Teorija brojeva

June 24, 2008

1 Uvod u teoriju brojeva

Izuqavanje osobina prirodnih brojeva, koje je zapoqeto u primitivnomobliku od strane generacija davno otixlih matematiqara, zauzimaveliko mesto u savremenoj matematici, qine�i osnovni sadr�aj jedneod njenih vode�ih grana, koju nazivamo teorija brojeva.

U teoriji brojeva u prvom redu se izdvajaju i razmatraju oni prob-lemi koji su duboko i dovoljno neposredno vezani za izuqavane objektei koji su va�ni za konstrukciju matematike u celini. Neki istorijsko- brojqani zadaci nastaju ve� u okviru xkolskog kursa matematike.Istorijski, teorija brojeva je nastala kao neposredni razvoj arit-metike. U danaxnje vreme, u teoriji brojeva se javlja znatno xirikrug pitanja, koja izlaze iz okvira izuqavanja prirodnih brojeva.U teoriji brojeva izuqavaju se ne samo prirodni, ve� i celi kao iracionalni brojevi.

Me�u brojevima se posebno izdvajaju celi algebarski brojevi, kojipredstavljaju korene polinoma f(x) = a0x

n + a1xn−1 + · · · + an sa celo-

brojnim koeficijentima. Izuqavanje osobina takvih brojeva qinisadr�aj jednog od najva�nijih delova savremene teorije brojeva, kojase zove algebarska teorija brojeva. U teoriju brojeva se ukljuquju ipitanja, koja su vezana za aproksimacije realnih brojeva racionalnimbrojevima. Takve aproksimacije se obiqno zovu Diofantove, po imenuvelikog grqkog matematiqara Diofanta.

Za savremenu teoriju brojeva karakteristiqna je primena veomaraznovrsnih metoda istra�ivanja, tako, na primer, mnogi broblemiteorije brojeva mogu biti formulisani u geometrijskom obliku i zarexavanje ove vrste zadataka se primenjuju geometrijska rasu�ivanja(geometrijska teorija brojeva). U savremenoj teoriji brojeva xirokose koriste metode matematiqke analize, recimo prilikom izuqavanjapitanja vezanih za raspored prostih brojeva, veoma qesto se moraprimenjivati teorija funkcija kompleksne promenljive. Teorijsko -brojqana istra�ivanja u kojima se prvenstveno koriste metode matem-atiqke analize qine sadr�aj znaqajnog dela teorije brojeva, koji senaziva - Analitiqka teorija brojeva.

1

Razvoj teorije brojeva tesno je i neposredno vezan sa razvojemcelog niza grana matematike. Teorija brojeva xiroko koristi ne samometode koje su razra�ene u graniqnim matematiqkim disciplinama,nego i sama utiqne na razvoj tih disciplina. Tako je poqetak velikihistra�ivanja u teoriji algebarskih brojeva bio vezan za takozvaniFermaov problem o mogu�nosti postojanja celih, pozitivnih rexenjaneodre�ene jednaqine xn + yn = zn gde je n > 2; dalji razvoj oveteorije izvrxio je odluquju�i uticaj na savremenu algebru, a nastaliu teoriji brojeva pojmovi ”prstena”, ”ideala” - jedni su od osnovnihpojmova qitave matematike naxeg vremena. Niz pitanja teorije bro-jeva nalazi primenu u praksi; na primer, u teoriji telefonskih mre�a,u kristalografiji, biologiji, hemiji, kod problema parketiranja,prilikom rexavanja nekih zadataka teorije aproksimacija i svakakonajzanimljivija u kriptoanalizi.

Savremenu teoriju brojeva mo�emo uglavnom podeliti na slede�egrane:

Elementarna teorija brojeva (teorija kongruencija, teorija forme,neodre�ene jednaqine). Ovom delu pripadaju pitanja teorije bro-jeva koja su neposredno vezana za razvoj teorije deljivosti i pitanjao predstavljanju brojeva u odre�enom obliku. Jox opxtiji je za-datak rexavanja sistema neodre�enih jednaqina, tj. jednaqina u ko-jima vrednosti nepoznatih moraju biti obavezno celi brojevi. Neo-dre�ene jednaqine zovu se i Diofantove jednaqine, jer je Diofantbio prvi matematiqar koji je sistemacki razmotrio takve jednaqine.Mi uslovno nazivamo taj deo - Elementarna teorija brojeva, jer seovde qesto primenjuju obiqni aritmetiqki i algebarski metodi is-tra�ivanja.

Algebarska teorija brojeva. Ovom delu pripadaju pitanja vezanaza izuqavanje razliqitih vrsta algebarskih brojeva.

Diofantove aproksimacije. Ovom delu pripadaju pitanja vezanaza izuqavanje aproksimacije realnih brojeva racionalnim. Diofan-tovim aproksimacijama sliqna su pitanja izuqavanja aritmetiqke priroderaznih vrsta brojeva, koja su tesno vezana sa istim krugom ideja.

Analitiqka teorija brojeva. U ovaj deo ulaze pitanja teorije bro-jeva za qije se izuqavanje moraju koristiti metode matematiqke anal-ize.

Ova podela nije standardna. Ponekad se izdvaja kao poseban deoteorije brojeva - Geometrijska teorija brojeva, a iz opxteg kruga pi-tanja Diofantovih aproksimacija izdvaja se - Teorija transcedentnihbrojeva.

2 Kratak istorijski pregled teorije brojeva

Na znaqaj prouqavanja istorije jedne nauke radi ispoljavanja osobinapotrebnih za ”vextinu pronala�enja” ukazivao je jox Lajbnic. U jed-

2

nom radu koji je ostao neobjavljen za vreme njegovog �ivota on ka�e:”Veoma je korisno saznati pravo poreklo izvanrednih pronalazaka,naroqito onih do kojih se doxlo ne sluqajno ve� snagom ljudske misli.Ovo je korisno ne samo zbog toga xto �e istorija svakom dati svoje i uisti mah probuditi druge da se bore za ista priznanja ve� i zbog togaxto �e poznavanje metoda u izuzetnim primerima doprineti razvoju -vextine pronala�enja.”

Ovu Lajbnicovu misao trebalo bi sada posebno podvu�i, zbog togaxto naxe vreme kao nikada do sada zahteva od matematiqara da imajusposobnost i znanje za ”vextinu pronala�enja”. Sliqne sadr�ine je uSchopenhauer - ova izreka: ”Vidim kako raste piramida koju vi nistezapoqeli, niti �ete je dovrxiti!No, zar �e poslednji radnik, koji �ese ponosno postaviti na njen vrh, biti ve�i od onoga, koji je postavioprvi kamen? Ve�i od arhitekte, koji je qitavu gra�evinu zamislio iizradio joj plan?”

