temel matematİk · Ön sÖz sevgili Öğretmen adayları, Öabt sınıf Öğretmenliği kapsamına...
TRANSCRIPT
TEMEL MATEMATİKSINIF ÖĞRETMENLİĞİ
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ
ÖABT2015
ÖABT
Soruları yakalayankomisyon tarafından
hazırlanmıştır.
Soruları yakalayankomisyon tarafından
hazırlanmıştır.
Konu AnlatımıÖzgün Sorular
Ayrıntılı ÇözümlerTest StratejileriÇıkmış Sorular
Komisyon
ÖABT Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik
ISBN 978-605-318-027-2
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
1. Baskı: Ocak 2015, Ankara
Proje-Yayın Yönetmeni: Demet TamerTürkçe Redaksiyon: Şafak Tangıç
Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Kutlu
Kapak Tasarımı: Gürsel AvcıBaskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/AYenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 90)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No:13987
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT Sınıf Öğretmenliği kapsamına giren Temel Matematik dersi konu anlatımlı kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik" adlı yayınımız Kamu Perso-nel Seçme Sınavı (KPSS) Sınıf Öğretmenliği Alan Bilgisi Dersi Temel Matematik bölümün-deki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın tara-ması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT’de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedefl enmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açık-lamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerile-rinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
iv
SINIF ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ, 50 sorudan oluşmakta ve Sınıf Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Temel Matematik, Genel Biyoloji, Genel Fizik, Genel Kimya, Türk Dili, Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı, Çocuk Edebiyatı, Uygarlık Tarihi, Türk Tarihi ve Kültürü, Genel Coğrafya, Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Sınıf Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Sayısı
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a) Temel Matematik
b) Genel Biyoloji
c) Genel Fizik
d) Genel Kimya
e) Türk Dili
f) Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı
g) Çocuk Edebiyatı
h) Uygarlık Tarihi
i) Türk Tarihi ve Kültürü
j) Genel Coğrafya
k) Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği
% 12
% 6
% 6
% 6
% 12
% 6
% 6
% 6
% 6
% 6
% 8
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013 - 2014 ÖABT Sınıf Öğretmenliği Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
v
1. BÖLÜM: KÜMELERKümelerin Gösterilişi................................................3
1. Ortak Özellik Yöntemi ......................................3
2. Liste Yöntemi ...................................................3
3. Venn Şeması Yöntemi: ....................................3
4. Boş Küme ........................................................3
5. Alt Küme ..........................................................3
Evrensel Küme ........................................................5
Kümenin Tümleyeni .................................................5
Özellikler ..............................................................5
Kümelerin Kesişimi ..................................................5
Kümelerin Birleşimi ..................................................6
Kesişim ve Birleşimin Özellikleri ..........................6
İki Küme Farkı .........................................................6
Özellikler ..............................................................7
Çözümlü Test ..........................................................8
Çözümler ...............................................................10
2 BÖLÜM: SAYILARRakam ...................................................................15
Sayı .......................................................................15
Doğal Sayılar .....................................................15
Tam sayılar.........................................................16
Rasyonel Sayılar ................................................16
İrrasyonel (Rasyonel Olmayan) Sayılar .............16
Tek ve Çift Sayılar ..............................................16
Pozitif ve Negatif Sayılar ....................................17
Ardışık Sayılar....................................................17
Asal Sayılar ...........................................................18
Asal Çarpanlarına Ayırma ..................................18
Aralarında Asal Sayılar ......................................18
Çözümlü Test ........................................................20
Çözümler ...............................................................22
3. BÖLÜM: BASAMAK VE TABAN ARİTMETİĞİTaban Aritmetiği .....................................................27
10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir Tabanda Yazılması ...........................................28
Herhangi Bir Tabandaki Sayının Başka Bir Tabanda Yazılımı ...................................28
a Tabanındaki Sayının an Tabanındaki Yazılımı ..........................................28
İÇİNDEKİLER
Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler .......................29
Çözümlü Test ........................................................30
Çözümler ...............................................................32
4. BÖLÜM: BÖLME, BÖLÜNEBİLME,OBEB - OKEK
Bölme ve Kalan Özellikleri .....................................37
Bölünebilme Kuralları ............................................37
2 ile Bölünebilme................................................37
3 ile Bölünebilme................................................37
4 ile Bölünebilme................................................37
5 ile bölünebilme ................................................38
7 ile Bölünebilme................................................38
8 ile Bölünebilme................................................38
9 ile Bölünebilme................................................38
11 ile Bölünebilme ..............................................38
OBEB - OKEK .......................................................39
Çözümlü Test ........................................................41
Çözümler ...............................................................43
5. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELERÜslü İfadeler ..........................................................47
Üslü İfadelerin Özellikleri ...................................47
Köklü İfadeler.........................................................49
Özellikler ............................................................49
Çözümlü Test ........................................................52
Çözümler ...............................................................54
6. BÖLÜM: ORAN - ORANTIOran ......................................................................59
Orantı.....................................................................59
Özellikler ............................................................59
