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POLITECNICO DI MILANO
Facoltà di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Simulazione del comportamento
meccanico-funzionale
di un centro di lavoro
Relatore: Ch.mo Prof. Michele MONNO
Correlatore: Dott. Ing. Giacomo BIANCHI
Tesi di Laurea di:
Paolo ALBERTELLI
Matr. 650078
Anno accademico 2003-2004
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 1
INDICE
INDICE ............................................................................................................................................................ 1
INTRODUZIONE ........................................................................................................................................... 3
1 DESCRIZIONE DEL CENTRO DI LAVORO ......................................................................................... 6
1.1 GENERALITÀ............................................................................................................................................ 6
1.2 MACCHINA A MANDRINO VERTICALE .................................................................................................... 12
2 MODELLAZIONE .................................................................................................................................... 18
2.1 MODELLO COMPLESSIVO ....................................................................................................................... 19
2.2 MODELLO DELLA MACCHINA UTENSILE ................................................................................................ 20
2.2.1 Struttura meccanica ...................................................................................................................... 20
Aspetti modellati ................................................................................................................................................ 20
Modello Dymola della struttura.......................................................................................................................... 23
2.2.2 Catene cinematiche....................................................................................................................... 41
Aspetti modellati ................................................................................................................................................ 42
Modelli Dymola delle catene cinematiche ......................................................................................................... 47
2.3 MODELLO DELL’AZIONAMENTO ............................................................................................................ 61
Considerazioni.................................................................................................................................................... 61
Modello dell’azionamento.................................................................................................................................. 66
2.4 MODELLO DELL’UTENSILE..................................................................................................................... 73
2.5 MODELLO DEL “PEZZO-PROCESSO” ....................................................................................................... 76
3 DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI............................................................................................... 82
3.1 PARAMETRI MECCANICI MACCHINA UTENSILE....................................................................................... 82
3.1.1 Premessa sulla determinazione dei valori di smorzamento .......................................................... 82
3.1.2 Struttura meccanica ...................................................................................................................... 84
3.1.3 Catene cinematiche....................................................................................................................... 96
3.2 VERIFICA PARAMETRI MECCANICI DELLA MACCHINA UTENSILE......................................................... 110
3.3 TARATURE AZIONAMENTI.................................................................................................................... 131
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3.3.1 Considerazioni ............................................................................................................................ 131
Procedura di taratura nel tempo........................................................................................................................ 133
3.3.2 Taratura asse U .......................................................................................................................... 135
Taratura anello di velocità................................................................................................................................ 142
Taratura anello di posizione ............................................................................................................................. 167
3.3.3 Risultato tarature assi................................................................................................................. 177
4 PROCESSO DI TAGLIO ........................................................................................................................ 178
4.1 FRESATURA CON MECCANICA RIGIDA .................................................................................................. 178
4.2 STABILITÀ DEL PROCESSO DI TAGLIO................................................................................................... 184
5 VALIDAZIONE MODELLO.................................................................................................................. 189
5.1 ANALISI MECCANICA DELLA STRUTTURA ............................................................................................ 189
5.2 TARATURA ASSI ............................................................................................................................. 191
5.3 ESECUZIONE DI UNA TRAIETTORIA IMPOSTA............................................................................ 195
5.3.1 Attrito nelle guide ....................................................................................................................... 195
5.4 PROVE DI LAVORAZIONE .................................................................................................................. 202
6 SVILUPPI ................................................................................................................................................. 206
6.1 STRUTTURA DEFORMABILE.................................................................................................................. 206
7 CONCLUSIONI ....................................................................................................................................... 213
APPENDICI................................................................................................................................................. 216
1 CODICI MODELICA DEI MODELLI REALIZZATI ......................................................................................... 216
2 APPENDICE DYMOLA.............................................................................................................................. 223
2.1 Generalità su Dymola-Modelica.................................................................................................... 223
2.2 Terminali utilizzati nel modello della Macchine Utensili .............................................................. 227
2.3 Altri ambienti di simulazione ......................................................................................................... 229
BIBLIOGRAFIA......................................................................................................................................... 235
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 3
INTRODUZIONE
In questo lavoro di tesi si è realizzato un modello dinamico di un centro di lavoro, il cui
nome commerciale è “EVENT” ed è prodotto dall’azienda “EMMEOTTO”.
Successivamente si è simulato ed analizzato il comportamento del modello creato.
Il modello dinamico della macchina utensile è stato realizzato in ambiente Dymola,
acronimo di “Dynamics Modeling Laboratory” che sfrutta il linguaggio ad oggetti
“Modelica”(vedere appendice [1]). In Dymola vengono generalmente gestiti modelli a-
causali ovvero modelli che interagiscono tra loro solo attraverso terminali di connessione.
In questi modelli non vengono quindi definiti gli ingressi, le uscite e gli stati. Con questa
filosofia è possibile creare modelli semplicemente scrivendo le equazioni che descrivono
gli aspetti della realtà fisica che si vogliono modellare, facendo attenzione a specificare le
relazioni tra le variabili e le grandezze fisiche associate ai terminali di connessione. In
Dymola è piuttosto semplice modificare modelli o sostituirne alcuni con versioni più
dettagliate. Questo pacchetto software permette di modellare e far interagire tra loro
modelli appartenenti a domini differenti. In Dymola si ottengono modelli che, anche
all’apparenza, sono piuttosto aderenti alla realtà fisica.
Per ulteriori chiarimenti si faccia riferimento comunque all’appendice [1].
E’ proprio nel creare un modello di una macchina utensile che si sfrutta la possibilità di
una modellazione multidominio al fine di valutare il comportamento simulato del centro di
lavoro.
Nella tesi si sono modellati vari aspetti riguardanti una macchina utensile come quello
della struttura meccanica, delle catene cinematiche, quello relativo all’azionamento ed
inoltre, si sono trattati quelli associati all’utensile, al processo di taglio e al pezzo.
Si è deciso di modellare tutti gli aspetti elencati per avere un modello finale completo del
sistema centro di lavoro-processo-pezzo.
Relativamente alle considerazioni su ciò che si è modellato si propone lo schema
esplicativo di Figura 1.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Figura 1: Schema topologico degli aspetti modellati
Si è deciso di modellare, anche se in alcune parti molto semplicemente, tutti i blocchi dello
schema per ottenere una visione complessiva del problema trattato e per poter sfruttare la
principale caratteristica di Dymola ovvero l’estrema modularità dei suoi modelli.
In questo modo alcuni modelli del sistema potranno eventualmente essere sostituiti da altri
più complessi e dettagliati senza dover stravolgere l’intera architettura del sistema.
La filosofia dell’”analisi meccatronica” è quella di ottenere modelli numerici del sistema
reale che possano fornire , in fase di progettazione, informazioni significative sul
comportamento della macchina.
In questo lavoro di Tesi si è cercato di creare una sorta di libreria di componenti con la
quale modellare un centro di lavoro ed un ipotetico processo di lavorazione.
In definitiva, considerando il grado di dettaglio della modellazione, si sono ottenute dal
modello numerico le seguenti informazioni:
• Rigidezze statiche al mandrino relative alle direzione dei tre assi della parte
meccanica
AZIONAMENTO
CONTROLLO
ASSI
MACCHINA UTENSILE
PROCESSO DI TAGLIO
forze
pezzo-utensile
coppie motori
posizione
pezzo-utensile
segnale
sensori
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• Caratterizzazione dinamica della parte meccanica con determinazione dei modi
principali di vibrare e relativi smorzamenti
• Si sono realizzate le tarature dei vari assi e se ne sono determinate le relative bande
passanti di velocità e di posizione
• Si è modellato il processo di taglio e se ne è individuato un possibile limite di
stabilità
• Si è simulato un processo di lavorazione di fresatura
• Si è simulato l’effettiva realizzazione di una traiettoria imposta.