Rani period razvoja aritmetike karakteristiqan je po tome xto sepostepeno i pri tom veoma sporo razvija sam proces raquna, pojavljujuse mogu�nosti njegove neograniqene primene, stvara se praktiqna ar-itmetika u kojoj se rexavaju posebni konkretni aritmetiqki zadaci.

U Euklidovim radovima teorijsko - brojqana istra�ivanja zauz-imaju relativno malo mesta, ipak ve� kod njega mi sre�emo niz os-novnih pojmova teorije deljenja i, iako obiqan, ali veoma va�an rezul-tat: beskonacnost broja prostih brojeva.

Grqkim matematiqarima je bio poznat naqin izdvajanja prostihbrojeva iz prirodnog niza, koji je prema Eratostenu dobio naziv Er-atostenovo sito (rexeto).

Teoriju brojeva kao posebnu oblast matematike mogu�e je razma-trati samo ako se poqne od radova Diofanta (vreme njegovog �ivotanije taqno poznato, verovatno III vek naxe ere). Diofant je raz-motrio niz zadataka o predstavljanju brojeva u odre�enom obliku ijox opxtije probleme rexavanja neodre�enih jednaqina u celim ipozitivnim racionalnim brojevima. Upravo ti problemi kasnije supostali polazna taqka i baza qitave teorije forme, odakle se razvilateorija Diofantovih aproksimacija.

U periodu slabljenja antiqke kulture Diofantovi radovi su bilisasvim skoro zaboravljeni. U V II − IX veku u arapskim zemljama - nateritoriji danaxnjeg Iraka, Srednje Azije i drugih zemalja Bliskogistoka - nastaje svojevrsna matematiqka kultura. Arapska matem-atika, kultivixu�i istra�ivanja iz algebre i trigonometrije, iskazi-vala je malo interesovanja za teorijsko - brojqane zadatke. Neki ara-pski nauqnici, na primer Alkargi (XI v.), komentarisali su Dio-fanta, malo razvili njegovu simboliku, razmotrili aritmetiqke za-datke istog tipa, kao i Diofant, ali nixta suxtinski novo nisu do-bili.

U Evropi, poqev od epohe krstaxkih pohoda pa do XV III v. razvojteorije brojeva, kao uostalom i qitave matematike, bio je veoma spor.

3

Matematiqari su obiqno razmatrali samo posebne konkretne zadatketeorijsko - brojqanog karaktera. Opxti metodi bili su skoro nepoz-nati. U tom periodu uglavnom se razvila praktiqna aritmetika rad-nji. Od radova tog vremena najve�i trag za dalji razvoj teorije bro-jeva ostavili su veoma znaqajni za tu epohu radovi Leonarda Pizan-skog (umro 1250. g.) i radovi Regiomontana (1436−1476), koji je naxaoDiofantove radove i po prvi put u Evropi poqeo sistematski da ihizuqava.

U XV I i poqetkom XV II v. na latinskom i francuskom jeziku iz-dati su radovi Diofanta i niza matematiqara tog vremena, pre svegaViet (1540− 1603) i Baxe de Mezirjak (1581− 1639) poqeli su komen-tarisati te radove, dopunjuju�i ih malo novim rezultatima.

U sadaxnjem smislu teoriju brojeva kao nauku treba smatratipoqev od radova francuskog matematiqara P. Ferma (1601−1655), kojije doxao do osnovnog rezultata teorije deljivosti za zadati prostibroj i koji je rexio niz va�nih zadataka teorije neodre�enih jed-naqina.

U XV III v. L. Ojler (1707 − 1783), qiji je veliki broj radovanapisan u Peterbur�skoj Akademiji nauka, znaqajno je pokrenuo razvojteorije brojeva. Ojler je uopxtio osnovni Fermaov rezultat za sluqajdeljivosti slo�enim brojem, stvorio je opxtu teoriju takozvanih ste-penskih odbitaka, dobio veoma veliki broj raznovrsnih rezultata opredstavljanju brojeva u vidu formi odre�enog tipa, istra�ivao nizsistema neodre�enih jednaqina i dobio zanimljive rezultate o razla-ganju brojeva na sabirke. Po prvi put upravo kod Ojlera nalazimoideju primene metode matematiqke analize za probleme teorije bro-jeva.

Posle radova Ojlera skoro svi matematiqari XV III i XIX v. umanjem ili ve�em stepenu se bave teorijom brojeva.

Naroqito veliki trag u razvoju teorije brojeva ostavio je fran-cuski matematiqar Lagran� (1735−1813), koji je dalje razvio Ojlerovemetode. Lagran� je razmatrao pitanje predstavljanja brojeva u oblikubinarne kvadratne forme ax2 + bxy + cy2, dokazao je teoremu pred-stavljanja brojeva u obliku sume qetiri kvadrata i izvrxio bitnaistra�ivanja za teoriju neprekidnih razlomaka.

Veliki uticaj na dalji razvoj teorije brojeva izvrxili su i radoviA. Le�andra (1752 − 1833) o teoriji neodre�enih jednaqina visjegstepena. Le�andr je uostalom i naxao empirijsku formulu za brojprostih brojeva u datim granicama. Radovi Ojlera, Lagran�a iLe�andra stvorili su bazu za teoriju, koja je kod Gausa dobila nazivteorija kongruencije.

Sjajni radovi nemaqkog matematiqara K. Gausa (1777−1855) imalisu posebno veliki znaqaj za svu teoriju brojeva. Radovi Gausa uteoriji kongruencija drugog stepena dali su joj zavrxni oblik, takoda se u danaxnje vreme sva ta oblast teorije brojeva bazira na rezul-tatima koji su izlo�eni u knjizi ”Disquisitiones arithmeticae”. U toj

4

knjizi se razmatra i teorija kvadratnih formi, u kojoj je on dobiofundamentalne rezultate. Gaus je uporedo sa izuqavanjem celih bro-jeva poqeo sa izuqavanjem brojeva tipa a+bi (kompleksni brojevi), gdesu a i b celi brojevi. Ta njegova istra�ivanja su postavila osnovealgebarskoj teoriji brojeva.

Posle Gausovih radova u toku qitavog XIX i XX v. istra�ivanjau teoriji brojeva dobijaju sve ve�e razmahe. Veliki matematiqariXIX v.: Jakobi, Dirihle, Kumer, Qebixev, Liuvil, Ermit, Kro-neker, Riman, Minkovski, Zolotarev i drugi razra�uju raznovrsneprobleme teorije brojeva.

