teorÍa de mecanismos - ocw
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
TEORÍA DE MECANISMOS
5.- TEORÍA GENERAL DE ENGRANAJES
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� Objetivo:� Comunicar el movimiento de un órgano a otro� Se emplean cuando es necesario un cambio en la
velocidad o en el par de un dispositivo giratorio� Tipos de transmisiones mecánicas:a) Transmisiones flexibles
· correas· cadenas· cables· ejes flexibles
b) Transmisiones rígidas· ruedas de fricción· engranajes· sistemas articulados
compuestos por:- cigüeñales- bielas- manivelas- embragues- frenos, etc.
Transmisiones Mecánicas
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Transmisiones mecánicas
cadenas correas engranajes
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
Transmisión por correas
Transmisión por correas
Transmisión por correa con velocidad ajustable
� Ventajas:� Permiten gran
distancia entre centros� Funcionamiento suave
y silencioso� Bajo coste de mantenimiento
� Inconvenientes:� Potencias moderadas� Gran volumen� Peligro de DESLIZAMIENTO (asincronía)
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
Transmisión por cadenas y cables
Transmisión por cadenas
TRANSMISIÓN POR CADENAS� Ventajase inconvenientes:
� Permiten gran distancia entre centros� Coste y mantenimiento intermedio entre
cadenas y engranajes� NO existe peligro de DESLIZAMIENTO.
TRANSMISIÓN POR CABLES� Ventajase inconvenientes:
� Permiten mayores distancias entre centros� Coste y mantenimiento bajos� Pequeña capacidad de transmisión de potencia� Existe peligro de DESLIZAMIENTO.
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Con conexión externa
� Características:� Es el modo más sencillo de transmisión de potencia de un eje
rotatorio a otro� Movimiento transmitido por fricción
� Inconvenientes� Máxima fuerza de fricción: F = µ·N
Ruedas de fricción (I)
Transmisión de par limitada
Con conexión interna
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� Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a la máxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS� Desgaste� Asincronía
� SOLUCIÓN:� Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y
forma ENGRANAJES
Ruedas de fricción (II)
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� Rodadura pura + relación de transmisión constante los perfiles sólo pueden ser dos circunferencias
(a) Transmisión entre ejes paralelos:� Cilindros de fricción:
� Externos� Internos
� Si no hay deslizamiento
Ruedas de fricción (III)
22 2
111
vri vr
ω= =ω
11 2
2
rv v i r= ⇒ =
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(b) Transmisión entre ejes que se cortan:� CONOS de fricción
(c) Transmisión entre ejes que se cruzan:� HIPERBOLOIDES de fricción
� NO hay rodadura, pero las superficies son siempre tangentes entre sí
Ruedas de fricción (IV)
1
2
ri r=
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� Ventajas:� Es el método más sencillo de transmisión de potencia de un eje a otro
� Inconvenientes:� Máxima fuerza de fricción: F = µ·N
� Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a lamáxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS
� Desgaste
� Asincronía
� SOLUCIÓN:� Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y forma
ENGRANAJES
Ruedas de fricción (V)
Transmisión de par limitada
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Tipos de engranajes
•Rectos – externo
– interno
•Cónicos rectos
•Cónicos helicoidales
•Zerol
•De corona y piñón cilíndrico
•Helicoidales cruzados
•De Sinfín Cavex
•De sinfín envolvente
•Hipoidales
•Espiroide
•Helicon Beveloid
– Simples
– Dobles
– De esqueleto de pescado (herringbone)
•Helicoidales
� Ejes paralelos (engranajes cilíndricos)
� Ejes que se cortan (engranajes cónicos)
� Ejes que se cruzan en el espacio (engranajes hiperbólicos)
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Engranajes cilíndricos de dentado recto
� Transmiten movimiento entre ejes paralelos
(a) externos: sentidos de giro opuestos
(b) internos: sentidos de giro iguales
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� Dientes inclinados soportan carga axial engrane progresivo:� Menos VIBRACIONES� Menos RUIDO
� En (b) y (c) están compensadas las componentes axiales de los esfuerzos
Engranajes cilíndricos de dentado oblicuo
(a) simple(b) doble
(c) Herringbone
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Engranajes cónicos� Transmiten par y velocidad entre ejes que se cortan
(a) Cónico rectos
(c) zerol
(b) Cónico helicoidal
(d) De corona y piñón recto
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Engranajes hiperbólicos� Transmiten par y velocidad entre ejes que se cruzan en
el espacio.
