teoreticka mechanika v diferencialnej geometrii podolsky

Teoretická mechanikav jazyce diferenciální geometrie

Jiří Podolský

Studijní text k prosemináři TMF069

„Proseminář teoretické fyziky Iÿ

Ústav teoretické fyzikyMatematicko–fyzikální fakultaUniverzita Karlova v Praze

prosinec 2006

elektronická sazba: František Štrupl a Robert Švarc

c© Jiří Podolský

Obsah

1 Základy diferenciální geometrie 41.1 Variety a základní objekty na nich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Pojem variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Funkce na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Křivky na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Vektory na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Formy na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Tečný bandl, kotečný bandl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Fíbrovaný prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Vektorové pole a jeho integrální křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Tok Φt generovaný vektorovým polem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Zobrazení push-forward a pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2 Lieův přenos funkce, vektoru a formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Lieova derivace LX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky 232.1 Fázový portrét: dynamický systém coby vektorové pole . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Základní geometrické objekty Lagrangeova formalismu . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Lagrangeovská vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Geometrická podoba Lagrangeových rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky 343.1 Legendreova duální transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Jednotné souřadnice na T∗Q a symplektická matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Geometrická podoba Hamiltonových rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Fázový prostor coby symplektická varieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Poissonovy závorky geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Hamiltonovská verze teorému Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7 Invariance symplektické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.8 Kanonické transformace geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9 Liouvilleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A Další vlastnosti tečného bandlu TQ 46A.1 Symplektická struktura na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.2 Hamiltonovská dynamika na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

B Časově závislé hamiltoniány 50B.1 Zavedení objektů na rozšířeném fázovém prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51B.2 Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . 52B.3 Časově závislé kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2

OBSAH 3

B.4 Geometrická interpretace Hamiltonovy–Jacobiho teorie . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Shrnutí hlavních pojmů a notace 58

Anglický slovníček 60

Rejstřík 61

Literatura 64

Kapitola 1

Základy diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie je společným jazykem velké části moderní fyziky. Jedná se v podstatěo spojení geometrie a matematické analýzy, v níž jsou metody klasického kalkulu aplikoványna křivky, plochy a další geometrické objekty, přičemž zavedení pojmů a manipulace s nimi jsouoproštěny od konkrétních souřadnic.

1.1 Variety a základní objekty na nich

Fundamentálním pojmem diferenciální geometrie je varieta. Věnujeme proto následující odstavcejeho zavedení a zevrubnému popisu. Poté na varietách postupně vybudujeme strukturu: funkce,křivky a především vektory a 1-formy.

1.1.1 Pojem variety

Různé variety jsou arénou nejen klasické mechaniky, ale i mnoha dalších oborů fyziky a matema-tiky. Jmenujme například polní teorie (elektromagnetismus a další kalibrační pole), teorii relativity,prostory řešení diferenciálních rovnic či Lieovy grupy.Zcela obecně (a vágně) lze varietu charakterizovat jako „spojitý prostor, který je lokálně kar-

tézský a lze na něm provádět derivováníÿ.1 Varietou tedy není například množina racionálníchčísel.

Názorná ilustrace: zemský povrch (globus)

Příkladem jednoduché variety je zemský povrch. Můžeme ho idealizovat jako sféru, tedy spojitouzakřivenou dvourozměrnou plochu S2, pro kterou zjevně platí:

• lokálně můžeme zavést mapy souřadnic (např. mapu Evropy, Asie, atd.)

• mapy dohromady tvoří atlas pokrývající celou varietu S2

• trajektorie (např. vlaku) je omezena jen na varietu

• vůči jednotlivým mapám lze studovat nejen trajektorii, ale i rychlost nebo zrychlení, lze tedyderivovat a integrovat

• údaje určené z jednotlivých map lze mezi mapami na jejich překryvech konzistentně převádět,příslušné veličiny jsou tak určeny globálně, tedy „bez ohleduÿ na konkrétní mapy.

Zhruba řečeno je tedy varietaM dimenze n množina bodů, která je lokálně podobná kartézskémuprostoru Rn, neboli okolí každého bodu může být parametrizováno n nezávislými souřadnicemi.

1Nemusí být přitom metrický, euklidovský, afinní, apod.

4

KAPITOLA 1. ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE 5

Přesněji — a to už je rigorózní matematická definice — varieta M je množina, jejíž každýbod P leží v nějaké otevřené množině2 U , která je spojitě vzájemně jednoznačně zobrazená naotevřenou podmnožinu Rn. Symbolicky to lze vyjádřit

∀P ∈M ∃U ⊂M taková, že P ∈ U ,a ∃ spojité φ : U → Rn takové, že U ↔ φ(U) je jednoznačné,

přičemž

• φ nazýváme souřadnicové zobrazení

• dvojici (U , φ) nazýváme mapa

• číslo n nazýváme dimenzí varietyM.

Zobrazení φ přitom zavádí na U lokální souřadnicový systém, který je inverzním3 obrazem φ−1

kartézského systému Rn, neboli

φ(P ∈ U) ≡ (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

kde x1, . . . , xn představují souřadnice bodu P v lokální mapě.

Obrázek 1.1: VarietaM je pokryta (lokálními) mapami neboli zobrazeními φ z U do Rn.

Jak jsme již uvedli na příkladě zemského povrchu, celá varietaM je pokryta atlasem, nebolisouborem map. Požadujeme ovšem, aby v místech překryvu byl vztah mezi mapami (resp. jejichsouřadnicemi) dostatečně hladký.

Konkrétně: Nechť (U , φ) a (V , ψ) jsou dvě různé mapy, přičemž souřadnice bodu P ∈ U ∩ Vjsou φ(P ) = (x1, . . . , xn) a ψ(P ) = (y1, . . . , yn). Tím je definováno zobrazení Rn → Rn: ψ(φ−1),tedy explicitně

(y1(x1, . . . , xn), . . . , yn(x1, . . . , xn)

). Toto zobrazení musí být dostatečně hladké4

pro všechny mapy atlasu a všechny překryvy. Odtud název „diferencovatelná varietaÿ.

2Tento systém otevřených množin tvoří zM topologický prostor.3Zobrazení φ−1 existuje, protože φ je vzájemně jednoznačné.4Technicky to znamená splnění požadavku spojitosti parciálních derivací ∂ryi

(∂xj)raž do jistého řádu r. Hovoříme

pak o C(r) varietě. Obvykle hladkostí roumíme existenci spojitých derivací všech řádů.


Obrázek 1.2: Na překryvech U ∩V definují souřadnicová zobrazení φ a ψ složené zobrazení ψ(φ−1)z Rn do Rn, po němž požadujeme, aby bylo hladké.

Poznámky:

• O dvou atlasech řekneme, že jsou ekvivalentní a definují stejnou varietu, pokud jejich sjed-nocení je opět atlas splňující všechny podmínky zformulované výše. Na jednom topologickémprostoru lze zavést i vzájemně neekvivalentní atlasy, které pak definují různé variety lišící setzv. diferenciální strukturou.

• Na diferencovatelné varietě lze vybudovat významnou rozsáhlou strukturu (funkce, křivky,vektory, formy, Lieovy derivace, atd.). V následujícím textu zavedeme jen ty pojmy, kterébudeme potřebovat.

Příklady variet:

• kružnice S1

– atlas tvoří alespoň 2 mapy, například mapa (U , φ) odpovídá úhlu x ∈ (0, 32π) a mapa(V , ψ) úhlu y ∈ (0, 32π), viz obrázek. Na překryvech U ∩ V platí mezi těmito lokálnímisouřadnicemi vztahy y = x+ π resp. y = x− π. To jsou evidentně hladké funkce, takžekružnice S1 je hladká jednorozměrná diferencovatelná varieta (která je odlišná od R1).

)

))

)

) ) ) )

)

)

)

)


– jiný atlas dvou map lze zavést stereografickou projekcí ze severního resp. jižního pólu

– v mechanice tvoří S1 konfigurační varietu matematického kyvadla (konfigurační varietaje množina všech poloh daného systému)

• sféra S2

– atlas tvoří alespoň 2 mapy

– lze ho zavést např. pomocí stereografické projekce

– v mechanice tvoří S2 konfigurační varietu sférického kyvadla

• torus T 2 (anuloid)

– atlas tvoří alespoň 3 mapy

– v mechanice tvoří T 2 konfigurační varietu dvojkyvadla

1.1.2 Funkce na varietě

Funkcí f na varietěM nazýváme zobrazení

f : M→ R, (1.1)

neboli situaci, kdy každému bodu P ∈M je přiřazeno reálné číslo f(P ). V lokálních souřadnicíchmapy (U , φ) lze funkci f reprezentovat jejím souřadnicovým vyjádřením f(φ−1) = f(x1, . . . , xn).

Obrázek 1.3: Funkce f na varietěM je zobrazení zM do R.

Ilustrace: hustota obyvatel na Zemi, teplota bubliny foukané z rozžhaveného skla

Je tedy vidět, že pojem funkce na varietě je přirozený a intuitivní, neboť s funkcemi na varietáchse ve skutečnosti setkáváme docela často.


1.1.3 Křivky na varietě

Křivkou γ(t) na varietěM nazýváme diferencovatelné zobrazení

γ : R→M, (1.2)

kde t je spojitý reálný parametr a γ(t) je odpovídající jednorozměrná spojitá trajektorie na M.Přesněji řečeno, parametrická křivka γ(t) je hladké zobrazení Ω → M, kde Ω ⊂ R je otevřenýinterval. Symbolicky tedy

t0 ∈ Ω→ bod P ≡ γ(t0) ∈ M.

V lokální mapě (U , φ) je okolí bodu P ∈ M parametrizováno souřadnicemi(x1, . . . , xn

), takže

křivka γ(t) je lokálně určena funkcemi (x1(t), . . . , xn(t)).

Obrázek 1.4: Parametrická křivka γ(t) na varietěM je zobrazení z R doM.

Ilustrace: železniční trať, řeka

1.1.4 Vektory na varietě

Vektor v v bodě P ∈ M je dán tečnou ke křivce γ(t) procházející bodem P . Vektor v má:

• daný směr (určený směrem křivky γ(t))

• danou velikost (určenou velikostí změny γ(t) se změnou t).

Tečný prostor:

Skrze každý bod P ∈ M procházejí různé křivky různých parametrizací. Množinu všech vektorůurčenou těmito křivkami nazýváme tečným prostorem T

PM k varietěM v bodě P .

Důležité poznámky:

• Zatímco křivky γ(t) leží vM, vektory v leží v TPM, nikoli ve varietěM.

• Ve skutečnosti jsou vektory v ∈ TPM třídami ekvivalence tečen ke γ(t), neboť daným

směrem a danou rychlostí prochází bodem P nekonečně mnoho různých křivek. Vektor vtedy ztotožňujeme s třídami ekvivalence křivek stejného směru a rychlosti.


• TPM je lineární vektorový prostor.

• V každém bodě P ∈ M existuje báze TPM, tedy v = vi ei, kde (e1, . . . , en) jsou bázové

vektory a vi jsou jednotlivé složky vektoru v v dané bázi (používáme sumační konvenci).

• Vidíme, že dimenze TPM je rovna dimenziM, tedy n.

Obrázek 1.5: Vektory v tečné ke křivkám γ(t) v bodě P varietyM tvoří tečný prostor TPM.

Vektor coby diferenciální operátor:

Uvažujme nyní:

• hladkou funkci f na varietěM,

• křivku γ(t) procházející bodem P ∈M; ta určuje tečný vektor v ∈ TPM.

Funkce f (γ(t)) : R→ R tedy udává hodnotu f podél γ, přičemž parametr t je nezávislá proměnná.Nyní provedeme derivaci f „ve směru vektoru vÿ, neboli5

df (γ(t))dt

≡ lim∆t→0

f(γ(t+∆t))− f(γ(t))∆t

, (1.3)

kterou lze chápat jako lineární operaci, která funkci f přiřazuje v P číslo dfdt . Můžeme tedy navektor v nahlížet jako na diferenciální operátor operující na funkcích f ; odmyslíme-li si f , což jelibovolná hladká funkce, zbyde z derivace dfdt samotný operátor

ddt . V lokální souřadnicové mapě

(U , φ) má křivka γ(t) vyjádření xi(t), a v bodě P lze tedy psát

v(f) ≡dfdt≡df (γ(t))dt

=ddtf

(xi(t)

)=dxi

dt∂f

∂xi= vi ∂f

∂xi, (1.4)

kde jsme označili vi ≡ dxi

dt . Odmyslíme-li si nyní f , dostáváme formálně operátor

v ≡ddt= vi ∂

∂xi. (1.5)

Srovnáním s obecným výrazem v = viei, kde ei je báze TPM a vi jsou složky v vůči této bázi, je

vidět, že (∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)je tzv. souřadnicová báze tečného prostoru T

PM. (1.6)

5Argument γ(t) popisuje bod P , zatímco argument γ(t+∆t) popisuje bod, který leží na křivce γ mající tečnu v,a který má hodnotu parametru t zvětšenou o ∆t oproti hodnotě odpovídající bodu P . Symbolicky bychom mohlipsát γ(t) ≡ P a γ(t +∆t) ≡ P + v∆t.


Operátory parciálních derivací ∂∂xi zřejmě reprezentují tečné vektory k souřadnicovým čarám xi,

neboli jsou to derivace ve směru příslušných souřadnicových čar.

Příklad: Na sféře S2 je tečným prostorem TPS2 v bodě P rovina. Bázi tohoto vektorového pro-

storu tvoří například dvojice vektorů(

∂∂ϑ, ∂

∂ϕ

). To znamená, že každý vektor v tečné rovině T

PS2

lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektoru ∂∂ϑve směru poledníku a vektoru ∂

∂ϕve směru rov-

noběžky.

1.1.5 Formy na varietě

1-forma α v bodě P ∈ M je lineární funkcionál na vektorech z TPM, tedy platí

α(v) = číslo ∈ R, (1.7)

α(c1v1 + c2v2) = c1α(v1) + c2α(v2).

Stejně jako vektor má i 1-forma svoji velikost a orientaci.

Kotečný prostor:

Všechny formy v bodě P ∈ M tvoří lineární vektorový prostor nazývaný kotečný prostor T∗

PM k

varietěM v bodě P . Kotečný prostor T∗

PM je duální k T

PM.

Obrázek 1.6: Kotečný prostor T∗

PM 1-forem je duální k tečnému prostoru T

PM vektorů.

Vztah vektorů a 1-forem:

Vektory a 1-formy v bodě P ∈ M jsou navzájem duální. Jejich interakce je dána operací „působení1-formy na vektorÿ z definice (1.7), kterou lze též chápat jako bilineární operaci zúžení (kontrakce),kterou označujeme

〈α,v〉 ≡ α(v). (1.8)


Výsledkem zúžení vektoru s 1-formou je tedy reálné číslo z definice (1.7). Reprezentujeme-liformu α pomocí vrstevnic6 a vektor v pomocí šipky, pak geometrický význam čísla 〈α,v〉 od-povídá počtu vrstevnic, které šipka protne. Záleží zjevně na jejich vzájemné orientaci a velikosti.Čím je 1-forma větší, tím jsou její vrstevnice hustší. Čím je vektor větší, tím delší je jeho šipka.

Bázi kotečného prostoru T∗

PM tvoří n 1-forem (ε1, . . . , εn) takových, že každou 1-formu z

T∗

PM lze vyjádřit jako7 α = αiε

i, kde αi představují složky α k této bázi. Obvykle za bázi1-forem volíme tzv. duální bázi k bázovým vekorům (e1, . . . , en) v TP

M definovanou předpisem

〈εi, ej〉 = δij . (1.9)

Jako okamžitý důsledek (1.9) dostáváme následující vztahy

〈α, ej〉 = 〈αiεi, ej〉 = αi〈ε

i, ej〉 = αiδij = αj , (1.10)

〈εj ,v〉 = 〈εj , viei〉 = vi〈εj , ei〉 = viδji = v

j , (1.11)

〈α,v〉 = 〈αiεi, vjej〉 = αiv

j〈εi, ej〉 = αivi. (1.12)

Diferenciál funkce coby 1-forma:

Nejdůležitější 1-formou je diferenciál funkce. Je-li f hladká funkce na varietěM, potom diferenciálfunkce f v bodě P ∈ M je forma df definovaná vztahem

〈df,v〉 ≡ v(f). (1.13)

Zúžení 1-formy df s vektorem v tedy je právě derivace funkce f ve směru vektoru v ∈ TPM, viz

vztahy (1.3), (1.4).

Důsledek: Vezmeme-li za vektor v přímo vektory (1.6) souřadnicové báze TPM a za funkci f

přímo souřadnice xi z mapy (U , φ), pak z definice (1.13) plyne

〈dxi,∂

∂xj〉 ≡ v(f) =

∂xi

∂xj= δi

j , (1.14)

takže8

(dx1, . . . ,dxn) je duální souřadnicová báze kotečného prostoru T∗

PM. (1.15)

Geometricky: zatímco vektor ∂∂xi obvykle reprezentuje šipka ve směru souřadnicové čáry xi,

1-forma dxi je znázorněna množinou ploch (vrstevnic) xi = konst.

Každou 1-formu z kotečného prostoru T∗

PM lze tedy psát α = αi dxi, přičemž platí (viz (1.10)

a (1.11)), že

αj = 〈α,∂

∂xj〉, (1.16)

vj = 〈dxj ,v〉. (1.17)

6Ve více dimenzích je forma α reprezentována vrstevnicovými (nad)plochami.7Srovnej s v = viei.8Srovnej (1.14) s definicí duální báze (1.9).