Orantı Çeşitleri.......................................................60
1. Doğru Orantı ..................................................60
2. Ters Orantı .....................................................60
3. Bileşik Orantı..................................................60
Aritmetik Ortalama .................................................61
Geometrik Ortalama ..............................................61
Harmonik Ortalama ...............................................61
Dördüncü Orantılı ..................................................61
Çözümlü Test ........................................................62
Çözümler ...............................................................64
vi
7. BÖLÜM: ÇARPANLARINA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER
Dağılma Özelliği ....................................................69
Ortak Çarpan Parantezine Alma............................69
Gruplandırma ........................................................69
Özdeşlikler .............................................................69
1. İki Kare Farkı..................................................69
2. Tam Kare........................................................70
3. Küp Açılımı.....................................................70
4. İki Küp Toplamı ve Farkı ................................70
5. Üç Terimli İfadeler ..........................................71
Sadeleştirme..........................................................71
Çözümlü Test ........................................................72
Çözümler ...............................................................74
8. BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN BİRBİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri...............................................79
1) Yok Etme Metodu ..........................................79
2) Yerine Koyma Metodu ...................................80
Çözümlü Test ........................................................81
Çözümler ...............................................................83
9. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENDENKLEM VE EŞİTSİZLİK
İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Bulunması .............................................87
1) Çarpanlara Ayırma Yöntemi ..........................87
2) Diskriminant Yöntemi .....................................87
İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ..................88
Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemin Yazılımı ................................................89
II. Dereceden Eşitsizlikler ......................................89
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ..90
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....90
Tablo Çizimi ...........................................................91
Eşitsizlik Sistemleri ............................................93
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemi Çözmeden Köklerin İşaretinin İncelenmesi ..........94
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli DenkleminKöklerinin Bir Reel Sayı ile Karşılaştırılması .........95
Çözümlü Test ........................................................96
Çözümler ...............................................................98
10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENFONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiği (Parabol) ..................................................103
A. Fonksiyonun Tepe Noktası ..........................103
B. Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar ......104
C. Genel Parabol Grafiği ..................................104
Grafiği Verilen Parabolünün Denkleminin Bulunması ...................................106
Çözümlü Test ......................................................107
Çözümler ............................................................. 111
11. BÖLÜM: BAĞINTI VE FONKSİYON
Sıralı İkili .............................................................. 115
Sıralı İkililerin Eşitliği ........................................ 115
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı ........................... 115
Kartezyen Çarpımının Özellikleri ..................... 116
Analitik Düzlem (Dik Koordinat Sistemi) .............. 116
Bağıntı ................................................................. 117
Bağıntı Sayısı................................................... 117
Bağıntının Tersi ................................................ 118
Bağıntının Grafiği ............................................. 119
Bağıntının Özellikleri ........................................ 119
Denklik ve Sıralama Bağıntısı .............................122
Fonksiyon ............................................................123
Fonksiyonun Grafiği .........................................125
Fonksiyon Çeşitleri...........................................126
Fonksiyon Sayısı..............................................128
Bir Fonksiyonun Tersi.......................................128
Fonksiyonların Bileşkesi ..................................131
Fonksiyonlarda Dört İşlem ...............................133
Permütasyon Fonksiyon .................................133
Tek ve Çift Fonksiyon .......................................133
İki Fonksiyonun Birbiri Cinsinden Ifadesi ........134
Grafik Okuma ......................................................135
Çözümlü Test ......................................................136
Çözümler .............................................................138
vii
12. BÖLÜM: İŞLEM VE ÖZELLİKLERİİşlem ....................................................................143
İşlemin Özellikleri.................................................143
a) Kapalılık Özeliği ...........................................143
b) Değişme Özelliği ..........................................144
c) Birleşme Özelliği ..........................................144
d) Dağılma Özelliği...........................................145
e) Birim (Etkisiz) Eleman ..................................145
f) Ters eleman ..................................................145
g) Yutan Eleman ..............................................146
Grup.....................................................................147
Çözümlü Test ......................................................148
Çözümler .............................................................150
13. BÖLÜM: ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
Parçalı Fonksiyonlar ............................................155
Dört İşlem ............................................................155
Bir Fonksiyonun Tersini Bulma ............................155
Parçalı Fonksiyonların Grafiği .............................156
Mutlak Değer Fonksiyonu ....................................158
Mutlak Değer Fonksiyonunun Özellikleri..........158
Mutlak Değer Fonksiyonun Grafiği...................159
İşaret (Signum) Fonksiyonu.................................159
