyle tanımlanan ��(��, ��) matrisi, hız analizi kapsamında hız etki matrisi olarak

adlandırılır. Buradaki ivme analizinde ise, ivme etki matrisi olarak görev yapmaktadır.

(3.2.11) denklemiyle tanımlanan ��(��, ��; ��, ��) dikeysıra matrisi ise, eklem hızlarına bağlı ivme

terimi olarak adlandırılır. Bu terim yüzünden, (3.2.9) denklemi, eklem ivmeleri arasında doğrusal

bir ilişki olmaktan çıkıp biyas (kayma ya da sapma) içeren afin (doğrusalımsı) bir ilişki haline

gelir. Bu nedenle, ��(��, ��; ��, ��) terimine biyas ivmeleri dikeysıra matrisi adı da verilmektedir.


��𝑖 = ∑ 𝐺𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + 𝑏𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (3.2.12)

(3.2.12) denklem kümesindeki 𝑏𝑖 terimi şöyle ifade edilebilir.

𝑏𝑖 = ∑ ∑ 𝐴𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘𝑚𝑘=1

𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝐵𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘

𝑛𝑘=1

𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘

𝑛𝑘=1

𝑛𝑗=1 (3.2.13)

(3.2.12) denklem kümesindeki 𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗(��, ��) katsayısı, hız analizi kapsamında ��𝑗 eklem hızının

��𝑖 eklem hızı üzerindeki etkisini gösteren hız etki katsayısı olarak adlandırılır. Buradaki ivme

analizinde ise, ��𝑗 eklem ivmesinin ��𝑖 eklem ivmesi üzerindeki etkisini gösteren ivme etki

katsayısı olarak görev yapmaktadır.

(3.2.13) denklemindeki 𝐴𝑖𝑗𝑘 = 𝐴𝑖𝑗𝑘(��, ��), 𝐵𝑖𝑗𝑘 = 𝐵𝑖𝑗𝑘(��, ��), ve 𝐶𝑖𝑗𝑘 = 𝐶𝑖𝑗𝑘(��, ��) katsayıları ise,

tüm eklem hızlarının ��𝑖 eklem ivmesi üzerindeki etkilerini gösteren hız-ivme etki katsayıları

olarak adlandırılırlar. Bu katsayıların ifadeleri, (3.2.7) ve (3.2.8) denklemlerinin (3.2.11)

denkleminde yerine konmasıyla elde edilebilir. Dikkat edilirse, 𝑏𝑖 biyas ivmesini oluşturan

terimler, tek tek bakıldığında, ya Merkezcil İvme ya da Coriolis İvmesi görünümündedirler.

Eğer istenirse, 𝑏𝑖 biyas ivmesi, yalnızca eyletimli eklem hızlarına bağlı olarak şöyle de ifade

edilebilir.

40

𝑏𝑖 = ∑ ∑ 𝐻𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘𝑚𝑘=1

𝑚𝑗=1 (3.2.14)

(3.2.14) denklemindeki 𝐻𝑖𝑗𝑘 katsayısını ifade etmek üzere, önce, (3.1.11) denklemi, aşağıda

gösterilen iki özdeş biçimde yazılabilir.

��𝑗 = ∑ 𝐺𝑗𝑟��𝑟𝑚𝑟=1 , ��𝑘 = ∑ 𝐺𝑘𝑠��𝑠

𝑚𝑠=1 (3.2.15)

Daha sonra, yukarıdaki ifadeler (3.2.13) denkleminde yerine konunca, 𝐻𝑖𝑗𝑘 katsayısı aşağıdaki

ifadeyle elde edilir.

𝐻𝑖𝑗𝑘 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 + ∑ 𝐵𝑖𝑗𝑟𝐺𝑟𝑘𝑛𝑟=1 + ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑟𝑠𝐺𝑟𝑗𝐺𝑠𝑘

𝑛𝑠=1

𝑛𝑟=1 (3.2.16)

Bu katsayının kullanılmasıyla, (3.2.12) denklem kümesi, yalnızca eyletimli eklem ivmelerinin ve

hızlarının etkisini göstermek üzere, aşağıdaki denklem kümesi biçiminde yazılabilir.

��𝑖 = ∑ 𝐺𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝐻𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘

𝑚𝑘=1

𝑚𝑗=1 ; 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (3.2.17)

Yukarıda görülen işlevleri nedeniyle, 𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗(��, ��) ve 𝐻𝑖𝑗𝑘 = 𝐻𝑖𝑗𝑘(��, ��) katsayılarına, birinci

ve ikinci mertebeden ivme etki katsayıları da denilebilmektedir.

3.3. Mekanizmaya Ait Uzuvların İvmelerinin Belirlenmesi

Konum analizi kapsamında, tipik bir 𝐿𝑘 uzvunun zemin eksen takımına göre konumu (yeri ve

yönelimi), şöyle ifade edilebilir.

𝜉�� = ��𝑘(��, ��) ; 𝜉�� = [��𝑘��𝑘] (3.3.1)

(3.3.1) denklemindeki 𝜉�� dikeysıra matrisinin yer ve yönelim gösteren iki ayrışımı aşağıda

gösterilen biçimlerde tanımlanır.


��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘]𝑡 (3.3.2)

��𝑘 = 𝜙𝑘 (3.3.3)


��𝑘 = [𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑧𝑘]𝑡 (3.3.4)

��𝑘 = [𝜙𝑘 𝜃𝑘 𝜓𝑘]𝑡 (3.3.5)

Hız analizi kapsamında, söz konusu 𝐿𝑘 uzvunun hızını belirlemek üzere, (3.3.1) konum

denkleminin türevinden yola çıkılarak aşağıdaki hız denklemi elde edilir.

��𝑘 = ℒ𝑘(��, ��)�� + ��𝑘(��, ��)�� ; ��𝑘 = [��𝑘��𝑘] (3.3.6)

(3.3.6) denklemindeki ��𝑘 dikeysıra matrisi, 𝐿𝑘 uzvunun hız matrisi olarak adlandırılır.

Denklemde de görüldüğü gibi, ��𝑘 matrisi, 𝐿𝑘 uzvunun hem öteleme hem de açısal hız

ayrışımlarından oluşur. Bu ayrışımlar şöyle tanımlanır.

41


��𝑘 = [𝑣𝑘𝑥 𝑣𝑘𝑦]𝑡 = ��𝑘 = [��𝑘 ��𝑘]𝑡 (3.3.7)

��𝑘 = 𝜔𝑘 = ��𝑘 (3.3.8)


��𝑘 = [𝑣𝑘𝑥 𝑣𝑘𝑦 𝑣𝑘𝑧]𝑡 = ��𝑘 = [��𝑘 ��𝑘 ��𝑘]𝑡 (3.3.9)

��𝑘 = [𝜔𝑘𝑥 𝜔𝑘𝑦 𝜔𝑘𝑧]𝑡 (3.3.10)

Burada dikkat edilecek husus, uzaysal mekanizmalarda ��𝑘 matrisinin doğrudan doğruya ��𝑘

matrisinin türevine eşit olmamasıdır. Bununla birlikte, tabii ki, aralarındaki bir ilişki vardır ve bu

ilişki aşağıdaki tipik denklemle ifade edilebilir.

��𝑘 = ��𝑘(��𝑘)��𝑘 (3.3.11)

(3.3.11) denklemi için verilebilecek en tipik örnek, bir rijit cismin sabit eksen takımındaki açısal

hız bileşenleri ile Euler açılarının türevleri arasındaki ilişkidir. Eğer kullanılan Euler açı üçlüsü

(𝜙, 𝜃, 𝜓), cismin dönüşüne bağlı 1-2-3 sıralamasına göre tanımlanmışlarsa, sözü edilen ilişki,

Bölüm 2'den anımsanacağı üzere, aşağıda gösterilen biçimde ortaya çıkar.

�� = ��(��)��

[

𝜔𝑥𝜔𝑦𝜔𝑧] = [

1 0 sin 𝜃0 cos 𝜙 − sin𝜙 cos 𝜃0 sin𝜙 cos 𝜙 cos 𝜃

] [

��

��

] (3.3.12)

Tekrar 𝐿𝑘 uzvuna dönülecek olursa, (3.3.6) ve (3.1.9) denklemleri birleştirilerek bu uzvun hızı,

doğrudan doğruya eyletimli eklem değişkenlerinin türevlerine bağlanabilir. Şöyle ki,

��𝑘 = ��𝑘(��, ��)�� (3.3.13)


��𝑘(��, ��) = ℒ𝑘(��, ��) + ��𝑘(��, ��)��(��, ��) (3.3.14)

(3.3.14) denklemiyle tanımlanan ��𝑘(��, ��) matrisi, 𝐿𝑘 uzvuna ait hız etki matrisi olarak

adlandırılır. Bu matris, aynı zamanda, 𝐿𝑘 uzvuna ait Jacobi (Yakobi) matrisi olarak da

adlandırılır. Tabii, ��𝑘(��, ��) matrisi de, ��(��, ��) matrisi gibi, mekanizmanın devinimsel tekil

duruşlardan birinde olmadığı, yani (3.1.10) denklemindeki ��(��, ��) matrisinin tekil olmadığı

anlar için tanımlanmıştır.

(3.3.13) denklemi, eğer istenirse, aşağıdaki skalar denklemlere ayrıştırılabilir.

𝜂𝑘𝑖 = ∑ 𝒥𝑘𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 (3.3.15)

Yukarıdaki 𝑖 indisi, mekanizmanın düzlemsel ya da uzaysal olmasına göre, şu değerleri alır.

𝑖 = 1, 2, 3 ya da 𝑖 = 1, 2, … , 6

42

𝐿𝑘 uzvunun ivmesi ise, (3.3.13) denkleminin türevi alınarak belirlenir. Bu türev alma işleminin

sonucunda, aşağıdaki ivme denklemi elde edilir.

��𝑘 = ��𝑘 = ��𝑘(��, ��)�� + ��𝑘(��, ��)�� ; ��𝑘 = [��𝑘��𝑘] = [

��𝑘��𝑘] (3.3.16)

(3.3.16) denklemi, (3.2.9) denklemine benzer bir biçimde, şöyle de yazılabilir.

��𝑘 = ��𝑘(��, ��)�� + ��𝑘(��, ��; ��, ��) (3.3.17)

(3.3.17) denklemi ise, (3.3.15) denklemi gibi, aşağıdaki skalar denklemlere ayrıştırılabilir.

𝛾𝑘𝑖 = ∑ 𝒥𝑘𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + 𝛽𝑘𝑖 (3.3.18)

(3.3.18) denklem kümesindeki 𝛽𝑘𝑖 biyas ivmesi şöyle tanımlanmıştır.

𝛽𝑘𝑖 = ∑ ∑ (𝜕𝒥𝑘𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑟)��𝑗��𝑟𝑚𝑟=1

𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ (𝜕𝒥𝑘𝑖𝑗/𝜕𝑝𝑠)��𝑗��𝑠

𝑛𝑠=1

𝑚𝑗=1 (3.3.19)

Öte yandan, (3.1.11) denklemine göre,

��𝑠 = ∑ 𝐺𝑠𝑟��𝑟𝑚𝑟=1 ; 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 (3.3.20)

Dolayısıyla, 𝛽𝑘𝑖 biyas ivmesi, kısaca şöyle de ifade edilebilir.

𝛽𝑘𝑖 = ∑ ∑ ℋ𝑘𝑖𝑗𝑟��𝑗��𝑟𝑚𝑟=1

𝑚𝑗=1 (3.3.21)

(3.3.21) denklemindeki ℋ𝑘𝑖𝑗𝑟 katsayısı şöyle tanımlanmıştır.

ℋ𝑘𝑖𝑗𝑟 = (𝜕𝒥𝑘𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑟) + ∑ (𝜕𝒥𝑘𝑖𝑗/𝜕𝑝𝑠)𝐺𝑠𝑟𝑛𝑠=1 (3.3.22)

(3.3.21) denklemi yerine konunca, (3.3.18) denklemi, yalnızca eyletimli eklem ivme ve hızlarına

bağlı olmak üzere aşağıdaki şekli alır.

𝛾𝑘𝑖 = ∑ 𝒥𝑘𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ ℋ𝑘𝑖𝑗𝑟��𝑗��𝑟

𝑚𝑟=1

𝑚𝑗=1 (3.3.23)



43


𝑂𝐴 = ℎ1 , 𝐴𝐵 = 𝑏2 , 𝐵𝐶 = 𝑏3

𝐴𝑃2′ = 𝑑2 , 𝑃2

′𝑃2 = ℎ2 ; 𝐶𝑃3′ = 𝑑3 , 𝑃3

′𝑃3 = ℎ3 ; 𝐶𝑃4′ = 𝑑4 , 𝑃4

′𝑃4 = ℎ4


𝑚 = 1


𝜃2


𝜃3 , 𝑠4


𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐵 (3.4.1)

(3.4.1) denklemi, mekanizmanın özelliklerini gösterecek biçimde şöyle de yazılabilir.

ℎ1𝑗 + 𝑏2�� (𝜃2) = 𝑠4𝑖 + 𝑏3�� (𝜃3 + 𝜋/2) (3.4.2)


�� (𝜃) = 𝑖 cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 (3.4.3)

Bu vektörün dik benzeri ise, şöyle tanımlanmıştır.

�� ′(𝜃) = �� (𝜃 + 𝜋/2) = −𝑖 sin 𝜃 + 𝑗 cos 𝜃 (3.4.4)

Yukarıdaki tanımlara göre, �� (𝜃) ve �� ′(𝜃), yatay ve dikey eksenlere göre 𝜃 açısıyla dönmüş olan

birim vektörleri göstermektedir.



𝑏2 cos 𝜃2 = 𝑠4 − 𝑏3 sin 𝜃3 (3.4.5)

ℎ1 + 𝑏2 sin 𝜃2 = 𝑏3 cos 𝜃3 (3.4.6)

* Mekanizmanın Hız Denklemleri:

(3.4.5) ve (3.4.6) denklemlerinin türevleri, aşağıdaki hız denklemlerini verir.

��4 = (𝑏3 cos 𝜃3)��3 − (𝑏2 sin 𝜃2)��2 (3.4.7)

(𝑏3 sin 𝜃3)��3 = −(𝑏2 cos 𝜃2)��2 (3.4.8)

44



denklemlerinden ��3 ve ��4 eyletimsiz eklem hızları için aşağıdaki çözümler elde edilir.

��3 = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3��2 = 𝐺32��2 (3.4.9)

��4 = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3��2 = 𝐺42��2 (3.4.10)

Görüldüğü gibi, elde edilen çözümler, aynı zamanda, ��2 eyletimli eklem hızına göre tanımlanmış

olan aşağıdaki hız etki katsayılarını da içermektedir.

𝐺32 = 𝐺32(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3 (3.4.11)

𝐺42 = 𝐺42(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (3.4.12)

* Mekanizmanın İvme Denklemleri:

(3.4.7) ve (3.4.8) denklemlerinin türevleri, aşağıdaki ivme denklemlerini verir.

��4 = (𝑏3 cos 𝜃3)��3 − (𝑏2 sin 𝜃2)��2 − (𝑏3 sin 𝜃3)��32 − (𝑏2 cos 𝜃2)��2

2 (3.4.13)

(𝑏3 sin 𝜃3)��3 = −(𝑏2 cos 𝜃2)��2 − (𝑏3 cos 𝜃3)��32 + (𝑏2 sin 𝜃2)��2

2 (3.4.14)


denklemlerinden ��3 ve ��4 eyletimsiz eklem ivmeleri için aşağıdaki çözümler elde edilir.

��3 = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3��2 + [

𝑏2 sin𝜃2

𝑏3 sin𝜃3��22 −

cos𝜃3

sin𝜃3��32] = 𝐺32��2 + 𝐻32��2

2 (3.4.15)

��4 = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3��2 + [


sin𝜃3��22 −

𝑏3

sin𝜃3��32] = 𝐺42��2 + 𝐻42��2

2 (3.4.16)

Yukarıdaki denklemlerden çıkarılabileceği üzere, hız-ivme etki katsayıları (ya da ikinci

mertebeden ivme etki katsayıları) aşağıdaki ifadelere sahiptir.

𝐻32 =𝑏2 sin𝜃2

𝑏3 sin𝜃3−cos𝜃3

sin𝜃3𝐺322 (3.4.17)

𝐻42 =𝑏2 sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3−

𝑏3

sin𝜃3𝐺322 (3.4.18)

* Mekanizmanın Eyletilen Ekleme Göre Devinimsel Tekil Duruşları:

Eğer sin 𝜃3 = 0 olursa, yani 𝜃3 = 0 ya da 𝜃3 = 𝜋 olursa, mekanizma, 𝜃2 eyletimine göre, hem

hızlar hem de ivmeler açısından, bir devinimsel tekil duruşa girer. Zaten, hızları, ivmeleri ve hatta

sarsı (ivmenin türevi) gibi daha yüksek mertebeden hareket türevlerini de ilgilendirdiği için böyle

bir tekil duruşa devinimsel (yani harekete ilişkin) tekil duruş denilmektedir.

Böyle bir tekil duruşta, (3.4.8) hız denklemi ile (3.4.14) ivme denklemi, aşağıdaki özel biçimlere

dönüşürler.

45

(𝑏2 cos 𝜃2)��2 = 0 ∙ ��3 = 0 (3.4.19)

(𝑏2 cos 𝜃2)��2 − (𝑏2 sin 𝜃2)��22 + 𝜎3𝑏3��3

2 = 0 ∙ ��3 = 0 ; 𝜎3 = sgn(cos 𝜃3) (3.4.20)

Eğer cos 𝜃2 ≠ 0 ise, (3.4.19) ve (3.4.20) denklemlerinden şu iki sonuç ortaya çıkar.

��3 = ? (belirsiz) , ��3 = ? (belirsiz) (3.4.21)

��2 = 0 , ��2 = −𝜎3𝑏3��32/(𝑏2 cos 𝜃2) = ? (belirsiz) (3.4.22)

Bu sonuçlara göre, ��2 = 0 olduğu için, mekanizma, tekil duruş anında 𝜃2 eyletimine göre

kilitlenmiş olur. Buna karşılık, 𝜃3 değişkenine ait eklemin hareketi (hem hızı hem de ivmesi)

belirsizleşir. Fakat, ��2 ile ��32 ilintili olduğu için, ��3 eklem hızı belirsiz olsa bile sıfır değilse,

mekanizma kilitlenmişlikten çıkabilir. Bununla birlikte, bu arada, cos 𝜃2 = 0 eşitliği de

gerçekleşirse, ��2 sıfır olmak yerine belirsizleşir ve böylece mekanizma, tekil duruş anında

kilitlenmek yerine, o an için belirsizcesine de olsa hareketine devam edebilir.

* Uzuvlara Ait Noktaların İvmelerinin Belirlenmesi:

Bölüm 1'deki konum analizi kapsamında, uzuvlara ait 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 noktalarının koordinatları için

aşağıdaki ifadeler elde edilmişti.


} (3.4.23)


} (3.4.24)

𝑥4 = 𝑠4 + 𝑑4 𝑦4 = −ℎ4

} (3.4.25)

Bölüm 2'deki hız analizi kapsamında da, yukarıdaki denklemlerin türevleri alınarak aynı

noktaların hızları, aşağıda gösterilen biçimde elde edilmişti.

��2 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2)��2 = 𝑋22��2��2 = +(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2)��2 = 𝑌22��2

} (3.4.26)

��3 = ��4 − (𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3)��3 = 𝑋32��2��3 = (ℎ3 cos 𝜃3 − 𝑑3 sin 𝜃3)��3 = 𝑌32��2

} (3.4.27)

��4 = ��4 = 𝑋42��2��4 = 𝑌42��2 = 0

} (3.4.28)

Bu bölümde ise, yukarıdaki denklemlerin bir daha türevleri alınarak aynı noktaların ivmeleri elde

edilir. Şöyle ki,

��2 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2)��2 − (𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2)��2

2

��2 = +(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2)��2 − (𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2)��22 } (3.4.29)

46

��3 = ��4 − (𝑑3 cos 𝜃3 + ℎ3 sin 𝜃3)��3 + (𝑑3 sin 𝜃3 − ℎ3 cos 𝜃3)��3

2

��3 = (ℎ3 cos 𝜃3 − 𝑑3 sin 𝜃3)��3 − (ℎ3 sin 𝜃3 + 𝑑3 cos 𝜃3)��32

} (3.4.30)

��4 = ��4��4 = 0

} (3.4.31)

Bu denklemler, birinci ve ikinci mertebeden ivme etki katsayıları kullanılarak şöyle de yazılabilir.

��2 = 𝑋22��2 + 𝐴22��2

2

��2 = 𝑌22��2 + 𝐵22��22 } (3.4.32)

��3 = 𝑋32��2 + 𝐴32��2

2

��3 = 𝑌32��2 + 𝐵32��22 } (3.4.33)

��4 = 𝑋42��2 + 𝐴42��2

2 = 𝐺42��2 + 𝐻42��22

��4 = 𝑌42��2 + 𝐵42��22 = 0

} (3.4.34)

Yukarıdaki ivme denklem kümeleri karşılaştırılınca görülür ki,

𝐴22 = −(𝑑2 cos 𝜃2 − ℎ2 sin 𝜃2) (3.4.35)

𝐵22 = −(𝑑2 sin 𝜃2 + ℎ2 cos 𝜃2) (3.4.36)

𝐴32 = (𝑑3 sin 𝜃3 − ℎ3 cos 𝜃3)𝐺322 (3.4.37)

𝐵32 = −(ℎ3 sin 𝜃3 + 𝑑3 cos 𝜃3)𝐺322 (3.4.38)

𝐴42 = 𝐻42 , 𝐵42 = 0 (3.4.39)





47




𝑚 = 3


𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3


𝜃4 , 𝜃5 , 𝜃6 , 𝜃7 = 𝜙


𝑏4 cos 𝜃4 = (𝑠2 − 𝑠1) + 𝑏5 cos 𝜃5 (3.5.1)

𝑏4 sin 𝜃4 = 𝑏5 sin 𝜃5 (3.5.2)





𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 = 𝑠1𝑖 + 𝑏4�� (𝜃4) + 𝑑7�� (𝜃7) + ℎ7�� (𝜃7 + 𝜋/2)



* Manipülatörün Hız Denklemleri:

Döngü kapanım denklemlerinin türevleri, aşağıdaki hız denklemlerini verir.

𝑏4��4 sin 𝜃4 = 𝑏5��5 sin 𝜃5 − (��2 − ��1) (3.5.7)

𝑏4��4 cos 𝜃4 = 𝑏5��5 cos 𝜃5 (3.5.8)

𝑏4��4 sin 𝜃4 + 𝑏7��7 sin 𝜃7 = 𝑏6��6 sin 𝜃6 − (��3 − ��1) (3.5.9)

𝑏4��4 cos 𝜃4 + 𝑏7��7 cos 𝜃7 = 𝑏6��6 cos 𝜃6 (3.5.10)

* İşlem Aygıtının Hız Denklemleri:

İşlem aygıtının uç noktasının hız bileşenleri, (3.5.5) ve (3.5.6) denklemlerinin türevi alınarak elde

edilir. Şöyle ki,

�� = ��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)��7 (3.5.11)

�� = 𝑏4��4 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)��7 (3.5.12)

48

İşlem aygıtının açısal hızı ise şudur.

𝜔7 = ��7 = �� (3.5.13)

* Manipülatörün İvme Denklemleri:

(3.5.7) – (3.5.10) sayılı hız denklemlerinin türevleri, aşağıdaki ivme denklemlerini verir.

𝑏4��4 sin 𝜃4 = 𝑏5��5 sin 𝜃5 − (��2 − ��1) + (𝑏5��52 cos 𝜃5 − 𝑏4��4

2 cos 𝜃4) (3.5.14)

𝑏4��4 cos 𝜃4 = 𝑏5��5 cos 𝜃5 + (𝑏4��42 sin 𝜃4 − 𝑏5��5

2 sin 𝜃5) (3.5.15)

𝑏4��4 sin 𝜃4 + 𝑏7��7 sin 𝜃7 = 𝑏6��6 sin 𝜃6 − (��3 − ��1)

+ (𝑏6��62 cos 𝜃6 − 𝑏4��4

2 cos 𝜃4 − 𝑏7��72 cos 𝜃7) (3.5.16)

𝑏4��4 cos 𝜃4 + 𝑏7��7 cos 𝜃7 = 𝑏6��6 cos 𝜃6

+ (𝑏4��42 sin 𝜃4 + 𝑏7��7

2 sin 𝜃7 − 𝑏6��62 sin 𝜃6) (3.5.17)

* İşlem Aygıtının İvme Denklemleri:

İşlem aygıtının uç noktasının ivme bileşenleri, (3.5.11) ve (3.5.12) denklemlerinin türevi alınarak

elde edilir. Şöyle ki,

�� = ��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)��7

− 𝑏4��42 cos 𝜃4 − (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)��7

2 (3.5.18)

�� = 𝑏4��4 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)��7

− 𝑏4��42 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)��7

2 (3.5.19)

İşlem aygıtının açısal ivmesi ise şudur.

𝛼7 = ��7 = �� (3.5.20)

* Eyletimsiz Eklem İvmelerinin Belirlenmesi:

Eyletimsiz eklem ivmelerinden ilk ikisini (��4 ve ��5) belirlemek üzere, (3.5.14) ve (3.5.15)

denklemleri birlikte aşağıdaki matris denklemi biçiminde yazılabilir.


] [��5��4] = [

(��2 − ��1) + (𝑏4��42 cos 𝜃4 − 𝑏5��5

2 cos 𝜃5)

𝑏5��52 sin 𝜃5 − 𝑏4��4

2 sin 𝜃4] (3.5.21)



Eğer 𝐷45 ≠ 0 ya da sin(𝜃5 − 𝜃4) ≠ 0 ise, yani manipülatör devinimsel tekil duruşlardan birinde

değilse, (3.5.21) denklemi, ��4 ve ��5 eyletimsiz eklem ivmelerini şöyle verir.

[��5��4] =

1


] [(��2 − ��1) + (𝑏4��4

2 cos 𝜃4 − 𝑏5��52 cos 𝜃5)

𝑏5��52 sin 𝜃5 − 𝑏4��4

2 sin 𝜃4]

49

��4 =cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) +

cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)��42 −

𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)��52 (3.5.23)

��5 =cos𝜃4

𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) +

𝑏4

𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4)��42 −

cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)��52 (3.5.24)

��4 eyletimsiz eklem ivmesinin belirlenmiş olduğu göz önüne alınarak bu kez kalan iki eyletimsiz

eklem ivmesini (��6 ve ��7) belirlemek üzere, (3.5.16) ve (3.5.17) denklemleri birlikte aşağıdaki

matris denklemi biçiminde yazılabilir.


] [��6��7] = [

(��3 − ��1)0

]

+ [𝑏4��4 sin 𝜃4 + (𝑏4��4

2 cos 𝜃4 − 𝑏6��62 cos 𝜃6 + 𝑏7��7

2 cos 𝜃7)

𝑏4��4 cos 𝜃4 − (𝑏4��42 sin 𝜃4 − 𝑏6��6

2 sin 𝜃6 + 𝑏7��72 sin 𝜃7)

] (3.5.25)



Eğer 𝐷67 ≠ 0 ya da sin(𝜃6 − 𝜃7) ≠ 0 ise, yani manipülatör devinimsel tekil duruşlardan birinde

değilse, (3.5.25) denklemi, ��6 ve ��7 eyletimsiz eklem ivmelerini şöyle verir.

[��6��7] =

1


] [(��3 − ��1)0

]

+1


] [sin 𝜃4cos 𝜃4

] 𝑏4��4

+1


] [+𝑏4��4

2 cos 𝜃4 − 𝑏6��62 cos 𝜃6 + 𝑏7��7

2 cos 𝜃7−𝑏4��4

2 sin 𝜃4 + 𝑏6��62 sin 𝜃6 − 𝑏7��7

2 sin 𝜃7]

[��6��7] =

1

𝑏6𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)[𝑏7 cos 𝜃7𝑏6 cos 𝜃6

] (��3 − ��1)

+1

𝑏6𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)[𝑏7 sin(𝜃4 − 𝜃7)𝑏6 sin(𝜃4 − 𝜃6)

] 𝑏4��4 +1

𝑏6𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)[𝑏7 cos(𝜃4 − 𝜃7)𝑏6 cos(𝜃4 − 𝜃6)

] 𝑏4��42

−1

𝑏6𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)[𝑏7 cos(𝜃6 − 𝜃7)

𝑏6] 𝑏6��6

2 +1

𝑏6𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)[

𝑏7𝑏6 cos(𝜃6 − 𝜃7)

] 𝑏7��72

��6 =cos𝜃7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) +


𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)��4

+𝑏4 cos(𝜃4−𝜃7)

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)��42 −

cos(𝜃6−𝜃7)

sin(𝜃6−𝜃7)��62 +

𝑏7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7)��72 (3.5.27)

��7 =cos𝜃6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)(��3 − ��1) +


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)��4

+𝑏4 cos(𝜃4−𝜃6)

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)��42 −

𝑏6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7)��62 +

cos(𝜃6−𝜃7)

sin(𝜃6−𝜃7)��72 (3.5.28)

50

Öte yandan, Bölüm 2'de ifade edilen eklemlerarası hız etki katsayıları kullanılarak yukarıda

belirlenen eyletimsiz eklem ivmeleri, devinimsel tekil duruşların dışında, yalnızca eyletimli

eklem ivme ve hızlarına bağlı olarak şöyle de ifade edilebilir.

��4 = 𝐺41��1 + 𝐺42��2 + 𝐻411��12 + 𝐻422��2

2 + 𝐻412��1��2 (3.5.29)

��5 = 𝐺51��1 + 𝐺52��2 + 𝐻511��12 + 𝐻522��2

2 + 𝐻512��1��2 (3.5.30)

��6 = 𝐺61��1 + 𝐺62��2 + 𝐺63��3

+𝐻611��12 + 𝐻622��2

2 +𝐻633��32 + 𝐻612��1��2 +𝐻613��1��3 + 𝐻623��2��3 (3.5.31)

��7 = 𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3

+𝐻711��12 + 𝐻722��2

2 +𝐻733��32 + 𝐻712��1��2 +𝐻713��1��3 + 𝐻723��2��3 (3.5.32)

Yukarıda yer alan hız-ivme etki katsayılarından yalnızca ��4 ile ilgili olanlarının oluşumu,

(3.5.23) denkleminden yola çıkılarak aşağıda gösterilmiştir. Diğerlerinin oluşumu da benzer

biçimlerde gösterilebilir.

��4 =cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) +

cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)��42 −

𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)��52

��4 =cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) +

cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)(𝐺41��1 + 𝐺42��2)

2

−𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(𝐺51��1 + 𝐺52��2)

2

��4 =cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(��2 − ��1) +

cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)(𝐺412 ��1

2 + 𝐺422 ��2

2 + 2𝐺41𝐺42��1��2)

−𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)(𝐺512 ��1

2 + 𝐺522 ��2

2 + 2𝐺51𝐺52��1��2)

𝐻411 =cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)𝐺412 −

𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)𝐺512 (3.5.33)

𝐻422 =cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)𝐺422 −

𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)𝐺522 (3.5.34)

𝐻412 = 2 [cos(𝜃5−𝜃4)

sin(𝜃5−𝜃4)𝐺41𝐺42 −

𝑏5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4)𝐺51𝐺52] (3.5.35)

* İşlem Aygıtının İvmesini Belirleyen İleri İvme Çözümü:

��4 ve ��7 eklem ivmeleri belirlendikten sonra, işlem aygıtının ivme bileşenleri de (3.5.18),

(3.5.19), ve (3.5.20) denklemleri kullanılarak aşağıdaki ifadelerle belirlenebilir.