Alcune di queste simulazioni sono state utilizzate, confrontandole opportunamente con i
dati relativi alla macchina reale, per validare il modello realizzato.
I risultati ottenuti, come del resto il grado di dettaglio dei modelli proposti e gli attuali
limiti, verranno illustrati nel corso della presentazione del lavoro e verranno riepilogati
nella parte conclusiva.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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1 DESCRIZIONE DEL CENTRO DI LAVORO
1.1 GENERALITÀ
Event di Emmeotto è una macchina che abbina le caratteristiche di un centro di lavoro
orizzontale a quelle di uno verticale. Il prodotto di Emmeotto, essendo dotato di un asse
mandrino verticale, di uno orizzontale e di una tavola girevole, permette, senza effettuare
ulteriori posizionamenti, di lavorare un pezzo meccanico su cinque delle sue facce. La
filosofia progettuale descritta, grazie appunto alla riduzione dei riposizionamenti, permette
di aumentare notevolmente la precisione delle lavorazioni, di ottenere una discreta
flessibilità e di ridurre sensibilmente i tempi di ciclo con conseguente incremento della
produttività.
Figura 2: Fotografia Event
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La struttura è di tipo modulare e i moduli sono identici sia per la testa verticale sia per
quella orizzontale. Entrambi i moduli poggiano su basamenti monolitici in acciaio
elettrosaldato con tutti gli alloggiamenti e le lavorazioni necessarie per supportare gli altri
gruppi. Su entrambi i basamenti elettrosaldati scorre un carro in ghisa che porta una testa in
cui è alloggiata la cartuccia mandrino dotata di attacco HSK 63.
I movimenti del carro avvengono mediante guide a ricircolo di rulli pre-caricati e
comandati attraverso viti a ricircolo di sfere. Su tutti gli assi sono montate righe ottiche
pressurizzate.
La parte verticale ed orizzontale della macchina possiedono lo stesso carrello in ghisa, la
stessa testa, lo stesso canotto, la stessa cartuccia mandrino. Sostanzialmente il medesimo
modulo può essere configurato sia verticalmente che orizzontalmente.
E’ importante sottolineare che la stabilità e la precisione del gruppo con mandrino verticale
è garantita proprio dalla struttura a portale
Figura 3: Configurazione orizzontale e verticale del medesimo modulo
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Figura 4: Modulo configurabile
Nel basamento è ricavato direttamente l'alloggiamento per la tavola girevole .
La tavola non subisce movimenti di traslazione a croce poiché sono gli assi dei moduli che
vanno a posizionare il mandrino in corrispondenza dei punti voluti per la lavorazione del
pezzo.
La tavola girevole è costruita in fuso unico: motore, lettura di posizione, bloccaggio sono
tutti su un unico asse e non sono presenti trasmissioni al fine di eliminare le possibili
imprecisioni generate dalla meccanica.
La tavola ha la possibilità di esercitare una coppia di 1.000 Nm e può essere bloccata in
posizione da un freno a disco attraverso una coppia frenante massima di 4000 Nm.
II carico e il bloccaggio dei pallet avvengono idraulicamente mentre il mantenimento delle
prestazioni durante le lavorazioni è meccanico. Proprio in virtù di questo blocco
meccanico, durante la lavorazione, viene tolto il bloccaggio idraulico al fine di evitare di
mantenere fluidi in pressione.
Il sistema di raffreddamento della tavola girevole è realizzato attraverso un circuito
dedicato, in modo da avere un raffreddamento ad hoc per questo particolare.
Gli elettromandrini sono di progettazione Emmeotto. All'interno di ciascun mandrino sono
alloggiati un rotore e uno statore Siemens con un bloccaggio utensile HSK63,
espressamente sviluppato per l'alta velocità.
La velocità di rotazione può raggiungere i 12.000 giri/minuto.
Sono due le gamme di potenza dei mandrini disponibili sulla Event: 24 kW e 33 kW . E’
previsto inoltre il passaggio all'interno del mandrino del liquido refrigerante. II
condizionamento dei cuscinetti e dei motori è indipendente l'uno rispetto all'altro.
Questo permette di ottenere temperature ottimali su ciascuno dei particolari presi in
considerazione senza dover accettare che l’impianto sia costretto a mediare fra le esigenze
dei motori e quelle dei cuscinetti.
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La tavola girevole, grazie alla capacità di raggiungere velocità di 200 giri al minuto e di
esercitare coppie elevate, può svolgere realmente lavorazioni di tornitura, in questo caso
sono i mandrini a svolgere la funzione di torrette porta-utensili. La lubrificazione
dell'utensile può avvenire sia in modo tradizionale che attraverso il mandrino.
Anche se la macchina possiede due mandrini, è presente un solo grande magazzino
utensili. II magazzino, posto nella parte posteriore della macchina , è a postazioni fisse. Un
manipolatore cartesiano provvede a prendere l'utensile e a metterlo a disposizione del
cambio utensile che provvederà a montarlo sul mandrino. II cambio utensile che è gestito
da un CN con un sistema ad asse controllato è inoltre in grado di trasferire un utensile da
un mandrino all'altro.
Il cambio utensile viene effettuato su un mandrino alla volta garantendo così la continuità
nelle operazioni di asportazione.
Il controllo d’integrità dell’utensile avviene in tempo mascherato tramite un sistema laser
posizionato all’interno del magazzino utensili.
La Event può essere caricata attraverso un cambio pallet (fino ad 8 posizioni) o attraverso
altri sistemi che per mettono l’integrazione in linea.
Tutta l’impiantistica della macchina è basata su un pacchetto Siemens: motori asse,
azionamenti, quadro elettrico.
La conformazione dell'area di lavoro con pareti quasi verticali e l’assenza di parti in
movimento permette una facile caduta del truciolo verso il trasportatore truciolo che è
alloggiato nella parte inferiore del basamento.
Per quanto riguarda il CNC, la Event adotta un Siemens 840D la cui logica di macchina è
stata sviluppata direttamente dalla Emmeotto.
La memoria dei CNC Siemens per stoccare i programmi è molto alta ed è dotata di una
serie di funzioni tecnologiche e quindi non servono sottoprogrammi. Questo CNC permette
di operare con due canali separati, i due mandrini sono così gestiti come due singole
macchine ma cercando di ottimizzare la contemporaneità delle lavorazioni sul medesimo
pezzo. E’ presente, inoltre un sistema di anticollisione
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SCHEDA TECNICA
Modello Event
Tipologia Centro di lavoro orizzontale - verticale combinato
Costruttore Emmeotto Srl Ponte dell'Olio ( PC ) CARATTERISTICHE TECNICHE Asse X (mand. Oriz.) 720 mm Asse Y (mand. Oriz.) 620 mm Asse Z (mand. Oriz) 450 mm Asse U (mand. Vert.) 720 mm Asse W (mand. Vert.) 620 mm
Corse di lavoro
Asse V (mand. Vert.) 450 mm Divisioni standard 360000 posizioni Velocità max di rotazione 250 rpm Accelerazione 8 rad/sec^2 Coppia continua 700 N*m Coppia max 1000 N*m Coppia di frenatura 4000 N*m Tempo di posiz. 0 - 90° 0,4 sec Tempo di posiz. 0 - 180° 0,55 sec
Tavola girevole
Tempo di posiz. 0 - 180° con freno 1,4 sec Pallet 500 x 500 mm Pezzo max 600 x 600 x 600 mm Peso pezzo max 500 kg Diametro pezzo in rotazione 850 mm
Pallet
Tempo cambio pallet 20 sec Mandrino orizzontale / verticale HSK A63 Velocità max rotazione 12000 rpm Potenza cad. mandrino 24 / 33 kW Coppia continua 105 N*m
Mandrino
Coppia in S6 (25 %) 158 N*m Velocità rapida assi 45 m/min Accelerazione assi 8 m/sec^2 Spinta max assi 6000 N Sistema di misura Righe ottiche su tutti gli assi
Caratteristiche assi
Sistema di misura tavola Encoder toroidale Numero utensili (condivisi orizz - vert ) 60 / 200 Diametro utensili max 150 mm Lunghezza utensile max 280 mm
Magazzino utensili
Peso massimo 10 kg Precisione di pos. assi lineari 0,005 mm Precisione di pos. asse B +/- 3"
Precisione
Precisione di inversione 4 micron Tensione e frequenza 380 V 50 Hz Peso totale dell'impianto 25000 kg
Informazioni generali
Potenza installata 65 kW
Tabella1:Event
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Figura 5:Layout Event
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1.2 MACCHINA A MANDRINO VERTICALE
In questa tesi si è realizzato il modello dinamico del modulo a mandrino verticale.