U radovima Kumera (1810− 1893) i Dirihlea (1805− 1959), koje sukasnije razvili Kroneker (1823− 1891), Dedekind (1831− 1916) i E.I.Zolotarev (1847 − 1878) bila je izgra�ena teorija algebarskih bro-jeva. Radovi Liuvila (1809− 1882) i Ermita (1822− 1901) postali suosnova teorije transcedentnih brojeva.

Ermit je 1873. uspeo da doka�e transcedentnost broja e, a 1882.godine je bila dokazana transcedentnost broja π (Lindeman).

Naroqito treba ista�i radove Dirihlea, Qebixeva i Rimana oteoriji prostih brojeva, koji su fundament qitave analitiqke teorijebrojeva. Dirihle je prvi dokazao postojanje beskonaqnog broja prostihbrojeva u aritmetiqkim progresijama opxteg oblika i dao asimptockeocene niza va�nih funkcija teorija brojeva.

Veoma veliki znaqaj imaju radovi ruskog matematiqara P.L. Qebi-xeva (1821 − 1894). On je prvi dao ocenu rasta funkcije π(x), kojapokazuje broj prostih brojeva, koji su manji ili jednaki od x. Njegoviradovi u teoriji prostih brojeva osnova su za qitav niz daljih is-tra�ivanja u toj oblasti. B. Riman (1826− 1866) dao je osnovne idejekorix�enja kompleksne promenljive u teoriji raspodele prostih bro-jeva i te ideje su u radovima Adamara, Vale - Pusena i niza drugihmatematiqara daleko unapredile tu teoriju.

Poqev od radova Qebixeva, u teoriji brojeva veliku su ulogupoqeli da imaju radovi ruskih matematiqara, koji su razvijali teorijubrojeva u svim njenim pravcima. Osim ve� pomenutog J.I. Zolotareva,koji je razra�ivao teoriju celih algebarskih brojeva, naroqito trebaista�i radove A.A. Markova (1856−1922) o teoriji kvadratnih formii sjajne radove G.F. Voronova (1868−1908) o analitiqkoj teoriji bro-jeva i teoriji kvadratnih formi.

Dvadeseti vek je dao suxtinske promene u analitiqkoj teoriji bro-jeva, qiji je razvoj bio vezan za usavrxavanje ve� poznatih metoda, anaroqito za stvaranje sasvim novih metoda.

Poqetkom XX v. E. Landau, G. Bor, engleski matematiqari G.Hardi i D�. Litvud, zatim K. Zigel, Qudakov, A. Seljberg i dr.detaljno su istra�ili zeta - funkciju Rimana i L nizove Dirih-lea, usavrxavali tehniku primene metoda teorije funkcija komplek-sne promenljive za istra�ivanje raznovrsnih problema analitiqketeorije brojeva.

5

U XX veku poqele su se primenjivati takozvane trigonometrijskesume, od kojih najprostije razmatrao jox Gaus.

Osnovni uticaj na razvoj analitiqke teorije brojeva izvrxili suradovi I.M. Vinogradova, koji je duboko razradio metod trigonometri-jskih suma i koji je umeo pomo�u tog metoda da rexi niz zadataka, kojisu se do tada qinili sasvim nedostupnim. Primena tog metoda naxlaje svoj razvoj u redovima qitavog niza matematiqara: Van Korputa,L. Mordela, G. Devenporta, T. Estermana, Hua Lo-gena, N.M. Ko-robova i dr.

Pedesetih godina XX veka veliki uspesi u analitiqkoj teorijibrojeva bili su postignuti zahvaljuju�i velikim idejama J.V. Linika.Te ideje dovode u vezu neke delove analitiqke teorije brojeva sateorijom verovatno�e. Linkove metode su naxle svoj razvoj u re-dovima qitave plejade njegovih uqenika i znaqajno su pove�ali mogu�nostiprimene L nizova Dirihlea u raznim problemima analitiqke teorijebrojeva.

Od elementarnih metoda treba posebno ista�i metod razra�en kra-jem 40-tih godina proxlog veka od strane A. Seljberga. U njegovimradovima osnovni zakoni raspore�ivanja prostih brojeva u prirodnomnizu i u aritmetiqkom progresijama dobijeni su bez primene teorijefunkcija kompleksne promenljive.

U poslednje vreme sve ve�u pa�nju nauqnika u teoriji brojeva privlaqialgebarska teorija brojeva. Razvoju algebarske teorije brojeva dalisu doprinos radovi sovjeckog matematiqara I.R. Xafareviqa, a tako�ei radovi B.N. Delonea o teoriji kubnih formi.

Neki matematiqki problemi su samo postavljeni. Matematiqarisu pokuxali da ih rexe, nisu umeli i dalje ne umeju. Takav je naprimer problem da li ima neparnih savrxenih brojeva, koji izgledastoji otvoren jox od Euklidovog doba.

Neki drugi matematiqki problemi su rexeni, ali bez posledica.Znaqi pojavi se matematiqar koji rexi jedan takav problem, veomaoxtroumno i dosetljivo, i tu se stane. Ne ide se dalje od toga. Pos-toji mogu�nost da se rexavanjem nekog matematiqkog problema otkrijeneki metod. Jedan matematiqar rexi problem i vidi se da sredstvakoja je upotrebio mogu da poslu�e za rexavanje qitave klase drugihproblema.

Problemi teorije brojeva se dele na dve vrste. Prvoj vrsti pri-padaju oni za koje su poznati metodi rexavanja, ali za qiju primenusu ponekad potrebna vrlo dugaqka izraqunavanja. Drugoj vrsti pri-padaju problemi za koje metode rexavanja nisu poznate. Elektronskemaxine i savremeni raqunari se mogu primeniti samo za rexavanjeprve vrste problema.

Od poqetka raqunarske ere, programeri testiraju svoje sposob-nosti, kvalitet svojih programa i mo� raqunara rexavaju�i problemeiz teorije brojeva. U ranoj fazi bilo je vrlo popularno izraqunavanjebroja π sa velikom taqnox�u i sliqni problemi. Otkrivanje prostih

6

brojeva nikada nije izfubilo popularnost i verovatno i ne�e.Da bih ilustrovao progres koji je uqinila elementarna teorija

brojeva za poslednjih pedeset godina, dovoljno je navesti qinjenicu daje 1950. god. najve�i poznat prost broj bio 2127−1 koji ima 39 cifara,najve�i prost broj za koji sada pouzdano znamo da postoji je broj2859433 − 1. Provera je izvrxena u laboratorijama kompanije CRAYRESEARCH u Minesoti, uz korix�enje superraqunara CRAY C 90.Kanadski matematiqar Hjug Vilijams, zahvaljuju�i svojoj intuicijii korix�enju kompjutera, otkrio je prim broj koji se sastoji od 317jedinica i dao mu ime R-317.

