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Universidad de La Serena Departamento Física y Astronomía

Laboratorio 1:Teoría de Error

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TEORÍA DE ERRORi

INTRODUCCIÓN:

La siguiente guía que son determinadas experimentalmente por medidas o combinación de medidas. Estas medidas obtenidas experimentalmente generan errores e imprecisiones debido a muchos factores. A causade esta inseguridad en una medición es que se desarrolla la Teoría de Errores. Es por ello que se han convenido ciertas reglas que se entregan a continuación:

Notación Científica:

La notación científica es una manera de simplificar la escritura de números, utilizando para ello potencias de 10. Todo número puede ser expresado como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 correspondiente.

Ejemplo 1: 5584149 5,84149 10= ×

Ejemplo 2: 30,00234 2,34 10−= ×

Orden de Magnitud:

Se llama Orden de Magnitud a la potencia de 10 que acompaña al número expresado en notación científica. En los ejemplos anteriores los órdenes de magnitud son 510 y 310− , respectivamente.

Cifras Significativas:

Cifras Significativas (CS) es el número de dígitos necesarios para expresar el valor de una medida. Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no se consideran CS, pero los ceros a la derecha sí corresponden a CS. Por lo tanto, agregar ceros a la derecha implica falsear los datos, puesto que se agrega CS que no corresponden a los resultados de la medición. Ejemplos: 3400 tiene 4 CS

0,0047 tiene 2 CS 25,0035 tiene 6 CS



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Redondeo a un número determinado de cifras significativas:

A veces se opera matemáticamente con magnitudes que tienen distinto número de CS, por lo que para simplificar los cálculos conviene eliminar algunas cifras, para lo cual se convienen ciertas reglas de redondeo (aproximación). Al aplicar estas reglas no se está perdiendo información, sino, por el contrario, se está asegurando que el resultado es lo más cercano al verdadero valor, según veremos más adelante. Primera Regla: Si la primera de las cifras a eliminar es menor que 5 (cualesquiera que sea el número de dígitos que le siga), se mantiene el número primitivo. Segunda Regla: Si la primera cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta la última cifra en una unidad. Ejemplo: 47,8284 47,828= (aproximación a 5 CS) 47,8284 47,8= (aproximación a 3 CS) 47,8284 48= (aproximación a 2 CS)

Tercera Regla: Si la cifra a eliminar es un 5 (no le siguen otras cifras como en el caso anterior) el redondeo se realiza al número par más cercano. Ejemplos: 4,65 4,6= (2 CS) 3,735 3,74= (3 CS)

Cabe destacar que al operar con las reglas anteriores algunos redondeos serán por defecto y otros por exceso, por lo que si se redondean varios factores de una operación, se habrán de producir lógicas compensaciones.

Reglas prácticas de aproximación en operaciones sencillas:

Estas reglas le permitirán entregar un resultado con cifras confiables, aunque en algunos casos es posible un error en la última cifra significativa. Regla para adición y sustracción: Al sumar y restar números aproximados se mantiene en el resultado, tantas cifras decimales como haya en el número aproximado con menor número de decimales. Antes de operar, redondee: Ejemplo: sumar los números 5,43; 8,025; 3,478; y 2,302

El número con menos cifras decimales es 5, 43 entonces se debe redondear todos los números sumandos a dos cifras decimales y después sumar los números aproximados, como sigue: 5,43 5,43→ 8,025 8,02→ 3,478 3,48→ 2,302 2,30→

19,23



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El resultado correcto de la suma es 19,23. Regla para multiplicación y división: Al dividir o multiplicar números aproximados corresponde mantener en el resultado tantas cifras significativas como haya en el número aproximado con menor número de CS. Si algunos números tienen más CS que otro, entonces es conveniente redondearlos previamente. Ejemplo: se multiplicará los números 3,42; 52,18; y 1,225 que tienen 3 CS, 4 CS y 4 CS respectivamente. El número con menos cifras significativas es 3, 42 entonces todos los factores deben ser escritos con tres CS y luego se multiplican, como sigue: 3,42 52,18 1,225 3,42 52,2 1,22 218× × = × × = (3 CS)

Regla para funciones trascendentes: El resultado debe darse con el mismo número de CS que tiene el argumento. Ejemplos: sen 45,8 0,717° = (3 CS) tg30 0,58° = (2 CS)

5,48 240e = (3 CS)

MEDICIÓN:

Medir es comparar cuantitativamente un patrón (unidad de medida) con una magnitud desconocida. Ello implica la necesidad de definir un patrón y un procedimiento de medición para cada magnitud. Tanto los patrones como los procedimientos de mediciones; es decir, ¿con qué y cómo se mide?, están estandarizados en normas internacionales.

