teorema de pick
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ORGANIZAÇÃO
Ludovina Morais de Oliveira
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O Stomachion
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A invenção de um dos maisantigos quebra-cabeçasgeométrico que se conhece éatribuída a Arquimedes, sábiogrego que viveu em Siracusa,Sicília, no séc. III a.C.
O Stomachion é constituído porum conjunto de 14 peças planas(originalmente em marfim) devárias formas poligonais comduas característicasfundamentais:
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• podem unir-se de modo a formar um
quadrado;
• a área de cada peça é comensurável com
a área do quadrado anterior.
O que significa comensurável? Significa
que o quociente entre a área de cada peça
e a área do quadrado total é um número
racional.
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Teorema de Pick
Georg Alexander Pick (1859-1942)
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Este teorema foi descoberto pela
primeira vez pelo matemático Georg
Alexander Pick em 1899;
O teorema de Pick só é válido para
figuras simples, isto é para figuras em
que os lados não se intersectem a não
ser, eventualmente, nos vértices. O
teorema é usado, por exemplo, na
indústria florestal, para determinar a área
de uma região em função do número de
árvores (regularmente espaçadas).
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O cálculo de áreas de
polígonos nem sempre é
uma tarefa fácil, pela
variedade de formas que
podem assumir. Não é
fácil, por exemplo, calcular
a área do polígono
apresentado a seguir:
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Muitas vezes recorremos a processos de
dissecção do polígono ou de subtração de
áreas. Todos estes processos envolvem a
área como um conceito bidimensional. O
novo método que apresentamos permite o
cálculo da área pela simples contagem de
pontos.
Este polígono é de fato complicado! Noentanto, tem a particularidade de ter os seusvértices sobre um reticulado de pontos noplano, constituído por pontos de coordenadasinteiras.
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Introduzindo o
Teorema de Pick
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Usando o quadrado como
unidade de medida, encontre a
área das figuras da atividade 1:
1
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Calcule a área das figuras,
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16 quadrados
16 : 2 A= 8
5 quadrados
A= 5
1 quadrado
A=15 quadrados
inteiros e ...
A= ?
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A(P) = f + i - 1
Teorema de Pick
Dado um polígono simples P, sejam f o
número de pontos de fronteira, i o número
de pontos interiores.
Então a área A(P) desse polígono é dada
pela expressão seguinte
2
1
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Calcule a área do exercício
utilizando o Teorema de PicK
A= f/2 + i – 1
f= 12 i =3
A= 6 + 2
A=8
f= 10 i =1
A= 5+ 0 A=5
f= 4 i =0
A= 2 - 1
A=1
f= 12 i =3
A= 6 +2 A=8
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Atividade 2
F= 13 i = 1
A= 6,5 + 0
A= 6,5
F= 13 i = 3
A= 6,5 + 2
A= 8,5
F= 16 i = 8
A= 8 + 7
A= 15
A1= 6,5 A2= 8,5 A3=15
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Atividade 3
F= 44 i =72 A= 22 + 71 A= 93
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DESAFIO
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f=125 i =212
A= 62,5 + 211 = 273,5
A= 125/2 + 212 -1
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Fontes de pesquisa:http://matemateca.incubadora.fapesp.br/p
ortal/matemateca/exposicao/pick/
http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/matelem/st
omachion.html