teoremedegeometrie

5/14/2018 TeoremeDeGeometrie - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoremedegeometrie 1/19

CAPITOLUL IV. TEOREME CLASICE DE GEOMETRIE

DEMONSTRATE UTILIZANn TRANSFORMARILE

GEOMETRICE

1. DREAPTA LUI EULER

Teoremii: Fie 0 centrul cercului circurnscris triunghiului ABC, G centro] de

greutate si H ortocentrul triunghiului. Punctele H, G si 0 se gasesc pe 0 dreapta si:

HG=2GO.A

B ~----~----~~------------------------------~ CA l

Demo1t~trafie: Se cunoaste cii GAt=iA. Aceasta proprietate a centrului de -

greutate ne sugereaza ideea utilizarii ornotetiei hI' pnn care punctul A sec'-2

transforms 1 1 1 punctul A '= h I (A). Deoarece prin ornotetie, 0 dreapta care nu treceG --, 2

prin centrul omotetiei se transforms mtr-o dreapta paralela ell ea, inseamna ca

inaltimea AH se transforms in mediatoarea segmentului BC. Analog, inaltimea BH se

transforrna in mediatoarea laturii AC. Prin urrnare, punetul H, intersectia iniiltimilor,

se transforms In punetul 0, intersectia mediatoarelor,

De aici se deduc doua proprietati:

a) Punetele H , G ~10 = h I( H ) sunt coliniare (din definitia omoteriei)G--, 2 .



b) GO= -.!. ·GH < = > HG=2GO.2

2. DREAPTA NEWTON-GAUSS

Teoremii: Mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscriptibil si centrulcercului inscris sunt situate pe 0 aceeasi dreapta (numita dreapta lui Newton-Gauss).

D

A

B

Demonstratie: Consideram di ongmea sistemului de axe de coordonate

ortogonale coincide cu cen tru l al cercu lu i inscris In patrulaterul ABCD, notat Cll I, iar

raza acestui cere se considers ea este egala cu unitatea.

Fie ME AB, NE BC, PECD ~i QE DA, punctele de tangenta ale patrulaterului

ABCD eli cercul inscris. Notaro eu a, b, c, d afixele varfurilor patrulaterului ABeD ~ - i

ell m, n, p, q afixele punctelor de tangenta. Asadar, I m I = I n I = I p I = I q I =1.



I

De031·eCe I P .L DP , rezulta, conform teoremei 6.1.11. de la pag ina 116 a

lucrarii [1], di (p-O)o(p-d)=O ~i avand In vedere definitia produsului real al

numer lor complexe rezulta ca p(p-O)+p(p-d)=Osau pd+pd=2 (1).

in mod similar, din fQ .L DQ se ajunge la qd + qd =2 (2).

Relatiile 0) si (2) permit exprirnarea nurnarului d astfel:

d = 2pq .

p+q

In mod analog se obtin egalitatile:

2qm b= Zmna= ,

a+m "ni+n

2npc= .

n+p

Afixele punctelor E si F. mijIoacele diagonalelor (AC]. respectiv [BD], se

exprirna a tfel:

a+c mnq+mpq+mnp+npq x

e=-2-= (m+q)(n+ p ) = (m+n)(p+q) ~]

f = b+d = nutp+mnq+rnpq+ npq = x .

,2 (m+n)(p+q) (m+qj(p+q)

Propozitia 6.1.8. prezentata la pagina 113 a aceleiasi lucrari [IJ, afirma cit

punct Ie E ( e ) ~i F ( f ) , distincte si diferite de J ( i ) sunt coliniare daca ~inumai daca

eX f = 0 (unde prin ,x" s-a notat produsul complex al numerelor e ~i f) . Utilizand

definitia produsului complex avern:

[2 2 ] ,1(- -) 1 I x J I x Ix! =-ef -ef =- _ _ _ _ - _ _ _ _ : : : : 0

2 2 (m+ q X p + q ) ( m + n X p + q) (m+ 'q X p + q)(ln + n X p + q)

Deci punctele E, /, F sunt coliniare.

3. CERCUL CELOR NOVA PUNCTE

Teoremii: Mijloacele laturilor unui triunghi picioarele Inaltimilor ~l

mijloaee\e segmentelor care unese fiecare varf eu ortocentrul triunghiului se gasesc pe

acelasi cere (cereul celor noua puncte).