Tam Değer Fonksiyonu........................................162
Tam Değer Fonksiyonunun Özellikleri .............162
Tam Değer Fonksiyonunun Grafiği ..................165
Çözümlü Test ......................................................167
Çözümler .............................................................169
14. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ
Yönlü Açılar .........................................................173
Birim Çember .......................................................173
Açı Ölçü Birimleri .................................................173
Derece .............................................................173
Grad .................................................................173
Radyan.............................................................173
Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi ....173
Esas Ölçü.........................................................174
Trigonometrik Fonksiyonlar .................................175
I. Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları ....................175
Dar Açıların Sinüs ve Kosinüsleri.....................176
II. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları ..............176
III. Sekant ve Kosekant Fonksiyonları..............176
Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ..........177
Trigonometrik Oranlardan Biri VerildiğindeDiğerlerinin Bulunması ........................................182
Üçgende Bazı Trigonometrik Teoremler ..............182
1) Kosinüs Teoremi ..........................................182
2) Sinüs Teoremi ..............................................183
3) Tanjant Teoremi ...........................................184
Toplam ve Fark Formülleri ...............................184
Yarım Açı Formülleri ........................................185
3a'nın Trigonometrik Oranları ..........................187
Dönüşüm Formülleri.........................................187
Ters Dönüşüm Formülleri .................................188
Çözümlü Test ......................................................189
Çözümler .............................................................191
15. BÖLÜM: GEOMETRİK KAVRAMLAR
Geometrik Kavramlar...........................................195
Tanımsız Kavramlar .........................................195
Açılar ...................................................................195
Açının Ölçüsü...................................................195
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ..................195
Açı Ölçü Birimleri .............................................195
Derecenin Alt Birimleri .....................................196
Açı Çeşitleri ......................................................196
Dar Açı .............................................................196
Dik Açı..............................................................196
Geniş Açı .........................................................196
Doğru Açı .........................................................196
Tam açı ............................................................196
Komşu Açılar....................................................196
Tümler Açılar....................................................197
Bütünler Açılar .................................................197
Ters Açılar ..............................................................
Paralel İki Doğrunun Bir Kesenİle Yaptığı Açılar ...............................................197
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar..................................198
viii
Kenarları Paralel Açılar ....................................198
Kenarları Dik Açılar ..........................................199
Üçgenler ..............................................................200
Üçgen Çeşitleri ....................................................200
Açılarına Göre Üçgenler ..................................200
Kenarlarına Göre Üçgenler ..............................200
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar .............201
Yükseklik ..........................................................201
Açıortay ............................................................201
Kenarortay .......................................................201
Üçgende Açılar İle İligili Özellikler .......................202
Dik Üçgen ........................................................204
Pisagor Teoremi ...............................................204
Öklid Bağıntıları ...............................................205
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...............206
Açılarına Göre Dik Üçgenler ............................207
Üçgende Açıortay Teoremleri ..............................208
İç Açıortay Teoremi ..........................................208
Dış Açıortay Teoremi........................................209
Üçgende Kenarortay Teoremleri ..........................209
Ağırlık Merkezi .................................................209
Kenarortay Bağıntıları ...................................... 211
İkizkenar Üçgen ................................................... 211
Eşkenar Üçgen ....................................................213
Üçgende Alan ......................................................215
Üçgende Benzerlik ..............................................218
Açı - Açı - Açı Benzerlik Kuralı .........................218
Tales Teoremi ...................................................219
Temel Orantı Teoremi.......................................219
Ters Orantılı Uzunluk Bağıntısı ........................220
Çapraz Tales Teoremi ......................................220
Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Kuralı ................220
Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Kuralı............221
Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................222
Üçgen Eşitsizliği ...............................................222
Çözümlü Test - 1..................................................225
Çözümlü Test - 2..................................................227
Çözümler - 1 ........................................................229
Çözümler - 2 ........................................................232
Cevaplı Test - 1....................................................235
Cevaplı Test - 2....................................................237
16. BÖLÜM: ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER
Çokgenler ............................................................241
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler ......................241
Düzgün Çokgenler ...............................................242
Dörtgenler ............................................................245
Dörtgenlerde Alan................................................246
Paralelkenar ........................................................246
Paralelkenarda Alan.........................................247