Diferenciál df funkce f jako speciální 1-formu α lze ve složkách zapsat df = αi dxi, kde podle(1.13) je αi = 〈df, ∂

∂xi 〉 =∂f∂xi , takže

df =∂f

∂xidxi (1.18)

a dále platí

〈df,v〉 =∂f

∂xivi. (1.19)

Geometrický význam: Diferenciál df odpovídá znázornění funkce f pomocí ekvipotenciál(v různých fyzikálních souvislostech zvaných též vrstevnice, izotermy, apod.).

Poznámka: Ze vztahu (1.18) vidíme, že(

∂f∂x1 , . . . ,

∂f∂xn

)jsou souřadnicové složky 1-formy df ∈

T∗

PM. V prostorech se skalárním součinem (metrikou) lze s touto 1-formou asociovat vektor

gradf ∈ TPM vyjadřující směr největšího růstu f , který je kolmý na ekvipotenciály, neboli

gradf · v ≡ gki (gradf)kvi, (1.20)

kde

(gradf)k ≡ gkj ∂f

∂xj. (1.21)

V kartézských souřadnicích v Rn je přirozená metrika triviální, totiž gki = δki, takže složky vektorugradf jsou číselně rovny složkám 1-formy df . Proto se v základních kurzech fyziky (nepřesně)

hovoří o vektoru gradientu, jehož složky jsou(

∂f∂x1 , . . . ,

∂f∂xn

), nikoli o 1-formě df , která má tyto

složky vždy.

1.2 Tečný bandl, kotečný bandl

Tečný bandl TM je sjednocení všech tečných prostorů TPM ve všech bodech P variety, tedy

TM ≡⋃

P∈M

TPM. Je to opět varieta, jejíž dimenze je 2n. Každý bod z variety TM přitom

představuje nějaký konkrétní tečný vektor v ∈ TPM v jistém bodě P ∈M.

Kotečný bandl T∗M je sjednocení všech kotečných prostorů T∗

PM ve všech bodech P variety, tedy

T∗M ≡⋃

P∈M

T∗

PM. Každý bod z variety T∗M představuje nějakou konkrétní 1-formu α ∈ T∗

PM

v jistém bodě P ∈ M.

Obrázek 1.7: Tečný bandl TM je varieta všech tečných prostorů TPM (vlevo), zatímco duální

kotečný bandl T∗M je varieta všech kotečných prostorů T∗

PM (vpravo).


Pro tečný bandl platí, že:

• Bod Z ∈ TM jednoznačně určuje:

1. vektor v ∈ TPM (dané velikosti a orientace)

2. bod P ∈ M (v němž je v tečný kM).

• Existuje přirozená projekce π : TM→M, přičemž platí π(Z) = P .

• V lokálních souřanicích má bod P ∈M souřadnice xi, vektor v má složky vi v bázi ∂∂xi .

• Bod Z ∈ TM má proto přirozené souřadnice (x1, . . . , xn, v1, . . . , vn), přičemž projekce jev souřadnicích dána jednoduše π(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) = (x1, . . . , xn).

Podobnou strukturu má kotečný bandl, s tím rozdílem, že Z ∈ T∗M představuje konkrétní 1-formuα ∈ T∗

PM lokalizovanou v daném bodě P ∈ M. Jeho souřadnice jsou (x1, . . . , xn, α1, . . . , αn),

přičemž π(x1, . . . , xn, α1, . . . , αn) = (x1, . . . , xn).Pravě díky existenci projekce π mají tečný bandl TM a kotečný bandl T∗M speciální strukturu.

Jsou příkladem tzv. fíbrovaného prostoru.

1.3 Fíbrovaný prostor

Fíbrovaný prostor je vlastně zobecněním kartézského součinu. Nejsnáze lze podstatu fíbrovanéstruktury přiblížit, pokud si představíme varietu B, do jejíhož každého bodu P ∈ B je jakoby„vlepenaÿ další varieta FP , viz obr. 1.8. Přitom musí platit, že variety FP jsou ve všech bodechP ∈ B difeomorfní 9 s nějakou společnou „typickouÿ varietou F , tj. pro ∀ P, P ′ ∈ B : FP ≃ FP ′ ≃F . Varieta B se nazývá bázová varieta, F je typický fíbr a FP je fíbr v bodě P . Sjednocení

F ≡⋃

P∈B

FP (1.22)

pak nazýváme totální prostor. Vztah mezi totálním prostorem a bázovou varietou je přitom dánpřirozeným zobrazením FP → P ,

π : F → B (1.23)

nazývaným kanonická projekce. Pojmem fíbrovaného prostoru tedy obecně rozumíme strukturu(B, π, F,F) zahrnující bázovou varietu, kanonickou projekci, typický fíbr a totální prostor.

Obrázek 1.8: Schématické znázornění fíbrované struktury.

Navíc je ale ještě požadována tzv. lokální součinová struktura, tj. existence pokrytí Uα bázovévariety B a soustavy difeomorfizmů

ψα : π−1(Uα)→ Uα × F, (1.24)

takových, že πUα(ψα) = π, přičemž zobrazením π

Uαje myšlena restrikce na Uα. Vágně řečeno, F

(přinejmenším) lokálně vypadá jako součin B×F , až na to že fíbry FP mohou být vůči sobě trochu„zkroucenéÿ. Soustava zobrazení ψα se nazývá lokální trivializace.

9Dvě variety nazýváme difeomorfní, pokud mezi nimi existuje bijektivní zobrazení f a přitom platí, že f a f−1

jsou hladká zobrazení.


Nejjednodušším fíbrovaným prostorem je zjevně tzv. součinová fíbrovaná varieta, kdy totálnímprostorem je kartézský součin báze a fíbru, projekcí je projekce na první člen tohoto součinu:

π : B × F → B. (1.25)

Ilustrace: Jednoduchými příklady součinové fíbrované variety jsou válec a Möbiův pruh. V oboupřípadech je bázová varieta B kružnice (varieta S1) a typický fíbr F reálný interval (a, b).

Ilustrace: Příkladem fíbrované variety je také časoprostor. V Aristotelově pojetí jsou čas i prostorpovažovány za absolutní a časoprostor lze tudíž interpretovat jako čtyřrozměrnou varietu M4

definovanou kartézským součinemM4 = R×R3, kde t ∈ R a r ∈ R3. Kanonická projekce je dána

π : R× R3 → R. (1.26)

Naproti tomu Newtonův časoprostor, jenž je charakteristický absolutním časem avšak relativnímprostorem10, již není příkladem kartézského součinu času a prostoru. Přesto má fíbrovanou struk-turu s kanonickou projekcí

π :M4 → R, (1.27)

kdeM4 značí čtyřrozměrnou časoprostorovou varietu. Tato projekce přiřazuje každé časoprosto-rové události Z ∈ M4 odpovídající hodnotu času t = π(Z). Fíbrem je v tomto případě inverzníobraz π−1(t), kde t ∈ R, tedy třírozměrný prostor v daném čase. Každý fíbr je difeomorfní s R3.Fíbrovanou strukturu, avšak složitější, mají i Minkowského časoprostor speciální teorie relativitya zakřivený časoprostor Einsteinovy obecné teorie relativity.

1.4 Vektorové pole a jeho integrální křivky

Vektorovým polem ve fyzice intuitivně označujeme situaci, kdy je „v každém bodě prostoru de-finován vektorÿ. V preciznější geometrické formulaci to znamená, že ve všech tečných prostorechT

PM varietyM (fíbrech nad P ) existuje unikátní vektor X

P, přičemž „pro blízké body P variety

jsou vektory XPblízkéÿ. To nás přivádí k přesné definici.

Definice:

• vektorové pole X je hladký řez11 na tečném bandlu TM

• pole 1-forem Θ je hladký řez na kotečném bandlu T∗M.

10Platí totiž známý Galileiho princip relativity.11Řez je hladké zobrazení X zM do TM takové, že π(X) je identické zobrazení naM, tedy π(X(P )) = P .


Pro další výklad je důležité, že každé vektorové pole automaticky generuje množinu tzv. integrál-ních křivek (ve fyzice v různých kontextech nazývaných „silokřivkyÿ, „proudniceÿ atd.):

Definice:Integrální křivky vektorového pole X jsou křivky γ(t) takové, že tečný vektor ke γ(t) koinciduje sX

P∈ T

PM, a to v každém bodě P ∈ M.

Ilustrace: Integrální křivku můžeme přirovnat k turistické trase lemované orientačními šipkamiudávajícími směr a dobu dalšího pochodu.

Věta: Pro spojitá vektorová pole na diferencovatelné varietě integrální křivky existují.

Důkaz: lze podat konstruktivně

V lokálních souřadnicích (x1, . . . , xn) v okolí každého bodu P ∈ M musí platit

dxi

dt= X i(xk) , i = 1, . . . , n , (1.28)

kde dxi

dt jsou složky tečného vektoru ke křivce γ(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)) a X i(xk) jsou složky

vektorového pole X v bodě P , tedy XP. Tím dostáváme soustavu obyčejných diferenciálních

rovnic 1. řádu tvaru (1.28). Existence jejího řešení xk(t) je zaručena matematickou větou o (lokální)existenci.

⊠⊠⊠

Obrázek 1.9: Integrální křivky vektorového pole.

Platí:

• každým bodem P ∈ M prochází nějaká integrální křivka

• integrální křivky vyplňují celou varietu (tvoří tzv. kongruenci, která je n− 1 rozměrná)

• integrální křivky se mohou protínat jen v bodech kde X = 0 (tzv. singulární body).

1.5 Tok Φt generovaný vektorovým polem

Vektorové pole X tedy generuje integrální křivky γ(t). Celá kongruence (množina) těchto křivekdefinuje zobrazení varietyM na sebe. Toto důležité zobrazení nazýváme tok generovaný polem X.

Definice:Tok Φt generovaný vektorovým polem X je množina zobrazení Φt : M→M definovaných

Φt : γ(t0)→ γ(t0 + t). (1.29)


To znamená, že každý bod P ≡ γ(t0) varietyM je posunut podél křivky γ(t) generované polem

X o vzdálenost parametru t do bodu P ∈M, kde P = γ(t0 + t). Platí tedy ddtΦt(P )

∣∣∣t=0= XP .

Poznámky:

• t je spojitý parametr množiny všech zobrazení Φt

• Φ0 je identita

• Φt1+t2 = Φt1 Φt2 , což vyjadřuje skládání zobrazení

• Φ−t je inverzní zobrazení k Φt.

Vidíme, že tok Φt tvoří jednoparametrickou spojitou Lieovu grupu transformací na varietěM.

1.5.1 Zobrazení push-forward a pull-back

Definice:Hladké zobrazení Φ na varietěM indukuje důležitá tečná zobrazení na (ko)tečném bandlu:12

• Φ∗ na TM: push-forward (zobrazení „postrč vpředÿ vektor)

• Φ∗ na T∗M: pull-back (zobrazení „stáhni zpětÿ formu)

Konkrétně: nechť lokálněΦ : U

P→ U

Φ(P )(1.30)

zobrazuje body P ∈ UP⊂M na body Φ(P ) ∈ U

Φ(P )∈M, pak

Φ∗ : TPM→ T

Φ(P )M (1.31)

zobrazuje vektor v tečný ke křivce γ na vektor w ≡ Φ∗(v) tečný k obrazu Φ(γ) křivky γ.Naopak

Φ∗ : T∗

Φ(P)M→ T∗

PM (1.32)

zobrazuje formu α na formu β ≡ Φ∗(α) předpisem 〈β,v〉 ≡ 〈α,w〉, neboli

〈Φ∗(α),v〉P≡ 〈α,Φ∗(v)〉

Φ(P ). (1.33)

Explicitně v souřadnicích platíΦ : xi → yj(xi) , (1.34)

v = vi ∂

∂xi⇒ w = wj ∂

∂yj= Φ∗(v) =

(vi ∂y

j

∂xi

)∂

∂yj, (1.35)

α = αi dyi ⇒ β = βj dxj = Φ∗(α) =(αi∂yi

∂xj

)dxj . (1.36)

Je tedywj = vi ∂y

j

∂xi, (1.37)

βj = αi∂yi

∂xj, (1.38)

což vyjadřuje transformační vlastnosti vektoru resp. 1-formy při přechodu od souřadnic xi v okolíU

Pk souřadnicím yj v okolí U

Φ(P ).

12Nemusí jít nutně jen o tok Φt, ale o libovolné hladké zobrazení Φ na varietě (tzv. difeomorfismus). Pro vzájemnějednoznačné zobrazení Φ lze Φ∗ i Φ∗ invertovat.


Obrázek 1.10: Zobrazení Φ na varietě M přirozeně indukuje zobrazení Φ∗ (push-forward) natečném bandlu TM a zobrazení Φ∗ (pull-back) na kotečném bandlu T∗M.

1.5.2 Lieův přenos funkce, vektoru a formy

Integrální křivky vektorového pole X definují tok Φt, což je hladké zobrazení a tudíž indukujepříslušná lineární zobrazení Φt∗ (push-forward) a Φ∗

t (pull-back).13 Tato tři zobrazení lze použít

k definici Lieova přenosu funkcí, vektorů a 1-forem.

Definice:

• Lieův přenos funkce f je nová funkce f na varietě M definovaná přímo pomocí toku Φt

generovaného polem X vztahem

f(P ) = f(P ) , kde P = Φt(P ) . (1.39)

Funkce f má tedy v bodě P stejnou hodnotu jako původní funkce f v bodě P .

• Lieův přenos vektorového pole Y podél pole X je nové pole Y definované vztahem

Y(P ) = Φt∗(Y(P )) . (1.40)

• Lieův přenos pole 1-forem α podél pole X je analogicky dán

α(P ) = Φ∗t (α(P )) . (1.41)

Obrázek 1.11: Lieův přenos vektoru je push-forward zobrazení Φt∗ indukované tokem Φt, které jegenerováno polemX. Konkrétně: vektor Y(P ) v bodě P je definován jako tečna ke křivce Φt(δ(u)),kde δ(u) je křivka tečná k výchozímu vektoru Y(P ) v bodě P .

13Inverzní zobrazení k Φt∗ je Φ−t∗ a podobně inverzní zobrazení k Φ∗

t je Φ∗

−t.


1.6 Lieova derivace LX

Smyslem Lieovy derivace je charakterizovat změnu geometrického objektu ve směru (podél) vek-torového pole X. Toho se docílí tím způsobem, že „od hodnoty veličiny v daném bodě odečtemehodnotu veličiny tam Lieovsky přenesené ze vzdálenosti t, tento rozdíl vydělíme t a provedemelimitu t→ 0ÿ. Konkrétně tedy

• Lieova derivace funkce f je funkce

LXf ≡ lim

t→0

1t

[f(P )− f(P )

], (1.42)

• Lieova derivace vektorového pole Y je vektorové pole

LXY ≡ lim

t→0

1t

[Y(P )− Y(P )

], (1.43)

• Lieova derivace pole 1-forem α je pole 1-forem

LXα ≡ lim

t→0

1t

[α(P )− α(P )

]. (1.44)

Lze ukázat, že platí následující důležité vztahy:

1. Lieova derivace funkce je přímo rovna derivaci ve směru X:

LXf = X(f) =

dfdt= 〈df,X〉. (1.45)

2. Platí, že

LX(fY) = (L

Xf)Y + fL

XY , (1.46)

LX(fα) = (L

Xf)α+ fL

Xα . (1.47)

3. Pro Lieovu derivaci zúžení platí Leibnizovo pravidlo

LX〈α,Y〉 = 〈L

Xα,Y〉+ 〈α,L

XY〉. (1.48)

4. Pro diferenciál platí LX(df) = d(L

Xf), tedy

LXd = dL

X. (1.49)

5. Definujeme-li Lieovu závorku vektorových polí vztahem14

[X,Y] ≡ XY −YX, (1.50)

pak platíLXY = [X,Y] . (1.51)

Ukazuje se, že vektorová pole mají strukturu Lieovy algebry, tedy že:

[c1X1 + c2X2,Y] = c1 [X1,Y] + c2 [X2,Y] , (1.52)

[X,Y] = − [Y,X] , (1.53)

[[X,Y] ,Z] + [[Y,Z] ,X] + [[Z,X] ,Y] = 0 . (1.54)

14Zápis XY−YX má význam komutátorů operátorů daných vektory X a Y, tedy pro libovolnou funkci f platí(XY −YX)(f) = X(Y(f)) −Y(X(f)).


6. Explicitní vyjádření ve složkách je

LXY =

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)∂

∂xi, (1.55)

LXα =

(Xj ∂αi

∂xj+ αj

∂Xj

∂xi

)dxi . (1.56)

Důkaz:

1. Tvrzení plyne ze vztahu (1.42), neboť užitím (1.29) a (1.39) je LXf = limt→0

1t[f(γ(t0+ t))−

f(γ(t0))], což je opravdu derivace funkce f ve směru X.

2. Vztahy dostaneme rozpisem podle definic (1.42), (1.43) a (1.44).

3. Důkaz plyne z definice užitím vztahu 〈α, Y〉 = 〈α,Y〉. Ten vyjadřuje skutečnost, že pokudf = 〈α,Y〉, pak f = 〈α, Y〉, kde všechny veličiny ve druhém výrazu jsou příslušné Lieovskypřenesené veličiny z prvního výrazu, což plyne z (1.33).

4. Lze dokázat z definice Lieovy derivace funkce (1.42).

5. Abychom ukázali platnost rovnice (1.51), využijeme vztahu (1.48) aplikovaného na α = df ,tedy na 1-formu, která je diferenciálem funkce f . Platí

〈df,LXY〉 = L

X〈df,Y〉 − 〈L

Xdf,Y〉 = L

X〈df,Y〉 − 〈dL

Xf,Y〉 =

= LXY(f)− 〈dX(f),Y〉 = X (Y(f))−Y (X(f)) = (1.57)

= (XY −YX)(f)

a opětovným užitím (1.13) také

〈df,LXY〉 = (L

XY)(f). (1.58)

Porovnáním vztahů (1.57) a (1.58) dostáváme

LXY = XY −YX = [X,Y] , (1.59)

čímž je důkaz hotov.