In questo paragrafo verrà descritta con più attenzione l’architettura del centro di lavoro.
Nella figura sottostante viene definita la nomenclatura degli assi della configurazione
analizzata.
Figura 6:Modulo a mandrino verticale
Il basamento e la struttura a portale sono realizzati in acciaio elettrosaldato.
La movimentazione dei tre assi viene realizzata mediante un modulo costituito da un carro
in ghisa, da un supporto canotto e da un canotto che a sua volta alloggia una cartuccia per
il mandrino.
Nella figura che segue si evidenziano le parti funzionali, che traslando relativamente una
rispetto alle altre, permettono di realizzare i movimenti lungo i tre assi.
U
W
V
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Figura 7:Elementi principali della parte mobile
Carro
Supporto canotto o testa
Canotto
Modulo completo
Figura 8: Realizzazione modulo completo
CARRO
SUPPORTO CANOTTO CANOTTO
CARTUCCIA MANDRINO
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PATTINO
ROTAIA
Il movimento relativo di una parte rispetto alle altre è permesso da guide a ricircolo di rulli.
La traslazione lungo U è garantita dalla presenza di rotaie sulla struttura a portale e da
quattro pattini o slitte solidali al carro (RUE 45 DLFEW2).
Figura 9:Guida RUE 45 DLFEW2
Come del resto si può osservare dalla seguente immagine.
Figura 10: Disposizione dei pattini tra carro e portale
PATTINI
IN VISTA
ROTAIA
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Si ha una situazione del tutto analoga anche per l’asse W. La traslazione tra il gruppo
supporto canotto-testa ed il carro è garantito da guide fissate al carro e da pattini solidali
con il supporto canotto (RUE 35 DHLFEW3).
Figura 11: Guida RUE 35 DHLFEW3
Per quanto riguarda la disposizione spaziale dei pattini, si può fare riferimento alla
seguente immagine tratta dal modello solido della macchina.
Figura 12: Disposizione dei pattini tra testa e carro
PATTINO
ROTAIA
PATTINI
IN VISTA
ROTAIE
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PATTINI AD “X”
PATTINI RUS
Le cose sono leggermente differenti per la traslazione verticale V. In questo caso, infatti, il
canotto è supportato da due guide disposte ad “X” e da due guide con pattini
unidirezionali.
Le guide disposte ad “X” sono le RUE 35 DFEW2 mentre quelle con pattini unidirezionali
sono le guide RUS.
Figura 13:Guida RUE 35 DFEW2 GuidaRUS
La disposizione delle guide descritte può essere dedotta dalla seguente figura.
Figura 14:Disposizione guide tra canotto e relativo supporto
PATTINO
ROTAIA
PATTINO
ROTAIA
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Dopo aver descritto sommariamente la struttura del centro di lavoro ad asse verticale,
mettendone in evidenza gli elementi strutturali costitutivi ed i relativi accoppiamenti, è
indispensabile, almeno a livello introduttivo anche in questo paragrafo, descrivere come
questi componenti sono movimentati.
Per ogni asse esiste una catena cinematica, ovvero una trasmissione in grado di spostare un
elemento rispetto agli altri.
Sostanzialmente, nella EVENT, esistono due tipologie differenti di catene cinematiche,
una chiamata “ a vite fissa” e l’altra soprannominata “a vite rotante”.
La tipologia “a vite fissa” è utilizzata per movimentare sia l’asse U che l’asse W, mentre
quella a “vite rotante” è impiegata per l’asse verticale V.
E’ importante osservare che entrambi i tipi di trasmissioni adottate sono fondamentalmente
caratterizzate da una trasmissione a cinghia, da una vite a ricircolo e dai relativi supporti,
quello che le differenzia è il fatto che nei due casi la trasformazione del moto rotatorio a
quello traslatorio avviene in posizioni differenti.
Nel caso della trasmissione a “vite fissa”: il motore trasmette,essendo solidale alla puleggia
motrice della trasmissione a cinghia, il moto alla puleggia condotta che a sua volta,
essendo fissata alla chiocciola, mette in rotazione la chiocciola stessa facendo avanzare
opportunamente la vite e di conseguenza l’elemento che deve essere movimentato.
Per quanto riguarda la trasmissione a “vite rotante” invece, è la vite ad essere messa in
rotazione, attraverso la cinghia, dal motore. La rotazione della vite viene trasformata in
traslazione dalla chiocciola fissata all’elemento da movimentare.
Ulteriori dettagli relativi alle tipologie di trasmissioni verranno illustrati nella sezione
relativa alla loro modellazione.
I motori utilizzati per movimentare i vari assi sono dei motori brushless sinusoidali trifase
della Siemens.
Per l’asse U e per l’asse V viene utilizzato un motore 1FT6086 mentre per l’asse W un
motore 1FT6082 [21].
Come è già stato anticipato nel paragrafo precedente, la macchina è equipaggiata con un
azionamento Siemens 840D [4].
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2 MODELLAZIONE
Come è già stato anticipato nel capitolo introduttivo, in questa Tesi si è affrontato il
problema della modellazione dei seguenti aspetti: struttura meccanica della macchina con
relative catene cinematiche, azionamenti, utensile, pezzo e processo di taglio.
Per alcuni di questi “settori” si sono proposti modelli relativamente semplici ma si è
pensato, grazie alla modularità di Dymola, possano essere sostituiti in futuro da modelli
più dettagliati.
L’obiettivo di questo lavoro è comunque quello di proporre modelli per le varie parti, per i
diversi componenti ed analizzare, simulando il comportamento dell’intero sistema, come
questi interagiscono determinando le prestazioni globali della macchina utensile.
Un aspetto piuttosto importante e cruciale nella fase di modellazione è quello di decidere,
per ogni componente o per ogni campo applicativo trattato, quali aspetti della realtà
modellare, ciò equivale a fissare il grado di dettaglio del modello. Queste scelte devono
essere fatte tenendo in considerazione il dettaglio dell’intero modello. Sovente non è
significativo proporre modelli particolarmente accurati di parti del sistema quando altri
sottomodelli, per il loro livello di dettaglio, non ne sono influenzati.
