Atividade 2: Termometro

Problema proposto: Analisar o deslocamento do fluido (xo) do termometroem funcao do tempo, dada uma diferenca de temperatura (∆T ).

Equacao diferencial:

Calor que entra− Calor que sai = Energia armazenada

UAb(Ti − Tt,f ) dt− 0 = Vb ρC dTt,f

UAbTi − UAbTt,f = Vb ρCdTt,fdt

Vb ρCdTt,fdt

+ UAbTt,f = UAbTi

Substituindo xo =KexVbAc

Tt,f , tem-se:

ρCAc

Kex

dxodt

+UAbAc

KexVbxo = UAbTi (1)

Utilizando τ =ρCVbUAb

[s] eK =KexVbAc

[ m◦C

], e possıvel reescrever a equacao

(1) da seguinte forma:

τ

K

dxodt

+1

Kxo = Ti (2)

Solucao:

Os parametros encontrados para a solucao da equacao (1) sao baseados emum termometro de vidro cilındrico preenchido com mercurio. O termometropossui as seguintes dimensoes:Comprimento do bulbo: L = 0.012mDiametro externo do bulbo: dout = 0.005mDiametro interno do bulbo: din = 0.003mEspessura do vidro: t = 0.001mDiametro do capilar: dc = 0.0003m

Propriedades fısicas:Mercurio (Hg) Vidro (g)

ρ(

kgm3

)13550 2000

C(

JkgK

)139, 4 800, 0

Kex

(m3

m3·◦C

)1, 8 · 10−4 0, 2 · 10−4

1

Consideracoes realizadas:1. Sera considerada a capacidade de armazenamento de calor do vidro. Logo,τ sera escrito como:

τ =CHgmHg + Cgmg

UAb[s]

2. Tanto a expansao do mercurio como a expansao do vidro serao contabilizadas.Se a expansao do vidro nao fosse considerada, o resposta do deslocamento domercurio seria maior do que a realidade. Para considerar este efeito, sera uti-lizado um coeficiente de expansao diferencial equivalente K ′ex = Kex,Hg−Kex,g.Portanto, K sera escrito como:

K =K ′exVbAc

=(Kex,Hg −Kex,g)Vb

Ac

[ m◦C

]3. A massa de fluido dentro do bulbo e constante. O volume de fluido que saido bulbo para preencher o capilar e muito menor do que o fluido restante nobulbo.

4. Os valores de calor especıfico do vidro e do mercurio sao considerados con-stantes, pois nao ha uma grande diferenca de temperatura.

5. Hipoteses utilizadas na modelagem do coeficiente global de transferenciade calor U :a) O aumento da area do bulbo Ab devido a expansao do vidro nao sera levadaem consideracao para o calculo da transferencia de calor;b) Nao ha gradiente de temperatura no mercurio, pois o mercurio possui umacondutividade termica muito maior que condutividade do vidro;c) A temperatura da superfıcie interna do bulbo sera considera igual a temper-atura do mercurio (Ts,2 = Tt,f ), portanto nao havera armazenamento de calornem resistencia a troca de calor na interface vidro-mercurio;d) A transferencia de calor ocorre apenas no bulbo, nao havendo trocas de en-ergia atraves do haste do termometro;e) O coeficiente global de transferencia de calor U e constante, pois nao hagrande diferenca de temperatura.A parir destas consideracoes, o coeficiente global de transferencia de calor Upode ser calculado como:

1

U=

1

h+ln(

rout

rin

)2πLkg

Calculos:

1. Volumes:

a) Volume do bulbo: Vb =πd2in

4L = 8, 48 · 10−8m3

b) Volume de vidro: Vg =πL

4(d2out − d2in) = 1, 51 · 10−7m3

c) Volume total: Vt = Vb + Vg = 2, 36 · 10−7m3

2. Areas:a) Area do bulbo: Ab = πdoutL = 1, 88 · 10−4m2

2

b) Area do capilar: Ab =πd2c4

= 7, 07 · 10−8m2

3. Massas:a) Massa do mercurio: mHg = ρHgVb = 1, 15 · 10−3 kga) Massa do vidro: mg = ρgVg = 3, 02 · 10−4 kg

4. Coeficiente global de transferencia de calor U :Para determinar U e preciso calcular primeiro o valor do coeficiente convectivoh. A equacao que governa a transferencia de calor por conveccao e:

qconv = hA(T∞ − Ts,1)

Como a temperatura da superfıcie externa do termometro (Ts,1) nao e con-hecida, e preciso resolver o problema da transferencia de calor por convecao epor conducao simultaneamente. A equacao que governa a transferencia de calorpor conducao e:

qcond = −2πtkg(Ts,1 − Ts,2)

ln(

rout

rin

)Fazendo Ts,1 = T e aplicando a hipotese 5.c) (Ts,2 = Tt,f ), temos o seguinte

sistemas de equacoes:

qconv = hA(T∞ − Ts) (3)

qcond = −2πtkg(Ts − Tt,f )

ln(

rout

rin

) (4)

A solucao deste sistema foi

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