teoria de grupos y mecanica cuantica - genessis perez

7/18/2019 Teoria de Grupos y Mecanica Cuantica - Genessis Perez

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-grupos-y-mecanica-cuantica-genessis-perez 1/50

Universidad Sim´on Bol

´ıvar

Mecanica Cuantica 2 (FS-5322)Departamento de Fısica.

Teorıa de Grupos

Autores:

Genessis Perez (06-40074)

Jose Trevison (06-40394)

Profesor:

Dr. Enrique Castro

24 de marzo de 2011



Resumen

El presente trabajo ilustra las ideas basicas de la Teorıa de Grupo, para personas que nunca anteshabıan estudiado con detalle esta area de la Matematica. Se espera que los ejemplos de sistemasfısicos donde se aplica la teorıa de grupos, ilustren como esta teorıa puede ayudar a simplificar el

calculo, y se quiere recordar que en la fısica siempre se trata de buscar un invariante o una simetrıaque permita comprender un sistema, y es en la teorıa de grupo que se tienen herramientas necesariaspara estudiarlas.



Indice general

1. Teorıa de Grupos 6

1.1. Teorıa de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Caracterısticas de los Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Sub-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Algunas propiedades de los sub-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Grupos de Lie 9

2.1. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Propiedades algebraicas y geometricas de los grupos de Lie . . . . . . . . . . . 10

2.1.2. Grupos de Lie. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Clasificacion de los grupos de Lie y los Grupos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Grupos compactos y no compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2. Grupos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3. Clasificacion de los Grupos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. El algebra de Lie: linealizacion del grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2. Propiedades del algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3. Exponenciacion del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4. Sub-algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2



2.4. Algebra de Lie como espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Estructura del algebra de Lie: Constantes de estructura . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2. Producto interno. Forma de Cartan-Killing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Introduccion a la teorıa de Representaciones 25

3.1. Conceptos y teoremas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Grupos de Lie y la teorıa de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1. Definicion de un grupo lineal de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Grupos de Lie en la Mecanica Cuantica 29

4.1. Relacion entre grupos de Lie y la Mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1. Grupos Especiales Unitarios SU(N) y su algebra su(n) . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. El momentum angular en Mecanica Cuantica y su relacion con el algebra de su(2) . . 32

4.2.1. Bases del algebra de su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2. Representaciones irreducibles de su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3. Homomorfismo entre SO(3) y SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A. Matrices 40

A.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.1.1. Propiedades de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.1.2. Matrices Simplecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.2. Producto Directo de Matrices (o Producto Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.2.1. Propiedades del producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.3. Matriz Exponencial [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.3.1. Propiedades de la matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

B. Geometrıa Euclidiana y no Euclidiana 45

3



B.1. Geometrıa Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B.2. Geometrıa No Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

C. Mapas 46

D. Espacios topologicos y Variedades 47

D.1. Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

D.1.1. Espacios topologicos compactos y no compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

D.2. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4



Introduccion

En mecanica cuantica, se definen los sistemas cuanticos en un espacio vectorial normado que cumplecon ciertas propiedades, este espacio consiste en una extension del espacio Euclıdeo, esta estructuramatematica fue descrita por David Hilbert .

Los elementos en dicho espacio son operadores que tienen representaciones matriciales y tienen bien

definido un producto interno. Los elementos ademas tienen una operacion: las reglas de conmutacion.Dicha estructura coincide con la definicion geometrica de los espacios definidos por las algebras delos grupos de Lie.

Lie originalmente propuso su teorıa matematica como una herramienta para solucionar ecuacionesdiferenciales, utilizando teorıa de grupos y considerando que los grupos poseen una caracterısticainvariante que se conoce como casimir.

A continuacion se presenta una breve explicacion de la teorıa de grupos y de los grupos de Lie, ysus relacion con la mecanica cuantica.

5



Capıtulo 1

Teorıa de Grupos

Si se habla de simetrıa, la primera palabra que quizas viene a la mente es un espejo, y el reflejo

producido; esa posibilidad de ver una figura desde otro punto de vista, y que aun sea la misma figura.

Matematicamente hablando, las simetrıas consisten en la invariancia de un sistema bajo posiblestransformaciones. Esto se podrıa entender como una transformacion del espacio que mapea (C) unelemento “en si mismo”: un automorfismo.

Esta invariancia, es lo que permite que en el ejemplo del espejo se pueda confundir cualquier objetocon su imagen, su reflejo. Dichas transformaciones bajo las cuales el sistema es invariante, inspiro lacreacion y el estudio de grupos .

Los grupos pueden ser de dimension finita o de dimension infinita. Los grupos se consideran finitossi la dimension n es menor o igual a 13. Los grupos con dimensi on infinita pueden ser de dimensioninfinita contable, o infinita no contable.

1.1. Teorıa de Grupos

Definicion 1.1.1. Grupos. Definicion

Un grupo, al que se llamara G, es un conjunto de elementos que poseen una operacion de grupobien definida; y que ademas satisfacen los siguientes axiomas:

I. La regla de composicion es cerrada. Esto implica que sean g1, g2, g3 elementos del grupo G, setiene que

g1 • g2 = g3

por lo tanto, g1 • g2 pertenece a G.

6



II. Se satisface la ley de asociatividad para la composici on dentro del grupo, es decir

g1 • (g2 • g3) = (g1 • g2) • g3

donde g1 • (g2 • g3) pertenece a G.

III. Existe un elemento identidad perteneciente a G; tal que un elemento g perteneciente al gruposatisface

g • =

• g

IV. Para cada elemento g que pertenece a G, existe un elemento inverso g−1; tal que, g−1 ∈ G ysatisface:

g • g−1 = g−1 • g =

1.1.1. Caracterısticas de los Grupos

Conmutacion de elementos

Note que, en los axiomas anteriores no existe uno que garantice la conmutacion entre los elementosdel grupo.

Esto es porque por lo general los elementos de grupos no son conmutativos. Sin embargo, aquelloscasos donde los elementos son conmutativos el grupo se conoce como Grupo Abeliano.

Entonces, sea D un grupo conmutativo o abeliano, sus elementos d1, d2 satisfacen que

d1 • d2 = d2 • d1

Representacion matricial del grupo 3

Una representacion matricial de un grupo, consiste en un mapa de cada operacion del grupo a unamatriz n × n, considerando la dimension del grupo n, que preserva la operacion del grupo.

gi • g j = gi • g j

↓ ↓ ↓ ↓Γ(gi) × Γ(g j) = Γ(gi • g j)

En este caso el sımbolo • indica la operacion de grupo, y × multiplicacion de matrices usual (A).

7



1.2. Sub-grupos

Definicion 1.2.1. Sub-Grupos. Definicion

Si el grupo cuenta con un subconjunto de elementos no vacıo, el subconjunto de elementos se

definira como un sub-grupo sı sus elementos por si mismos satisfacen los axiomas anteriores, con lamisma operacion que el grupo al que pertenecen como subconjunto.

H ⊂ G

1.2.1. Algunas propiedades de los sub-grupos

Un sub-grupo H

⊂ G se llama sub-grupo invariante de G, si

Sı H1 ⊂ G, y H2 ⊂ G, la interseccion de ambos sub-grupos tambien es sub-grupo de G.

G ⊃ H12 = H1 ∩ H2

Un grupo se dice simple si no contiene sub-grupos propios invariantes. Y es semi-simple sino contiene sub-grupos propios Abelianos invariantes.

8



Capıtulo 2

Grupos de Lie

Marius Lie propuso originalmente la teorıa de grupos como una alternativa para resolver ecuaciones

diferenciales, ası como anteriormente se habıa realizado para resolver ecuaciones algebraicas. Esto eslo que actualmente se conoce como Teorıa de grupos de Lie.

Lie baso su estudio en los resultados obtenidos por ´ Evariste Galois , quien utilizo la teorıa de grupospara resolver ecuaciones de polinomios o algebraicas. Galois demostro que con el uso de grupos no solose podıa probar si la ecuacion tenıa solucion, sino ademas podıa dar la solucion utilizando unicamentelas operaciones estandar de la aritmetica; para ello utilizo un termino que se presentaba como unainvariante en el grupo: el casimir (3).

Probablemente, Lie penso que sı la teorıa de grupos para grupos finitos permitıan hallar una solucionpara ecuaciones de polinomios de grado finito; analogamente los grupos infinitos podrıan involucrarsoluciones de ecuaciones diferenciales totales o parciales. Y tal informacion debıa poder ser obtenidanuevamente por el invariante del grupo.

En su trabajo, Lie demostro que dicha estructura invariante del grupo de ecuaciones determinabacuando podıa o no ser resuelta, o simplificada una ecuacion diferencial; ademas a partir de ella sepodıa crear un algoritmo que permitiera hallar tal solucion o simplificacion del problema.

La teorıa de grupos de Lie es aun un area en estudio importante ya que no se considera como unateorıa completa. Sin embargo, se ha convertido en una herramienta de trabajo importante para lafısica matematica.

2.1. Grupos de Lie

Existen diferentes formas de definir los grupos de Lie (dependiendo de la rigidez matematica conque se quieran definir), sin embargo todas coinciden en que los grupos de Lie contienen propiedadesalgebraicas y geometricas caracterısticas, que permitiran a continuacion indicar como reconocer si ungrupo es o no un grupo de Lie .

9



2.1.1. Propiedades algebraicas y geometricas de los grupos de Lie

Propiedades Algebraicas

Las propiedades algebraicas de los grupos de Lie estan determinados por los axiomas de la definicion

de grupo, explicados anteriormente (1.1.1). Es decir, sean gi, g j, gk ∈ G, G es el grupo de Lie asociado.Entonces, la operacion de grupo esta definida por . Se cumple que

Es cerrado el grupo, tal que si gi ∈ G, g j ∈ G

⇒ gi g j ∈ G

Es asociativo, por lo tanto

(gi

g j)

gk = gi

(g j

gk)

Existe un elemento identidad, , con la propiedad de que para todo elemento del grupo gi ∈ Gse cumple

gi =

gi

Existe un elemento inverso, tal que para cada operacion de grupo gi ∈ G existe una inversa quese llamara g−1i tal que

gi g−1i = = g−1i gi

Propiedades Geometricas

Las propiedades geometricas surgen de conectar las elementos de grupo, gi, con puntos en un espaciotopologico, (x1, x2, x3, ....) (D.1), como si se tratara de una especie de mapa. Aunque la palabraparametrizacion resulta en realidad mas apropiada, tal como: gi → g(x1, x2, x3,...).