(a) Helicoidal cruzado
(b) De sinfín-corona
(c) De sinfín cavex
(d) De sinfín evolvente
(e) hipoidal
(f) helicon
(g) Beveloid
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Generación efectiva de los flancos de de los dientes
� Procesos de mecanizado:� Fresado� Cepillado
� Cortador en forma de cremallera� Cortador en forma de piñón
� Formado con sinfín
� Procesos de acabado:� Cepillado� Bruñido� Esmerilado� Pulido
� Otros métodos:� Fundición� Extrusión� Estampación� Sinterizado, etc
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Fresado (I)
� La herramienta (fresa) tiene la forma del hueco entre dientes
� Inconvenientes: la herramienta sólo sirve para ruedas del mismo diámetro y módulo
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Fresado (II)
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (I)
� Útil en forma de cremallera:� La herramienta es una cremallera del mismo módulo que la
rueda a tallar.� El corte se debe al movimiento de vaivén de la herramienta en
la dirección del eje de la rueda� Se enfrenta la herramienta a un disco de radio ra.� La herramienta penetra hasta que su línea media es tangente a la circunferencia primitiva de referencia� Se gira ligeramente el disco y se desplaza la cremallera como si estuvieran engranando� Cuando se ha cortado un diente se reposiciona la cremallera
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Cepillado (II)
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (III)
� Útil en forma de piñón:� La herramienta es una contrarrueda� El procedimiento es semejante al
anterior� Ventajas:
� Permite generar ruedas internas
� No hay problemasde imprecisión por reposicionamientode la herramienta.
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Cepillado (IV)
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Cepillado (V)
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Conformado sin fin
� El cortador tiene forma de tornillo sinfín� Los dientes son rectos como los de una cremallera,
pero el sinfín no tiene que girar para cortar dientes rectos.
� Ventajas:� Gran precisión,
por no tener que reposicionar la herramienta
� Es el método más usado.
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P
VA3
VA2
Tangente de contacto
Palancas rodantes (I)
� (a) Condición de contacto permanente� Los perfiles NO deben
penetrar ni separarse
� Las componentes normales de VA1 y VA2 han de ser iguales
n nA1 A2v v=
JJJG JJJG
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2 1A A2
1 2 1
V Vi
O A O Aω
= =ω
1 2
'1 1
nA nA 1 2 '2 2
O NV V AN AN iO N
= ⇒ = ⇒ =
1
1
2
2
A' 11 1 A 1 '
1 1 1 2 1' '
A' 2 2 2 122 2 A 2 '
2 2 2
V ANO A N semejante a V N AO A O N AN ANiV O N O NANO A N semejante a V N AO A O N
⎫− − − − = ⎪
⎪ =⎬⎪− − − − = ⎪⎭
Palancas rodantes (II)
� (b) relación de transmisión constante
� Por la condición de contacto permanente
' ' 11 1 2 2
2
O PO N P semejante a O N P i cteO P
− − − − ⇒ = =
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Palancas rodantes (III)� La normal común y la línea de centros se cortan en un
punto fijo P.� Los perfiles que cumplen esta condición se llaman PERFILES
CONJUGADOS� (c) Condición de rodadura pura:
� Deslizamiento: diferencia de velocidades tangenciales
� Habrá RODADURA PURA si las componentes tangenciales de VA1 y VA2 son iguales.
� Como El contacto se produce sobre la línea de centros
( )t tA1 A2v v−
t tA1 A2
A1 A2n nA1 A2
v v contacto permanente v vv v⎫=⇒ ⇒ =⎬= ⎭
JJJG JJJG
A1 1 A2 2 1 2v O A y v O A O ,O yAes tan alineados⊥ ⊥ ⇒JJJG JJJG
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Perfiles conjugados (I)
� Transmisión del movimiento con relación constante de velocidades angulares� OBJETIVO: Evitar deslizamientos entre elementos
rodantes� SOLUCIÓN: Incorporar dientes de cualquier forma.