Paralelkenarda Alan Özellikleri ........................248
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler .......249
Eşkenar Dörtgen..................................................249
Dikdörtgen ...........................................................250
Kare .....................................................................251
Yamuk ..............................................................252
İkizkenar Yamuk ...............................................253
Dik Yamuk ...........................................................255
Deltoid .................................................................255
Çözümlü Test .......................................................256
Çözümler .............................................................258
Cevaplı Test - 1....................................................260
17. BÖLÜM: ÇEMBER VE DAİRE
Çemberde Açı......................................................265Çemberde Yardımcı Elemanlar ........................265
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ......................266
Merkez Açı .......................................................266
Çevre Açı .........................................................266
Teğet Kiriş Açı ..................................................267
İç Açı ................................................................268
Dış Açı .............................................................268
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ............................269Kirişler Dörtgeni ...................................................269Çemberde Uzunluk ..............................................269Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ..............269Kuvvet Ekseni ......................................................271İki Çember Ortak Teğetleri ...................................272İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................273Üçgenin Çemberleri .............................................274
Üçgenin İç Teğet Çemberi................................274
Üçgenin Dış Teğet Çemberi .............................274
Teğetler Dörtgeni .................................................275
ix
Dairede Alan ........................................................275Dairenin Alanı ve Çevresi ................................275Daire Diliminin Alanı.........................................275Çember Yayının Uzunluğu ...............................275
Daire Kesmesinin Alanı .......................................276Daire Halkasının Alanı .........................................276Çemberde Benzerlik ............................................277Cevaplı Test .........................................................278
18. BÖLÜM: DOĞRU VE NOKTA ANALİTİĞİ
Noktanın Analitik İncelenmesi .............................283
Analitik Düzlem ....................................................283İki Nokta Arasındaki Uzaklık ................................284Bir Doğru Parçasının Orta NoktasınınKoordinatlarının Bulunması .................................285
Paralelkenarın Köşe NoktalarınınKoordinatlarının Bulunması .................................285
Doğrusal Noktalar ................................................285
Doğrusal Olmayan Noktalar ................................286
Doğrunun Analitik İncelenmesi ............................288
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ........................288Doğru Grafiğinin Çizimi........................................290
Doğrunun Denklemleri .........................................290
Özel Doğrular ......................................................292
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................292Doğru Demeti ......................................................294Simetriler .............................................................295
Noktanın Simetriği............................................295Doğrunun Simetriği ..........................................298
Eşitsizlikler ...........................................................299
Cevaplı Test .........................................................301
19. BÖLÜM: KATI CİSİMLER
Prizma .................................................................305Dikdörtgenler Prizma .......................................306Küp...................................................................307Silindir ..............................................................307Dönel Silindir ....................................................308
Piramit .................................................................309Düzgün Piramit ................................................309Kesik Piramit ....................................................310
Koni .....................................................................310Küre ..................................................................... 311Cevaplı Test .........................................................312
20. BÖLÜM: ÇEMBER ANALİTİĞİ
Çember Denklemi ................................................317
Genel Çember Denklemi .....................................318
Teğet ve Normal Denklemleri ..............................319
Doğru İle Çemberin Birbirine Göre Durumları .....319
Nokta İle Çemberin Birbirine Göre Durumları ......319
Çembere Göre Kuvvet .........................................320
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................320
Çözümlü Test .......................................................321
Çözümler .............................................................322
Cevaplı Test .........................................................323
21. BÖLÜM: KONİKLER
Elips .....................................................................327
Elipsin Denklemi ..............................................327Elipsin Parametresi ..........................................327Elipsin Dış Merkezi ve Basıklığı .......................328Elipsin Doğrultmanları ......................................328Elipsin Alanı .....................................................328
Parabol ................................................................328
Parabolün Denklemi.........................................329Hiperbol ...............................................................329
Hiperbolün Denklemi........................................330Hiperbolün Parametresi ...................................330İkizkenar Hiperbol ............................................331Hiperbolün Doğrultmanları ...............................331Hiperbolün Dış Merkezliği ................................331
Çözümlü Test .......................................................332
Çözümler .............................................................333
KAYNAKLAR........................................................336
1. BÖLÜMKÜMELER
3
KÜMELER
Küme kavramının tanımı olmamakla beraber, küme de-nilince, belli (iyi tanımlanmış) ögelerden meydana gelmiş anlamlı nesneler topluluğuna küme denir.