Esto implica que los espacios topologicos parametrizan los elementos del grupo de Lie en una var-iedad , D.2. La dimension de dicha variedad sera la dimension del grupo de Lie; es decir: el numero deparametros continuos reales que se necesitan para describir cada operaci on del grupo de forma unica.

2.1.2. Grupos de Lie. Definicion

La definicion mas estricta entonces de grupo de Lie es la siguiente.

Definicion 2.1.1. Un Grupo de Lie, G, consiste en una variedad M n que parametriza los elementosdel grupo (g(x), x ∈ M n), con una operacion combinatoria definida por

g(y) g(x) = g(z )

10



donde la coordenada z ∈ M n depende de las coordenadas x ∈ M n, y ∈ M n, a traves de una funciontal como z = φ(x, y). Tal parametrizacion esta obligada a ser cero cuando x, y, z sean el elementoidentidad del grupo.

Los grupos de Lie satisfacen los siguientes axiomas topologicos:

I. El mapa de composici´ on del grupo debe ser una funci´ on suave . Por lo tanto, el mapa de com-posicion del grupo, z = φ(x, y), es diferenciable.

II. El mapa de inversi´ on del grupo debe ser tambien una funci´ on suave . El mapa de inversion delgrupo se define como

y = ψ(x)

g(x)−1 = g(y)

Por lo tanto se podrıa pensar que un grupo de Lie G es una superficie suave sumergida en algunespacio Euclıdeo.

Para comprender mejor esto, es conveniente ver un ejemplo al respecto: Considere un conjunto conmatrices reales 2 × 2, tal como

A =

α β γ δ

donde se impone que det(A)=αδ − βγ = +1. Si se satisfacen los axiomas algebraicos bajo la multi-plicacion de matrices, entonces se tiene un grupo cuyos elementos son matrices 2 × 2 con la condicionestablecida.

Entonces,

Sean A y B matrices reales 2 × 2, y A B = C , donde representa la multiplicacion usualde matrices. Entonces, es facil verificar que C va a ser una matriz 2 × 2 y ademas sus compo-nentes seran reales. Para garantizar ademas que C es parte del conjunto, hay que revisar si sudeterminante es igual a (+1). Para ello se utilizan las propiedades usuales de determinante,

det(A B) = detA · detB

det(C ) = (+1) · (+1)

det(C ) = 1

Lo que implica que C pertenece al conjunto, y por tanto el conjunto es cerrado bajo la operaci onde grupo.

11



Es necesario demostrar ahora si la operacion de grupo es asociativa, (A B) C =? A (B C )

⇒

k

j

AijBij

C kl =

=

k,j AijB jkC kl=

j Aij (

k B jkC kl)

∴ (A B) C = A (B C )

El elemento identidad, se define como

2 =

1 00 1

Por ultimo, se sabe que si el determinante de las matrices es diferente de cero, se puede definirla matriz inversa, que ademas es unica para matriz elemento del conjunto. Esto es,

A−1 = 1

detAadj(A)

donde adj(A) sera

A =

α β γ δ

adj(A) =

δ −γ −β α

Por lo tanto, el elemento inverso sera

A−1 =

δ −γ −β α

Por lo tanto, el conjunto de matrices 2 × 2 reales, y con determinante igual a 1 forman un grupo.

Ahora, para que sea un grupo de Lie, se deben observar las propiedades geometricas o topologicas.Entonces, se puede escribir la siguiente parametrizacion de acuerdo a lo descrito anteriormente,

A → A(x1, x2, x3)

De esta forma, una manera posible de parametrizar es la siguiente:

12



A(x1, x2, x3) =

1−x1x2

x3x1

x2 x3

, x3 = 0

No obstante esta parametrizacion no resulta util para demostrar que es un grupo de Lie, pues no sepueden igualar los valores a 0 para demostrar que en el origen de coordenadas de la parametrizacion,

el elemento de grupo resulta ser la identidad. Ası que se puede tomar otra parametrizacion sinsingularidades, tal como

A(x1, x2, x3) =

cos x2ex1 sin x2ex3

− sin x2e−x3 cos x2e−x1

Donde, se garantiza la suavidad de la derivada y la inversa, y adem as cuando (x1, x2, x3) = (0, 0, 0),A(x1, x2, x3) = 2.

2.2. Clasificacion de los grupos de Lie y los Grupos de Ma-

trices

A continuacion se presenta la clasificacion de los grupos de Lie de acuerdo a sus propiedades ycaracterısticas. Solo se nombraran las clasificaciones mas utilizadas en la fısica matematica.

2.2.1. Grupos compactos y no compactos

Antes de hablar de los grupos compactos, es necesario enunciar el siguiente teorema que habla sobrecuando un conjunto de puntos es o no compacto.

Teorema 2.2.1. Un conjunto de puntos de un espacio Euclıdeo finito dimensional es compacto sı y solo sı el conjunto es cerrado y delimitado; es decir el conjunto puede estar, por ejemplo, contenidoen una esfera finita del espacio.

Grupos compactos

Un grupo de Lie de dimension n con un numero finito de componentes conexas es compacto si elrango de los parametros y1, y2, ..., yn varıan en un intervalo finito cerrado.

Es decir, yi ∈ [ai, bi] con i=1,2,3,...n .

13



2.2.2. Grupos de Matrices

Los grupos de Lie que se utilizan en fısica matematica en su totalidad son considerados grupos dematrices. Tales matrices estan definidas sobre los numeros reales ( ) o los numeros complejos ( )-de forma general.

Normalmente en la literatura, algunos de los grupos mas conocidos son: el grupo general linealGL(n, o ), formado por matrices (reales o complejas) n × n.

Uno de sus sub-grupos importantes es el sub-grupo especial lineal SL(n, o ).

En un espacio Euclıdeo complejo, de dimension n y cuya metrica G = n, las matrices son unitarias .Es decir, U †U = n. Estas matrices forman el grupo de matrices unitarias U(n), con |detU | = 1.

Uno de los sub-grupos de este grupo, y ademas un sub-grupo importante de estudio en este trabajo,es el sub-grupo invariante unimodular SU(n), formado por las matrices unitarias cuyo determinante

es identico a 1.

En un espacio Euclıdeo B real , de dimension n, el conjunto de matrices ortogonales de n × n, talque R†R = 1; conforman el grupo ortogonal O(n). Esto implica que si R ∈ O(n) ⇒ detR = ±1.

Este grupo tambien cuenta con un sub-grupo invariante, SO(n), formado por las matrices ortogonalesde determinante igual a 1.

Figura 2.1: Diagrama de los grupos de matriz pertenecientes a los grupos de Lie

Cuando el espacio es pseudo-Euclıdeo, donde la metrica es tal como

g =

p 00 q

el grupo de isometrıas corresponde al de las matrices pseudo-unitarias U( p, q ) o pseudo-ortogonales

14



O( p, q ), segun sea el espacio complejo o real. Estos grupos contienen igualmente sub-grupos unimod-ulares invariantes, denotados por SU( p, q ) y SO( p, q ) respectivamente.

2.2.3. Clasificacion de los Grupos de Matrices

Como ya se habıa dicho, los grupos de Lie con aplicacion en fısica matematica son en su mayorıagrupos de matrices. Estos grupos de matrices se clasifican de acuerdo a ciertas restricciones impuestassobre las matrices y sus elementos componentes. Entonces, la clasificacion es para aquellos sin restric-ciones, con restricciones lineales, restricciones cuadraticas, o restricciones multilineales impuestas enlos elementos del grupo [5].

Sin embargo solo se describiran las tres primeras clasificaciones a continuacion.

Grupos sin restricciones

En esta clasificacion se encuentra el grupo GL(n; ), donde puede ser o descritos antes, yn indica el tamano de la matriz. Por ejemplo, una matriz GL(1, ) consiste en una matriz 1 × 1 decomplejos, o una matriz 2 × 2 de elementos reales.

Todos los grupos de matrices siguientes, son sub-grupos de GL(n; )

Grupos con restricciones lineales

El grupo de matrices con restricciones lineales impone que se cumplan ciertas restricciones en lasmatrices pertenecientes al grupo. Es por ello, que de acuerdo a la restriccion se clasifican de la siguienteforma:

1. Grupos triangulares superiores, UT( p, q ): Los elementos de este grupo son matrices n × n,con n =p+q . Estas matrices estan divididas en bloques de matrices: p × p, q × q , q × p, p × q .

m11 m12 · · · m1( p+q)

m21 m22

· · · m2( p+q)

... ... ...m p1 m p2 · · · m p( p+q)

m( p+1)1 m( p+1)2 · · · m( p+1)( p+q)...

... ...

m( p+q)1 m( p+q)2 · · · m( p+q)( p+q)

La restriccion que se impone es:

15



miα = 0

p + 1 ≤ i ≤ p + q

1 ≤ α ≤ p

m11 m12 · · · m1( p+1) m1( p+2) · · · m1( p+q)

m21 m22 · · · m2( p+1) m2( p+2) · · · m2( p+q)...

... ...

m p1 m p2 · · · m p( p+1) m p( p+2) · · · m p( p+q)

0 0 · · · 0 m p( p+1) m p( p+2) · · · m( p+1)( p+q)...

... ...

0 0 · · · 0 m p( p+1) m p( p+2) · · · m( p+q)( p+q)

a ) Un sub-grupo importante del grupo triangular superior, es el grupo HT( p, q ). Este se

obtiene imponiendo una restriccion extra en una de las diagonales de los bloques de lamatriz descrita anteriormente, tal que

mij − δ ij = 0

p + 1 ≤ i ≤ p + q

p + 1 ≤ j ≤ p + q

m11 m12 · · · m1( p+1) m1( p+2) · · · m1( p+q)

m21 m22 · · · m2( p+1) m2( p+2) · · · m2( p+q)... ...