Demonstratie: Fie AI mijlocul laturii Be, A 2 piciorul lnaltimii din A si A 3

mijlocul segrnentului AH. Se stie ea simetricele ortocentrului fata de laturi si fata de

mijloacele laturilor se gasesc pe eereul circumscris triunghiului, Fie A r l ~ i A'2

simetricele ortocentrului H fala de rnijlocul Al al Iaturii BC;. respectiv fata de latura

B e .



AI2

Rezulta ca punctele A ,. A z • A3 sunt situate pe un cere, omoteticul cercului

" circumscris triunghiului ABC Acest cere are centrul (0, 10 mijlocul segmentului HO,. ~i

are raza de Iungime egala ell jumatate din lungimea razei cercului eircumseris

triunghiului ABC. Analog, se demonstreaza, di celelalte sase puncte Bil B2• B3, C], C2,

C3 se afla pe acelasi cere, numit cercul ceIor noua puncte sau cercul lui Euler.

4. TEOREMA LID M ENELAUS

Teoremli: Daca 0 transversals intersecteaza dreptele AB, BC, AC, care contin

, laturile (AB), (BC), (AC) ale triunghiului ABC 10 punctele A" Bi, respectiv C"

atunci ate loc relatia:

AlB BIC CIA_1_0-. _o~ __ ,

Ale BlA C,B .

Demonstrtuie: Fie t 0 transversala care intersecteaza dreptele AB, BC, AC,

care contin la tu rile triu n gh iu lu i ABC In punctele A J, B io C,.



A

Construim semidreptele paralele (A A z • (BB-2, (CC z • care intersecteaza

transversala t In punctele A 2, B2• C z . Rezulta c a [A Az], [B B z ] , [C C z ] sunt segmente

paralele. Consideram trei omotetii: hAI,kl care transforma pe B in C, hB I

• kl care

transforrna pe C in A §i he k care transforms pe A in B. Prin urmare:l' 3

AlB =k BIC =k CJA =kA C I' B A 2' C B 3'I I I

BE z BIC cc, CIA A J : i 2=--,--=-----,--=-""'-=-

CC 2 BIA AA2 C IB BBz

enunt,

inmul~ind membru ell membru aceste ultime trei egalitati obtinern relatia din

5. PRIMA TEOREMA A LUI PTOLEMEU

Teoremii: Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Atunci are loc egalitatea:

AC·BD=AB·CD+AD·BC.

Demonstratie: Consideram 0 inversiune I de pol A §i putere k.



A

d

Notam eu d transformata prin 1 a eercului cireumscris patrulaterului ABCD ~i

8'=/(B), c= I(C), D'=/(D). Avem B'D'=B'C'+C'D'.

Folosind teorema 1.2.10. din eapitolul II, putem scrie:

B'D'=k . BD ,B'C'=k BC ,C'D'=k CDAB·AD AB·AC AC·AD

Utilizand aceste trei egalitati, identitatea anterioara se scrie: I

k BD = k BC + k CD

AB·AD AB·AC .AC·AD'

de unde:

AC· BD = AB·CD+ AD· BC .

•6. TEOREMA LUI BRETSCHNEIDER

(sau teorema intiii a lui Ptolemeu generalizata)

Teoremii: Intr-un patrulater ABCD are lac egalitatea:

AC2 ·BD2= AB2 ·CD2 + BC2. AD2 -2AB·CD·CD· DAeos(B+ D )

Demonstrasie: Consideram inversiunea '; AC2 de pol 'A(a) ~iputere AC2 •

AC2i I c - a l

2

Este dar ca i ~, ( C ) =a + -- = a + . =a + c - a =c .n, AC- C - a c - a

Consideram cazul m ( B ) + m ( C ) < st , cazul ~ B ) +m( C ) > st tratandu-se

analog.



E

A

Deoarece t1ABC - /).ACE ~i/).ADC - t1 ACF,. rezulta ca:

m ( ECG ) = 1 l - B si m ( E C F ) = 1 l- D , d e d m ( E C F ) = 2 1 l - ( B + D )

Teorerna cosinusului aplicata in triunghiul ECF conduce la:

EF2=CF

2+CE2-2CE·CFco (B+D).