� Engranajes primitivos (200 a.c.): Ruedas giratorias de madera a las que se fijaban elementos de formas rudimentarias (molinos de viento, ruedas hidráulicas, relojería, etc.)
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� Aparición del motor de vapor ( ≈1750 ):� Se transmiten mayores pares y velocidades� Las transmisiones NO uniformes provocaban
fuertes choques entre dientes y los destruían� Surge la necesidad de obtención de dientes que
proporcionen transmisión con relación constante de las velocidades angulares de entrada y salida
� PERFILES CONJUGADOS
Perfiles conjugados (II)
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Perfiles conjugados empleados en engranajes
� En teoría pueden emplearse cualquier pareja de perfiles conjugados.
� Por consideraciones prácticas, sólo se emplean dos tipos de perfiles conjugados:� Perfil cicloide:
� Fue el más empleado en la Revolución industrial hasta principiosde siglo XX, pero hoy día sólo se utiliza en mecanismos de relojería.
� Perfil de Evolvente de Círculo:� En la actualidad es el perfil de uso universal, salvo en relojería y
bombas de paletas. Presenta las siguientes ventajas:� Versatilidad a la hora de diseñar� Otras características inherentes a su geometría que se verán
más adelante
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Generación de perfiles conjugados
� Para cualquier perfil que se de a los dientes de una rueda, siempre existe un perfil para los de la otra que es conjugado del primero.
� Método de generación:� Se hace rodar una circunferencia sobre la otra� La evolvente de las posiciones de un diente es el perfil del diente conjugado.� Este método es la base de la talla de perfiles por generación
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Método de generación
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Método de generación
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Perfil de evolvente (I)
� Definición:� “curva generada por un punto fijo de una recta que
rueda sin deslizar sobre una circunferencia llamada circunferencia básica”.
� Es la curva que trazaría una cuerda tensa al desenrollarse de un cilindro.
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
Perfil de evolvente (II)
� Propiedades:� El cordel es tangente
a la circunferencia� El centro de curvatura
es el punto de tangencia del cordel y la circunferencia base
� La evolvente es siempre normal al cordel.
Normal al perfil de evolvente y tangente a la
circunferencia base
Perfil de evolvente
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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
Transmisión uniforme con dientes de evolvente
� Al hacer girar los carretes en sentidos opuestos, el punto P del hilo traza una evolvente en cada cilindro
C’
� Propiedades de la transmisión:� El contacto se produce sobre la
tangente común a las circunferencia base, , llamada línea de engrane.
� es la normal común en el punto de engrane P
� es única → corta a la línea de centros en un punto fijo →relación de transmisión constante
1 2TT
1 2TT
1 2TT
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Dientes de evolvente
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Ley fundamental del engrane
� La relación de transmisión debe ser constante
� La normal común a los perfiles de los dientes, en todos los puntos de contacto dentro del segmento de engrane, debe pasar por un punto fijo de la línea de centros, llamado punto primitivo.
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Ley fundamental de engrane
� Evolvente → Longitud recorrida por el punto de contacto sobre la línea de engrane es igual al arco girado por las circunferencias básicas.
� Como
� Asípues
q q1 1 2 2PP' Q Q ' Q Q '= =
qbQQ' r= α ⋅
1 2b1 b2
b111 2b1 b2
2 b2
r rrt r t r r
α ⋅ = α ⋅ω
ω ⋅ ⋅∆ = ω ⋅ ⋅∆ ⇒ =ω
b11
2 b2
ri cterω
= = =ω
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Nomenclatura. Pareja de ruedas (I)
a) Pareja de ruedas
� Piñón: rueda dentada de menor diámetro
� Rueda: rueda dentada de mayor diámetro
� Circunferencia base (rb): circunferencias a partir de las cuales se generan los perfiles de evolventes
� Línea de centros: línea que une los centros, O1 y O2 de las dos circunferencias básicas
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� Línea de engrane, : tangente común a las circunferencias básicas. Sobre ella se produce el contacto entre los dientes.
� Punto primitivo C’ : punto de intersección de la línea de engrane con la línea de centros
� Circunferencias primitivas de funcionamiento (r’):circunferencias de las teóricas ruedas de fricción a las que se han incorporado dientes. Su radio es tal que el movimiento de rodadura entre ambas tendría lugar en el punto primitivo C’.
