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INTRODUÇÃO
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou
combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de
medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do
operador. A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com
as mesmas precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os
resultados achados não são em geral idênticos.
Ao fazemos a medida de uma grandeza física achamos um número que a
caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja toda medida física deve ser
acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem
universal. Além disto, para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam
o resultado, não podemos usar quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece
tratamento adequado para os dados experimentais.
Algarismo Significativo
Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são
corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza
que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do
instrumento, maior será o número de algarismos significativos que podem e devem ser
usados
12,3cm 12,4cm 12,6cm
Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da virgula diferem, pois
suas avaliações dependem da pericia de cada observador. Portanto, não podemos saber
qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida
CORRETO
DUVIDOSO
quanto aos algarismos que antecedem à virgula (1 e 2). Desta forma, 1 e2 são
algarismos corretos e 3, 4 e 6são duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.
A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma
transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos
significativos, dos quais o 8 é duvidoso: AB = 12,8cm = 0,128 m = 128mm.
Regras de aproximação
Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando, deliberamos,
dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes regras:
I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda.
II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é
acrescido de uma unidade.
Exemplo:
a) 1,0234 arredondado 1,023
b) 1,0235 arredondado 1,024
c) 1,0236 arredondado 1,024
Incerteza Absoluta
A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em
expressá-la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma
peça:
L = l ± l = ( 13,4 ± 0,1 ) cm
Onde l é o valor medido e l é a incerteza da medida.
Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, o qual reside a
incerteza da medida. Sendo assim, ± 0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada
incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores
compreendidos entre 13,3 cm e 13,4 cm é o mais provável.
O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura
no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela
deve ser expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método
estatístico, conforme será visto.
Incerteza Relativa
A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da
grandeza, isto é:
𝑙
𝑙
Incerteza Percentual
A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza
percentual e é dada por:
𝑙
𝑙100
Classificação dos Erros
Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu
verdadeiro valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível.
Podemos obter, entretanto, após uma séria de medidas, um valor que mais se aproxima
do real. O erro absoluto de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor
medido e o aceito como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro
absoluto e o valor verdadeiro, em módulo, isto é:
Er = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐−𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐
O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é
dado por :
E% = Er 100
Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que
dependem do método, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que
limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem
sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir.
Erro Sistemático
São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes
de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros
sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a
medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos.
Erros Acidentais
São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável.
Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:
Imperícia do operador.
Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma
grandeza por vários observadores.
Erro de paralaxe.
Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um
cronômetro).
Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala,
aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições).
Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de
conseguir um valor mais representativo.
Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.
Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais
Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma
grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados
experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir.
Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um
certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população.
Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa
cidadde ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da
população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões
com relação a uma população.
Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar
várias características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se
repete. A distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os
valores mais prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a
tendência que certos valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor,
chamado valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da
grandeza, ou seja, a sua dispersão.
Média Aritmética
Há várias formas para se mensurar o valor médio de um grandeza ou o mais
provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor
representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A
média aritmética de um conjunto de medidas é dada por: 𝑥 = 𝑥𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1 , onde n
é o número total de medidas e xi é o valor de cada medida.
Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros
parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Neste
módulo tais parâmetros não serão estudados. Desta forma , quando for mencionado
valor médio, estaremos nos referindo à média aritmética.
Desvio
Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza.
Desta forma, a diferença 𝑥𝑖 − 𝑥 não é definida como erro. Quando se conhece o valor
mais provável falamos em desvio: 𝛿𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥 . Desvio é a diferença entre o
valor medido e a média aritmética.
Dispersão
A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de
medidas . Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do
valor médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno
do valor médio, isto é, qual a é dispersão das medidas. Para medir a dispersão
utilizamos os parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão.
Desvio Médio
O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao
valor médio.
Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média
aritmética dos desvios:
𝛿𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛
𝑖=1
𝑛 =
𝛿𝑥𝑖 𝑛𝑖=1
𝑛
Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a
dispersão e portanto o desvio médio.
Desvio Padrão
Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média
aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao
valor médio, isto é:
𝜎2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
n = número total de xi na população.
O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:
𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana,
conforme mostra a figura abaixo, temos.
68% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± desvio padrão
95% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 2 desvio padrão
99,7% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 3 desvio padrão
Freqüência
Limite de Erro e Incerteza Sistemática Residual
A incerteza sistemática residual (𝜎𝑟 ) é decorrente da acurácia dos instrumentos e
do procedimento de medida, não existindo nenhum método adotado como padrão para
sua determinação. Entretanto, pode-se considerar como uma boa estratégia relaciona: a
incerteza sistemática residual com o limite de erro L, o qual é definido como sendo o
valor máximo que o erro pode apresentar. Nesse sentido, como uma regra prática para
instrumento ; analógicos considera-se que o limite de erro de calibração (𝐿𝑐) do
equipamento corresponde à menor divisão da sua escala.