Un approccio significativo, se non si deve obbligatoriamente studiare un fenomeno
specifico, è sicuramente quello di proporre modelli relativamente semplici dei vari
componenti per poi, dopo aver analizzato e verificato le simulazioni numeriche, andare ad
incrementarne il dettaglio al fine di valutare quali informazioni vengono introdotte con la
modellazione di aspetti fisici prima non considerati. Questa è la strada che si è cercato di
seguire in questo lavoro di Tesi.
Nel caso in cui si debba andare ad analizzare un particolare tipo di fenomeno, è essenziale
stabilire a priori il dettaglio da utilizzare nella modellazione del sistema.
In questo capitolo verranno presentati gli aspetti della realtà effettivamente modellati
illustrandone l’implementazione in Dymola.
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2.1 MODELLO COMPLESSIVO
Prima ancora di descrivere i differenti sottomodelli, in Figura 15 viene riportato il modello
dell’intero sistema analizzato.
Figura 15: Modello Dymola completo
MECCANICA MU
AZIONAMENTO
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2.2 MODELLO DELLA MACCHINA UTENSILE
In Figura 16 viene riportato il modello della parte meccanica ovvero della struttura e delle
catene cinematiche.
Figura 16: Modello Dymola parte meccanica( struttura +catene cinematiche)
2.2.1 Struttura meccanica
Aspetti modellati
Per quanto riguarda la parte strutturale della macchina utensile si è pensato, rispetto a
lavori precedenti [13] nei quali questa parte era modellata da corpi rigidi, di creare un
modello che considerasse, secondo un approccio a parametri concentrati, anche la
cedevolezza strutturale delle guide.
Nel modello proposto si sono considerate quindi le cedevolezze delle guide che permettono
la movimentazione dei tre assi
Si è scelto di modellare la cedevolezza delle guide nonostante, in generale in questo tipo di
macchine, le cedevolezze siano principalmente concentrate nelle trasmissioni, per ottenere
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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un modello che possa fornire comunque informazioni utili al progettista della macchina (ad
esempio i dati relativi ai cedimenti statici al mandrino).
Un’altra importante ragione per la quale si è scelto di considerare almeno la cedevolezza
delle guide è che le prestazioni delle catene cinematiche, in termini di rigidezza, stanno
rapidamente migliorando e quindi non è più così corretto considerare solo le cedevolezze
concentrate nelle trasmissioni.
Una volta specificato ciò che si vuole considerare nella modellazione della struttura è
necessario illustrare come il modello è stato implementato in ambiente Dymola.
Sostanzialmente il modello è costituito da corpi rigidi collegati fra loro, ovviamente
considerando la reale collocazione spaziale, da guide cedevoli ovvero da elementi elastici.
Gli elementi che saranno collegati elasticamente l’uno all’altro sono rappresentati nella
tabella sottostante:
Figura 17:Elementi collegati elasticamente tra loro.
La struttura a portale è collegata a terra. Supponiamo di considerare questo collegamento
rigido.
Nel modello della struttura si è pensato inoltre di includere il modello della riga ottica che
effettua la lettura di posizione.
E’ necessario spiegare, dal punto di vista teorico, come modellare le guide: si è pensato di
considerarle come delle molle che agiscono perpendicolarmente alla traslazione da loro
permessa. Queste molle agiscono come vincoli cedevoli bilateri.
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Le considerazioni fatte valgono per entrambe le tipologie di guide “RUE”, mentre per il
tipo “RUS” si è pensato di proporre come modello quello di una molla unidirezionale.
Un’altra importante osservazione da fare è che la guida “RUS” traduce l’azione di un
vincolo unilatero.
Nella figura sottostante sono evidenziati gli aspetti elastici dei diversi tipi di guide.
RUE 35 DHLFEW3
Guida RUE 35 DFEW2
RUE 45 DLFEW2
RUS
Figura 18: Modellazione guide,aspetti elastici
Ovviamente l’aspetto elastico associato alle guide non è il solo a dover essere modellato,
infatti, è necessario considerare anche quello relativo alle dissipazioni energetiche. Per
semplicità di trattazione si è utilizzato uno smorzamento viscoso equivalente. L’utilizzo di
smorzamenti viscosi equivalenti verrà sfruttato nell’intera fase di modellazione del
sistema.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Modello Dymola della struttura
In ambiente Dymola si è implementato quanto descritto.
Figura 19:Modello Dymola della struttura meccanica con guide cedevoli
Il modello Dymola è realizzato in ambiente Multi-Body ovvero in ambiente
tridimensionale nel quale è necessario rappresentare i corpi rigidi con le relative proprietà
inerziali (massa e tensore d’inerzia).
Come si può facilmente osservare dalla figura precedente, nel modello sono presenti
fondamentalmente tre blocchi principali corrispondenti alle parti attraverso le quali sono
realizzate le relative traslazioni.
In ogni modello sono incluse anche le connessioni elastiche con il “Body” che supporta il
corpo considerato.
Si vedrà in seguito, esplorando i diversi sottomodelli, come sono state realizzate le
connessioni elastiche nei diversi casi.
Nella seguente tabella si illustra più dettagliatamente quale elemento o “Body” della
macchina utensile è rappresentato nel relativo modello Dymola.
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MODELLO DEL CARRO
CARRO
MODELLO DEL SUPPORTO
CANOTTO
SUPPORTO CANOTTO
MODELLO DEL CANOTTO
CANOTTO
Figura 20:Modellazione Multi-Body, modello- realtà
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Come si può facilmente osservare dallo schema in Dymola, il modello del carro è collegato
direttamente ad un elemento inerziale (ground), questo perché, si è considerato il portale
rigido e collegato rigidamente a terra
E’ importante sottolineare come questo modello si relaziona con il resto del sistema. Le
flange a sinistra rappresentano i terminali di collegamento con le trasmissioni meccaniche
che, possiamo anticipare, sono state modellate non in ambiente Multi-Body (Appendice
[1]).
Per quanto riguarda le flange di destra, le tre più in basso rappresentano le letture fornite
dalle righe ottiche mentre quella più in alto è un terminale di collegamento meccanico
tridimensionale e rappresenta il naso-mandrino del centro di lavoro.
Ora si passeranno in rassegna i vari sottomodelli Dymola utilizzati specificandone le
funzioni e come sono stati connessi per ottenere il modello precedentemente presentato.
“Inertial System”
Figura 21:Componente Sistema di riferimento inerziale
Il blocco chiamato “Inertial System” non fa altro che definire la direzione nello spazio del
vettore accelerazione di gravità e fornisce un frame (sistema di riferimento) per le
grandezze cinematiche.
Come si può notare in Figura 20, in Dymola si sono realizzati due modelli differenti in
relazione a come il generico corpo rigido è supportato, mediante le guide, al corpo che lo
sostiene.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 26
Sia l’assieme “carrello” che quello “supporto canotto” sono “vincolati”, ognuno rispetto
alla struttura che li supporta, da quattro pattini di tipo “RUE”, mentre l’assieme “canotto” è
vincolato mediante quattro pattini “RUE” e da quattro guide unilatere “RUS”.
Modello tipo Carro o Supporto Canotto
Si analizza prima la tipologia di modello corrispondente al sistema carro e al sistema
supporto canotto.
E’ abbastanza chiaro, anche alla luce di quanto spiegato in appendice [1], il ruolo svolto
dalle flange del sottomodello.
Le due flange meccaniche Multi-Body servono per il collegamento del generico Body al
corpo che lo sostiene e a quello che andrà a supportare.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 27
Figura 22: Modello per “carro” e “supporto canotto”
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 28
Continuando ad elencare i componenti utilizzati:
“Prismatic”
Figura 23:Componente Prismatic
Questo componente di libreria non è altro che un giunto prismatico spaziale che permette
la traslazione relativa, secondo una determinata direzione, tra le due flange meccaniche
della libreria Multi-Body.