�� = 𝑋1��1 + 𝑋2��2 + 𝑋3��3

+ 𝐴11��12 + 𝐴22��2

2 + 𝐴33��32 + 𝐴12��1��2 + 𝐴13��1��3 + 𝐴23��2��3 (3.5.36)

�� = 𝑌1��1 + 𝑌2��2 + 𝑌3��3

+ 𝐵11��12 + 𝐵22��2

2 + 𝐵33��32 + 𝐵12��1��2 + 𝐵13��1��3 + 𝐵23��2��3 (3.5.37)

51

𝛼7 = ��7 = �� = 𝛷1��1 + 𝛷2��2 + 𝛷3��3

+ 𝛤11��12 + 𝛤22��2

2 + 𝛤33��32 + 𝛤12��1��2 + 𝛤13��1��3 + 𝛤23��2��3

𝛼7 = 𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3

+𝐻711��12 + 𝐻722��2

2 +𝐻733��32 + 𝐻712��1��2 +𝐻713��1��3 + 𝐻723��2��3 (3.5.38)

(3.5.36) ve (3.5.37) denklemlerinde yer alan hız etki katsayıları, Bölüm 2'de olduğu gibi şöyle

tanımlanmıştır.

𝑋1 = 1 − 𝑏4𝐺41 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺71 (3.5.39)






(3.5.36) ve (3.5.37) denklemlerinde yer alan hız-ivme etki katsayıları ise, (3.5.18) ve (3.5.19)

denklemlerinden yola çıkılarak ve (3.5.29) ile (3.5.32) denklemlerinden yararlanılarak

oluşturulabilir. Bunlardan �� ile ilgili olanlar (𝐴11 ve diğerleri) aşağıda oluşturulmuştur; �� ile ilgili

olanlar (𝐵11 ve diğerleri) ise benzer bir biçimde oluşturulabilir.

�� = ��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)��7

− 𝑏4��42 cos 𝜃4 − (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)��7

2

�� = ��1 − 𝑏4(𝐺41��1 + 𝐺42��2 + 𝐻411��12 + 𝐻422��2

2 + 𝐻412��1��2) sin 𝜃4

− (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)(𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3

+ 𝐻711��12 + 𝐻722��2

2 + 𝐻733��32 + 𝐻712��1��2 +𝐻713��1��3 + 𝐻723��2��3)

− 𝑏4(𝐺41��1 + 𝐺42��2)2 cos 𝜃4

− (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)(𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3)2

𝐴11 = − 𝑏4𝐻411 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻711 − 𝑏4𝐺412 cos 𝜃4

− (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺712 (3.5.45)

𝐴22 = − 𝑏4𝐻422 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻722 − 𝑏4𝐺422 cos 𝜃4

− (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺722 (3.5.46)

𝐴33 = − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻733 − (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺732 (3.5.47)

52

𝐴12 = − 𝑏4𝐻412 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻712 − 2𝑏4𝐺41𝐺42 cos 𝜃4

−2(𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺71𝐺72 (3.5.48)

𝐴13 = −(𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻713 − 2(𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺71𝐺73 (3.5.49)

𝐴23 = −(𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐻723 − 2(𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺72𝐺73 (3.5.50)

* İleri İvme Çözümüne Ait Devinimsel Tekil Duruşlar:

Daha önce de sözedildiği gibi, eğer 𝐷45 ya da 𝐷67 determinantları sıfır olursa, manipülatör, ileri

ivme çözümüne ait devinimsel tekil duruşlardan birine girer. Bu tekil duruşlar, determinantlar

aynı olduğu için hız çözümüne ait tekil duruşlarla aynıdır.

* İşlem Aygıtının İvmesine Karşılık Gelen Ters İvme Çözümü:

Bu çözümün amacı, işlem aygıtının belirtilen ivme bileşenlerine (yani ��, ��, ve ��7 = ��

türevlerine) karşılık gelen eyletimli ve eyletimsiz eklem ivmelerini bulmaktır. Bu amaçla,

(3.5.18) ve (3.5.19) denklemleri, 𝜃7 = 𝜙 eşitliğiyle, şöyle yazılabilir.

��1 − 𝑏4��4 sin 𝜃4

= �� + (ℎ7 cos𝜙 + 𝑑7 sin𝜙)�� + 𝑏4��42 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos𝜙 − ℎ7 sin𝜙)��

2 (3.5.51)

𝑏4��4 cos 𝜃4

= �� + (ℎ7 sin 𝜙 − 𝑑7 cos𝜙)�� + 𝑏4��42 sin 𝜃4 + (𝑑7 sin 𝜙 + ℎ7 cos𝜙)��

2 (3.5.52)

Eğer cos 𝜃4 ≠ 0 ise, yukarıdaki denklemlerden önce ��4 daha sonra da ��1 eklem ivmeleri şöyle

elde edilir.

��4 =��+(ℎ7 sin𝜙−𝑑7 cos𝜙)��+ 𝑏4��4

2 sin𝜃4+(𝑑7 sin𝜙+ℎ7 cos𝜙)��2

𝑏4 cos𝜃4 (3.5.53)

��1 = 𝑏4��4 sin 𝜃4 + �� + (ℎ7 cos𝜙 + 𝑑7 sin 𝜙)��

+ 𝑏4��42 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos𝜙 − ℎ7 sin𝜙)��

2 (3.5.54)

Diğer eklem ivmeleri ise, daha önce yazılmış olan (3.5.14) – (3.5.17) sayılı döngü kapanım

denklemlerinin ikinci türevlerinden aşağıda açıklanan biçimde elde edilir.

Eğer cos 𝜃5 ≠ 0 ise, (3.5.15) ve (3.5.14) denklemleri, ��5 ve ��2 eklem ivmelerini şöyle verir.

��5 =𝑏4��4 cos𝜃4+(𝑏5��5

2 sin𝜃5−𝑏4��42 sin𝜃4)

𝑏5 cos𝜃5 (3.5.55)

��2 = ��1 + 𝑏5��5 sin 𝜃5 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 + (𝑏5��52 cos 𝜃5 − 𝑏4��4

2 cos 𝜃4) (3.5.56)

53

Eğer cos 𝜃6 ≠ 0 ise, (3.5.17) ve (3.5.16) denklemleri, ��6 ve ��3 eklem ivmelerini şöyle verir.

��6 =𝑏4��4 cos𝜃4+𝑏7��7 cos𝜃7−(𝑏4��4

2 sin𝜃4+𝑏7��72 sin𝜃7−𝑏6��6

2 sin𝜃6)

𝑏6 cos𝜃6 (3.5.57)

��3 = ��1 + 𝑏6��6 sin 𝜃6 − 𝑏4��4 sin 𝜃4 − 𝑏7��7 sin 𝜃7

+ (𝑏6��62 cos 𝜃6 − 𝑏4��4

2 cos 𝜃4 − 𝑏7��72 cos 𝜃7) (3.5.58)

* Ters İvme Çözümüne Ait Devinimsel Tekil Duruşlar:

Yukarıda elde edilen çözüme göre, ters ivme çözümüne ait devinimsel tekil duruşlar, aynı ters hız

çözümünde olduğu gibi, 𝜃4, 𝜃5, ve 𝜃6 açıları, ±𝜋/2 değerlerini alırlarsa ortaya çıkar.

54

BÖLÜM 4

DÜZLEMSEL MEKANİZMALARIN KUVVET ANALİZİ

M. Kemal Özgören

4.1. Bir Katı Cismin Düzlemsel Hareketi

Şekil 4.1.1: Düzlemsel Hareket Yapan Bir Katı Cisim

Şekil 4.1.1'de, seçilen bir ℱ𝑜(𝑂) gözlem eksen takımına göre, genel bir düzlemsel hareket

(ötelenme ve dönme) yapan bir katı cisim (ℬ) görülmektedir. Bir katı cismin düzlemsel hareket

yapması, hep aynı referans düzlemine paralel ve sabit mesafede kalarak hareket etmesi anlamına

gelmektedir. Şekil 4.1.1'deki referans düzlemi, ℱ𝑜(𝑂) eksen takımının birinci ve ikinci

eksenlerinin oluşturduğu 1-2 düzlemidir.

Bir katı cismin şekli, tanım gereği, hareketi ve üstüne etkiyen kuvvet ve momentler ne olursa

olsun değişmez. Diğer bir deyişle, bir katı cismin herhangi iki noktası arasındaki mesafe her

zaman sabit kalır. Bu tanıma göre, bir katı cismin hareketi, tümüyle, bu cisme bağlanmış bir

ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının hareketiyle temsil edilebilir. Böyle bir eksen takımına, gövdeye bağlı

eksen takımı denir. ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının orijini olan 𝐶 noktası, katı cismin uygunca seçilmiş bir

noktasıdır. Bu nokta çoğu kez, katı cismin kütle merkezi olarak seçilir. ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının

gövdeye bağlanış yönelimi ise, katı cismin şekliyle uyumlu olacak bir biçimde seçilir.

Hareketi incelenen katı cismin seçilen ℱ𝑜(𝑂) gözlem eksen takımına göre bulunduğu yer,

yansıtması istenen bilgi içeriğine göre, aşağıdaki vektör gösterimlerinden biriyle temsil edilebilir.

𝑟 = 𝑟 𝐶 = 𝑟 𝐶/𝑂 = 𝑟 𝑂𝐶 = 𝑂𝐶 (4.1.1)

1( )

2( )

1( )

2( )

ℬ

55

(4.1.1) denklemindeki konum vektörü, ℱ𝑜(𝑂) eksen takımındaki bileşenlerine şu ifadelerle

ayrıştırılabilir.

𝑟 = �� 1(𝑜)𝑟1 + �� 2

(𝑜)𝑟2 + �� 3

(𝑜)𝑟3 = �� 1

(𝑜)𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑦 + �� 3

(𝑜)𝑧 ; 𝑟3 = 𝑧 = 0

𝑟 = �� 1(𝑜)𝑟1 + �� 2

(𝑜)𝑟2 = �� 1

(𝑜)𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑦 (4.1.2)

Yukarıda görüldüğü gibi, çoğu kez, genelliği pek de fazla bozmadan, katı cismin 𝐶 noktasının

referans düzlemi içinde kaldığı (yani 𝑟3 = 𝑧 = 0 olduğu) varsayılabilir.

Aynı katı cismin seçilen ℱ𝑜(𝑂) gözlem eksen takımına göre yönelimi ise, Şekil 4.1.1'de

görüldüğü gibi, �� 1(𝑜)

eksenini referans alarak tanımlanan bir 𝜃 açısıyla temsil edilir. Gövdeye

bağlı ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının birim vektörleri, bu açının işlevleri olarak şöyle ifade edilir.

�� 1(𝑏)= �� 1

(𝑜)cos 𝜃 + �� 2

(𝑜)sin 𝜃 = �� (𝜃) (4.1.3)

�� 2(𝑏)= �� 2

(𝑜)cos 𝜃 − �� 1

(𝑜)sin 𝜃 = �� ′(𝜃) = �� (𝜃 + 𝜋/2) (4.1.4)

Öte yandan, ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre dönmesi, hareket düzlemine dik

olan �� 3(𝑜)

etrafında gerçekleştiği için aşağıdaki eşitlik her zaman geçerlidir.

�� 3(𝑏)= �� 3

(𝑜) (4.1.5)

Söz konusu katı cismin ötelenme hızı ve ivmesi, yansıtması istenen bilgi içeriğine göre, aşağıdaki

vektör gösterimlerinden biriyle temsil edilebilir.

𝑣 = 𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐶/𝑂 = 𝑣 𝐶/ℱ𝑜(𝑂) = 𝑑𝑜(𝑟 𝐶/𝑂)/𝑑𝑡

𝑣 = �� 1(𝑜)𝑣𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑣𝑦 = �� 1

(𝑜)�� + �� 2

(𝑜)�� (4.1.6)

𝑎 = 𝑎 𝐶 = 𝑎 𝐶/𝑂 = 𝑎 𝐶/ℱ𝑜(𝑂) = 𝑑𝑜𝑣 /𝑑𝑡 = 𝑑𝑜2(𝑟 𝐶/𝑂)/𝑑𝑡

2

𝑎 = �� 1(𝑜)𝑎𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑎𝑦 = �� 1

(𝑜)�� + �� 2

(𝑜)�� (4.1.7)

Burada, 𝑑𝑜𝑝 /𝑑𝑡 ifadesi, 𝑝 gibi bir vektörün ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre alınan bağıl türevini

göstermektedir. Bu bağıl türev işlemine göre, ℱ𝑜(𝑂) eksen takımının temel vektörleri sabit

görünür. Yani,

𝑑𝑜�� 1(𝑜)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜�� 2

(𝑜)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜�� 3

(𝑜)/𝑑𝑡 = 0 (4.1.8)

Aynı katı cismin ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre açısal hızı ve ivmesi ise, yansıtması istenen bilgi

içeriğine göre, aşağıdaki gösterimlerden biriyle temsil edilebilir.

�� = �� 𝑏 = �� 𝑏/𝑜 = �� 3(𝑜)𝜔 = �� 3

(𝑜)�� (4.1.9)

𝛼 = 𝛼 𝑏 = 𝛼 𝑏/𝑜 = 𝑑𝑜(�� 𝑏/𝑜)/𝑑𝑡 = �� 3(𝑜)𝛼 = �� 3

(𝑜)�� (4.1.10)

56

Gerektiğinde, gövdeye bağlı ℱ𝑏(𝐶) eksen takımının birim vektörlerinin ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına

göre birinci ve ikinci türevleri, aşağıda gösterilen biçimlerde ifade edilebilir.

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜�� (𝜃)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜[�� 1

(𝑜)cos 𝜃 + �� 2

(𝑜)sin 𝜃]/𝑑𝑡

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = �� 1

(𝑜)𝑑𝑜(cos 𝜃)/𝑑𝑡 + �� 2

(𝑜)𝑑𝑜(sin 𝜃)/𝑑𝑡

Bu arada belirtmek gerekir ki, bir skaların türevi, herhangi bir eksen takımına bağıl değildir.

Dolayısıyla, yukarıdaki işleme şöyle devam edilebilir.

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = �� 1

(𝑜)𝑑(cos 𝜃)/𝑑𝑡 + �� 2

(𝑜)𝑑(sin 𝜃)/𝑑𝑡

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = �� 1

(𝑜)(−�� sin 𝜃) + �� 2

(𝑜)(�� cos 𝜃) = ��[�� 2

(𝑜)cos 𝜃 − �� 1

(𝑜)sin 𝜃]

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = �� ′(𝜃) = 𝜔�� 2

(𝑏) (4.1.11)

(4.1.11) denklemi, şöyle de elde edilebilir.

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = �� 𝑏/𝑜 × �� 1

(𝑏)

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = [𝜔�� 3

(𝑜)] × [�� 1

(𝑜)cos 𝜃 + �� 2

(𝑜)sin 𝜃]

𝑑𝑜�� 1(𝑏)/𝑑𝑡 = 𝜔[�� 2

(𝑜)cos 𝜃 − �� 1

(𝑜)sin 𝜃] = 𝜔�� 2

(𝑏) (4.1.12)

Benzer biçimde gösterilebilir ki,

𝑑𝑜�� 2(𝑏)/𝑑𝑡 = �� 𝑏/𝑜 × �� 2

(𝑏)= −𝜔�� 1

(𝑏) (4.1.13)

İkinci türevler için de yukarıdaki sonuçları kullanarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir.

𝑑𝑜2�� 1(𝑏)/𝑑𝑡2 = 𝑑𝑜[𝜔�� 2

(𝑏)]/𝑑𝑡 = (𝑑𝜔/𝑑𝑡)�� 2

(𝑏)+ 𝜔[𝑑𝑜�� 2

(𝑏)/𝑑𝑡]

𝑑𝑜2�� 1(𝑏)/𝑑𝑡2 = 𝛼�� 2

(𝑏)−𝜔2�� 1

(𝑏)= �� 2

(𝑏)− ��2�� 1

(𝑏) (4.1.14)

𝑑𝑜2�� 2(𝑏)/𝑑𝑡2 = 𝑑𝑜[−𝜔�� 1

(𝑏)]/𝑑𝑡 = −(𝑑𝜔/𝑑𝑡)�� 1

(𝑏)− 𝜔[𝑑𝑜�� 1

(𝑏)/𝑑𝑡]

𝑑𝑜2�� 2(𝑏)/𝑑𝑡2 = −𝛼�� 1

(𝑏)− 𝜔2�� 2

(𝑏)= −�� 1

(𝑏)− ��2�� 2

(𝑏) (4.1.15)

4.2. Bir Katı Cisme Ait Kuvvet ve Moment Denklemleri

Newton'un hareket yasalarına göre, düzlemsel hareket yapan bir katı cisim, eğer gözlem eksen

takımı ℱ𝑜(𝑂) ataletsel ise, aşağıdaki kuvvet ve moment denklemlerine uyar.

𝑚𝑎 𝐶 = 𝛴𝐹 (4.2.1)

𝐽𝐶𝛼 = 𝛴�� 𝐶 (4.2.2)

Not: Ataletsel eksen takımlarıyla ve ataletsel olmayan eksen takımlarının kullanımıyla ilgili

açıklamalar, Kısım 4.3'te yer almaktadır.

57

(4.2.1) ve (4.2.2) denklemleri şu tanımları içermektedir.

𝑚 : cismin sabit olan kütlesi

𝐽𝐶 : cismin kütle merkezi (𝐶) etrafında sabit olan atalet momenti

𝛴𝐹 : cisme kütle merkezinde etkiyen (cismin ağırlığı da dahil) toplam kuvvet

𝛴�� 𝐶 : cisme kütle merkezi etrafında etkiyen toplam moment

Bazı durumlarda moment denklemini, kütle merkezi yerine bir başka nokta etrafında yazmak,

denklemdeki bilinmeyen kuvvetleri azaltmak açısından daha uygun olabilmektedir. Böyle uygun

bir nokta 𝐴 ise, (4.2.2) denklemi yerine, aşağıdaki moment denklemi kullanılabilir.

𝛴�� 𝐴 = 𝛴�� 𝐶 + 𝑟 𝐴𝐶 × (𝛴𝐹 )

𝐽𝐶𝛼 + 𝑟 𝐴𝐶 × (𝑚𝑎 𝐶) = 𝛴�� 𝐴 (4.2.3)

Bazı başka durumlarda ise, kuvvet ve moment denklemlerinin her ikisini de, kütle merkezi yerine

bir başka noktaya göre yazmak, daha uygun olabilmektedir. Böyle uygun bir nokta 𝐵 ise, bu

nokta ile 𝐶 noktası arasında aşağıdaki kinematik ilişkiler yazılabilir.

𝑟 𝑂𝐶 = 𝑟 𝑂𝐵 + 𝑟 𝐵𝐶 𝑟 𝐶 = 𝑟 𝐵 + 𝑟 𝐵𝐶 (4.2.4)

𝑑𝑜𝑟 𝐶/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜𝑟 𝐵/𝑑𝑡 + 𝑑𝑜𝑟 𝐵𝐶/𝑑𝑡 𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐵 + �� × 𝑟 𝐵𝐶 (4.2.5)

𝑑𝑜𝑣 𝐶/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜𝑣 𝐵/𝑑𝑡 + 𝑑𝑜(�� × 𝑟 𝐵𝐶)/𝑑𝑡

𝑎 𝐶 = 𝑎 𝐵 + 𝛼 × 𝑟 𝐵𝐶 + �� × (�� × 𝑟 𝐵𝐶) = 𝑎 𝐵 + 𝛼 × 𝑟 𝐵𝐶 −𝜔2𝑟 𝐵𝐶 (4.2.6)

(4.2.6) denklemi yerine konularak (4.2.1) ve (4.2.3) denklemleri aşağıdaki denklemlere

dönüştürülebilir.

𝑚𝑎 𝐵 +𝑚(𝛼 × 𝑟 𝐵𝐶 − 𝜔2𝑟 𝐵𝐶) = 𝛴𝐹 (4.2.7)

𝐽𝐵𝛼 + 𝑚(𝑟 𝐵𝐶 × 𝑎 𝐵) = 𝛴�� 𝐵 (4.2.8)

(4.2.8) denklemindeki 𝐽𝐵 atalet momenti, 𝐽𝐶 atalet momenti ile paralel eksen teoremi uyarınca,

𝑟𝐵𝐶 = |𝑟 𝐵𝐶| olmak üzere, şöyle ilişkilidir.

𝐽𝐵 = 𝐽𝐶 +𝑚𝑟𝐵𝐶2 (4.2.9)

(4.2.9) denklemine göre, bir cismin atalet momenti en küçük değerini, kütle merkezi etrafında

hesaplanınca almaktadır.

(4.2.7) ve (4.2.8) denklemlerinin uygun olacağı tipik bir durum, 𝐵 noktasının katı cismin

geometrik merkezi olması ve bu noktanın kütle merkezi olan 𝐶 noktası ile çakışmamasıdır.

Bunun da nedeni, cismin yoğunluğunun ya da kendi içindeki kütle dağılımının tekdüze (üniform)

olmamasıdır. Böyle bir durumda, 𝐶 yerine 𝐵 noktasının kullanılması, cismin hareketinin

algılanmasını ve incelenmesini kolaylaştırabilmektedir.

58

(4.2.7) ve (4.2.8) denklemlerinin özellikle uygun olacağı en tipik durum ise, 𝐵 noktasının

kendisinin ya da hızının ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre sabit olmasıdır. Diğer bir deyişle, katı cismin

dönme hareketinin sabit ya da sabit hızlı bir 𝐵 noktası etrafında gerçekleşiyor olmasıdır. Böyle

bir durumda, (4.2.7) ve (4.2.8) denklemleri, aşağıdaki basitleşmiş denklemlere dönüşür.

𝑚(𝛼 × 𝑟 𝐵𝐶 − 𝜔2𝑟 𝐵𝐶) = 𝛴𝐹 (4.2.10)

𝐽𝐵𝛼 = 𝛴�� 𝐵 (4.2.11)

Yukarıdaki denklemlerce temsil edilen bir durum, Şekil 4.2.1'de gösterilmiştir.

Şekil 4.2.1: Bir Katı Cismin Sabit bir 𝐵 Noktası Etrafında Dönmesi

Şekil 4.2.1'e göre, (4.2.10) ve (4.2.11) denklemlerindeki vektörler şöyle ifade edilebilir.

𝑟 𝐵𝐶 = 𝑟𝐵𝐶�� 2(𝑏)

(4.2.12)

𝛼 × 𝑟 𝐵𝐶 = [𝛼�� 3(𝑏)] × [𝑟𝐵𝐶�� 2

(𝑏)] = −(𝛼𝑟𝐵𝐶)�� 1

(𝑏) (4.2.13)

𝛴𝐹 = 𝐹 𝑜𝑏 −𝑚𝑔�� 2(𝑜)= (𝐹𝑜𝑏𝑡 −𝑚𝑔 sin 𝜃)�� 1

(𝑏)+ (𝐹𝑜𝑏𝑟 −𝑚𝑔 cos 𝜃)�� 2

(𝑏) (4.2.14)

𝛴�� 𝐵 = 𝑀𝑜𝑏�� 3(𝑏)+ 𝑟 𝐵𝐶 × [−𝑚𝑔�� 2

(𝑜)] = (𝑀𝑜𝑏 +𝑚𝑔𝑟𝐵𝐶 sin 𝜃)�� 3

(𝑏) (4.2.15)

Yukarıdaki ifadeler kullanılarak (4.2.10) ve (4.2.11) denklemleri yerine aşağıdaki üç skalar

denklem yazılabilir. Bu ifadelerde yer alan 𝐹𝑜𝑏𝑟 ve 𝐹𝑜𝑏𝑡 simgeleri, 𝐵 noktasında cisme uygulanan

𝐹 𝑜𝑏 yatak kuvvetinin radyal ve transversal bileşenlerini göstermektedir.

𝐹𝑜𝑏𝑡 = 𝑚(𝑔 sin 𝜃 − 𝑟𝐵𝐶��) (4.2.16)

𝐹𝑜𝑏𝑟 = 𝑚(𝑔 cos 𝜃 − 𝑟𝐵𝐶��2) (4.2.17)

𝐽𝐵�� = 𝑀𝑜𝑏 +𝑚𝑔𝑟𝐵𝐶 sin 𝜃 (4.2.18)

59

4.3. Ataletsel Olan ve Olmayan Eksen Takımları

Newton'un 1687 yılında yasalarını ortaya koyduğu dönemde, ataletsel bir eksen takımı, çok

uzaklardaki sabit görünen yıldızlara göre dönmeyen ve ötelenme ivmesi olmayan bir eksen takımı

olarak tanımlanmıştır. Günümüzde ise, ataletsel bir eksen takımı, şöyle tanımlanabilir: Eğer bir

eksen takımının eksenleri üzerine yerleştirilmiş olan üç ivme ölçerin ve üç dönme ölçerin

gösterdikleri değerlerin tümü her zaman sıfırsa, o eksen takımı ataletseldir. Her iki tanıma göre

de, sonsuz sayıda ataletsel eksen takımı bulunabilir. Tüm bu ataletsel eksen takımlarının ortak

özelliği ise şudur: Herhangi iki ataletsel eksen takımı, birbirlerine göre dönmezler ve aralarındaki

bağıl ötelenme hızı, sıfır da olabilen sabit bir vektördür.

Şekil 4.3.1: Ataletsel Olan ve Olmayan Eksen Takımları

Öte yandan, bir çok dinamik analiz için gerçek bir ataletsel eksen takımı bulup kullanmak pratik

olmamaktadır. Böyle bir dinamik analiz için, ataletsel olmayan ℱ𝑛(𝐴) gibi bir eksen takımının

kullanılması tercih edilebilir. Ataletsel olan ve olmayan iki eksen takımı, ℱ𝑜(𝑂) ve ℱ𝑛(𝐴), Şekil

4.3.1'de gösterilmiştir. Ataletsel olmayan ℱ𝑛(𝐴) eksen takımı kullanılınca, (4.2.1) ve (4.2.2)

denklemlerinin yerini aşağıdaki denklemler alır.

𝑚𝑎 𝐶′ = 𝛴𝐹 + 𝐹 ∗ (4.3.1)

𝐽𝐶𝛼 ′ = 𝛴�� 𝐶 + �� 𝐶∗ (4.3.2)

(4.3.1) ve (4.3.2) denklemlerindeki 𝑎 𝐶′ ve 𝛼 ′ simgeleri, ℱ𝑛(𝐴) eksen takımına göre aşağıdaki

denklemlerle tanımlanan bağıl ivmeleri göstermektedir.

𝑎 𝐶′ = 𝑎 𝐶/ℱ𝑛(𝐴) = 𝑑𝑛

2(𝑟 𝐶/𝐴)/𝑑𝑡2 = 𝑑𝑛

2(𝑟 𝐶′)/𝑑𝑡2 = ��′�� 1

(𝑛)+ ��′�� 2

(𝑛) (4.3.3)

𝛼 ′ = 𝛼 𝑏/𝑛 = 𝛼′�� 3(𝑛)= 𝛼′�� 3

(𝑜)= ��′�� 3

(𝑛) (4.3.4)

60

(4.3.4) denkleminde, �� 3(𝑛)= �� 3

(𝑜) eşitliği kullanılmıştır. Çünkü, katı cismin incelenen hareketi

düzlemseldir ve bu nedenle ℱ𝑛(𝐴) eksen takımı da, ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre düzlemsel hareket

edecek biçimde seçilmiştir. Dolayısıyla, her iki eksen takımının da üçüncü eksenleri paralel

kalmaktadır.

(4.3.1) ve (4.3.2) denklemlerindeki 𝐹 ∗ ve �� 𝐶∗ simgeleri ise, ℱ𝑛(𝐴) eksen takımına göre aşağıdaki

denklemlerle tanımlanan ataletsel kuvvet ve moment vektörlerini göstermektedir.

𝐹 ∗ = −𝑚[𝑎 𝐴 + 𝛼 𝑛 × 𝑟 𝐶′ + �� 𝑛 × (�� 𝑛 × 𝑟 𝐶

′) + 2�� 𝑛 × 𝑣 𝐶′ ]

𝐹 ∗ = 𝑚(𝜔𝑛2𝑟 𝐶′) − 2𝑚(�� 𝑛 × 𝑣 𝐶

′ ) − 𝑚(𝑎 𝐴 + 𝛼 𝑛 × 𝑟 𝐶′) (4.3.5)

�� 𝐶∗ = −(𝐽𝐶𝛼𝑛)�� 3

(𝑛)= −(𝐽𝐶��𝑛)�� 3

(𝑜) (4.3.6)

(4.3.5) denkleminde yer alan iki terim, aşağıda belirtilen özel adlarla anılırlar.

Merkezkaç Kuvveti : 𝐹 𝑐𝑓∗ = −𝑚[�� 𝑛 × (�� 𝑛 × 𝑟 𝐶

′)] = 𝑚(𝜔𝑛2𝑟 𝐶′) (4.3.7)

Coriolis Kuvveti : 𝐹 𝑐𝑜𝑟∗ = −2𝑚(�� 𝑛 × 𝑣 𝐶

′ ) (4.3.8)

(4.3.5) – (4.3.8) denklemlerinde, aşağıdaki gösterim ve tanımlar kullanılmıştır.

𝑟 𝐶′ = 𝑟 𝐶/𝐴 = 𝑥′�� 1

(𝑛)+ 𝑦′�� 2

(𝑛) (4.3.9)

𝑣 𝐶′ = 𝑣 𝐶/ℱ𝑛(𝐴) = 𝑑𝑛(𝑟 𝐶/𝐴)/𝑑𝑡 = ��′�� 1

(𝑛)+ ��′�� 2

(𝑛) (4.3.10)

�� ′ = �� 𝑏/𝑛 = 𝜔′�� 3(𝑛)= 𝜔′�� 3

(𝑜)= ��′�� 3

(𝑛) (4.3.11)

�� 𝑛 = �� 𝑛/𝑜 = 𝜔𝑛�� 3(𝑛)= 𝜔𝑛�� 3

(𝑜)= ��𝑛�� 3

(𝑜) (4.3.12)

𝛼 𝑛 = 𝛼 𝑛/𝑜 = 𝑑𝑜(�� 𝑛/𝑜)/𝑑𝑡 = ��𝑛�� 3(𝑛)= ��𝑛�� 3

(𝑜) (4.3.13)

𝑎 𝐴 = 𝑎 𝐴/ℱ𝑜(𝑂) = 𝑑𝑜2(𝑟 𝐴/𝑂)/𝑑𝑡

2 = ��𝐴�� 1(𝑜)+ ��𝐴�� 2

(𝑜)= 𝑎𝐴𝑥

′ �� 1(𝑛)+ 𝑎𝐴𝑦

′ �� 2(𝑛)

(4.3.14)

(4.3.14) denklemindeki ivme bileşenleri arasındaki ilişkiler, aşağıdaki birim vektör ilişkileri

kullanılarak ifade edilebilir.