...m p1 m p2 · · · m p( p+1) m p( p+2) · · · m p( p+q)

0 0 · · · 0 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 1 · · · 0...

... ...

0 0 · · · 0 0 0 · · · 1

b) Otro sub-grupo importante es UT( p, q, r). Este grupo de matrices consiste en matrices

triangulares que son interseccion de otras matrices de grupo triangulares superior.

UT( p, q, r) = UT( p, q + r) ∩ UT( p + q, r)

2. Grupos Solubles, Sol(n) = UT(1, 1, 1, 1, · · · , 1): Estos grupos son estrictamente triangularessuperiores. Es decir, debajo de la diagonal todos los terminos son cero.

Una caracterıstica es que todos los grupos Abelianos son grupos solubles, pero no es necesaria-mente cierto el recıproco.

16



m11 m12 · · · · · · · · · m1( p+1) · · · m1( p+q)

0 m22 · · · · · · · · · m2( p+1) · · · m2( p+q)

0 0 ...

......

......

......

...0 · · · · · · 0 m pp m p( p+1) · · · m p( p+q)

0 0 · · · · · · 0 m( p+1)( p+1) · · · m( p+1)( p+q)

0 0 ...

... ...

0 0 · · · 0 0 0 · · · m( p+q)( p+q)

a ) Grupos Nilpotentes, Nil(n): son sub-grupos de Sol(n) cuyos elementos de la diagonalson todos identicos a +1.

1 m12

· · · · · · · · · m1( p+1)

· · · m1( p+q)

0 1 · · · · · · · · · m2( p+1) · · · m2( p+q)

0 0 ...

......

......

......

...0 · · · · · · 0 1 m p( p+1) · · · m p( p+q)

0 0 · · · · · · 0 1 · · · m( p+1)( p+q)

0 0 ...

... ...

0 0 · · · 0 0 0 · · · 1

3. Grupo A( p, q ): Las matrices elementos de este grupo consisten en matrices que son suma dela matriz identidad y el bloque superior derecho de un bloque de matriz (p,q). Es decir, lasrestricciones impuestas son

Ai,j = δ ij 1 ≤ i, j ≤ p

Aα,β = δ α,β p + 1 ≤ α, β ≤ p + q

Aα,j = 0

Ai,β = arbitrario

Este grupo, es ademas Abeliano para todos sus elementos.

Grupos con restricciones cuadraticas

Los grupos con restricciones cuadraticas que se trabajaran a continuacion son aquellos que preservanla metrica del grupo, G. Entonces, estos grupos compuestos por matrices deben satisfacer la siguientecondicion

17



Figura 2.2: Grupos de matrices con restricciones lineales.

M †GM = G (2.1)

Estos grupos son los que se utilizan generalmente en fısica, ya que dejan las ecuaciones de movimientoinvariantes bajo transformacion, por lo tanto en mecanica cuantica resultan importantes al conservarlas ecuaciones asociadas al Hamiltoniano invariantes. Sin embargo, es posible combinar para fısicamatematica estas restricciones cuadraticas con restricciones lineales.

A continuacion se presentaran algunos de los grupos de esta clasificacion.

1. Grupos compactos que preservan la metrica:

Las matrices elementos de estos grupos satisfacen las condicion cuadratica 2.1. Pero ademas G debe ser simetrica y definida positivamente. Es decir, la metrica sera G ≡ n.

Entonces, si el grupo esta en el conjunto de numeros reales, , el grupo es O(n) el grupo or-togonal; si esta en el conjunto de numero complejos, , el grupo es U(n) el grupo unitario.

Las variedades que parametrizan estos grupos son compactos, por la restriccion que se estable-cio desde un principio.

2. Grupos no-compactos que preservan la metrica:

Estas matrices dejan invariantes la metrica con simetrıas no singulares, pero indefinida. Lasmatrices entonces son matrices diagonales con p+1 elementos y q-1 elementos a lo largo de ladiagonal. Las matrices de este grupo nuevamente satisfacen la relacion 2.1. Entonces, la metricaes G ≡

p,q con p+q=n .

18



Nuevamente, dependiendo de el conjunto al que pertenezcan los elementos de la matriz se tiene:si ∈ el grupo ortogonal sera O( p, q ); y si ∈ el grupo sera el grupo unitario U( p, q ).

Las variedades que parametrizan estos grupos son no compactos cuando p = 0, o q = 0.

2.3. Algebras de Lie

2.3.1. El algebra de Lie: linealizacion del grupo de Lie

Estudiar un determinado grupo de Lie puede ser mas sencillo si se hace una linealizacion del grupoalrededor de un elemento. Una linealizacion consiste en tomar una expansion en series de Tayloralrededor de las coordenadas que definen una operacion de grupo. Entonces, la serie de Taylor esta ex-pandiendo la funcion composicion del grupo.

En los grupos de Lie, se tiene como propiedad que todos los puntos son localmente identicos, porello se dice que son homogeneos . Como consecuencia, se puede estudiar la linealizacion del grupo enun punto especıfico y luego extender el resultado para todos los demas puntos. No es necesario haceruna linealizacion de cada uno de los elementos del grupo, basta con estudiar alrededor de uno solode ellos.

Sin embargo, a pesar de que geometricamente todos los puntos son equivalentes, algebraicamenteuno de ellos es muy importante: el elemento identidad. Lo m as conveniente resulta estudiar en lasvecindades de este punto la linealizacion del grupo.

La linealizacion del grupo de Lie G alrededor de la identidad genera un nuevo conjunto de oper-adores (ası se llamaran los elementos), que formaran el algebra de Lie, g.

La ventaja, es que el algebra contiene gran parte de la informacion del grupo, y las propiedades delgrupo se pueden recuperar con la operacion inversa de la linealizacion (un mapa inverso). Ademas,el algebra de Lie es un espacio vectorial lineal, donde se pueden utilizar los conocimientos b asicosde espacios vectoriales lineales para estudiar sus propiedades, en especial se puede definir productointerno y elegir bases vectoriales.

Pero, ¿por que debe realizarse la linealizacion alrededor del elemento identidad? La ventaja alge-

braica del elemento identidad, es que no tiene un numero contable de elementos del grupo alrededorde el. Ası que, al realizar una linealizacion del grupo de Lie alrededor de la identidad, se conservanlas propiedades del grupo localmente, y basta con un mapa a los elementos alrededor de la identidadpara saber que ocurre en otras partes del grupo. Sin embargo, la desventaja de la linealizaci on esque las propiedades globales del grupo se pierden, lo que implica que si el punto esta muy lejos de laidentidad y se quiere extender el resultado obtenido, el resultado no es valido.

Este espacio donde es valido la linealizacion del grupo y se conservan las propiedades locales delgrupo, se conoce como peque˜ na vecindad .

19



Por suerte, la linealizacion es un proceso reversible, se puede obtener nuevamente el grupo de Lie apartir de su algebra.

Algebras de Lie

De acuerdo a la definicion hasta ahora conocida de grupos de Lie, 2.1.1, los elementos de un grupode Lie se encuentran parametrizados. Esta parametrizacion es tal, que debe garantizar la suavidadde los elementos, es decir que existan las derivadas y los elementos inversos.

Entonces, la linealizacion de los grupos de Lie consiste en tomar los elementos parametrizados delgrupo y derivarlos en funcion de cada uno de sus parametros.

Esto, va a generar las bases del espacio vectorial del que se hablo anteriormente, las bases delalgebra de Lie.

Entonces, sea gi ∈ G, donde G es un grupo de Lie, se puede parametrizar su elemento gi tal comogi → g(x1, x2, x3,....,xn). Entonces, un elemento del algebra se define como:

(a p) =

∂g(x1, x2, x3,..,x p,..,xn)

∂x p

x1=x2=...=xn=0

(2.2)

Donde, a1, a2, a3,...,an es el conjunto operadores que forman la base del algebra.

2.3.2. Propiedades del algebra de Lie

El algebra de Lie, g, tiene las siguientes propiedades:

Los operadores del algebra de Lie forman un espacio vectorial lineal. Entonces, sean a y boperadores del algebra de Lie, se tiene que:

a ∈ g, b ∈ g

αa + βb ∈

g

α, β ∈ ( = o )

Los operadores tienen como producto de espacio vectorial las el producto de Lie o conmu-tador, [a, b]. Los conmutadores de dos operadores en el algebra de Lie, pertenecen al algebra.Es decir, son cerrados bajo relaciones de conmutacion. En especial cuandoa y b son matricestal que a ∈ g, b ∈ g, se tiene que el conmutador es

[a, b] = ab − ba ∈ g

Esta definicion tambien se conserva para operadores lineales.

20



De acuerdo a la definicion de la operacion en el grupo de Lie, con el conmutador, se tieneentonces que

[a, b] = −[b, a] ∈ g

Todos los operadores del algebra de Lie pueden o no ser conmutativos entre si; sin embargo,

todos satisfacen la identidad de Jacobi. Entonces, a, b, c ∈ g:

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] ≡ 0 (2.3)

La demostracion de esta ultima es la siguiente:

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] =

= [a, (yz − zy)] + [y, (za − az )] + [z, (ay − ya)]

= abc − bca − acb + cba + bca − cab − bac +

+acb + cab − abc − cba + bac= 0

2.3.3. Exponenciacion del algebra

Para todo grupo de Lie existe un algebra de Lie asociado de la misma dimension. Y viceversa.

¿Como se puede hacer el proceso inverso a la linealizaci on del grupo de Lie? Es decir, ¿como sepuede obtener los elementos el grupo de Lie conociendo los operadores de su algebra?

Suponga el siguiente ejemplo [5]: Sea ai un operador del algebra de Lie, tal como se vio antes.Entonces, suponga que existe un numero real muy pequeno, , tal que 1 + ai representa un elementoen el grupo de Lie cercano a la identidad. Si se sigue desplazando cada vez mas lejos de la identidad,k veces, se obtiene lo siguiente

limk→∞

1 +

1

kχ

k

=∞

n=0

χn

n! = eχ

El exponenciar un elemento del algebra de Lie, genera una parametrizacion natural del grupo deLie en terminos de cantidades lineales. Es decir, hallar los elementos del grupo de Lie a partir delalgebra consiste en un mapa de un espacio lineal vectorial a una variedad geometrica que parametrizael grupo de Lie, utilizando como mapa una funcion exponencial.