Bir kümeyi meydana getiren ögelerin her birine kümenin elemanı denir ve "! " sembolü ile gösterilir. Kümeye ait ol-mayan elemanlar "∉" elemanı değil sembolü ile gösterilir.
Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
Küme içerisinde tekrarlı eleman bulunmaz. Kümenin elemanlarının, küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
Kümelerin Gösterilişi
1. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının ortak özelliklerini belirterek, küme ifade edilir.
Örnek
i. A kümesi, mutlak değerce 6'dan küçük tam sayıların kümesi ise
A x: x 6,x Z1 != $ .
ii. B kümesi, ardışık tek sayıların kümesi ise,
B x: x 2n 1,n Z!= = -$ . ile gösterilir.
2. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları, { } sembolünün içine birbirinden vir-gülle ayrılarak yazılır.
Örnek
A kümesi bir basamaklı tek doğal sayılar ise A 1,3,5,7,9= $ . ile gösterilir.
3. Venn Şeması Yöntemi:
Kümenin elemanları, kapalı bir eğri içinde, elemanların yanına nokta konularak yazılır.
Örnek
A kümesi, rakamların oluşturduğu kümesi ise
A
.0
.3
.1
.4
.6 .7
.5
.2
.9
.8
şeklinde gösterilir.
4. Boş Küme
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, $ . veya ∅ şeklinde gösterilir.
Örnek
A x:x 4 0, x R2!= + =' 1 kümesi x2 + 4 > 0 olduğundan
boş kümedir.
A = $ . veya A ,s A 0Q= =` j 'dır.
5. Alt Küme
A ve B iki küme olmak üzere, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir veya A kümesi B kümesini kapsar denir.
B A veya A B1 2 şeklinde gösterilir.
:1 alt küme sembolü
:2 kapsar sembolü
Örnek
i.
A
B
.a
.1
.2
.3
.b A B1 'dir.
ii. A 1,2,3= $ . kümesinin alt kümeleri
, , , , , , , , , , , ,1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3$ $ $ $ $ $ $ $. . . . . . . . olmak
üzere, 8 tanedir.
i. Her küme kendisinin alt kümesidir. A A1
ii. Boş küme, her kümenin alt kümesidir. AQ 1
Not
4
Alt Küme Sayısı
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.
Örnek
A a,1, 1 ,2, 1,2 , ,7Q= ' $ $. . 1
kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?
A) 16 B) 32 C) 64
D) 128 E) 256Çözüm
A kümesi 7 elemanlı bir küme olduğundan alt küme sayısı 27=128'dir
Cevap D
Örnek
A 1,2,3,4,5,6= $ .
kümesinin, alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elemanı bulunur, 2 elemanı bulunmaz?
A) 8 B) 16 C) 24
D) 32 E) 48Çözüm
Alt kümelerin içinde 2 elemanın bulunması istenmi-yorsa 2 kümeden atılır, 1 elemanı bulunacak ise 1 kü-meden çekilir ve kalan , , ,3 4 5 6$ .elemanları ile 24=16 tane alt küme yazılır. Bu alt kümelerin içine 1 elemanı dâhil edildiğinde, alt küme sayısı değişmez. O hâlde 16 alt kümede 1 bulunur, 2 bulunmaz
Cevap B
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kü-melerinin sayısı n'in r'li kombinasyo-nu ile bulunur. n'in r'li kombinasyonu
C n,r rn
n r ! r!n!