� Ángulo de presión de funcionamiento (α’): ángulo que forma la línea de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas por el punto C’.
Nomenclatura. Pareja de ruedas (II)
1 2TT
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Nomenclatura. Rueda aislada (I)
b) Rueda aislada:� Circunferencia primitiva de referencia (r) y
ángulo de presión de referencia α’ : estos parámetros se emplean para referir a ellos las magnitudes geométricas de una rueda aislada. La circunferencia primitiva de referencia sería aquella a la que le correspondería un ángulo de presión de referencia que está normalizado a 14.5, 20 y 25º, siendo el de 20º el valor más habitual.
b1 1b
2b2
r rr r cos i r r= ⋅ α ⇒ = =
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� Número de dientes de la rueda z� Paso p: distancia entre puntos homólogos de dos perfiles
consecutivos de una misma rueda, medida sobre la circunferencia primitiva de referencia.
Para que dos ruedas engranen deben tener el mismo paso.� Módulo m: cociente entre el diámetro primitivo de referencia y el
número de dientes.
Dos ruedas engranan si tienen el mismo módulo.
� Paso diametral (diametral pitch), dp: cociente entre el número de dientes y el diámetro primitivo de referencia expresado en pulgadas.
2 rp zπ
=
p2rm z= =π
11 1
2 2 2
mz 2r zi r mz 2 z= = =
zdp 2 r(pulg adas)=⋅
Nomenclatura. Rueda aislada (II)
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Nomenclatura. Dentadura (I)
c) Dentadura:
� Circunferencia de cabeza (ra):circunferencia que limita los dientes por su parte superior
� Circunferencia de pie (rf): circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior. El hueco debe ser suficientementeprofundo para dejar pasar la cabeza de los dientes de la otra rueda.
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� Altura de cabeza o adendo, ha : distancia radial entre la circunferencia primitiva y la cabeza del diente.
� Altura de pie o dedendo, hf: distancia radial entre la raíz del diente y la circunferencia primitiva
� Altura total, h: suma de la altura de cabeza y la de pie
� Holgura o juego circunferencial: hueco que dejan al acoplar una pareja de dientes. Necesaria para permitir la deflexión de los dientes, el paso del lubricante y la expansión térmica
� Huelgo o juego en cabeza, c: hueco que dejan una pareja de dientes al engranar, entre la cabeza del diente y el fondo del espacio interdental de la rueda conectada. Suele valer:
� Altura de trabajo hw: diferencia entre la altura total del diente y el juego.
a fh h h= +
c 0.25 m= ⋅
Nomenclatura. Dentadura (II)
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� Espesor s : Espesor del diente, medido sobre la circunferencia primitiva
� Hueco e: hueco entre dientes, medido sobre la circunferencia primitiva.
Se cumple que
� cara: parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de cabeza
� Flanco: parte de la superficie de un diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de pie
� Altura de flanco b: anchura del diente medida en dirección paralela al eje.
2 r mzs 2 2π π
= =
me s 2π
= =
p e s= +
Nomenclatura. Dentadura (III)
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b 00
b
r r cosr r cos= ⋅ α ⎫
⇒ α = α⎬= ⋅ α ⎭
Perfil de referencia normalizado
� Las dimensiones del perfil de referencia y de la herramienta asociada a él están normalizadas
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Perfil de referencia (I)
� Cremallera de referencia:� Útil de corte ficticio que se emplearía para generar los dientes
de un engranaje con dimensiones normalizadas.� Perfil de referencia:
� Sección normal de la cremallera de referencia.� Se emplea para definir las dimensiones normalizadas del
dentado.
Perfil de referencia del dentadoPerfil de referencia de la herramienta
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Penetración e interferencia (I)
� La evolvente NO puede extenderse por debajo de su circunferenciabase.
� Si la herramienta penetra en el círculo básico ⇒ PENETRACIÓN del diente ⇒ menor resistencia mecánica
� La porción de diente que queda por debajo NO tiene perfil de evolvente e interfiere con la cabeza del otro diente ⇒ INTERFERENCIA entre dientes.
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Penetración e interferencia (II)
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Número límite de dientes (I)
� OBJETIVO: evitar la penetración� Situación límite de penetración:
� La cabeza de la herramienta sale tangencialmente al flanco que acaba de generar, y no lo daña.