Esto implica lo siguiente

LnGrupo de Lie Algebra de Lie

Exp

21



Por lo tanto, en elemento del grupo a partir del algebra se escribe, de acuerdo a lo anterior, como

A(x1) = e(x1a1) (2.4)

Esto se conoce como un algebra uniparametrica. Sin embargo, cuando el elemento del grupo esta paramda tal que A(x1, x2,..., xn), se tiene

A(x1, x2,..., xn) = e(x1a1+x2a2+...+xnan) (2.5)

2.3.4. Sub-algebras de Lie

Una sub-algebra de Lie, g, de un algebra de Lie, g, implica un sub-conjunto de elementos de g

que por si mismos forman un algebra de Lie con el mismo conmutador y campo que g. La dimensionde g es mas pequena que la de g.

Sub-algebra invariante de Lie

Una sub-algebra g de un algebra de Lie g resulta invariante si:

[a, b]

∈ g

∀a

∈ g, b

∈ g

Lo importante de esto es que, ası como un algebra de Lie g esta conectada con un grupo de Lie G;las sub-algebras de Lie g estan conectadas a los sub-grupos de G.

2.4. Algebra de Lie como espacio vectorial

La ventaja de definir el algebra de Lie como espacio vectorial, es que se pueden utilizar los conceptos

conocidos aplicados a espacios vectoriales, tales como dimension, bases, producto interno, etc.

Ya anteriormente se dijo que la dimension del algebra de Lie es la misma dimension de la variedadque parametriza el grupo de Lie asociado. Entonces, si la dimension de la variedad es n , es posibletener en el algebra de Lie n vectores linealmente independientes entre sı que van a constituir las basesdel algebra de Lie.

22



2.4.1. Estructura del algebra de Lie: Constantes de estructura

Como espacio vectorial, el algebra de Lie tiene bien definidas las bases de su espacio. Esto permiteescribir las reglas de conmutacion de dos operadores que pertenecen a la base del algebra como unasuperposicion lineal de los operadores de la base. Es decir, una expansion lineal en funcion de lasbases del espacio vectorial.

Entonces, asumiendo que ai es la base del espacio vectorial, se puede escribir directamente losiguiente:

[ai, a j] =n

k=1

ckijak (2.6)

Lo que implica, que todo conmutador de las bases del algebra de Lie puede ser obtenido a partir delas constantes de estructura.

Estas constantes, son dependientes entre sı (aun cuando las bases son vectores independientes entresı), debido a la identidad de Jacobi descrita anteriormente.

La ventaja de esto, es que si se conocen las constantes de estructura, gracias a la relacion deCampbell-Baker-Hausdorff (A.3) se puede tener una idea de la estructura del grupo de Lie.

2.4.2. Producto interno. Forma de Cartan-Killing.

Como grupo vectorial, es posible definir un productor interno en el algebra de Lie.

El producto interno en las algebras de Lie, se conoce como producto interno de Cartan - Killingo la Forma de Cartan-Killing . El producto interno permite hacer ciertas clasificaciones en el algebrade Lie, que de forma breve (sin la complejidad matematica que requiere el caso) a continuacion.

El espacio vectorial del algebra de Lie bajo las clasificaciones del producto interno, se ve divididoen tres subespacios tal como:

g = V + + V − + V 0

Entonces, el subespacio V 0 es subalgebra de g, y es la subalgebra Nilpotentes invariante mas grandede g. Por algebra de Lie Nilpotentes se entiende aquella donde la serie de conmutacion decrecientepara el algebra tiende a ser cero:

V 0 > [V 0, V 0] > [V 0, [V 0, V 0]] > [g, [g, [g, g]]] > ...

23



Bajo la exponenciacion, lo logico es que se mapee a un subgrupo Nilpotentes invariante del grupode Lie original.

El subespacio V − tambien es subalgebra de g aunque no invariante, y consiste en un conjunto deoperadores compactos; es decir, la exponenciacion del subespacio es el subconjunto del grupo de Lieoriginal que esta parametrizado por una variedad compacta, por ejemplo por un circulo, una esfera,

un toroide, etc.

Y el susbespacio V + no es un subalgebra de g, ya que consiste en un conjunto de operadores nocompactos. La exponenciacion de este subespacio esta parametrizado por una variedad no compactaen el grupo de Lie original.

Forma de Killing-Cartan

Ahora, suponga dos elementos del algebra a, b

∈ g, donde g es la usual algebra de Lie de un grupo

de Lie G. Entonces, el producto interno definido a partir de la forma de Killing es

(a, b) = T rad(a)ad(b) (2.7)

donde, ad(a o b) es la representacion adjunta de la matriz a o b segun sea el caso.

La forma de Killing ademas cuenta con las siguientes propiedades,

(a, b) = (b, a) ∀a, b ∈ g

(αa,βb) = αβ (a, b) ∀a, b ∈ g y α , β ∈ con = o .

(a, b + c) = (a, b) + (a, c) ∀a,b,c ∈ g

([a, b], c) = (a, [b, c]) ∀a,b,c ∈ g

24



Capıtulo 3

Introduccion a la teorıa deRepresentaciones

3.1. Conceptos y teoremas basicos

Una representacion Γ de un grupo G es un homomorfismo C del grupo G sobre un grupo dematrices mX m dimensionales no singulares (determinante distinto de 0), con la multiplicacion dematrices como producto del grupo. Se dice que la representacion es m dimensional. En el caso en queel mapa sea uno a uno se dice que la representacion es fiel.

Si se trabaja con in grupo de Lie la definicion se debe complementar con la exigencia de que el mapa

debe ser continuo, es decir las componentes matriciales de la representacion deben ser descritas porfunciones continuas en los parametros que definen al grupo.

Para una representacion m-dimensional de un grupo G se considera a v1, v2,...,vmcomo las bases deun espacio vectorial complejo V, espacio portador de la representacion, y se define un operadorlineal Φ que actua sobre las bases de ese espacio de dimension m de la siguiente forma:

Φ(g)vk =m

j=1

Γ(g) jkv j (3.1)

Donde g ∈ G. Es decir, cada elemento del grupo se representa como una transformacion que actuasobre el espacio portador de la representacion.

Cada grupo G tiene un numero infinito de diferentes representaciones, pero todas se pueden derivarde las representaciones irreducibles, 3.1, pues siempre se pueden deefinir las representaciones equivalcomo aquellas que se pueden obtener a traves de una transformacion de similitud con una matrizno singular S de dimension mX m.

Γ(g) = S −1Γ(g)S (3.2)

Si las matrices de representacion Γ(g) son unitarias se dice entonces que la representacion es unitar

25



Teorema: Si G es un grupo de Lie compacto o finito, cada representacion Γ es equivalente a unarepresentacion unitaria. (Demostracion [2])

Teorema: si la representacion de un grupo de Lie es unitaria, entonces la representacion de sucorrespondiente algebra de Lie es antihermıtica. (Demostracion [2])

La aplicacion de este teorema en la fısica es para los grupos finitos de la fısica del estado solido, ylos grupos compactos de: las rotaciones tridimensionales y los grupos de simetrıa de las partıculaselementales.

Teorema: si G es un grupo de Lie no compacto y simple (algebra no abeliana, y no tiene sub-grupos invariantes), entonces no posee representaciones unitarias finito dimensionales a parte de larepresentacion trivial Γ = mX m , donde es la matriz identidad mX m. (Demostracion [2])

Una representacion Γ de un grupo G es una representacion reducible si es equivalente a unarepresentacion Γ que tiene la siguiente forma:

Γ11(g) Γ12(g) ... Γ1r(g)0 Γ22(g) ... Γ12(g)... ... ... ...0 0 ... Γrr(g)

Donde los Γij(g) son representaciones de G de dimension menor a m. Es decir que existen subespaciosinvariantes, generados por el conjunto de vectores v1, v2,...,vsij donde sij es la dimension de Γij(g),en el espacio portador V de la representacion, de manera tal que para cualquier vector v ∈ a esesubespacio, sera transformado por la accion del operador lineal Φ dentro de ese mismo subespacio.

Una representacion es irreduciblesino es reducible. Es decir, es aquella representacion cuyo es-pacio portador no tenga subespacios invariantes de menor dimension.

Una representacion de un grupo G es una representacion completamente reducible, si se puedeescribir de la siguiente forma:

Γ11(g) 0 ... 00 Γ22(g) ... 0... ... ... ...0 0 ... Γrr(g)

Teorema: si G es un grupo finito o un grupo de Lie compacto entonces cada representaci on reduciblees completamente reducible (Demostracion [2]).

Es decir se puede considerar que la representacion viene dada por

Γ(g)cr = Γ(g)11

Γ(g)22

...

Γ(g)rr (3.3)

Lema de Schur: para grupos de Lie compactos o finitos si Γ(g) es una representacion irreduciblede dimension m y existe una matriz B mX m que conmuta con Γ(g)∀g ∈ G, entonces B ∝ mX m

26



Casimir: operador que conmuta con todos los elementos de la base del algebra del grupo, y quepermite etiquetar las representaciones del algebra del grupo. Por el lema de Schur sus representacionesirreducibles vienen dadas por un operador identidad para el caso infinito dimensional o una matrizidentidad para el caso finito dimensional.

En fısica la constante de proporcionalidad entre el casimir y la identidad puede contener informacion

sobre el sistema en cuestion, esta puede ser la masa, el spin, u otros numeros cuanticos. Un ejemlpoque ilustre la teorıa de representaciones hasta ahora explicada se podra ver en la seccion 4.2.2, dondese hallaran las ya conocidas representaciones irreducibles del algebra de su(2), y se demostrara comoestas son isomorfas al algebra de conmutacion de los operadores momentums angulares en MecancaCuantica.