Per specificare lungo quale asse può avvenire la traslazione viene utilizzato un vettore r
come parametro(viene specificato un “1” quando è permesso il grado di libertà relativo ad
un determinato asse del frame_a).
La prerogativa di tale componente è che il suo funzionamento può essere pilotato da flange
meccaniche traslazionali.
(Per ulteriori chiarimenti sulle flange utilizzate si faccia comunque sempre riferimento
alla relativa appendice).
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 29
“Revolute”
Figura 24:Componente Multi-Body Revolute
E’ un componente della libreria Multi-Body duale rispetto al precedente nel senso che
permette la rotazione relativa tra due flange in relazione ad un vettore r, usato come
parametro. Anche in questo caso si ha la possibilità di comandare il componente con delle
flange meccaniche rotazionali.
“Frame Traslation”
Figura 25: Componente Multi-Body Frame Traslatino
E’ un componente della libreria la cui funzione principale è quella di collegare rigidamente
le due flange mediante un vettore r usato come parametro.
Il vettore rappresenta appunto la posizione della flangia_b (frame_b) rispetto al frame_a
valutata nella sistema di riferimento frame_a.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 30
Body2
Figura 26:Componente Multi-Body Body2
Questo componente della libreria modella un corpo rigido. Il suo comportamento è
ovviamente descritto dalle due equazioni cardinali della dinamica. Le equazioni del
componente, seguendo la tipica filosofia di Dymola, sono scritte in funzione delle
grandezze (quantità cinematiche e dinamiche) presenti sulle flange meccaniche 3D.
I parametri da fornire al modello sono:
m massa del corpo rigido
I tensore d’inerzia baricentrale
CMr coordinate del centro di massa rispetto alla flangia_a valutate proprio nella
terna in frame_a
r posizione del frame_b rispetto al frame_a (sempre con la medesima
convenzione).
Spring Damper 3D (Guide RUE)
Figura 27: Componente Spring-Damper 3D(Guide RUE)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 31
Questo è un componente che è stato creato per modellare le guide cedevoli di tipo “RUE”.
Sostanzialmente è in grado di imporre alle proprie flange una forza visco-elastica. La
componente elastica dipende dalla posizione relativa tra le due flange mentre quella
viscosa dipende dalla velocità relativa. Più precisamente, sia le forze elastiche che quelle
viscose sono calcolate in funzione delle componenti degli spostamenti e delle velocità
lungo le tre direzioni.
E’ un componente le cui coppie sulle flange sono identicamente nulle.
I parametri fondamentali che lo caratterizzano sono:
K1
K2 Sono le rigidezze relative alle tre direzioni ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
mN
K3
D1
D2 Sono gli smorzamenti nelle tre direzioni ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡sm
N
D3
La porzione di codice associata a tale componente è riportata in Appendice
Lettura riga
Figura 28:Componente lettura riga
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 32
Questo componente è stato creato per effettuare una misura di posizione.
In uscita viene fornita la coordinata relativa della posizione del frame_b rispetto al frame_a
valutato in sistema di riferimento “a” .
Un vettore parametro GDL viene utilizzato per stabilire quale componente dello
spostamento relativo viene imposto come segnale d’uscita (Codice riportato in appendice).
Dopo aver descritto sommariamente i vari componenti utilizzati nel sottomodello è
importante evidenziare come è stato ideato lo schema di Figura 22.
Figura 29:Modello Dymola del carro e del supporto canotto
5
2
1
4
N
BODY
RIGIDO
GDL comandato
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 33
Per capire effettivamente come è stato implementato il modello del corpo rigido supportato
da guide cedevoli rappresentato nella figura sopra, è indispensabile introdurre un esempio
specifico da associare direttamente al modello.
Si può prendere in esame l’assieme “carro”.
Figura 30:Parallelismo tra modello e realtà fisica.
Come si può facilmente osservare dalla Figura 29 del sottomodello, solo una porzione
(quella tratteggiata in rosso) si riferisce al corpo rigido. La parte rimanente fa riferimento
al collegamento elastico del corpo con ciò che lo supporta (nel caso specifico, il modello è
collegato direttamente a terra per le ragioni già citate in precedenza). L’effetto del
collegamento elastico (tralasciando l’effetto viscoso) è quello di esercitare delle forze, in
corrispondenza dei pattini, dovute alla cedevolezza delle guide stesse. Il corpo rigido, per
quanto riguarda la traslazione consentita, è comandato dalla catena cinematica. Il
movimento del corpo rigido nello spazio, relativamente agli altri cinque gradi di libertà
(secondo le equazioni cardinali della dinamica), dipenderà ovviamente dalle reazioni delle
guide, dalle forze e coppie applicate (peso, forze e coppie inerziali), dal collegamento con
CM5
1
2
3
4
N
GDL
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 34
il body supportato(vengono trasferite altre forze e coppie) e dalle caratteristiche inerziali
del corpo stesso. Il collegamento con un’altra struttura del tutto analoga può essere
eseguito mediante la flangia che si è denominata N.
La reale forma del corpo viene tenuta in considerazione dai vettori (frame_traslation)
tratteggiati di colore rosso.
Si riporta anche il modello relativo all’assieme “canotto”
Figura 31: Modello Dymola del canotto
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 35
La filosofia con la quale è stato realizzato è del tutto analoga a quella usata per il modello
dell’assieme carro e dell’assieme supporto canotto.
In questo modello sono presenti dei sottomodelli che non sono ancora stati descritti. Sono
stati creati per riuscire a modellare due differenti aspetti:
La presenza di guide inclinate disposte ad “X”
La presenza delle guide “RUS” unilatere.
Spring-Damper 3D (RUE disposte ad “X”)
Figura 32:Modelli delle guide “RUE” disposte ad “X”.(a 45° e a 135°)
Questi componenti sono stati creati perché in generale, per le guide, vengono fornite le
rigidezze assiali e trasversali. Per le tipologie di guide già analizzate le rigidezze assiali e
trasversali coincidono con quelle relative ai tre assi del sistema di riferimento locale, cosa
che non si verifica per questo tipo di guida.
Supponiamo per semplicità di ragionare nel piano. Questa semplificazione permette di
illustrare con più chiarezza la situazione da un punto di vista geometrico ed inoltre i
componenti creati sono stati modellati effettivamente per esercitare una forza visco-elastica
in un piano.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 36
I parametri da inserire nel modello sono:
Ka
Kt Sono le rigidezze relative alle tre direzioni ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
mN
K3
Da
Dt Sono gli smorzamenti nelle tre direzioni ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡sm
N
D3
La direzione “3” è quella perpendicolare alle direzioni t e a (fare riferimento alla Figura 1).
Supponiamo che il frame_a abbia l’orientamento del sistema di riferimento in verde.
2
1
2
1
Figura 33: Disposizione delle guide ad “X”, guida a 45°
α a
t
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 37
Le guide esercitano delle forze visco-elastiche secondo la direzione assiale a e secondo la
direzione tangenziale t.
Le direzioni 1 e 2 sono quelle del sistema di riferimento associato ai terminali Dymola.
Supponiamo per ora di ragionare solo in termini elastici.
Facendo riferimento alla figura seguente, si può osservare che il componente Spring-
Damper genera due componenti di forza dirette appunto lungo le direzioni assiale e
tangenziale.
Queste componenti possono essere calcolate dalle classiche relazioni:
tKttFaaKaaFa
∆⋅−=∆⋅−=
.
.
ed in forma matriciale:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ta
KtKa
tFaaFa
00
..