Sliqno stoji i sa savrxenim brojevima. Rene Dekart je rekao dasu ”savrxeni brojevi, bax kao i savrxeni ljudi, veoma retki” i za-ista, za poslednjih nekoliko godina prona�eno je samo njih trideset.Taqnije, 1950. god. je bilo poznato 12 savrxenih brojeva, deset godinakasnije 23, a najnoviji i najve�i savrxen broj je 221690 · (2216090 − 1) isadr�i 130000 cifara.

3 Deljivost celih brojeva

Ovde �emo navesti neka od osnovnih tvr�enja vezana za deljivost celihbrojeva.

Ceo broj a deljiv je celim brojem b, razliqitim od nule, ako postojiceo broj q takav da je a = bq. Ako je broj a deljiv brojem b pisa�emob|a (”b deli a”).

Ako se u jednakosti oblika

a1 + a2 + · · ·+ ak = 0

za sve sabirke osim jednog zna da su deljivi celim brojem p, onda je itaj sabirak deljiv sa p.

Svaki ceo broj a mo�e se na jedinstven naqin pomo�u datog prirodnogbroja b prikazati u obliku

a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b,

gde su q i r celi brojevi; q se naziva koliqnikom, a r ostatkom prideljenju broja a brojem b.

Ceo broj d je zajedniqki delilac brojeva a i b ako d|a i d|b. Svakiceo broj razliqit od nule ima konaqno mnogo delilaca, pa je prematome i skup zajedniqkih delilaca dva cela broja konaqan i u njemupostoji najve�i broj.

Najve�i me�u zajedniqkim deliocima brojeva a i b je najve�i zajed-niqki delilac brojeva a i b. Obele�i�emo ga sa (a, b).

Za cele brojeve a i b ka�emo da su uzajamno (relativno) prosti akoje (a, b) = 1. Oqigledno je da va�i ( a

(a,b) ,b

(a,b) ) = 1, tj. ako je d = (a, b) ia = αd, b = βd, onda su brojevi α i β uzajamno prosti.

7

Ako je d najve�i zajedniqki delilac celih brojeva a i b, onda pos-toje celi brojevi α i β takvi da je αa+ βb = d.

Ako je k > 0, onda je (ka, kb) = k(a, b).Ako je a = bq i b ≥ 0, onda je (a, b) = b.Ako je q|ab i pri tome su q i b uzajamno prosti brojevi, tj. (b, q) = 1,

onda q|a.Ako je a = bq + r, onda je (a, b) = (b, r).Postavlja se pitanje kako na�i najve�i zajedniqki delilac celih

brojeva a i b. Oqigledno je da pitanje deljivosti ne zavisi od oznaka,pa mo�emo a i b smatrati prirodnim brojevima. U skladu sa ranijeizlo�enim ne predstavlja texko�u ispitati slede�i niz jednakosti(Euklidov algoritam)

a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 ≤ b,

b = r1q2 + r2, 0 ≤ r1 ≤ r1,

r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 ≤ r2,

· · ·

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn ≤ rn−1,

rn−1 = rnqn+1.

Poxto brojevi rn qine strogo opadaju�i niz prirodnih brojeva, to�e se ovaj niz nakon konaqnog broja koraka zavrxiti, tj. do�i �emodo jednakosti oblika rn−1 = rnqn+1, koja govori o deljivosti dva uza-stopna ostatka.

Poslednji ostatak rn koji je razliqit od nule u prethodnom pos-tupku predstavlja najve�i zajedniqki delilac brojeva a i b.

Najve�i zajedniqki delilac celih brojeva a1, a2, . . . , an zovemo na-jve�i od zajedniqkih delilaca ovih brojeva i obele�avamo ga sa (a1, a2, . . . , an) =1, brojevi a1, a2, . . . , an su relativno prosti. Brojevi a1, a2, . . . , an surelativno prosti u parovima ako je (ai, aj) = 1 za i = 1, 2, . . . , n, j =1, 2, . . . , n, i 6= j.

Zajedniqkim sadrzaocem celih brojeva a1, a2, . . . , an, razliqitih odnule, nazivamo svaki broj koji je deljiv svakim od brojeva a1, a2, . . . , an.Najmanji me�u pozitivnim zajedniqkim sadr�aocima brojeva a1, a2, . . . , anzove se najmanji zajedniqki sadr�alac tih brojeva (on postoji) i obele�avase sa [a1, a2, . . . , an]. Kao i kod najve�eg zajedniqkog delioca, uvedena oz-naka za najmanji zajedniqki sadr�alac je tradicionalna i mi �emo jeovde koristiti; od drugih mogu�ih oznaka pomenimo NZS(a1, a2, . . . , an).

Ako je s = [a1, a2, . . . , an] i S ma koji zajedniqki sadr�alac brojevaa1, a2, . . . , an, onda s|S, xto �aqi da su svi zajedniqki sadr�aoci bro-jeva a1, a2, . . . , an oblika S = sq, q ∈ Z.

Brojevi (a, b) i [a, b] zadovoljavaju jednakost (a, b) · [a, b] = |ab|. Speci-jalno, najmanji zajedniqki sadr�alac uzajamno prostih brojeva jednakje apsolutnoj vrednosti njihovog proizvoda.

8

4 Prosti brojevi

Ceo broj p > 1 je prost ako p nema nijedan delilac d, 1 < d < p. Ceobroj m > 1 koji nije prost je slo�en broj.

Prosti brojevi su, na primer: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .Da bismo napisali sve proste brojeve manje od datog prirodnog

broja N, mo�emo se poslu�iti takozvanim Eratostenovim sitom (rexetom).Ispitujemo sve prirodne brojeve do N :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, . . . , N.

Precrtajmo najpre jedinicu. Poxto je prvi prost broj 2, precrtamosve brojeve deljive sa 2 i ve�e od 2 (oni su slo�eni). Slede�i prostbroj je 3 - precrtamo sve brojeve deljive sa 3 i ve�e od 3. Slede�iprost broj je 5. On je prost, jer da nije bio bi ve� prectran. Ponavl-jaju�i ovaj postupak jasno je da mo�emo izdvojitu (”kroz rexeto �epro�i”) proste brojeve manje od N. No, postupak mo�emo zavrxiti ve�kad precrtamo sve slo�ene brojeve koji su sadr�aoci prostih brojevane ve�ih od

√N.

(Euklid) Postoji beskonaqno mnogo prostih brojeva. Drugim reqima,od svakog prostog broja postoji ve�i prost broj.