Folosind Teorema 1.2.10. din capitolul ITavem:

CF= AC.CD, CE= AC.BC. EF= AC2

·BD

AD AB AB·AD ,

Dupa aducerea la acelasi numitor §i sirnplificarea prin factorul neoul AC2 se .

obtine egaJitatea din enunt,

Observatie: Teorema este valabila ~i intr-un patrulater concav, desi am ilustrat

dernonstratia folosind un patrulater convex.

Consecinta 1. In parrulaterul ABCD au loe inegalitatile:

lAB ·CD - BC· ADj < AC· BD s AB· CD - sc AD.

Demonstraiie: Deoarece l<cos(B+D)$-l, se ajunge imediat din relatia din

relatia lui Bretschneider la inegalitatea din aceasta consecinta.

Consecinta 2. Patrulaterul ABCD este inscriptibil daca ~i numai daca suma

produselor laturilor opuse este egala CLl produsul diagonalelor, adica:,AC·BD ~ AB· CD+ AD· BC.



7.A nOVA RELATIE A LUI PTOLEMEV. ' .

Teoremiii 'F ie a tru la teru l ABCDun patrulater in sc rip rib il, A tu ne i a re lo c e ga lita te a:

- AC AB·AD+CB·CD=-~-----

BD BA·BC+DA·DC

Demonstrtuie: Se considers inversiunea IA, .k ' Se foloseste figura de Ja

demonstratia prirnei relatii a lui Ptolemeu si se aplica teorema lui Stewart In triunghiul .

AB'C' si anume:

AC'2·B'D'= AB'2.C' D'+AD'2·B'C'-B'C'·C'D'·B'D'.

U tilizand Teorem a 1 .2.1 0. din capitolul ITau lac si egalitatile:

AB'='!_; AC'=~; DA,=_k_;AB . AC AD

B'C'=BC kAB·AC

C'D'=CD--k_AC·AD

B'D'=BD kAB'AD

Rezulta:k2

k k2 k k2

k--.·BD =--·CD +--·BC---AC~' AB·AD AB2 AC·AD ADz AB·AC

k3• BD· BC·CD- - - - ~ _ _ _ . - - ~ ~ - : : : : : : >

AB·AD· AB· AC·AC·AD

~ BD· AB· AD = AC· CD· AD +sc AB· AC- BD· BC· CD ~

::::::>BD(AB.AD+BC.CD)=AC(AB. BC+AD·CD)~

AC AB·AD+CB·CD=>-=-------

BD BA·BC+DA·DC

8. RELATIA LUI EULER

Teoremii: In o ric e triu ngh i ABC are lo e u rr na to ar ea r ela tie :

. 01 =. J R2 - 2Rr ,n um ita relatia lu i Euler. ( no ta tiile s un t cele cunoscute)

Demonstratie: Fie i f 2 in versiu nea de pol r~iutere r 2 ., r

,Notam {D}= Al nC, {E}= Bl nAC, {F}= CI nAB. Cercur i le de

diametre [D , IE , IF , se transforms prin i[,r2 in dreptele BC, CA, respeetiv AB. Rezulta ca

i 1 ( A ) = A ', if '2 ( B ) = B ', if 2 ( C ) =C'. unde A ', B ', C' sunt punetele de intersectie,I, r I r ,r

diferite de I , ale cercurilor de diametre ID , IE , IF . Cereul c e ; circumscris triunghiului ABC

se transforrna prin il•r). in cercul (0 eireumse~is triunghiului A'B'C'. Conform problemei

" rpiesei de 5 lei a lui G. Titeica, rezulta ea raza cercului coeste - .