Si è introdotto questo sistema di coordinate perché, in Dymola, è necessario esprimere tutte
le grandezze relativamente alle flange di connessione e quindi relativamente ai sistemi di
riferimento del terminale a e del terminale b.
Si devono quindi calcolare le componenti delle forze Fa.a e Fa.t lungo gli assi del frame_a.
La determinazione delle stesse Fa.a e le Fa.t deve essere fatta esplicitando le coordinate dei
sistemi di riferimento associate alle flange (in questo caso 1 e 2).
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 38
Andando ad ingrandire la parte tratteggiata della figura precedente.
2
1
Figura 34:Sistema di riferimento per la scrittura delle equazioni dei due componenti Spring-Damper
Si può quindi scrivere le seguenti relazioni introducendo delle matrici che effettuano i
relativi cambi di sistemi di riferimento:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
21
)2
sin()sin(
)2
cos()cos(
απα
απα
ta
e per quanto riguarda le forze:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡tFaaFa
FaFa
..
)2
sin(sin
)2
cos(cos
2.1.
απα
απα
t
Fb.a
Fb.t
a
t
a
Fa.a
Fa.tα
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 39
unendo le varie espressioni:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡21
)2
sin()sin(
)2
cos()cos(
00
)2
sin(sin
)2
cos(cos
2.1.
απα
απα
απα
απα
KtKa
FaFa
Ovviamente le relazioni generiche riportate sopra si semplificano assumendo α=45° e
α=135°.
Ad esempio per la guida 45° si ottiene la seguente:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡21
2)(
2
22)(
2.1.
KtKaKtKa
KtKaKtKa
FaFa
Nel modello si è introdotta anche la componente della viscosa.
Il codice Modelica associato al componente si trova nella seguente appendice.
Per quanto riguarda la guida a 135° si ha:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡21
2)(
2
22)(
2.1.
KtKaKaKt
KaKtKtKa
FaFa
e quindi, introducendo anche gli smorzamenti:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 40
Spring-Damper unilatero (RUS)
Figura 35: Spring-Damper unilatero
Questo componente è stato realizzato per modellare le guide unilatere “RUS”.
L’idea di base, attraverso la quale si è implementato il comportamento della guida, è che
quest’ultima deve fornire una reazione vincolare solo nel caso in cui il relativo cedimento o
la stessa forza abbiano un verso preciso.
I codici Modelica relativi ai componenti realizzati sono riportati nella relativa appendice.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 41
VITE ROTANTE
VITE FISSA
2.2.2 Catene cinematiche
Figura 36:Modello Dymola delle catene cinematiche
Questo modello si relaziona con gli altri attraverso tre flange meccaniche rotazionali, tre
flange traslazionali e tre flange di segnale.
Come verrà illustrato più avanti, a seguito della spiegazione degli aspetti modellati, le
flange di segnale servono per impostare una lunghezza iniziale al componente vite mentre i
terminali meccanici per collegare tale sottomodello alla struttura e all’azionamento.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 42
Aspetti modellati
Prima di andare ad illustrare l’implementazione dei vari componenti in Dymola è
necessario presentare più dettagliatamente come sono costituite le catene cinematiche e
quali aspetti sono stati modellati.
Come già anticipato nel capitolo introduttivo sulla macchina, esistono due differenti
tipologie di catene cinematiche.
E’ importante sottolineare che entrambe le tipologie sono costituite sostanzialmente dai
medesimi componenti: trasmissione a cinghia e trasmissione a vite a ricircolo di sfere,
ovviamente con i relativi supporti.
Nelle pagine seguenti verranno riportate le caratteristiche delle due tipologie di
trasmissioni.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 43
Catena cinematica “vite fissa”
Figura 37: Disegno della trasmissione “vite fissa”
Il motore mette in rotazione la puleggia motrice della trasmissione a cinghia la quale
trasferisce il moto a quella condotta. Alla puleggia condotta è resa solidale la chiocciola
che ruotando, attraverso il contatto volvente filetti-sfere, fa avanzare la vite.
L’estremità della vite viene collegata all’elemento che deve essere movimentato.
Nella Figura 37 si riporta un disegno che illustra come viene realizzato questo
collegamento.
Questo tipo di trasmissione viene utilizzato per movimentare l’assieme carrello e l’assieme
supporto canotto.
CUSCINETTI
VITE
PULEGGIA MOTRICEPULEGGIA CONDOTTA
CHIOCCIOLA
SUPPORTO MOTORE
MOTORE
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 44
Figura 38:Collegamento della vite con elemento da movimentare
Catena cinematica “vite rotante”
Figura 39:Disegno della trasmissione “vite rotante
MOTORE
CUSCINETTI
VITE
CHIOCCIOLA
PULEGGIA CONDOTTA
PULEGGIA MOTRICE
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 45
Quello che caratterizza questa tipologia di catena cinematica, differentemente da quella a
“vite fissa”, è che in questo caso la chiocciola è collegata all’elemento da movimentare.
I componenti sono sostanzialmente identici a parte la tipologia di cuscinetti e le dimensioni
geometriche della trasmissione a cinghia.
Prima di procedere nella descrizione del modello Dymola è fondamentale sottolineare
quali aspetti delle catene cinematiche si sono voluti modellare nella realizzazione dei
relativi modelli.
In entrambe le tipologie si sono considerati:
• gli aspetti visco-elastici della trasmissione a cinghia dovuti fondamentalmente alla
cedevolezza dei rami della cinghia stessa
• gli aspetti visco-elastici della vite(sia assiali che torsionali in funzione della
lunghezza della vite)
• gli aspetti visco-elastici della chiocciola
• gli aspetti visco-elastici dei supporti (cuscinetti)
Gli smorzamenti associati ad ogni componente sono stati assunti come viscosi
considerandone appunto un effetto equivalente.
Nella modellazione si sono supposti rigidi gli elementi di collegamento della vite o della
chiocciola con le parti da movimentare.
Per entrambe le trasmissioni possiamo rappresentare, con un approccio a parametri
concentrati, gli aspetti elastici modellati associandoli ai relativi componenti.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 46
Figura 40:Localizzazione delle cedevolezze
Per capire come sono state combinate le varie rigidezze è indispensabile fare riferimento ai
modelli Dymola realizzati.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 47
Modelli Dymola delle catene cinematiche
“Vite Fissa”
Figura 41:Realizzazione della trasmissione “vite fissa”
Nel modello della trasmissione a vite fissa si è incluso, oltre alla cinghia e alla trasmissione
a vite, anche l’inerzia del rotore del motore. Questa scelta, come vedremo nel prosieguo
dell’esposizione del lavoro, è da attribuire a come si è deciso di modellare i motori e
l’azionamento.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 48
Si possono ora presentare i vari sottomodelli:
“Inertia”
Figura 42: Componente Dymola Inertia
Questo componente standard di libreria modella l’inerzia rotazionale.
Il parametro da assegnare al modello è il momento d’inerzia J
Cinghia
Prima di presentare il sottomodello Dymola creato per modellare tale componente si può
spiegare in che modo si è pensato di introdurre le cedevolezze dei rami della cinghia.
Questo componente è stato sviluppato a partire da un lavoro precedente [13].
La trasmissione a cinghia è fondamentalmente costituita da due pulegge collegate
elasticamente da una vera e propria cinghia.
Nel modello proposto si è supposto che la cedevolezza complessiva sia attribuibile
solamente a quella dei due rami di lunghezza L e non dall’intero sviluppo della cinghia.