Ako je dat proizvoljan prirodan broj k, uvek se mo�e na�i k uza-stopnih slo�enih brojeva.

Oznaqimo sa π(x) broj prostih brojeva, koji nisu ve�i od prirodnogbroja x. Prosti brojevi su veoma nepravilno raspore�eni u nizuprirodnih brojeva, pa je problem ispitivanja funkcije π(x) veomate�ak. Na osnovu prethodnog Euklidovog tvr�enja va�i limn→∞ π(x) =+∞. Jedan od osnovnih rezultata u teoriji brojeva predstavlja asimp-tocki zakon raspodele prostih brojeva koji su 1896. godine dokazaliAdamar i Vale-Puasen. Taj zakon glasi:

limn→∞

π(x) · lnxx

= 1.

Jox jedno va�no tvr�enje koje na neki naqin opisuje raspodeluprostih brojeva je slede�a Dirihleova teorema:

Svaki aritmetiqki niz (a+km) (k = 0, 1, 2, . . .) kod kojeg je (a,m) = 1sadr�i beskonaqno mnogo prostih brojeva.

Ako je p prost broj i p|ab, onda p|a ili p|b.Svaki prirodan broj N mo�e se jednoznaqno izraziti (reprezento-

vati) u obliku proizvoda prostih qinilaca (sa taqnox�u do njihovogporetka).

Ako se u razlaganju broja N neki qinioci ponavljaju, pa se p1 javljaα1 puta, p2 javlja α2 puta,. . . , pk javlja αk puta, onda se oblik

N = pα11 pα2

2 . . . pαk

k

zove kanonski oblik prirodnog broja N (kanonska faktorizacija). Pomo�ukanonske faktorizacije datih brojeva a i b lako se odre�uju njihovi

9

najve�i zajedniqki delilac i najmanji zajedniqki sadr�alac. Naime,ako je

a = pα11 pα2

2 . . . pαk

k , b = pβ11 pβ2

2 . . . pβk

k

(neki od brojeva αi, βi mogu biti i jednaki nuli), tada:

(a, b) = pmin(α1,β1)1 p

min(α2,β2)2 . . . p

min(αk,βk)k ,

[a, b] = pmax(α1,β1)1 p

max(α2,β2)2 . . . p

max(αk,βk)k .

Ako je proizvod dva uzajamno prosta prirodna broja kvadrat celogbroja:

ab = c2, (a, b) = 1,

tada su a i b kvadrati celih brojeva:

a = a21, b = b21.

Neka je a = pα11 pα2

2 . . . pαnn kanonska faktorizacija broja a. Tada su

svi pozitivni delioci broja a oblika:

d = pβ11 pβ2

2 . . . pβnn ; 0 ≤ β2 ≤ α2, . . . , 0 ≤ βn ≤ αn.

Specijalno, ukupan broj pozitivnih delilaca broja a (ukljuquju�i 1i samo a) je

(α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αn + 1).

Ukupan broj pozitivnih delilaca prirodnog broja a oznaqavamo saτ(a). Dakle:

τ(a) = (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αn + 1),

ako je a = pα11 pα2

2 . . . pnαn njegova kanonska faktorizacija.Funkcija f : N −→ Z je multiplikativna ako:

1. Za neko n0 ∈ N je f(n0) 6= 0,2. ako je (m,n) = 1, onda je f(mn) = f(m)f(n).

Funkcija τ je multiplikativna.

5 Kongruencije

Ako ceo broj a delimo sa 2 mo�e se dogoditi ili da bude deljiv (paran)ili da daje ostatak 1 (tada ga zovemo neparan). Na taj naqin, svi suceli brojevi razlo�eni na dve disjunktne klase brojeva, na parne ineparne brojeve. No nixta manje prirodno ne bi bilo posmatratideljenje, i ostatke pri tome, ma kojim prirodnim brojem m.

Neka je dat prirodan broj m, ve�i od 1. Dva su cela broja a i bkongruentna po modulu m ako im je razlika deljiva sa m. Pixemo

a ≡ b(modm).

10

a ≡ b (mod m) ako i samo ako je a = mt+ b za neki ceo broj t.a ≡ b (mod m) ako i samo ako brojevi a i b daju isti ostatak pri

deljenju sa m.Biti kongruentan po datom modulu je relacija ekvivalencije u

skupu celih brojeva.Ako je a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m) onda je ax+ by ≡ cx+ dy (mod

m) za svaka dva cela broja x, y.Ako je a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m) onda je ac ≡ bd (mod m).Ako je a ≡ b (mod m) i m = αd, d > 1, onda je a ≡ b (mod d).Neka je P (x) polinom po x sa celim koeficijentima; onda iz a ≡ b

(mod m) sledi da je P (a) ≡ P (b) (mod m).Ako je (a,m) = 1 i ax ≡ ay (mod m), onda je x ≡ y (mod m).ax ≡ ay(modm) ako i samo ako x ≡ y(mod m

(a,m) ).x ≡ y (mod a) i x ≡ y (mod b) ako i samo ako x ≡ y (mod [a, b]).Svi celi brojevi koji su kongruentni po datom modulu obrazuju

jednu klasu brojeva. Tako po modulu 3 imamo tri klase brojeva:1. klasu brojeva oblika 3k koji su deljivi sa 3, odnosno kongru-

entni su nuli po modulu 3;2. klasu brojeva oblika 3k + 1 koji prilikom deljenja sa 3 daju os-

tatak 1, odnosno kongruentni su jedinici po modulu 3;3. klasu brojeva oblika 3k + 2 koji prilikom deljenja sa 3 daju os-

tatak 2, odnosno kongruentni su dvojci pi modulu 3.Od posebnog je interesa za dalje izlaganje takozvani svedeni sistem

ostataka po datom modulu m koji se dobija ako se iz potpunog sistemaostataka odstrane brojevi koji nisu uzajamno prosti sa m. Tako, naprimer za m = 12 dobijamo svedeni sistem ostataka 1, 5, 7, 11. Lako jedokazati da �e u svedenom sistemu ostataka po datom modulu m uvekbiti isti broj elemenata, bez obzira od kog sistema da po�emo.

Broj prirodnih brojeva koji nisu ve�i od datog prirodnog brojam i relativno su prosti sa njim, tj. broj elemenata proizvoljnog sve-denog sistema ostataka po modulu m oznaqava se sa ϕ(m). Funkcija ϕzove se Ojlerova funkcija.

S obzirom da su za prost broj p svi elementi skupa 1, 2, . . . , p, semp, uzajamno prosti sa p, to je ϕ(p) = p− 1.