. , . 2



Acum, relatia stabilita in teorema 1.2.9 din eapitolul II, se scrie:")

r r: . J .~~? 2 ~ 0/2 =R2 -2Rr~ 01::::: R2 -2Rr .2R R- -OJ

9. TEOREMALUI STEINER

Teoremii: Fie ABC un triunghi ~l AAJ

, AA 2 dona ceviene izogonale,

(A2 ,A1 E BC ~i LAjAB = = LA2AC). Atunci:

AlB AlB ABl--~--~~-

Dem onstra tie:

A

Fie inversiunea iA,k si 8'~ iA, k (8), "C'= iA,k ( C ) , A \ = iA. k ( A I ) ' A'2 = I A,k (AJ.

m(LBAAJ)= m(LCAA.J ~im(LBAAz) = m(LCAA1 ) ~ 8'A'I = = C'A'2 ~i

B' A'2

= = C' A't (la arcecongruente corespund coarde congruente),Prin urmare:

k·A CI

BAl' BA2 CAl' CAl

~ AB 2 . AA . AA = AC2 "AA . AA ¢::>12· I· 2

AlB· AlB AB2¢:::} =

AIC· A2C AC2'



10. TEOREMA LID DIM IRIE POMPElU

Teoremii: Fie ABC un triunghi eehilateral si M un punct inplanul triunghiului. S a

se demonstreze ea:

a) Daca M nu apartine eereului eireumseris triunghiului ABC , atunei exista un

triunghi eu laturile eongruente ell segmentele MA, MB si Me.

b) Daca M apartine eereului eireumseris triunghiului ABC, atunei lungimea

unuia dintre segmentele MA , MB si M e este egala ell suma lungimilor

celorlalte dona.

Demonstratiei

A'

Notam eu a, b, c lungimile segmentelor MA, ME si MC ~i eu I lungimea laturilor

triunghiului eehilateral ABe. Deoarece punetul M nu este situat pe cercul eireumseris

triunghiului ABC , punetele A ' , B ', C' nu sunt coliniare,

A'B'=AB.!:_=I._!5_=c. l .k .ab ab abc



Analog, B' C' -_ a-l . k C A b.l . k-- ~i " ':::: .Rezulta:abc abc -

b e abc--=-- --=-B'C' C' A' A'B' t. k

Prill unnare, lungimile segmentelor MA, MB si MC sunt proportionale ell,

lungimile laturilor triunghiului A' B'C'. Asadar segmentele MA, MB ~iMC pot forma un

triunghi asemenea eu triunghiul A ' B' C' .

b)

A '

Daca M apartine eereului eireumscris triunghiului ABC , atunei prin aceeasi

inversiune iM ,k ' punetele A, B, C se transforma Yopunctele A', B', C' situate pe 0 dreapta

(perpendiculara pe diarnetrul ee trece prin M). Avem: _

A ' B'::::B'C'+C'A'~ AB.!:_ =BC._!:_ + CA . !_ __ ~ c =a + b.ab be ca



11.TEOREMA LID TlTEICA.

Teoremii: Trei eereuri avand razele egale se intersecteaza intr-un punct, Luandu-

le dona cate doua se obtin m e a trei puncte de intersectie. Cereul determinat de aceste trei

p un cte are ra za egalacu raza eereurilor date.

Demonstrtuie: Se considera UD triunghi ABC. Fie - e u , r), respectiv ce( 0, R),

cercul inscris, respectiv circumscris tr iunghi ului ABC. Se considera In versi u n e a ii, _R1 +012' -

C ercu l ~ 0 , R) se va transfonna prin i tot in tr -un cere.

A

B

A'

Fie A', B ', C' punctele de intersectie ale biseetoarelor [ A I , [ B I ~i [CI eu cereu r

9?1. .0,R). Folosind puterea punctului 1 fata de cercuJ 9 ? 1 . . 0, R) rezulta relatiile:~ ,

fA ·IA'= IE ·IB'= IC ·IC= R2 - 012 ,de unde:

A'= i(A), E'= i(B). C= i ( C ) .

Aceste trei egalitati arata ea:

T (9?1 .. 0 , R )) : :: :C f! i.. 0 , R ).

Dreapta BC (care nu treee prin polul de inversiune l) se va transforrna prin i

intr-un cere care treee prin punetele I, B', C', astfel locat tangenta 1 0 I Ia acest cereeste paralela ell Be. Fie D punetul de contact al cercului lnscris cu latura [BC].

Deoarece ID.1 B9 , reznlta ca D' :: : : i (D ) va fi punctul dlametral opus lui 1,10 eereul

eircumseris triunghiului fIJ' C'. Atunci:

, ID . ID' = R2 - Oj2 .