Lo schema seguente è particolarmente significativo in relazione alla successiva
implementazione.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 49
TT ∆+
TT ∆+
TT ∆−
TT ∆−
Figura 43:Schema della cinghia
L’idea di base per scrivere le equazioni in Modelica del sistema è che le due pulegge si
muovano indipendentemente l’una rispetto all’atra in relazione ai due gradi di libertà,
questo provoca un allungamento o un accorciamento dei due rami della cinghia. Vengono
così generate delle componenti visco-elastiche T∆ associate agli allungamenti e alle
velocità di allungamento dei rami della cinghia. Queste forze vengono applicate alle due
pulegge, si deve quindi imporre un equilibrio alla rotazione e un equilibrio alla traslazione
dei rami della cinghia. Si può anticipare che gli equilibri scritti per le pulegge e i rami sono
statici questo perché gli aspetti dinamici sono considerati in altri due componenti (lo si
vedrà nella spiegazione dettagliata del modello) . E’ importante sottolineare che la
componente legata al pretensionamento della cinghia non influisce sulla scrittura delle
equazioni di equilibrio.
Questo schema è utile inoltre per ricavare le relazioni geometriche esistenti tra i raggi delle
pulegge, l’interasse e la lunghezza dei due rami della cinghia
Come si osserverà nella Figura 44 il modello Dymola della cinghia è a sua volta costituito
da due componenti “Inertia” e da un componente “cinghia_e_c”.
Il componente “cinghia_e_c” modella i legami visco-elastici e cinematici mentre i due
componenti”Inertia” introducono gli aspetti dinamici non implementati nelle equazioni di
“cinghia_e_c”.
L
rm
rc
α
i
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 50
Figura 44:Realizzazione del componente Cinghia
“Cinghia_e_c”
Figura 45:Componente Dymola
Questo componente è stato creato per descrivere i legami cinematici e di equilibrio statico
dello schema che modella la cinghia.
I parametri da inserire nel modello sono:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 51
rc,rm: raggio della puleggia condotta e della puleggia motrice
i: interasse tra le pulegge
k_spec: rigidezza specifica del ramo di cinghia
d_cinghia: smorzamento viscoso equivalente associato al ramo di cinghia
Ovviamente le equazioni sono state scritte mettendo in evidenza le variabili associate ai
terminali di collegamento.
Fare riferimento alla relativa appendice per i codici Modelica del componente.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 52
Trasmissione a vite a ricircolo di sfere
Questo componente considera le altre cedevolezze della catena cinematica ovvero la
cedevolezza della vite, della chiocciola e dei cuscinetti.
La cedevolezza assiale equivalente della vite considera sia la cedevolezza assiale che
quella torsionale, in particolare, si vedrà come la rigidezza torsionale viene trasformata in
una equivalente assiale e viene composta con quella assiale vera e propria.
Nel modello Dymola si mette in evidenza la composizione delle varie rigidezze
(ovviamente sono stati introdotti anche degli smorzamenti viscosi equivalenti)
Figura 46:Modello Dymola della vite a ricircolo di sfere
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 53
Come si può facilmente osservare, le rigidezze assiali della chiocciola, dei cuscinetti ed
assiale equivalente della vite vengono composte secondo uno schema di tipo serie.
Si è modellata l’inerzia della chiocciola con il relativo “Inertial”
Andando a descrivere i vari sottomodelli:
“Ideal Gear”
Figura 47:Componente Ideal Gear
Il componente standard della libreria meccanica permette di trasformare una rotazione
della flangia rotazionale in una traslazione della flangia traslazionale secondo un rapporto
di trasmissione usato come parametro (ratio).
Questo componente serve per modellare una trasmissione ideale completamente rigida.
Le rigidezze sono introdotte successivamente con i relativi sottomodelli.
“Spring-Damper_1D”
Figura 48: Componente Dymola Spring-Damper traslazionale
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 54
Questo è il componente standard della libreria traslazionale che modella fenomeni visco-
elastici fornendo una forza elastica proporzionale all’allungamento e una viscosa
proporzionale alla velocità relativa tra le due flange meccaniche alle sue estremità.
Ovviamente i parametri da inserire sono:
c: rigidezza
d: smorzamento
“Position Sensor”
Figura 49:Componente Dymola Position Sensor
E’ un componente standard della libreria che permette di ottenere come segnale d’uscita la
posizione associata alla flangia meccanica.
Questo sottomodello è stato utilizzato per introdurre il fatto che la vite modifica la sua
lunghezza al variare della posizione angolare della flangia rotazionale di “Ideal Gear”,
questo si verifica durante la movimentazione dell’asse.
“Spring-Damper_vite_assiale_totale”
Figura 50:Componente Spring-Damper associato alla vite
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 55
E’ un componente che è stato creato per modellare gli aspetti visco-elastici assiali della
vite.
La rigidezza associata è quella assiale equivalente cioè quella ottenuta dalla serie di due
rigidezze assiali: quella assiale vera e propria e quella assiale equivalente a quella
torsionale.
Essendo la rigidezza assiale equivalente funzione della lunghezza di vite caricata, sono
presenti due terminali d’ingresso per poter determinare la lunghezza caricata della
vite(lunghezza iniziale più allungamento).
Per il calcolo delle rigidezze:
Per la rigidezza assiale si è utilizzata la seguente relazione usata per aste caricate
assialmente [24].
lAE
K nASS
⋅=
dove:
E: modulo di Young [N/mm^2](si è scelto valore tipico per acciaio)
An: sezione di nocciolo della vite
l: lunghezza di vite caricata
mentre per la rigidezza torsionale:
lJGK P
tors⋅
=
dove:
Jp: è il momento polare d’inerzia(per sezioni circolari 32
4dJ P⋅
=π )
G: modulo di elasticità tangenziale[N/mm^2] ( si è scelto valore tipico per acciaio)
l: lunghezza caricata di vite
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 56
E’ necessario trasformare la rigidezza torsionale in una assiale equivalente.
Supponendo di chiamare:
dm: diametro medio dei filetti della vite
p: passo della vite
λ : angolo di inclinazione dell’elica
f: coefficiente di attrito vite chiocciola(in questo caso il contatto è mediato dalle
sfere, si è assunto un coefficiente di attrito volvente pari a f=0.0015)
αn :angolo di inclinazione del pane del filetto(si è supposto di prendere circa 30°)
E supponendo di avere la seguente situazione:
W
Mt
Figura 51:Schema: Vite che solleva un carico
dove :
Mt: momento torcente per sollevare carico W
W: carico assiale
E’ possibile scrivere
2m
td
TM ⋅=
dove T è la forza tangenziale.
Chiocciola
Vite
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 57
e dove:
mdptg⋅
=π
λ
Secondo la relazione [15]
22coscos mm
nm
nm dAW
dpfd
pdfWT ⋅⋅=⋅
⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅=απ
απ
avendo il legame tra T e W è possibile ricavare la relazione tra rigidezza torsionale e quella
equivalente assiale seguendo lo schema riportato sotto.
dove:
Kt_ass: rigidezza assiale equivalente a quella torsionale
ratio: rapporto di trasmissione
∆l: spostamento assiale
Imponendo il medesimo ∆l seguendo le due strade differenti è possibile ricavare la
relazione cercata.
Esplicitando la rigidezza assiale equivalente a quella torsionale:
risulta:
pdAKtorsassKtm ⋅⋅⋅⋅
=π4_
T Ktors
ratio ∆l W Kt_ass
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 58
“Vite Rotante”
Figura 52: Modello Dymola Trasmissione a vite rotante
Sostanzialmente questa tipologia di catena cinematica è costituita dai medesimi
componenti di quella già analizzata.
Tratteremo quindi solo le differenze tra i due modelli.