Métodos de medición:

Por comparación directa: el patrón es confrontado directamente con la magnitud a medir, ejemplo, medir el largo de una mesa con una huincha graduada. Por comparación indirecta: algún mecanismo transforma la señal de entrada en otra señal que es función de la primera, ejemplos:

∗ la deflexión que registra la aguja del velocímetro indica lo rápido que va el vehículo.

∗ la cantidad de agua que circula por una cañería se traduce en una desviación de la aguja indicadora del medidor.

ERRORES:

El trabajo en el laboratorio consiste esencialmente en medir magnitudes físicas. Este proceso nos enfrenta al hecho que la medición de una misma magnitud, con un mismo aparato, realizada varias veces, dará distintos valores por más cuidadoso que se sea en el trabajo. Es claro entonces que la medida tiene cierta incertidumbre. Cabe preguntarse entonces ¿cuál es el verdadero valor? Lo más simple es pensar



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que se han cometido algunas faltas al realizar las medidas. El problema de la determinación del valor verdadero se estudia con el nombre de Teoría de Errores, lo cual no significa que se ha procedido equivocadamente sino que “Error es un nombre para las causas que producen imprecisiones en las medidas y para la medida de la imprecisión misma.”

Errores Instrumentales:

Se deben a defectos de los aparatos de medición, producidos por distintas causas; por ejemplo: mala fabricación, desgaste, etc. Uno de ellos, muy común para los aparatos con escalas, se produce cuando el valor “0” de la escala aparece corrido. Para eliminarlo se recomienda verificar siempre su correcta ubicación antes de efectuar cualquier medición.

Errores Personales:

Son propios del operador; debido generalmente a inexperiencia o malos hábitos, o distracción, etc. ejemplos, leer mal en una escala, no usar correctamente el instrumento de medida, etc. Uno de los más comunes es el Error de paralaje que se comete en la lectura de instrumentos que tienen escala, se subsana mirando perpendicularmente la escala.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no dependen del instrumento ni del operador; ni del objeto medible; provienen de muy diversas causas y escapan del control del operador. Ejemplo, cambios de temperatura, vibraciones, etc. Son inevitables y son los que más influyen en el error de medida. Se supone que ellos siguen las leyes del azar y son por lo tanto susceptibles al tratamiento matemático. Una de las consecuencias más importantes que se debe extraer de este estudio es la conclusión de que es imposible obtener el valor absoluto o verdadero de una medición. ¿Qué nos proporciona entonces una medición? Primero: el valor más representativo de la medida. Segundo: un intervalo alrededor de este valor más representativo, donde exista la

mayor probabilidad de que se encuentre el valor absoluto o verdadero. Este intervalo, por otra parte, indica la confianza o la precisión de la medida, pues si es muy grande significa que las medidas difieren mucho entre sí; hay una dispersión y por lo tanto, la medición es poco recomendable. Por el contrario, mientras más pequeño es este intervalo, más precisa será la medición.

Errores Sistemáticos y Errores Aleatorios:

En general, todo tipo de error puede clasificarse como sistemático o como aleatorio. Los primeros se deben a inexactitud del instrumento de medición y/o al



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tipo de disposición experimental empleada. Se repiten en cada medición y tienen una misma causa; son difíciles de detectar pero una vez identificados son eliminables. En cambio, los errores aleatorios están siempre presentes en toda medición, no son eliminables, tienen la misma posibilidad de ser positivos o negativos y se manifiestan cuando aparece un valor grande en el error final. Es conveniente distinguir entre exactitud y precisión. Un resultado es exacto si está relativamente libre de error sistemático y preciso si el error aleatorio es pequeño. Desde el punto de vista matemático es lo mismo escribir 2,0m que 2,00m , pero en una medición los ceros indicados señalan implícitamente características del instrumento con que se efectuó la medida. Indican cifras significativas, por lo tanto, la segunda medida es de mayor precisión.