6. První vztah dokážeme tak, že levou stranou (1.55) působíme na funkci f . Dále postupujemerozepsáním podle (1.51), (1.50), přechodem ke složkám v souřadnicové bázi a přeznačenímsčítacích indexů. Odmyslíme-li si nakonec funkci f , dostáváme požadovaný vztah:

(LXY)(f) = X (Y(f))−Y (X(f)) = X i ∂

∂xi

(Y j ∂

∂xj

)f − Y j ∂

∂xj

(X i ∂

∂xi

)f =

= X iY j ∂2f

∂xi∂xj+X i ∂Y

j

∂xi

∂f

∂xj− Y jX i ∂2f

∂xj∂xi− Y j ∂X

i

∂xj

∂f

∂xi= (1.60)

=(X i ∂Y

j

∂xi

∂

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

∂

∂xi

)f =

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)∂

∂xif .

Při důkazu (1.56) postupujeme opět rozepsáním do složek a přeznačením sčítacích indexů:

LXα = L

X(αidxi) = (L

Xαi)dxi + αiLXdx

i = (LXαi)dxi + αid(LXx

i) =

= Xj ∂αi

∂xjdxi + αi d

(Xj ∂x

i

∂xj

)= Xj ∂αi

∂xjdxi + αj dX

j = (1.61)

=(Xj ∂αi

∂xj+ αj

∂Xj

∂xi

)dxi .

⊠⊠⊠


1.7 Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám

Definice: 1-forma α je lineární zobrazení: vektor X→ číslo α(X), viz (1.7).

Definice: 2-forma ω je bilineární antisymetrické zobrazení: dvojice vektorůX,Y→ číslo ω(Y,X),neboli15

ω(Y, c1X1 + c2X2) = c1 ω(Y,X1) + c2 ω(Y,X2) , (1.62)

ω(X,Y) = −ω(Y,X) , ⇒ pro Y = X platí : (1.63)

ω(X,X) ≡ 0 . (1.64)

Složky ω v lokální souřadnicové bázi ( ∂∂z1

, . . . , ∂∂z2n ) jsou sadou čísel16

ωαβ ≡ ω

(∂

∂zα,∂

∂zβ

). (1.65)

Zjevně platí:

ω(Y,X) ≡ ω

(Y α ∂

∂zα, Xβ ∂

∂zβ

)= ωαβ Y

αXβ , (1.66)

přičemž ωαβ = −ωβα v důsledku (1.63).

Vztah 2-forma → 1-forma:

• operace iXneboli vložení vektoru X do formy

Definice:Pro 1-formu α(•) a vektor X definujeme

iXα = α(X) . . . 0-forma (funkce) , (1.67)

tj. číslo totožné s kontrakcí 〈α,X〉.

Pro 2-formu ω(•, •) a vektor X definujeme

iXω(•) = ω(•,X) . . . 1-forma , (1.68)

čekající na vektor Y, která po jeho dosazení za • dá příslušné číslo ω(Y,X). Ve složkáchvzhledem k souřadnicím zα platí

iXα = αβX

β (1.69)

(iXω)α = ωαβX

β , (1.70)

kdeiXω = (i

Xω)αdz

α . (1.71)

Je tedyiYiXω(•, •) ≡ ωαβY

αXβ = ω(Y,X) . (1.72)

15Zavádíme jen antisymetrické 2-formy, a proto zde pro ně užíváme jen zkrácené označení „2-formaÿ.16Řecké indexy α, β, γ, . . . nabývají hodnot 1, 2, . . . , 2n odpovídající souřadnicím (z1, z2, . . . , z2n) v Hamiltonověformalismu (viz kapitola 3).


Vztahy 1-forma → 2-forma:

• operace vnější součin ∧

Definice: α ∧ β je 2-forma vzniklá z 1-forem α a β vztahem

α ∧ β ≡ α⊗ β − β ⊗α, (1.73)

kde symbol ⊗ značí tenzorový součin. Jinými slovy, při působení na vektory Y, X je

(α ∧ β)(Y,X) = α(Y)β(X)− β(Y)α(X) ≡ 〈α,Y〉〈β,X〉 − 〈β,Y〉〈α,X〉 . (1.74)

– je to zjevně bilineární antisymetrické zobrazení, tedy 2-forma

– evidentně platí, že

α ∧ β = −β ∧α , (1.75)

iX(α ∧ β) = (α ∧ β)(•,X) = α(•)β(X)− β(•)α(X) . (1.76)

Ve složkách:

– (dzα) . . . tvoří bázi všech 1-forem

– (dzα ∧ dzβ) . . . tvoří bázi všech 2-forem, neboli lze vyjádřit

ω = 12! ωαβ dzα ∧ dzβ =

∑

α<β

ωαβ dzα ∧ dzβ , (1.77)

takže

ω(Y,X) = 12ωαβ(dzα ⊗ dzβ − dzβ ⊗ dzα)(Y,X) =

= 12ωαβ(dzα(Y)⊗ dzβ(X)− dzβ(Y)⊗ dzα(X)) =

= 12 (ωαβY

αXβ − ωαβYβXα) = ωαβY

αXβ , (1.78)

což je konzistentní s (1.66).

• operace vnější derivace d

Jedná se o zobecnění diferenciálu funkce

f ⇒ df =∂f

∂zµdzµ. (1.79)

Definice: vnější derivace pole 1-forem je pole 2-forem dané vlastnostmi

d(α+ β) = dα+ dβ , (1.80)

d(fβ) = (df) ∧ β + f dβ , (1.81)

d2 = 0 . (1.82)

Speciálně pro α = fdg tedy je dα = df ∧ dg. Existenci a jednoznačnost takto definovanéoperace nejlépe vidíme ve složkách. Pomocí (1.80), (1.81) a (1.79) snadno dokážeme, že

α = αµdzµ ⇒ dα =∂αµ

∂zκdzκ ∧ dzµ. (1.83)

Všimněme si, že pro α = df = ∂f∂zµdzµ odtud dostáváme dα = ∂2f

∂zκ∂zµ dzκ∧dzµ = 0, neboť

člen ∂2f∂zκ∂zµ je symetrický v κ a µ, zatímco člen dzκ ∧ dzµ je antisymetrický. Vlastnost d2f

zavedená v (1.82) tedy odpovídá záměnnosti smíšených parciálních derivací funkce f .

Obdobně lze definovat také 3-formy a zobecnit vnější derivaci na 2-formy tak, že platí

d(α ∧ β) = (dα) ∧ β −α ∧ (dβ) . (1.84)


Na závěr ještě uveďme významnou identitu, která dává do souvislosti Lieovu a vnější derivaci.

Cartanova identita

LX= i

Xd+ d i

X. (1.85)

Důkaz: Nechť p, q jsou libovolné funkce, potom

• pro 1-formy α = pdq:Aplikujme Lieovu derivaci L

Xna 1-formu α a poté užijme Leibnizova pravidla pro derivaci

součinu, záměnost Lieovy derivace a diferenciálu funkce viz (1.49) a definici diferenciálufunkce viz (1.13):

LXα = L

X(pdq) = (L

Xp)dq + p(L

Xdq) =

= (X(p))dq + pd(X(q)) = 〈dp,X〉dq + pd(〈dq,X〉) . (1.86)

K takto vzniklému výrazu přičtěme a současně odečtěme výraz 〈dq,X〉dp a následně užijmedefinice vnějšího součinu po vložení X, tedy (dp∧dq)(X, •), viz (1.76) a vztahů 〈pdq,X〉 =iX(pdq) a dp ∧ dq = d(pdq). Tedy

LXα = 〈dp,X〉dq − 〈dq,X〉dp+ (dp)〈dq,X〉+ pd(〈dq,X〉) =

= iX(dp ∧ dq) + d(p〈dq,X〉) = (i

Xd+ d i

X)(pdq) = (i

Xd+ d i

X)α . (1.87)

• pro 2-formy tvaru ω = dp ∧ dq:Provedením obdobných úprav, užitím (1.87) a uvážením identity d2 ≡ 0, viz (1.82), spočteme

LXω = L

X(dp ∧ dq) = L

X(d(pdq)) = d(L

X(pdq)) =

= d(iXd(pdq) + d i

X(pdq)) = d i

X(dp ∧ dq) + d2 i

X(pdq) = (1.88)

= d iXω = (i

Xd+ d i

X)ω,

protožeiXdω = i

Xd(dp ∧ dq) = i

X(d2p ∧ dq − dp ∧ d2q) = 0 . (1.89)

• pro obecné 2-formy ψ = fj ωj :Díky linearitě a vztahu (1.88) platí

LXψ = (L

Xfj)ωj + fjLXωj = (iXdfj)ωj + fj(iXdωj + d iXωj) =

= (iXdfj)ωj − (dfj) ∧ iXωj + (dfj) ∧ iXωj + fjd iXωj = (1.90)

= iX[d(fjωj)] + d(fj iXωj) = (iXd+ d iX)ψ .

⊠⊠⊠

Kapitola 2

Geometrická formulaceLagrangeovy mechaniky

V této kapitole ukážeme, že přirozenou arénou Lagrangeovy mechaniky je tečný bandl TQ konfi-gurační variety Q, a že dynamický vývoj je určen vektorovým polem X, které řeší Lagrangeovyrovnice v geometrickém tvaru L

Xθ

L= dL. Integrální křivky γ(t) tohoto pole určují fázový por-

trét daného systému. Zformulujeme a dokážeme významný teorém Emmy Noetherové, který dávádo souvislosti symetrie Lagrangeovy funkce a zákony zachování.

2.1 Fázový portrét: dynamický systém coby vektorové pole

Fázový portrét je znázornění možného vývoje systému v grafu rychlost versus poloha, tedy v(x).Prostor parametrů (x, v) nazýváme též „rychlostní fázový prostorÿ.

• jedná se o množinu křivek γ(t): každým nesingulárním bodem prochází právě jedna křivka

• každá křivka je jednoznačně určena počátečními podmínkami (x0, v0)

• bod v rychlostním fázovém prostoru (x, v) určuje fyzikální stav systému

Zmíněné křivky γ(t) vývoje systému lze chápat jako integrální křivky speciálního vektorovéhopole X, které nazýváme dynamické vektorové pole. To je (pro případ n = 1) určeno výrazem

X =ddt= v

∂

∂x+ a

∂

∂v, (2.1)

kde v je okamžitá rychlost a a je zrychlení částice, jež je v konkrétním případě určeno Newtonovoupohybovou rovnicí ma = F .

Ve smyslu operátoru aplikovaného na libovolnou funkci f tedy platí

X(f) ≡dfdt= v

∂f

∂x+F

m

∂f

∂v, (2.2)

takže složky dynamického vektorového pole v rychlostním fázovém prostoru s nezávislými souřad-nicemi x, v jsou X =

(v, F

m

). Odtud lze určit integrální křivky γ(t) řešením soustavy rovnic

dxi

dt= X i(xk) , (2.3)

viz rovnice (1.28), kde souřadnice jsou (x1, x2) ≡ (x, v). Explicitně tedy je

dxdt= v, (2.4)

dvdt=F

m. (2.5)

23

KAPITOLA 2. GEOMETRICKÁ FORMULACE LAGRANGEOVY MECHANIKY 24

Řešením soustavy (2.4), (2.5) dostáváme časový vývoj systému x(t), v(t) v rychlostním fázovémprostoru.

Příklad: volný pád : F = mg, takže (2.1) je

X = v∂

∂x+ g

∂

∂v. (2.6)

Integrální křivky fázového portrétu jsou paraboly. Opravdu, řešení určené rovnicemi (2.4), (2.5) je

x = 12gt2 + v0t+ x0, v = gt+ v0, (2.7)

(kde v0, x0 jsou integrační konstanty) takže vyloučením t dostáváme

x =g

2

(v − v0g

)2+ v0

(v − v0g

)+ x0 =

12gv2 +

(x0 −

v202g

). (2.8)

Fázový portrét je znázorněn na obrázku 2.1.

Obrázek 2.1: Dynamické vektorové pole a fázový portrét volného pádu.

Příklad: harmonický oscilátor : F = −kx, takže

X = v∂

∂x− ω2x

∂

∂v, kde ω2 =

k

m. (2.9)

Integrální křivky jsou elipsy, tedy uzavřené křivky se singulárním bodem v x = 0, neboť řešenísoustavy (2.4), (2.5) nyní je

x = A cos(ωt+ δ), v = −Aω sin(ωt+ δ), (2.10)

(A, δ jsou konstanty) a vyloučením t opravdu dostáváme

( xA

)2+

( v

Aω

)2= 1, (2.11)

viz obrázek 2.2.


Obrázek 2.2: Dynamické vektorové pole a fázový portrét harmonického oscilátoru.

Příklad: matematické kyvadlo: F = −mg sinϕ. Rychlostní fázový prostor je nyní určen úhlovýmiparametry (ϕ, ω), takže dynamické vektorové pole X = ω ∂

∂ϕ+ ε ∂

∂ωmá tvar

X = ω∂

∂ϕ−g

lsinϕ

∂

∂ω, (2.12)

neboť pohybové rovnice určují, že úhlové zrychlení ε = − gl sinϕ. Fázový portrét je znázorněn na

obrázku 2.3.

Obrázek 2.3: Dynamické vektorové pole a fázový portrét matematického kyvadla.

Závěr: Vidíme, že řešení úlohy v teoretické mechanice je možné převést na nalezení odpovídajícího(unikátního) dynamického vektorového pole X v rychlostním fázovém prostoru. Pole X je přitomgeometrický objekt, který existuje nezávisle na konkrétních souřadnicích rychlostního fázovéhoprostoru. Lze tedy v principu použít libovolné zobecněné souřadnice konfigurační variety. Ukážemenyní, že pole X je opravdu určeno geometricky, a to Lagrangeovými rovnicemi.


2.2 Základní geometrické objekty Lagrangeova formalismu

Výklad lagrangeovské mechaniky v jazyce diferenciální geometrie začneme definicí několika důle-žitých pojmů:

• konfigurační varieta Q je varieta všech možných poloh (tvarů) daného systému parametri-zovaná zobecněnými souřadnicemi (q1, . . . , qn), přičemž n je počet stupňů volnosti systému

• tečný bandl TQ, neboli rychlostní fázový prostor, je fíbrovaná varieta dimenze 2n paramet-rizovaná souřadnicemi (q1, . . . , qn, q1, . . . , qn), kde q1, . . . , qn určují souřadnice konkrétníhobodu P na varietě Q a složky q1, . . . , qn specifikují konkrétní vektor z tečného prostoru T

PQ,

neboli v = qj ∂∂qj (zdůrazněme, že qj označuje souřadnice, nikoli časovou derivaci funkce)

• Lagrangeova funkce L je skalární funkce na tečném bandlu TQ, tedy zobrazení1 L : TQ → R

• dynamické vektorové pole X ≡ ddtna TQ je vektorové pole, které je určeno Lagrangeovou

funkcí L; jeho integrální křivky γ(t) určují fázový portrét, tj. udávají časový vývoj systému.

Ilustrace: matematické kyvadlo

Konfigurační varietou Q matematického kyvadla je kružnice, tedy varieta S1. Na jejím tečnémbandlu TQ = TS1 je definována Lagrangeova funkce L, která má v přirozených souřadnicích tvarL(ϕ, ϕ) daný

L = 12ml

2ϕ2 +mgl cosϕ. (2.13)

Ta jednoznačně určuje dynamické vektorové pole X, neboli daným bodem Z ∈ TS1 prochází právějedna integrální křivka s tečnou X

Zodpovídající konkrétnímu vývoji, viz obrázek 2.4.

Obrázek 2.4: Integrální křivky na tečném bandlu TS1 matematického kyvadla.

Poznámka: Uvědomme si, že vektorové pole X ve skutečnosti leží v tečném bandlu T(TQ), nikolipřímo v TQ. V případě matematického kyvadla tedy v T(TS1). Proto je to hladký řez na T(TQ).

1Pokud je Lagrangeova funkce navíc také časově závislá, platí L : TQ× R → R. (Pokud neexistuje potenciál V ,jsou působící síly popsány 1-formami ρ = Fi dxi = Qj dqj .)


