teoretické rozdelenia

Prednáška č.6 Základy štatistiky 1

Teoretické rozdelenia

• Spojité:– Rovnomerné– Exponenciálne– Normálne– Lognormálne– Chí-kvadrát (2 – rozdelenie))– Studentovo (t – rozdelenie)– Fisherovo (F – rozdelenie)


Rovnomerné rozdelenieR(c,d)

• Rovnako pravdepodobné výsledky• Funkcia hustoty:

pre c x d

• Stredná hodnota a štand. odchýlka:

f xd c

( ) 1

f xd c

( ) 1

1d c

1d c

x

f(x)

dc

E(X) Median

12

cdσ(X)

2

dcE(X)

12

cdσ(X)

2

dcE(X)


Rovnomerné rozdeleniePríklad

• Predstavte si, že ste výrobný manažér vo firme na plnenie nápojov. Prístroj má do každej plechovky naplniť 12 jednotiek sýtiaceho plynu. V skutočnosti sa to pohybuje od 11,5 do 12,5 jednotiek. Predpokladáte, že tento proces má rovnomerné rozdelenie. Aká je P, že v plechovke je menej ako 11,8 jednotiek plynu?

SODA


Rovnomerné rozdelenie Príklad pre R(11,5;12,5)

1,01

1

11,512,5

1

cd

1

1,0

1

1

11,512,5

1

cd

1

P(11,5 x 11,8) =

= (základňa)(výška) =

= (11,8 – 11,5)(1) = 0,30

11,5 12,5

f(x)

xx11,8

1,0


Exponenciálne rozdelenieEx()

• popisuje čas alebo vzdialenosť medzi udalosťami

• „doba čakania“ do nastania určitého javu (čakanie v rade)

• f-cia hustoty:

x 0, 0• Distribučná f-cia:

• Charakteristiky: E(X) = (X)=

θxeθ

f(x) 1 θxeθ

f(x) 1

θxeF(x) 1

X

f(X)

X

f(X)

= 2,0 = 0,5



• Distribučná f-cia:

x

f(x)

a

A P x a e a ( ) A P x a e a ( )

θx

θx

θx

e

exXPF(x)

exXPF(x)

)1(1)(1

1)(



• Exponenciálne a Poissonovo rozdelenie vyjadrujú ten istý jav z dvoch pohľadov

• Po() – P výskytu určitého počtu javov za jednotku času

• Ex() – P dĺžky intervalu medzi dvoma nastaniami javu

• Použitie: v teórii spoľahlivosti, v tzv. teórii hromadnej obsluhy (teória front - modeluje dobu čakania vo fronte resp. v rade)


Exponenciálne rozdeleniePríklad Ex(10)

• Na registráciu na internáte prichádzajú študenti priemerne každých 10 minút. Ich príchod sa riadi exponenciálnym rozdelením. Aká je P, že viac ako 30 minút nepríde žiaden študent na registráciu?

P x a e

P x e

a( )

( )

.

30

0 049787

5%

30 10

P x a e

P x e

a( )

( )

.

30

0 049787

5%

30 10


Normálne rozdelenieN(,2)

• Laplaceovo - Gaussovo rozdelenie

• Modeluje veľa náhodných procesov alebo spojitých javov

• Limitné rozdelenie, ktoré sa používa na aproximáciu mnohých diskrétnych rozdelení (napr. binomického)

• Základ klasického štatistického úsudku (indukcie a dedukcie) → parametrické metódy


Normálne rozdelenie Vlastnosti N( ,2)

• „zvonovitý“ & symetrický tvar

• E(X), medián, modus sa rovnajú (sú v jednom bode → vo vrchole „zvona“)

• NP má nekonečný definičný obor (- , )

• Inflexné body sú:

E(X) = medián = modus

X

f(X )

σ μx


Normálne rozdelenie N( ,2)

Funkcia hustoty f(x) : = stredná hodnota NP X (resp.

populácie ) a (- < < ) = štandard. odchýlka NP X (resp.

populácie ) a 0 = 3.14159e = 2.71828x = hodnota NP X (- < x < )

E(X) = D(X) = 2 1 = 0 2 = 0

22

2

2

1σ

μ)(x

eπσ

f(x)


X

f(X)

CA

B

Normálne rozdelenie Zmena parametrov ,2

A = B

A B

Zmena tvaru

A C

A = C

Posun po osi x



Distribučná funkcia F(x) :

c dx

f(x)

?dxf(x)d)xP(cd

c

x

σ

μ)(t

πσ

x

dt edtf(t)F(x)22

2

2

1



X

f(X)

X

f(X)

Parametrami normálneho rozdelenia sú a 2 → nekonečne veľa kriviek!

Pre každú krivku je potrebná vlastná tabuľka!

Nekonečne veľa tabuliek!


Normované normálne rozdelenie N(0,1)

(Standardize the Normal Distribution)

X

Normálne rozdelenie

N( ,2)

= 0

= 1

Z

ZX

Normované normálne rozdelenie

N(0,1)

Jedna tabuľka!


Normované normálne rozdelenie N(0,1)

• Funkcia hustoty f(z):

• Distribučná funkcia (z)

platí: f(-z) = f(z)

(-z) = 1 - (z)

2

2

2

1z

z

eπ

)f(

σ

μaΦ

σ

μbΦ

σ

μbZ

σ

μaPbXP(a


X= 5

= 10

6.2

N(5,102)N(5,102)

12010

526,

,

σ

μXZ

120

10

526,

,

σ

μXZ

Z= 0

= 1

.12

N(0,1)N(0,1)

Normovanie - Príklad(Standardizing)


Z= 0

= 1

.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

0,0,047804780,0,04780478

.02.02

0.10.1 .0478

Tabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časť

PrPravdepodobnostiavdepodobnosti

Príklad – Tabuľky N(0,1)

Plocha je zveličená!


Z = 0

= 1

?

0,0,121712170,0,12171217

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

.01

0.3 .1217

Tabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časť

Ako získame z, ak P(z) = 0,1217?

z = 0,31z = 0,31Plocha je zveličená!

z = 0,31z = 0,31Plocha je zveličená!

Hľadanie Z hodnotyPríklad


18103105 ,,ZμX

X= 5

= 10

?

Normálne Normálne rozdelenierozdelenie

NN(5,10(5,1022))

Z = 0

= 1

.31

Normované Normované normálne normálne

rozdelenie rozdelenie

N(0,1)N(0,1)

0,1217 0,1217

X = 8,1X = 8,1Plochy sú zveličené!

Hľadanie X hodnotyPríklad


Normálne rozdeleniePríklad

• Ste kontrolórom kvality žiaroviek v továrni na ich výrobu. Životnosť týchto žiaroviek (v hod.) sa riadi N(2000,2002).

• Aká je P, že žiarovky vydržia svietiť:– 2000 až 2400 hodín?– menej ako 1470 hodín?


Riešenie P(2000 X 2400)

X = 2000

= 200

2400

N(2000,2002)

0,2200

20002400

X

Z

Z = 0

= 1

2.0

0,0,47724772

N(0,1)


Riešenie P(X 1470)

X = 2000

= 200

1470

N(2000,2002)

652200

20001470,

σ

μXZ

Z = 0

= 1

-2.65

.4960 0,0,0040

.5000

N(0,1)

teoretické rozdelenia

Documents