Forma de Determinar un Resultado Experimental:

El resultado numérico de una serie de mediciones se indica en la forma: xxx Δ±=

Donde x es el valor más representativo y xΔ el error absoluto.

Ejemplo: p 4,306 0,006= ±

En lo que sigue se verá cómo se puede llegar a un resultado como el indicado, a partir de una serie de medidas.

El Valor más Representativo:

Estudiando el problema en forma matemática, Gauss llegó a la conclusión de que el valor más representativo de un conjunto de medidas es el Valor Medio o Término Medio de las medidas, esto después de un largo desarrollo matemático con elementos de Estadística como histogramas, curvas de distribución y considerando que el número de mediciones podría considerarse infinito, obtuvo una curva cuyo valor máximo venía a ser justamente el Valor Medio de las mediciones. Existen otros valores representativos que tienen un valor más restringido, como por ejemplo, alguna medición muy grande o muy pequeña comparada con el conjunto: Tales como: la Moda o medida que más se repite y la Mediana que es la medida que divide justamente en dos partes iguales el número de medidas. Supongamos que se han hecho una serie de mediciones que han dado los valores numéricos 1 2 3, , , ,i nx x x x xK K . Donde n es el número de medidas efectuadas:

Valor Medio o Promedio Aritmético:

ixnx Σ= 1

Promedio Geométrico:



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nnLLLL ×××= ...21

Promedio Armónico:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

nLLLLnL1...11111

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En el Laboratorio como valor más representativo usaremos el promedio aritmético. Determinación del Error: Existen diversas maneras de determinar xΔ , pero la más natural es el llamado error estándar del promedio que ahora llamaremos error absoluto.

Este queda definido por:

( )( )1

2

−Δ

=Δ ∑nnx

x i

o desviación normal de la media.

Donde ii xxx −=Δ recibe el nombre de desviación de una medida. Cabe hacer notar que en Estadística es frecuente trabajar con la varianza que se define como:

( )∑ Δ= 22 1ixn

S

Confianza en la Medida: Cuando se efectúan n mediciones se debe determinar su valor medio y su error. El resultado de la medición se expresará así:

xxx Δ±= Con lo cual indicamos nuestra creencia de que el valor absoluto o verdadero de la medición se encuentra comprendido entre ( )xx Δ− y ( )xx Δ+ . Influencia del Error en las Cifras Significativas: Ahora necesitamos mencionar la importancia del error cuando se trata de eliminar cifras superfluas que a menudo provienen de operaciones aritméticas sin ningún contenido físico. El error va a indicar cuáles son las cifras significativas de x que pueden considerarse inseguras: de tales cifras consideremos sólo la primera de ellas. Ejemplo 1: 02,05737,21 ±=M MΔ afecta a la segunda cifra decimal, luego todas las demás son superfluas y

debemos eliminarlas Notación Correcta: 02,057,21 ±=M Ejemplo 2: 1,0278,31 ±=M Debe presentarse como 1,03,31 ±=M Error Relativo y Porcentual: Podríamos decir que el error relativo de una medida es el error que le corresponde a la unidad de medida. Si lo designamos por ε se tendrá:



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i

i

xxΔ=ε

Es un número adimensional pues tanto xΔ como x están en la misma unidad de medida. Este valor es el índice que permite apreciar la exactitud con que se ha hecho la medida y hará posible establecer una comparación entre la rigurosidad o calidad de los distintos procesos de medición. Ejemplos:

0,053,40 0,05 0,0153,40AA ε= ± ⇒ = =

0,122,24 0,12 0,0542,24BB ε= ± ⇒ = =

0,4432 0,4 0,0009432CC ε= ± ⇒ = =

Evidentemente la medida hecha con más precisión fue la medida de C. Los mismos valores anteriores del error relativo podrían haberse expresado en porcentaje y se habría tenido: %5,1100015,0' =×=Aε %4,5100054,0' =×=Bε %09,0100009,0' =×=Cε Esta manera de presentar el error relativo se llama Error Porcentual y permite apreciar las diferencias entre los distintos errores relativos.