2.3 Lagrangeovská vektorová pole na TQ

Cílem lagrangeovského popisu je nalézt unikátní křivku δ(t) na konfigurační varietě Q určujícívývoj systému při daných počátečních podmínkách. Tuto křivku získáme projekcí π křivky γ(t)ležící na varietě TQ. Připomeňme, že tečný bandl TQ je fíbrovaný prostor s bází Q (viz ka-pitola 1.3), a proto δ(t) = π(γ(t)). V lokálních souřadnicích máme δ(t) ≡ (q1(t), . . . , qn(t)) aγ(t) ≡ (q1(t), . . . , qn(t), q1(t), . . . , qn(t)).V daném bodě P ≡ δ(t0) ∈ Q přitom tečna ke křivce δ(t) určuje rychlost systému popsanou

vektorem v ∈ TPQ, jenž má v souřadnicové bázi tvar v = vj ∂

∂qj =dqj

dt (t0)∂

∂qj . Tím je ovšem

jednoznačně určen odpovídající bod Z ≡ γ(t0) ∈ TQ, neboť obecně musí platit v = qj(t0) ∂∂qj . Po-

rovnáním obou vyjádření vektoru v pro každou hodnotu parametru t0 odtud dostáváme podmínkykonzistence ve tvaru2

qj(t) =dqj(t)dt

. (2.14)

Pouze takové křivky γ(t) na TQ splňující vztah (2.14) mohou konzistentně odpovídat příslušnékřivce δ(t) na Q — pak říkáme, že γ(t) je „zdvihemÿ δ(t), zatímco δ(t) je „projekcíÿ γ(t).V Lagrangeově geometrickém formalismu se tedy musíme omezit jen na speciální dynamická

vektorová pole X na TQ, aby jimi generované integrální křivky γ(t) automaticky splňovaly pod-mínky (2.14). Protože obecně platí

X(f) ≡dfdt=dqj(t)dt

∂f

∂qj+dqj(t)dt

∂f

∂qj, (2.15)

viz (1.4), omezení daná (2.14) implikují

X = qj ∂

∂qj+W j(qi, qi)

∂

∂ qj, (2.16)

neboť jsme identifikovali

dqj

dt= qj , (2.17)

dqj

dt= W j(qi, qi). (2.18)

Speciální vektorová pole3 tvaru (2.16) se nazývají pole druhého řádu. Dynamické vektorové polev Lagrangeově popisu tedy musí být polem druhého řádu, aby dávalo konzistentní řešení pohybo-vých rovnic. Rychlostní fázový prostor TQ má sice dimenzi 2n, ale díky implicitní vazbě (2.14)implikující (2.16) se efektivně redukuje na n nezávislých proměnných konfigurační variety Q.

Pro danou trajektorii δ(t) ≡ (q1(t), . . . , qn(t)) na Q díky (2.17), (2.18) platí d2qj

dt2 =dqj

dt =Wj ,

takže funkce W j vyjadřují složky okamžitého zrychlení systému. Dynamicky je toto zrychleníurčeno pohybovými rovnicemi v zobecněných souřadnicích, tedy Lagrangeovými rovnicemi II.

druhu, neboli ddt

(∂L∂qi

)− ∂L

∂qi = 0, kde L(qj , qj) je příslušná Lagrangeova funkce. Explicitním

rozpisem úplné časové derivace v prvním členu dostáváme

∂2L

∂qj ∂qi

dqj

dt+

∂2L

∂qj ∂qi

dqj

dt−∂L

∂qi= 0, (2.19)

takže funkce W j jsou řešením lineární soustavy rovnic

AjiWj = Ci −Bjiq

j , (2.20)

2Opět zdůrazněme koncepční rozdíl mezi funkcí qj(t), souřadnicí qj a derivací dqj(t)dt

funkce qj(t).3Připomeňme, že obecné (hladké) vektorové pole na TQ má tvar X = V j ∂

∂qj +W j ∂∂ qj , kde V j a W j jsou

libovolné (hladké) funkce souřadnic qi a qi. Pro pole druhého řádu je speciálně V j = qj .


kde

Aji =∂2L

∂qj ∂qi, Bji =

∂2L

∂qj ∂qi, Ci =

∂L

∂qi, (2.21)

jsou funkce na TQ určené Lagrangeovou funkcí.4 Vektorová pole X druhého řádu na TQ, tedytvaru (2.16), kde funkce W j jsou dány vztahem (2.20), nazýváme lagrangeovská vektorová pole.Integrální křivky právě takových polí určují dynamiku soustavy v Lagrangeově formalizmu.

Poznámka: Vektorové pole X druhého řádu lze definovat i v čistě geometrické řeči vztahem

S(X) =∆, (2.22)

kde S je tzv. vertikální endomorfizmus a ∆ je Liouvillovo pole, což jsou kanonická tenzorová polena tečném bandlu TM. Zde S je vertikální lift5 jednotkového tenzoru typu

(11

), pro nějž platí

S

(∂

∂xj

)=

∂

∂vj, S

(∂

∂vj

)= 0, S

(dxj

)= 0, S

(dvj

)= dxj , (2.23)

a ∆ je specifické vertikální pole6, které má v lokálních souřadnicích tvar

∆ = vj ∂

∂vj. (2.24)

Aplikací (2.23) na vektorové pole v obecném tvaru

X = V j(xi, vi)∂

∂xj+W j(xi, vi)

∂

∂vj(2.25)

dostáváme

S (X) = V j(xi, vi)∂

∂vj. (2.26)

Je vidět, že geometrický vztah (2.22) implikuje V j = vj , a je tedy ekvivalentní soustavě

dxj

dt= vj ,

dvj

dt=W j(xi, vi), (2.27)

což odpovídá rovnicím (2.17) a (2.18).

2.4 Geometrická podoba Lagrangeových rovnic

Nyní můžeme přejít k otázce, jak nalézt zmíněné unikátní dynamické vektorové pole X příslušnédané Lagrangeově funkci L na tečném bandlu TQ. Ukážeme, že toto pole musí splňovat rovnici

LXθ

L= dL, (2.28)

což je geometricky vyjádřená Lagrangeova rovnice, jejíž význam si nejprve ozřejmíme.Levou stranu (2.28) tvoří Lieova derivace tzv. Lagrangeovy 1-formy podle námi hledaného

vektorového pole X (které musí být druhého řádu). Lagrangeova 1-forma je speciální 1-forma naTQ definovaná v lokálních zobecněných souřadnicích výrazem

θL≡∂L

∂qjdqj . (2.29)

4Matice A je invertibilní když má nenulový determinant detA zvaný hessián; takový systém je nedegenerovaný.5Vertikální lift je procedura, která z tenzorovného pole typu

`

11

´

naM vygeneruje tenzorové pole stejného typuna TM. Více informací lze nalézt např. v [3], kapitola 17.5.6Vertikálním polem nazýváme takové pole, které má pouze složky ∂

∂vj .


Všimněme si, že tato 1-forma, narozdíl od obecné 1-formy7, má pouze složky tvaru dqj . Striktněvzato, jedná se o pole 1-forem, které jsou řezem T∗(TQ).

Důkaz platnosti rovnice (2.28). Uvažme Lieovu derivaci Lagrangeovy 1-formy podél obecnéhovektorového pole X. Aplikací Leibnizova pravidla dostaneme

LXθ

L= L

X

(∂L

∂qjdqj

)=

(LX

∂L

∂qj

)dqj +

∂L

∂qjLX

(dqj

). (2.30)

Dále využijeme vztahu LXf ≡ X(f) ≡ df

dt , viz (1.45), a skutečnosti, že LX a d komutují, viz (1.49),

LXθ

L=

[ddt

(∂L

∂qj

)]dqj +

∂L

∂qjd

(dqj

dt

)=

[ddt

(∂L

∂qj

)]dqj +

∂L

∂qjdqj . (2.31)

Nyní použijeme Lagrangeovy rovnice II. druhu v obvyklém souřadnicovém zápisu ddt

(∂L∂qj

)= ∂L

∂qj ,

které popisují dynamiku systému (viz přednáška OFY003). Díky nim ihned dostáváme

LXθ

L=∂L

∂qjdqj +

∂L

∂qjdqj = dL, (2.32)

kde v posledním kroku jsme použili výraz (1.18) pro diferenciál Lagrangeovy funkce L(qj , qj). Tímjsme ověřili platnost vztahu (2.28) reprezentujícího Lagrangeovy rovnice v čistě geometrické řeči,tedy jako vztahu mezi geometrickými objekty na TQ, jenž je zcela nezávislý na souřadnicích.

⊠⊠⊠

Připomeňme znovu význam rovnice (2.28): pro zadanou Lagrangeovu funkci L (určující jak1-formu θ

L, tak 1-formu dL) hledáme takové unikátní vektorové pole X druhého řádu, aby platil

vztah (2.28). Integrální křivky γ(t) takového pole X pak určují fyzikální vývoj daného systému.

Ilustrace: pohyb částice v potenciálu V (q) v jedné dimenzi

Lagrangeova funkce má tvarL = 1

2mq2 − V (q) (2.33)

a pro Lagrangeovu formu (2.29) tedy platí

θL= mq dq. (2.34)

Dále jedL = −V ′dq +mq dq. (2.35)

Naším cílem je nyní najít pole

X = X1∂

∂q+X2

∂

∂q, (2.36)

takové aby platilo (2.28), přičemž X1 = q a funkci X2(q, q) hledáme. Obecně platí (1.56), tedy

LXα =

(Xj ∂αi

∂xj+ αj

∂Xj

∂xi

)dxi, (2.37)

kde nyní α = θL, takže pro (x1, x2) = (q, q), α = (α1, α2) = (mq, 0) je

LXθ

L=

(X1

∂α1

∂q+X2

∂α1

∂q+ α1

∂X1

∂q+ α2

∂X2

∂q

)dq +

(X1

∂α2

∂q+X2

∂α2

∂q+ α1

∂X1

∂q+ α2

∂X2

∂q

)dq (2.38)

=(mX2 +mq

∂X1

∂q

)dq +mq

∂X1

∂qdq.

7Připomeňme, že obecná 1-forma na TQ má tvar α = α1dq1 + . . .+ αndqn + β1dq1 + . . .+ βndqn.


Porovnáním s dL z výrazu (2.35) již můžeme snadno vyjádřit obě složky hladaného vektorovéhopole X, neboť musí platit

X2 + q∂X1

∂q= −

1mV ′,

∂X1

∂q= 1. (2.39)

Protože X1 = q, je druhá rovnice identicky splněna a první rovnice přímo určuje X2:

X1 = q,

X2 = −1mV ′. (2.40)

Jako speciální ilustrace lze uvážit

• volnou částici Protože V = 0, q = x, je

X = x∂

∂x(2.41)

a integrální křivky γ(t) systému jsou dány diferenciálními rovnicemi

dxdt= X1 = x,

dxdt= X2 = 0, (2.42)

jejichž integrací dostáváme

x = v0 = konst.

x = v0t+ x0. (2.43)

• volný pád Potenciál je dán výrazem V (x) = −mgx, takže pole je dle (2.40) dáno

X = x∂

∂x+ g

∂

∂x, (2.44)

z něhož dále dostáváme diferenciální výrazy pro integrální křivky

dxdt= X1 = x,

dxdt= X2 = g, (2.45)

jejichž řešením je

x = gt+ v0,

x = 12qt2 + v0t+ x0. (2.46)


2.5 Teorém Emmy Noetherové

Předpokládejme, že na TQ jsou dány:

• L Lagrangeova funkce systému

• X dynamické vektorové pole generující tok ΦX

t

• Z další vektorové pole generující tok ΦZ

ǫ .

Pole Z na TQ odpovídá bodové transformaci na Q, tedy zobrazení qj → q′k = q′k(qj , ǫ).

Bodová transformace na Q je generována vektorovým polem ZQ takovým, žedqk

dǫ = Zk(qj), neboli

Zk = ∂q′k

∂ǫ |ǫ=0.

Ilustrace: translace v ose x o vzdálenost ǫ je x′ = x+ ǫ, y′ = y. Generátorem této translace je

ZQ =∂

∂x. (2.47)

Ilustrace: rotace kolem počátku o úhel ǫ je r′ = r, ϕ′ = ϕ+ ǫ. Generátorem této rotace je

ZQ =∂

∂ϕ. (2.48)

Vektorové pole ZQ = Zk ∂∂qk „žijeÿ na Q, zatímco pole Z je jeho rozšířením na TQ. Geometrický

význam rozšíření pole ZQ na Z spočívá v tom, že zatímco pole ZQ generuje tok Φǫ na konfiguračnívarietě Q, pole Z generuje odpovídající tok (Φǫ,Φǫ∗) na tečném bandlu TQ, kde Φǫ∗ je příslušnýpush-forward tečného prostoru.To znamená, že integrální křivky pole Z jsou určeny (qj , qj) → (qj

ǫ , qjǫ) ≡

(Φǫ(qj),Φǫ∗(qj)

).

Explicitní vyjádření pole Z najdeme následujícím způsobem. Pole Z musí být tvaru

Z = Zk ∂

∂qk+ Zk ∂

∂qk. (2.49)

Zadáním Zk(ql), což jsou složky ZQ, jsou složky Zk již jednoznačně určeny. Musí totiž platit

Zk =ddtZk

(ql(t)

)=∂Zk

∂qlql, (2.50)

kde ql(t) je souřadnicové vyjádření libovolné křivky určující tečný vektor v ∈ TPQ se složkami ql.

(Výraz (2.51) odpovídá transformaci (1.35) složek vektoru pomocí zobrazení push-forward.) ProZ tedy dostáváme

Z = Zk ∂

∂qk+∂Zk

∂qlql ∂

∂qk. (2.51)

Nyní již můžeme teorém Emmy Noetherové formulovat, a to následujícím způsobem:


Teorém: Jestliže se hodnota Lagrangeovy funkce L nemění podél křivek Z, neboli

LZL = 0, (2.52)

pak funkce g daná vztahemg = 〈θ

L,Z〉 (2.53)

má stále stejnou hodnotu podél křivek X (tedy při vývoji systému), tj. platí

LXg = 0, (2.54)

což odpovídá definici integrálu pohybu.

Abychom mohli ukázat platnost vysloveného teorému, dokážeme nejprve pomocné tvrzení:

Lemma: Platí, že〈θ

L, [Z,X]〉 = 0. (2.55)

Důkaz lemmatu: Připomeňme, že vektorová pole X a Z jsou, viz (2.16) a (2.51),

X = qj ∂

∂qj+W j ∂

∂ qj,

Z = Zk ∂

∂qk+∂Zk

∂qlql ∂

∂ qk. (2.56)

Také si uvědomme, že zde můžeme vynechat všechny členy tvaru ∂∂qk . Opravdu: protože θL

∼ dqj ,viz definice (2.29), platí

〈θL,∂

∂ qk〉 = 0, (2.57)

takže členy tvaru ∂∂qk jsou v rámci tohoto důkazu dále irelevantní. Počítejme nyní komutátor8

[Z,X] ≡ ZX−XZ ≈ Zk ∂ qj

∂qk

∂

∂qj+∂Zk

∂qlql ∂ q

j

∂ qk

∂

∂qj− qj ∂Z

k

∂qj

∂

∂qk−W j ∂Z

k

∂ qj

∂

∂qk. (2.58)

Ve výrazu (2.58) se nevyskytují členy obsahující druhé derivace, neboť se v komutátoru navzájemodečtou. Opravdu, obecně platí, že

[a∂

∂x, b∂

∂y] ≡ a

∂

∂xb∂

∂y− b

∂

∂ya∂

∂x= a

∂b

∂x

∂

∂y+ ab

∂2

∂x∂y− b

∂a

∂y

∂

∂x− ba

∂2

∂y∂x(2.59)

a členy s druhou derivací (2. a 4. člen) se tedy odečtou.

Výraz (2.58) můžeme dále upravit, uvědomíme-li si, že ∂qj

∂qk = 0,∂qj

∂qk = δjk a

∂Zk

∂qj = 0, protože

Zk(ql). Je tedy

[Z,X] ≈∂Zk

∂qlql ∂

∂qk− qj ∂Z

k

∂qj

∂

∂qk. (2.60)

Nyní již stačí jen přeznačit sčítací index j v druhém členu za l a ihned vidíme, že [Z,X] ≈ 0. Jakjsme tedy ukázali, komutátor [Z,X] má obecně jenom komponenty ∂

∂qk , a v důsledku (2.57) musíplatit 〈θ

L, [Z,X]〉 = 0, čímž je důkaz lemmatu dokončen.

⊠⊠⊠

8Právě kvůli vynechání některých členů, které po zúžení s θLvypadnou, píšeme znaménko ≈ místo =.


Důkaz teorému Emmy Noetherové: Konečně můžeme elegantně s využitím právě dokázanéholemmatu ukázat platnost teorému, neboť užitím (1.48), Lagrangeových rovnic (2.28) a (1.51) je

LXg = L

X〈θ

L,Z〉 = 〈L

Xθ

L,Z〉+ 〈θ

L,L

XZ〉 =

= 〈dL,Z〉+ 〈θL, [X,Z]〉 = Z(L) + 0 ≡ L

ZL = 0. (2.61)

⊠⊠⊠

Ilustrace: invariance L vůči translaci. Generátor translace je (2.47), tedy

ZQ =∂

∂x= Z. (2.62)

Například Lagrangeova funkceL = 1

2m(x2 + y2)− V (y) (2.63)

je vůči ní zřejmě invariantní, takže platí

g = 〈θL,Z〉 = 〈mxdx+my dy,

∂

∂x〉 = mx. (2.64)

Rovnice (2.54) v tomto případě vyjadřuje zákon zachování hybnosti.

Ilustrace: invariance L vůči rotaci. Generátor rotace je (2.48), tedy

ZQ =∂

∂ϕ= Z. (2.65)

Například pro Lagrangeovu funkci tvaru

L = 12m(r

2 + r2ϕ2)− V (r) (2.66)

dostáváme

g = 〈θL,Z〉 = 〈mrdr +mr2ϕdϕ,

∂

∂ϕ〉 = mr2ϕ, (2.67)

tedy teorém Emmy Noetherové implikuje zachování momentu hybnosti.Je ilustrativní podívat se na tutéž situaci také z pohledu kartézských souřadnic. V nich je

generátor rotace x′ = x cos ǫ− y sin ǫ, y′ = x sin ǫ+ y cos ǫ dán

ZQ = x∂

∂y− y

∂

∂x, (2.68)

takže Z již nemá stejný tvar jako ZQ:

Z = x∂

∂y− y

∂

∂x+ x

∂

∂y− y

∂

∂x. (2.69)

Odtud pro L = 12m

(x2 + y2

)− V (x, y) dostáváme

g = 〈θL,Z〉 = 〈mxdx+my dy,Z〉 = m(xy − yx), (2.70)

což je opět zákon zachování momentu hybnosti, nyní ovšem vyjádřený v kartézských souřadnicích.