:= =
-` c
`j m
j'dir.
i. 0n
nn 1= =c cm m
ii. 1n
n 1n n= - =c cm m
iii. rn
kn n r k veya r k'dir&= = + =c cm m
iv. 0n
1n
2n ... n
n 2 'dirn+ + + + =c c c cm m m m
v. n 1r 1
n 1r
nr
--
+-
=e e eo o o
Not
Örnek
A a,b,c,d,e= $ .
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur?
A) 24 B) 18 C) 12
D) 8 E) 6Çözüm
a elemanı alt kümelerde bulunacak ise a kümeye yer-leştirilir ve diğer 4 elemandan a nın yanına herhangi 2 eleman seçilir.
a, ,- -$ . , , ,b c d e$ .
24
2! 2!4!
2 224 6'dı .r
: := = =e o
Cevap E
Örnek
A = {a, b, c, d, e}
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur, b bulunmaz?A) 24 B) 18 C) 12 D) 6 E) 3
Çözüm
Alt kümelerde a bulunacak, b bulunmayacak ise a kü-meye yerleştirilip b kümeden atıldığında kalan 3 ele-mandan a nın yanına 2 eleman seçilir.
a, ,- -$ . , ,c d e$ .
23
2! 1!3
26 3
:= = =e o tür.
Cevap E
Özalt Küme
Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
Örnek
A a,b= $ . kümesinin özalt kümeleri; , ,a b Q$ $. . olmak üzere 3 tanedir.
5
Özalt Küme Sayısı
n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2 1'dirn -
Örnek
Bir kümenin alt kümelerinin ve özalt kümeleri-nin eleman sayıları toplamı 31 oduğuna göre, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16
Çözüm
Küme n elemanlı olsun.
O hâlde 2 2 1 31 2 2 32
2 16n 4
n n n
n&
&
&
:+ - = =
==
` j
tür.
4 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı
24
2! 2!4!
424 6'dır.
:= = =e o
Cevap B
Evrensel KümeTüm kümeleri kapsayan ve üzerinde işlem yapılabilen en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.
Örnek
A B E
C
Kümenin TümleyeniA kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun. Evren-sel kümeye ait olup, A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir ve , ,A A Acý ile gösterilir.
A x:x E ve x Aıg!= $ . ile gösterilir.
AA'
E
Özellikler
1. EıQ=
2. EıQ =
3. A Aı ı =` j
4. A A Eı, =
5. A Aı+ Q=
6. A B B Aý ý&1 1
7. s A s A s Eı+ =` ` `j j j
Örnek
A EB
.a .c .f
.g
.h.d
.e
.b
Aı={f,g,h}Bı={c,d,e,f,g,h}
' ý .A B ve B A d rý ý1 1
Kümelerin Kesişimi
A ve B iki küme olmak üzere, A'nın ve B'nin ortak ele-manlarının oluşturduğu kümeye A kesişim B kümesi de-nir ve A B+ ile gösterilir.
A B x:x A ve x B dir.+ ! != $ .
A B+ A B A'dır.+ =
A
A
B B
A ile B'nin kesişimi boş küme ise A ile B'ye ayrık kümeler denir.
A B A ileB&+ Q= ayrık kümelerdir.
Not
A B
A B+ Q= A ile B ayrık küme
6
Kümelerin Birleşimi
A ve B iki küme olmak üzere, bu iki kümenin elemanla-rının oluşturduğu yeni kümeye A ile B nin birleşimi denir ve A B, ile gösterilir.
A B x:x A veya x B 'dir., ! != $ .
A B, A B B'd r.i, =
ABA B
Kesişim ve Birleşimin Özellikleri1. Kesişim ve birleşimin değişme özelliği vardır.A B B AA B B A'dır.+ +
, ,
==
2. Kesişim ve birleşimin birleşme özelliği vardır.
A B C A B C
A B C A B C'dir.
+ + + +
, , , ,
=
=
`
`
`
`
j
j
j
j
3. Kesişim ve birleşimin birbiri üzerine dağılma özelliği vardır.
A B C A B A C
A B C A B A C 'dir.
+ , + , +
, + , + ,
=
=
`
`
`
`
`
`
j
j
j
j
j
j
4. De Morgan kuralı
A B A B
A B A B dır.