100×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=i

ip x

xε

Numero de Mediciones: Determinar el número de lecturas que se debe hacer en un proceso de medición no es un problema simple y la respuesta proviene de la misma teoría matemática que determina al Promedio como valor más representativo. Esta teoría dice que, con 4 medidas el error se reduce a la mitad del correspondiente error de una sola medida; con 9 medidas se reduce a un tercio, pero a partir de allí la disminución del error es muy lenta y para disminuirlo a 1/20 se necesitan 25 medidas y de allí en adelante la disminución del error es prácticamente nula frente al aumento de medidas. Adoptamos por lo tanto, por norma, tomar 10 medidas y como mínimo 5 medidas. Por otra parte, el número de medidas para cada magnitud, queda determinada por la importancia relativa de la magnitud dentro de la expresión matemática, como lo veremos en la propagación del Error. Error Apreciado o Incerteza de la Medición Muchas veces es suficiente una sola medida, como sucede por ejemplo, al tomar la temperatura a una persona. Es posible tener absoluta seguridad de lecturas menores que la menor división de la escala.



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Se llama sensibilidad de un instrumento a su menor división. Así, el operador aprecia una fracción que llevará consigo un error que no podremos calcular mediante el Error Absoluto. Es por ello que en tales casos, cuando deseamos considerar dicho error, lo apreciamos como la mitad de la menor división de la escala. Ejemplo: Medimos una distancia con un metro cuya menor división es el milímetro. 0,7922M m= , el error apreciado será 0,0005M mΔ =

Luego ( )0,7922 0,0005M m= ± Este error, es el menor error que puede tener una medición. Si el error absoluto resultara menor que el error apreciado, debe reemplazarse por el error apreciado. Propagación del Error: Mencionamos al comienzo la existencia de medidas indirectas, que son aquellas medidas que dependen de otras con las cuales están relacionadas habitualmente, por medio de una fórmula. En este caso, al realizar operaciones matemáticas se produce la propagación del error, por lo que se deberá trabajar con las medidas directas y sus errores absolutos, de acuerdo a las siguientes reglas: Reglas para operar con números aproximados: Sean xx Δ± e yy Δ± dos números aproximados con sus respectivas incertezas.

Adición: x ± dx( ) + y ± dy( ) = x + y( ) ± (dx + dy)

Sustracción:

x ± dx( )− y ± dy( ) = x − y( ) ± (dx + dy)

Multiplicación: x ± dx( ) y ± dy( ) = xy( ) ± (xdy + ydx)

División:

x ± dxy ± dy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x

y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟± xdy + ydx

y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La incerteza debe ser expresada en función de un sólo dígito (cifra significativa).



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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE MEDIDAS EXPERIMENTALES Si existe una relación matemática entre distintas magnitudes, una forma de visualizar dicha relación es representándola gráficamente .A partir de un número limitado de mediciones , sólo es posible conocer una forma limitada de puntos de esta curvas. Estos puntos representan la relación que hay entre las magnitudes en estudio, están sujetas a error, por esto, la curva no une los puntos sino que se ajunta a ellos . Respecto a la forma de estas curvas experimentales se aceptan dos hipótesis:

• En el caso general, la relación buscada es una función continua sin variaciones bruscas entre punto próximo.

• La probabilidad de que los errores sean positivos o negativos es la misma. Un ajuste de curvas o una regresión , corresponde a un método matemático que modéliza la relación entre variables dependientes Y y la variable independiente X y un termino aleatorio. La figura muestra tres gráficos en los cuales ajuntados de forma lineal, la mejor aproximación corresponde al grafico (a)

(a) (b) (c)



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Ejemplo: Grafique los datos que muestra la siguiente tabla, ajústela a una recta y calcule la correlación R.

i Guía adaptada de profesores María Lina Berrio y Manlio Maldini

teorÍa de error introducciÓn: notación científica€¦ · perdiendo información, sino, por el...

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