�� 1(𝑛)= �� 1

(𝑜)cos 𝜃𝑛 + �� 2

(𝑜)sin 𝜃𝑛 (4.3.15)

�� 2(𝑛)= �� 2

(𝑜)cos 𝜃𝑛 − �� 1

(𝑜)sin 𝜃𝑛 (4.3.16)

�� 1(𝑜)= �� 1

(𝑛)cos 𝜃𝑛 − �� 2

(𝑛)sin 𝜃𝑛 (4.3.17)

�� 2(𝑜)= �� 2

(𝑛)cos 𝜃𝑛 + �� 1

(𝑛)sin 𝜃𝑛 (4.3.18)

Bu ilişkiler kullanılarak gösterilebilir ki,

𝑎𝐴𝑥′ = ��𝐴 cos 𝜃𝑛 + ��𝐴 sin 𝜃𝑛 (4.3.19)

𝑎𝐴𝑦′ = ��𝐴 cos 𝜃𝑛 − ��𝐴 sin 𝜃𝑛 (4.3.20)

61

Not-1: Yukarıda görüldüğü gibi, ataletsel kuvvet ve moment vektörleri, fiziksel kaynaklı olmayıp

kinematik ilişkilerden kaynaklanırlar. Üstelik, bağıl kinematik ilişkilerden kaynaklandıkları için

seçilen ataletsel olmayan eksen takımına bağımlıdırlar. Dolayısıyla, farklı bir ataletsel olmayan

eksen takımında, farklı değerler edinirler. Bununla birlikte, bir katı cismin ataletsel olmayan bir

eksen takımında gözlemlenen bağıl hareketini sanki doğal hareketiymiş gibi yorumlamak

eğilimiyle, gözlemi yapan kişi tarafından, bir tür ilüzyon yanılgısıyla, fizikselmiş gibi

algılanabilirler.

Not-2: (4.3.5) ve (4.3.6) denklemlerinin gösterdiğine göre, eğer 𝑎 𝐴 ≅ 0 olursa ve aynı zamanda

𝜔𝑛 ≅ 0 ve 𝛼𝑛 = ��𝑛 ≅ 0 olursa, 𝐹 ∗ ≅ 0 ve �� 𝐶∗ ≅ 0 olur. Böyle bir durumda, ℱ𝑛(𝐴) eksen takımı,

ataletselimsi (sanki-ataletsel) bir eksen takımı olur ve sanki ataletsel bir eksen takımıymış gibi

(ihmal edilebilir bir hata payıyla) kullanılabilir.

Özellikle yeryüzündeki yerel dinamik analizler göz önüne alındığında, sanki-ataletsel bir eksen

takımı için verilebilecek en tipik örnek, yeryüzüne bağlı ℱ𝑒(𝐴) gibi bir eksen takımıdır. Yerel bir

dinamik analiz açısından, eğer dünyanın kendi ekseni etrafındaki dönme hareketinin açısal hızı ve

güneşin etrafındaki hareketinin ivmesi ve açısal hızı, güneşe bağlı sanki-ataletsel bir başka eksen

takımına göre ihmal edilebilecek düzeylerdeyse, ℱ𝑒(𝐴) eksen takımı, ataletsel bir eksen

takımıymış gibi kullanılabilir.

4.4. Birbiriyle Etkileşen Katı Cisimlere Ait Kuvvet ve Moment Denklemleri

Şekil 4.4.1: Kendine Komşu Cisimlerle Etkileşen Bir Katı Cisim

4.4.1. Kuvvet ve Moment Denklemleri

Bir mekanik sistemde, örneğin bir mekanizmada, bir çok katı cisim birbiriyle etkileşim

halindedir. Böyle bir katı cisim, Şekil 4.4.1'de gösterilmiştir. Şekildeki katı cisim (ℬ𝑎), üç başka

katı cisimle (ℬ𝑏, ℬ𝑐, ℬ𝑑 ile) etkileşim halindedir. Buradaki 𝑎, 𝑏, 𝑐 gibi indisler, genelde 0, 1, 2, 3

gibi sayısal değerler alırlar. Bu ve benzeri katı cisimler için kuvvet ve moment denklemleri,

ataletsel (ya da hiç değilse ataletselimsi) bir eksen takımı kullanılarak aşağıda görüldüğü gibi

yazılabilir.

62

𝑚𝑖𝑎 𝑖 = 𝑚𝑖𝑔 + 𝐹 𝑖∘ + ∑ 𝐹 𝑗𝑖

𝑛𝑗=0 (4.4.1)

𝐽𝑖𝛼 𝑖 = �� 𝑖∘ + ∑ �� 𝑗𝑖

𝑛𝑗=0 + ∑ 𝑟 𝑖𝑗 × 𝐹 𝑗𝑖

𝑛𝑗=0 (4.4.2)

𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (4.4.3)

(4.4.3) denklemi, sistemdeki hareket edebilen katı cisim sayısının 𝑛 olduğunu göstermektedir.

(4.4.1) ve (4.4.2) denklemleri ise, şu tanımları içermektedir.

𝑚𝑖 : ℬ𝑖 cisminin kütlesi

𝐽𝑖 : ℬ𝑖 cisminin kütle merkezi (𝐶𝑖) etrafındaki atalet momenti

𝐹 𝑖∘ : ℬ𝑖 cismine uygulanan ağırlık dahil dış kuvvetlerin 𝐶𝑖 noktasındaki bileşkesi

�� 𝑖∘ : ℬ𝑖 cismine uygulanan dış kuvvet ve momentlerin 𝐶𝑖 noktası etrafındaki bileşkesi

𝐹 𝑗𝑖 : ℬ𝑗 cisminin ℬ𝑖 cismine 𝑄𝑖𝑗 temas noktasında uyguladığı etkileşim kuvveti

�� 𝑗𝑖 : ℬ𝑗 cisminin ℬ𝑖 cismine 𝑄𝑖𝑗 temas noktası etrafında uyguladığı etkileşim momenti

𝐹 𝑗𝑖 = −𝐹 𝑖𝑗 , �� 𝑗𝑖 = −�� 𝑖𝑗 ; 𝐹 𝑖𝑖 = 0 , �� 𝑖𝑖 = 0

𝑟 𝑖𝑗 = 𝑟 𝐶𝑖𝑄𝑖𝑗 : Etkileşim temas noktasının kütle merkezine göre konum vektörü

𝑎 𝑖 = 𝑎 𝐶𝑖/𝑂 = 𝑎 𝐶𝑖/ℱ𝑜(𝑂)

𝛼 𝑖 = 𝛼 𝑖/𝑜

Dikkat edilirse, (4.4.1) ve (4.4.2) denklemlerindeki toplamalar, 𝑗 = 0 ile başlamaktadır. Böylece,

ℬ𝑖 cisminin zeminle (yani ℬ0 cismiyle) olabilecek etkileşimi de işin içine katılmış olmaktadır.

4.4.2. Birden Çok Temas Noktası Olan Etkileşimler

Genel bir durumda, ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasında birden çok temas noktası olabilir. Böyle bir

durumda, temas noktaları, 𝑄𝑖𝑗′ , 𝑄𝑖𝑗

′′ , ... biçiminde gösterilebilir. Bu noktalardaki etkileşim kuvvet

ve momentleri de, benzer bir notasyonla, 𝐹 𝑖𝑗′ , 𝐹 𝑖𝑗

′′, ... ; �� 𝑖𝑗′ , �� 𝑖𝑗

′′, ... biçiminde gösterilebilir.

Böyle bir durum için en tipik örnek, Şekil 4.4.2'de gösterilen kayar eklemdir.

Eğer kayar eklemde kuru sürtünme yoksa, şekilde gösterilen her iki etkileşim biçimi de

eşdeğerlidir. Fakat, kuru sürtünme varsa, o zaman kesinlikle çift noktalı etkileşim biçimi

kullanılmalıdır. Çünkü, kuru sürtünme kuvveti (𝑓𝑖𝑗), ortalama normal kuvvet tarafından değil, alt

ve üst yüzeylerde oluşan iki farklı normal kuvvet tarafından belirlenir. Bir başka deyişle,

𝑓𝑖𝑗 = −𝜇{|𝐹𝑖𝑗′ | + |𝐹𝑖𝑗

′′|}𝜎𝑖𝑗 ≠ −𝜇|𝐹𝑖𝑗|𝜎𝑖𝑗 (4.4.4)

𝜎𝑖𝑗 = sgn(𝑣𝑗/𝑖) (4.4.5)

63

Eğer kuru sürtünme yoksa, iki etkileşim biçimi arasındaki eşdeğerlilik ilişkileri şunlardır.

𝐹𝑖𝑗 = 𝐹𝑖𝑗′ − 𝐹𝑖𝑗

′′ (4.4.6)

𝑀𝑖𝑗 = (𝑑𝑖𝑗/2)(𝐹𝑖𝑗′ + 𝐹𝑖𝑗

′′) ; 𝑑𝑖𝑗 = 𝑄𝑖𝑗′′𝑄𝑖𝑗

′ (4.4.7)

Şekil 4.4.2: Bir Kayar Eklemdeki Etkileşimin İki Farklı Gösterimi

4.4.3. Etki-Tepki Çiftlerinden Birinin Seçilmesi

Kuvvet ve moment denklemlerini yazarken bilinmeyen sayısını gereğinden fazla arttırmamak

için, {𝐹 𝑖𝑗 , �� 𝑖𝑗} ve {𝐹 𝑗𝑖 , �� 𝑗𝑖} etkileşim çiftlerinden yalnız birine yer verilmelidir. Hangisini

seçmenin uygun olacağı, mekanizmanın yapısına bağlıdır. Şart olmamakla birlikte, genellikle

tercih edilen seçim, birinci indisin ikinciden küçük olduğu seçimdir.

4.4.4. Etkileşim Kuvvet ve Momentlerinin Nitelikleri

Etkileşim kuvvet ve momentleri, aşağıda gösterilen biçimde üç temel öğeye ayrışırlar.

𝐹 𝑖𝑗 = 𝐹 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟 + 𝐹 𝑖𝑗

𝑟𝑒𝑠 + 𝐹 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡 (4.4.8)

�� 𝑖𝑗 = �� 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟 + �� 𝑖𝑗

𝑟𝑒𝑠 + �� 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡 (4.4.9)

Yukarıdaki ayrışımların öğeleri aşağıda açıklanmıştır.

𝐹 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟: Yapısal (strüktürel) tepki kuvvetidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl ötelenme

hareketinin engellendiği yönlerde oluşur.

�� 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟: Yapısal (strüktürel) tepki momentidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl dönme

hareketinin engellendiği yönlerde oluşur.

ℬ ℬ

ℬ ℬ

′

′′

′

′′

i t okta tki e i

ek okta tki e i

,

′

′′

64

𝐹 𝑖𝑗𝑟𝑒𝑠: Direnim (rezistans) kuvvetidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl ötelenme

hareketinin serbest olduğu yönlerde bağıl harekete karşı koyacak biçimde oluşur.

�� 𝑖𝑗𝑟𝑒𝑠: Direnim (rezistans) momentidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl dönme

hareketinin serbest olduğu yönlerde bağıl harekete karşı koyacak biçimde oluşur.

𝐹 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡: Eyletim (aktüasyon) kuvvetidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl ötelenme

hareketinin serbest olduğu yönlerde, eğer varsa, bağıl hareketi sağlayan eyletici tarafından

oluşturulur.

�� 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡: Eyletim (aktüasyon) momentidir. ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 cisimleri arasındaki bağıl dönme

hareketinin serbest olduğu yönlerde, eğer varsa, bağıl hareketi sağlayan eyletici tarafından

oluşturulur.

İncelenen mekanik sistemin düzlemsel olduğu göz önüne alınarak yukarıdaki etkileşim kuvvet ve

moment öğeleri için aşağıdaki yalınlaştırılmış tipik ifadeler yazılabilir.

𝐹 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟 = 𝐹𝑖𝑗𝑥𝑖 + 𝐹𝑖𝑗𝑦𝑗 (4.4.10)

�� 𝑖𝑗𝑠𝑡𝑟 = 𝑀𝑖𝑗�� (4.4.11)

𝐹 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡 = 𝐹𝑖𝑗�� 𝑖𝑗 (4.4.12)

�� 𝑖𝑗𝑎𝑐𝑡 = 𝑇𝑖𝑗�� (4.4.13)

𝐹 𝑖𝑗𝑟𝑒𝑠 = −[𝛾𝑖𝑗

′ ��𝑖𝑗 + 𝑘𝑖𝑗′ (𝑠𝑖𝑗 − 𝑠𝑖𝑗

∘ )]�� 𝑖𝑗 (4.4.14)

�� 𝑖𝑗𝑟𝑒𝑠 = −[𝛾𝑖𝑗

∘ ��𝑖𝑗 + 𝑘𝑖𝑗∘ (𝜃𝑖𝑗 − 𝜃𝑖𝑗

∘ )]�� (4.4.15)

Yukarıdaki denklemlerde şu tanımlar kullanılmıştır.

𝑖 = �� 1(0)

, 𝑗 = �� 2(0)

, �� = �� 3(0)

(4.4.16)

�� 𝑖𝑗 : ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 arasında bağıl ötelenmenin serbest olduğu yönü gösteren birim vektör

𝐹𝑖𝑗𝑥 , 𝐹𝑖𝑗𝑦 , 𝑀𝑖𝑗 : yapısal tepki kuvvet ve moment bileşenleri

𝐹𝑖𝑗 , 𝑇𝑖𝑗 : eyletim kuvveti ve torku (burgusal momenti) (eğer eklem eyletimliyse)

𝑘𝑖𝑗′ , 𝑘𝑖𝑗

∘ : doğrusal ve burgusal yay katsayıları (eğer böyle yaylar varsa)

𝛾𝑖𝑗′ , 𝛾𝑖𝑗

∘ : doğrusal ve burgusal viskoz sürtünme katsayıları (eğer ihmal edilmiyorlarsa)

𝑠𝑖𝑗 = 𝑠𝑗/𝑖 : ℬ𝑗 cisminin ℬ𝑖 cismine göre �� 𝑖𝑗 yönündeki bağıl ötelenme mesafesi

𝜃𝑖𝑗 = 𝜃𝑗/𝑖 : ℬ𝑗 cisminin ℬ𝑖 cismine göre bağıl dönme açısı

65

4.4.5. Çok Uzuvlu Bileşik Eklemlerdeki Etkileşim Durumu

Şekil 4.4.3: Üç Uzvun Bir Çoklu Döner Eklemle Bağlanması

Çoklu bir eklem (çok uzuvlu bir bileşik eklem), ikiden fazla uzvu birbirine bağlar. Eğer böyle bir

eklemle bağlanan uzuv sayısı 𝑙 ise, bağımsız bağlantı sayısı, 𝑙′ = 𝑙 − 1 olur. Örneğin, ℬ𝑖, ℬ𝑗, ℬ𝑘

gibi üç uzuv birbirine 𝑅𝑖𝑗𝑘 gibi bir çoklu döner eklemle bağlanacak ise, bu üç uzuvdan yalnızca

ikisinin ayrı ayrı geri kalan üçüncüyle bağlanması gerekli ve yeterlidir. Örneğin, ℬ𝑗-ℬ𝑖 ve ℬ𝑗-ℬ𝑘

bağlantıları 𝑅𝑗𝑖 ve 𝑅𝑗𝑘 döner eklemleriyle gerçekleştirilirse, üçüncü ℬ𝑖-ℬ𝑘 bağlantısına hiç gerek

kalmaz. Diğer bir deyişle, ℬ𝑖 ile ℬ𝑘 uzuvları da kendiliğinden hayali bir 𝑅𝑖𝑘 döner eklemiyle

bağlanmış gibi olur. Bu durum, Şekil 4.4.3'te gösterilmiştir.

Yukarıda açıklanan gerekçeyle, çok uzuvlu bir eklemle bağlanmış 𝑙 adet uzuv için kuvvet ve

moment denklemleri yazılırken, gereğinden fazla denklem yazıp da sistemi aşırı-kapalı bir hale

getirmemek için, yalnızca 𝑙′ = 𝑙 − 1 sayıda uzvun temas halinde olması gerektiği göz önünde

bulundurulmalıdır. Buna göre, Şekil 4.4.3'teki örnek için kuvvet ve moment denklemleri

yazılırken temas eden uzuv çiftleri, ℬ𝑗 ile ℬ𝑖 ve ℬ𝑗 ile ℬ𝑘 olarak alınmalıdır.

4.5. Kuvvet ve Moment Denklemlerinin Çözümü

(4.4.1) ve (4.4.2) vektör denklemlerinden elde edilen skalar denklemler, topluca, aşağıdaki matris

denklemi biçiminde yazılabilir.

��(��)�� = ��(��)�� + ��(��)�� + 𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.1)

(4.5.1) denklemi şu tanımları içermektedir.

�� ∈ ℛ𝑚 : Eyletimli eklem değişkenlerinden oluşan dikeysıra matrisi

�� ∈ ℛ𝑚 : Eyletim kuvvetleri ve/veya torklarından oluşan dikeysıra matrisi

�� ∈ ℛ𝑟 : Yapısal tepki kuvvetlerinin ve momentlerinin bileşenlerinden oluşan

dikeysıra matrisi

𝑓 ∈ ℛ𝑛∗ : Ağırlıklar dahil dış kuvvet ve momentler ile uzuvların konumlarına ve

hızlarına bağlı ataletsel terimlerden oluşan dikeysıra matrisi

��, ��, �� : Boyutları (𝑛∗ ×𝑚), (𝑛∗ ×𝑚) ve (𝑛∗ × 𝑟) olan katsayı matrisleri

ℬ

ℬ ℬ ℬ ℬ

ℬ

66

(4.5.1) denklemi, sistem düzlemsel ise 𝑛∗ = 3𝑛, uzaysal ise 𝑛∗ = 6𝑛 adet skalar denklem içerir.

Buna göre, belirlenmesi (ya da aradan yok edilmesi) gereken yapısal tepki kuvvet ve moment

bileşenlerinin sayısı, 𝑟 = 𝑛∗ −𝑚 olmaktadır. Belirlenmesi gereken diğer 𝑚 adet bilinmeyen ise,

yapılacak analizin türüne göre, ya 𝑚 adet eyletimli eklem ivmesidir ya da 𝑚 adet eyletim kuvveti

ve/veya torkudur.

(4.5.1) denklemindeki ��(��)�� teriminin oluşturulması için (4.4.1) ve (4.4.2) denklemlerinde yer

alan 𝑎 𝑖 ötelenme ivmesinin ve 𝛼 𝑖 açısal ivmesinin 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 için eyletimli eklem ivmeleri

(��1, ��2, … , ��𝑚) cinsinden ifade edilmesi gerekir. Bu gibi ifadeler, eğer mekanik sistem devinimsel

tekil duruşlarından birinde değilse, Bölüm 3'te, hız etki katsayıları ve hız-ivme etki katsayıları

kullanılarak elde edilmişti. Benzer ifadeler, burada, aşağıdaki eşnitelikli gösterimlerle yazılabilir.

𝑣 𝑖 = ∑ �� 𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 𝑎 𝑖 = ∑ �� 𝑖𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝐴 𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘

𝑚𝑘=1

𝑚𝑗=1 (4.5.2)

�� 𝑖 = ∑ �� 𝑖𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 𝛼 𝑖 = ∑ �� 𝑖𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝛤 𝑖𝑗𝑘��𝑗��𝑘

𝑚𝑘=1

𝑚𝑗=1 (4.5.3)

Yukarıdaki denklemlerde yer alan �� 𝑖𝑗 = �� 𝑖𝑗(𝑞1, … , 𝑞𝑚) ve �� 𝑖𝑗 = �� 𝑖𝑗(𝑞1, … , 𝑞𝑚), uzuvların

ötelenme hızlarına ve açısal hızlarına ait vektörel hız etki katsayılarıdır. Aynı denklemlerde yer

alan 𝐴 𝑖𝑗𝑘 = 𝐴 𝑖𝑗𝑘(𝑞1, … , 𝑞𝑚) ve 𝛤 𝑖𝑗𝑘 = 𝛤 𝑖𝑗𝑘(𝑞1, … , 𝑞𝑚) ise, uzuvların ötelenme ivmelerine ve

açısal ivmelerine ait vektörel hız-ivme etki katsayılarıdır. Daha önce de görüldüğü gibi, hız-ivme

etki katsayıları, hız etki katsayılarından aşağıdaki kısmi türev işlemleriyle elde edilebilir.

𝐴 𝑖𝑗𝑘 = 𝜕�� 𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘 (4.5.4)

𝛤 𝑖𝑗𝑘 = 𝜕�� 𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘 (4.5.5)

(4.5.1) denklemi, kuvvet analizinin aşağıda anlatılan iki farklı türü için de kullanılabilir.

4.5.1. Kinetostatik ya da Eyletimsel Analiz

Bu analiz, belirtilen bir hareket için gereken eyletim kuvvet ve/veya torklarının bulunması için

yapılır. Bu amaçla, sistem devinimsel tekil duruşlarından birine girmemişken, yani hız etki

katsayıları ile hız-ivme etki katsayıları tanımlıyken, (4.5.1) denklemi şöyle yazılır.

[��(��) ��(��)] [��

��] = ��(��)�� − 𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.6)

Eğer det[��(��) ��(��)] ≠ 0 ise, (4.5.6) denkleminin çözümü, �� ve �� dikeysıra matrislerini

birarada şöyle verir.

[��

��] = [��(��) ��(��)]−1[��(��)�� − 𝑓(��, ��, 𝑡)] (4.5.7)

Eğer det[��(��) ��(��)] = 0 olursa, mekanik sistem, eyletimsel tekil duruşlarından birine girer.

Böyle bir tekil duruşta, �� ve �� dikeysıra matrisleri kısmen ya da tümüyle belirsizleşirler; hatta

bazı elemanları sınırsızca büyük değerlere ulaşabilir. Bunun yanısıra, (4.5.6) denkleminin sağ

tarafındaki [��(��)�� − 𝑓(��, ��, 𝑡)] dikeysıra matrisi ise, bazı kısıtlamalara uymak zorunda kalır.

67

Diğer bir deyişle, belirtilen hareket, yani �� = ��(𝑡), tümüyle keyfi olamaz. Hatta bazı durumlarda

belli bir hareket bile belirtilemez; yani sistem �� girdisine karşı kilitlenmiş duruma düşebilir.

Eğer mekanik sistem devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlarından birinde değilse, (4.5.7)

denklemindeki ters matris şöyle ifade edilebilir.

[��(��) ��(��)]−1 = [��(��)

��(��)] ; ��(��) ∈ ℛ𝑚×𝑛

∗ , ��(��) ∈ ℛ𝑟×𝑛

∗ (4.5.8)

Bunun üzerine, �� ve �� dikeysıra matrisleri, ayrı ayrı, aşağıdaki ifadelerle elde edilmiş olurlar.

�� = [��(��)��(��)]�� − ��(��)𝑓(��, ��, 𝑡) = ��(��)�� − ��(��)𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.9)

�� = [��(��)��(��)]�� − ��(��)𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.10)

(4.5.9) denklemindeki 𝑚 ×𝑚 boyutlu ��(��) matrisi, mekanik sistemin �� eyletimine göre

tanımlanmış olan kütle matrisidir. Denklemde de görüldüğü gibi, bu matris şöyle tanımlanmıştır.

��(��) = ��(��)��(��) (4.5.11)

4.5.2. Dinamik ya da Devinimsel Analiz

Bu analiz, belirtilen eyletim kuvvet ve/veya torklarının yol açtığı hareketin bulunması için

yapılır. Bu amaçla, sistem devinimsel tekil duruşlarından birine girmemişken, (4.5.1) denklemi,

bu kez şöyle yazılır.

[��(��) −��(��)] [��

��] = ��(��)�� + 𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.12)

Eğer det[��(��) −��(��)] ≠ 0 ise, (4.5.12) denkleminin çözümü, �� ve �� dikeysıra matrislerini

birarada şöyle verir.

[��

��] = [��(��) −��(��)]−1[��(��)�� + 𝑓(��, ��, 𝑡)] (4.5.13)

(4.5.13) denklemindeki ters matris, (4.5.8) denklemindekine benzer bir biçimde ve aynı koşullar

altında şöyle ifade edilebilir.

[��(��) −��(��)]−1 = [��∗(��)

��∗(��)] ; ��∗(��) ∈ ℛ𝑚×𝑛

∗ , ��∗(��) ∈ ℛ𝑟×𝑛

∗ (4.5.14)

Bunun üzerine, �� ve �� dikeysıra matrisleri, ayrı ayrı, aşağıdaki ifadelerle elde edilmiş olurlar.

�� = [��∗(��)��(��)]�� + ��∗(��)𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.15)

�� = [��∗(��)��(��)]�� + ��∗(��)𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.16)

Farklı bir çözüm yolu olarak, �� dikeysıra matrisi, (4.5.9) denkleminden de elde edilebilir. Bu

çözüme göre, ifadesi şöyle olur.

�� = ��−1(��)[�� + ��(��)𝑓(��, ��, 𝑡)] (4.5.17)

68

Eğer sistem devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlarından birinde değilse, yani (4.5.8)

denklemiyle ��(��) matrisi elde edilebilmişse, ��−1(��) matrisi de elde edilebilir. Bunun da nedeni,

Bölüm 5'teki kinetik enerji ifadesinde de görüleceği gibi, bir mekanik sistemin kütle matrisinin

hiç bir zaman tekil olmamasıdır. Dolayısıyla, (4.5.17) denkleminde ��(��) matrisiyle ilgili bir

tekillik sorunu ortaya çıkmaz. Bu arada, (4.5.17) denklemi yerine konulunca, (4.5.10) denklemi

de �� dikeysıra matrisini şu ifadeyle verir.

�� = [��(��)��(��)��−1(��)]�� + ��(��)[��(��)��−1(��)��(��) − 𝐼]𝑓(��, ��, 𝑡) (4.5.18)

Yukarıda anlatılan iki farklı çözümün sonuçları karşılaştırılınca görülür ki, (4.5.14) ve (4.5.8)

denklemlerindeki ters matrislerin öğeleri arasında aşağıdaki bağıntılar bulunmaktadır.

��∗(��) = ��−1(��)��(��) (4.5.19)

��∗(��)��(��) = ��−1(��) (4.5.20)

��∗(��) = ��(��)[��(��)��−1(��)��(��) − 𝐼] (4.5.21)

��∗(��)��(��) = ��(��)��(��)��−1(��) (4.5.22)

Bu bağıntılara göre, ��∗(��) ve ��∗(��) matrisleri, doğrudan doğruya ��(��) ve ��(��) matrisleri

cinsinden ifade edilebilmektedir. Dolayısıyla, ��(��) ve ��(��) matrisleri elde edilebilmişlerse,

��∗(��) ve ��∗(��) matrisleri de elde edilebilir. Buna dayanarak aşağıdaki sonuç çıkarılabilir.

��(��) kütle matrisi tekil olmadığına göre, eğer eyletimsel analizdeki [��(��) ��(��)] matrisi tekil

değilse, devinimsel analizdeki [��(��) −��(��)] matrisi de tekil olmaz. Ya da tersine bir deyişle,

eyletimsel analiz kapsamında karşılaşılan devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşların devinimsel

analiz kapsamında karşılaşılan tekil duruşlarla aynı olduğu söylenebilir.

Bununla birlikte, devinimsel analiz kapsamındaki tekil duruşların aşağıda anlatılan sonuçları,

doğal olarak �� ve �� matrislerini ilgilendirir.

Böyle bir tekil duruşta, �� ve �� matrisleri kısmen ya da tümüyle belirsizleşirler. Bunun yanısıra,

(4.5.12) denkleminin sağ tarafında yer alan [��(��)�� + 𝑓(��, ��, 𝑡)] dikeysıra matrisi ise, bazı

kısıtlamalara uymak zorunda kalır. Diğer bir deyişle, eyleticiler ve/veya çeşitli dış etmenler

tarafından uygulanan kuvvet ve/veya momentler tümüyle keyfi ya da rastgele olamaz.

Eğer incelenen mekanik sistem, 𝒯 = {𝑡 | 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑓} zaman aralığında devinimsel ya da

eyletimsel tekil duruşlarından birine girmeden çalışabiliyorsa, (4.5.17) denklemi, �� = ��(𝑡)

belirtimiyle, �� dikeysıra matrisini bir türevsel denklem biçiminde şöyle verir.

�� = ��(��, ��, 𝑡) (4.5.23)

Sistemin 𝑡 = 𝑡0 anındaki başlangıç duruşu ve hızı (yani ��0 ve ��0) biliniyorsa, (4.5.23) türevsel

denklemi, uygun bir sayısal yöntem aracılığıyla tümlevlenerek ��(𝑡) ile ��(𝑡), 𝑡 ∈ 𝒯 için

bulunabilir. Böylece, (4.5.10) ya da (4.5.16) denklemi de �� dikeysıra matrisinin elemanlarını,

𝑡 ∈ 𝒯 için, yapısal tepki kuvvetlerinin ve momentlerinin bileşenleri olarak vermiş olur.

69

4.5.3. Çözülmesi Gereken Skalar Denklem Sayısının Azaltılması

(4.5.1) denklemini oluşturan skalar denklemlere tek tek bakılınca görülür ki, �� ve �� dikeysıra

matrislerinin elemanlarından bazıları, tek başına yalnızca bir skalar denklemde yer alır.

Dolayısıyla, bu gibi elemanlardan oluşan ��∘ ve ��∘ dikeysıra matrisleri, zaten çözülmüş durumda

olurlar ve tümlerleri olan ��∗ ve ��∗ dikeysıra matrisleri ile �� dikeysıra matrisine bağlı olarak

doğrudan doğruya aşağıdaki gibi ifade edilebilirler.

��∘ = ��′(��)�� − [��′(��)��∗ + ��′(��)��∗ + 𝑓′(��, ��, 𝑡)] (4.5.14)

��∘ = ��′′(��)�� − [��′′(��)��∗ + ��′′(��)��∗ + 𝑓′′(��, ��, 𝑡)] (4.5.15)

Böylece, geri kalan bilinmeyenler, yapılacak olan analizin türüne bağlı olarak ya ��∗ ve ��∗

dikeysıra matrislerinde ya da �� ve ��∗ dikeysıra matrislerinde toplanmış olur. Bu bilinmeyenler

ise, (4.5.14) ve/veya (4.5.15) denkleminin tümleri olan aşağıdaki denklem, Kısım 4.5.1 ve

4.5.2'de anlatılan iki analiz türünden birine göre çözülerek bulunabilir.

��∗(��)�� = ��∗(��)��∗ + ��∗(��)��∗ + 𝑓∗(��, ��, 𝑡) (4.5.16)

(4.5.16) denkleminin analiz türüne göre elde edilen çözümünden sonra, (4.5.14) ve (4.5.15)

denklemlerinden de ��∘ ve ��∘ dikeysıra matrisleri bulunur.

4.5.4. Bilinmeyen ve Denklem Sayılarını Azaltan Özel Durumlar

a) Momentsiz Kayar Uzuvlar:

Eğer bir kayar uzva etkiyen tüm kuvvetlerin doğrultuları uzvun kütle merkezinden geçiyorsa ve

bu uzvun sabit uzva göre açısal ivmesi sıfırsa (ya da neredeyse sıfırsa), bu uzva etkiyen yapısal

tepki momenti sıfır (ya da neredeyse sıfır) olur. Böyle bir kayar uzuv (ℬ𝑗), Şekil 4.5.1'de

gösterilmiştir. Uzvun kütle merkezi (𝐶𝑗), döner eklemin merkeziyle çakışıktır. Uzva etkiyen

kuvvetler şunlardır: 𝑚𝑗𝑔 (ağırlık), 𝐹 𝑖𝑗 (tepki kuvveti), �� 𝑘𝑗 (normal tepki kuvveti), 𝑓 𝑘𝑗 (sürtünme

kuvveti). Görüldüğü gibi, tüm bu kuvvetlerin doğrultuları, 𝐶𝑗 noktasından geçmektedir.