Ojlerova funkcija ϕ je multiplikativna.Ako je n = pα1

1 pα22 . . . pαk

k kanonska faktorizacija broja n, onda

ϕ(n) = n(1− 1p1

)(1− 1p2

) . . . (1− 1pk

).

Neka je (a,m) = 1 i neka je α1, α2, . . . , αk potpun (sveden) sistem os-tataka po modulu m. Tada je aα1, aα2, . . . , aαk isto tako potpun (sveden)sistem ostataka po modulu m.

(Ojlerova teorema) Ako je (a,m) = 1, onda je

aϕ(m) ≡ 1(modm).

11

(”Mala” Fermaova teorema) Ako je p prost broj i p ne deli a, ondaje ap−1 ≡ 1 (mod p).

Ako je p prost broj i a proizvoljan ceo broj, va�i ap ≡ a (mod p).Najmanji od prirodnih brojeva t za koje va�i

at ≡ 1(modm)

naziva se poretkom broja a po modulu m.Ako je t poredak broja a po modulu m i as ≡ 1 (mod m), tada t|s.

Specijalno t|ϕ(m).Ako je t poredak broja a po modulu m, tada je

ax ≡ ay(modm)

ako i samo ako je x ≡ y (mod t).Ako je poredak broja a po modulu m jednak ϕ(m), broj a se naziva

primitivnim korenom po modulu m.Ako je a primitivan koren po modulu m, brojevi

1 = a0, a, a2, . . . , aϕ(m)−1

obrazuju svedeni sistem ostataka po modulu m.Ako je p prost broj i a primitivan koren po modulu p, tada brojevi

1, a, a2, . . . , ap−2 obrazuju svedeni sistem ostataka po modulu p.(Vilsonova teorema) Ako je p prost broj, va�i:

(p− 1)! ≡ −1(modp).

(Paskalov metod) Da bi broj a = anan−1 . . . a1a0 =∑ni=0 ai · 10i bio

deljiv prirodnim brojem m, neophodno je idovoljno da je sa m deljivzbir

anrn + an−1rn−1 + · · ·+ a1r1 + a0r0,

gde su ri proizvoljni celi brojevi za koje va�i 10i ≡ ri(mod m) (i =0, 1, 2, . . . , n).

Da bi za neko t ∈ N broj a = an . . . a1a0 bio deljiv sa 2t (odnosno5t), neophodno je i dovoljno da je sa 2t(5t deljiv broj at−1 . . . a1a0.

Neka je t takav broj da je 10t ≡ 1 (mod m). Da bi broj a bio deljivsa m, neophodno je idovoljno da je sa m deljiv zbir brojeva koji sedobijaju podelom zdesna nalevo broja a na grupe po t cifara.

Neka je t takav broj da je 10t ≡ −1 (mod m). Da bi bilo m|a,neophodno je idovoljno da je sa m deljiv zbir brojeva koji se dobijajuna isti naqin kao u prethodnom sluqaju, ali im se jox neizmeniqnopromeni znak.

6 Diofantove jednaqine

1. Jednaqine oblika ax+ by = cOqigledno je da se svaka linearna jednaqina sa dve promenljive i

12

celobrojnim koeficijentima mo�e svesti na jednaqinu oblika ax+by =c.

Videli smo da u sluqaju c = (a, b) ova jednaqina ima rexenja uskupu celih brojeva. Pri tome se za odre�ivanje brojeva x i y mo�ekoristiti Euklidov algoritam.

Ako broj c nije deljiv sa d = (a, b) jednaqina ne mo�e imati celo-brojnih rexenja jer je leva strana sigurno deljiva sa d, a desna tonije.

Ako je c deljivo sa d, onda je oqigledno da jednaqina ax + by = cima rexenje x1 = c

dx0, y1 = cdy0, gde je par (x0, y0) rexenje jednaqine

ax + by = d. U tom sluqaju jednaqina ima beskonaqno mnogo rexenja.Pretpostavimo da je (u, v) ma koji ure�en par celih brojeva koji zado-voljava jednaqinu ax + by = c. Onda je au + bv = c. Sa druge strane jeax1 + by1 = c. Prema tome imamo da je

au+ bv = ax1 + by1,

odakle jea

d(u− x1) +

b

d(v − y1) = 0.

Poxto je (ad ,bd ) = 1, imamo da je u− x1 deljivo sa b

d i v − y1 deljivo saad , xto daje

u = x1 +b

dt, v = y1 −

a

dt, t ∈ Z.

Lako se proverava da dobijeni par (u, v) za proizvoljno t ∈ Z zadovol-java datu jednaqinu.

Linearna Diofantova jednaqina ax+ by = c ima rexenja ako i samoako d|c, gde je d = (a, b). U tom sluqaju je opxte rexenje jednaqineoblika

x =c

dα+

b

dt, y =

c

dβ − a

dt, (t ∈ Z),

gde se posebno rexenje (α, β) jednaqine aα+ bβ = d dobija Euklidovimalgoritmom.

2. Jednaqina oblika x2 + y2 = z2

Potra�imo prirodne brojeve x, y, z koji zadovoljavaju jednaqinux2 + y2 = z2. Rexenja te jednaqine predstavljaju takozvane Pitagorinetrojke, jer ako ti brojevi predstavljaju du�ine stranica nekog trougla,dobijamo, prema Pitagorinoj teoremi, da je taj trougao pravougli.Pri tom, �elja nam je da na�emo sva rexenja.

Pretpostavimo da x, y, z nemaju zajedniqkih delilaca. U protivnommo�emo skratiti jednaqinu sa α2, gde je α zajedniqki delilac bro-jeva x, y i z. Takvo rexenje (x, y, z) date jednaqine nazovimo primi-tivnim rexenjem. Jasno je da nala�enje svih primitivnih rexenja(x, y, z) nalazimo i ostala, jer su ona oblika (αx, αy, αz), α ∈ N.

Doka�imo da od brojeva x, y jedan mora biti paran, a drugi neparan

13

i da je x neparan broj. Ako su x i y parni brojevi, onda i z mora bitiparan, pa se jednaqina mo�e skratiti. Ako su x i y neparni brojevi,onda je z2 = x2 + y2 ≡ 1 + 1 = 2 (mod 4), xto se lako proverava da jenemogu�e.

Neka je x = 2α paran, a y neparan broj. Data jednaqina mo�e senapisati u obliku

x2 = z2 − y2 = (z − y)(z + y).