3.2. Grupos de Lie y la teorıa de representaciones

3.2.1. Definicion de un grupo lineal de Lie

Un grupo de Lie comprende tres tipos de estructura matematica, pues satisfacen los axiomas deun grupo, sus elementos forman un espacio topologico, y sus elementos constituyen una variedadanalıtica. La caracteristica principal de un grupo de Lie es que tiene un numero no enumerablede elementos, en particular cerca de la identidad. La estructura de esta region (vecindad pequena)determina la estructura de todo el grupo, la cual estara determinada completamente por su algebrareal de Lie, es decir el espacio vectorial tangente a la variedad en los puntos cercanos a la identidadgenera a todo el grupo. Los elementos en la vecindad pequena se parametrizan de una forma analitica(usando las propiedades de variedad analıtica), y es aquı donde surge la nocion de distancia cuando

se habla sobre elementos cercanos a la identidad. Los grupos de Lie tienen una representacion fielΓ que es finito dimensional, y es esta representacion la que se usa para precisar la formulacion dedistancia y satisfacer los requerimientos de un espacio topologico. Ası, una definicion basandose en lateorıa de representaciones, y en los conceptos de variedad diferencial, para un grupo de Lie vendrıaa ser: un grupo lineal de Lie G de dimension n debe satisfacer lo siguiente:

1) G debe tener una representacion fiel finito dimensional Γ tal que:

Γ : G → GM tal que Γ(g1)Γ(g2) = Γ(g1g2) ∀g1, g2 ∈ G donde GM es el grupo de matrices mXm no sing(3.4)

Como la representacion es fiel, es decir es un isomorfismo con el grupo G, entonces se puede definirla distancia entre dos elementos del grupo como d(g1, g2) como:

d(g1, g2) =

m j=1

mk=1

| Γ(g1) jk − Γ(g2) jk |2 (3.5)

2) En la region formada por el conjunto de elementos g ∈ G tal que d(g, ) < δ se dice que es unabola de radio δ centrada en la identidad (vecindad pequena), cada elemento puede ser parametrizado

27



por n parametros reales: X 1, X 2,...,X n (coordenadas del punto), donde la identidad se parametrizacon (0,0,...,0).

3) ∃ una η > 0 tal que para cada punto en

npara los cuales

n

j=1

X 2 j < η2 (3.6)

les corresponde un elemento g ∈ G. A esa region se le denota como S n ⊂

n.

4) Cada elemento de la matriz de representacion Γ jk(g) = Γ jk(X 1, X 2,...,X n) son funciones analıticasde los parametros X 1, X 2,...,X n que satisfacen la condicion 3. Es decir Γ jk(X 1, X 2,...,X n) se puede ex-presar como una serie de potencias alrededor de la identidad en las variables X 1, X 2,...,X n ∀ vector

(X 1, X 2,...,X n) ∈ S n. Esto implica que las derivadas ∂ Γjk∂X p

y ∂ 2Γjk∂X p∂X q

∃ ∀ jk = 1, 2, ..., m en S n y ∀ p, q = 1

Entonces si se definen n matrices mX m(a1, a2,...,an) tal que:

(a p) jk = ∂ Γ jk

∂X p | =(0,0,...,0) (3.7)

Estas matrices forman las bases de un espacio vecotrial real n dimensional, sin embargo aunque estasmatrices sean las bases de un espacio real no tienen porque ser reales. Las matrices a1, a2,...,an

forman la base de un algebra de Lie Real.

28



Capıtulo 4

Grupos de Lie en la Mecanica Cuantica

4.1. Relacion entre grupos de Lie y la Mecanica cuantica

Una aplicacion directa en la Mecanica Cuantica de la teorıa de Grupos es por ejemplo si se tiene unHamiltoniano H, de forma tal que existe un conjunto de elementos gi ∈ G tales que dejan invarianteal Hamiltoniano, es decir:

giHg−1i = H ⇒ [H, gi] = 0 (4.1)

Donde G es un grupo de transformaciones geometricas. El significado fısico de esto es que el Hamil-

toniano H tiene la misma forma en dos sistemas de coordenadas, y de la condicion anterior es facil verque esto implica que si | Ψ > es un autoestado del Hamiltoniano con autovalor E, entonces gi | Ψ >tambien es autoestado de H con autovalor E. Un ejemplo que ilustre esta situacion serıa el atomode Hidrogeno, en el modelo no relativista y sin spin, en el cual al estar sometido a un potencial defuerzas centrales, su Hamiltoniano queda invariante ante una rotacion en el espacio de 3 dimensiones.En general esto se puede aplicar para cualquier Hamiltoniano H cuyo potencial sea radial y tenga laforma clasica de:

H = P 2

2m + U (R) (4.2)

Esto radica en la invariancia del potencial dependiendo unicamente de R, y del producto escalar deP consigo mismo a una rotacion producida por un elemento del grupo SO(3). En otras palabras dadoque el subespacio asociado al valor de energıa E es invariante ante el grupo de transformaciones, y queen ese subespacio los observables que se escriben como la matrices de representacion de los elementosdel grupo, entonces de las representaciones de esos elementos del grupo dependeran un conjunto denumeros cuanticos que permita distinguir entre los diversos autoestados del Hamiltoniano H, al cualle corresponde una autoenergıa E.

“El conocimiento de las representaciones matriciales del grupo de simetrıas de un Hamiltoniano,

29



permite prever en alguna medida el grado de degeneracion de sus autovalores.” [3]

4.1.1. Grupos Especiales Unitarios SU(N) y su algebra su(n)

Anteriormente, se comento que los grupos mas importantes, en un espacio Euclıdeo, resultabanlos grupos GL(n, ), SL(n, ), U(n), SU(n), O(n), SO(n). Los grupos de Lie de matrices, todosrelacionados directamente con la fısica matematica, como hasta ahora se ha observado.

Sin embargo, es de especial interes para este trabajo el estudio de los grupos de Lie SU(n).

Hasta ahora, se han descrito las herramientas necesarias para realizar el estudio de los grupos deLie y la aplicacion de los mismos a la fısica matematica. Es momento de aplicar los conocimientosobtenidos hasta este punto para describir el grupo de matrices unitarias especiales, que tanto usotienen en la mecanica cuantica.

Los grupos de Lie, de acuerdo a la tabla observada anteriormente, son sub-grupo de otro grupo porlo general. En el caso de SU(n), se habıa descrito como un sub-grupo importante del grupo U(n).Pero de verdad, ¿que quiere decir esto?

El grupo especial de matrices unitarias, SU(n), facilmente se puede entender como la intersec-cion (1.2.1) de dos sub-grupos importantes de los vistos. Es decir,

SU(n) = U(n) ∩ SL(n; ) (4.3)

donde, U(n), SL(n, ), son ambos sub-conjuntos de GL(n, ), y por lo tanto SU(n) es subgrupo deGL(n, ) (1.2.1).

Figura 4.1: Esquema de asociado a SU(n) como grupo de Lie.

30



Esto se puede escribir analogamente para espacios pseudo-Euclidianos como la interseccion que seproduce entre U( p, q ) y SL( p + q, ), es decir

SU( p, q ) = U( p, q ) ∩ SL( p + q ; ) (4.4)

Un detalle importante a destacar, es que los grupos especiales unitarios tiene sus elementos en elconjunto de numeros complejos; ya que el grupo especial lineal que lo forma se encuentra en , y porlo tanto son sub-grupos del grupo lineal general formado por matrices complejas.

Lo que es necesario destacar es que los elementos de las matrices pertenecientes al grupo SU( n)o SU( p, q ) deben satisfacer ciertas condiciones; las cuales estan dadas por la interseccion de los dosgrupos que la definen.

Entonces, los grupos SU(n) y SU( p, q ) son grupos invariantes, formados por matrices unitariasde determinante igual a 1. Ademas, los grupos U(n) satisfacen las condiciones cuadraticas de que

conservan la metrica, que para U(n) es

n.

Entonces, una matriz M elemento de SU(n) debe satisfacer la condicion M † nM = .

Por ejemplo, un grupo SU(1, 1) se puede escribir de la siguiente forma:

SU(1, 1) = U(1, 1) ∩ SL(2, )

Es decir, las matrices que componen tal espacio son matrices 2 × 2, cuyos elementos pueden soncomplejos (bien sea imaginarios puros, reales puros, o complejos), cuya determinante es igual a 1 ycumplen con la restriccion cuadratica impuesta. Entonces es facil demostrar que

a bb∗ a∗

con a∗a − b∗b = +1. Aquı se observa como las restricciones se aplican para definir de forma claralos elementos de los grupos de matrices. SU(1,1) generalmente en fısica se utiliza para definir estadospertenecientes al espacio pseudo-Euclıdeo, util generalmente para definir estados comprimidos del campo electromagnetico y dispersi´ on de proyectiles para moleculas di-at´ omicas simples (referencia

paper).

Algunos de los grupos de SU(n) utilizados en fısica importantes son SU(1, 1), SU(2), SU(4), SU(6).Sin embargo, el mas comun en mecanica cuantica es SU(2), debido a su asociacion con el grupo derotaciones SO(3) y su conexion con los operadores momentum angular de la teorıa cuantica.

Tambien, los grupos SU(1, 1) y SU(2) se asocian con los operadores de creaci on y aniquilacion; y alos estados comprimidos y estados coherentes de la teorıa electromagnetica.