Dolayısıyla, 𝑀𝑘𝑗 etkileşim momenti her zaman sıfır olur. Bu nedenle, 𝑀𝑘𝑗 momentinin

bilinmeyenler arasına katılmasına ve 𝑀𝑘𝑗 = 0 gibi bir denklem yazılmasına gerek kalmaz.

Şekil 4.5.1: Momentsiz Bir Kayar Uzuv (ℬ𝑗)

70

b) İki Kuvvetli Momentsiz Uzuvlar:

Eğer iki eklemli bir uzvun kütlesi ve/veya sabit uzva göre hem ötelenme hem de açısal ivmesi

sıfırsa (ya da neredeyse sıfırsa) ve yerçekimi ivmesi hareket düzlemine dikse, ayrıca bu uzva

etkiyen bir moment de yoksa, bu uzva etkiyen eklem kuvvetleri, eşit büyüklükte, zıt yönde, ve

eklemler arası doğrultuyla eşdoğrusal olurlar.

Böyle bir uzuv (ℬ𝑗), Şekil 4.5.2'de gösterilmiştir. Şekildeki uzvun kütlesi neredeyse sıfırdır ve

üzerine yalnızca 𝐹 𝑖𝑗 ve 𝐹 𝑘𝑗 eklem kuvvetleri etkimektedir.

Şekildeki uzuv için, 𝑏𝑗 = 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘, 𝑐𝑗 = 𝑏𝑗/2, ve �� 𝑗 = 𝑟 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘/|𝑟 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘| = �� (𝜃𝑗) olmak üzere,

kuvvet ve moment denklemleri şöyle yazılır:

𝑚𝑗𝑎 𝑗 = 0 = 𝐹 𝑘𝑗 + 𝐹 𝑖𝑗 (4.5.17)

𝐽𝑗𝛼 𝑗 = 0 = [𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × 𝐹 𝑘𝑗 + [−𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × 𝐹 𝑖𝑗 (4.5.18)

Bu denklemleri sağlayabilmek için, 𝐹 𝑘𝑗 ile 𝐹 𝑖𝑗 kuvvetlerinin ifadeleri şöyle olmalıdır.

𝐹 𝑘𝑗 = 𝐹𝑗�� (𝜃𝑗) , 𝐹 𝑖𝑗 = −𝐹𝑗�� (𝜃𝑗) (4.5.19)

Böylece, 𝐹 𝑖𝑗 ve 𝐹 𝑘𝑗 kuvvetlerinin dört bilinmeyen bileşeninin yerini tek bilinmeyen olarak 𝐹𝑗

kuvveti almış olur. 𝐹𝑗 kuvveti, pozitif ise gergi kuvveti, negatif ise baskı kuvveti olarak etki

gösterir. Görüldüğü gibi, 𝐹 𝑖𝑗 ve 𝐹 𝑘𝑗 kuvvetlerinin zıt ve �� (𝜃𝑗) ile eşdoğrusal olmaları sayesinde,

ℬ𝑗 uzvu için kuvvet ve moment denklemleri kendiliğinden sağlanmaktadır. Dolayısıyla, böyle bir

uzuv için üç adet skalar kuvvet ve moment denklemi yazmaya gerek kalmamaktadır.

Şekil 4.5.2: İki Kuvvetli Momentsiz Bir Uzuv (ℬ𝑗)

c) İki Kuvvetli ve Tek Momentli Uzuvlar:

Eğer bir önceki (b) şıkkında betimlenen iki kuvvetli bir uzva, ek olarak bir de moment

uygulanıyorsa, bu uzva etkiyen eklem kuvvetleri, eşit büyüklükte, zıt yönde, ve biribirine paralel

olurlar, fakat momenti karşılayabilmek için eşdoğrusal olamazlar.

Böyle bir uzuv (ℬ𝑗), Şekil 4.5.3'te gösterilmiştir. Bu uzvun kütlesi neredeyse sıfırdır. Üzerine

yalnızca 𝐹 𝑖𝑗 ve 𝐹 𝑘𝑗 eklem kuvvetleri ve ℬ𝑖 ile ℬ𝑗 arasındaki eyleticinin uyguladığı �� 𝑖𝑗 = −𝑇𝑗��

eyletim torku etkimektedir.

ℬ

ℬ

ℬ

71

Bu durumda, 𝑏𝑗 = 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘, 𝑐𝑗 = 𝑏𝑗/2, �� 𝑗 = 𝑟 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘/|𝑟 𝑄𝑗𝑖𝑄𝑗𝑘| = �� (𝜃𝑗), ve �� (𝜙𝑗) = 𝐹 𝑘𝑗/|𝐹 𝑘𝑗|

olmak üzere, kuvvet ve moment denklemleri şöyle yazılır:

𝑚𝑗𝑎 𝑗 = 0 = 𝐹 𝑘𝑗 + 𝐹 𝑖𝑗 = 𝐹𝑗�� (𝜙𝑗) − 𝐹𝑗�� (𝜙𝑗) = (𝐹𝑗 − 𝐹𝑗)�� (𝜙𝑗) = 0 (4.5.20)

𝐽𝑗𝛼 𝑗 = 0 = �� 𝑖𝑗 + [𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × 𝐹 𝑘𝑗 + [−𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × 𝐹 𝑖𝑗

𝐽𝑗𝛼 𝑗 = 0 = −𝑇𝑗�� + [𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × [𝐹𝑗�� (𝜙𝑗)] − [𝑐𝑗�� (𝜃𝑗)] × [−𝐹𝑗�� (𝜙𝑗)]

𝐽𝑗𝛼 𝑗 = 0 = −𝑇𝑗�� + [𝑏𝑗𝐹𝑗 sin(𝜙𝑗 − 𝜃𝑗)]�� (4.5.21)

Görüldüğü gibi, (4.5.20) denklemi zaten sağlanmış durumdadır. (4.5.21) denkleminin sağlanması

için de, 𝑇𝑗 torku ile 𝐹𝑗 kuvveti ve 𝜙𝑗 açısı arasında aşağıdaki ilişkinin bulunması gerekir.

𝑇𝑗 = 𝑏𝑗𝐹𝑗 sin(𝜙𝑗 − 𝜃𝑗) (4.5.22)

(4.5.22) denklemi, iki kuvvetli ve tek momentli bir uzuv için yazılması gereken tek denklemdir.

Buna ek olarak iki skalar kuvvet denklemi yazmaya gerek kalmaz. Çünkü, 𝐹 𝑖𝑗 ve 𝐹 𝑘𝑗

kuvvetlerinin dört bilinmeyen bileşeninin yerini iki bilinmeyen olarak 𝐹𝑗 kuvveti ile 𝜙𝑗 açısı

almış durumdadır.

Şekil 4.5.3: İki kuvvetli ve Tek Momentli Bir Uzuv (ℬ𝑗)



ℬ

ℬ

ℬ

72


𝑂𝐴 = ℎ1 , 𝐴𝐵 = 𝑏2 , 𝐵𝐶 = 𝑏3

𝐴𝐶2 = 𝑐2 , 𝐶2𝐵 = 𝑐2′ ; 𝐶𝐶3 = 𝑐3 , 𝐶3𝐵 = 𝑐3

′ ; 𝐶𝑃4′ = 𝑑4 , 𝑃4

′𝑃4 = ℎ4


𝑚 = 1


𝜃2


𝜃3 , 𝑠4

* Kuvvet-Moment Denklemleri:

- 𝐿2 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri:

𝑚2𝑎 2 = 𝑚2𝑔 + 𝐹 12 + 𝐹 32 ; 𝐹 32 = −𝐹 23

𝑚2𝑎 2 = 𝑚2𝑔 + 𝐹 12 − 𝐹 23 (4.6.1)

𝐽2𝛼 2 = �� 12 + �� 32 + 𝑟 𝐶2𝐴 × 𝐹 12 + 𝑟 𝐶2𝐵 × 𝐹

32 ; �� 32 = 0 , 𝐹 32 = −𝐹 23

𝐽2𝛼 2 = �� 2 + 𝑟 𝐶2𝐴 × 𝐹 12 − 𝑟 𝐶2𝐵 × 𝐹

23 (4.6.2)


𝑚3𝑎 3 = 𝑚3𝑔 + 𝐹 23 + 𝐹 43 ; 𝐹 43 = −𝐹 34

𝑚3𝑎 3 = 𝑚3𝑔 + 𝐹 23 − 𝐹 34 (4.6.3)

𝐽3𝛼 3 = �� 23 + �� 43 + 𝑟 𝐶3𝐵 × 𝐹 23 + 𝑟 𝐶3𝐶 × 𝐹

43 ; �� 23 = �� 43 = 0 , 𝐹 43 = −𝐹 34

𝐽3𝛼 3 = 𝑟 𝐶3𝐵 × 𝐹 23 − 𝑟 𝐶3𝐶 × 𝐹

34 (4.6.4)


𝑚4𝑎 4 = 𝑚4𝑔 + 𝐹 4∘ + 𝑓 14 + �� 14 + 𝐹 34 (4.6.5)

𝐽4𝛼 4 = 0 = �� 14 + �� 34 + 𝑟 𝐶4𝐶 × �� 14 + 𝑟 𝐶4𝑃4 × 𝐹

14 ; 𝑟 𝐶4𝐶 = 0

, �� 34 = 0

0 = �� 14 + 𝑟 𝐶4𝑃4 × 𝐹 4∘ ; 𝑟 𝐶4𝑃4 = 𝑑4𝑖 − ℎ4𝑗 (4.6.6)

Yukarıdaki denklemlerle ilgili ek açıklamalar:

𝐹 4∘ = −𝐹4

∘𝑖 : kayar uzva yaptığı iş nedeniyle uygulanan dış kuvvet

�� 14 = 𝑁14𝑗 : kayar uzva hareketine dik yönde uygulanan yapısal tepki kuvveti

�� 14 = 𝑀14�� : kayar uzva dönmesini engellemek üzere uygulanan yapısal tepki momenti

73

𝑓 14 = −(𝛾4��4)𝑖 : kayar uzva viskoz sürtünme biçiminde uygulanan direnim kuvveti

Not: Bu kuvvetin kaynağı kuru sürtünme olmadığı için zemin ile kayar uzuv arasındaki yapısal

etkileşim, Kısım 4.4.2'de bahsedildiği gibi, bir kuvvet ve bir momentle temsil edilebilmiştir.

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Birarada Yazılması

Bölüm 3'teki Örnek 3.1'de aynı mekanizmaya ait hız ve hız-ivme etki katsayıları, makanizmanın

devinimsel tekil duruşları dışında, ifade edilmişlerdi. Bu katsayılar kullanılarak yukarıdaki

vektörel kuvvet-moment denklemlerinden elde edilen 𝑛∗ = 3𝑛 = 3 × 3 = 9 adet skalar denklem

aşağıda yazılmıştır.

𝑚2(𝑋22��2 + 𝐴22��22) = 𝐹12𝑥 − 𝐹23𝑥 (4.6.7)

𝑚2(𝑌22��2 + 𝐵22��22) = 𝐹12𝑦 − 𝐹23𝑦 −𝑚2𝑔 (4.6.8)

𝐽2��2�� = 𝑇2�� − 𝑐2�� (𝜃2) × (𝐹12𝑥𝑖 + 𝐹12𝑦𝑗 ) − 𝑐2′ �� (𝜃2) × (𝐹23𝑥𝑖 + 𝐹23𝑦𝑗 )

𝐽2��2 = 𝑇2 + (𝑐2𝐹12𝑥 + 𝑐2′𝐹23𝑥)𝑠𝜃2 − (𝑐2𝐹12𝑦 + 𝑐2

′𝐹23𝑦)𝑐𝜃2 (4.6.9)

𝑚3(𝑋32��2 + 𝐴32��22) = 𝐹23𝑥 − 𝐹34𝑥 (4.6.10)

𝑚3(𝑌32��2 + 𝐵32��22) = 𝐹23𝑥 − 𝐹34𝑦 −𝑚3𝑔 (4.6.11)

𝐽3(𝐺32��2 + 𝐻32��22)�� = 𝑐3�� ′(𝜃3) × (𝐹23𝑥𝑖 + 𝐹23𝑦𝑗 ) − 𝑐3

′ �� ′(𝜃3) × (𝐹34𝑥𝑖 + 𝐹34𝑦𝑗 )

𝐽3(𝐺32��2 + 𝐻32��22) = (𝑐3

′𝐹34𝑥 − 𝑐3𝐹23𝑥)𝑐𝜃3 + (𝑐3′𝐹34𝑦 − 𝑐3𝐹23𝑦)𝑠𝜃3 (4.6.12)

𝑚4𝑎4𝑥 = 𝑚4��4 = 𝑚4(𝐺42��2 + 𝐻42��22) = 𝐹34𝑥 − 𝐹4

∘ − 𝛾4��4 (4.6.13)

𝑚4𝑎4𝑦 = 0 = 𝐹34𝑦 + 𝑁14 −𝑚4𝑔 𝑁14 = 𝑚4𝑔 − 𝐹34𝑦 (4.6.14)

𝑀14 = ℎ4𝐹4∘ (4.6.15)

Not: Yukarıdaki ve daha sonraki bazı denklemlerde, gösterim kolaylığı amacıyla, sin 𝜃 ve cos 𝜃

yerine kısaca 𝑠𝜃 ve 𝑐𝜃 simgeleri kullanılmıştır.

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Eyletimsel Analiz İçin Çözümü

Eyletimsel analiz kapsamında, 𝜃2 = 𝜃2(𝑡) ve türevleri ile 𝐹4∘ = 𝐹4

∘(𝑡), zamanın işlevleri olarak

bellidir. Buna karşılık, 9 adet skalar kuvvet-moment denklemindeki, yani (4.6.7) – (4.6.15)

denklemlerindeki 9 adet bilinmeyen ise şunlardır.

𝑇2 ; 𝐹12𝑥 , 𝐹12𝑦 ; 𝐹23𝑥 , 𝐹23𝑦 ; 𝐹34𝑥 , 𝐹34𝑦 ; 𝑁14 , 𝑀14

Bu bilinmeyenlerden 𝑇2 ile 𝑁14 ve 𝑀14, (4.6.9) ile (4.6.14) ve (4.6.15) denklemlerinden

bilinenlere ve diğer bilinmeyenlere bağlı olarak doğrudan doğruya şöyle ifade edilirler.

𝑇2 = 𝐽2��2 − (𝑐2𝐹12𝑥 + 𝑐2′𝐹23𝑥)𝑠𝜃2 + (𝑐2𝐹12𝑦 + 𝑐2

′𝐹23𝑦)𝑐𝜃2 (4.6.16)

𝑁14 = 𝑚4𝑔 − 𝐹34𝑦 (4.6.17)

𝑀14 = ℎ4𝐹4∘ (4.6.18)

74

Geri kalan 6 bilinmeyen (𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, 𝐹23𝑥, 𝐹23𝑦, 𝐹34𝑥, 𝐹34𝑦) ise, aşağıdaki 6 skalar denklem

çözülerek bulunabilir.

𝐹12𝑥 − 𝐹23𝑥 = 𝑚2(𝑋22��2 + 𝐴22��22) (4.6.19)

𝐹12𝑦 − 𝐹23𝑦 = 𝑚2(𝑌22��2 + 𝐵22��22) + 𝑚2𝑔 (4.6.20)

𝐹23𝑥 − 𝐹34𝑥 = 𝑚3(𝑋32��2 + 𝐴32��22) (4.6.21)

𝐹23𝑦 − 𝐹34𝑦 = 𝑚3(𝑌32��2 + 𝐵32��22) + 𝑚3𝑔 (4.6.22)

(𝑐3′𝑐𝜃3)𝐹34𝑥 + (𝑐3

′𝑠𝜃3)𝐹34𝑦 − (𝑐3𝑐𝜃3)𝐹23𝑥 − (𝑐3𝑠𝜃3)𝐹23𝑦

= 𝐽3(𝐺32��2 + 𝐻32��22) (4.6.23)

𝐹34𝑥 = 𝑚4(𝐺42��2 + 𝐻42��22) + 𝛾4��4 + 𝐹4

∘ (4.6.24)

Yukarıdaki denklemler, aşağıdaki matris denklemi biçiminde de yazılabilir.

212 2 22 2

2 22

12 2 22 22 22

23 3 32

223 3 32

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3234

4 4234

1 0 1 0 0 0

(0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 1

0 0

0 0 0 0 1 0

x

y

x

y

x

y

F m Am X

F m Bm Y

F m X

F m Y

c c c s c c c s J GF

m GF

2

23 32 2

23 32 2

23 32 2

24 42 2 4 4 4

)

( )

g

m A

m B g

J H

m H s F

(4.6.25)

(4.6.25) denkleminden, eğer denklemdeki katsayı matrisi tekil değilse, 𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, … , 𝐹34𝑥, 𝐹34𝑦

kuvvet bileşenleri bulunur. Daha sonra, (4.6.16), (4.6.17) ve (4.6.18) denklemlerinden de 𝑇2

eyletim torku ile 𝑁14 ve 𝑀14 eklem tepkileri bulunur.

Eğer denklemdeki katsayı matrisi tekil olursa, mekanizma, bir eyletimsel tekil duruşa girer. Böyle

olursa, söz konusu kuvvet bileşenleri belirsizleşir. Buna karşılık, belirtilen hareket, yani 𝜃2(𝑡),

��2 = 0 olacak biçimde kısıtlanır ve bunun sonucunda mekanizma kilitlenir. Bu durum, ilerideki

basitleştirilmiş analizde, daha açık bir biçimde anlatılmıştır.

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Devinimsel Analiz İçin Çözümü

Devinimsel analiz kapsamında, 𝑇2 = 𝑇2(𝑡) ile 𝐹4∘ = 𝐹4

∘(𝑡), zamanın işlevleri olarak bellidir.

Buna karşılık, 9 adet skalar kuvvet-moment denklemindeki, yani (4.6.7) – (4.6.15)


��2 ; 𝐹12𝑥 , 𝐹12𝑦 ; 𝐹23𝑥 , 𝐹23𝑦 ; 𝐹34𝑥 , 𝐹34𝑦 ; 𝑁14 , 𝑀14

Bu bilinmeyenlerden 𝑁14 ve 𝑀14, (4.6.14) ve (4.6.15) denklemlerinden bilinenlere ve diğer

bilinmeyenlere bağlı olarak doğrudan doğruya şöyle ifade edilirler.

𝑁14 = 𝑚4𝑔 − 𝐹34𝑦 (4.6.26)

𝑀14 = ℎ4𝐹4∘ (4.6.27)

75

Geri kalan 7 bilinmeyen (��2, 𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, 𝐹23𝑥, 𝐹23𝑦, 𝐹34𝑥, 𝐹34𝑦) ise, aşağıdaki 7 skalar denklem

çözülerek bulunabilir.

𝐽2��2 − (𝑐2𝑠𝜃2)𝐹12𝑥 + (𝑐2𝑐𝜃2)𝐹12𝑦 − (𝑐2′𝑠𝜃2)𝐹23𝑥 + (𝑐2

′𝑐𝜃2)𝐹23𝑦 = 𝑇2 (4.6.28)

𝑚2𝑋22��2 − 𝐹12𝑥 + 𝐹23𝑥 = −𝑚2𝐴22��22 (4.6.29)

𝑚2𝑌22��2 − 𝐹12𝑦 + 𝐹23𝑦 = −𝑚2(𝐵22��22 + 𝑔) (4.6.30)

𝑚3𝑋32��2 − 𝐹23𝑥 + 𝐹34𝑥 = −𝑚3𝐴32��22 (4.6.31)

𝑚3𝑌32��2 − 𝐹23𝑦 + 𝐹34𝑦 = −𝑚3(𝐵32��22 + 𝑔) (4.6.32)

𝐽3𝐺32��2 + (𝑐3𝑐𝜃3)𝐹23𝑥 + (𝑐3𝑠𝜃3)𝐹23𝑦

− (𝑐3′𝑐𝜃3)𝐹34𝑥 − (𝑐3

′𝑠𝜃3)𝐹34𝑦 = −𝐽3𝐻32��22 (4.6.33)

𝑚4𝐺42��2 − 𝐹34𝑥 = −(𝑚4𝐻42��22 + 𝛾4��4 + 𝐹4

∘) (4.6.34)

Yukarıdaki denklemler, aşağıdaki matris denklemi biçiminde de yazılabilir.

22 2 2 2 2 2 2 2 2

122 22

122 22

233 32

3 32 23

3 32 3 3 3 3 3 3 3 334

4 4234

0 0 1

1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0

0 0 0 0 1 0

x

y

x

y

x

y

J c s c c c s c cFm X

Fm Y

Fm X

m Y F

J G c c c s c c c s F

m GF

22 22 2

22 22 2

22 3 32 2

23 32 2

23 32 2

24 42 2 4 4 4

0

( )

0 ( )0

0

m A

m B g

T m A

m B g

J H

m H s F

(4.6.35)

(4.6.35) denkleminden, eğer denklemdeki katsayı matrisi tekil değilse, 𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, … , 𝐹34𝑥, 𝐹34𝑦

kuvvet bileşenleri ile ��2 eklem ivmesi, bir hamlede bulunabilir.

Yukarıdakinden farklı olarak, devinimsel analize ait skalar denklemler için aşağıda anlatılan iki

aşamalı bir çözüm yöntemi de kullanılabilir. Bu çözüm yönteminde, (4.6.35) ve (4.6.25)

denklemlerinde karşılaşılabilecek tekilliklerin aslında aynı olduğu da görülmektedir.

Birinci aşamada, (4.6.29) – (4.6.34) denklemleri, eyletimsel analiz kapsamındaki (4.6.25) matris

denklemi biçiminde yazılır. Eğer mekanizma, bir eyletimsel tekil duruşa girmemişse, (4.6.25)

denklemi, katsayı matrisinin tersi alınıp gerekli matris çarpımları yapıldıktan sonra eklem tepki

kuvvetlerini aşağıda kısaca gösterilen biçimde verir.

12 12 23 23 34 34

12 12 23 23 34 34 2

12 12 23 23 34 34

tx y x y x y

tx y x y x y

t

x y x y x y

F F F F F F

Z Z Z Z Z Z

F F F F F F

(4.6.36)

76

İkinci aşamada, (4.6.36) denklemi, (4.6.28) denkleminde yerine konulduktan sonra, ��2 eklem

ivmesi için aşağıdaki denklem elde edilir.

��2 = [𝑇2 + 𝑐2(𝐹12𝑥° 𝑠𝜃2 − 𝐹12𝑦

° 𝑐𝜃2) + 𝑐2′ (𝐹23𝑥

° 𝑠𝜃2 − 𝐹23𝑦° 𝑐𝜃2)]/𝐽2

∗ (4.6.37)

(4.6.37) denklemindeki 𝐽2∗ simgesi, mekanizmanın 𝜃2 eyletimine göre aşağıdaki ifadeyle

tanımlanmış olan eşdeğerli atalet momentini göstermektedir.

𝐽2∗ = 𝐽2 + 𝑐2(𝑍12𝑦𝑐𝜃2 − 𝑍12𝑥𝑠𝜃2) + 𝑐2

′ (𝑍23𝑦𝑐𝜃2 − 𝑍23𝑥𝑠𝜃2) (4.6.38)

Özetlenecek olursa, mekanizma devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlara girmediği sürece,

yukarıdaki her iki çözüm yönteminin sonucunda da, 𝜃2 için şöyle bir türevsel denkleme ulaşılır.

��2 = 𝛼2(𝜃2, ��2, 𝑇2(𝑡), 𝐹4∘(𝑡)) ��2 = 𝛼2(𝜃2, ��2, 𝑡) (4.6.39)

Bu türevsel denklem, belirtilmiş olan 𝜃2∘ = 𝜃2(𝑡0) ve ��2

∘ = ��2(𝑡0) başlangıç değerleri için, uygun

bir sayısal yöntemle tümlevlenerek 𝜃2(𝑡) ve ��2(𝑡), belli bir zaman aralığında bulunabilir.

Yan ürün olarak, 𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, … , 𝐹34𝑥, 𝐹34𝑦 kuvvetleri de (4.6.36) denkleminden bulunabilir.

Daha sonra, (4.6.26) ve (4.6.27) denklemlerinden de 𝑁14 ve 𝑀14 eklem tepkileri bulunabilir.

* Kütlesiz Biyel ve Dengeli Krank Varsayımıyla Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemleri:

- İki Kuvvetli Momentsiz 𝐿3 Uzvu İçin Kuvvet Denklemleri (𝑚3 ≅ 0):

𝐹 43 = 𝐹3�� (𝜋/2 + 𝜃3) = 𝐹3�� ′(𝜃3) (4.6.40)

𝐹 23 = −𝐹 43 = −𝐹3�� ′(𝜃3) (4.6.41)

- İki Kuvvet ve Tek Momentli 𝐿2 Uzvu (Dengeli Krank) İçin Kuvvet-Moment Denklemleri:

Burada, krankın dengelenmiş ve bir volanla takviye edilmiş olduğu varsayılmıştır. Dolayısıyla,

𝐶2 = 𝐴 ve 𝑎 2 = 𝑎 𝐶2 = 𝑎 𝐴 = 0 olması sağlanmıştır. Buna dayanarak, krank için kuvvet ve

moment denklemleri şöyle yazılır.

𝐹 32 = −𝐹 23 = +𝐹3�� ′(𝜃3) (4.6.42)

𝐹 12 = −𝐹 32 = −𝐹3�� ′(𝜃3) (4.6.43)

𝐽2𝛼 2 = 𝐽2��2�� = 𝑇2�� + 𝑟 𝐴𝐵 × 𝐹 32 = 𝑇2�� + [𝑏2�� (𝜃2)] × [𝐹3�� ′(𝜃3)]

𝐽2��2�� = 𝑇2�� + 𝑏2𝐹3�� (𝜃2) × �� (𝜃3 + 𝜋/2)

𝐽2��2 = 𝑇2 + 𝑏2𝐹3 sin(𝜃3 + 𝜋/2 − 𝜃2) = 𝑇2 + 𝑏2𝐹3 cos(𝜃3 − 𝜃2)

𝐽2��2 = 𝑇2 + 𝑏2𝐹3 cos(𝜃2 − 𝜃3) (4.6.44)

Not: Yukarıdaki işlemlerde aşağıda gösterilen vektörel çarpım özdeşliği kullanılmıştır.

�� (𝜃) × �� (𝜙) ≡ �� sin(𝜙 − 𝜃) (4.6.45)

77

- Momentsiz 𝐿4 Uzvu İçin Kuvvet Denklemleri (𝑚4 > 0):

𝑚4𝑎 4 = 𝐹 4∘ + 𝑓 14 + �� 14 + 𝐹 34

𝑚4��4𝑖 = −𝐹4∘𝑖 − (𝛾4��4)𝑖 + 𝑁14𝑗 − 𝐹3�� ′(𝜃3)

𝑚4��4 = 𝐹3 sin 𝜃3 − 𝐹4∘ − 𝛾4��4 (4.6.46)

𝑁14 = 𝐹3 cos 𝜃3 (4.6.47)

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Birarada Yazılması

Yukarıda göz önüne alınan basitleştirme sonucunda, kritik denklem sayısı üçe düşmüştür. Bu üç

denklem aşağıda birarada tekrar yazılmıştır.

𝐽2��2 = 𝑇2 + 𝑏2𝐹3 cos(𝜃2 − 𝜃3) (4.6.48)

𝑁14 = 𝐹3 cos 𝜃3 (4.6.49)

𝑚4𝐺42��2 = 𝐹3 sin 𝜃3 − 𝐹4∘ − 𝛾4𝐺42��2 −𝑚4𝐻42��2

2 (4.6.50)

(4.6.50) denklemindeki hız etki katsayısı (𝐺42) ile hız-ivme etki katsayısı (𝐻42), Bölüm 3'teki

Örnek 3.1'de, eğer sin 𝜃3 ≠ 0 ise, yani mekanizma bir devinimsel tekil duruşta değilse, şöyle

ifade edilmişlerdi.

𝐺42 = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (4.6.51)

𝐻42 =𝑏2 sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3−

𝑏3

sin𝜃3𝐺322 ; 𝐺32 = −

𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3

𝐻42 =𝑏2𝑏3 sin

2 𝜃3 sin(𝜃2−𝜃3)−𝑏22 cos2 𝜃2

𝑏3 sin3 𝜃3 (4.6.52)

Yukarıdaki ifadeler yerine konunca, (4.6.50) denklemi şu şekle dönüşür.

[𝑚4𝑏2𝑐(𝜃2 − 𝜃3)𝑠2𝜃3]��2 = 𝐹4

∘𝑠3𝜃3 − 𝐹3𝑠4𝜃3

−[𝛾4𝑏2𝑐(𝜃2 − 𝜃3)𝑠2𝜃3]��2 +𝑚4𝑏2[𝑠(𝜃2 − 𝜃3)𝑠

2𝜃3 − (𝑏2/𝑏3)𝑐2𝜃2]��2

2 (4.6.53)

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Eyletimsel Analiz İçin Çözümü

Eyletimsel analiz kapsamında, 𝜃2 = 𝜃2(𝑡) ve türevleri ile 𝐹4∘ = 𝐹4

∘(𝑡), zamanın işlevleri olarak

bellidir. Buna karşılık, 3 adet skalar kuvvet-moment denklemindeki, yani (4.6.48), (4.6.49) ve

(4.6.53) denklemlerindeki 3 adet bilinmeyen ise şunlardır.

𝑇2 , 𝑁14 , 𝐹3

Bu bilinmeyenlerden 𝑇2 ile 𝑁14, (4.6.48) ve (4.6.49) denklemleri sayesinde bilinen ��2 eklem

ivmesine ve bilinmeyen 𝐹3 kuvvetine ve bağlı olarak zaten elde edilmiş durumdadırlar. Şöyle ki,

𝑇2 = 𝐽2��2 − 𝑏2𝐹3 cos(𝜃2 − 𝜃3) (4.6.54)

𝑁14 = 𝐹3 cos 𝜃3 (4.6.55)

78

Üçüncü bilinmeyen 𝐹3 kuvveti ise, eğer sin 𝜃3 ≠ 0 ise, (4.6.53) denkleminden şöyle elde edilir.

𝐹3 = 𝐹4∘/𝑠𝜃3 − 𝑏2(𝑚4��2 + 𝛾4��2)𝑐(𝜃2 − 𝜃3)/𝑠

2𝜃3

+ 𝑚4𝑏2��22[𝑠(𝜃2 − 𝜃3) − (𝑏2/𝑏3)(𝑐

2𝜃2/𝑠2𝜃3)]/𝑠

2𝜃3 (4.6.56)

Eğer sin 𝜃3 = 0 olursa, mekanizma, bir eyletimsel tekil duruşa girer. Böyle olursa, (4.6.53)

denklemi şu şekle indirgenir.