Daca se noteaza ell 2R} lungimea diametrului [ID']_, atunci, ultima egalitate se

sene:



Din aceasta egalitate ~l din egalitatea lui Euler In triunghiul ABC,

0[2 ;:;R2 - 2rR. se obtine:

Repetand rationamentul pentru dreptele CA si AB se constata ea prin inversiunea i

se obtin alte dona cercuri avand razele egale cu R.

In concluzie, s-au obtinut trei cercuri de raze egale eu R care tree prin punetul I si

care se mai intersecteaza doua dite doua in punctele A', B', C' .Cercul circumscristriunghiului A' B' C' are raza egala eu R.

12. TEOREMA LUI SALMON

Teoremii: Daca puncrele 0, A, B, C sunt pe acelasi cere, atunci cercurile de

diametre fOAl, rOB] s i [OC] se intalnesc doua ca re doua In trei puncte coliniare.

Demonstratie:I

Se considera inversiunea i(O, k), k arbitrar. Cercul circumscris patrulaterului

DABC se va transforma intr-o dreapta d perpendiculars pe diametrul ce treee prin po1.

Daca se noteaza A';:; i ( A ) , B';:; i(B) , C';:; i(C), anmci A', B', C Ed. Prin inversiunea

considerata cercuI de diametru fOA l se transforms intr-o dreapta a (evident -a 1.OA ).



Cerculde diametru rOB] se transforma 'intr-o dreapta b .L OB , iar cercul de diametru

rOC] se transforma Intr-o dreapta c _ _ L DC.

Fie a, j3 , respectiv y punctele de intersectie ale cercurilor de diametre lOC] $ i

[0 8], [OA ] si [OC], respeetiv COAl si COB]. Se noteaza a ': : : i ( a ) , / 3 '= i ( / 3 ) , r':::i(r).

Este evident ca:

{a' l = bn, {/3'}=cn, {Y'}: : : a n b .

Deoareee punetele A ': :: p rf J.y .A , B'= pra'y'B. C'::: pra'p'C sunt coliniare,rezulta, conform reciprocei teorernei lui Simpson, di punctul 0 se afla pe eercul

eircumscris rr iunghiului a ' j 3 ' y ' . Deoarece cercul eircumscris tr iunghiului a ' j 3 ' y ' trece

prin polul 0, rezulta di el (rnai putin polul 0) se va transforma, prin inversiunea

considerate, intr-o dreapta d . . Este evident c a punctele a::: i ( a ' ) , f 3 = i ( / 3 ' ) , y = i ( Y ' )

apartin dreaptei d..

13.TEOREMA LUI FEUERBACH

Teoremii: Tntr-un triunghi cereul lui Euler este tangent la cercul Inseris ~i la

cercurile exinscrise.

Demonstrasie: Fie ABC un triunghi I centrul cercului inscris s i f a eentrul

cercului exinscris tangent laturii [BC]. Notam cu Al piciorul Tnaltimii din A si eu A2

mijlocul laturii [BC], eu D si D' puncrele de tangenta ale celor doua eereuri cu latura

[BC] ~i {E }:: : ll; n Be. Consideram inversiunea de pol A2 si putere k ~ ( / 3 - y ) '1 .

4

unde f J : : : A C ~i y::: AB .

Puterea puuctului A2ln raport eu ce (J , r) este:

: : : a ( / 3 - r)

2 ( f J + y ) :

Deoarece A2E · A2A~ = k , rezulta c a punctu! A'J. se transforms In E si AI se

afla pe cercul lui Euler al triunghiului ABC, rezulta ca punctul E se afla pe dreapta dcare este transformata cercului lui Euler prin i

A2:k, dreapta care este perpendiculars pe

dreapta A2c o , co fiind centrul cereului lui Euler. Deci d treee prin E si fiind

perpendiculara pe A 2CD , este perpendiculara pe paralela acesteia, diametrul [AO] .