Oba qinioca na desnoj strani su parni brojevi (predstavljaju razlikui zbir dva neparna broja), pa su brojevi

u =z + y

2, u =

z − y2

celi. Dobijamo da je x2 = 4α2 = 4uv, pa je α2 = uv. Lako je dokazatida brojevi u i v nemaju zajedniqkih delilaca, pa sledi da oni morajubiti kvadrati velih brojeva, recimo

u = m2, v = n2,

pri qemu m i n nemaju zajedniqkih delilaca i razliqite su parnosti.Dobijamo da je:

x = 2α = 2mn,

y = u− v = m2 − n2,

z = u+ v = m2 + n2

(m,n ∈ N ; (m,n) = 1,m > n;m,n su razliqite parnosti.)Da bi ure�ena trojka (x, y, z) predstavljala primitivno rexenje jed-

naqine x2 + y2 = z2 u skupu prirodnih brojeva, neophodno je idovoljnoda se x, y i z izra�avaju u obliku

x = m2 − n2; y = 2mn; z = m2 + n2

(m,n ∈ N ; (m,n) = 1;m > n;m,n su razliqite parnosti.)

3. Velika Fermaova teoremaPoznati francuski matematiqar Pjer Ferma bio je jedan od os-

nivaqa savremene teorije brojeva. Postavio je niz problema qije jerexavanje dovelo do znaqajnih dostignu�a. Svakako je najvixe naporaulo�eno i najvixe pokuxaja uqinjeno da se doka�e (ili opovrgne) nje-govo tvr�enje koje je nazvano ”velikom” Fermaovom teoremom. Fermaga je iskazao u kratkoj noti na marginama jedne Diofantove knjige iglasi:

Ako je n ma koji prirodan broj ve�i od 2, onda jednaqinu

xn + yn = zn

14

ne mogu zadovoljavati nikakva tri prirodna broja x, y, z.Ferma je dopisao: ”Naxao sam izvanredan dokaz ovog tvr�enja, ali

je prostora u knjizi malo da bi se dokaz mogao smestiti.”

4. Kvadratne kongruencijeRexavanje linearne Diofantove jednaqine ax+ by = c ekvivalentno

je rexavanju linearne kongruencije ax ≡ c (mod b). Sliqno se mo�epostaviti i pitanje rexavanja kongruencije

f(x) ≡ c(modm),

gde je f(x) proizvoljan polinom sa celim koeficijentima. Pri tom jejasno da je dovoljno na�i sva rexenja te jednaqine u skupu 0, 1, . . . ,m− 1,jer ako je x bilo koje rexenje, tada je i svaki broj iz njegove klasekongruencije po modulu m tako�e rexenje jednaqine. U ovom odeljkunavex�emo nekoliko rezultata o kongruencijama drugog stepena naj-jednostavnijeg oblika

x2 ≡ a(modp), (a, p) = 1,

gde je p neparan prost broj.Jasno je da ako je x1 neko rexenje te jednaqine, tada je i −x1 njeno

rexenje, razliqito (po modulu p) od x1. Zaista, (−x1)2 ≡ x21 (mod

p), a brojevi x1 i −x1 su razliqiti po modulu p, jer bi x1 ≡ −x1

(mod p) imalo za posledicu 2x1 ≡ 0 (mod p), xto je nemogu�e zbog(2, p) = (x1, p) = 1.

U svedenom sistemu ostataka 1, 2, . . . , p− 1 po modulu p ima taqnop−12 brojeva koji su kongruentni kvadratima celih brojeva po modulup.

(Ojlerov kriterijum) Ako je p neparan prost broj i (a, p) = 1, tadajednaqina x2 ≡ a (mod p), (a, p) = 1, ima dva ili nijedno rexenje, zav-isno od toga da li je a

(p−1)2 ≡ 1 ili a

p−12 ≡ −1 (mod p).

7 Diofantove aproksimacije

1. Racionalni i iracionalni brojeviRealni broj α zovemo racionalnim ako se mo�e napisati u obliku

α =p

q, p ∈ Z, q ∈ N.

Realni broj koji se tako ne mo�e napisati zovemo iracionalnim. Skupracionalnih brojeva oznaqava�emo sa Q.

Postojanje iracionalnih brojeva bilo je poznato jox starogrqkimmatematiqarima. Smatra se da je iracionalnost broja

√2 dokazao

Pitagora ili neko od njegovih uqenika.

15

Neka je f(x) = xn + c1xn−1 + . . . + cn−1x + cn polinom sa celim ko-

eficijentima i realan broj α koren tog polinoma. Tada, ili je α ceobroj ili je iracionalan.

Ako prirodan broj a nije n−ti stepen nijednog celog broja, ondaje n√a iracionalan broj.

Ako je α ∈ Q, onda postoji realan broj c > 0, takav da je za svakiracionalan broj a

b 6= α ispunjena jednakost:

|α− a

b| ≥ c

b.

Ako za svaki pozitivan broj c postoji bar jedan par celih brojevaa, b takvih da je a

b 6= α i

|α− a

b| < c

b,

onda je α iracionalan broj.Broj e je iracionalan.Realan broj α je racionalan ako i samo ako je njegov decimalni

zapis periodiqan.Neka je α = p

q racionalan broj, (p, q) = 1.1. Broj α ima konaqan decimalan zapis ako i samo ako je q = 2a · 5b(a, b ∈ N ∪ {0}).2. Broj α ima beskonaqan prosto-periodiqan zapis ako i samo ako je(q, 10) = 1.

Neka je (q, 10) = 1, 1 ≤ p ≤ q i (p, q) = 1. Tada decimalni zapis brojapq ima s cifara u periodi, gde je s poredak broja 10 po modulu q.

2. Algebarski i transcedentni brojeviKompleksan (specijalno, realan) broj α je algebarski ako je on ko-

ren nekog polinoma sa celim koeficijentima koji nisu svi jednakinuli. Ako takav polinom za broj α ne postoji, α je transcedentanbroj.

Kako iz f(α) = 0 sledi f(α)g(α) = 0 za proizvoljan polinom g(x) sacelim koeficijentima, jasno je da za svaki algebarski broj α postojibeskonaqno mnogo polinoma sa celim (racionalnim) koeficijentimaqiji je on koren. Od svih takvih polinoma obiqno se posmatra onajnajmanjeg stepena.

Broj n je stepen algebarskog broja α ako je α koren polinoma ste-pena n sa celim (racionalnim) koefivijentima i ne postoji polinomstepena ni�eg od n sa celim (racionalnim) koeficijentima qiji je αkoren.

(Liuvilova teorema) Za svaki realan algebarski broj α stepenan ≥ 2 postoji takva pozitivna konstanta c da je za svaki racionalanbroj p

q :

|α− p

q| ≥ c

qn.