(cos2 𝜃2)��22 = 0 (4.6.57)

Eğer cos 𝜃2 ≠ 0 ise, (4.6.57) denklemi ancak ��2 = 0 olursa sağlanır. Bu durumda, mekanizma,

𝜃2 eyletimine göre kilitlenmiş olur. Bunun yanısıra, 𝐹3 kuvveti belirsizleşir. Ona bağlı olarak 𝑁14

kuvveti ile 𝑇2 eyletim torku da belirsizleşir. Yani, 𝑇2 torkuna ne değer verilirse verilsin,

mekanizma yerinden kımıldayamaz.

Bununla birlikte, çok özel bir durum olarak, sin 𝜃3 = 0 olduğunda cos 𝜃2 = 0 eşitliği de

gerçekleşirse, ��2 sıfır olmak yerine belirsizleşir. Bu durumda, mekanizma, tekil duruş anında bile

hareketine devam edebilir, ancak 𝑇2 torku ile 𝐹3 ve 𝑁14 kuvvetleri, tam da o kritik 𝑡 anı için bile

olsa, belirsizleşirler. Ne var ki, ��2 ≠ 0 olabileceği için, 𝑡 anında belirsizleşmiş olan değerler

yerine az önceki, yani (𝑡 − 𝛿𝑡) anındaki değerler kullanılarak hareketin sürekliliği sağlanabilir.

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Devinimsel Analiz İçin Çözümü

Devinimsel analiz kapsamında, 𝑇2 = 𝑇2(𝑡) ile 𝐹4∘ = 𝐹4

∘(𝑡), zamanın işlevleri olarak bellidir.

Buna karşılık, 3 adet skalar kuvvet-moment denklemindeki, yani (4.6.48), (4.6.49) ve (4.6.53)


��2 ; 𝑁14 , 𝐹3

Bu bilinmeyenlerden 𝑁14 kuvveti, (4.6.49) ya da (4.6.55) denklemi sayesinde 𝐹3 kuvvetine bağlı

olarak zaten elde edilmiş durumdadır. 𝐹3 kuvveti ise, eğer sin 𝜃3 ≠ 0 ise, (4.6.56) denklemi ile

henüz belli olmayan ��2 ivmesine bağlı olarak ifade edilmiş durumdadır.

(4.6.56) denklemi yerine konulunca, (4.6.54) denklemi, aşağıdaki denkleme dönüşür.

[ 𝐽2𝑠2𝜃3 +𝑚4𝑏2

2𝑐2(𝜃2 − 𝜃3)]��2𝑠2𝜃3

= 𝑇2𝑠4𝜃3 + 𝑏2𝐹4

∘𝑠3𝜃3𝑐(𝜃2 − 𝜃3) − (𝛾4𝑏22��2)𝑠

2𝜃3𝑐2(𝜃2 − 𝜃3)

+(𝑚4𝑏22��22)[𝑠(𝜃2 − 𝜃3)𝑠

2𝜃3 − (𝑏2/𝑏3)𝑐2𝜃2]𝑐(𝜃2 − 𝜃3) (4.6.58)

Eğer sin 𝜃3 ≠ 0 ise, yani mekanizma devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlarından birinde

değilse, 𝜃2 eklem değişkenini bulmak için gereken türevsel denklem, (4.6.58) denkleminden

aşağıdaki ifadeyle elde edilir.

��2 =𝑇2𝑠

2𝜃3+𝑏2𝐹4∘𝑠𝜃3𝑐(𝜃2−𝜃3)−(𝛾4𝑏2

2��2)𝑐2(𝜃2−𝜃3)

𝐽2𝑠2𝜃3+𝑚4𝑏22𝑐2(𝜃2−𝜃3)

+(𝑚4𝑏2

2��22)[𝑠(𝜃2−𝜃3)−(𝑏2/𝑏3)(𝑐

2𝜃2/𝑠2𝜃3)]𝑐(𝜃2−𝜃3)

𝐽2𝑠2𝜃3+𝑚4𝑏22𝑐2(𝜃2−𝜃3)

(4.6.59)

79

Bu arada, mekanizmanın özel bir duruşu olarak eğer cos(𝜃2 − 𝜃3) = 0 olursa, yani 𝐿2 ve 𝐿3

uzuvları eşdoğrusal bir konuma gelirlerse, ortaya bir tekillik çıkmaz, fakat yukarıda elde edilen

çözüm büyük ölçüde basitleşir. Bu basitleşmenin nedeni, (4.6.59) ve (4.6.56) denklemlerinin

aşağıdaki biçimlere indirgenmeleridir.

��2 = 𝑇2/𝐽2 (4.6.60)

𝐹3 = 𝐹4∘/𝑠𝜃3 +𝑚4𝑏2��2

2[𝜎23 − (𝑏2/𝑏3)(𝑐2𝜃2/𝑠

2𝜃3)]/𝑠2𝜃3 (4.6.61)

(4.6.61) denklemindeki 𝜎23 işaret değişkeni şöyle tanımlanmıştır.

cos(𝜃2 − 𝜃3) = 0 𝜃2 = 𝜃3 + 𝜎23𝜋/2 ; 𝜎23 = ±1 (4.6.62)

Dikkat edilirse, 𝜎23 = +1 değeri, 𝐿2 ve 𝐿3 uzuvlarının katlanık eşdoğrusal; 𝜎23 = −1 değeri ise,

aynı uzuvların uzanık eşdoğrusal olduklarını göstermektedir.

Eğer sin 𝜃3 = 0 olursa, mekanizma, bir devinimsel tekil duruşa girer. Bu tekil duruş ise,

incelenen mekanizma için, daha önceki eyletimsel analizde karşılaşılan eyletimsel tekil duruşla

aynıdır. Bu tekil duruşta, (4.6.53) denklemi şu şekle indirgenir.

(cos2 𝜃2)��22 = 0 (4.6.63)

Eğer cos 𝜃2 ≠ 0 ise, (4.6.63) denklemi ancak ��2 = 0 olursa sağlanır. Bu durumda, mekanizma,

𝜃2 eyletimine göre kilitlenmiş olur. Yani, 𝑇2 torkuna ne değer verilirse verilsin, mekanizma

yerinden kımıldayamaz ve böylece ��2 = 0 eşitliği de oluşur. Bunun yanısıra, 𝐹3 ve 𝑁14

kuvvetleri de belirsizleşir.

Bununla birlikte, çok özel bir durum olarak sin 𝜃3 = 0 olduğunda cos 𝜃2 = 0 yani 𝜃2 = 𝜎23𝜋/2

eşitliği de gerçekleşirse, (4.6.63) denklemine göre, ��2 sıfır olmak yerine belirsizleşir. Bununla

birlikte, aynı zamanda, 𝐿2 ve 𝐿3 uzuvlarının eşdoğrusal olma durumları da ortaya çıkmış olur.

Böyle olunca da, ��2 eklem ivmesi, 𝜃3 eklem değişkeninden bağımsızlaşmış olan (4.6.60)

denklemindeki basit ifadeyle, yani ��2 = 𝑇2/𝐽2 biçiminde elde edilir. Böylece, mekanizma, tekil

duruş anında bile, belirtilmiş olan 𝑇2 torku ile hareketine devam edebilir.

Öte yandan, sin 𝜃3 = 0 tekilliği ortaya çıkmadığı sürece, 𝜃2 eklem değişkenine ait türevsel

denklem, ya (4.6.59) ya da (4.6.60) denklemi tarafından aşağıda gösterilen biçimde sağlanır.

��2 = 𝛼2(𝜃2, ��2, 𝑇2(𝑡), 𝐹4∘(𝑡)) ��2 = 𝛼2(𝜃2, ��2, 𝑡) (4.6.64)

Bu türevsel denklem, belirtilmiş olan 𝜃2∘ = 𝜃2(𝑡0) ve ��2

∘ = ��2(𝑡0) başlangıç değerleri için, uygun

bir sayısal yöntemle tümlevlenerek 𝜃2(𝑡) ve ��2(𝑡), belli bir zaman aralığında bulunabilir. Bundan

sonra, istenirse, 𝐹3 ve 𝑁14 kuvvetleri de bulunabilir.

80





* Uzuvların Kütle Merkezleri:

𝐴𝐶4 = 𝐶4𝐷 = 𝑐4 = 𝑏4/2 , 𝐵𝐶5 = 𝐶5𝐷 = 𝑐5 = 𝑏5/2 , 𝐶𝐶6 = 𝐶6𝐸 = 𝑐6 = 𝑏6/2

𝐶7 ≅ 𝑄 𝐷𝐶7 = 𝐶7𝐸 = 𝑐7 ≅ 𝑑7 = 𝑏7/2

* D Noktasındaki Üçlü Ekleme Ait Bağımsız Döner Eklemler:

𝑅47 , 𝑅57


𝐷𝐸 platformuna (𝐿7 Uzvuna) bağlı 𝑄𝑃 doğru parçası ile temsil edilen işlem aygıtı


𝑚 = 3


𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3


𝜃4 , 𝜃5 , 𝜃6 , 𝜃7 = 𝜙

* Eyletim Kuvvetleri:

𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3

6 5

3 =

4

1 = 2 =

= 7

1 2 3

7∘

7∘

81

* Kayar Eklemlerdeki Viskoz Sürtünme Katsayıları:

𝛾1 , 𝛾2 , 𝛾3

* İşlem Aygıtına Etkiyen Tepkisel İşlem Kuvveti ve Momenti:

𝐹 7∘ = −(𝐹7𝑥

∘ 𝑖 + 𝐹7𝑦∘ 𝑗 ) , �� 7

∘ = −𝑀7∘��

* Kuvvet-Moment Denklemleri:

Aşağıdaki kuvvet-moment denklemleri, 𝐷 noktasındaki üçlü döner ekleme ait bağımsız döner

eklemlerin 𝑅47 ile 𝑅57 olduğu dikkate alınarak yazılmıştır.

- 𝐿1 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶1 = 𝐴):

𝑚1𝑎 1 = 𝑚1𝑔 + 𝐹 01 + 𝐹 41 = −𝑚1𝑔𝑗 + [(𝐹1 − 𝛾1��1)𝑖 + 𝑁01𝑗 ] − 𝐹 14 (4.7.1)

𝐽1𝛼 1 = 𝑀01�� = 0 (4.7.2)

- 𝐿2 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶2 = 𝐵):


𝐽2𝛼 2 = 𝑀02�� = 0 (4.7.4)

- 𝐿3 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶3 = 𝐶):


𝐽3𝛼 3 = 𝑀03�� = 0 (4.7.6)

- 𝐿4 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶4 = 𝐴𝐷 uzvunun orta noktası):

𝑚4𝑎 4 = 𝑚4𝑔 + 𝐹 14 + 𝐹 74 = −𝑚4𝑔𝑗 + 𝐹 14 − 𝐹 47 (4.7.7)

𝐽4𝛼 4 = 𝑟 𝐶4𝐴 × 𝐹 14 + 𝑟 𝐶4𝐷 × 𝐹

74 = 𝑟 𝐶4𝐴 × 𝐹

14 − 𝑟 𝐶4𝐷 × 𝐹

47 (4.7.8)

- 𝐿5 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶5 = 𝐵𝐷 uzvunun orta noktası):

𝑚5𝑎 5 = 𝑚5𝑔 + 𝐹 25 + 𝐹 75 = −𝑚5𝑔𝑗 + 𝐹 25 − 𝐹 57 (4.7.9)

𝐽5𝛼 5 = 𝑟 𝐶5𝐵 × 𝐹 25 + 𝑟 𝐶5𝐷 × 𝐹

75 = 𝑟 𝐶5𝐵 × 𝐹

25 − 𝑟 𝐶5𝐷 × 𝐹

57 (4.7.10)

- 𝐿6 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶6 = 𝐶𝐸 uzvunun orta noktası):

𝑚6𝑎 6 = 𝑚6𝑔 + 𝐹 36 + 𝐹 76 = −𝑚6𝑔𝑗 + 𝐹 36 − 𝐹 67 (4.7.11)

𝐽6𝛼 6 = 𝑟 𝐶6𝐶 × 𝐹 36 + 𝑟 𝐶6𝐸 × 𝐹

76 = 𝑟 𝐶6𝐶 × 𝐹

36 − 𝑟 𝐶6𝐸 × 𝐹

67 (4.7.12)

- 𝐿7 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶7 ≅ 𝑄):

𝑚7𝑎 7 = −𝑚7𝑔𝑗 + 𝐹 47 + 𝐹 57 + 𝐹 67 + 𝐹 7∘ (4.7.13)

𝐽7𝛼 7 = 𝑟 𝑄𝐷 × (𝐹 47 + 𝐹 57) + 𝑟 𝑄𝐸 × 𝐹 67 + 𝑟 𝑄𝑃 × 𝐹 7∘ −𝑀7

∘�� (4.7.14)

82

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Birarada Yazılması

Bölüm 3'teki Örnek 3.2'de aynı manipülatöre ait hız ve hız-ivme etki katsayılarının, manipülatör

devinimsel tekil duruşlarından birinde değilken, nasıl ifade edileceği açıklanmıştı. Bu katsayılar

kullanılarak yukarıdaki kuvvet-moment denklemlerinden elde edilen 𝑛∗ = 3𝑛 = 3 × 7 = 21 adet

skalar denklem aşağıda yazılmıştır.

𝑀01 = 0 (4.7.15)

𝑀02 = 0 (4.7.16)

𝑀03 = 0 (4.7.17)

𝑁01 = 𝑚1𝑔 + 𝐹14𝑦 (4.7.18)

𝑁02 = 𝑚2𝑔 + 𝐹25𝑦 (4.7.19)

𝑁03 = 𝑚3𝑔 + 𝐹36𝑦 (4.7.20)

𝑚1��1 = 𝐹1 − 𝛾1��1 − 𝐹14𝑥 (4.7.21)

𝑚2��2 = 𝐹2 − 𝛾2��2 − 𝐹25𝑥 (4.7.22)

𝑚3��3 = 𝐹3 − 𝛾3��3 − 𝐹36𝑥 (4.7.23)

𝑚4(𝑋41��1 + 𝑋42��2 + 𝑋43��3) = 𝐹14𝑥 − 𝐹47𝑥

−𝑚4(𝐴411��12 + 𝐴422��2

2 + 𝐴433��32 + 𝐴412��1��2 + 𝐴413��1��3 + 𝐴423��2��3) (4.7.24)

𝑚4(𝑌41��1 + 𝑌42��2 + 𝑌43��3) = 𝐹14𝑦 − 𝐹47𝑦 −𝑚4𝑔

−𝑚4(𝐵411��12 + 𝐵422��2

2 + 𝐵433��32 + 𝐵412��1��2 + 𝐵413��1��3 + 𝐵423��2��3) (4.7.25)

𝑚5(𝑋51��1 + 𝑋52��2 + 𝑋53��3) = 𝐹25𝑥 − 𝐹57𝑥

−𝑚5(𝐴511��12 + 𝐴522��2

2 + 𝐴533��32 + 𝐴512��1��2 + 𝐴513��1��3 + 𝐴523��2��3) (4.7.26)

𝑚5(𝑌51��1 + 𝑌52��2 + 𝑌53��3) = 𝐹25𝑦 − 𝐹57𝑦 −𝑚5𝑔

−𝑚5(𝐵511��12 + 𝐵522��2

2 + 𝐵533��32 + 𝐵512��1��2 + 𝐵513��1��3 + 𝐵523��2��3) (4.7.27)

𝑚6(𝑋61��1 + 𝑋62��2 + 𝑋63��3) = 𝐹36𝑥 − 𝐹67𝑥

−𝑚6(𝐴611��12 + 𝐴622��2

2 + 𝐴633��32 + 𝐴612��1��2 + 𝐴613��1��3 + 𝐴623��2��3) (4.7.28)

𝑚6(𝑌61��1 + 𝑌62��2 + 𝑌63��3) = 𝐹36𝑦 − 𝐹67𝑦 −𝑚6𝑔

−𝑚6(𝐵611��12 + 𝐵622��2

2 + 𝐵633��32 + 𝐵612��1��2 + 𝐵613��1��3 + 𝐵623��2��3) (4.7.29)

𝑚7(𝑋71��1 + 𝑋72��2 + 𝑋73��3) = 𝐹47𝑥 + 𝐹57𝑥 + 𝐹67𝑥 − 𝐹7𝑥∘

−𝑚7(𝐴711��12 + 𝐴722��2

2 + 𝐴733��32 + 𝐴712��1��2 + 𝐴713��1��3 + 𝐴723��2��3) (4.7.30)

𝑚7(𝑌71��1 + 𝑌72��2 + 𝑌73��3) = 𝐹47𝑦 + 𝐹57𝑦 + 𝐹67𝑦 − 𝐹7𝑦∘ −𝑚7𝑔

−𝑚7(𝐵711��12 + 𝐵722��2

2 + 𝐵733��32 + 𝐵712��1��2 + 𝐵713��1��3 + 𝐵723��2��3) (4.7.31)

83

𝐽4(𝐺41��1 + 𝐺42��2) = (𝑐4𝑠𝜃4)(𝐹14𝑥 + 𝐹47𝑥) − (𝑐4𝑐𝜃4)(𝐹14𝑦 + 𝐹47𝑦)

−𝐽4(𝐻411��12 + 𝐻422��2

2 +𝐻412��1��2) (4.7.32)

𝐽5(𝐺51��1 + 𝐺52��2) = (𝑐5𝑠𝜃5)(𝐹25𝑥 + 𝐹57𝑥) − (𝑐5𝑐𝜃5)(𝐹25𝑦 + 𝐹57𝑦)

−𝐽5(𝐻511��12 + 𝐻522��2

2 +𝐻512��1��2) (4.7.33)

𝐽6(𝐺61��1 + 𝐺62��2 + 𝐺63��3) = (𝑐6𝑠𝜃6)(𝐹36𝑥 + 𝐹67𝑥) − (𝑐6𝑐𝜃6)(𝐹36𝑦 + 𝐹67𝑦)

−𝐽6(𝐻611��12 + 𝐻622��2

2 +𝐻633��32 + 𝐻612��1��2 +𝐻613��1��3 + 𝐻623��2��3) (4.7.34)

𝐽7(𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3) = (𝑑7𝑐𝜃7)(𝐹67𝑥 − 𝐹57𝑥 − 𝐹47𝑥)

+(𝑑7𝑠𝜃7)(𝐹47𝑦 + 𝐹57𝑦 − 𝐹67𝑦) + (ℎ7𝑠𝜃7)𝐹7𝑦∘ − (ℎ7𝑐𝜃7)𝐹7𝑥

∘ −𝑀7∘

−𝐽7(𝐻711��12 + 𝐻722��2

2 +𝐻733��32 + 𝐻712��1��2 +𝐻713��1��3 + 𝐻723��2��3) (4.7.35)

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Eyletimsel Analiz İçin Çözümü

Eyletimsel analiz kapsamında, 𝑘 = 1, 2, 3 için 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘(𝑡) ve türevleri (��𝑘, ��𝑘) ile 𝐹7𝑥∘ = 𝐹7𝑥

∘ (𝑡),

𝐹7𝑦∘ = 𝐹7𝑦

∘ (𝑡), ve 𝑀7∘ = 𝑀7

∘(𝑡) zamanın işlevleri olarak bellidir. Buna karşılık, 21 adet skalar

kuvvet ve moment denklemindeki, yani (4.7.15) – (4.7.35) denklemlerindeki 21 adet bilinmeyen

ise şunlardır.

𝐹1, 𝐹2, 𝐹3; 𝑀01, 𝑀02, 𝑀03; 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03;

𝐹14𝑥, 𝐹14𝑦; 𝐹25𝑥, 𝐹25𝑦; 𝐹36𝑥, 𝐹36𝑦; 𝐹47𝑥, 𝐹47𝑦; 𝐹57𝑥, 𝐹57𝑦; 𝐹67𝑥, 𝐹67𝑦

Yukarıdaki bilinmeyenlerden 𝑀01, 𝑀02, 𝑀03 momentlerinin, beklendiği üzere sıfır oldukları,

(4.7.15) – (4.7.17) denklemlerinde görülmektedir. 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03 normal kuvvetleri ise, (4.7.18) –

(4.7.20) denklemleri ile diğer bilinmeyenler cinsinden belli olmuş durumdadır. Ayrıca, 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3

eyletim kuvvetleri de, (4.7.21) – (4.7.23) denklemlerinden, aşağıda olduğu gibi, bilinenler ve

diğer bilinmeyenler cinsinden doğrudan doğruya belirlenmişlerdir.

𝐹1 = 𝑚1��1 + 𝛾1��1 + 𝐹14𝑥 (4.7.36)

𝐹2 = 𝑚2��2 + 𝛾2��2 + 𝐹25𝑥 (4.7.37)

𝐹3 = 𝑚3��3 + 𝛾3��3 + 𝐹36𝑥 (4.7.38)

Geri kalan 12 yapısal tepki kuvveti bileşeni (𝐹14𝑥, … , 𝐹67𝑦) ise, (4.7.24) – (4.7.35) denklemleri

çözülerek belirlenebilirler.

Bu çözümün ayrıntıları, manipülatörün devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlarıyla birlikte,

ilerideki basitleştirilmiş analizde anlatılmıştır.

84

* Kuvvet-Moment Denklemlerinin Devinimsel Analiz İçin Çözümü

Devinimsel analiz kapsamında, 𝑘 = 1, 2, 3 için 𝐹𝑘 = 𝐹𝑘(𝑡) ile 𝐹7𝑥∘ = 𝐹7𝑥

∘ (𝑡), 𝐹7𝑦∘ = 𝐹7𝑦

∘ (𝑡), ve

𝑀7∘ = 𝑀7

∘(𝑡) zamanın işlevleri olarak bellidir. Buna karşılık, 21 adet skalar kuvvet-moment

denklemindeki, yani (4.7.15) – (4.7.35) denklemlerindeki 21 adet bilinmeyen ise şunlardır.

��1, ��2, ��3; 𝑀01, 𝑀02, 𝑀03; 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03;

𝐹14𝑥, 𝐹14𝑦; 𝐹25𝑥, 𝐹25𝑦; 𝐹36𝑥, 𝐹36𝑦; 𝐹47𝑥, 𝐹47𝑦; 𝐹57𝑥, 𝐹57𝑦; 𝐹67𝑥, 𝐹67𝑦

Yukarıdaki bilinmeyenlerden 𝑀01, 𝑀02, 𝑀03 momentlerinin zaten sıfır olduğu, (4.7.15) – (4.7.17)

denklemlerinde görülmektedir. 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03 normal kuvvetleri ise, (4.7.18) – (4.7.20)

denklemleri sayesinde diğer bilinmeyenler cinsinden belli olmuş durumdadır.

Geri kalan üç eyletimli eklem ivmesi (��1, ��2, ��3) ile 12 kuvvet bileşeni (𝐹14𝑥, … , 𝐹67𝑦) ise,

(4.7.21) – (4.7.35) denklemleri çözülerek bulunabilirler.

Bu çözümün ayrıntıları da, manipülatörün devinimsel ya da eyletimsel tekil duruşlarıyla birlikte,

ilerideki basitleştirilmiş analizde anlatılmıştır.

Bu çözümün sonucunda, sistemin hareketini belirlemek üzere, aşağıdaki üç adet bağlaşık türevsel

denklem elde edilmiş olur.

��1 = 𝑎1(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡) (4.7.39)

��2 = 𝑎2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡) (4.7.40)

��3 = 𝑎3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡) (4.7.41)

Bu denklemler, 𝑡 = 𝑡0 iken bilinen başlangıç değerleri (𝑠𝑘∘ , ��𝑘

∘ : 𝑘 = 1, 2, 3) için uygun bir sayısal

yöntemle tümlevlenerek manipülatörün eyletim kuvvetleri ile işlem aygıtına uygulanan dış

kuvvet ve momentin etkisi altında nasıl hareket edeceği bulunabilir.

* Kütlesiz Bacak Varsayımıyla Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemleri:

Bacakların (yani 𝐿4, 𝐿5, 𝐿6 uzuvlarının) kütlesiz oldukları varsayılırsa, kuvvet ve moment

denklemleri, aşağıdaki basitleşmiş biçimlerde yazılabilir. Bu basitleşmiş durumda, ilk altı uzuv

için moment denklemi yazmaya gerek kalmaz. Çünkü, 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3 uzuvlarının dönme hareketi

yoktur ve Kısım 4.5.4'de sözü edilen momentsiz kayar uzuv tanımına uyarlar. Dolayısıyla,

𝑀01 = 𝑀02 = 𝑀03 = 0 olur. Bunun yanısıra, 𝐿4, 𝐿5, 𝐿6 uzuvları ise, yine Kısım 4.5.4'te sözü

edilen iki kuvvetli momentsiz uzuv tanımına uyarlar. Dolayısıyla, onlar için de moment

denklemleri kendiliğinden sağlanır.

- 𝐿1 Uzvu İçin Kuvvet Denklemi:

𝑚1𝑎 1 = −𝑚1𝑔𝑗 + [(𝐹1 − 𝛾1��1)𝑖 + 𝑁01𝑗 ] − 𝐹14�� (𝜃4) (4.7.42)


𝑚2𝑎 2 = −𝑚2𝑔𝑗 + [(𝐹2 − 𝛾2��2)𝑖 + 𝑁02𝑗 ] − 𝐹25�� (𝜃5) (4.7.43)

85


𝑚3𝑎 3 = −𝑚3𝑔𝑗 + [(𝐹3 − 𝛾3��3)𝑖 + 𝑁01𝑗 ] − 𝐹36�� (𝜃6) (4.7.44)


𝐹 47 = 𝐹 14 = 𝐹14�� (𝜃4) (4.7.45)


𝐹 57 = 𝐹 25 = 𝐹25�� (𝜃5) (4.7.46)


𝐹 67 = 𝐹 36 = 𝐹36�� (𝜃6) (4.7.47)

- 𝐿7 Uzvu İçin Kuvvet-Moment Denklemleri (𝐶7 ≅ 𝑄):

𝑚7𝑎 7 = −𝑚7𝑔𝑗 + 𝐹 47 + 𝐹 57 + 𝐹 67 + 𝐹 7∘

𝑚7𝑎 7 = −𝑚7𝑔𝑗 + 𝐹14�� (𝜃4) + 𝐹25�� (𝜃5) + 𝐹36�� (𝜃6) − 𝐹7𝑥∘ 𝑖 − 𝐹7𝑦

∘ 𝑗 (4.7.48)

𝐽7𝛼 7 = 𝑟 𝑄𝐷 × (𝐹 47 + 𝐹 57) + 𝑟 𝑄𝐸 × 𝐹 67 + 𝑟 𝑄𝑃 × 𝐹 7∘ + �� 7

∘

𝐽7𝛼 7 = −𝑑7�� (𝜃7) × [𝐹14�� (𝜃4) + 𝐹25�� (𝜃5)] + 𝑑7�� (𝜃7) × 𝐹36�� (𝜃6)

+ ℎ7�� ′(𝜃7) × [−𝐹7𝑥∘ 𝑖 − 𝐹7𝑦

∘ 𝑗 ] − 𝑀7∘�� (4.7.49)

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Birarada Yazılması

Yukarıdaki basitleştirilmiş vektörel kuvvet ve moment denklemlerinden elde edilen 9 adet skalar

denklem aşağıda birarada yazılmıştır.

𝑁01 = 𝑚1𝑔 + 𝐹14𝑠𝜃4 (4.7.50)

𝑁02 = 𝑚2𝑔 + 𝐹25𝑠𝜃5 (4.7.51)

𝑁03 = 𝑚3𝑔 + 𝐹36𝑠𝜃6 (4.7.52)

𝑚1��1 = 𝐹1 − 𝛾1��1 − 𝐹14𝑐𝜃4 (4.7.53)

𝑚2��2 = 𝐹2 − 𝛾2��2 − 𝐹25𝑐𝜃5 (4.7.54)

𝑚3��3 = 𝐹3 − 𝛾3��3 − 𝐹36𝑐𝜃6 (4.7.55)

𝑚7(𝑋71��1 + 𝑋72��2 + 𝑋73��3) = 𝐹14𝑐𝜃4 + 𝐹25𝑐𝜃5 + 𝐹36𝑐𝜃6 − 𝐹7𝑥∘

−𝑚7(𝐴711��12 + 𝐴722��2

2 + 𝐴733��32 + 𝐴712��1��2 + 𝐴713��1��3 + 𝐴723��2��3) (4.7.56)

𝑚7(𝑌71��1 + 𝑌72��2 + 𝑌73��3) = 𝐹14𝑠𝜃4 + 𝐹25𝑠𝜃5 + 𝐹36𝑠𝜃6 − 𝐹7𝑦∘ −𝑚7𝑔

−𝑚7(𝐵711��12 + 𝐵722��2

2 + 𝐵733��32 + 𝐵712��1��2 + 𝐵713��1��3 + 𝐵723��2��3) (4.7.57)

86

𝐽7(𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3) = (ℎ7𝑠𝜃7)𝐹7𝑦∘ − (ℎ7𝑐𝜃7)𝐹7𝑥

∘ −𝑀7∘

+[𝑑7𝑠(𝜃6 − 𝜃7)]𝐹36 − [𝑑7𝑠(𝜃5 − 𝜃7)]𝐹25 − [𝑑7𝑠(𝜃4 − 𝜃7)]𝐹14

−𝐽7(𝐻711��12 + 𝐻722��2

2 +𝐻733��32 + 𝐻712��1��2 +𝐻713��1��3 + 𝐻723��2��3) (4.7.58)

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Eyletimsel Analiz İçin Çözümü

Eyletimsel analiz kapsamında, 𝑘 = 1, 2, 3 için 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘(𝑡) ve türevleri (��𝑘, ��𝑘) ile 𝐹7𝑥∘ = 𝐹7𝑥

∘ (𝑡),

𝐹7𝑦∘ = 𝐹7𝑦

∘ (𝑡) ve 𝑀7∘ = 𝑀7

∘(𝑡) zamanın işlevleri olarak bellidir. Buna karşılık, 9 adet skalar

kuvvet ve moment denklemindeki, yani (4.7.50) – (4.7.58) denklemlerindeki 9 adet bilinmeyen

ise şunlardır.

𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 ; 𝑁01 , 𝑁02 , 𝑁03 ; 𝐹14 , 𝐹25 , 𝐹36

Yukarıdaki bilinmeyenlerden 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03 normal kuvvetleri, (4.7.50) – (4.7.52) denklemleri

sayesinde diğer bilinmeyenler cinsinden belli olmuş durumdadır. Ayrıca, 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 eyletim

kuvvetleri de, (4.7.53) – (4.7.55) denklemlerinden, aşağıda olduğu gibi, bilinenler ve diğer

bilinmeyenler cinsinden doğrudan doğruya belirlenmişlerdir.

𝐹1 = 𝑚1��1 + 𝛾1��1 + 𝐹14𝑐𝜃4 (4.7.59)

𝐹2 = 𝑚2��2 + 𝛾2��2 + 𝐹25𝑐𝜃5 (4.7.60)

𝐹3 = 𝑚3��3 + 𝛾3��3 + 𝐹36𝑐𝜃6 (4.7.61)

Geri kalan 3 eklem tepki kuvveti (𝐹14, 𝐹25, 𝐹36) ise, (4.7.56) – (4.7.58) denklemleri çözülerek

belirlenebilirler. Bu amaçla, sözü edilen üç denklem aşağıdaki matris denklemi biçiminde

yazılabilir.