31



4.2. El momentum angular en Mecanica Cuantica y su relacio

con el algebra de su(2)

4.2.1. Bases del algebra de su(2)

A continuacion se planea usar la definicion anterior para obtener los elementos generadores delalgebra de su(2). El grupo SU(2) es el conjunto de matrices unitarias 2X 2 con determinate igual a+1. Entonces es de esperar que una representacion fiel del mismo debe ser tal que Γ(g) = g dondeg∈ SU(2), la cual se obtiene de la correspondiente exponenciacion de los elementos del algebra su(2).La definicion del grupo implica que g† = g−1, teniendo esto en consideracion y realizando el productogg† = 2X2 el lector puede demostrar que si se considera una matriz general de SU(2), las condicionesimpuestas en la definicion del grupo hacen que la matriz mas general de este grupo venga dada porla siguiente forma:

g = Γ(g) = α β

−β ∗ α∗ (4.5)

donde α y β ∈ , y | α |2 + | β |2= 1

Entonces la distancia de un elemento del grupo g a la identidad viene dada por:

d(g, ) =

| 1 − α |2 + | β |2 + | β ∗ |2 + | 1 − α∗ |2 = 2

1 − e[α] (4.6)

Si se considera α = α1 + ıα2 y β = β 1 + ıβ 2 donde α1, α2, β 1 y β 2 ∈ y se observa la ecuacionanterior, un elemento que este cercano a la identidad deber a ser tal que α1 tiende a 1 cuando separametrize sobre la variedad. Teneindo esto en consideracion, y la condicion que deben cumplir α

y β se sugiere una parametrizacion de la siguiente forma:

β 2 = 1

2X 1, β 1 =

1

2X 2, α2 =

1

2X 3 ⇒ α1 =

1 − 1

4(X 21 + X 22 + X 23 ) (4.7)

Una vez teniendo esta, se puede verificar que en efecto existen δ = 2√

2 y η = 2δ 2 + 14δ 4 que satisfacen

los puntos 2 y 3 de la definicion de grupo de Lie, y entonces las bases del algebra de Lie vendran dadaspor la correspondiente diferenciacion de la matriz de representacion Γ con respecto a los parametrosX j. Ası llos elementos generadores de su(2) vienen dados por:

a j = ı1

2

σ j donde σ j = Matrices de Pauli (4.8)

Es decir las matrices a j son:

a1 = 1

2

0 ıı 0

a2 =

1

2

0 1−1 0

a3 =

1

2

ı 00 −ı

(4.9)

Una observacion que se puede hacer es que en efecto la parametrizacion usada no sirve para todos loselementos del grupo, sino unica y exclusivamente en la peque?a vecindad, sin embargo es precisamenteen esta region de la variedad donde se esta interesado estudiar las propiedades del grupo,las cualesdespues se extenderan por conceptos de variedad a todo el grupo.

32



4.2.2. Representaciones irreducibles de su(2)

El grupo SU(2) es un Grupo de Lie compacto, entonces sus representaciones irreducibles pueden sertomadas como unitarias 3.1. Entonces sean v1, v2,...,vduna base ortonormal del espacio portadorV d de dimension d, de una representacion Γ del algebra de su(2), entonces ∀a ∈ su(2) se tiene que dela definicion del operador lineal 3.1 que:

Φ(a)vk =d

l=1

Γ(a)lkvl (4.10)

De donde se puede ver que debido al producto interno del espacio vectorial, al hecho de que elconjunto de vectores v forma una base del espacio portador, y que las representaciones del algebrade un grupo de Lie con representaciones unitarias es antihermıtica, se tiene que:

(v j , Φ(a)vk) = Γ(a) jk = −Γ∗(a)kj = −(Φ(a)v j , vk) (4.11)

Conviene definir el siguiente operador Hermıtico, tal que para todo elemento v y w su(2) se tiene:

A j = −ıΦ(a j) donde j = 1, 2 y 3 (4.12)

(v, A jw) = (A jv, w) (4.13)

La importancia de definir el operador A j como Hermıtico radica en que este sera un observable,cuando se realice un homomorfismo con la teorıa del momentum angular en Mecanica Cuantica. Lasmatrices a j hacen referencias a los generadores del algebra de su(2), las cuales vienen dadas por:

a j = ı1

2σ j donde σ j = Matrices de Pauli (4.14)

Es decir las matrices a j son:

a1 = 1

2

0 ıı 0

a2 =

1

2

0 1−1 0

a3 =

1

2

ı 00 −ı

(4.15)

De forma tal que las relaciones de conmutacion de dichas matrices viene dada por:

[a j, ak] = − jklal (4.16)

Donde jkl es el sımbolo de Levi-Civita, y se ha adoptado la convencion de sumatoria de indices de

Einstein. Ademas por la propiedad del operador lineal Φ que preserva la operacion de grupo, junto adichas relaciones de conmutacion se tiene que para dos elementos g1y g2 del grupo:

Φ(g1)Φ(g2) = Φ(g1 g2) ⇒ [A j, Ak] = ı jklAl (4.17)

Conviene definir ahora los operadores escalera, junto al operador A2, el cual vendra siendo el casimirdel algebra como:

A± = A1 ± ıA2 (4.18)

A2 = A21 + A2

2 + A23 (4.19)

33



De forma tal que las relaciones de conmutacion de estos, elementos es facil demostrar que vienendadas por:

[A3, A±] = ±A± (4.20)

[A+, A−] = 2A3 (4.21)

[A2, A j ] = 0 (4.22)

[A2, A±] = 0 (4.23)

La conexion entre la teorıa de representaciones aplicada al grupo su(2) y la teorıa del momentumangular en la mecanica cuantica yace en la comparacion de las relaciones de conmutacion que cumplenlos operadores A j con aquellas que cumplen los operadores de momentum angular J. La unica difer-encia entre estas es la presencia de una . Entonces se puede hacer las siguientes identificaciones entrelos operadores:

[J j, J k] = ı jklJ l (4.24)

J 2 = 2A2 (4.25)

J ± = J ± (4.26)

J j = A j (4.27)

Se continuara con el calculo para obtener las representaciones irreducibles del algebra de su(2), paraobtener la de los operadores momentum angular es suficiente multiplicar po . La representacion delCasimir A2, por conmutar este con todos os otros elementos del algebra el lema de Schur dice quesus representaciones seran proporcionales a la identidad. Esta constante de proporcionalidad comodebe ser bien conocido por el lector, representa el momentum angular total del sistema en estudio encuestion.

Bajo una transformacion de similitud, cada representacion irreducible se puede escoger de formaque la matriz que representa a a3 sea diagonal. Esto implica que la base de autovectores puede serhecha tal que estos sean autovectores de A3 y de A2, pues este ultimo es proporcional a la identidad.Como A3 es autoadjunto, entonces sus autovalores son reales, lo cual concuerda con el hecho de queJ 3 es un observable. Sea vm un autovector de A3, con autovalor asociado m, de los d autovectores queconforman la base del espacio portador de la representacion d-dimensional, es decir:

A3vm = mvm (4.28)

Recordando el conmutador de A3 con A±, se tiene que:

[A3, A±]vm = ±A±vm ⇒ A3(A±vm) = (m ± 1)A±vm (4.29)

Es decir A±vm es un autovector de A3 con autovalor asociado m ± 1, siempre que A±vm = 0.Esta es la razon por la cual estos operadores se les conoce como operadores escalera, pues se puedeinterpretar como pasos de uno en uno al subir o bajar una escalera de d peldanos?os.La relacionanterior puede interpretarse como que la accion de los operadores escalera sobre un elemento de labase de autovectores viene dada por:

A±vm ∝ vm±1 (4.30)

34



De forma tal que la accion de A3 sobre los mismos sea consistente con el autovalor previamentehallado y con la definicion de los autovalores de este ultimo. Sea v j el maximo autovector de A3, deforma tal que A+v j = 0 o de lo contrario v j+1 serıa el maximo autovector. Entonces, por la definicionde los operadores escaleras se puede demostrar que:

A± = A1± ıA2 ⇒ (A−A+)v j = (A2−A23− A3)v j = 0 ⇒ (A2)v j = ( j2 + j)v j ⇒ (A2)v j = j( j + 1)v j

Es decir el autovalor asociado al casimir es j(j+1), pues como en cualquier representacion d-dimensional este debe ser proporcional a la identidad, se tiene que dicha constante de proporcionalidadestara dada por el autovalor j(j+1) para todos los d autovectores de la base, con v j siendo el mayorde estos. Se recuerda que en la mecanica cuantica el j=numero cuantico momentum angular total.Entonces si se aplica el operador de aniquilacion A− al autovector v j un numero k de veces (k ∈

)

tal que Ak−v j = 0, pero A

(k+1)− v j = 0, es decir que el mınimo autovalor de A3 es j-k, puesto que

las representaciones que se quieren obtener son finito dimensionales. Entonces de igual manera de ladefinicion de los operadores escalera y por las propiedades del casimir se tiene que:

A± = A1 ± ıA2 ⇒ A+A− = A2 − A23 + A3 ⇒ A+A−(Ak

−v j) = (A2 − A23 + A3)(Ak

−v j) = 0

A3(A±vm) = (m ± 1)A±vm y [A3, A±] = ±A± ⇒ A3(Ak−v j) = ( j − k)(Ak

−v j) por induccion

A2(Ak−v j) = j( j + 1)(Ak

−v j) lema de Schur, por ser un Casimir

(A2 − A23 + A3)(Ak

−v j) = 0 ⇒ [ j( j + 1) − ( j − k)2 + ( j − k)](Ak−v j) = 0

(Ak−v j) = 0 ⇒ j( j + 1) − ( j − k)2 + ( j − k) = 0 ⇒ j = k/2

Como k ∈ se tiene entonces que j puede tomar valores enteros y semienteros, y el mınimo valorde j (j-k) es igual a -j, es decir se tiene que m=-j, -j+1, ..., j-1, j. Entonces la dimensi on de la rep-resentacion, la cual viene dada por la cantidad de autovalores distintos es f acil ver que d=(2j+1),ası conviene usar el superındice j para indicar en que representacion (2j+1) dimensional se esta tra-bajando. Ası sea v j

m el autovector cuyos autovalores sean m y j(j+1) para A3 y A2 respectivamente,entonces si se asume que el v− j, v− j+1,...,v j−1, v j de autovectores estan normalizados, las constantesde proporcionalidad C jm podran ser obtenidas calculando la norma deA−v j

m = C jmv jm−1:

| C jm |2= (C jmv jm−1, C jmv j

m−1) = (A−v jm, A−v j

m) = (v jm, A+A−v j

m)

A+A−(v j

m

) = (A2

−A2

3

+ A3)v j

m

= [ j( j + 1)−

m2 + m]v j

m

= [( j + 1)−

m(m−

1)]v j

m| C jm |2= ( j + 1) − m(m − 1)

De una manera analoga se puede calcular el otro coeficiente de proporcionalidad, se considera queel lector debe estar en la capacidad de poder realizar dicho c alculo. A continuacion se presentan losresultados, donde por convencion se escoge a los coeficientes como reales positivos:

A−v jm = [( j + 1) − m(m − 1)](1/2)vm−1 (4.31)

A+v jm = [( j + 1) − m(m + 1)](1/2)vm−1 (4.32)

35



Finalmente ahora se obtendran las representaciones irreducibles del algebra de su(2), regresando denuevo a la accion del operador Φ sobre el espacio portador, y recordando la ortonormalidad de lasbases se tiene que:

Φ(a)v jm =

j

m=− j

D j(a)m,mv jm (4.33)

D j(a)m,m = (v jm, Φ(a)v jm) (4.34)

Usando la definicion de los operadores escalera, y la de los operadores Ai en funcion del operadorlineal Φ, junto a los coeficientes de proporcionalidad recientemente encontrados el lector puede f acil-mente demostrar que las representaciones irreducibles de los elementos generadores del algebra delgrupo son las siguientes:

D j(a1)m,m = (1/2)ı[δ m,m+1 j( j + 1) − m(m + 1) + δ m,m−1 j( j + 1) − m(m − 1)] (4.35)

D j(a2)m,m = (1/2)[δ m,m+1

j( j + 1) − m(m + 1) − δ m,m−1

j( j + 1) − m(m − 1)] (4.36)D j(a3)m,m = ım (4.37)

Si j=0 se obtiene la representacion unidimensional de los escalares D0(a) = (0).