16

Ako za svako c > 0 i svako n ∈ N postoji racionalan broj pq 6= α,

takav da je|α− p

q| < c

qn,

onda je α transcedentan broj.Brojevi π i e ne samo da su iracionalni, ve� su i transcedentni.

Za broj e to je prvi dokazao Ermit 1863. godine, a za π Lindeman 1882.godine. Dokaz transcedentnosti broja π imao je za posledicu konaqnorexavanje vekovnog problema kvadrature kruga-nije mogu�e, slu�e�ise lenjirom i xestarom, konstruisati kvadtar qija je povrxina jed-naka povrxini datog kruga.

Za konkretne brojeve problem odre�ivanja da li su oni algebarskiili transcedentni qesto je veoma te�ak. Metodom Ermita-Lindemanamo�e se dokazati transcedentnost svih brojeva oblika lnα gde je αpozitivan algebarski broj, razliqit od 1. Me�utim, za mnoge bro-jeve, na primer 2

√2, log2 3, eπ, do odgovora se ne mo�e do�i na taj naqin.

Geljfond je 1934. godine dokazao da su svi brojevi oblika αβ transce-dentni, pod pretpostavkom da je α algebarski broj, razliqit od 0, 1, aβ algebarski iracionalan. Za neke brojeve koji se qesto sre�u ni dodanas se ne zna da li su algebarski ili transcedentni. Na primer,Ojlerova konstanta C, poznata iz matematiqke analize, jeste broj zakoji se qak ne zna ni da li je racionalan ili iracionalan.

(Dirihleova teorema) Neka je α proizvoljan realan broj i t ∈ N.Tada postoji racionalan broj p

q , takav da va�i

|α− p

q| < 1

qt; 0 < q ≤ t.

Primetimo da je pretpostavka da je t prirodan broj nebitna; uzmalu izmenu dokazuje se da teorema va�i za svaki realan broj t ≥ 1.Primetimo dalje da iz nejednakosti teoreme sledi da je, zbog 0 < q ≤ t,

|α− p

q| < 1

q2.

Mo�e se dokazati da za iracionalne α imenilac q u prethodnoj nejed-nakosti mo�e da bude proizvoljno veliki, pa va�i:

Za svaki iracionalan broj α nejednaqina |α−pq | <1q2 ima beskonaqno

mnogo rexenja po p ∈ Z, q ∈ N.Dakle, iracionalni brojevi se mogu ”bolje” aproksimirati racional-nim brojevima nego sami racionalni brojevi.

8 Vajlsova poruka matematiqarima

Francuski matematiqar Pjer de Ferma izrekao je 1637. godine tvrd-jenje koje glasi:

17

”Ni za jedan prirodan broj n > 2 ne postoje tri prirodna broja x, y, zza koje va�i

xn + yn = zn.”

Ferma je tvrdio da je dokazao svoju teoremu, ali ni na jednom njegovomsaquvanom spisu nema ni traga otom dokazu.

Priqa o Fermaovoj poslednjoj teoremi neraskidivo je povezana saistorijom matematike i dodiruje sve glavne teme koje se tiqu teorijebrojeva. Fermaova poslednja teorema ima svoje korene u matematiciantiqke Grqke, 2000 godina pre nego xto je Ferma postavio problemu formi koju danas poznajemo. Njen direktan predak je Pitagorinateorema.

Teoremu je, 358 godina od njene formulacije, dokazao 41−nogodixnjienglez Endru Vajls. Posle knjige iz teorije brojeva, koju je osmakuVajlsu dao njegov nastavnik matematike, poslednja Fermaova teoremaje postala njegova najve�a strast. Odluqio je da prona�e Fermaovoizgubljeno rexenje. Nakon dugogodixnjeg mukotrpnog rada (7 godina),Vajls je u junu 1993.godine objavio rexenje pomenute teoreme u sklopuniza od tri predavanja koja je dr�ao na institutu ”Isak Njutn” uKembrid�u.

Dva rada, koja su se sastojala od ukupno 130 stranica, bili su na-jstro�e pregledani matematiqki radovi u istoriji i najzad su biliobjavljeni u matematiqkom qasopisu AnnalsofMathematics maja 1995.godine. Vajlsov dokaz se oslanja na dokazivanje konjekture ro�ene1950. godine. Logiqki dokaz koristi seriju matematiqkih tehnika,razvijenih u poslednjoj deceniji, od kojih je neke izmislio sam Vajls.Dokaz je remek-delo moderne matematike,xto dovodi do neizbe�nihzakljuqaka da Vajlsov dokaz poslednje teoreme nije isti kao Fermaov.Ferma je zapisao da njegov dokaz ne bi stao na margine njegove kopijeDiofantove ”Aritmetike”.

I mada je Vajls morao da pribegne metodama 20. veka da bi dokazaozagonetku iz 17. veka, on je, uspeo da savlada Fermaov izazov, premapravilima Volfskelovog komiteta Endru Vajls je zato 1997. godinedobio Volfskel nagradu vrednu 50000$. Tako je Fermaova poslednjateorema zvaniqno bila rexena.

Da bi matematici mogao pokloniti jedan od najve�ih dokaza, Vajlsje znao da ju je morao lixiti njene najve�e zagonetke: ”Ljudi su migovorili da sam im odneo problem i pitali su me da li im mogu datineki drugi. Postojalo je ose�anje melanholije. Izgubili smo nextoxto je bilo sa nama tako dugo, nexto xto je mnoge od nas privuklomatematici. Verovatno je to uvek tako sa matematiqkim problemima.Prosto, moraju se prona�i novi, koji �e i dalje dr�ati naxu pa�nju.”

Iako je Vajls rexio jedan od najquvenijih teorema u matematici,oni koji vole da rexavaju probleme, xirom sveta, ne bi trebaloda gube nadu zato xto postoji qitav niz jox uvek nerexenih matem-atiqkih problema. Mnogi od njih su iz teorije brojeva!

18

Sadr�aj

1 Uvod u teoriju brojeva 1

2 Kratak istorijski pregled teorije brojeva 2

3 Deljivost celih brojeva 7

4 Prosti brojevi 9

5 Kongruencije 10

6 Diofantove jednaqine 12

7 Diofantove aproksimacije 15

8 Vajlsova poruka matematiqarima 17

Literatura

[1] Vladimir Mi�i�, Zoran Kadelburg: Uvod u teoriju brojeva,2.izdanje, Druxtvo matematiqara Srbije, Beograd 1989

[2] I.Niven, H.S.Zuckerman : An Introduction to the Theory ofNumbers, 4th ed., John Wiley & Sons, New Y ork 1980

[3] I. M. Vinogradov: Osnovi teorii qisel, izd. 8−oe, �Nauka�,Moskva 1972

[4] Internet

19