INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZITACUARO

TEOREMA DE BAYES

POR: ACEVES MARTINEZ JOSE RICARDO

H. Zitácuaro Michoacán a 6 de Junio del 2014

En la teoría de probabilidad el teorema de bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes: a partir de que a ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?)

Thomas Bayes

La fórmula de bayes es:

Donde:

• P(Ai) son las probabilidades a priori.

• P(B/Ai) es la probabilidad condicional.

• P(Ai/B) son las probabilidades a posteriori.

• P(B) probabilidad total.

Ejemplo 1

A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución; definamos que:

H: Sea un hombre

M: Sea una mujer

E: La persona sea especialista en computación

P(E|H )=0 .1

P(M )=35100

=0.35 P(E|H )=0 .06

=(0 .35)(0 .06 )

( 0.65 )(0.10 )+(0 .35)(0 .06 )=0 .0210 .086

=0 .2442

Ejemplo 2

En cierta planta de montaje, tres máquinas B1, B2, B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la máquina B3?

Solución; Considere los eventos siguientes:

Al aplicar el teorema, podemos escribir:

De los datos del problema sabemos que:

Entonces:

Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por la máquina B es del 20%.

Ejemplo 3

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error