ı ı ı
ı ı ı
+ ,
, +
=
=
`
`
j
j
5. A , A E A , A A AA A , A E E , A A A+ + +
, , ,
Q Q
Q
= = == = =
6. s A B s A s B s A B, += + -` ` ` `j j j j
7.
s A B C s A s B s C s A B s A C
s B C s A B C
, , + +
+ + +
= + + - -
- +
`
`
` `
`
` ` `j j
j
j j
j
j j
Örnek
A A B A Bý ý ý+ + , +` j; 8E B
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?A) A B) B C) Q D) E E) Aı
Çözüm
A A B A B A A B A B
A A A B A B
A B A B
B A AB EB'dir
ı ı ı ı ı
ı ı
ı
ı
+ + , + + , , +
+ , + + +
, + , +
+ ,
+
Q
=
=
=
===
` `
c`
`
`
c `
`
`
`
`j j
j
j
j
j
j
m
m
j
j
j; E
Cevap B
Örnek
Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya Türkçe dersinden geçmişlerdir. Matematikten geçenler sınıfın %60, türkçeden geçenler sınıfın %80 i olduğuna göre, her iki dersten geçenler sınıfın yüzde kaçıdır?A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40
Çözüm
Sınıfın tamamı 100x olsun.
Matematikten geçenler %60 & 60x
Türkçeden geçenler %80 & 80x'dir.
s M T s M s T s M T
100x 60x 80x s M T
s M T 40x'dir.&
, +
+
+
= + -
= + -
=
`
`
` `
`
`j
j
j j
j
j
O hâlde sınıfın %40'ı her iki dersten de başarılıdır.
Cevap E
İki Küme FarkıA ve B iki küme olmak üzere, A kümesine ait olup B kü-mesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A\B veya A − B ile gösterilir.
A B x:x A ve x B dir.= g!= $ .
A B= B A= B A=
ABA B
7
Özellikler
1. A B A Bı= +=
2. s A B s A B s B A s A B dir., = = += + +` ` ` `j j j j
3. A B B A A B simetrik fark= , = 3=` ` `j j j
Örnek
A B C
.a
.b.c
.d .g
.e .h.f
Yukarıdaki şekle göre, s B A B C= + =` `c j jmkaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Çözüm
B A d,e, f
B C c,d,e
B A B C d,e dir.
=
=
= + =
=
=
=` `j j
$
$
$
.
.
.
O hâlde s B A B C 2= + = =c` `j jm bulunur.
Cevap E
Örnek
A a,b,c ve B a,b,c,d,e, f= =$ $. . kümeleri veriliyor.Buna göre, B A= kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
Çözüm
B A d,e, f= = $ . dir. s B A 3= =` j ise bu kümenin 2 ele-
manlı alt küme sayısı 23
2!1!3! 3= =e o bulunur.
Cevap C
Örnek
A B Bý
= +` j; E kümesinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) A B) B C) ∅ D) E E) A
Çözüm
A B A B dir.
A B B A B
A B B B B dirA
dir.
A B B E bulunur.
Bı ı
ı ı
ı
ı= +
= + + +
+ + +
+
= +
Q
Q
Q
Q
=
=
= ===
= =
`
c`
`
` `
j
j m
j
j j
Cevap D
Örnek
s A B 2s B A 3s A B= = += =` ` `j j j
olmak üzere, s A B 22, =` j ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18
Çözüm
s A B s B A s A B2 3k k k6 3 2
= += =` ` `j j j1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44
s A B ( ) ( )
22 6k 3k 2k11k 22 k dir.
s B A s A B2 3k k3 2
&
, $ = $ +=
= + += =
=` j1 2 344 44>
O hâlde s A s A B s A B= += +` ` `j j j
6k 2k8k16 bulunur.
= +==
Cevap D
8
1. A a,b, c , d ,Q= ' $ $. . 1
kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) a A1$ . B) d A1$' .1 C) ,a c A1$' .1
D) b A1 E) s A 5=` j
2. A kümesinin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 96 arttığına göre, A kümesinin ele-man sayısı kaçtır?A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
3. Özalt küme sayısı 31 olan bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20
4. A a,b,c,d,e= $ .
kümesinin alt kümelerinin kaçında a elemanı bulunur?A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
5. A a,b,c,d,e, f= $ .
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur, b bulunmaz?A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 20
6. A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı 4 ele-manlı alt küme sayısına eşit ise A kümesi kaç elemanlıdır?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
7. 5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?A) 5 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24
8. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
A B A Bý
= , ,` `j j
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?A) Aı B) Bı C) A D) B E) ∅
ÇÖZÜMLÜ TEST