Dreapta DD' fiind 0 tangenta corunna interioara a cercurilor inscris si exinscris, a doua

tangents interioara FF' trebuie s a treaca prin punctul de intersectie al dreptei DD' eu

dreapta centrelor 11" , deei prin E . I n acelasi timp FF ' si DD' fae unghiuri congruente

ell 11(j' de unde rezulta ca sunt antiparalele in A ~i deci dreapta FF este

perpendiculars pe AO. Rezulta di d:: : FF '. Deei tansfonnata cercului lui Euler prin



l este dreapta FF' si cum aceasta dreapta este tangenta cercurilor inscris siA~.k

exinscris triunghiului In punctele F, respectiv F', cercul lui Euler este de. asemenea,

tangent la cercurile inscris si exinscris ill punctele FJ, respectiv F;', transformatele

punctelor F ~i F' prin inversiunea iA 2•k .

Analog se arata, prin inversiuni avand polurile In mijloacele Iaturilor [AC] ~i

[AB] si modulele ( a - C ) 2 , re~pectiv ( a - br, di cercul lui Euler este tangent

cercurilor exinscrise tangente la laturile [AG] si [AB].

14. TEOREMA LUI NAPOLEON~TORICELLI-FERMAT

Fie un triunghi ABC oarecare si ABCh BAle, CBIA trei triunghiuri echilaterale

construite in exteriorul triunghiului ABC. S a se arate ca:

a) AAI =BBI =CCI

b) centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor echilaterale construite

formeaza un aIt triunghi echilateral

c) AA, nBBI nCC) *0

d) cercurile circumscrise celor trei triunghiuri echilaterale sunt concurente

Demonstratie:

•



Considerarn ca triunghiulABC are toate unghiurile strict mai mici decat 1200

,

celelalte _cazuri tratandu-se n i r a dificultate.

a) Rotatia TA 60. duce pe C 10 BJ, iar pe C] In B. Asadar, e e ] : : : : : BB] §1, I

analoagele.

b) Afixele punctelor Aj, B 1 > C] obtinute prin rotatii sunt: ,

. a] = c + (b - c ) S , bl =a + ( c - a).5. c , =b + (a - b )s .

Notand cu 0], O2 ', 03 eentrele cercurilor circurnscrise triunghiurilor A IBC,

ABIC, ABCh avern: ..

_ b+2c+(b-c)s' _ 2atc+(c-a)s _ a+2b+(a-b)sZo - , Zo - , Zo - ,',

I 3 ~ 33 3

unde s = cos 600 + i sin 600

•

Deoareee Zo I = 202

+ (zo) - ZOl ), E, rezul t a c a triunghiu 1 0 102.03 este

ech i f ateral.

( )al-a c+(b-c)s-a'

L BjB,AA] =arg =arg . = arg s = 60°.

b-b] (b-a)-(c-a}sNotaro {T}=BIBnAAj, Deoarece m(LATBj)=m(LACBJ rezulta di

patrulaterul ATCB] este inscriptibil. Analog, patrulaterul CTBA, este inscriptibil.

Deci punctul T se afla la intersectia cercurilor circumscrise triunghiurilor ACB I si

eBA,.

Dar m(LATB)=d80° -m{LABtC)=12QQ

: ; ; 1 m(LBTC)=120Q

, rezulta

m(LATB) =120°', rezulta c a patrulaterul ATBC] este inseriptibil:;;l deci cele trei

cercuri sunt eoneurente in T.

15. TEOREMA LUI ALAIN CONNES

Teoremii: Se considera transformarile planului complex de forma i..C ---? C ,

I, ( z ) = a . : +"bi, i =1,2,3, eu Qi * O . Presupunem e a 1; 0 I i . ' I 2 ? 1 3 ' 1 3 0 1; si ~

I, 0 Iz - 0 1 3 nu sunt translatii, eeea ce este echivalent eli aJa2., aZa3 , a3a1 ,

Q1Q2Q3 EC - {I}. Atune] urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

- 3 3 3( 1) I , 0 1 : . o.h =Ie ;

(2)/,=1 si a+ jf3+ / r = O , unde j=a]Q2Q3 *1 §i a, f3,' r sunt unieele

punete fixe ale transformarilor II 0 1 2 ' 1 2 01,respecti v 13 0 1 1 '