[

𝑐𝜃4 𝑐𝜃5 𝑐𝜃6𝑠𝜃4 𝑠𝜃5 𝑠𝜃6

−𝑠(𝜃4 − 𝜃7) −𝑠(𝜃5 − 𝜃7) 𝑠(𝜃6 − 𝜃7)] [𝐹14𝐹25𝐹36

] = [𝑃1𝑃2𝑃3

] (4.7.62)

(4.7.62) denkleminin sağındaki kuvvet niteliğindeki değişkenler (𝑃1, 𝑃2, 𝑃3), eyletimli eklem

değişkenlerine ve türevlerine bağlı ataletsel terimler ile zamanın işlevleri biçiminde belli olan

moment ve kuvvetlerden oluşmuştur.

Örneğin, eğer manipülatör statik denge durumundaymış gibi çalıştırılıyorsa, yani hızlar ve

ivmeler sıfır mertebesindeyse, yukarıda sözü edilen kuvvet niteliğindeki değişkenler aşağıdaki

değerleri alırlar.

𝑃1 = 𝐹7𝑥∘ (4.7.63)

𝑃2 = 𝐹7𝑦∘ +𝑚7𝑔 (4.7.64)

𝑃3 = 𝑀7∘/𝑑7 + (ℎ7/𝑑7)(𝐹7𝑥

∘ 𝑐𝜃7 − 𝐹7𝑦∘ 𝑠𝜃7) (4.7.65)

(4.7.62) denkleminin sol tarafındaki katsayı matrisinin determinantı aşağıdaki ifadeye sahiptir.

𝐷 = 𝑠(𝜃4 − 𝜃7)𝑠(𝜃5 − 𝜃6) + 𝑠(𝜃5 − 𝜃7)𝑠(𝜃6 − 𝜃4) + 𝑠(𝜃6 − 𝜃7)𝑠(𝜃5 − 𝜃4) (4.7.66)

87

Eğer 𝐷 ≠ 0 ise, yani manipülatör eyletimsel tekil duruşlarından birine girmemişse, (4.7.62)

denklemindeki katsayı matrisinin tersi alınarak 𝐹14, 𝐹25 ve 𝐹36 kuvvetleri bulunabilir.

Eğer 𝐷 = 0 olursa, manipülatör eyletimsel tekil duruşlarından birine girer. (4.7.66) denklemine

göre, böyle bir duruş, aşağıdaki açı ilişkilerinden biri gerçekleşirse ortaya çıkar.

𝑠(𝜃5 − 𝜃4) = 0 𝜃5 = 𝜃4 𝐷 = 0 (4.7.67)

𝑠(𝜃6 − 𝜃7) = 0 𝜃7 = 𝜃6 𝐷 = 0 (4.7.68)

𝑠(𝜃6 − 𝜃7) = 0 𝜃7 = 𝜃6 ± 𝜋 𝐷 = 0 (4.7.69)

Bu tekil duruşlardan 𝜃5 = 𝜃4 ve 𝜃7 = 𝜃6 − 𝜋 eşitlikleriyle temsil edilenlerin özellikleri,

aşağıdaki paragraflarda şekillerle gösterilip açıklanmıştır.

a) 𝜃5 = 𝜃4 olacak biçimdeki eyletimsel tekil duruş:

Bu tekil duruş, Şekil 4.7.2'de gösterilmiştir. Eğer bu tekil duruş gerçekleşirse, (4.7.62)

denkleminden aşağıdaki üç skalar denklem elde edilir.

(𝐹14 + 𝐹25)𝑐𝜃4 + 𝐹36𝑐𝜃6 = 𝑃1 (4.7.70)

(𝐹14 + 𝐹25)𝑠𝜃4 + 𝐹36𝑠𝜃6 = 𝑃2 (4.7.71)

(𝐹14 + 𝐹25)𝑠(𝜃4 − 𝜃7) + 𝐹36𝑠(𝜃6 − 𝜃7) = −𝑃3 (4.7.72)

Şekil 4.7.2: Manipülatörün 𝜃5 = 𝜃4 Olacak Biçimdeki Eyletimsel Tekil Duruşu

Eğer 𝜃6 ≠ 𝜃4 ise, (4.7.70) ve (4.7.71) denklemlerinden 𝐹36 ile 𝐹1425 = 𝐹14 + 𝐹25 kuvvetleri

aşağıdaki ifadelerle belirlenirler, fakat 𝐹14 ile 𝐹25 kuvvetleri, toplamları 𝐹1425 değeriyle belli

olmak üzere belirsizleşirler.

𝐹36 = (𝑃2𝑐𝜃4 − 𝑃1𝑠𝜃4)/𝑠(𝜃6 − 𝜃4) (4.7.73)

𝐹1425 = (𝑃1𝑠𝜃6 − 𝑃2𝑐𝜃6)/𝑠(𝜃6 − 𝜃4) (4.7.74)

,

6

3 =

4 = 5

1 = 2 = =

= 7

1

2

3

7∘

7∘

88

Geriye kalan (4.7.72) denklemi ise, yukarıdaki ifadeler yerine konduktan sonra, 𝑃1, 𝑃2 ve 𝑃3

arasında tekillik anında ortaya çıkan aşağıdaki tekillik kısıtlamasını ifade eder.

(𝑃1𝑠𝜃6 − 𝑃2𝑐𝜃6)𝑠(𝜃4 − 𝜃7) + (𝑃2𝑐𝜃4 − 𝑃1𝑠𝜃4)𝑠(𝜃6 − 𝜃7) = −𝑃3𝑠(𝜃6 − 𝜃4)

𝑃3 = 𝑃1𝑠𝜃7 − 𝑃2𝑐𝜃7 (4.7.75)

Örneğin, manipülatör statik dengedeymiş gibi çalıştırılıyorsa, platformun (𝐿7 uzvunun) statik

dengesi, yalnızca iki belirgin kuvvetle (yani 𝐹1425 ve 𝐹36 kuvvetleriyle) sağlanamaz. Bu nedenle,

𝑀7∘ momenti ile 𝐹7𝑥

∘ ve 𝐹7𝑦∘ kuvvetleri arasında da statik dengeyi sağlamak için katkıda bulunacak

bir kısıtlama ilişkisinin oluşması, yani (4.7.75) denkleminin sağlanması gerekir. Bu kısıtlama

ilişkisi, (4.7.63) – (4.7.65) denklemleri, (4.7.75) denkleminde yerine konunca, şöyle elde edilir.

𝑀7∘ = (𝑑7𝑠𝜃7 − ℎ7𝑐𝜃7)𝐹7𝑥

∘ + (ℎ7𝑠𝜃7 − 𝑑7𝑐𝜃7)𝐹7𝑦∘ −𝑚7𝑔𝑑7𝑐𝜃7 (4.7.76)

Eğer 𝜃5 = 𝜃4 iken aynı zamanda 𝜃6 = 𝜃4 olursa, yani 𝜃4 = 𝜃5 = 𝜃6 olursa, (4.7.70) – (4.7.72)

denklemleri, aşağıdaki denklemlere dönüşür.

(𝐹14 + 𝐹25 + 𝐹36)𝑐𝜃4 = 𝑃1 (4.7.77)

(𝐹14 + 𝐹25 + 𝐹36)𝑠𝜃4 = 𝑃2 (4.7.78)

(𝐹14 + 𝐹25 + 𝐹36)𝑠(𝜃4 − 𝜃7) = −𝑃3 (4.7.79)

Bu özel durumda, her üç kuvvet de belirsizleşir, fakat (4.7.77) ile (4.7.78) denklemlerinden bu üç

kuvvetin toplamı olan 𝐹𝑡𝑜𝑝 kuvveti, aşağıdaki ifadeyle belirlenir.

𝐹𝑡𝑜𝑝 = 𝐹14 + 𝐹25 + 𝐹36 = 𝑃1𝑐𝜃4 + 𝑃2𝑠𝜃4 (4.7.80)

Bunun yanısıra, aynı iki denklem, aşağıdaki tekillik kısıtlamasının oluştuğunu gösterir.

𝑃1𝑠𝜃4 = 𝑃2𝑐𝜃4 (4.7.81)

Bu arada, (4.7.79) denklemi de, aşağıda ifade edilen ikinci bir tekillik kısıtlamasının daha

oluştuğunu gösterir.

𝑃3 = −(𝑃1𝑐𝜃4 + 𝑃2𝑠𝜃4)𝑠(𝜃4 − 𝜃7) (4.7.82)

b) 𝜃7 = 𝜃6 − 𝜋 olacak biçimdeki eyletimsel tekil duruş:

Bu tekil duruş, Şekil 4.7.3'te gösterilmiştir. Eğer bu tekil duruş gerçekleşirse, (4.7.62)

denkleminden bu kez aşağıdaki üç skalar denklem elde edilir.

𝐹14𝑐𝜃4 + 𝐹25𝑐𝜃5 = 𝑃1 − 𝐹36𝑐𝜃6 (4.7.83)

𝐹14𝑠𝜃4 + 𝐹25𝑠𝜃5 = 𝑃2 − 𝐹36𝑠𝜃6 (4.7.84)

𝐹14𝑠(𝜃4 − 𝜃6) + 𝐹25𝑠(𝜃5 − 𝜃6) = 𝑃3 (4.7.85)

89

Şekil 4.7.3: Manipülatörün 𝜃7 = 𝜃6 − 𝜋 Olacak Biçimdeki Eyletimsel Tekil Duruşu

Eğer 𝜃5 ≠ 𝜃4 ise, (4.7.83) ve (4.7.84) denklemlerinden 𝐹14 ile 𝐹25 kuvvetleri, 𝑃1 ve 𝑃2

değişkenleri ile 𝐹36 kuvvetine bağlı olarak şöyle belirlenir.

𝐹14 = [𝑃1𝑠𝜃5 − 𝑃2𝑐𝜃5 + 𝐹36𝑠(𝜃6 − 𝜃5)]/𝑠(𝜃5 − 𝜃4) (4.7.86)

𝐹25 = [𝑃2𝑐𝜃4 − 𝑃1𝑠𝜃4 − 𝐹36𝑠(𝜃6 − 𝜃4)]/𝑠(𝜃5 − 𝜃4) (4.7.87)

(4.7.86) ve (4.7.87) denklemleri yerine konunca, (4.7.85) denklemi şu şekli alır.

𝑃3 = 𝑃2𝑐𝜃6 − 𝑃1𝑠𝜃6 (4.7.88)

(4.7.88) denklemi, 𝑃1, 𝑃2 ve 𝑃3 değişkenleri arasında oluşan tekillik kısıtlamasını ifade eder.

(4.7.86) ile (4.7.87) denklemleri ise, 𝐹14 ile 𝐹25 kuvvetlerinin belirsizleşmiş olan 𝐹36 kuvvetine

nasıl bağlandığını göstermektedir.

Örneğin, manipülatör statik dengedeymiş gibi çalıştırılıyorsa, platformun (𝐿7 uzvunun) statik

dengesi açısından, 𝐹36 ile 𝐹14 ve 𝐹25 kuvvetlerinin doğrultuları aynı noktada (𝐷 noktasında)

kesiştiği için, 𝐹36 kuvveti, değeri ne olursa olsun, 𝑀7∘ momenti ile 𝐹7𝑥

∘ ve 𝐹7𝑦∘ kuvvetlerinin 𝐷

noktası etrafında oluşturdukları momenti karşılayamaz. Diğer bir deyişle, statik denge için, 𝑀7∘ ile

𝐹7𝑥∘ ve 𝐹7𝑦

∘ arasında 𝐷 noktası etrafında sıfır moment yaratacak biçimde bir kısıtlama ilişkisinin

oluşması gerekir. Bu kısıtlama ilişkisi, (4.7.63) – (4.7.65) denklemleri, (4.7.88) denkleminde

yerine konunca, şöyle elde edilir.

𝑀7∘ = (ℎ7𝑐𝜃6 − 𝑑7𝑠𝜃6)𝐹7𝑥

∘ + (𝑑7𝑐𝜃6 − ℎ7𝑠𝜃6)𝐹7𝑦∘ +𝑚7𝑔𝑑7𝑐𝜃6 (4.7.89)

Eğer 𝜃7 = 𝜃6 − 𝜋 iken aynı zamanda 𝜃5 = 𝜃4 olursa, (4.7.83) – (4.7.85) denklemleri, aşağıdaki

denklemlere dönüşür.

(𝐹14 + 𝐹25)𝑐𝜃4 = 𝑃1 − 𝐹36𝑐𝜃6 (4.7.90)

(𝐹14 + 𝐹25)𝑠𝜃4 = 𝑃2 − 𝐹36𝑠𝜃6 (4.7.91)

(𝐹14 + 𝐹25)𝑠(𝜃4 − 𝜃6) = 𝑃3 (4.7.92)

6 5

3 =

4

1 = 2 =

7 = 6 −

1 2 3

7∘

7∘

90

Bu özel durumda, (4.7.90) ve (4.7.91) denklemlerinden aşağıdaki iki denklem elde edilir.

𝐹14 + 𝐹25 = 𝐹1425 = 𝑃1𝑐𝜃4 + 𝑃2𝑠𝜃4 − 𝐹36𝑐(𝜃4 − 𝜃6) (4.7.93)

𝑃1𝑠𝜃4 − 𝑃2𝑐𝜃4 = 𝐹36𝑠(𝜃4 − 𝜃6) (4.7.94)

Eğer 𝑠(𝜃4 − 𝜃6) ≠ 0 ise, (4.7.92) ile (4.7.93) ve (4.7.94) denklemlerinin bileşimleri, aşağıdaki

denklemlere yol açar. Bu arada belirtmek gerekirse, 𝜃5 = 𝜃4 iken 𝑠(𝜃4 − 𝜃6) = 0 olması da

zaten pek olası değildir.

𝑃3 = 𝑃2𝑐𝜃6 − 𝑃1𝑠𝜃6 (4.7.95)

𝐹36 = (𝑃1𝑠𝜃4 − 𝑃2𝑐𝜃4)/𝑠(𝜃4 − 𝜃6) (4.7.96)

𝐹1425 = 𝑃3/𝑠(𝜃4 − 𝜃6) (4.7.97)

Görüldüğü gibi, (4.7.95) denklemi, (4.7.88) denklemiyle aynıdır ve sağlanması gereken tekillik

kısıtlamasını gösterir. (4.7.96) denklemine göre, bu özel durumda 𝐹36 kuvveti artık belirli hale

gelmiştir. Buna karşılık, 𝐹14 ile 𝐹25 kuvvetleri belirsizleşmiştir, fakat (4.7.97) denklemiyle ifade

edilen toplamları olan 𝐹1425 kuvveti yine de belirlenebilmektedir.

* Basitleştirilmiş Kuvvet-Moment Denklemlerinin Devinimsel Analiz İçin Çözümü

Devinimsel analiz kapsamında, 𝑘 = 1, 2, 3 için 𝐹𝑘 = 𝐹𝑘(𝑡) ile 𝐹7𝑥∘ = 𝐹7𝑥

∘ (𝑡), 𝐹7𝑦∘ = 𝐹7𝑦

∘ (𝑡) ve

𝑀7∘ = 𝑀7

∘(𝑡) zamanın işlevleri olarak bellidir. Buna karşılık, 9 adet skalar kuvvet ve moment

denklemindeki, yani (4.7.50) – (4.7.58) denklemlerindeki 9 adet bilinmeyen ise şunlardır.

��1 , ��2 , ��3 ; 𝑁01 , 𝑁02 , 𝑁03 ; 𝐹14 , 𝐹25 , 𝐹36

Yukarıdaki bilinmeyenlerden 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03 normal kuvvetleri, (4.7.50) – (4.7.52) denklemleri

sayesinde diğer bilinmeyenler cinsinden belli olmuş durumdadır.

Geri kalan 3 eyletimli eklem ivmesi (��1, ��2, ��3) ile 3 eklem tepki kuvveti (𝐹14, 𝐹25, 𝐹36) ise,

(4.7.53) – (4.7.58) denklemleri çözülerek bulunabilirler. Bu amaçla, sözü edilen 6 denklem

aşağıdaki matris denklemi biçiminde yazılabilir.

1 4 1 1

2 5 2 2

3 6 3 3

7 71 7 72 7 73 4 5 6 14 4

7 71 7 72 7 73 4 5 6 25 5

7 71 7 72 7 73 7 4 7 7 5 7 7 6 7 36 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( )

m c s

m c s

m c s

m X m X m X c c c F

m Y m Y m Y s s s F

J G J G J G d s d s d s F

(4.7.98)

(4.7.98) denkleminin sağındaki kuvvet ya da moment niteliğindeki değişkenler (𝛹1, 𝛹2, … , 𝛹6),

eyletimli eklem değişkenlerine ve türevlerine bağlı ataletsel terimler ile zamanın işlevleri

biçiminde belli olan eyletim kuvvetleri (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) ile işlem tepki momenti (𝑀7∘) ve

kuvvetlerinden (𝐹7𝑥∘ , 𝐹7𝑦

∘ ) oluşmuştur.

91

Eğer (4.7.98) denkleminin sol tarafındaki katsayı matrisi tekil değilse, 𝐹14, 𝐹25, 𝐹36 kuvvetlerinin

yanısıra, aşağıdaki üç adet bağlaşık türevsel denklem, bir hamlede elde edilebilir.

��1 = 𝑎1(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡)��2 = 𝑎2(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡)��3 = 𝑎3(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3; ��1, ��2, ��3; 𝑡)

} (4.7.99)

Aslında, bu örnekte incelenen manipülatör için, (4.7.53) – (4.7.58) skalar denklemlerini, (4.7.98)

denklemi gibi tek bir matris denklemi biçiminde yazmak yerine, çözüm kolaylığı sağlamak

amacıyla, aşağıdaki iki ayrı matris denklemi biçiminde yazmak tercih edilebilir.

[𝑚1 0 00 𝑚2 00 0 𝑚3

] [��1��2��3

] = [

𝑐𝜃4 0 00 𝑐𝜃5 00 0 𝑐𝜃6

] [𝐹14𝐹25𝐹36

] + [𝛹1𝛹2𝛹3

] (4.7.100)

[


−𝑠(𝜃4 − 𝜃7) −𝑠(𝜃5 − 𝜃7) 𝑠(𝜃6 − 𝜃7)] [𝐹14𝐹25𝐹36

]

= [𝛹4𝛹5𝛹6

] − [

𝑚7𝑋71 𝑚7𝑋72 𝑚7𝑋73𝑚7𝑌71 𝑚7𝑌72 𝑚7𝑌73𝐽7𝐺71 𝐽7𝐺72 𝐽7𝐺73

] [��1��2��3

] (4.7.101)

Görüldüğü gibi, hem (4.7.101) denkleminin hem de önceki (4.7.62) denkleminin sol tarafındaki

katsayı matrisi aynıdır. Bu matrisin determinantını gösteren (4.7.66) denklemi, aşağıda tekrar

yazılmıştır.

𝐷 = 𝑠(𝜃4 − 𝜃7)𝑠(𝜃5 − 𝜃6) + 𝑠(𝜃5 − 𝜃7)𝑠(𝜃6 − 𝜃4) + 𝑠(𝜃6 − 𝜃7)𝑠(𝜃5 − 𝜃4) (4.7.102)

Eğer 𝐷 ≠ 0 ise, yani manipülatör eyletimsel tekil duruşlarından birine girmemişse, (4.7.101)

denklemindeki katsayı matrisinin tersi alınarak üç eklem tepki kuvveti aşağıda gösterilen biçimde

topluca bulunabilir.

[

𝐹14𝐹25𝐹36

] = [

𝛹4∗

𝛹5∗

𝛹6∗] − [

𝑚141 𝑚142 𝑚143𝑚251 𝑚252 𝑚253𝑚361 𝑚362 𝑚363

] [

��1��2��3

] (4.7.103)

(4.7.103) denkleminde şu tanımlar kullanılmıştır.

[

𝛹4∗

𝛹5∗

𝛹6∗] = [

𝑐11 𝑐12 𝑐13𝑐21 𝑐22 𝑐23𝑐31 𝑐32 𝑐33

] [𝛹4𝛹5𝛹6

] (4.7.104)

[

𝑚141 𝑚142 𝑚143𝑚251 𝑚252 𝑚253𝑚361 𝑚362 𝑚363

] = [

𝑐11 𝑐12 𝑐13𝑐21 𝑐22 𝑐23𝑐31 𝑐32 𝑐33

] [

𝑚7𝑋71 𝑚7𝑋72 𝑚7𝑋73𝑚7𝑌71 𝑚7𝑌72 𝑚7𝑌73𝐽7𝐺71 𝐽7𝐺72 𝐽7𝐺73

] (4.7.105)

[

𝑐11 𝑐12 𝑐13𝑐21 𝑐22 𝑐23𝑐31 𝑐32 𝑐33

] = [


−𝑠(𝜃4 − 𝜃7) −𝑠(𝜃5 − 𝜃7) 𝑠(𝜃6 − 𝜃7)]

−1

(4.7.106)

92

(4.7.103) denklemi yerine konulunca (4.7.100) denklemi şu şekli alır.

[

𝑚1 +𝑚141𝑐𝜃4 𝑚142𝑐𝜃4 𝑚143𝑐𝜃4𝑚251𝑐𝜃5 𝑚2 +𝑚252𝑐𝜃5 𝑚253𝑐𝜃5𝑚361𝑐𝜃6 𝑚362𝑐𝜃6 𝑚3 +𝑚363𝑐𝜃6

] [��1��2��3

] = [

𝛹1 +𝛹4∗𝑐𝜃4



] (4.7.107)

(4.7.107) denkleminin sol tarafındaki katsayı matrisi, manipülatörün kayar uzuvlarıyla eyletimine

göre tanımlanmış olan kütle matrisidir. Öte yandan, Bölüm 5'teki kinetik enerji ifadesinde de

görüleceği gibi, bir mekanik sistemin kütle matrisi, pozitif belirlidir ve hiç bir zaman tekil olmaz.

Dolayısıyla, kütle matrisinin tersi alınarak istenen türevsel denklemler aşağıdaki gibi topluca elde

edilebilir.

[

��1��2��3

] = [

𝑚1 +𝑚141𝑐𝜃4 𝑚142𝑐𝜃4 𝑚143𝑐𝜃4𝑚251𝑐𝜃5 𝑚2 +𝑚252𝑐𝜃5 𝑚253𝑐𝜃5𝑚361𝑐𝜃6 𝑚362𝑐𝜃6 𝑚3 +𝑚363𝑐𝜃6

]

−1

[




] (4.7.108)

Türevsel denklemler yukarıda anlatılan biçimde elde edildikten sonra, 𝑡 = 𝑡0 iken bilinen

başlangıç değerleri (𝑠𝑘∘ , ��𝑘

∘ : 𝑘 = 1, 2, 3) ve uygun bir sayısal yöntem kullanılarak tümlevlenebilir.

Böylece, manipülatörün eyletim kuvvetleri ile işlem aygıtına uygulanan dış kuvvet ve momentin

etkisi altında nasıl hareket edeceği bulunabilir.

Yan ürün olarak, (4.7.103) denklemi ile (4.7.50) – (4.7.52) denklemleri de, eklem tepki

kuvvetlerinin tümünü (𝐹14, 𝐹25, 𝐹36; 𝑁01, 𝑁02, 𝑁03) verir.

93

BÖLÜM 5

DÜZLEMSEL MEKANİZMALARIN HAREKET DENKLEMİ

M. Kemal Özgören

5.1. Bir Katı Cismin Düzlemsel Hareketi

Şekil 5.1.1: Düzlemsel Hareket Yapan Bir Katı Cisim

Şekil 5.1.1'de genel bir düzlemsel hareket (ötelenme ve dönme) yapan bir katı cisim

görülmektedir. Bu cismin seçilen bir ℱ𝑜(𝑂) gözlem eksen takımına göre konumu (yeri ve

yönelimi) aşağıdaki vektörlerle temsil edilebilir.

𝑟 = 𝑟 𝐶 = 𝑟 𝐶/𝑂 = 𝑟 𝑂𝐶 = 𝑂𝐶 (5.1.1)

𝑟 = �� 1(𝑜)𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑦 (5.1.2)

�� 1(𝑏)= �� 1

(𝑜)cos 𝜃 + �� 2

(𝑜)sin 𝜃 = �� (𝜃) (5.1.3)

�� 2(𝑏)= �� 2

(𝑜)cos 𝜃 − �� 1

(𝑜)sin 𝜃 = �� ′(𝜃) = �� (𝜃 + 𝜋/2) (5.1.4)

Söz konusu katı cismin ötelenme hızı ve ivmesi için aşağıdaki gösterimler kullanılabilir.

𝑣 = 𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐶/𝑂 = 𝑣 𝐶/ℱ𝑜(𝑂) = 𝑑𝑜𝑟 𝐶/𝑂/𝑑𝑡 = �� 1(𝑜)𝑣𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑣𝑦 = �� 1

(𝑜)�� + �� 2

(𝑜)�� (5.1.5)

𝑎 = 𝑎 𝐶 = 𝑎 𝐶/𝑂 = 𝑎 𝐶/ℱ𝑜(𝑂) = 𝑑𝑜𝑣 𝐶/𝑂/𝑑𝑡 = �� 1(𝑜)𝑎𝑥 + �� 2

(𝑜)𝑎𝑦 = �� 1

(𝑜)�� + �� 2

(𝑜)�� (5.1.6)

Burada, 𝑑𝑜𝑝 /𝑑𝑡 simgesi, 𝑝 vektörünün ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre alınan bağıl türevini

göstermektedir. Bu türev işlemine göre, 𝑑𝑜�� 1(𝑜)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜�� 2

(𝑜)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑜�� 3

(𝑜)/𝑑𝑡 = 0 olur.

94

Aynı katı cismin açısal hızı ve ivmesi ise, şöyle ifade edilebilir.

�� = �� 𝑏 = �� 𝑏/𝑜 = �� 3(𝑜)𝜔 = �� 3

(𝑜)�� (5.1.7)

𝛼 = 𝛼 𝑏 = 𝛼 𝑏/𝑜 = 𝑑𝑜�� 𝑏/𝑜/𝑑𝑡 = �� 3(𝑜)𝛼 = �� 3

(𝑜)�� (5.1.8)

Düzlemsel mekanizmaların hareketini belirlemeye yönelik türevsel denklemler, bir önceki

"Düzlemsel Mekanizmaların Kuvvet Analizi" başlıklı Bölüm 4'te de elde edilmişlerdi. Ne var ki,

Bölüm 4'teki türevsel denklemler, kuvvet analizinin devinimsel türünün bir sonucu olarak ister

istemez eklem tepki kuvvetlerinin ve momentlerinin bileşenleriyle birlikte elde edilmişlerdi.

Oysa, asıl amacın yalnızca hareket analizi olduğu bir çok çalışmada, eklem tepki kuvvetlerinin ve

momentlerinin belirlenmesine ihtiyaç duyulmaz. Dolayısıyla, eklem tepki kuvvetlerini ve

momentlerini atlayarak doğrudan doğruya türevsel denklemleri veren bir yöntem tercih edilebilir.

Böyle bir yöntem, doğal olarak iş-enerji ilişkilerinden kaynaklanır. Çünkü, eklem tepki

kuvvetlerinin ve momentlerinin katı cisimlerden oluşan bir mekanizma üzerinde yaptıkları net iş

sıfır olur. Böylece, eklem tepki kuvvetlerini ve momentlerini işin içine katmadan hareket

denklemlerini (yani harekete ilişkin türevsel denklemleri) elde etmek mümkün olur. Hareket

denklemlerinin bu şekilde elde edilişi, bu bölümün aşağıdaki kısımlarında anlatılmıştır.

5.2. Bir Katı Cismin Kinetik Enerjisi

Genel bir düzlemsel hareket yapan bir katı cismin kinetik enerjisi, ℱ𝑜(𝑂) gözlem eksen takımının

ataletsel olduğu varsayımıyla, ötelenme ve dönme hareketlerine bağlı olarak şöyle ifade edilir.

𝐾 =1

2𝑚𝑣𝐶

2 +1

2𝐽𝐶𝜔

2 =1

2𝑚(𝑣 𝐶 ∙ 𝑣 𝐶) +

1

2𝐽𝐶𝜔

2 (5.2.1)

Yukarıdaki ifadede, katı cismin kütlesi 𝑚 simgesiyle, kütle merkezi (𝐶) etrafındaki atalet

momenti ise 𝐽𝐶 simgesiyle gösterilmiştir.

Bazı durumlarda, cismin kinetik enerjisi ifade edilirken kütle merkezi yerine cismin bir başka

noktasını kullanmak tercih edilebilir. Böyle bir durumda, seçilen nokta 𝐵 ise, kinetik enerji

aşağıda açıklanan biçimde ifade edilebilir.

𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐶/𝑂 = 𝑣 𝐶/𝐵 + 𝑣 𝐵/𝑂 = �� × 𝑟 𝐶/𝐵 + 𝑣 𝐵/𝑂 = �� × 𝑟 𝐵𝐶 + 𝑣 𝐵

𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐵 + [�� 3(𝑏)𝜔] × [�� 1

(𝑏)𝑥𝐵𝐶 + �� 2

(𝑏)𝑦𝐵𝐶]

𝑣 𝐶 = [�� 1(𝑜)��𝐵 + �� 2

(𝑜)��𝐵] + 𝜔[�� 2

(𝑏)𝑥𝐵𝐶 − �� 1

(𝑏)𝑦𝐵𝐶]

𝑣 𝐶 = �� 1(𝑜)(��𝐵 − 𝜔𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝜔𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃) + �� 2

(𝑜)(��𝐵 + 𝜔𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃 − 𝜔𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃) (5.2.2)

𝑣 𝐶 ∙ 𝑣 𝐶 = (��𝐵 − 𝜔𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝜔𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃)2 + (��𝐵 + 𝜔𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃 − 𝜔𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃)

2

𝑣 𝐶 ∙ 𝑣 𝐶 = ��𝐵2 + ��𝐵

2 + 𝜔2(𝑥𝐵𝐶2 + 𝑦𝐵𝐶

2 )

−2𝜔[(𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 + 𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵 + (𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵]

𝑣 𝐶 ∙ 𝑣 𝐶 = 𝑣𝐵2 + 𝜔2𝑟𝐵𝐶

2 − 2𝜔[(𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 + 𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵 + (𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵] (5.2.3)

95

𝐾 =1

2𝑚𝑣𝐵

2 +1

2(𝐽𝐶 +𝑚𝑟𝐵𝐶

2 )𝜔2 −𝑚𝜔[(𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 + 𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵 + (𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵]

𝐾 =1

2𝐽𝐵𝜔

2 +1

2𝑚𝑣𝐵

2 − 𝑚𝜔[(𝑥𝐵𝐶𝑠𝜃 + 𝑦𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵 + (𝑦𝐵𝐶𝑠𝜃 − 𝑥𝐵𝐶𝑐𝜃)��𝐵] (5.2.4)

(5.2.4) denkleminde, 𝑣𝐵 ve 𝐽𝐵 şöyle tanımlanmışlardır.

𝑣𝐵 = √��𝐵2 + ��𝐵

2 (5.2.5)

𝐽𝐵 = 𝐽𝐶 +𝑚𝑟𝐵𝐶2 = 𝐽𝐶 +𝑚𝑟𝐶𝐵

2 (5.2.6)

Eğer 𝐵 noktası, ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına göre sabitse, kinetik enerji ifadesi için özellikle kullanışlı

bir nokta olur. Çünkü, sabit bir nokta için ��𝐵 = ��𝐵 = 0 olur ve (5.2.4) denklemi kinetik enerjiyi

aşağıdaki epeyce basitleşmiş ifadeyle verir.