Si j=(1/2) entonces la dimension de la representacion es 2, por ende se trata de la representacion

fiel del algebra de su(2), en la cual D1/2(ai)

= (ai), donde ai = (1/2)ıσi con σi = Matrices de Pauli

4.2.3. Homomorfismo entre SO(3) y SU(2)

Desde el punto de vista clasico el momentum angular se comporta como el generador de las rotacionesespaciales en un espacio Euclıdeo de 3 dimensiones. Si se considera esta caracterıstica valida en elmundo cuantico, para el operador momentum angular orbital L, es de esperarse que el algebra delgrupo de rotaciones tenga relacion con los operadores momentum angular de la Mecanica Cuantica.Dicho desde un punto de vista mas matematico existe un homomorfismo entre el grupo de rotacionesortogonales en un espacio Euclıdeo de 3 dimensiones SO(3) con el grupo SU(2). De este ultimo yase demostro como es que esta relacionado con el Momentum Angular. Dicho homomorfismo se puededemostrar [2]que viene dado de la siguiente forma:

R(u)i j = 1

2tr[σiuσ ju−1] (4.38)

Donde σi son las matrices de Pauli, R es un elemento ∈ SO(3), Y u ∈ SU Y (2). El kernel de estehomomorfismo es la identidad y menos la identidad I, -I, es por esta raz on que es un homomorfismoy no un isomorfismo, dos elementos de SU(2) se mapean a un solo elemento de SO(3). Tambien esposible demostrar que el algebra su(2) es isomorfa al algebra so(3), es decir que tienen igual numerode generadores que satisfacen las mismas reglas de conmutacion. De manera tal que se puede usar unargumento identico al expresado anteriormente para hallar las representaciones irreducibles de so(3).En fısica el hecho de que las algebras sean isomorfas explica el hecho de porque se le puede asociar

36



representaciones del grupo SU(2) a una situacion relacionada de manera clasica a rotaciones en unespacio Euclıdeo de 3 dimensiones. Claro esta que en la Mecanica Cuantica existe una propiedadintrınseca a las partıculas llamada Spin, la cual le otorga al sistema mas grados de libertad, y quepara el caso de spin=1/2 se tiene que sus rotaciones son dadas por las representaciones irreduciblesde su(2).

Los sistemas fısicos generalmente estan caracterizados propiedades estructurales que son invariantesen forma (covariantes) ante una clase de transformacion. Esto es lo que comunmente se denominacomo simetrıas, esos elementos simetricos forman un grupo. En particular considerando este hecho,una aplicacion directa en la Mecanica Cianica de la teorıa de Grupos es por ejemplo si se tiene unHamiltoniano H, de forma tal que existe un conjunto de elementos gi ∈ G tales que dejan invarianteal Hamiltoniano, es decir:

giHg−1i = H ⇒ [H, gi] = 0 (4.39)

Donde G es un grupo de transformaciones geometricas a las cuales comunmente se les denomina elgrupo de simetrıa del Hamiltoniano. El significado fısico de esto es que el Hamiltoniano H tiene lamisma forma en dos sistemas de coordenadas, y de la condicion anterior es facil ver que esto implica

que si | Ψ > es un autoestado del Hamiltoniano con autovalor E, entonces gi | Ψ > tambien esautoestado de H con autovalor E. Un ejemplo que ilustre esta situacion serıa el atomo de Hidrogeno,en el modelo no relativista y sin spin, en el cual al estar sometido a un potencial de fuerzas centrales,su Hamiltoniano queda invariante ante una rotacion en el espacio de 3 dimensiones. En general estose puede aplicar para cualquier Hamiltoniano H cuyo potencial sea radial y tenga la forma cl asica de:

H = P 2

2m + U (R) (4.40)

Esto radica en la invariancia del potencial dependiendo unicamente de R, y del producto escalar deP consigo mismo a una rotacion producida por un elemento del grupo SO(3). En otras palabras dadoque el subespacio asociado al valor de energıa E es invariante ante el grupo de transformaciones, y queen ese subespacio los observables que se escriben como la matrices de representacion de los elementosdel grupo, entonces de las representaciones de esos elementos del grupo dependeran un conjunto denumeros cuanticos que permita distinguir entre los diversos autoestados del Hamiltoniano H, al cualle corresponde una autoenergıa E.

.El conocimiento de las representaciones matriciales del grupo de simetrıas de un Hamiltoniano,permite prever en alguna medida el grado de degeneracion de sus autovalores.”

Otra aplicacion de la teorıa de grupos es que a menudo es util expresar el Hamiltoniano H comola suma de H 0, un Hamiltoniano conocido y simple de un sistema, que generalmente corresponde

al de mayor energıa, y una termino de perturbacion H ’, que incluye terminos que complementanla descripcion del sistema. Si el grupo de simetrıa de H ’es menor que el grupo de simetrıa de H 0,entonces la mayor simetrıa se rompe por la perturbacion. En este caso, los niveles originalmentedegenerados pueden dividirse en distintos niveles. La teorıa de grupos proporciona mecanismos queen algunos casos pueden reducir enormemente el esfuerzo.

37



Conclusiones

En este trabajo se explico la relacion entre teorıa de grupos de Lie y su relacion con la teorıa deoperadores de la mecanica cuantica, utilizando como ejemplo de esta relacion con el grupo especialunitario en el espacio Euclıdeo bidimensional SU(2) y su algebra su(2) y como se asocia con la teorıade momento angular cuantico de una partıcula.

Basicamente, se asocia el comportamiento de operadores de la mecanica cuantica con las repre-sentaciones de los operadores del algebra de Lie, las bases y las reglas de conmutacion propias. Esimportante recordar que el algebra de Lie consiste en una linealizacion del grupo de Lie.

38



Bibliografıa

[1] Rosane Ushirobira Arjeh Cohen and Jan Draisma. Group Theory for Maths, Physics and Chem-istry Students . 2002.

[2] J. F. Cornwell. Group Theory in Physics , volume 1-2.

[3] H. Falomir. Curso de Metodos de la Fısica Matem´ atica, Teorıa de Grupos.

[4] Kazuyuki Fujii. Introduction to coherent states and quantum information theory. arXiv , 2002.

[5] Robert Gilmore. Lie Groups, Physics, and Geometry. An introduction for physicist, engineers and chemists. Cambridge University Press, 2008.

[6] Giacomo M. D’Ariano Giulio Chiribella and Paolo Perinotti. Applications of the group su(1,1)for quantum computation and tomography. arXiv , 2006.

[7] Thomas F. Jordan and E. C. G. Sudarshan. Lie group dynamical formalism and the relationbetween quantum mechanics and classical mechanics. Modern Physics , Volume 33(Number 4),October 1961.

[8] Achim Kempf. Uncertainty relation in quantum mechanics with quantum group symmetry.arXiv , 1993.

[9] Marek Kus and Ingemar Bengtsson. “classical”quantum states. Physical Review A, 2009.

[10] P. G. Leach and M. C. Nucci. Lie groups and quantum mechanics. arXiv .

[11] William H. Louisell. Quantum statistical properties of radiation . 1973.

[12] David Lovelock and Hanno Rund. Tensors, Differential Forms and Variational Principles . DoverPublications, INC. New York.

[13] J. S. Milne. Fields and galois theory, 2008.

[14] Pierre Ramond. Group Theory. A Physicist’s Survey . Cambridge University Press, 2010.

[15] K. Wodkiewicz and J. H. Eberly. Coherent states, squeezed fluctuations, and the su(2) andsu(1,1) groups in quantum-optics applications. J. Opt. Soc. Am. B , 1985.

39



Apendice A

Matrices

A.1. Matrices

Definicion A.1.1. Una matriz Am×n se define como un arreglo de mn elementos A jk (1 ≤ j ≤ m,1 ≤ k ≤ n), que pueden ser reales o complejos ordenados como: m filas y n columnas. Es decir,

A =

a11 a12 .... a1na21 ...

...am1 am2 .... amn

(A.1)

Las matrices con todos sus elementos igual a cero representan la matriz nula 0.

Si m=n se dice que la matriz es cuadrada. En este caso los elementos A jk con j=k son los elementosde la diagonal. Cuando Akk = 0 pero el resto de los A jk = 0, ∀ j = k entonces la matriz A es unamatriz diagonal.

El elemento unidad es una matriz diagonal, y se define como 1:

(1) jk = δ jk (A.2)

40



A.1.1. Propiedades de las matrices

Suma de matrices

La suma de dos matrices esta definida si A y B son m n , tal que A+B

(A + B) jk = A jk + B jk (A.3)

Producto de matrices

El producto usual entre matrices se da entre una matriz Am×n y Bn×l y da como resultado unamatriz ABm× p

(AB) jl =n

k=1

A jkBkl (A.4)

Si m=n=p existe el producto AB y BA, aunque por lo general AB = BA. Por ejemplo, esteproducto es equivalente si A y B son matrices diagonales o una de ellas es unitaria.