Demonstratie: Daea ( I I 0 f 2 ) ( z ) = a j Q 2 Z + QJb2 +b., Q I C l Z * 1

( 1 2 0 1 3 ) ( Z ) = a 2 Q : , Z + a 2b3 +.b2 , a2Q3 * 1

( 1 3 o ! ] ) ( z ) = a3 Q ) z + a 3 b l + b 3, a 3Q ) *1,



atunci a::: : ,alb"}.+~.::::alC ljb2 + a)bl f3 = alb) +.b2 = a lG 2b3 + a1bz ,l-a]Qz a) - j' l-a1az a

l -j

r = a3b1 +bs : : : :al Q3bl + ~2b3

I-Q]a1 al - }

Penttu cuburile transformarilor III1 2 ' f3 avern formulele:

1 ;

3

( z ) : : : :Q13

Z + b, ( a l

z

+ al + 1 ) . fi (z ) :::a ~ z + b2 ( a i + Clz + 1)f)3 ( z ) : : : : i z + b3 ( a ; + a 3 + 1 ) .

deci:

( /.' 3 f ] f 3 )(. ) .. 3 3 3 3 3b ( '2 , I) '· Jb ( 2 '1 ·) ' ' b ( Z 1 ·J I 0, 2 0 3 Z . : : : : al ala] z + ~I al 3 Q] + Q3 +.. + Ql 2 Qz + al + ..+ .I al + al + ,

Asadar, f13 0 fi 0 f)3 ;;;;Ie dad! $ i numai daca a13a~ai ::::1 ~i

a~a~b3(a: +a3 + 1 ) + a : b 2( a i +az +1)+h!(a I

2 + a l + 1 ) = 0 ,

Pentru a demonstra echivalenta afirmatiilor (I): si (2) trebuie sa aratam di .

a + 1 ' / 3 + jlyeste d iferit de term en ul tiber a l Iu i 130 i230/3

3

Intr-adevar. folosind relatia / =1 s i implicit j2 +i+1=0" putem sene

succesiv egalitatile:

a+ j/l+j2r=a+ j/3+(-l- J )r= a -y+ j(p -y )=

= al~b, +~,b, _ a2a,~+~i>; + j ( I l t a , h : . +'!'b,_ a.ll,b,+~2b, J : : ; ;a) - ] Qz - } QI-} Q2 - }

+ j ala~ b3 +al a2b2-, alGzb] I-ell b2i~lQz a).bl - al azb3 + a,2Ci:3bl j +aZb)}

( al--]) ( a z - ] )

:::.1,(.2j + a2a,b,/ - a,a,b2j - a,q j-a , ' ! i b . -a2a,b, + a2a,qj~2b,j +

a2 - ) a3 - }

+ G1a;b3} + ataZbz} -Gta2b3 .-albz!?'-bt/' - G2a3bt}2 + a2b)/ J =- ell = )

= ( . . , ) ( . ',)(/a1b2j - I > . -a~a,b.,j-a,a,qj -",a2a~qj -iJ,j +al - ] az - ] .a3 - J

+ alaZb)] - bz j2 +aza3b t + al a3b ? /' + albl/' + aza; b l j + alaSb)} - azb3 /" +

+ C l2b 3/ + b 2 jz + P 3 j - a1Q)bz/ - a)b1}z +Q2a)b]jZ +~a3b3/ -

-alaib]/-aIG2b ' l . / -ala2b31 +albz +bl -azel3b ] -a2b 3);:;;



::::

16. TEOREMA LUI MORLEY

Teoremii: Punctele de intersectie ale trisectoarelor adiacente intr-un tri unghir

A BC , A '(a), 8'(/3), C(r). formeaza un triunghi echilateraI.

Soluiie: Consideram roratiile II ::::A,21 , 11:::: rO,ly' I3 ::::e,2<: ' de centre A, B, .

1" 1" t .C. de unghiuri x ::::-A, y =-8 z : : : : -C.

. . 3 3' 3

C



Notam A', B'. C', punctele fixe ale transforrnarilor II 012' i« 0j~, /30 II'

A'

A" = h(A')

Pentru a demonstra di triunghiul A' E' C' este echilateral este sufficient sa

demons tram, cu ajutorul teorernei anterioare ca 11301230/33 = Ie. Cornpunerea

SAC Q SAB a sirnetriilor SAC ~l SAB In raport cu dreptele AC si AB este 0 rotatie de

centru A si unghi 6x.

1130 /2

30 /33 = SAC 0 S AB 0 S BA 0 S Be 0 s CB 0 SCA = Ie.

teoremedegeometrie

Documents