Kapitola 3

Geometrická formulaceHamiltonovy mechaniky

V této kapitole zjistíme, že přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově formulaci mechaniky geome-tricky odpovídá Legendreově duální transformaci mezi tečným bandlem TQ a kotečným bandlemT∗Q konfigurační varietyQ. Poté ukážeme, že přirozenou arénou Hamiltonovy mechaniky je fázovýprostor, který je vybaven symplektickou strukturou, to znamená, že na něm existuje symplektická2-forma ω. Hamiltonovy rovnice mají tvar i

Xω = dH , což je geometrická rovnice pro hamilto-

novské vektorové pole X, jehož integrální křivky γ(t) určují vývoj systému ve fázovém prostoru.Ukážeme také geometrický význam Poissonových závorek a kanonických transformací.

3.1 Legendreova duální transformace

Velmi stručně řečeno, z geometrického hlediska můžeme oba zásadní přístupy k mechanice —Lagrangeův a Hamiltonův — shrnout takto:

Lagrange: klíčová je funkce L na TQ, což je tečný bandl variety Q,Hamilton: klíčová je funkce H na T∗Q, což je kotečný bandl variety Q.

Oba fíbrované prostory TQ a T∗Q jsou dobré nosiče dynamiky, neboť separují trajektorie vývoje,to znamená, že každým jejich bodem prochází právě jedna křivka vývoje γ(t).

Přechod qj → pj, jak ho známe z klasických učebnic teoretické mechaniky, není pouhá ÿzměnasouřadnicÿ na tečném bandlu TQ, ale je to (lokální souřadnicová) reprezentace zobrazení

TQ→ T∗Q , (3.1)

tedy identifikace vektoru v v bodě P (se složkami qj) s odpovídající 1-formou Θ v tomtéž bodě P(se složkami pj).

Obecněji: záměna L↔ H odpovídá zobrazení TQ ↔ T∗Q identifikující qj ↔ pj pomocí vztahů

pj =∂L

∂qj, qj =

∂H

∂pj. (3.2)

34

KAPITOLA 3. GEOMETRICKÁ FORMULACE HAMILTONOVY MECHANIKY 35

Schematicky tedy platí

R R

↑ L ↑ H

(qj , qj) = Z ∈ TQ ←→ T∗Q ∋ Z∗ = (qj , pj)

ց π π ւ

(qj) = P ∈ Q

Vztah L(qj , qj)↔ H(qj , pj) je přitom explicitně dán známým výrazem (viz OFY003)

H(qj , pj) ≡ piqi(qj , pj)− L(qj , pj) , (3.3)

kde L(qj , pj) je funkce L(qi, qi), v níž je dosazeno qi(qj , pj) inverzí pj = ∂L∂qj , viz (3.2).

Geometricky názorná interpretace vztahu mezi L a H

Pro jednoduchost uvažujme jen dimenzi n = 1 a potlačme psaní q (budeme však i nadále psátparciální derivace).

Mějme tedy libovolnou funkci L(v) a po vzoru (3.3) zaveďme novou funkci

H(p) = p v(p)− L(v(p)) , (3.4)

kde

p(v) =∂L

∂v. (3.5)

Lagrangeův a Hamiltonův popis je pak ekvivalentní vyjádření téhož grafu, viz obrázek 3.1,

• buď dvojicí (v, L) ≡ (vodorovná osa, svislá osa),

• nebo dvojicí (p,H) ≡ („směrnice tečnyÿ, „−absolutní člen tečnyÿ).

Opravdu: obecná přímka je tvaru y = kx + q, zde tedy L(v0) = p0v0 − H(p0), neboli H(p0) =p0v0 − L(v0). Funkce L(v) je proto obalová křivka tečen parametrizovaných dvojicí (p,H(p)).

Funkce L(v) a H(p) jsou ekvivalentní, neboť naopak platí

L(v) = p(v)v −H(p(v)) . (3.6)

Opravdu, z (3.4) plyne∂H

∂p= v(p) + p

∂v

∂p−∂L

∂v

∂v

∂p. (3.7)

Protože ale ∂L∂v= p, dostáváme

v(p) =∂H

∂p. (3.8)

Poznámky:

• přechod L↔ H daný vztahem (3.4) funguje dobře, dokud se v grafu neobjeví inflexní bod;je tedy regulární jen v bodech, kde ∂p

∂v= ∂2L

∂v26= 0

• obecně lze Legendreovu transformaci (3.3) užít pokud je hessián det(

∂2L∂qj∂qi

)6= 0, viz také

řešení rovnice (2.20)


Obrázek 3.1: Názorná ilustrace vztahu mezi L a H .

Další důsledky Legendreovy duality:

Legendreovým obrazem Lagrangeovy 1-formy θLdefinované na TQ (přesněji θ

L∈ T∗(TQ)) vzta-

hem (2.29), tedy

θL=∂L

∂qjdqj , (3.9)

je významná Cartanova 1-forma θ0:

Definice: kanonická Cartanova 1-forma θ0na T∗Q (přesněji θ

0∈ T∗(T∗Q)) je definována vzta-

hemθ0= pjdqj . (3.10)

Její geometrická důležitost spočívá v tom, že

• existuje globálně na celém T∗Q

• nezávisí na konkrétní funkci L

• je jednoznačně a přirozeně určena fíbrovanou strukturou kotečného bandlu T∗Q

Podobně lze Legendreovu dualitu aplikovat i na integrální křivky dynamickéko vektorového poleX ≡ d

dt určují vývoj daného systému. V Lagrangeově formalismu na TQ je

XL = qj ∂

∂qj+W j(qi, qi)

∂

∂qj, (3.11)

kde W j(qi, qi) je kontrétní (obvykle složitá) funkce daná Lagrangeovými pohybovými rovnicemiviz (2.20). Naproti tomu ve formalismu Hamiltonově na T∗Q platí

XH =dqj

dt∂

∂qj+dpj

dt∂

∂pj, (3.12)

kde dqj

dt adpj

dt jsou určeny Hamiltonovými kanonickými rovnicemidqj

dt =∂H∂pja dpj

dt = −∂H∂qj , tedy

XH =∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj. (3.13)

Na T∗Q je proto vývoj systému určen trajektoriemi (qj(t), pj(t)), což jsou integrální křivky přiro-zeného vektorového pole XH = ( ∂H

∂pj,− ∂H

∂qj ).


3.2 Jednotné souřadnice na T∗Q a symplektická matice

Je výhodné zavést jednotné značení lokálních souřadnic na kotečném bandlu T∗Q dimenze 2nvztahem

(z1, . . . , zn, zn+1, . . . , z2n) ≡ (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), (3.14)

tedyzj = qj ,

zj+n = pj , j = 1, . . . , n . (3.15)

Prvních n parametrů představuje zobecněné souřadnice, zatímco druhá n-tice parametrů jsouodpovídající kanonicky sdružené hybnosti. Potom je možné Hamiltonovy kanonické rovnice přepsatdo podoby

zβ =∂H

∂zβ+n, β = 1, . . . , n , (3.16)

zβ = −∂H

∂zβ−n, β = n+ 1, . . . , 2n . (3.17)

Oba výrazy jsou stejné až na znaménka. Nabízí se proto zavést tzv. symplektickou matici ωαβ typu2n× 2n, jejíž prvky jsou 0, +1 nebo -1 dle „blokovéhoÿ předpisu

ωαβ =(0 -II 0

)≡

0 . . . 0 −1 . . . 0...

....... . .

...0 . . . 0 0 . . . −11 . . . 0 0 . . . 0.... . .

......

...0 . . . 1 0 . . . 0

, (3.18)

kde I je jednotková matice typu n× n, I = diag(1, . . . , 1). Inverzní matice k ωαβ je zjevně

ωβα =(0 I-I 0

), (3.19)

neboť ωαβωβγ = δγ

α, neboli(0 -II 0

) (0 I-I 0

)=

(I 00 I

). (3.20)

Je vidět, že obě matice ωαβ a ωαβ jsou antisymetrické,

ωαβ = −ωβα, ωαβ = −ωβα , (3.21)

a že jsou navzájem transponované.

Užitím jednotných souřadnic a symplektické matice mají Hamiltonovy kanonické rovnice (3.16),(3.17) na T∗Q jednotný tvar

ωαβ zβ =

∂H

∂zα, (3.22)

neboli naopak

zβ = ωβα ∂H

∂zα. (3.23)

Snadno se přesvědčíme, že například α = 1⇒ β = n+ 1, tedy zβ = zn+1 = p1, takže

ω1β zβ =

∂H

∂z1⇔ −p1 =

∂H

∂q1atd.


Podobně lze pomocí symplektické matice vyjádřit:

• dynamické vektorové pole (3.12), (3.13)

XH = zβ ∂

∂zβ= ωβα ∂H

∂zα

∂

∂zβ(3.24)

• Poissonovu závorku f, g ≡ ∂f∂qj

∂g∂pj− ∂f

∂pj

∂g∂qj

f, g =∂f

∂zβωβα ∂g

∂zα(3.25)

Speciálně pro f = zβ a g = zα dostáváme fundamentální Poissonovy závorky tj.

zβ, zα = ωβα, (3.26)

neboli v obvyklých kanonicky sdružených proměnných

qj, qk = 0 , qj, pk = δjk ,

pj , pk = 0 , pj, qk = −δk

j . (3.27)

3.3 Geometrická podoba Hamiltonových rovnic

Nyní postoupíme dále v geometrické formulaci Hamiltonovy mechaniky. Ukazuje se totiž, že sym-

plektickou matici ωαβ =

(0 -II 0

)lze chápat jako souřadnicové složky symplektické 2-formy ω

na kotečném bandlu T∗Q. Právě tato symplektická forma ω tvoří centrální geometrický pojemhamiltonovského přístupu. (Zavedení obecných 2-forem je v kapitole 1.7.)

Definice: symplektická forma je 2-forma ω, která je

• uzavřená . . . dω = 0

• nedegenerovaná . . . iXω = 0⇔ X = 0

Přenásobením obou stran Hamiltonových kanonických rovnic (3.22) bázovou 1-formou dzα avysčítáním přes α dostáváme vztah

ωαβ zβdzα =

∂H

∂zαdzα , (3.28)

kde ωαβ jsou složky 2-formy ω, viz (1.65), a zβ jsou složky dynamického vektorového pole Xpříslušejícího H , viz (3.24). Jak je vidět z (1.70) a (1.71), celá levá strana odpovídá 1-formě, ježvzniká vložením dynamického vektorového pole X do symplektické 2-formy ω. Pravá strana je1-forma dH , tedy diferenciál Hamiltonovy funkce. Vztah (3.28) vyjadřuje vztah mezi 1-formami,který můžeme oprostit od konkrétních souřadnic na T∗Q.

Hamiltonovy kanonické rovnice v čistě geometrické řeči tedy mají velmi elegantní tvar

iXω = dH. (3.29)

Vyjádřeno slovy, vývoj systému je určen integrálními křivkami takového vektorového pole X,které vložením do symplektické 2-formy ω dá právě diferenciál dané Hamiltonovy funkce.


3.4 Fázový prostor coby symplektická varieta

Nyní je klíčové si uvědomit, že na fázovém prostoru1 je symplektická forma ω přirozeně definovaná,a to vztahem

ω = dθ0, (3.30)

kde θ0je kanonická Cartanova forma, zavedená výrazem (3.10). Explicitně v souřadnicích na T∗Q

tedy platí

θ0= pj dqj (3.31)

ω = dpj ∧ dqj (3.32)

Ověření:

• uzavřenost ω plyne přímo z (3.30) a vlastnosti (1.82): dω = d(dθ0) = d2θ

0≡ 0

• z definice vnější derivace 1-formy plyne ω = dθ0= d(pjdqj) ≡ dpj ∧ dqj

• ve složkách je (3.31) explicitně

ω = dp1 ∧ dq1 + . . .+ dpn ∧ dq

n = −dq1 ∧ dp1 − . . .− dqn ∧ dpn =

= −dz1 ∧ dzn+1 − . . .− dzn ∧ dz2n , (3.33)

takže srovnáním s (1.77), neboli ω =∑

α<β ωαβ dzα ∧ dzβ, dostáváme ωαβ =(0 -II 0

),

což je právě symplektická matice (3.18).

• protože

det(ωαβ) = det(0 -II 0

)= 1 6= 0 , (3.34)

inverzní matice ωβα existuje, a proto je 2-forma ω nedegenerovaná

⊠⊠⊠

Forma (3.30), tedy explicitně (3.32), je tudíž opravdu symplektická.

Symplektická forma ω je důležitá především tím, že konvertuje vektory na 1-formy.

Nechť je X vektor a σ je jemu přiřazená 1-forma, pak lze symbolicky psát:

Xω −→←− ω♯ σ

∈ ∈

TPM T∗

PM

kde jsme označili2 zobrazení z vektorů do 1-forem jako ω, a naopak zobrazení z 1-forem do vektorůjako ω♯, tedy

ω : X→ σ : σ = ω(X) ≡ ω(•,X) ≡ iXω (3.35)

ω♯ : σ → X : X = ω♯(σ) , (3.36)

kde ω♯ je inverzní k ω. Vztah mezi X a σ je přitom jednoznačný díky nedegenerovanosti ω.

1Pod fázovým prostorem zde rozumíme kotečný bandl T∗Q. Později ale ukážeme (viz kapitola 3.8 věnovanákanonickým transformacím), že specifickou fíbrovanou strukturu T∗Q lze ve skutečnosti ignorovat, a proto již natomto místě zavádíme obecnější pojem fázového prostoru.2Značení odpovídá běžné hudební notaci: „béčko ÿ snižuje tóny, zatímco „křížek ♯ÿ tóny zvyšuje, což je analo-

gické tomu, že složky vektorů, které mají horní indexy, přecházejí na složky 1-forem, které píšeme s indexy dole,viz (3.38), (3.39).


Platí tedy:

• složení ω a ω♯ je identita:ωω♯ = identita = ω♯ω (3.37)

• ve složkách platí

σα = ωαβXβ (3.38)

Xβ = ωβασα (3.39)

• specielně na T∗Q s přirozenými souřadnicemi (qj , pj) máme

∂

∂qj♯ ←→ dpj (3.40)

∂

∂pj

♯ ←→ −dqj (3.41)

Díky této symbolice můžeme Hamiltonovy kanonické rovnice (3.29) iXω = dH přepsat do podoby

ω(X) = dH , (3.42)

neboliX = ω♯(dH). (3.43)

To je explicitní výraz pro dynamické vektorové pole X, které jednoznačně určuje vývoj systémupro danou Hamiltonovu funkci H .

Obecně se pomocí symplektické formy ω zavádí tzv. hamiltonovské vektorové pole, které je přiřa-zeno libovolné funkci f na fázovém prostoru.

Definice: hamiltonovské vektorové pole Xf vůči dynamické proměnné f je taková pole, že

iXfω = df, (3.44)

neboliXf = ω♯(df) , (3.45)

neboliω(•,Xf ) = df . (3.46)

Přiřazení vektorového poleXf funkci f je jednoznačné. Zdaleka ne každé pole je ale hamiltonovské.

3.5 Poissonovy závorky geometricky

Symplektická forma ω je úzce svázána s Poissonovými závorkami, neboťgeometrická podoba Poissonových závorek je

f, g = ω(Xg,Xf ) = −ω(Xf ,Xg) , (3.47)

kde Xg je Hamiltonovské pole vůči g, zatím co Xf je Hamiltonovské pole vůči f .

Důkaz: Nechť dle (3.44)Xg = ω

♯(dg) , Xf = ω♯(df) , (3.48)


neboli ve složkách, viz (3.39),

Xβg = ω

βα ∂g

∂zα, X

γf = ω

γδ ∂f

∂zδ. (3.49)

Pak s využitím (3.25)

ω(Xg,Xf ) = ωβγXβg X

γf = ωβγω

γδ ∂f

∂zδωβα ∂g

∂zα=

∂f

∂zβωβα ∂g

∂zα≡ f, g . (3.50)

⊠⊠⊠

Z geometrické definice (3.47) okamžitě pro Poissonovy závorky plyne

• antisymetrie• bilinearita• z uzavřenosti symplektické formy (dω = 0) plyne také Jacobiho identita

takže struktura Poissonových závorek •, • tvoří Lieovu algebru na symplektické varietě.

Navíc platí tyto vztahy:

f, g = ω(Xg,Xf ) = iXgω(•,Xf ) = iXg

(df) ≡ 〈df,Xg〉 = Xgf = LXgf , (3.51)

tedyf, g = L

Xgf , g, f = L

Xfg , (3.52)

takžeLXgf = −L

Xfg. (3.53)

3.6 Hamiltonovská verze teorému Emmy Noetherové

V kapitole 2.5 jsme odvodili lagrangeovskou formulaci teorému Noetherové. Stručně řečeno, pokudLZL = 0, pak L

Xg = 0, kde g = 〈θ

L,Z〉. Jinými slovy, veličina g je v takovém případě integrálem

pohybu, protože se nemění podél integrálních křivek dynamického vektorového pole X.

Hamiltonova verze teorému Emmy Noetherové je mnohem elegantnější a zní:

LXgH = 0 ⇔ L

XHg = 0 (3.54)

Důkaz: Stačí jen aplikovat identitu (3.53) pro f = H , tedy 0 = LXgH = −L

XHg.

⊠⊠⊠

Příklady:

1. g = p1, neboli hybnost, takže s pomocí (3.40) a (3.45)Xg ≡ ω♯(dp1) = ∂

∂q1 , tedy Xp1 =∂

∂q1 ,což generuje translaci ve směru q1,

L∂

∂q1

H = 0 ⇔ LXH

p1 = 0 .