Transpuesta de A

La transpuesta de una matriz Am×n esta definida como la matriz n×m cuyos elementos estan dadospor

( A) jk = Akj (A.5)

Si por ejemplo C=AB, entonces C=(AB)=AB. Ademas (A)=A. Si A=A la matriz es simetrica ,y si A=-A es anti-simetrica . Cuando A=A−1 la matriz es ortogonal.

Conjugada Compleja de A

La matriz conjugada compleja de A, A* esta definida como la matriz m n tal que

(A∗) jk = (A jk)∗ (A.6)

Donde “*”denota la conjugada compleja. Si A*=A la matriz es real.

41



Adjunto Hermıtico de A

La matriz adjunta Hermıtica de A, A†, se define como

A† = ( A)∗ (A.7)

Sı A†=A la matriz es Hermıtica, en cambio sı A†=A−1 es anti-Hermıtica, y ademas unitaria. Encambio, A†=-A−1 es anti-unitaria.

A.1.2. Matrices Simplecticas

Una matriz simplectica es una matriz M cuadrada 2n × 2n, tal que se satisface la siguiente relacion

M tΩM = Ω

Ω =

0 I n−I n 0

donde I n es la matriz unitaria n × n.

A.2. Producto Directo de Matrices (o Producto Kronecker)

Definicion A.2.1. El producto directo de una matriz Am×m por una matriz Bn×n se define como lamatriz (A ⊗ B)mn×mn, donde las filas y columnas son etiquetadas cada una con un par de ındices deforma tal que:

(A ⊗ B) js,kt = A jkBst (A.8)

donde 1 ≤

j , k ≤

m; 1 ≤

s, t ≤

n.

Un ejemplo de esto, suponga m=2 y n=2:

A =

a11 a12a21 a22

B =

b11 b12b21 b22

42



Entonces, A ⊗ B sera

A ⊗ B =

a11b11 a11b12 a11b21 a11b22a12b11 a12b12 a12b21 a12b22a21b11 a21b12 a21b21 a21b22

a22b11 a22b12 a22b21 a22b22

A.2.1. Propiedades del producto directo

Si A y B son diagonales, entonces A ⊗ B tambien lo es.

Sean A,A’m×m y B, B’ n×n, entonces

(A ⊗ B)(A ⊗ B) = (AA) ⊗ (BB ) (A.9)

Sı A y B son unitarios, A ⊗ B tambien es unitario.

(A ⊗ B)† = A† ⊗ B†.

A.3. Matriz Exponencial [2]

Definicion A.3.1. Matriz Exponencial

Se tiene una matriz n × n llamada a , entonces la funcion exponencial de una matriz se define como:

ea = 1 +∞

j=1

a j

j!

⇒ ea =∞

j=0

a j

j! (A.10)

Esta serie converge para cualquier matriz a de tamano n × n.

A.3.1. Propiedades de la matriz exponencial

a. Sean a, b matrices n × n que conmutan, se tiene entonces que

ea · eb = ea+b = eb · ea

43



b. Si a, b son matrices n × n que no conmutan, pero cuyos valores son pequenos, entonces no secumple la propiedad anterior, sino que se tiene

ea · eb = ec

c = a + b + 12 [a, b] + 1

12

[a, [a, b]] + [b, [b, a]]

+ ... (A.11)

Esta ecuacion que define a C, A.11 se conoce como la Formula de Campbell-Baker-Hausdorff

c. La matriz exponencial tambien satisface las propiedades usuales de las matrices, descritas an-teriormente.

La conjugada sera (ea)∗ = ea∗

La transpuesta sera (ea)t = eat

La conjugada transpuesta sera de forma analoga (ea)† = ea†

Para cualquier matriz s no singular, se tiene que

es·a·s−1

= s(ea)s−1

Si la matriz a tiene como autovalores a λ1, λ2,...; entonces, eλ1, eλ2, ..., eλn seran losautovalores asociados a ea.

El determinante sera:

det(ea) = eTr(a)

44



Apendice B

Geometrıa Euclidiana y no Euclidiana

B.1. Geometrıa Euclidiana

La geometrıa Euclidiana estudia las propiedades de los Espacios Euclıdeos.

El espacio Euclıdeo es un espacio vectorial normado sobre los numeros reales con dimension finita(normalmente 3-dimensional) y la funcion distancia bien definida de acuerdo al teorema de Pitagoras.La notacion que se utiliza para hablar de los espacios Euclıdeos es

n.

B.2. Geometrıa No Euclidiana

Esta definicion se va a restringir a aquellos espacios que tienen una curvatura en el espacio; perodicha curvatura es la misma en cada punto, es decir el espacio es homogeneo.

Los puntos del espacio resultan indistinguibles, y por lo general se satisfacen tres clasificaciones paraesta geometrıa:

Geometrıa con curvatura cero: que es la geometrıa Euclidiana explicada de forma previa

Geometrıa con curvatura negativa: o geometrıa hiperbolicaGeometrıa con curvatura positiva: o geometrıa elıptica

Ahora bien, lo interesante de estos dos ultimos grupos, es que el conjunto de transformacionesgeometricas formado por traslaciones, rotaciones y reflexiones de los espacios (sin alterar las distan-

cias definidas) son grupos de Lie, con dimension n(n+1)2 . Este grupo se conoce como el grupo de

isometrıas.

El espacio Euclıdeo con dimension n , tiene tambien dimension n(n+1)2

en su grupo de isometrıas.

45



Apendice C

Mapas

Definicion C.0.1. Mapas Sean y

dos grupos. Un “mapeo”de en

es una regla simple en la

cual cada elemento g ∈ es asignado a otro elemento de por una funcion φ, tal como

g = φ(g)

donde g ∈

.

Algunos tipos de mapa entre grupos

Definicion C.0.2. Homomorfismo Sea φ un mapa de un grupo a otro

, tal que:

φ(g1)φ(g2) = φ(g1g2)

donde g1, g2 ∈ . Entonces se dice que la funcion φ es un Mapa Homom´ orfico.

Definicion C.0.3. Isomorfismo Si φ es un mapa 1-a-1 del grupo al grupo

, tal que

φ(g1)φ(g2) = φ(g1g2)

donde g1, g2 ∈ . Entonces, se dice que φ es un Mapa Isom´ orfico.

Un mapa 1-a-1 se refiere a que cada elemento de g ∈

es la imagen de un unico elemento g ∈ .

46



Apendice D

Espacios topologicos y Variedades

D.1. Espacios Topologicos

Definicion D.1.1. Un espacio topologico, T , es un conjunto de elementos, U que satisfacen comoconjunto los siguientes axiomas:

I. El conjunto vacıo y U pertenecen a T

∅ ∈ T , U ∈ T

II. La union de cualquier coleccion finita de conjuntos de T , tambien esta en T

(U α ∈ T , U β ∈ T ) ⇒ (U α ∩ U β ∈ T )

III. La interseccion de cualquier par de conjuntos en T tambien pertenece a T . Esto se conoce como“cobertura”.

∪αU α = T

Los conjuntos en T son conjuntos abiertos. Y U α suelen llamarse puntos de la topologıa, o T .

D.1.1. Espacios topologicos compactos y no compactos

Un espacio compacto en cierta manera consiste en espacios finitos, y los no compactos en espaciosinfinitos.

Definicion D.1.2. Espacios Compactos

Un espacio topologico T es compacto si el conjunto de conjuntos abiertos U α, o cobertura, tieneuna sub-cobertura finita

∪finitoα T ⊂ U α

47



D.2. Variedades Diferenciables

Una variedad diferenciable consiste en un espacio topologico, que localmente recuerda el compor-tamiento del espacio Euclıdeo,

n.

La ventaja de esto, es que localmente dicho espacio topologico se ve descrito por las propiedadeslocales de la variedad, pero globalmente, son diferentes.

Ahora bien, se puede pensar entonces en un conjunto M de puntos que esta cerrado completamente

por un conjunto contable de sub-conjuntos U 1, U 2,... tal que cada punto perteneciente al conjunto M ,

p ∈ M , pertenece al menos a uno de estos subconjuntos.

Ademas, se deberıa asumir que para cada subconjunto U i se define un sistema de coordenadas, talque se asigna en una manera unica n numeros reales para cada punto p ∈ U i.

Suponga que existe un subconjunto U 1 cuyo sistema de coordenadas es x1, x2,

..

., xn ; y tambienesta el subconjunto U 2 cuyo sistema de coordenadas es x1, x2,

..., xn . Entonces, suponiendo queun mismo punto p pertenece a estos subconjuntos U 1, U 2, cuya interseccion es no vacıa, y ademasU 1 ∩ U 2 ∈ M ; es posible escribir p en el sistema de coordenadas de U 1 y es posible tambien escribirloen el sistema de coordenadas de U 2. Sin embargo, debe existir una relacion entre ambos sistemas decoordenadas, de forma tal que deberıa ser posible escribir

xi = xi(x j)

o inversamente

x j = x j(xi)

Entonces, cuando esto ocurre y ademas las funciones son infinitamente diferenciables (C ∞), M secomo como una variedad diferenciable.

La definicion formal de esto es la siguiente:

Definicion D.2.1. Variedades topologicas diferenciables

Para que un conjunto de puntos sea una variedad topol ogica diferenciable, debe satisfacer los sigu-ientes axiomas:

I. Un espacio topologico T. Entonces, existe una coleccion de conjuntos abiertos U α que generanT,

∪alphaU alpha = T

II. Existe una coleccion de funciones φα, donde cada φα es un homeomorfismo de topologıas U α aV α.

48



φα(U α) = V α ⊂

n

III. Existen condiciones de suavidad. Los homeomorfismos de conjuntos abiertos en

n son 1:1,invertibles y diferenciables.

φα φ−1β : φβ(U α ∩ U β) → φα(U α ∩ U β)

Un ejemplo de variedades topologicas puede ser cada punto en la superficie de la esfera unitaria.

S 2 ⊂ R3 : x2 + y2 + z 2 = 1

Localmente, S 2 podrıa relacionarse con el plano R2. No obstante, globalmente esto no es cierto.

teoria de grupos y mecanica cuantica - genessis perez

Documents