� El extremo del flanco de la herramienta NO debe sobrepasar el punto T, pues allí la velocidad relativa de la herramienta y el diente es tangente a ambos.
� Si el extremo de la cremallera se extiende más allá de T, su velocidad no es tangente al flanco del diente, y penetra en él.
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Número límite de dientes (II)
� Como y :
� Para , el número límite de dientes es:
2rmz
= br r cos= α
20ºα =
2 2
2 22
2r 2r r cos 1 cosz z
2 2 21 cos sen zz z sen
− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥α
� No obstante, si z>14, la penetración es muy poco importante, y en la práctica se admite:
lim2
2z 17 z 17sen 20º
≥ ≈ ⇒ =
limz 14=
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Procedimientos de talla para evitar la penetración
� Objetivo:� Evitar la penetración en ruedas con menos de 14 dientes.
� (a) variación del ángulo de inclinación del flanco de la cremallera:
� Sigue siendo válida la expresión anterior:
0 20ºα > α =
1 12 2 20 0
1 1
2 2 2z ' z ' zsen sen sen
z ' z
≥ ⇒ = < = ⇒α α α
<
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� (b) Dentado rebajado:� Se emplea cremallera con alturas de pie y de cabeza inferiores a las
normalizadas.
� Como y :
� El número límite de dientes es:
� Como en el caso anterior, la cremallera no está normalizada.
Procedimientos de talla para evitar la penetración
ao
2b
h my (y 1)
r my r cos
= <
− ≥ α2rmz
= br r cos= α2 2
2 22
2r 2yr y r cos 1 cosz ' z '
2y 2y 2y1 cos sen z 'z ' z ' sen
− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥α
1 1 1 12 20
2y 2z ' z z ' zsen sen
= < = ⇒ <α α
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� (c) desplazamiento en la talla:� La línea media de la herramienta se desplaza una cantidad +xm
hacia el exterior de la circunferencia primitiva.
� Como y :
� Como para poder cortar debe ser x<1:
� Esta talla se llama talla a +V
Procedimientos de talla para evitar la penetración
b
b
r xm m r cosr (1 x) m r cos
+ − ≥ α ⇒⇒ − − ⋅ ≥ α
2rmz
=
br r cos= α
2 2
2 22
2r 2(1 x)r (1 x) r cos 1 cosz ' z '
2(1 x) 2(1 x) 2(1 x)1 cos sen z 'z ' z ' sen
−− − ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
− − −≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥
α
� La herramienta SI está normalizada1 1 1 12 2
0
2(1 x) 2z ' z z ' zsen sen
−= < = ⇒ <
α α
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Cálculo del factor de desplazamiento en ruedas talladas a V
� Según se ha visto
� Se sabe, sin embargo, que en la práctica se puede trabajar con un número límite de dientes inferior al calculado, por lo que se toma:
2
1 12
1 1 1 1
1 12
2(1 x) senz ' (1 x) z 'sen 2
z ' z ' z z 'x 1 12 z z
sen
− α= ⇒ − = ⇒
α−
= − = − =α
14 z 'x17−
=
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Ruedas talladas a cero y ruedas talladas a V
� Atendiendo a la forma en que se realiza la talla, las ruedas se clasifican en:
� RUEDAS A CERO (rueda normal): la línea media de la herramienta de talla es tangente a la circunferencia primitiva de referencia
� RUEDAS A V (con desplazamiento): la línea media del perfil de referencia se desplaza respecto a la circunferencia primitiva una cantidad V=mx, contada positivamente hacia el exterior (rueda V+) y negativamente hacia el interior (rueda V-)
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Montaje de engranajes
� Según el tipo de montaje, los engranajes se clasifican en:
� Engranajes montados a cero: las circunferencias primitivas y de funcionamiento coinciden con las de referencia.
� Engranajes montados en V: las circunferencias primitivas de referencia NO coinciden con las de funcionamiento.