Assim, a incerteza sistemática residual pode ser calculada por:
𝜎𝑟 = 𝐿𝑐
2
A Incerteza Padrão 𝜎𝑝
A incerteza padrão que afeta o resultado final de uma medida corresponde a um
valor que associa o desvio padrão da média (𝜎𝑚 ) e a incerteza sistemática residual
(𝜎𝑟 ), ou seja, a incerteza padrão incorpora as incertezas estatísticas com as incertezas
provenientes dos instrumentos de medidas e dos procedimentos de medição. Dessa
forma, a incerteza padrão 𝜎𝑝 pode ser calculada através das variâncias da seguinte
maneira (vuolo, 1996):
𝝈𝒑𝟐 = 𝝈𝒎
𝟐 + 𝝈𝒓𝟐
Portanto
𝝈𝒑 = 𝝈𝒎𝟐 + 𝝈𝒓
𝟐
Paquímetro
O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares
internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada,
com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor.
1. orelha fixa 8. encosto fixo
2. orelha móvel 9. encosto móvel
3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico móvel
4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier (milímetro)
5. cursor 12. impulsor
6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa de milímetros
7. bico fixo 14. haste de profundidade
O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um mínimo
de folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier. Essa escala
permite a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.
O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir é
pequena. Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de:
0,05 mm, 0,02 mm,1
128” ou .001"
As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento geralmente é
feito de aço inoxidável. Suas graduações são calibradas a 20ºC.
O Paquímetro universal é utilizado em medições internas, externas, de
profundidade e de ressaltos. Trata-se do tipo mais usado e que utilizaremos em nosso
experimento.
Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da
escala principal.
As medidas com paquímetro são efetuadas da seguinte forma:
A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas.Tais
esperas devem ficar completamente encostadas na peça.
O comprimento da peça é dado pelo nº na escala principal corresponde à posição
imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número décimo do
valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala principal.
A figura que segue ilustra o que foi explicado.
Micrômetro
Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos.
Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos,
entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será
usado no laboratório.
O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é
colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma
horizontal e a outra vertical, conforme a figura que segue.
Escala Horizontal
Escala Vertical
Leitura no micrômetro com resolução de 0,01 mm.
1º passo - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha.
2º passo - leitura dos meios milímetros, também na escala da bainha.
3º passo - leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor.
Exemplo
OBJETIVO
Familiarização com instrumentos de medida tais como régua, paquímetro e micrômetro.
Uso da Teoria de Erros para análise dos dados experimentais.
MATERIAIS
Objetos diversos como: bolinha de gude, cubos, etc.
Régua
Paquímetro
Micrômetro
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
De acordo com o material existente na bancada, siga o seguinte roteiro:
1. Meça 10 vezes cada objeto em pontos diferentes utilizando todos os
instrumentos de medidas fornecidos (régua, paquímetro e micrômetro), e anote
os valores encontrados nas tabelas.
2. Preencha o restante da tabela utilizando-se do formulário a seguir. Em caso de
dúvidas leia novamente o resumo da teoria contido neste roteiro ou as
referências indicadas, que apresentem uma abordagem mais completa.
RESULTADOS E DISCUSSOES
Esfera
Medidas com a Régua
Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐
Desvio Padrão
𝝈
Desvio Padrão
da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________
Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____
Resultado final (régua): ____ __ Incerteza relativa Percentual = ____%
Medidas com Paquímetro
Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐
Desvio Padrão
𝝈
Desvio Padrão
da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________
Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____
Resultado final (Paquímetro): ___ __ Incerteza relativa Percentual = ____%
Medidas com Micrômetro
Ø Desvio( 𝛿𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐
Desvio Padrão
𝝈
Desvio Padrão
da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual 𝝈𝒓 = __________
Incerteza Padrão 𝝈𝒑 = _____
Resultado final (Micrômetro): ___ __ Incerteza relativa Percentual = ____%
FORMULAS
𝜹𝒍
𝒍𝟏𝟎𝟎 𝒙 =
𝒙𝒊
𝒏
𝒏𝒊=𝟏 𝜹𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙
𝝈 = 𝒙𝒊− 𝒙 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏−𝟏 𝝈𝒎 =
𝝈
𝒏=
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐𝒏𝒊=𝟏
𝒏 𝒏−𝟏 𝝈𝒓 =
𝑳𝒄
𝟐
𝝈𝒑 = 𝝈𝒎𝟐 + 𝝈𝒓
𝟐
CLONCLUSÃO
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______________________________________________________________________
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BIBLIOGRAFIA
VUOLO, José Henrique. Teoria de Erros. In: VUOLO, José Henrique.
Fundamentos da Teoria de Erros. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.cap. 3,
p. 49.
ABNT. NBR 6393/1980: Paquímetros com leitura de 0,1 mm e 0,05 mm. S/i.
ABNT. NBR 6670/1981: Micrômetros externos com leitura de 0,01 mm. S/i.