Je-li tedy H invariantní vůči translaci ve směru q1, zachovává se příslušná složka hybnostip1 vůči translaci.

2. g = p2q1 − p1q2, což je složka momentu hybnosti, takže

Xg = ω♯(q1dp2 − q

2dp1 + p2dq1 − p1dq

2) = −q2∂

∂q1+ q1

∂

∂q2− p2

∂

∂p1+ p1

∂

∂p2,

kde první dva členy generují rotaci v prostoru a druhé dva členy generují odpovídající rotaciv hybnostech — srovnej s výrazem (2.69). Invariance H vůči rotaci tedy odpovídá zákonuzachování momentu hybnosti.


3.7 Invariance symplektické formy

Pro každé hamiltonovské pole Xg vůči g platí

LXgω = 0. (3.55)

Speciálně platí LXω = 0 pro dynamické vektorové pole X odpovídající Hamiltonově funkci H .

Jinými slovy symplektická forma ω se při vývoji systému „neměníÿ .

Důkaz: Provedeme snadno pomocí Cartanovy identity, podle níž platí LX= i

Xd+d i

X, viz (1.85).

Je tedy LXgω = i

Xgdω+d i

Xgω = 0+ddg = d2g = 0, kde jsme užili faktu, že symplektická forma

ω je uzavřená (neboli dω = 0) a definice hamiltonovského pole (3.44).

⊠⊠⊠

3.8 Kanonické transformace geometricky

Vůči kanonickým transformacím je symplekticá forma ω invariantní. Konkrétně

Definice: kanonická transformace je taková změna souřadnic Zα(zβ) na fázového prostoru, kterázachovává kanonický tvar symplektické formy ω, tedy její složky ωαβ ve starých souřadnicích

zβ ≡ (qj , pj) i v nových souřadnicích Zα ≡ (Qj , Pj) jsou dány symplektickou maticí

(0 -II 0

),

kde ω = 12!ωαβ dzα ∧ dzβ = 1

2!ωαβ dZα ∧ dZβ .

Konkrétně tedy:

• ω = dpj ∧ dqj . . . v původních souřadnicích

↓ kanonická transformace

• ω = dPj ∧ dQj . . . v nových souřadnicích

Speciálně pro n = 1 máme Q(q, p), P (q, p), takže

ω = dP ∧ dQ =(∂P

∂qdq +

∂P

∂pdp

)∧

(∂Q

∂qdq +

∂Q

∂pdp

)=

=∂P

∂p

∂Q

∂qdp ∧ dq +

∂P

∂q

∂Q

∂pdq ∧ dp =

(∂Q

∂q

∂P

∂p−∂P

∂q

∂Q

∂p

)dp ∧ dq (3.56)

Aby transformace byla kanonická, člen(

∂Q∂q

∂P∂p− ∂P

∂q∂Q∂p

)musí tedy být roven 1, což je známá

podmínka Q,P = 1 známá z klasického kurzu teoretické mechaniky (OFY003).

Generující funkce kanonické transformace

Každá (lokální) kanonická transformace odpovídá jisté (lokální) funkci F na fázovém prostoru.Připomeňme, že v kanonických souřadnicích je kanonická Cartanova forma

θ0 = pjdqj . (3.57)

Aplikací vnější derivace d dostáváme dθ0= dpj ∧ dqj = ω, což je symplekticá forma. Uvažujme

nyní jinou kanonickou Cartanovu formu

θ1 = PjdQj (3.58)


v souřadnicích (Qj , Pj), které jsou s (qj , pj) na fázovém prostoru spojeny kanonickou transformací.Zjevně platí dθ

1= dPj ∧ dQj = ω, takže odečtením dostáváme

d(θ0− θ

1) = 0 . (3.59)

Forma (θ0−θ

1) je tedy uzavřená, neboli 1-forma α ≡ pjdqj−PjdQj je uzavřená. Nyní použijeme

Poincarého lemma: Pro uzavřenou 1-formu α lokálně existuje funkce F taková, že α = dF .

Důsledek: Pro danou kanonickou transformaci existuje na každém okolí U fázového prostorulokální funkce F , zvaná generující funkce, taková, že

pjdqj − PjdQj = dF. (3.60)

Odtud lze snadno ukázat, že platí

pj qj − PiQ

i =dFdt

(3.61)

Důkaz: Vyjdeme ze vztahu (3.60), přičemž víme, že Qi = Qi(qj , pj), tedy

pjdqj − Pi

(∂Qi

∂qjdqj +

∂Qi

∂pjdpj

)=∂F

∂qjdqj +

∂F

∂pjdpj . (3.62)

Porovnáním levé a pravé strany této rovnice dostaneme

∂F

∂qj= −Pi

∂Qi

∂qj+ pj ,

∂F

∂pj= −Pi

∂Qi

∂pj. (3.63)

Nyní dosadíme tyto výrazy do dFdt ,

dFdt≡∂F

∂qjqj +

∂F

∂pjpj =

(−Pi

∂Qi

∂qj+ pj

)qj − Pi

∂Qi

∂pjpj

= pj qj − Pi

(∂Qi

∂qjqj +

∂Qi

∂pjpj

)= pj q

j − PiQi .

⊠⊠⊠

Generující funkce typu 1 až 4

Generující funkci F lze vyjádřit v libovolných lokálních souřadnicích na každém okolí U fázovéhoprostoru, tedy F (qj , pj). Předpokládejme nyní, že body z U lze jednoznačně specifikovat kombinacístarých a nových souřadnic. O takových kanonických transformacích říkáme, že jsou typu 1 až 4:

1 2 3 4(q,Q) (q, P ) (p,Q) (p, P )

• kanonická transformace typu 1: funkce lze vyjádřit pomocí (qj , Qj)Ze vztahu (3.60) plyne

pjdqj − PjdQj = dF (1)(qj , Qj) =∂F (1)

∂qjdqj +

∂F (1)

∂QjdQj ,

kde F (1)(qj , Qj) = F (qj , pi(qj , Qj)). Porovnáním levé a pravé strany dostáváme

pj =∂F (1)

∂qj, Pj = −

∂F (1)

∂Qj. (3.64)


• kanonická transformace typu 2: funkce lze vyjádřit pomocí (qj , Pj)Zaveďme funkci F (2)(qj , Pj) = F (qj , pi(qj , Pj)) + PjQ

j(qi, Pi). Ze vztahu (3.60) pak plyne

pjdqj − PjdQj = d(F (2) − PjQj) = dF (2) − (dPj)Qj − PjdQj

tedy

pjdqj +QjdPj =∂F (2)

∂qjdqj +

∂F (2)

∂PjdPj ,

Porovnáním členů v předchozím výrazu dostáváme

pj =∂F (2)

∂qj, Qj =

∂F (2)

∂Pj. (3.65)

Podobně odvodíme výrazy pro kanonické transformace typu 3 resp. 4 užitím F (3)(pj , Qj) =

F (qj(pi, Qi), pj)− pjq

j(pi, Qi) resp. F (4)(pj , Pj) = F (qj(pi, Pi), pj) + PjQ

j(pi, Pi)− pjqj(pi, Pi).

3.9 Liouvilleova věta

Je zajímavé, že objem oblasti vymezené ve fázovém prostoru se působením toku popisujícího vývojhamiltonovského systému nemění. Konkrétně, nechť

• R je oblast fázového prostoru (dim = 2n)

• při dynamickém vývoji jsou body z R zobrazeny tokem ΦXt do oblasti R(t)

• pak objem R(t) je stejný jako objem R

Jak počítat (elementární) objem na varietě?

• objem v R2 určený dvěma vektory x1 a x2 je

v(x1,x2) = ±|x1 × x2| = det(x11 x12x21 x22

)= εijx

i1x

j2 . (3.66)

• objem v R3 určený třemi vektory x1, x2, x3 je

v(x1,x2,x3, ) = x1 · (x2 × x3) = det

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

= εijkx

i1x

j2x

k3 . (3.67)

• objem v Rn určený n vektory x1, . . . ,xn je analogicky

v(x1, . . . ,xn) = εi...k xi1 . . . x

kn . (3.68)

Obecně v(x1, . . . ,xn) je tzv. objemová funkce tedy zobrazení V× . . .× V→ R, které je

– lineární

– antisymetrické

– nedegenerované


• elementární objemový element na fázovém prostoru je 2n-forma.

Specálně: kanonický objemový element (Liouvilleova 2n-forma) je definován

v ≡1n!ω ∧ . . . ∧ ω =

1n!ω∧n, (3.69)

kde ω je symplektická 2-forma. Explicitně v souřadnicích máme

v = dp1 ∧ dq1 ∧ dp2 ∧ dq2 ∧ . . . ∧ dpn ∧ dqn. (3.70)

Důkaz: Např. pro n = 2 je ω = dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq2, takže

v = 12 (ω ∧ ω) =

12 [(dp1 ∧ dq

1 + dp2 ∧ dq2) ∧ (dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq2)]

= 12 [dp1 ∧ dq

1 ∧ dp2 ∧ dq2 + dp2 ∧ dq2 ∧ dp1 ∧ dq1] = dp1 ∧ dq1 ∧ dp2 ∧ dq2 .

⊠⊠⊠

Diferenciální tvar Liouvilleovy věty:

Kanonický objemový element v je invariantní vůči hamiltonovským tokům, neboli

LXv = 0. (3.71)

Důkaz:LXv = L

X

1n!ω

∧n = nn!ω

∧(n−1) ∧ LXω = 0 , (3.72)

neboť dle (3.55) jeLXω = 0 . (3.73)

⊠⊠⊠

Dodatek A

Další vlastnosti tečného bandlu TQ

V tomto dodatku1 ukážeme, jak regulární Lagrangeova funkce L umožňuje zavést symplektic-kou strukturu na TQ. Existence symplekticé formy ω tak není doménou jen „hamiltonovskéhoÿkotečného bandlu T∗Q, ale také „lagrangeovskéhoÿ tečného bandlu TQ.

A.1 Symplektická struktura na TQ

Nejprve definujeme několik důležitých pojmů.

Definice: Lagrangeova 1-forma θLje 1-forma na TQ definovaná v lokálních zobecněných souřad-

nicích vztahem (2.29), tedy

θL=∂L

∂qidqi. (A.1)

Definice: Lagrangeova 2-forma ωL je 2-forma definovaná jako

ωL ≡ dθL= −

∂2L

∂qj∂qidqi ∧ dqj −

∂2L

∂qj∂qidqi ∧ dqj , (A.2)

což lze pomocí „blokovéhoÿ přepisu v souřadnicové bázi 2-forem vyjádřit následujícím způsobem

(ωL)αβ =

0 − ∂2L∂qj∂qi

. . . − ∂2L∂qj∂qi

∂2L∂qi∂qj 0

0 0

∂2L∂qi∂qj

. . .

0 0

. (A.3)

Ukážeme nyní, že Lagrangeova 2-forma ωL je symplektická, tedy uzavřená a neegenerovaná.Uzavřenost Lagrangeovy 2-formy je vidět přímo z definice (A.2) užitím (1.82),

dωL = d2θL≡ 0. (A.4)

Podmínkou její nedegenerovanosti je regularita Lagrangeovy funkce. Každou 2-formu lze totiž vesložkách zapsat jako

ω = 12! ωαβ duα ∧ duβ =

∑

α<β

ωαβ duα ∧ duβ , (A.5)

1Jeho text vychází z bakalářské práce F. Štrupla (MFF UK, 2006).

46

DODATEK A. DALŠÍ VLASTNOSTI TEČNÉHO BANDLU TQ 47

přičemžduα ∧ duβ

tvoří bázi všech 2-forem, zde duα jsou buď dqi nebo dqi. Podmínkou pro

nedegenerovanost 2-formy zapsané ve tvaru (A.5) je pak existence inverzní matice ωαβ , což jeekvivalentní podmínce

det(ωαβ) 6= 0. (A.6)

Zavedením jednotného značení lokálních souřadnic na tečném bandlu TQ dimenze 2n vztahem

(u1, . . . , un, un+1, . . . , u2n) ≡ (q1, . . . , qn, q1, . . . , qn), (A.7)

tedyuj = qj , uj+n = qj pro j = 1, . . . , n, (A.8)

lze pak z (A.3) již snadno ukázat, že podmínka (A.6) odpovídá platnosti

det∂2L

∂qi∂qj6= 0, (A.9)

což je podle předpokladů o regularitě L splněno.

Shrnutí: Je vidět, že pro regulární Lagrangeovu funkci je Lagrangeova 2-forma ωL symplektickáforma na tečném bandlu konfigurační variety TQ a činí tak z TQ symplektickou varietu.

A.2 Hamiltonovská dynamika na TQ

Nyní explicitně ukážeme, že symplektická struktura na tečném bandlu TQ konfigurační varietypřímo implikuje existenci hamiltonovské dynamiky na TQ. Jedná se přitom právě o dynamikudanou Lagrangeovými rovnicemi.

Chceme-li na varietu TQ, o které již víme, že je díky Lagrangeově 2-formě ωL nosičem sym-plektické struktury, zavést dynamiku, můžeme na TQ zavést tzv. hamiltonovské pole.

Definice: hamiltonovským vektorovým polem Xf odpovídajícím libovolné funkci f na varietě Qje myšleno vektorové pole splňující definiční vztah (srovnej s (3.44))

iXfωL = df. (A.10)

Výběrem vhodné generující funkce f ≡ H můžeme získat hamiltonovský systém (TQ, ωL, H).Funkci H generující časový vývoj systému pak nazýváme hamiltonián.

Ukazuje se navíc, že vhodnou volbou funkce H získáme dynamiku hamiltonovského systémuodpovídající dynamice generované Lagrangeovými rovnicemi 2. druhu.

Definice:Máme-li na TQ dánu Lagrangeovu funkci L : TQ → R, pak definujeme funkci EL, kteréříkáme energie odpovídající Lagrangeově funkci, vztahem

EL =∂L

∂qjqj − L. (A.11)

Funkce EL v jistém smyslu souvisí s příslušným hamiltoniánem H , neboť integrální křivkydynamického pole příslušejícího funkci EL (tj. odpovídající Lagrangeovým rovnicím 2. druhu) sepo projekci na konfigurační varietu Q shodují s projekcemi křivek odpovídajících Hamiltonovýmrovnicím v Hamiltonově formalismu na fázové varietě T∗Q.

Tvrzení: Lagrangeovo vektorové pole XL, viz (2.16), příslušející dané Lagrangeově funkci L(tj. dynamické vektorové pole udávající vývoj systému) musí splňovat rovnici

iXLωL = dEL. (A.12)


Důkaz: Pro diferenciál energie dEL odpovídající Lagrangeově funkci zřejmě podle (A.11) platí

dEL = qj ∂2L

∂qi∂qjdqi −

∂L

∂qidqi + qj ∂2L

∂qi∂qjdqi, (A.13)

protože dva členy se navzájem kompenzují.Nyní budeme naopak počítat levou stranu rovnice (A.12), tj. vložení vektorového pole XL do

symplektické Lagrangeovy 2-formy ωL. Kombinací vztahů (2.16), (2.20) a (2.21) dostáváme provektorové pole XL zapsané ve složkách výraz

XL = qk ∂

∂qk+

(∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂

∂ qk, (A.14)

kde(

∂2L∂qk∂ql

)−1

vyznačuje inverzní matici. Vyjádření Lagrangeovy 2-formy ve složkách udává

vztah (A.2). Připomeňme dále, že operace vložení do 2-formy je definována vztahem (1.76)

iX(α ∧ β) = (α ∧ β)(•,X) = α(•)β(X)− β(•)α(X), (A.15)

kde α ∧ β je 2-forma vzniklá z 1-forem α resp. β. Platí přitom, že

α(X) = αjXj. (A.16)

Ve složkách lze operaci vložení do 2-formy vyjádřit jako

iXω = (i

Xω)αduα, (A.17)

kde(iXω)α = ωαβX

β. (A.18)

Abychom výpočet iXLωL zjednodušili a zpřehlednili, využijeme nejprve linearity operace vlo-

žení do 2-formy. Dostáváme tedy

iXLωL = iXLω

(1)L + iXLω

(2)L , (A.19)

kde jsme označili

ω(1)L = −

∂2L

∂qj∂qidqi ∧ dqj , (A.20)

ω(2)L = −

∂2L

∂qj∂qidqi ∧ dqj . (A.21)

Dále označíme také jednotlivé členy vektorového pole XL

X(1)L = qk ∂

∂qk, (A.22)

X(2)L =(

∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂

∂ qk, (A.23)

takže platíXL = X

(1)L +X

(2)L . (A.24)

Operaci vložení Lagrangeova vektorového pole do Lagrangeovy 2-formy tak nyní můžeme ro-zepsat na součet čtyř členů

iXLωL = i

XL(1)ω(1)L + iXL(2)

ω(1)L + iXL(1)

ω(2)L + iXL(2)

ω(2)L . (A.25)


Pro jednotlivé členy pak snadno užitím vztahů (A.15) a (A.16) dostaneme

iXL

(1)ω(1)L = −

∂2L

∂qj∂qiqk ∂q

j

∂qkdqi +

∂2L

∂qj∂qiqk ∂q

i

∂qkdqj , (A.26)

iXL

(2)ω(1)L = −

∂2L

∂qj∂qi

(∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂qj

∂qkdqi (A.27)

+∂2L

∂qj∂qi

(∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂qi

∂qkdqj ,

iXL

(1)ω(2)L = −

∂2L

∂qj∂qiqk ∂q

j

∂qkdqi +

∂2L

∂qj∂qiqk ∂q

i

∂qkdqj , (A.28)

iXL

(2)ω(2)L = −

∂2L

∂qj∂qi

(∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂qj

∂qkdqi, (A.29)

+∂2L

∂qj∂qi

(∂2L

∂qk∂ql

)−1(∂L

∂ql−

∂2L

∂qm∂qlqm

)∂qi

∂qkdqj .