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� (a) engranajes montados a cero con ruedas talladas a cero:� Las dos ruedas tienen más de 14 dientes
� (b) engranajes montados a cero con ruedas talladas en V: � Una rueda tiene más de 14 dientes y la otra menos, y su
suma es mayor de 28� Se tallan las ruedas con x1=x2
� (c) engranajes montados en V con ruedas talladas en V:� Los dientes de ambas ruedas suman menos de 28� Las ruedas se tallan con desplazamientos diferentes
Montaje de engranajes
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La función evolvente
� Por las propiedades de la evolvente de círculo
� La función recibe el nombre de función evolvente
p p p p*
b b b b
EB AB AE AP AE tgr r r r
−α = = = − = α − α
tgα − α*Ev( ) tg Ev( )α = α − α⇒ α = α
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Cálculo de espesor del diente
� Espesor de una circunferencia de radio rx� Por semejanza
� Por las propiedades de la evolvente
� Análogamente� Sustituyendo en (1)
� Necesitamos conocer el valor de
p p p p( )x x xx
x b b b
s 2 EC r rs 2 EC 2 CB EB (1)r r r r
= ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
( )p
p ( )*x x
b x*b x
EvEB r Ev
Como : EB r
⎫α = α ⎪ ⇒ = ⋅ α⎬= ⋅α ⎪⎭
p ( )bCB r Ev= ⋅ γ
( )
( )
xx b b x
b
x x x
rs 2 r Ev( ) r Ev( )r
s 2 r Ev( ) Ev( ) (2)
= ⋅ ⋅ γ − ⋅ α ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ γ − α
( )Ev γ
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Cálculo del espesor del diente
� El espesor en la circunferencia primitiva de referencia, s’, se mide en la cremallera y vale:
� Aplicando la ec. (2) a la circunferencia primitiva de referencia:
� Sustituyendo en la ec. (2) queda:
s ' s 2 sm ms s ' 2 x m tg
2 2s tg s x m tg
xm
⎫⎪= + ∆⎪π ⋅ π ⋅⎪= ⇒ = + ⋅ ⋅ ⋅ α⎬⎪
∆ ⎪= α ⇒ =∆ ⋅ ⋅ α ⎪⎭
( ) ( )m m2 x m tg 2 r Ev Ev 2 x m tg m z Ev Ev2 2
2r mz 2xComo : m r Ev tg Evz 2 2z z
π π⎫+ ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α + ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α ⇒⎪⎪⇒⎬ π⎪= ⇒ = ⇒ γ = + ⋅ α + α⎪⎭
x x x2xs 2 r tg Ev Ev
2z zπ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦
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Distancia entre ejes de funcionamiento
� Distancia entre ejes de funcionamiento a’:
� Suma de los radios primitivos de funcionamiento.
� Como:
� Sustituyendo
0 1 2a r ' r '= +
b
b
r r ' cos ' cosr ' cos ' r cos r ' rr r cos cos '= ⋅ α ⎫ α
⇒ ⋅ α = ⋅ α ⇒ = ⋅⎬= ⋅ α α⎭
( )0 1 2cosa r rcos '
α= + ⋅
α
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Distancia entre ejes de funcionamiento
(a) engranajes a cero:� Como:
(b) engranajes en V sin holgura circunferencial:� Sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento:
Suma del espesor de los dientes = paso� Paso circunferencialsobre circunferencia primitiva de
funcionamiento:
0 1 2' a r rα = α ⇒ = +
2 r 'p '2 cosz p ' r
cos z cos 'r ' rcos '
2 mz coscomo r mz 2 : p 'z 2 cos '
π ⎫= ⎪ π α⎪⇒ = ⋅ ⋅⎬α α⎪= ⋅ ⎪α ⎭π α
= = ⋅ ⋅α
![Page 65: TEORÍA DE MECANISMOS - OCW](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102601/586f50491a28ab54738b4b28/html5/thumbnails/65.jpg)
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� Espesor de los dientes sobre la circunferencia primitiva de funcionamiento.