𝐾 =1

2𝐽𝐵𝜔

2 (5.2.7)

5.3. Düzlemsel Bir Mekanizmaya Ait Enerji ve İş İfadeleri

5.3.1. Mekanizmanın Kinetik Enerjisi

Hareketli uzuv sayısı 𝑛 olan düzlemsel bir mekanizmanın kinetik enerjisi, aşağıdaki denklemle

ifade edilir.

𝐾 =1

2∑ (𝑚𝑘𝑣𝑘

2 + 𝐽𝑘𝜔𝑘2)𝑛

𝑘=1 =1

2∑ [𝑚𝑘(𝑣 𝑘 ∙ 𝑣 𝑘) + 𝐽𝑘𝜔𝑘

2]𝑛𝑘=1 (5.3.1)

(5.3.1) denklemi, şu tanımları içermektedir.

𝑚𝑘 : 𝐿𝑘 uzvunun kütlesi

𝐽𝑘 : 𝐿𝑘 uzvunun kütle merkezi (𝐶𝑘) etrafındaki atalet momenti

𝑣 𝑘 : 𝐿𝑘 uzvunun kütle merkezinin ℱ𝑜(𝑂) ataletsel eksen takımına göre hızı

𝜔𝑘 : 𝐿𝑘 uzvunun ℱ𝑜(𝑂) ataletsel eksen takımına göre açısal hızı

Eğer söz konusu mekanizmanın serbestlik derecesi 𝑚 ise, mekanizmanın herhangi bir 𝑡 anındaki

duruşu, 𝑚 adet bağımsız konum değişkeni (𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑚) kullanılarak belirlenebilir. Bu

değişkenler için genelleştirilmiş koordinatlar deyimi de kullanılmaktadır. Bir mekanizma için

genelleştirilmiş koordinatlar, şart olmamakla birlikte, genellikle eyletimli eklem değişkenleri

olarak seçilir.

Öte yandan, mekanizma için yapılan hız analizi sonucunda, uzuvların kütle merkezi hızları ve

açısal hızları, hız etki katsayıları aracılığı ile genelleştirilmiş hızlara (yani genelleştirilmiş

koordinatların türevlerine) aşağıdaki eşitliklerle bağlanabilir.

𝑣 𝑘 = ∑ �� 𝑘𝑖��𝑖𝑚𝑖=1 = ∑ �� 𝑘𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 (5.3.2)

𝜔𝑘 = ∑ 𝛺𝑘𝑖��𝑖𝑚𝑖=1 = ∑ 𝛺𝑘𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 (5.3.3)

96

Yukarıdaki eşitlikler, mekanizma eyletimli eklemlerine göre devinimsel tekil duruşlarından

birinde değilse geçerlidir. Çünkü, hız etki katsayıları, önceki bölümlerde görüldüğü gibi,

devinimsel tekil duruşlarda sınırsızca büyür ve tanımsızlaşırlar. Söz konusu eşitlikler, (5.3.1)

denkleminde yerine konunca, kinetik enerji için aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

𝐾 =1

2∑ 𝑚𝑘(∑ �� 𝑘𝑖��𝑖

𝑚𝑖=1 ) ∙ (∑ �� 𝑘𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 )𝑛

𝑘=1 +1

2∑ 𝐽𝑘(∑ 𝛺𝑘𝑖��𝑖

𝑚𝑖=1 )(∑ 𝛺𝑘𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 )𝑛

𝑘=1

𝐾 =1

2∑ ∑ [∑ (𝑚𝑘�� 𝑘𝑖 ∙ �� 𝑘𝑗 + 𝐽𝑘𝛺𝑘𝑖𝛺𝑘𝑗)

𝑛𝑘=1 ]𝑚

𝑗=1 ��𝑖��𝑗𝑚𝑖=1

𝐾 =1

2∑ ∑ 𝑀𝑖𝑗

𝑚𝑗=1

𝑚𝑖=1 ��𝑖��𝑗 (5.3.4)

(5.3.4) denklemi, matris gösterimleri kullanılarak şöyle de yazılabilir.

𝐾 =1

2��𝑡�� (5.3.5)

(5.3.5) denklemindeki 𝑚 ×𝑚 boyutlu �� matrisi, genelleştirilmiş kütle matrisi olarak adlandırılır.

Yukarıda görüldüğü gibi, �� matrisinin 𝑀𝑖𝑗 elemanı, hız etki katsayılarına bağlı olarak şöyle

tanımlanmıştır.

𝑀𝑖𝑗 = ∑ (𝑚𝑘�� 𝑘𝑖 ∙ �� 𝑘𝑗 + 𝐽𝑘𝛺𝑘𝑖𝛺𝑘𝑗)𝑛𝑘=1 (5.3.6)

Hız etki katsayıları, yalnızca mekanizmanın �� dikeysıra matrisiyle temsil edilen duruşuna bağlı

oldukları için, �� matrisi de öyledir. Yani,

�� = ��(��) (5.3.7)

Öte yandan, (5.3.6) denklemi, 𝑀𝑗𝑖 = 𝑀𝑖𝑗 olduğunu, yani �� matrisinin simetrik olduğunu

göstermektedir.

�� matrisinin (5.3.5) denklemiyle ifade edilmiş olan bir başka önemli özelliği de, pozitif belirli

olması, yani tekil olmamasıdır. Çünkü, �� = 0 olmadığı sürece, 𝐾 > 0 olur. Bununla birlikte,

mekanizma �� eyletimine göre devinimsel tekil duruşlarından birine girecek olursa, hız etki

katsayıları ve dolayısıyla da �� matrisinin elemanları sınırsızca büyük değerler alır.

5.3.2. Mekanizmaya Ait Genelleştirilmiş Momentumlar

Genelleştirilmiş koordinatlardan her biri için ayrı bir genelleştirilmiş momentum tanımlanır. Bu

tanım, kinetik enerjiye bağlı olarak şöyle yapılır.

𝜇𝑘 = 𝜕𝐾/𝜕��𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑚 (5.3.8)

(5.3.4) denklemine göre, 𝜇𝑘 şöyle ifade edilir.

𝜇𝑘 = ∑ 𝑀𝑘𝑗𝑚𝑗=1 ��𝑗 (5.3.9)

(5.3.9) denklemi ise, aşağıdaki matris denkleminin 𝑘-yinci elemanını oluşturur.

�� = �� (5.3.10)

97

5.3.3. Mekanizmanın Potansiyel Enerjisi

Mekanizmanın esnek elemanlar içermediği varsayılırsa, yalnızca yerçekimine bağlı olarak

edinmiş olduğu potansiyel enerji, genel olarak şöyle ifade edilir.

𝑈 = −∑ 𝑚𝑘𝑔 𝑛𝑘=1 ∙ 𝑟 𝑘 (5.3.11)

(5.3.11) denkleminde, 𝑔 vektörü yerçekimi ivmesini, 𝑟 𝑘 = 𝑟 𝑂𝐶𝑘 vektörü ise 𝐿𝑘 uzvunun kütle

merkezinin ℱ𝑜(𝑂) ataletsel eksen takımına göre konumunu göstermektedir.

Eğer mekanizma, düşey bir düzleme parallel kalarak çalışıyorsa ve ℱ𝑜(𝑂) eksen takımının �� 2(𝑜)

birim vektörü yeryüzünden yukarıya doğru yöneltilmişse, (5.3.11) denklemi, aşağıdaki

alışılagelmiş biçimde yazılabilir.

𝑔 = −𝑔�� 2(𝑜)

, 𝑟 𝑘 = 𝑥𝑘�� 1(𝑜)+ 𝑦𝑘�� 2

(𝑜)

𝑈 = ∑ 𝑚𝑘𝑔𝑦𝑘𝑛𝑘=1 (5.3.12)

5.3.4. Mekanizmaya Ait Genelleştirilmiş Yerçekimi Kuvvetleri

Genelleştirilmiş yerçekimi kuvvetlerinin her biri, bir geneleştirilmiş koordinata karşılık gelmek

üzere şöyle tanımlanır.

𝑊𝑘 = 𝜕𝑈/𝜕𝑞𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑚 (5.3.13)

(5.3.11) denklemine göre,

𝑊𝑘 = −∑ 𝑚𝑗𝑔 𝑛𝑗=1 ∙ (𝜕𝑟 𝑗/𝜕𝑞𝑘) (5.3.14)

Öte yandan, (𝑑𝑜/𝑑𝑡) ve (𝜕𝑜/𝜕𝑞𝑘) gibi ℱ𝑜(𝑂) eksen takımına bağıl türev işleçleri kısaca (𝑑/𝑑𝑡)

ve (𝜕/𝜕𝑞𝑘) simgeleriyle gösterilerek 𝑣 𝑗 ile 𝑟 𝑗 vektörleri arasındaki ilişki şöyle yazılabilir.

𝑣 𝑗 = 𝑑𝑟 𝑗/𝑑𝑡 = ∑ (𝜕𝑟 𝑗/𝜕𝑞𝑘)��𝑘𝑚𝑘=1 = ∑ �� 𝑗𝑘��𝑘

𝑚𝑘=1 (5.3.15)

Bu arada, �� 𝑗𝑘 hız etki katsayısının (5.3.2) denklemindeki tanımı anımsanacak olursa,

𝑣 𝑗 = ∑ �� 𝑗𝑘��𝑘𝑚𝑘=1 (5.3.16)

(5.3.15) ve (5.3.16) denklemleri karşılaştırılınca, aşağıdaki eşitlikler ortaya çıkar.

�� 𝑗𝑘 = 𝜕𝑟 𝑗/𝜕𝑞𝑘 = 𝜕𝑣 𝑗/𝜕��𝑘 = �� 𝑗𝑘 (5.3.17)

Böylece, eğer mekanizma devinimsel tekil duruşlarından birinde değilse (yani �� 𝑗𝑘 tanımlıysa),

genelleştirilmiş yerçekimi kuvvetleri, hız etki katsayılarına bağlı olarak şöyle ifade edilebilir.

𝑊𝑘 = −∑ 𝑚𝑗𝑔 𝑛𝑗=1 ∙ �� 𝑗𝑘 = −∑ 𝑚𝑗𝑔

𝑛𝑗=1 ∙ �� 𝑗𝑘 (5.3.18)

Eğer 𝑔 = −𝑔�� 2(𝑜)

ise, 𝑊𝑘 için aşağıdaki daha özel ifade kullanılabilir.

𝑊𝑘 = ∑ (𝑚𝑗𝑔)𝑛𝑗=1 [�� 2

(𝑜)∙ �� 𝑗𝑘] = ∑ (𝑚𝑗𝑔)

𝑛𝑗=1 𝑉𝑗𝑘𝑦 = ∑ (𝑚𝑗𝑔)

𝑛𝑗=1 𝑌𝑗𝑘 (5.3.19)

98

5.3.5. Mekanizmaya Ait Genelleştirilmiş Eyletim Kuvvetleri

Eğer genelleştirilmiş koordinatlar olarak eyletimli eklem değişkenleri alınırsa ve bu eklem

değişkenleri eyletilen uzuvların mutlak konum değişkenleri olarak sabit referanslara göre

tanımlanmışlarsa, onlara karşılık gelen genelleştirilmiş eyletim kuvvetleri (𝑄1∗, 𝑄2

∗, … , 𝑄𝑚∗ ), ilgili

eyleticilerin mekanizmaya aktardıkları eyletim gücü (𝒫∗) göz önüne alınarak 𝑘 = 1, 2, … ,𝑚 için

aşağıda açıklanan biçimde elde edilirler.

𝒫∗ = ∑ 𝑄𝑘��𝑘/𝑙𝑘𝑚𝑘=1 = ∑ 𝑄𝑘(��𝑘 − ��𝑙𝑘)

𝑚𝑘=1 = ∑ 𝑄𝑘(��𝑘 − ∑ 𝐺𝑙𝑘𝑖��𝑖

𝑚𝑖=1 )𝑚

𝑘=1

𝒫∗ = ∑ 𝑄𝑘��𝑘𝑚𝑘=1 − ∑ ∑ 𝑄𝑘

𝑚𝑖=1 𝐺𝑙𝑘𝑖��𝑖

𝑚𝑘=1 = ∑ 𝑄𝑘��𝑘

𝑚𝑘=1 − ∑ ∑ 𝑄𝑖

𝑚𝑘=1 𝐺𝑙𝑖𝑘��𝑘

𝑚𝑖=1

𝒫∗ = ∑ (𝑄𝑘 − ∑ 𝑄𝑖𝑚𝑖=1 𝐺𝑙𝑖𝑘)��𝑘

𝑚𝑘=1 = ∑ 𝑄𝑘

∗ ��𝑘𝑚𝑘=1

𝑄𝑘∗ = 𝑄𝑘 − ∑ 𝐺𝑙𝑖𝑘𝑄𝑖

𝑚𝑖=1 (5.3.20)

(5.3.20) denklemindeki 𝑄𝑘 simgesi, 𝐿𝑙𝑘 ile 𝐿𝑘 uzuvları arasındaki 𝑘 sayılı eyleticinin, dönel ya da

doğrusal oluşuna göre, 𝐿𝑘 uzvuna uyguladığı eyletim torkunu ya da kuvvetini göstermektedir.

Tabii, aynı eyletici, 𝐿𝑙𝑘 uzvuna da aynı torku ya da kuvveti ters yönde uygular. Bununla birlikte,

𝐿𝑙𝑘 uzvuna ait mutlak konum değişkeni olan 𝑝𝑙𝑘 değişkeninin eyletimli eklem değişkenleri

arasında olması gerekmez. Bu nedenle, yukarıdaki denklemlerde, ��𝑙𝑘 türevi, 𝐺𝑙𝑘𝑖 gibi ilgili hız

etki katsayıları aracılığıyla eyletimli eklem değişkeni türevlerine bağlı olarak ifade edilmiştir.

Öte yandan, eğer 𝑞𝑘 eyletimli eklem değişkeni, 𝑞𝑘 = 𝑞𝑘/𝑙𝑘 = 𝑞𝑙𝑘𝑘 biçiminde 𝐿𝑙𝑘 uzvuna bağıl

olarak tanımlanmışsa, ki burada 𝐿𝑙𝑘 = 𝐿0 olabilir, 𝐿𝑙𝑘 ile 𝐿𝑘 uzuvları arasındaki eyleticinin

eyletim gücüne katkısı 𝒫𝑘∗ = 𝑄𝑘��𝑘/𝑙𝑘 = 𝑄𝑘��𝑘 olur. Bu durumda, 𝑄𝑘

∗ basitçe şöyle elde edilir.

𝑄𝑘∗ = 𝑄𝑘 (5.3.21)

Yukarıda bahsedilen mutlak tanımlı ve bağıl tanımlı eklem değişkenleri kullanımını yansıtan iki

örnek Şekil 5.3.1'de gösterilmiştir. Bu örneklerde de görüldüğü gibi, özellikle düzlemsel

mekanizmalara özgü bir uygulama olarak, mutlak tanımlama genellikle açısal eklem değişkenleri

için; bağıl tanımlama ise genellikle doğrusal eklem değişkenleri için kullanılır.

Şekil 5.3.1. Genelleştirilmiş Eyletim Kuvvetlerinin Oluşumu

1

2

0

01

12 1

1 2

2

1∗ = 1 − 2 ; 2

∗ = 2

= ′

∗ =

= / =

99

Şekil 5.3.1'in solunda ve sağında görülen örnek sistemler için güç ifadelerinin yazılışı ve bu

ifadelerden genelleştirilmiş eyletim kuvvetlerinin elde edilişi aşağıda gösterilmiştir.

𝒫so ∗ = 𝑇1��1/0 + 𝑇2��2/1 = 𝑇1��1 + 𝑇2(��2 − ��1) = (𝑇1 − 𝑇2)��1 + 𝑇2��2

𝒫so ∗ = 𝑄1

∗��1 + 𝑄2∗��2 𝑄1

∗ = 𝑇1 − 𝑇2 , 𝑄2∗ = 𝑇2

𝒫sağ∗ = 𝐹𝑘 ��𝑘/𝑗 = 𝐹𝑘��𝑘 = 𝑄𝑘

∗ ��𝑘 𝑄𝑘∗ = 𝐹𝑘

Yukarıdaki açıklamalar toparlanacak olursa, genelleştirilmiş eyletim kuvvetleri ile gerçek eyletim

kuvvetleri ve torkları, genel olarak aşağıda gösterilen biçimde ilişkilendirilebilirler.

𝑄𝑘∗ = ∑ 𝐸𝑘𝑗𝑄𝑗

𝑚𝑗=1 ; 𝑘 = 1, 2, … ,𝑚 (5.3.22)

(5.3.22) denklem kümesindeki 𝐸𝑘𝑗 katsayısı, eyletim etki katsayısı olarak adlandırılır. (5.3.20)

tanım denklemine göre ise, 𝐸𝑘𝑗 katsayısı, hız etki katsayıları cinsinden ifade edilebilmektedir.

Dolayısıyla, onlar gibi yalnızca mekanizmanın duruşuna bağlıdır. Yani, 𝐸𝑘𝑗 = 𝐸𝑘𝑗(��). Bu arada,

(5.3.22) denklem kümesi, aşağıdaki matris denklemi biçiminde de yazılabilir.

��∗ = ��(��)�� (5.3.23)

(5.3.23) denklemindeki ��(��) matrisi ise, eyletim etki matrisi olarak adlandırılır.

5.3.6. Mekanizmaya Ait Genelleştirilmiş Dış Kuvvetler

Mekanizmanın 𝐿𝑖 uzvuna, kütle merkezinde ve etrafında 𝐹 𝑖∘ dış kuvveti ve 𝑀𝑖

∘ dış momenti

etkiyor olabilir. Böyle bir durumda, tüm uzuvlara etkiyen dış kuvvet ve momentlerin

mekanizmaya aktardıkları güç (𝒫∘) şöyle ifade edilebilir.

𝒫∘ = ∑ (𝐹 𝑖∘ ∙ 𝑣 𝑖 +𝑀𝑖

∘𝜔𝑖)𝑛𝑖=1 (5.3.24)

Öte yandan, eğer mekanizma devinimsel tekil duruşlarından birinde değilse (yani hız etki

katsayıları tanımlıysa), (5.3.2) ve (5.3.3) denklemleri kullanılarak (5.3.24) denklemi, hız etki

katsayıları aracılığı ile şöyle de yazılabilir.

𝒫∘ = ∑ [𝐹 𝑖∘ ∙ (∑ �� 𝑖𝑘��𝑘

𝑚𝑘=1 ) + 𝑀𝑖

∘(∑ 𝛺𝑖𝑘��𝑘𝑚𝑘=1 )]𝑛

𝑖=1

𝒫∘ = ∑ [∑ (𝐹 𝑖∘ ∙ �� 𝑖𝑘 +𝑀𝑖

∘𝛺𝑖𝑘)𝑛𝑖=1 ]��𝑘

𝑚𝑘=1 = ∑ 𝑄𝑘

∘ ��𝑘𝑚𝑘=1 (5.3.25)

(5.3.25) denklemine göre, mekanizmanın ��𝑘 genelleştirilmiş hızına karşılık gelen ve 𝑄𝑘∘

simgesiyle gösterilen geneleştirilmiş dış kuvvet, aşağıdaki denklemle tanımlanır. Bu kuvvet, dış

kuvvet ve momentlerin hep birlikte 𝑞𝑘 eyletimli eklem değişkenini nasıl etkilediğini gösterir.

𝑄𝑘∘ = ∑ (𝐹 𝑖

∘ ∙ �� 𝑖𝑘 +𝑀𝑖∘𝛺𝑖𝑘)

𝑛𝑖=1 (5.3.26)

100

5.3.7. Mekanizmaya Ait Genelleştirilmiş Sürtünme Kuvvetleri

Mekanizmanın eklemlerinde yağlama sıvısından kaynaklanan viskoz sürtünme bulunabilir. Bu

sürtünmelerden kaynaklanan güç kaybı (𝒫′) şöyle ifade edilebilir.

𝒫′ = ∑ (−𝛾𝑗′��𝑗)��𝑗

𝑛′

𝑗=0 + ∑ ∑ [−𝛾𝑖𝑙∘ (��𝑙 − ��𝑖)](��𝑙 − ��𝑖)

𝑛°𝑙=0

𝑛°𝑖=0

𝒫′ = −∑ 𝛾𝑗′��𝑗2𝑛′

𝑗=0 − ∑ ∑ 𝛾𝑖𝑙∘ (��𝑙 − ��𝑖)

2𝑛°𝑙=0

𝑛°𝑖=0 (5.3.27)


𝑛° : mutlak tanımlı eklem değişkenlerinin sayısı

𝑛′ : bağıl tanımlı eklem değişkenlerinin sayısı

𝑝𝑗 : bağıl tanımlı eklem değişkenlerinden biri

𝑝𝑙 : mutlak tanımlı eklem değişkenlerinden biri

𝑝𝑖 : mutlak tanımlı eklem değişkenlerinden bir diğeri

𝛾𝑗′ : bağıl tanımlı ��𝑗 eklem hızına karşı oluşan viskoz sürtünme katsayısı

𝛾𝑖𝑙∘ : mutlak tanımlı ��𝑙 ve ��𝑖 eklem hızlarının (��𝑙 − ��𝑖) farkına karşı oluşan viskoz

sürtünme katsayısı

Tabii, eğer ��𝑙 ile ��𝑖 arasında sürtünme etkileşimi yoksa, doğal olarak 𝛾𝑖𝑙∘ = 0 olur.

Öte yandan, ℎ = 𝑗, 𝑖, 𝑙 olmak üzere, ��ℎ ile ��𝑘 arasında, ��ℎ genelleştirilmiş hızlardan biri değilse,

eklemlerarası hız etki katsayıları aracılığıyla sağlanan aşağıdaki ilişki vardır. Eğer mekanizma

devinimsel tekil duruşlarından birinde değilse geçerli olan bu ilişkinin ayrıntıları Bölüm 2'de

görülebilir.

��ℎ = ∑ 𝐺ℎ𝑘��𝑘𝑚𝑘=1 ; 𝐺ℎ𝑘 = 𝐺ℎ𝑘(��) (5.3.28)

(5.3.28) denklemi yerine konarak (5.3.27) denklemi şöyle yazılabilir.

𝒫′ = −∑ 𝛾𝑗′(∑ 𝐺𝑗𝑟��𝑟

𝑚𝑟=1 )(∑ 𝐺𝑗𝑠��𝑠

𝑚𝑠=1 )𝑛′

𝑗=0

−∑ ∑ 𝛾𝑖𝑙∘ (∑ 𝐺𝑙𝑟��𝑟

𝑚𝑟=1 − ∑ 𝐺𝑖𝑟��𝑟

𝑚𝑟=1 )(∑ 𝐺𝑙𝑠��𝑠

𝑚𝑠=1 − ∑ 𝐺𝑖𝑠��𝑠

𝑚𝑠=1 )𝑛°

𝑙=0𝑛°𝑖=0

𝒫′ = −∑ ∑ [∑ 𝛾𝑗′𝑛′

𝑗=0 𝐺𝑗𝑟𝐺𝑗𝑠]𝑚𝑠=1

𝑚𝑟=1 ��𝑟��𝑠

−∑ ∑ [∑ ∑ 𝛾𝑖𝑙∘𝑛°

𝑙=0𝑛°𝑖=0 (𝐺𝑙𝑟𝐺𝑙𝑠 + 𝐺𝑖𝑟𝐺𝑖𝑠 − 𝐺𝑙𝑟𝐺𝑖𝑠 − 𝐺𝑖𝑟𝐺𝑙𝑠)]

𝑚𝑠=1

𝑚𝑟=1 ��𝑟��𝑠

𝒫′ = −∑ ∑ 𝛾𝑟𝑠𝑚𝑠=1

𝑚𝑟=1 ��𝑟��𝑠 (5.3.29)

(5.3.29) denklemi, mekanizmanın tüm eklemlerindeki sürtünmeleri sanki yalnızca eyletimli

eklem hızlarına yönelmiş gibi göstermektedir. Bu gösterimdeki genelleştirilmiş sürtünme

katsayıları, 𝑟 = 1,… ,𝑚 ve 𝑠 = 1,… ,𝑚 için şöyle tanımlanmıştır.

𝛾𝑟𝑠 = ∑ 𝛾𝑗′𝑛′

𝑗=0 𝐺𝑗𝑟𝐺𝑗𝑠 + ∑ ∑ 𝛾𝑖𝑙∘𝑛°

𝑙=0𝑛°𝑖=0 (𝐺𝑙𝑟𝐺𝑙𝑠 + 𝐺𝑖𝑟𝐺𝑖𝑠 − 𝐺𝑙𝑟𝐺𝑖𝑠 − 𝐺𝑖𝑟𝐺𝑙𝑠) (5.3.30)

101

Bu arada, (5.3.29) denklemi şöyle de yazılabilir.

𝒫′ = −∑ (∑ 𝛾𝑟𝑠𝑚𝑠=1

𝑚𝑟=1 ��𝑠)��𝑟 = ∑ 𝑄𝑟

′ ��𝑟𝑚𝑟=1 (5.3.31)

(5.3.31) denklemine göre, ��𝑟 genelleştirilmiş hızına karşılık gelen 𝑄𝑟′ genelleştirilmiş sürtünme

kuvveti şöyle tanımlanır.

𝑄𝑟′ = −∑ 𝛾𝑟𝑠��𝑠

𝑚𝑠=1 ; 𝑟 = 1, 2, … ,𝑚 (5.3.32)

(5.3.30) denklemindeki 𝛾𝑟𝑠 katsayısı, hız etki katsayıları cinsinden ifade edildiği için onlar gibi

yalnızca mekanizmanın duruşuna bağlıdır. Yani, 𝛾𝑟𝑠 = 𝛾𝑟𝑠(��). Bu husus da göz önüne alınarak

(5.3.32) denklem kümesi, topluca aşağıdaki matris denklemi biçiminde yazılabilir.

��′ = −��(��)�� (5.3.33)

(5.3.33) denklemindeki ��(��) matrisi ise, genelleştirilmiş sürtünme matrisi olarak adlandırılır.

5.4. Mekanizmaya Ait Hareket Denklemleri

Önceki kısımdaki enerji ve iş ifadeleri oluşturulduktan sonra, mekanizmaya ait hareket

denklemleri, aşağıda yazılan Lagrange Denklemleri biçiminde elde edilebilir.

𝑑(𝜕𝐾/𝜕��𝑘)/𝑑𝑡 − 𝜕𝐾/𝜕𝑞𝑘 + 𝜕𝑈/𝜕𝑞𝑘 = 𝑄𝑘∗ + 𝑄𝑘

′ + 𝑄𝑘∘ ; 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑚 (5.4.1)

Daha önce tanımlanmış olan genelleştirilmiş momentum (𝜇𝑘 = 𝜕𝐾/𝜕��𝑘) ve genelleştirilmiş

yerçekimi kuvveti (𝑊𝑘 = 𝜕𝑈/𝜕𝑞𝑘) kullanılarak (5.4.1) denklem kümesi şöyle de yazılabilir.

��𝑘 − 𝜕𝐾/𝜕𝑞𝑘 +𝑊𝑘 = 𝑄𝑘∗ + 𝑄𝑘

′ +𝑄𝑘∘ (5.4.2)

(5.4.2) denklem kümesindeki ��𝑘 ve 𝜕𝐾/𝜕𝑞𝑘 terimlerinin ayrıntılı ifadeleri aşağıda gösterilmiştir.

��𝑘 = 𝑑(∑ 𝑀𝑘𝑗𝑚𝑗=1 ��𝑗)/𝑑𝑡 = ∑ (𝑀𝑘𝑗��𝑗 + ��𝑘𝑗��𝑗)

𝑚𝑗=1

��𝑘 = ∑ 𝑀𝑘𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ [∑ (𝜕𝑀𝑘𝑗

𝑚𝑖=1 /𝜕𝑞𝑖)��𝑖]

𝑚𝑗=1 ��𝑗

��𝑘 = ∑ 𝑀𝑘𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ (𝜕𝑀𝑘𝑗

𝑚𝑖=1 /𝜕𝑞𝑖)

𝑚𝑗=1 ��𝑖��𝑗 (5.4.3)

𝜕𝐾/𝜕𝑞𝑘 =1

2∑ ∑ (𝜕𝑀𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘)

𝑚𝑗=1

𝑚𝑖=1 ��𝑖��𝑗 =

1

2∑ ∑ (𝜕𝑀𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘)

𝑚𝑖=1

𝑚𝑗=1 ��𝑖��𝑗 (5.4.4)

(5.4.3) ve (5.4.4) denklemleri yerine konunca, (5.4.2) denklem kümesi, 𝑘 = 1, 2, … ,𝑚 olmak

üzere, aşağıdaki hareket denklemi kümesine dönüşür.

∑ 𝑀𝑘𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝑁𝑘𝑖𝑗

𝑚𝑖=1

𝑚𝑗=1 ��𝑖��𝑗 +𝑊𝑘 = 𝑄𝑘

∗ + 𝑄𝑘′ + 𝑄𝑘

∘ (5.4.5)

(5.4.5) denklem kümesindeki 𝑁𝑘𝑖𝑗 katsayısı, 𝑀𝑘𝑗 genelleştirilmiş kütle katsayısı'nın kısmi

türevlerine bağlı olarak aşağıda gösterilen biçimde tanımlanmıştır. Bu katsayı, hızlara bağlı

ataletsel terim katsayısı olarak adlandırılır.

𝑁𝑘𝑖𝑗 = 𝜕𝑀𝑘𝑗/𝜕𝑞𝑖 −1

2(𝜕𝑀𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘) (5.4.6)

𝑀𝑘𝑗 = 𝑀𝑘𝑗(��) olduğu için, 𝑁𝑘𝑖𝑗 katsayısı da öyledir. Yani, 𝑁𝑘𝑖𝑗 = 𝑁𝑘𝑖𝑗(��).

102

(5.4.5) denklem kümesi, biraz daha ayrıntılı olarak şöyle de yazılabilir.

∑ 𝑀𝑘𝑗��𝑗𝑚𝑗=1 + ∑ 𝐿𝑘𝑗��𝑗

2𝑚𝑗=1 + ∑ ∑ 𝑆𝑘𝑖𝑗

𝑚𝑗=𝑖+1

𝑚−1𝑖=1 ��𝑖��𝑗 +𝑊𝑘

= ∑ 𝐸𝑘𝑗𝑄𝑗𝑚𝑗=1 − ∑ 𝛾𝑘𝑗��𝑗

𝑚𝑗=1 + 𝑄𝑘

∘ (5.4.7)

Görüldüğü gibi, (5.4.7) denklem kümesi, 𝑁𝑘𝑖𝑗 katsayısı, 𝑗 = 𝑖 ve 𝑗 > 𝑖 için tanımları aşağıda

verilen iki değişik katsayıya ayrıştırılarak yazılmıştır.

𝐿𝑘𝑗 = 𝑁𝑘𝑗𝑗 = 𝜕𝑀𝑘𝑗/𝜕𝑞𝑗 −1

2(𝜕𝑀𝑗𝑗/𝜕𝑞𝑘) (5.4.8)

𝑆𝑘𝑖𝑗 = 𝑁𝑘𝑖𝑗 + 𝑁𝑘𝑗𝑖 = 𝜕𝑀𝑘𝑖/𝜕𝑞𝑗 + 𝜕𝑀𝑘𝑗/𝜕𝑞𝑖 − 𝜕𝑀𝑖𝑗/𝜕𝑞𝑘 (5.4.9)

Bu katsayıları taşıyan terimlerin (5.4.7) denklem kümesindeki görünümlerinden esinlenerek 𝐿𝑘𝑗

katsayısına Merkezkaç Etki Katsayısı; 𝑆𝑘𝑖𝑗 katsayısına ise Coriolis Etki Katsayısı denir.