Dále si stačí uvědomit, že platí

∂qi

∂qj= δi

j ,∂qi

∂qj= δi

j ,∂qi

∂qj= 0,

∂qi

∂qj= 0, (A.30)

takže vztahy (A.26) až (A.29) pro jednotlivé operace vložení se redukují na

iXL

(1)ω(1)L = −

∂2L

∂qj∂qiqj dqi +

∂2L

∂qj∂qiqi dqj , (A.31)

iXL

(2)ω(1)L = 0, (A.32)

iXL

(1)ω(2)L =

∂2L

∂qj∂qiqi dqj , (A.33)

iXL

(2)ω(2)L = −

(∂L

∂qi−

∂2L

∂qm∂qiqm

)dqi. (A.34)

Nakonec dosadíme zpět do vzorce (A.25), přeznačíme některé sčítací indexy a tím dostaneme

iXLωL = qj ∂2L

∂qi∂qjdqi −

∂L

∂qidqi + qj ∂2L

∂qi∂qjdqi, (A.35)

což je podle (A.13) rovno právě dEL.

⊠⊠⊠

Poznámka: Jestliže Lagrangeovo vektorové pole XL existuje, můžeme definovat konzistentní po-hybové rovnice druhého řádu. Obecně však toto pole existovat nemusí a ani nemusí být jedno-značné. Podmínkou jednoznačné existence vektorového pole XL je právě regularita Lagrangeovyfunkce L.

Dodatek B

Časově závislé hamiltoniány

Přirozená geometrická aréna časově závislé Hamiltonovy mechaniky1 vzniká rozšířením fázovéhoprostoru Γ (s lokálními souřadnicemi qj a pj) z bezčasového případu diskutovaného v kapitole 3 očasovou osu R (se souřadnicí t). Jedná se tedy o kartézský součin zmíněných prostorů tj. Γ× R.Tuto novou varietu nazýváme rozšířeným fázovým prostorem. Lokální souřadnice na tomto novémprostoru jsou (qj , pj, t).Dimenze rozšířeného fázového prostoru je zjevně 2n + 1. Není to proto symplektická varieta,

jako v nečasovém případě, jejíž dimenze musí být sudá, ale tzv. varieta „kontaktníÿ.

Nejprve zadefinujme nezbytné obecné matematické pojmy:

Definice: Nulový vektor a nesingulární 2-forma:

• Vektor X, pro který je Ω(X,Y) = 0 nezávisle na volbě druhého vektoru Y, nazvemenulovým vektorem 2-formy Ω. Tento vektor je jednoznačně určen až na skalární násobek.

• 2-formu Ω nazveme nesingulární, pokud lineární prostor generovaný množinou jejích nu-lových vektorů X má minimální možnou dimenzi: tedy dim = 1 pokud je dimenze celéhoprostoru, na kterém je forma Ω definována, lichá, a dim = 0 pokud je tato dimenze sudá.

Zavedení pojmu nesingularity 2-formy je jakýmsi zobecněním pojmu nedegenerovanosti formy.Uvědomme si, že pokud je dimenze celého prostoru formy Ω sudá (tedy 2n), nesingulárnost říká,že nexistuje žádný nulový vektor, a forma je tedy nedegenerovaná.Pokud je dimenze prostoru lichá (tedy 2n+ 1) a forma Ω je nesingulární, pak víme, že forma

je degenerovaná speciálním způsobem, a to pouze „v jednom směruÿ. Nebude se však jednat osymplektickou formu, která musí být dle definice nedegenerovaná a uzavřená2.

Ilustrace: Je možné ukázat, že

• 2-forma ω = dpj ∧ dqj , dim = 2n, je nesingulární a tedy nedegenerovaná.

• 2-forma Ω = dpj ∧dqj −d(pj + qj)∧dt, dim = 2n+1, je nesingulární, a tedy degenerovaná

pouze v jednom směru, a to X = a(

∂∂qj −

∂∂pj+ ∂

∂t

), kde a je libovolný skalární násobek.

Nyní ještě jednou přeformulujme předchozí definice a dejme do vztahu nesingulární 2-formuna prostoru liché dimenze a obecné vektorové pole: vspace2.0mmPlatí: Pokud máme na (2n+1)-dimenzionálním rozšířeném fázovém prostoru zadanou nesingulární2-formu Ω, potom lze najít právě jedno vektorové pole X, pro které (až na skalární násobek) platí

iXΩ = 0 . (B.1)

Důkaz: Plyne přímo z definice nesingulární 2-formy na celém prostoru liché dimenze.1Text tohoto dodatku vychází z bakalářské práce R. Švarce (MFF UK, 2006).2Připomeňme, že forma Ω se nazývá uzavřená, pokud platí dΩ = 0.

50

DODATEK B. ČASOVĚ ZÁVISLÉ HAMILTONIÁNY 51

⊠⊠⊠

B.1 Zavedení objektů na rozšířeném fázovém prostoru

Nyní již přistupme k zavedení konkrétních geometrických objektů. Na celém fázovém prostoruΓ× R je možné definovat tzv. kontaktní 1-formu Λ, a to vztahem

Λ ≡ pj dqj −Hdt , (B.2)

kde H = H(qj , pj , t). Všimněme si podobnosti s kanonickou Cartanovou 1-formou θ0 = pjdqj

z bezčasového případu, viz (3.10).Aplikací vnější derivace na Λ dostáváme uzavřenou, degenerovanou, ale přitom nesingulární

2-formu Ω (nejedná se tedy o formu symplektickou3):

Ω ≡ dΛ = dpj ∧ dqj − dH ∧ dt. (B.3)

Uzavřenost této formy je zřejmá, neboť dΩ = d2Λ ≡ 0, degenerovanost a nesingulárnost ukážemepozději. Je dobré si uvědomit, že symetrie výrazu (B.3) je pouze zdánlivá, neboť H = H(qj , pj , t),a tedy dH = ∂H

∂qj dqj + ∂H∂pjdpj + ∂H

∂t dt, takže dH ∧ dt =∂H∂qj dqj ∧ dt+ ∂H

∂pjdpj ∧ dt.

Poznamenejme ještě, že pro vyjádření souřadnicových složek Ωαβ na Γ× R dostáváme maticitypu (2n+ 1)× (2n+ 1) tvaru

Ωαβ =

0 −I −∂H

∂q

I 0 −∂H∂p

∂H∂q

∂H∂p

0

, (B.4)

kde ∂H∂qznačí sloupcový resp. řádkový blok

(∂H∂q1

, . . . , ∂H∂qn

), stejně tak ∂H

∂pznačí blok

(∂H∂p1

, . . . , ∂H∂pn

)

a I je jednotková matice typu n × n. Je vidět, že levý horní blok typu 2n× 2n matice (B.4) od-povídá souřadnicovému vyjádření obvyklé symplektické 2-formy ω = dpj ∧ dqj , tedy matici ωαβ ,z případu časově nezávislé mechaniky, viz (3.18).

Na rozšířeném fázovém prostoru určují dynamiku soustavy integrální křivky vektorového poleX,které je obecně dáno výrazem

X ≡ddτ= qj ∂

∂qj+ pj

∂

∂pj+ t

∂

∂t. (B.5)

Tečka zde značí derivaci podle τ , což je parametr integrální křivky γ(τ) na Γ×R. Tento parametrmůže mít například význam „vlastníhoÿ času obecně nezávislého na čase t, tedy na souřadnicirozšířeného fázového prostoru.Vztah určující toto vektorové pole můžeme upravit užitím Hamiltonových kanonických rovnic.

Dále můžeme požadovat stejné plynutí obou časů t a τ , to znamená, že ztotožníme parametrintegrální křivky se souřadnicí fázového prostoru. Tento dodatečný požadavek vyjádříme výrazemt = dt

dτ = 1. Výsledné vektorové pole má pak tvar

X ≡∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj+∂

∂t. (B.6)

Nyní zbývá pouze vyřešit otázku vhodného „geometrickéhoÿ předpisu pro nalezení tohotovýznamného vektorového pole. Tento předpis nazveme pohybovými rovnicemi.

3Opět připomeňme, že symplektická forma je uzavřená a nedegenerovaná.


B.2 Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice

Platí: Dynamické vektorové pole X je jednoznačně určeno (až na skalární násobek) podmínkou

iXΩ = 0. (B.7)

Právě tento předpis je tedy možné považovat za invariantní tvar pohybových rovnic. Naopakplatí, že toto vektorové pole X určuje v každém bodě rozšířeného fázového prostoru nulový vektor2-formy Ω.

Důkaz: Ukažme, že vektorové pole X, viz (B.6), je jednoznačně určeno podmínkou na nulovývektor formyΩ. Počítejme tedy přímo vložení obecného tvaru vektorového pole, viz (B.5), do formyΩ dané (B.3), přičemž užijme antisymetrie vložení vektorového pole do 2-formy a vztahu (1.70)

iX(α ∧ β) = (α ∧ β)(•,X) = α(•)β(X)− β(•)α(X) , (B.8)

tedy

iXΩ = Ω (•,X) = (dpj ∧ dqj − dH ∧ dt) (•,X)

= [dH(X)]dt− [dt(X)]dH − [dpj(X)]dqj +

[dqj(X)

]dpj . (B.9)

Dále rozepišme jednotlivá vložení pole X do 1-forem z předchozího výrazu:

dH(X) =(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi +

∂H

∂tdt

) (qj ∂

∂qj+ pj

∂

∂pj+ t

∂

∂t

)

= qj ∂H

∂qiδij + pj

∂H

∂piδ

ji + t

∂H

∂t= qj ∂H

∂qj+ pj

∂H

∂pj+ t

∂H

∂t, (B.10)

dt(X) = t , dpj(X) = pj , dqj(X) = qj . (B.11)

Dosaďme předchozí vztahy do výrazu (B.9), rozepišme dH a užijme podmínku k nelezení nulovéhovektoru, to znamená položme tento výraz rovný nule. Tím dostáváme rovnici

(qj ∂H

∂qj+ pj

∂H

∂pj+ t

∂H

∂t

)dt − t

(∂H

∂qjdqj +

∂H

∂pjdpj +

∂H

∂tdt

)

− pjdqj + qjdpj = 0 . (B.12)

Porovnáním jednotlivých koeficientů u dt, dqj a dpj odvodíme následující tři podmínky

qj ∂H

∂qj= −pj

∂H

∂pj, t

∂H

∂qj= −pj , t

∂H

∂pj= qj , (B.13)

které jednoznačně určují koeficienty nulového vektorového pole formy Ω. Jejich dosazením doobecného předpisu (B.5) dostáváme hledaný výraz

X = t(∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj+∂

∂t

), (B.14)

z kterého je rovněž zřejmá volnost ve volbě t, která určuje pouze stejné škálování každé ze sou-řadnic, viz (B.6).

⊠⊠⊠

Tímto jsme dokázali degenerovanost a přitom nesingulárnost 2-formy Ω, neboť vložení právějednoho nenulového vektorového pole X do formy Ω je identicky nulové.Poznamenajme, že výraz (B.7) v souřadnicích říká, že složky dynamického vektorového pole

X, tedy(

∂H∂p,−∂H

∂q, 1

), jsou vlastním vektorem matice Ωαβ , viz (B.4). Tomuto vlastnímu vektoru

přísluší vlastní číslo 0, jehož násobnost je jedna, což odpovídá degenerovanosti formy Ω.


Invariance formy Ω

Dále je možné ukázat, že 2-forma Ω zůstává při vývoji systému daném vektorovým polem Xkonstantní, tedy že se nemění podél integrálních křivek generovaných tímto polem. Toto je možnévyjádřit pomocí Lieovy derivace

LXΩ = 0. (B.15)

Zmíněná skutečnost bude mít zajímavou interpretaci v kapitole B.3 o kanonických transformacích.

Důkaz: Aplikujme na Ω známou Cartanovu identitu viz (1.85), tedy

LXΩ = i

XdΩ+ d i

XΩ . (B.16)

První člen v předchozím výrazu je nulový, neboť forma Ω je uzavřená. Nulovost druhého členuplyne přímo z pohybových rovnic (B.7).

⊠⊠⊠

Platí: Funkce f je integrálem pohybu právě tehdy, když

X(f) = 0 . (B.17)

Důkaz: Stačí pouze připomenout definici vektorového pole (B.6), tj. X ≡ ddτa integrálu pohybu,

tedy dfdτ = 0. Následně je užitečné vyjádřit výraz X(f) pomocí Poissonových závorek a Lieovyderivace (předpokládáme dtdτ = 1):

X(f) ≡∂H

∂pj

∂f

∂qj−∂H

∂qj

∂f

∂pj+∂f

∂t

dtdτ= f,H+

∂f

∂t≡dfdτ≡ L

Xf . (B.18)

Poslední ekvivalence plyne přímo z definice Lieovy derivace funkce.

⊠⊠⊠

Časově nezávislá mechanika na rozšířeném fázovém prostoru

V připadě, že se Hamiltonova funkce nemění s časem t, tj. H = H(qj , pj), bude systém popsánnaprosto stejným způsobem jako v části B.1. V předchozích úvahách jsme užili volby dt

dτ = 1vyjadřující stejné plynutí obou časů, tedy ztotožnění parametru integrálních křivek a souřadnicerozšířeného fázového prostoru. Právě tato volba nám umožňuje setrvat na tomto prostoru i v pří-padě, že hamiltonián je pouze funkcí qj a pj, přičemž tvar pohybových rovnic bude samozřejměstejný jako v části B.1.

Ilustrace: harmonický oscilátor. Hamiltonián má tvar H = p2

2m +12kx

2. Příslušné vektorové pole(B.6) je tedy dáno výrazem

X =p

m

∂

∂x− kx

∂

∂p+∂

∂t. (B.19)

Pro konkrétní hodnoty počátečních podmínek a danou hodnotu tuhosti k a hmotnostim dostanemedvě typické integrální křivky ve tvaru spirál. Dvě taková řešení jsou vykreslena na obrázku B.1.Průmětem do roviny (x, p) se ze spirál stanou elipsy, tak jak je dobře známo z fázového portrétuharmonického oscilátoru, viz obrázek 2.2

Časově nezávislá mechanika jako řez rozšířeného fázového prostoru

Nyní uvažujme alternativní možnost, že oba časy t a τ jsou zcela nezávislé. Potom si časověneproměnný vývoj můžeme představit4 jako limitní případ, kdy čas τ (parametr integrální křivky)

4Tento pohled je ekvivalentní projekci π : Γ× R → Γ.


Obrázek B.1: Dvě typické integrální křivky vývoje oscilátoru v rozšířeném fázovém prostoru.

plyne mnohem rychleji než čas t (souřadnice na rozšířeném fázovém prostoru). Tuto limitu je možnéformálně vyjádřit jako

dtdτ= 0 , (B.20)

což nás prakticky omezí na jeden časový řez rozšířeného fázového prostoru, tedy volbu t = konst.Předpokládáme, že hamiltonián je pouze funkcí souřadnic qj a pj . Proto také dále při výpočtudiferenciálu hamiltoniánu nederivujeme podle souřadnice t.Vektorové pole (B.5), upravené užitím Hamiltonových kanonických rovnic a podmímky (B.20),

přejde na tvar

X =∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj, (B.21)

které již má nulovou složku ve směru časové osy, srovnej s (B.6). Vložením tohoto pole do 2-formy Ω, viz (B.3), dostáváme hledanou časově nezávislou pohybovou rovnici5

iXΩ = dH , (B.22)

z níž je zřejmé, že toto nové pole již není nulovým vektorem formy Ω.

Důkaz: Postupujme obdobně jako v časově závislém případě tj. přímo upravujme levou stranunových pohybových rovnic užitím antisymetrie vložení vektorového pole do 2-formy dle (B.9).Nyní upravujme jednotlivá vložení pole X jeho rozepsáním dle vztahu (B.21):

iXΩ = dt

(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi

) (∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj

)− 0

+dqj

[dpj

(∂H

∂qi

∂

∂pi

)]+ dpj

[dqj

(∂H

∂pi

∂

∂qi

)](B.23)

= dt(∂H

∂qi

∂H

∂pjδij −

∂H

∂pi

∂H

∂qjδ

ji

)+ dqj ∂H

∂qiδij + dpj

∂H

∂piδ

ji =

∂H

∂qjdqj +

∂H

∂pjdpj ≡ dH .

⊠⊠⊠

Jelikož složka vektorového pole do směru osy t je nulová, je výhodné uvažovat pouze projekcitohoto pole a formy Ω na 2n-dimenzionální symplektickou varietu se souřadnicemi qj a pj . Natomto novém fázovém prostoru takto dostáváme známou symplektickou formu ω = dpj ∧ dqj

a vektorové pole X = ∂H∂pj

∂∂qj −

∂H∂qj

∂∂pj. Tyto dva objekty jsou přitom spojeny Hamiltonovými

kanonickými rovnicemi v geometrickém tvaru, neboli iXω = dH .

5Tato rovnice nápadně připomíná geometrické vyjádření (3.29) Hamiltonových kanonických rovnic z bezčasovéhopřípadu, i

Xω = dH, kde ω je symplektická forma na 2n-dimenzionální symplektické varietě. Naše rovnice však

stále ještě „žijeÿ na variětě dimenze 2n+ 1.