Distancia entre ejes de funcionamiento
( )
1 2
2xs ' 2 r ' tg Ev Ev '2z z
como :cos mz cos mz cos 2xr ' r s ' 2 tg Ev Ev 'cos ' 2 cos ' 2 cos ' 2z z
cosm 2x tg z Ev Ev 'cos ' 2
igualando p ' con s ' s ' queda :
cos cosm mcos ' c
π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦
α α α π⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α =⎢ ⎥α α α ⎣ ⎦α π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + ⋅ α − α⎢ ⎥α ⎣ ⎦
+
α απ ⋅ = ⋅
α( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 x x tg z z Ev Ev 'os ' 2
2 x x tg ' z z Ev Ev ' 0
x xEv ' 2 tg Ev ' a 'z z
π⎡ ⎤+ + ⋅ α + + ⋅ α − α ⇒⎢ ⎥α ⎣ ⎦⇒ + ⋅ α + + ⋅ α − α = ⇒
+α = ⋅ ⋅ α + α →α →
+
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Distancia entre ejes de funcionamiento
� (c) engranajes en V sin holgura radial:� La línea media de la cremallera
de referencia de la rueda 1 coincide con la de la 2
� Multiplicando y dividiendo por
� como
( ) ( )( )
0 1 1 2 2
1 2 1 2
a r mx r mx
r r x x m
= + + + =
= + + + ⋅( )1 22 z z+
( )1 20 1 2 1 2
1 2
x x ma r r 2 z zz z 2
+= + + ⋅ ⋅ ⋅ +
+
( ) ( ) ( )
( )
1 21 2 1 2 0 1 2 1 2
1 2
1 20 1 2
1 2
mz m x xr z z r r a r r 2 r r2 2 z z
x xa r r 1 2z z
+= ⇒ ⋅ + = + ⇒ = + + ⋅ + ⋅ ⇒
+
⎡ ⎤+⇒ = + + ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦
m 2r z=
![Page 67: TEORÍA DE MECANISMOS - OCW](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102601/586f50491a28ab54738b4b28/html5/thumbnails/67.jpg)
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Longitud de engrane
� El segmento de engrane se puede considerar como la suma de dos segmentos, unidos por el punto primitivo.
α = +acercamiento alejamientog g g
1E P 2PE
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Coeficiente de engrane ∈(grado de recubrimiento)
� En un par de engranajes el ratio entre:� El arco de conducción (evolvente) y� El paso (circunferencia base)p 2 r´/ z= π
b bp 2 r / z m cos( ´)= π = π α
q2 1E E
q2 1
b
E Ep
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Arco de conducción(circunf. Base y Circunf. Primitiva)
� Es el arco girado desde el engrane y el desengrane de un diente.
� Por las propiedades de la evolvente el arco de conducción es igual a la longitud de engrane.
� Si el arco es medido en la circunferencia primitiva de funcionamiento r´, entonces
q2 1E E
q2 1E E gα=
q2 1E´ E´ g / cos( ´)α= α
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Cálculo de la longitud de acercamiento
2 2 2f 2 2 2 c2 2 2g E T PT R R sen( ´)= − = −ρ − α
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Cálculo de la longitud de alejamiento
2 2 2a 1 1 1 c1 1 1g E T PT R R sen( ´)= − = −ρ − α
![Page 72: TEORÍA DE MECANISMOS - OCW](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102601/586f50491a28ab54738b4b28/html5/thumbnails/72.jpg)
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Longitud de engrane. Arco de conducción
� Longitud de engrane, gα: suma de las longitudes de acercamiento y alejamiento
� Arco de conducción, : es el arco correspondiente al ángulo girado al pasar de E2 a E1� Por las propiedades de la evolvente, el arco de
conducción medido sobre la circunferencia básica es igual a la longitud de engrane.
� Si se mide en circunferencia primitiva de funcionamiento vale:
� Por semejanza de arcos:� Como y queda:
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Grado de recubrimiento o coeficiente de engrane
� Por las propiedades de la evolvente, es el paso medido en circunferencia básica.
� Del mismo modo, también es el paso medido en circunferencia básica.
� Grado de recubrimiento, ε: es el cociente entre el arco de conducción y el paso.� Tomando ambos sobre la circunferencia básica:� La porción debida a la rueda 1 es:� Y la debida a la rueda 2 es:
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( )2 2 2 2a1 b1 a2 b2 p1 p2
C
r r r r r r senR
m cos− + − − + α
=π α
2 2 2 2a1 b1 p1 a2 b2 p2
C
r r r sen r r r senR
2 r cosZ
− − α + − − α=
π α
1 2 1 1 2 2C
bb
g g TB TP T A T PR2 rp
Z
+ − + −= ε = =
π
Relación de contacto