(5.4.7) denklem kümesi, derleşik olarak aşağıdaki matris denklemi biçiminde de yazılabilir.

��(��)�� + 𝐶(��, ��) + ��(��)�� + ��(��) = ��(��)�� + ��∘(𝑡) (5.4.10)


𝐶(��, ��) = [𝐶1(��, ��)⋮

𝐶𝑚(��, ��)] (5.4.11)

𝐶𝑘 = ∑ ∑ 𝑁𝑘𝑖𝑗𝑚𝑖=1

𝑚𝑗=1 ��𝑖��𝑗 = ∑ 𝐿𝑘𝑗��𝑗

2𝑚𝑗=1 +∑ ∑ 𝑆𝑘𝑖𝑗

𝑚𝑗=𝑖+1

𝑚−1𝑖=1 ��𝑖��𝑗 (5.4.12)

(5.4.11) denklemiyle tanımlanan 𝐶(��, ��) dikeysıra matrisi, Merkezkaç ve Coriolis terimleri

matrisi olarak adlandırılır. Bu matrisin 𝐶𝑘 elemanı, (5.4.12) denklemiyle tanımlanmıştır.

(5.4.10) denklemi, bazen şöyle de yazılabilmektedir.

��(��)�� + ��(��, ��)�� + ��(��)�� + ��(��) = ��(��)�� + ��∘(𝑡) (5.4.13)

Böyle yazıldıktan sonra da, aşağıda gösterilen biçimlerde kısaltılabilmektedir.

��(��)�� + ��∗(��, ��)�� + ��(��) = ��(��)�� + ��∘(𝑡) (5.4.14)

��(��)�� + ��(��, ��) = ��(��)�� + ��∘(𝑡) (5.4.15)

��(��)�� = ��(��)�� + ��(��, ��, 𝑡) (5.4.16)

Yukarıdaki kısaltılmış denklemlerde aşağıdaki tanımlar kullanılmıştır.

��∗(��, ��) = ��(��, ��) + ��(��) (5.4.17)

��(��, ��) = [𝐶11(��, ��) ⋯ 𝐶1𝑚(��, ��)⋮ ⋱ ⋮

𝐶𝑚1(��, ��) ⋯ 𝐶𝑚𝑚(��, ��)] (5.4.18)

𝐶𝑘𝑗(��, ��) = ∑ 𝑁𝑘𝑖𝑗(��)𝑚𝑖=1 ��𝑖 (5.4.19)

103

��(��, ��) = ��∗(��, ��)�� + ��(��) (5.4.20)

��(��, ��, 𝑡) = ��∘(𝑡) − ��(��, ��) (5.4.21)

Öte yandan, Kısım 5.3.1'de de belirtildiği gibi, mekanizma devinimsel tekil duruşlarından birinde

olmadığı sürece, ��(��) kütle matrisi pozitif belirli olur, yani tekil olmaz. Dolayısıyla, mekanizma

tekillik sorunuyla karşılaşmadan belirgin bir biçimde çalışırken (5.4.16) hareket denklemi,

aşağıdaki türevsel denklem biçiminde düzenlenebilir.

�� = �� + 𝛿(��, ��, 𝑡) (5.4.22)

(5.4.22) denkleminde aşağıda açıklanan iki tanım yer almaktadır.

(i) Eyletimsel İvme Komutları Dikeysıra Matrisi:

�� = ��−1(��)��(��)�� (5.4.23)

(ii) Komut Dışı İvmeler ya da Saptırıcı İvmeler Dikeysıra Matrisi:

𝛿(��, ��, 𝑡) = ��−1(��)��(��, ��, 𝑡) (5.4.24)

5.5. Hareket Denkleminin Çözümü

(5.4.22) denklemiyle genelleştirilmiş ivmeler dikeysıra matrisi (��) elde edildikten sonra, uygun

bir sayısal tümlevleme yöntemiyle, genelleştirilmiş hızlar ve genelleştirilmiş koordinatlar

dikeysıra matrisleri de (�� ve ��) elde edilebilir.

Tümlevleme amacıyla kullanılabilecek oldukça hassas fakat uygulanması karmaşık ve zaman

alıcı olan yöntemler vardır. Örnek olarak aşağıdaki yöntemler gösterilebilir.

Çeşitli mertebeden (4, 6, vs) Runge-Kutta yöntemleri

Öngörmeli-düzeltmeli yöntemler

Değişken zaman adımlı yöntemler

Bununla birlikte, eğer incelenen mekanizma çok hızlı değişen hareketler yapmıyorsa, aşağıdaki

basit ve hızlı çalışan Modifiye Euler Yöntemi de, kısa süreli ve küçük zaman adımlı

tümlevlemeler için çoğu kez tatmin edici sonuçlar verebilmektedir.

��(𝑡 + 𝛿𝑡) = ��(𝑡) + ��(𝑡)𝛿𝑡 (5.5.1)

��(𝑡 + 𝛿𝑡) = ��(𝑡) + ��(𝑡)𝛿𝑡 +1

2��(𝑡)(𝛿𝑡)2 (5.5.2)

𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑓

��(𝑡0) = ��0 , ��(𝑡0) = ��0 : bilinen başlangıç değerleri (5.5.3)

Eğer mekanizma, özellikle bir manipülatör gibi, geribeslemeli hareket kontroluna sahip bir

sistemse, yani (5.4.22) denklemindeki �� ivme komutu, konum ve hız hatalarının belli bir düzeltici

işlevi olarak oluşturuluyorsa, Modifiye Euler Yöntemi, uzun süreli hareket simülasyonlarında

bile etkinlikle kullanılabilmektedir.

104

5.6. Özel Durum: Tek Serbestlik Dereceli Mekanizmalar

Eğer mekanizma tek serbestlik dereceliyse, duruşu yalnızca 𝑞 gibi tek bir genelleştirilmiş

koordinatla belirlenir. Böyle bir mekanizma için, (5.4.5) hareket denklem kümesi, aşağıda

yazılmış olan tek bir hareket denklemine indirgenir.

𝑀(𝑞)�� + 𝑁(𝑞)��2 = 𝑄 + 𝑄𝑑 (5.6.1)

(5.6.1) denklemindeki 𝑄𝑑, eyletim dışı ya da saptırıcı genelleştirilmiş kuvvet olarak olarak şöyle

tanımlanmıştır.

𝑄𝑑 = 𝑄° −𝑊 − 𝛾∗�� (5.6.2)

Çoğu kez, 𝑞 genelleştirilmiş koordinatı, 𝜃 gibi açısal bir değişken olur. Çünkü, tek serbestlik

dereceli mekanizmaların büyük bir çoğunluğu bir krank aracılığıyla dönel bir eyletici kullanılarak

eyletilir. Böyle bir mekanizma için, 𝑀(𝑞) ve 𝑁(𝑞) simgeleri yerine 𝐽(𝜃) ve 𝐶(𝜃) simgelerini

kullanmak daha uygun ve geleneksel olmaktadır. 𝐽(𝜃) simgesi, mekanizmanın eşdeğerli atalet

momentini temsil eder. Bu arada, 𝑄 simgesi de bir tork temsil ettiği için 𝑇 simgesiyle yer

değiştirebilir. Böylece, (5.6.1) denklemi, aşağıdaki görünümü almış olur.

𝐽(𝜃)�� + 𝐶(𝜃)��2 = 𝑇 + 𝑇𝑑 (5.6.3)

(5.6.3) denklemindeki 𝑇, eyletim torkudur. Aynı denklemdeki 𝑇𝑑 ise, eyletim dışı ya da saptırıcı

tork olarak şöyle tanımlanmıştır.

𝑇𝑑 = 𝑇° − 𝑇𝑤 − 𝛾∗�� (5.6.4)

(5.6.1) ve (5.6.3) denklemlerindeki 𝑁(𝑞) ve 𝐶(𝜃) katsayılarına gelince, onlar da (5.4.6)

denkleminin indirgenmiş biçimleri olarak aşağıdaki gibi ifade edilirler.

𝑁(𝑞) =1

2[𝑑𝑀(𝑞)/𝑑𝑞] (5.6.5)

𝐶(𝜃) =1

2[𝑑𝐽(𝜃)/𝑑𝜃] (5.6.6)



105


𝑂𝐴 = ℎ1 , 𝐴𝐵 = 𝑏2 , 𝐵𝐶 = 𝑏3

𝐴𝐶2 = 𝑐2 , 𝐶2𝐵 = 𝑐2′ ; 𝐶𝐶3 = 𝑐3 , 𝐶3𝐵 = 𝑐3

′ ; 𝐶𝑃4′ = 𝑑4 , 𝑃4

′𝑃4 = ℎ4

Özel durum: Dengelenmiş krank 𝐶2 = 𝐴 ; 𝑐2 = 0 , 𝑐2′ = 𝑏2


𝑚 = 1

* Genelleştirilmiş Koordinat Eyletimli Eklem Değişkeni:

𝑞 = 𝜃2


𝜃3 , 𝑠4

* Uzuvların Kütleleri ve Atalet Momentleri:

𝑚2 > 0 , 𝐽2 > 0 ; 𝑚3 ≈ 0 , 𝐽3 ≈ 0 ; 𝑚4 > 0 , 𝐽4 > 0 (fakat etkisiz)

* Potansiyel Enerji:

Krank dengelenmiş olduğu, biyel kütlesiz varsayıldığı, kayar uzuv da yatay hareket ettiği için,

𝑈 = 0


Bölüm 2'deki Örnek 2.1'e ait hız analizinden anımsanacağı üzere, sin 𝜃3 = 0 olmadığı, yani

mekanizma 𝜃2 eyletimine göre bir devinimsel tekil duruşa girmediği sürece, eklemlerarası hız

etki katsayıları şöyle ifade edilmişlerdir.

𝐺32 = 𝐺32(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3 (5.7.1)

𝐺42 = 𝐺42(𝜃2, 𝜃3) = −𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (5.7.2)

* Dengelenmiş Kranklı Mekanizma için Kinetik Enerji:

𝐾 =1

2𝐽2��2

2 +1

2𝑚4��4

2 =1

2(𝐽2 +𝑚4𝐺42

2 )��22 =

1

2𝐽2∗��22 (5.7.3)

Yukarıdaki 𝐺42 katsayısı yerine yazılınca, kinetik enerjinin ifadesi şöyle olur.

𝐾 =1

2𝐽2∗��22 =

1

2[𝐽2 +𝑚4𝑏2

2 cos2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3]��22 (5.7.4)

* Genelleştirilmiş Atalet Momenti:

𝐽2∗ = 𝐽2

∗(𝜃2, 𝜃3) = 𝐽2 +𝑚4𝑏22 cos

2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3 (5.7.5)

106

Görüldüğü gibi, 𝐽2∗ her zaman sıfırdan farklı ve pozitiftir. Bununla birlikte, sin 𝜃3 = 0 olursa, yani

mekanizma bir devinimsel tekil duruşa girerse, 𝐽2∗ sınırsızca büyüyerek tanımsızlaşır.

* Genelleştirilmiş Momentum:

𝜇2 = 𝜕𝐾/𝜕��2 = 𝐽2∗��2 = [𝐽2 +𝑚4𝑏2

2 cos2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3]��2 (5.7.6)

* Genelleştirilmiş Eyletim Torku:

𝒫∗ = 𝑇2��2 = 𝑄2∗��2 𝑄2

∗ = 𝑇2 (5.7.7)

* Genelleştirilmiş Viskoz Sürtünme Katsayısı:

𝒫′ = −𝛾4��42 = −𝛾4𝐺42

2 ��22 = −𝛾2

∗��22

𝛾2∗ = 𝛾4𝑏2

2 cos2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3 (5.7.8)

* Genelleştirilmiş Dış Tork:

𝒫° = −𝐹4∘��4 = −𝐹4

∘𝐺42��2 = 𝐹4∘ 𝑏2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3��2 = 𝑇2

∘��2

𝑇2∘ = 𝑏2𝐹4

∘ cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (5.7.9)

* Mekanizmanın Hareket Denklemi:

Mekanizma tek serbestlik dereceli olduğu için hareket denklemi, (5.6.3) ve (5.6.6) denklemlerine

dayanarak şöyle yazılabilir.

𝐽2∗��2 + 𝐶2

∗��22 = 𝑇2 + 𝑇2𝑑 (5.7.10)


𝐶2∗ =

1

2(𝑑𝐽2

∗/𝑑𝜃2) (5.7.11)

𝑇2𝑑 = 𝑇2∘ − 𝛾2

∗��2 (5.7.12)

Genelleştirilmiş atalet momentinin (5.7.5) denklemindeki ifadesi kullanılarak (5.7.11)

denklemiyle tanımlanan 𝐶2∗ katsayısı şöyle ifade edilebilir.

𝐶2∗ = 𝐶2

∗(𝜃2, 𝜃3) =1

2[𝑑𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝑑𝜃2] =

1

2[𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2+𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃3∙𝑑𝜃3

𝑑𝜃2]

𝐶2∗ =

1

2[𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2+𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2∙ 𝐺32] =

1

2[𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2−𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃3∙𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3] (5.7.13)

Öte yandan, (5.7.5) denklemine göre,

𝐽2∗ = 𝐽2 +𝑚4𝑏2

2 cos2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3= 𝐽2 +𝑚4𝑏2

2𝑓22(𝜃2, 𝜃3) (5.7.14)

107


𝑓2(𝜃2, 𝜃3) =cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (5.7.15)

Yukarıda tanımlanan 𝑓2(𝜃2, 𝜃3) işlevi kullanılarak (5.7.13) denklemindeki kısmi türevler şöyle

alınabilir.

𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2= 2𝑚4𝑏2

2𝑓2𝜕𝑓2(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃2= −2𝑚4𝑏2

2𝑓2sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3 (5.7.16)

𝜕𝐽2∗(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃3= 2𝑚4𝑏2

2𝑓2𝜕𝑓2(𝜃2,𝜃3)

𝜕𝜃3= 2𝑚4𝑏2

2𝑓2 [sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3−cos(𝜃2−𝜃3) cos𝜃3

sin2 𝜃3] (5.7.17)

Yukarıdaki kısmi türevler kullanılarak (5.7.13) denklemi aşağıdaki aşamalı biçimlerde yazılabilir.

𝐶2∗ = 𝑚4𝑏2

2𝑓2 {−sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3− [

sin(𝜃2−𝜃3)


sin2 𝜃3]𝑏2 cos𝜃2

𝑏3 sin𝜃3}

𝐶2∗ = −𝑚4𝑏2

2 cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3{sin(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3+ [

sin(𝜃2−𝜃3)



𝑏3 sin𝜃3}

𝐶2∗ = −𝑚4𝑏2



sin𝜃3− [

cos(𝜃2−𝜃3) cos𝜃3

sin2 𝜃3−sin(𝜃2−𝜃3) sin𝜃3


𝑏3 sin𝜃3}

𝐶2∗ = −𝑚4𝑏2



sin𝜃3− [

cos𝜃2


𝑏3 sin𝜃3}

𝐶2∗ = −𝑚4𝑏2


sin2 𝜃3[sin(𝜃2 − 𝜃3) −

𝑏2 cos2 𝜃2

𝑏3 sin2 𝜃3] (5.7.18)

Sonuç olarak mekanizmanın hareket denklemi aşağıdaki ayrıntılı biçimiyle elde edilmiş olur.

[𝐽2 +𝑚4𝑏22 cos

2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3] ��2 −𝑚4𝑏2


sin2 𝜃3[sin(𝜃2 − 𝜃3) −

𝑏2 cos2 𝜃2

𝑏3 sin2 𝜃3] ��22

= 𝑇2 + 𝑏2𝐹4∘ cos(𝜃2−𝜃3)

sin𝜃3− 𝛾4𝑏2

2 cos2(𝜃2−𝜃3)

sin2 𝜃3��2 (5.7.19)

(5.7.19) denklemi, ��2 için çözülerek şöyle de yazılabilir.

��2 =𝑇2𝑠

2𝜃3+𝑏2𝐹4∘𝑠𝜃3𝑐(𝜃2−𝜃3)−(𝛾4𝑏2

2��2)𝑐2(𝜃2−𝜃3)

𝐽2𝑠2𝜃3+𝑚4𝑏22𝑐2(𝜃2−𝜃3)

+(𝑚4𝑏2

2��22)[𝑠(𝜃2−𝜃3)−(𝑏2/𝑏3)(𝑐

2𝜃2/𝑠2𝜃3)]𝑐(𝜃2−𝜃3)

𝐽2𝑠2𝜃3+𝑚4𝑏22𝑐2(𝜃2−𝜃3)

(5.7.20)

(5.7.20) denklemi ise, beklendiği üzere, daha önce Bölüm 4'teki Örnek 4.1'de anlatılan

devinimsel analiz kapsamında elde edilmiş olan (4.6.59) denklemiyle aynıdır.

108





* Uzuvların Kütle Merkezleri:

𝐴𝐶4 = 𝐶4𝐷 = 𝑐4 = 𝑏4/2 , 𝐵𝐶5 = 𝐶5𝐷 = 𝑐5 = 𝑏5/2 , 𝐶𝐶6 = 𝐶6𝐸 = 𝑐6 = 𝑏6/2

𝐶7 ≅ 𝑄 𝐷𝐶7 = 𝐶7𝐸 = 𝑐7 ≅ 𝑑7 = 𝑏7/2

* D Noktasındaki Üçlü Ekleme Ait Bağımsız Döner Eklemler:

𝑅47 , 𝑅57


𝐷𝐸 platformuna (𝐿7 Uzvuna) bağlı 𝑄𝑃 doğru parçası ile temsil edilen işlem aygıtı


𝑚 = 3


𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3


𝜃4 , 𝜃5 , 𝜃6 , 𝜃7 = 𝜙

* Eyletim Kuvvetleri:

𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3

6 5

3 =

4

1 = 2 =

= 7

1 2 3

7∘

7∘

109

* Uzuvların Kütleleri ve Atalet Momentleri:

𝑘 = 1, 2, 3 𝑚𝑘 > 0 , 𝐽𝑘 > 0 (fakat etkisiz)

𝑘 = 4, 5, 6 𝑚𝑘 ≈ 0 , 𝐽𝑘 ≈ 0

𝑚7 > 0 , 𝐽7 > 0

* Kayar Eklemlerdeki Viskoz Sürtünme Katsayıları:

𝛾1 , 𝛾2 , 𝛾3

* İşlem Aygıtına Etkiyen Tepkisel İşlem Kuvveti ve Momenti:

𝐹 7∘ = −(𝐹7𝑥

∘ 𝑖 + 𝐹7𝑦∘ 𝑗 ) , �� 7

∘ = −𝑀7∘��


Bölüm 2'deki Örnek 2.2'ye ait hız analizinden anımsanacağı üzere, sin(𝜃5 − 𝜃4) = 0 ve/veya

sin(𝜃6 − 𝜃7) = 0 olmadığı, yani manipülatör 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 eyletimli eklem değişkenlerine göre bir

devinimsel tekil duruşa girmediği sürece, eklemlerarası hız etki katsayıları aşağıdaki ifadelerle

elde edilmişlerdi.


𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.1)

𝐺42 = +cos𝜃5

𝑏4 sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.2)


𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.3)

𝐺52 = +cos𝜃4

𝑏5 sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.4)

𝐺61 = −sin(𝜃5−𝜃7) cos𝜃4

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.5)


𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.6)

𝐺63 = +cos𝜃7

𝑏6 sin(𝜃6−𝜃7) (5.8.7)


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.8)


𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) sin(𝜃5−𝜃4) (5.8.9)

𝐺73 = +cos𝜃6

𝑏7 sin(𝜃6−𝜃7) (5.8.10)

110

* Platforma Ait Hız Etki Katsayıları:

Yine aynı örneğe ait hız analizinden anımsanacağı üzere, manipülatörün işlem aygıtının uç

noktasına (yani 𝑃 noktasına) ait hız etki katsayıları, (2.6.37) – (2.6.42) denklemleriyle ifade

edilmişlerdi. Aynı ifadeler, burada aşağıdaki gösterimlerle yazılmıştır.

𝑉𝑃1𝑥 = 𝑋𝑃1 = 1 − 𝑏4𝐺41 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺71 (5.8.11)

𝑉𝑃2𝑥 = 𝑋𝑃2 = −𝑏4𝐺42 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺72 (5.8.12)

𝑉𝑃3𝑥 = 𝑋𝑃3 = −𝑏4𝐺43 sin 𝜃4 − (𝑑7 sin 𝜃7 + ℎ7 cos 𝜃7)𝐺73 (5.8.13)

𝑉𝑃1𝑦 = 𝑌𝑃1 = 𝑏4𝐺41 cos 𝜃4 + (𝑑7 cos 𝜃7 − ℎ7 sin 𝜃7)𝐺71 (5.8.14)



Platformun kütle merkezine (yani 𝑄 noktasına) ait hız etki katsayıları ise, yukarıdaki denklemler,

ℎ7 = 0 için yazılarak aşağıdaki gösterimlerle ifade edilebilir.

𝑉71𝑥 = 𝑉𝑄1𝑥 = 𝑋𝑄1 = 𝑋71 = 1 − 𝑏4𝐺41 sin 𝜃4 − 𝑑7𝐺71 sin 𝜃7 (5.8.17)

𝑉72𝑥 = 𝑉𝑄2𝑥 = 𝑋𝑄2 = 𝑋72 = −𝑏4𝐺42 sin 𝜃4 − 𝑑7 𝐺72sin 𝜃7 (5.8.18)

𝑉73𝑥 = 𝑉𝑄3𝑥 = 𝑋𝑄3 = 𝑋73 = −𝑏4𝐺43 sin 𝜃4 − 𝑑7 𝐺73sin 𝜃7 (5.8.19)

𝑉71𝑦 = 𝑉𝑄1𝑦 = 𝑌𝑄1 = 𝑌71 = 𝑏4𝐺41 cos 𝜃4 + 𝑑7 𝐺71cos 𝜃7 (5.8.20)



* Genelleştirilmiş Eyletim Kuvvetleri:

𝒫∗ = ∑ 𝐹𝑘��𝑘3𝑘=1 𝑄𝑘

∗ = 𝐹𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, 3 (5.8.23)

* Genelleştirilmiş Yerçekimi Kuvvetleri:

𝑊𝑘 = 𝑚7𝑔𝑉7𝑘𝑦 = 𝑚7𝑔𝑌7𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, 3 (5.8.24)

* Genelleştirilmiş Dış Kuvvetler:

𝒫° = −𝐹7𝑥∘ ��𝑃 − 𝐹7𝑦

∘ ��𝑃 −𝑀7∘��7 = 𝑄1

∘��1 + 𝑄2∘ ��2 + 𝑄3

∘ ��3

𝑄𝑘∘ = −𝐹7𝑥

∘ 𝑋𝑃𝑘 − 𝐹7𝑦∘ 𝑌𝑃𝑘 −𝑀7

∘𝐺7𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, 3 (5.8.25)

* Genelleştirilmiş Sürtünme Kuvvetleri:

𝑄𝑘′ = −𝛾𝑘��𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, 3 (5.8.26)

111

* Kinetik Enerji ve Genelleştirilmiş Kütle Katsayıları:

𝐾 =1

2𝑚1��1

2 +1

2𝑚2��2

2 +1

2𝑚3��3

2 +1

2𝑚7𝑣7

2 +1

2𝐽7��7

2

𝐾 =1

2𝑚1��1

2 +1

2𝑚2��2

2 +1

2𝑚3��3

2 +1

2𝑚7(��7

2 + ��72) +

1

2𝐽7��7

2

𝐾 =1

2𝑚1��1

2 +1

2𝑚2��2

2 +1

2𝑚3��3

2

+1

2𝑚7(𝑋71��1 + 𝑋72��2 + 𝑋73��3)

2 +1

2𝑚7(𝑌71��1 + 𝑌72��2 + 𝑌73��3)

2

+1

2𝐽7(𝐺71��1 + 𝐺72��2 + 𝐺73��3)

2

𝐾 =1

2𝑚1��1

2 +1

2𝑚2��2

2 +1

2𝑚3��3

2

+1

2𝑚7(𝑋71

2 ��12 + 𝑋72

2 ��22 + 𝑋73

2 ��32) + 𝑚7(𝑋71𝑋72��1��2 + 𝑋71𝑋73��1��3 + 𝑋72𝑋73��2��3)

+1

2𝑚7(𝑌71

2 ��12 + 𝑌72

2 ��22 + 𝑌73

2 ��32) + 𝑚7(𝑌71𝑌72��1��2 + 𝑌71𝑌73��1��3 + 𝑌72𝑌73��2��3)

+1

2𝐽7(𝐺71

2 ��12 + 𝐺72

2 ��22 + 𝐺73

2 ��32) + 𝐽7(𝐺71𝐺72��1��2 + 𝐺71𝐺73��1��3 + 𝐺72𝐺73��2��3)

𝐾 =1

2[𝑚1 +𝑚7(𝑋71

2 + 𝑌712 + 𝐺71

2 )]��12 +

1

2[𝑚2 +𝑚7(𝑋72

2 + 𝑌722 + 𝐺72

2 )]��22

+1

2[𝑚3 +𝑚7(𝑋73

2 + 𝑌732 + 𝐺73

2 )]��32

+[𝑚7(𝑋71𝑋72 + 𝑌71𝑌72) + 𝐽7𝐺71𝐺72]��1��2 + [𝑚7(𝑋71𝑋73 + 𝑌71𝑌73) + 𝐽7𝐺71𝐺73]��1��3

+[𝑚7(𝑋72𝑋73 + 𝑌72𝑌73) + 𝐽7𝐺72𝐺73]��2��3 (5.8.27)

(5.8.27) denklemine göre,

𝑀11 = 𝑚1 +𝑚7(𝑋712 + 𝑌71

2 + 𝐺712 ) (5.8.28)

𝑀22 = 𝑚2 +𝑚7(𝑋722 + 𝑌72

2 + 𝐺722 ) (5.8.29)

𝑀33 = 𝑚3 +𝑚7(𝑋732 + 𝑌73

2 + 𝐺732 ) (5.8.30)

𝑀12 = 𝑀21 = 𝑚7(𝑋71𝑋72 + 𝑌71𝑌72) + 𝐽7𝐺71𝐺72 (5.8.31)

𝑀23 = 𝑀32 = 𝑚7(𝑋72𝑋73 + 𝑌72𝑌73) + 𝐽7𝐺72𝐺73 (5.8.32)

𝑀31 = 𝑀13 = 𝑚7(𝑋71𝑋73 + 𝑌71𝑌73) + 𝐽7𝐺71𝐺73 (5.8.33)

* Hızlara Bağlı Ataletsel Terim Katsayıları:

Bölüm 4, Örnek 4.2'de tanımlanmış olan hız-ivme etki katsayıları ve (5.4.8) ile (5.4.9)

denklemleri kullanılarak hızlara bağlı ataletsel terim katsayılarından tipik olan iki tanesinin

açılımı aşağıda gösterilmiştir. Diğerlerinin açılımları da benzer biçimlerde gösterilebilir.

112

- Merkezkaç Etki Katsayısı:

𝐿11 = 𝑁111 =1

2(𝜕𝑀11/𝜕𝑠1)

𝐿11 = 𝑚7(𝑋71𝐴711 + 𝑌71𝐵711 + 𝐺71𝐻711) (5.8.39)

- Coriolis Etki Katsayısı:

𝑆123 = 𝑁123 + 𝑁132 = 𝜕𝑀12/𝜕𝑠3 + 𝜕𝑀13/𝜕𝑠2 − 𝜕𝑀23/𝜕𝑠1

𝑆123 = [𝑚7(𝑋71𝐴723 + 𝑋72𝐴713 + 𝑌71𝐵723 + 𝑌72𝐵713) + 𝐽7(𝐺71𝐻723 + 𝐺72𝐻713)]

+[𝑚7(𝑋71𝐴732 + 𝑋73𝐴712 + 𝑌71𝐵732 + 𝑌73𝐵712) + 𝐽7(𝐺71𝐻732 + 𝐺73𝐻712)]

−[𝑚7(𝑋72𝐴731 + 𝑋73𝐴721 + 𝑌72𝐵731 + 𝑌73𝐵721) + 𝐽7(𝐺72𝐻731 + 𝐺73𝐻721)] (5.8.40)

* Manipülatörün Hareket Denklemi:

[𝑀11 𝑀12 𝑀13𝑀21 𝑀22 𝑀23𝑀31 𝑀32 𝑀33

] [��1��2��3

] + [𝐿11 𝐿12 𝐿13𝐿21 𝐿22 𝐿23𝐿31 𝐿32 𝐿33

] [

��12

��22

��32

] + [

𝑆112 𝑆113 𝑆123𝑆212 𝑆213 𝑆223𝑆312 𝑆313 𝑆323

] [

��1��2��1��3��2��3

]

= [𝐹1𝐹2𝐹3

] − 𝑚7𝑔 [𝑌71𝑌72𝑌73

] − [𝛾1 0 00 𝛾2 00 0 𝛾3

] [��1��2��3

] − [

𝐹7𝑥∘ 𝑋𝑃1 + 𝐹7𝑦

∘ 𝑌𝑃1 +𝑀7∘𝐺71


∘ 𝑌𝑃2 +𝑀7∘𝐺72


∘ 𝑌𝑃3 +𝑀7∘𝐺73

] (5.8.41)

Kütle matrisinin tersi alınarak hareket denklemi kısaca şöyle de yazılabilir.

[

��1��2��3

] = [

𝑢1𝑢2𝑢3] − [

𝛿1𝛿2𝛿3

] (5.8.42)

(5.8.42) denkleminin sağ tarafının ayrıntıları aşağıda gösterilmiştir.

[

𝑢1𝑢2𝑢3] = [

𝑀11 𝑀12 𝑀13𝑀21 𝑀22 𝑀23𝑀31 𝑀32 𝑀33

]

−1

[𝐹1𝐹2𝐹3

] (5.8.43)

[

𝛿1𝛿2𝛿3

] = [𝑀11 𝑀12 𝑀13𝑀21 𝑀22 𝑀23𝑀31 𝑀32 𝑀33

]

−1

[


∘ 𝑌𝑃1 +𝑀7∘𝐺71 +𝑚7𝑔𝑌71 + 𝛾1��1


∘ 𝑌𝑃2 +𝑀7∘𝐺72 +𝑚7𝑔𝑌72 + 𝛾2��2


∘ 𝑌𝑃3 +𝑀7∘𝐺73 +𝑚7𝑔𝑌73 + 𝛾3��3

]

+ [

𝑀11 𝑀12 𝑀13𝑀21 𝑀22 𝑀23𝑀31 𝑀32 𝑀33

]

−1

{[

𝐿11 𝐿12 𝐿13𝐿21 𝐿22 𝐿23𝐿31 𝐿32 𝐿33

] [

��12

��22

��32

] + [

𝑆112 𝑆113 𝑆123𝑆212 𝑆213 𝑆223𝑆312 𝑆313 𝑆323

] [

��1��2��1��3��2��3

]} (5.8.44)

temel makİna dİnamİĞİ eĞİtİmİ...

Documents