B.3 Časově závislé kanonické transformace

Na problematiku kanonických transformací, které jsme v bezčasovém případě studovali v části 3.8,je možné pohlížet dvěma ekvivalentními způsoby: Rozlišujeme mezi pohledem pasivním a aktivním.V případě transformací pasivních jde pouze o změnu souřadnicového systému, přičemž body

v rozšířeném fázovém prostoru zůstávají fixované. Naproti tomu v aktivním přístupu jeden bodz rozšířeném fázovém prostoru přechází pomocí jistého toku na bod jiný.Od kanonických transformací požadujeme zachování jednoduchého tvaru pohybových rovnic

nebo ekvivalentně zachování 2-formy Ω. Nadále budeme uvažovat pouze transformace pasivní.Potom je možné zavést kanonické transformace následující definicí6:

Definice: kanonickou transformací nazýváme takovou záměnu souřadnic na fázovém prostoru,která zachovává kanonický tvar formy Ω, tedy

(qj , pj , t)→ (Qj(qj , pj, t), Pj(qj , pj , t), t) :

dpj ∧ dqj − dH ∧ dt = dPj ∧ dQ

j − dH ′ ∧ dt . (B.24)

Podívejme se nyní na dynamické vektorové pole určené Hamiltonovými rovnicemi.

Tvrzení: Transformace generovaná fázovým tokem ΦX, tedy určena dynamickým polem X dle

(B.6), je kanonická.

Důkaz: Plyne přímo z ekvivalence vztahů (B.15) a (B.24) pro tok ΦX, tedy

LXΩ = 0 ⇔ Φ∗

XΩ = Ω . (B.25)

⊠⊠⊠

Připomeňme, že každá (lokální) kanonická transformace odpovídá jisté generující funkci F nafázové varietě. Dále připomeňme, že kontaktní 1-forma na rozšířeném fázovém prostoru je tvaruΛ = pj dqj − Hdt, a že aplikací vnější derivace dostáváme nesingulární uzavřenou 2-formu Ω,tedy dΛ = Ω. Nyní uvažujme novou formu Λ1 danou výrazem

Λ1 = Pj dQj −H ′dt (B.26)

v nových souřadnicích (Qj , Pj , t) spojených s (qj , pj, t) kanonickou transformací. Potom platídΛ1 = Ω. Odečtením dvou různých souřadnicových vyjádření 2-formy Ω dostáváme

d(Λ−Λ1) = 0 . (B.27)

Z předchozího výrazu plyne uzavřenost formy α = (Λ − Λ1). Nyní užijme Poincarého lemmatu,podle něhož pro uzavřenou 1-formu α lokálně existuje funkce F taková, že α = dF .

Důsledek: Pro danou kanonickou transformaci existuje na každém okolí U fázového prostorulokální funkce F taková, že

pj dqj − Pj dQ

j −Hdt+H ′dt = dF, (B.28)

což je zobecněním (3.60). Funkci F nazýváme generující funkcí kanonické transformace.

Nyní ukažme, že nový hamiltonián H ′(Qj , Pj , t) je určen výrazem

H ′ =∂F

∂t+ Pi

∂Qi

∂t+H . (B.29)

6V aktivním pohledu kanonickou transformací nazýváme diferencovatelné zobrazení g fázového prostoru, kterézachovává 2-formu Ω, tedy g∗Ω = Ω, kde g∗ je pull-back g.


Důkaz: Rozepišme diferenciály dF a dQj ve vztahu (B.28), kde F = F (qj , pj , t) aQi = Qi(qj , pj , t):

pj dqj − Pi

(∂Qi

∂qjdqj +

∂Qi

∂pjdpj +

∂Qi

∂tdt

)−Hdt+H ′dt

=∂F

∂qjdqj +

∂F

∂pjdpj +

∂F

∂tdt . (B.30)

Nyní porovnejme levou a pravou stranu předchozího výrazu, čímž dostaneme tři užitečné vztahy,přičemž poslední z nich (B.33) je hledaným důkazem:

∂F

∂qj= −Pi

∂Qi

∂qj+ pj , (B.31)

∂F

∂pj= −Pi

∂Qi

∂pj, (B.32)

∂F

∂t= −Pi

∂Qi

∂t−H +H ′ . (B.33)

⊠⊠⊠

Dále pro konkrétní trajektorii platí, že

dFdt= (pj q

j −H)− (PiQi −H ′). (B.34)

Důkaz: Přímo počítejme dFdt a za jednotlivé parciální derivace funkce F (qj , pj , t) pak dosaďme

výrazy (B.31), (B.32) a (B.33),

dFdt=∂F

∂qjqj +

∂F

∂pjpj +

∂F

∂t=

(pj − Pi

∂Qi

∂qj

)qj − Pi

∂Qi

∂pjpj − Pi

∂Qi

∂t−H +H ′

= (pj qj −H)− (PiQ

i −H ′) . (B.35)

⊠⊠⊠

Generující funkci F kanonické transformace je možné psát v libovolných souřadnicích na kaž-dém okolí U fázového prostoru. Předpokládejme nyní, že body z U lze jednoznačně specifikovatkombinací starých a nových souřadnic. O takových kanonických transformacích říkáme, že jsoutypu 1 až 4:

1 2 3 4(q,Q, t) (q, P, t) (p,Q, t) (p, P, t)

• kanonická transformace typu 1: obecná funkce F na varietě lze vyjádřit v konkrétních sou-řadnicích (qj , Qj, t). Ze vztahu (B.28) potom plyne

pjdqj − PjdQ

j −Hdt+H ′dt = dF (1)(qj , Qj , t)

=∂F (1)

∂qjdqj +

∂F (1)

∂QjdQj +

∂F (1)

∂tdt ,

kde F (1)(qj , Qj , t) = F (qj , pi(qj , Qj, t), t). Porovnáním levé a pravé strany dostáváme

pj =∂F (1)

∂qj, Pj = −

∂F (1)

∂Qj, H ′ = H +

∂F (1)

∂t. (B.36)

• kanonická transformace typu 2: funkce F lze vyjádřit pomocí (qj , Pj , t)Zaveďme funkci F (2)(qj , Pj , t) = F (qj , pi(qj , Pj , t), t)+PjQ

j(qi, Pi, t). Ze vztahu (B.28) plyne

pjdqj − PjdQ

j −Hdt+H ′dt = d(F (2) − PjQj)

= dF (2) − (dPj)Qj − PjdQj ,


tedy

pjdqj +QjdPj −Hdt+H

′dt =∂F (2)

∂qjdqj +

∂F (2)

∂PjdPj +

∂F (2)

∂tdt .

Porovnáním členů v předchozím výrazu dostáváme

pj =∂F (2)

∂qj, Qj =

∂F (2)

∂Pj, H ′ = H +

∂F (2)

∂t. (B.37)

• kanonická transformace typu 3: funkce F lze vyjádřit pomocí (pj , Qj , t)

Zaveďme funkci F (3)(pj , Qj, t) = F (qi(pj , Q

j , t), pj , t) − pjqj(pi, Q

i, t) a postupujme analo-gicky jako v předchozích případech, tj. aplikací vztahu (B.28) a porovnáním vzniklých výrazůdostáváme

qj = −∂F (3)

∂pj, Pj = −

∂F (3)

∂Qj, H ′ = H +

∂F (3)

∂t. (B.38)

• kanonická transformace typu 4: funkce F lze vyjádřit pomocí (pj , Pj , t)Zaveďme funkci F (4)(pj , Pj , t) = F (qi(pj , Pj , t), pj, t) + PjQ

j(pi, Pi, t) − pjqj(pi, Pi, t), apli-

kujme vztah (B.28) a porovnejme výrazy. Jako výsledek obdržíme

qj = −∂F (4)

∂pj, Qj =

∂F (4)

∂Pj, H ′ = H +

∂F (4)

∂t. (B.39)

Tím jsme odvodili vztahy pro kanonické transformace známé z klasických učebnic mechaniky.

B.4 Geometrická interpretace Hamiltonovy–Jacobiho teorie

V této části připomeneme klasické odvození Hamiltonovy–Jacobiho rovnice a uvědomíme si přitom,co jednotlivé kroky znamenají v řeči geometických objektů na rozšířeném fázovém prostoru.Vyjdeme z toho, že známe výraz pro dynamické vektorové pole X, viz (B.6), tedy

X =∂H

∂pj

∂

∂qj−∂H

∂qj

∂

∂pj+∂

∂t,

a 2-formu Ω = dpj ∧ dqj − dH ∧ dt, viz (B.3), obojí zadané v souřadnicích (qj , pj , t). V úvodutéto kapitoly jsme právě díky formě Ω definovali kanonické transformace a odvodili pro ně některéužitečné vztahy.Nyní se pokusíme provést takovou kanonickou transformaci, tedy změnu souřadnic na rozšíře-

ném fázovém prostoru, která zjednoduší výraz pro vektorové pole X. Uvědomme si, že přechod(qj , pj , t)→ (Qj , Pj , t) vede rovněž ke změně Hamiltoniánu H na H ′ a umožní nám zapsat Hamil-tonovy kanonické rovnice v nových souřadnicích, tedy

∂H ′(Qj , Pj , t)∂Pj

=dQj

dτ,

∂H ′(Qj , Pj , t)∂Qj

= −dPj

dτ. (B.40)

Předchozí výrazy zároveň určují dynamické vektorové pole X v nových souřadnicích,

X =∂H ′

∂Pj

∂

∂Qj−∂H ′

∂Qj

∂

∂Pj+∂

∂t. (B.41)

Kanonická transformace je zadána svou generující funkcí F , viz (B.28). Tato funkce určujetaké nový hamiltonián H ′ výrazem (B.29). Speciální volbou generují funkce je možné obdržetnový hamiltonián identicky rovný nule, tedy

H ′(Qj , Pj , t) ≡ 0 . (B.42)


Touto volbou se stávají nulovými rovněž levé strany pohybových rovnic (B.40) a vektorové pole(B.41) podél vývoje přechází na velmi jednoduchý tvar

X =∂

∂t. (B.43)

Řešením takto transformovaných pohybových rovnic jsou konstanty dané počátečními podmínkami

Qj = αj , Pj = βj . (B.44)

Připomeňme, že vývoj systému je geometricky dán integrálními křivkami dynamického vekto-rového pole X. V souřadnicích jsou tyto křivky určeny řešením pohybových rovnic v konkrétníchsouřadnicích, tedy dvojicí funkcí qj(τ) a pj(τ) resp. Qj(τ) a Pj(τ). V našem případě jsou tímtořešením v nových souřadnicích konstanty. Neznamená to však, že by se systém nevyvíjel, ale pouzeto, že v každém časovém řezu máme fixovanou stále stejnou polohu systému vůči vhodným aktu-álním souřadnicím. Tyto souřadnice se však dynamicky mění právě s vývojem systému, tedy dletvaru popisovaných integrálních křivek. Změna je určena časově závislou generující funkcí kano-nické transformace7.Ještě si uvědomme, že kanonická transformace je definována jako jistý speciální tok na rozšíře-

ném fázovém prostroru, podél kterého se zachovává 2-forma Ω. V úvodu této kapitoly jsme rovněžukázali, že fázový tok určený polem X generuje kanonickou transformaci. Právě této tranformaciodpovídá předchozí popis. To znamená, že celá informace o vývoji systému je nyní „uloženaÿv generující funkci.Uvažujme nyní konkrétní typ kanonické transformace, například typ 1, kdy lze vše vyjádřit

pomocí souřadnic (qj , Qj, t) a generující funkce F (1). Pro nový hamiltonián a zbylé souřadnicedostáváme vztahy (B.36).Pokud v posledním výrazu uplatníme podmínku nulovosti nového hamiltoniánu, dostáváme

požadovanou rovnici pro generující funkci

H +∂F (1)(qj , Qj , t)

∂t= 0 . (B.45)

Nyní již zbývá pouze označit F (1) jako S a dosadit za pj do H(qj , pj , t) výraz pj = ∂S∂qj . Tím jsme

odvodili parciální diferenciální rovnici prvního řádu pro speciální generující funkci S zajišťujícínulovost nového hamiltoniánu H ′,

H

(qj ,

∂S

∂qj, t

)+∂S

∂t= 0 , (B.46)

což je Hamiltonova–Jacobiho rovnice.

7Připomeňme, že v tomto případě opět předpokládáme stejné plynutí obou časů tj. t jakožto souřadnice rozší-řeného fázového prostoru a τ jakožto parametru integrální křivky, tedy volbu dt

dτ= 1.

Shrnutí hlavních pojmů a notace

M varieta (bod, mapa, atlas)

xi kartézské souřadnice v Rn

f funkce

γ(t) křivka (s parametrem t)

a,b, . . . ,v vektor

ddt

vektor coby diferenciální operátor v(f) = ddtf = df

dt

α,β, . . . ,θ 1-forma (kovektor, forma)

〈α,v〉 zúžení (kontrakce) = α(v)

df diferenciál funkce coby forma 〈df,v〉 = v(f)

ei ∂∂xi obecná a souřadnicová báze vektorů v = vi ∂

∂xi

εi dxi obecná a souřadnicová báze forem α = αi dxi

TPM tečný prostor v bodě P

T∗

PM kotečný prostor v bodě P

TM tečný bandl

T∗M kotečný bandl

(B, π, F,F) fíbrovaný prostor

LX

Lieova derivace LXf = X(f)

[X,Y] Lieova závorka vektorových polí = LXY

Q konfigurační varieta

TQ rychlostní fázových prostor

59


T∗Q fázový prostor

qj zobecněné souřadnice

qj zobecněné rychlosti

pj kanonické hybnosti

ω symplektická 2-forma

∧, d vnější součin, vnější derivace α ∧ β = −β ∧α, d2 = 0

iXω vložení vektorového pole ω(•,X) = −ω(X, •)

θ0

kanonická Cartanova forma θ0= pjdqj

ωαβ =(0 -II 0

)symplektická matice ω = dθ

0= dpj ∧ dqj

Xf hamiltonovské pole vůči f iXfω = df

f, g Poissonovy závorky = LXgf = ω(Xg,Xf )

LXθ

L= dL Lagrangeovy rovnice

iXω = dH Hamiltonovy rovnice

Anglický slovníček

dimenze dimensionfázový prostor phase spacefíbrovaný prostor fibre spaceforma (1-forma) one-formfunkce functiongenerující funkce generating functionhybnost momentumkanonická transformace canonical transformation(ko)tečný bandl (co)tangent bundle(ko)tečný prostor (co)tangent spacekřivka curveLieova derivace Lie derivativemapa chartPoissonova závorka Poisson bracketsouřadnice coordinatesymplektická 2-forma symplectic 2-formsymplektická matice symplectic matrixtok flowvarieta manifoldvektor vectorvektorové pole vector fieldvložení insert (inner product)vnější derivace exterior derivativevnější součin exterior product (wedge product)zdvih liftzobrazení mapping (map)zúžení contraction

61

Rejstřík

1-forma, 201-forma df , 122-forma, 20

anuloid, 7atlas, 5

bodová transformace, 31

Cartanova identita, 22, 42

diferenciál funkce, 11dimenze variety, 5duální souřadnicová báze, 11dynamické vektorové pole, 23, 26, 38

elementární objemový element, 45

forma, 10forma na varietě, 10funkce na varietě, 7fázový portrét, 23

generující funkce, 43

hamiltonovské vektorové pole, 40Hamiltonovy kanonické rovnice, 37harmonický oscilátor, 24

integrál pohybu, 32integrální křivky, 15, 23invariance L, 33

jednotné značení lokálních souřadnic, 37

kanonická Cartanova 1-forma, 36kanonická transformace, 42kanonický objemový element, 45konfigurační varieta, 7, 26kontaktní varieta, 50kontrakce, 10kotečný bandl, 12kružnice, 6křivka na varietě, 8

Lagrangeova 1-forma, 28Lagrangeova funkce, 26

Lagrangeova rovnice, 28lagrangeovská vektorová pole, 28Lieova algebra, 18Lieova derivacediferencialu, 18formy, 18funkce, 18vektoru, 18zúžení, 18

Lieova derivace ve složkách, 19Lieova grupa transformací, 16Lieova závorka, 18Lieův přenos1-formy, 17funkce, 17vektoru, 17

Liouvilleova věta, 44lokální souřadnicový systém, 5

mapa, 5matematické kyvadlo, 25, 26

objemv R2, 44v R3, 44v Rn, 44

objemová funkce, 44

Poincarého lemma, 43Poissonova závorka, 38pole 1-forem, 14pole druhého řádu, 27prostorkotečný, 10tečný, 8

pull-back, 16push-forward, 16

rotace, 31rychlostní fázový prostor, 26

sféra, 7soubor map, 5souřadnicová báze, 9souřadnicové zobrazení, 5

62

REJSTŘÍK 63

symplektická forma, 38symplektická matice, 37

teorém Emmy Noetherové, 31tečný bandl, 12, 26tok, 15torus, 7translace, 31třída ekvivalence, 8

varieta, 5vektor gradientu, 12vektor na varietě, 8vektorové pole, 14vložení vektoru, 20vnější derivace, 21vnější součin, 21volná částice, 30volný pád, 24, 30vztah mezi mapami, 5

zákon zachování hybnosti, 33zákon zachování momentu hybnosti, 33zúžení, 10

Literatura

[1] Abraham R., Marsden J. E.: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1985.

[2] Arnold V. I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978.

[3] Fecko M.: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Iris, Bratislava 2004.

[4] José J. V., Saletan E. J.: Classical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[5] Oliva W. M.: Geometric Mechanics, Springer, Berlin, 2002.

[6] Schutz B. F.: Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press,Cambridge, 1998.

[7] Westenholz C. von: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, Amsterdam1978.

64

teoreticka mechanika v diferencialnej geometrii podolsky

Documents