L’unica differenza esiste nella realizzazione del modello della vite a ricircolo di sfere.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 59
Figura 53: Modello vite a ricircolo di sfere
Le uniche differenze rispetto al caso precedente sono dovute ad una diversa disposizione
degli elementi elastici e del significato da attribuire al componente “Inertia”.
Gli elementi elastici sono stati disposti differentemente per mantenere il parallelismo con
la realtà fisica.
Per quanto riguarda il componente “Inertia”, in questo caso modella l’inerzia della vite e
non quella della chiocciola.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 60
Osservazioni
Si è deciso di modellare le trasmissione in ambiente monodimensionale così che le flange
meccaniche traslazionali delle catene cinematiche andranno collegate alle flange di
comando dei giunti della struttura.
Questi collegamenti non faranno che imporre la medesima posizione ad entrambe le flange
e trasferire una forza.
Nella realtà fisica, invece, la trasmissione trasferirà all’elemento da movimentare anche un
momento torcente.
Supponiamo di accettare questa leggera semplificazione.
Nella modellazione della struttura in ambiente Multi-Body non si sono considerate le
reazioni scaricate dalle trasmissione sugli elementi che le supportano ma solamente quelle
che vengono applicate agli elementi da movimentare
Un’altra semplificazione è stata introdotta nella modellazione delle viti a ricircolo di sfere.
Si sono modellate le cedevolezze dei cuscinetti, chiocciola e viti come elementi elastici
connessi in serie. E’ necessario segnalare che nei modelli proposti non si considera la
massa della chiocciola che si sposta a causa delle cedevolezze.
Supponiamo di accettare anche questa semplificazione.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 61
2.3 MODELLO DELL’AZIONAMENTO
Considerazioni
L’architettura dell’azionamento dipende fondamentalmente da come è si è deciso di
modellare il motore.
Sulla Event sono montati dei motori Brushless trifase.
Per questa tipologia di motore è possibile proporre, per ogni asse, tre tipi di modelli in
relazione al grado di dettaglio che si vuole ottenere:
1) Modello trifase [13]
2) Modello monofase equivalente
3) Modello del primo o secondo ordine dell’insieme motore-controllo di corrente.
1) Un modello trifase implica sicuramente un modello più accurato di tutto
l’azionamento: è necessario modellare anche il controllo vettoriale di corrente basato sulla
trasformata di Park [1].
Con questo tipo di modello ad esempio è possibile modellare, come è stato fatto nel lavoro
di Tesi [13], una tipologia di ripple di coppia (dei disturbi di coppia) associato alle non
perfette forme d’onda generate dal controllo vettoriale di corrente (dinamiche dell’anello di
corrente).
La logica del controllo vettoriale si rifà al seguente schema:
Figura 54:Schema controllo vettoriale di corrente
-
-
T(α)T
T(α)
I_d=0
I_q
Motore
Trifase
Regol.
I
Regol.
I
Vd
Vq
IdIq
tensioni
α(angolo)
correnti fase
VSI
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 62
Dove:
T(α) e T(α)T effettuano la trasformata di Park diretta ed inversa
VSI: rappresenta un inverter comandato in tensione
Si può dimostrare che la regolazione della coppia dipende solamente dalla corrente I_q
quindi, per ridurre al minimo la potenza elettrica assorbita, a parità di coppia generata è
necessario imporre I_d=0.
Quindi al fine della generazione della coppia è come se si facesse riferimento ad un
circuito monofase associato all’asse “in quadratura”.
E’ per questo che è possibile modellare il brushless trifase sinusoidale mediante uno
schema monofase tipico di un motore a corrente continua.
2) Un modello monofase equivalente si rifà al seguente schema:
V
E Cm
Figura 55: Schema equivalente monofase
R L
Kt, Ke
E=Ke*ω
Cm=Kt*Iq
I_q
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 63
In uno schema di questo tipo ovviamente non vengono considerate le dinamiche del
controllo vettoriale di corrente ma si modellano comunque le dinamiche elettriche e
meccaniche del motore a causa della presenza dell’induttore e del blocco che genera la
forza controelettromotrice.
Lo schema monofase può essere ricondotto al seguente schema a blocchi nel dominio di
Laplace, supponendo sia nulla la coppia resistente e la meccanica rigida(Jeq):
V )1(
1
RLsR ⋅+⋅
Kt sJeq ⋅
1
Ke
Figura 56: Schema a blocchi modello monofase del motore
E controllando in corrente il sistema di Figura 56, si può considerare la retroazione
naturale come un disturbo dello stesso anello di corrente, quindi si può ipotizzare di
trascurarla perché si suppone di ottenere una buona reiezione di questo disturbo [12].
Irif
Figura 57: Anello di corrente
-
I ωmCm
Regolatore
Corrente
ωm
-
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 64
Dopo aver regolato opportunamente il regolatore di corrente si può pensare di
approssimarlo con un modello del primo ordine o del secondo ordine.
La scelta di un tipo di approssimazione piuttosto che dell’altro è vincolata all’ottenimento
di un modello con un comportamento il più possibile aderente a quello all’anello di
corrente della macchina.
Si ottiene, introducendo la meccanica non rigida il seguente schema:
Figura 58: Approssimazione del primo ordine dell’anello di corrente
Dove τ rappresenta il polo del regolatore nel caso di approssimazione del primo ordine.
ω e D rappresentano pulsazione caratteristica e smorzamento dell’approssimazione del
secondo ordine.
Nel lavoro di Tesi si è inizialmente approssimato il regolatore di corrente con un modello
del primo ordine e successivamente, avendo la possibilità di disporre della FRF
dell’azionamento reale, si è deciso di utilizzare un modello del secondo ordine sicuramente
più aderente alla realtà sperimentale.
E’ quindi possibile aggiungere al sistema di Figura 58 il controllo proporzionale
integrativo (PI) di velocità:
mω
irif
Cm
motore-Reg. corrente
tK
m
m
Cω
12)s(
1 o 1
12 +++
ωωτ sDs
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 65
Figura 59:Schema dell’anello di velocità
Si può inserire a sua volta l’anello di velocità in quello di posizione:
Figura 60:Schema dell’anello di posizione
E’ facile osservare la struttura a cascata dell’azionamento.
Ogni anello introduce un tempo di ritardo equivalente per l’anello superiore, eventuali
variazioni delle grandezze di comando vengono quindi percepite più lentamente.
L’anello di regolazione più interno fissa la dinamica della grandezza di comando
dell’intera struttura.
E’ possibile inoltre aggiungere dei precomandi di velocità (feed-forward) per compensare
quanto detto in precedenza e per migliorare la risposta [1],[2].
ωmRegolatore PI
velocità
ωm_rif I_rif
-
Kv
Reg.Posiz
Anello di velocità
Trasmissione
X_rif X ωm
-
ωm_rich
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 66
Questo precomando di velocità non è altro che la derivata del riferimento di posizione e
può essere inserito come nello schema seguente:
Figura 61: Aggiunta feed-forward di velocità
Modello dell’azionamento
Si è già spiegato quale tipologia, tra le varie proposte, è stata scelta per implementare il
sistema “azionamento”.
Si è deciso di modellare l’azionamento di tutti gli assi utilizzando un sistema del secondo
ordine che approssima il comportamento del motore e del controllo di corrente.
Sicuramente la scelta di approssimare, più o meno dettagliatamente, il comportamento
dinamico del motore e del regolatore di corrente è giustificata dal fatto che, ai fini
dell’analisi del controllo del movimento, le dinamiche legate al controllo di corrente
possono essere trascurate in quanto molto più rapide [1]. Questo scelta non impedisce lo
sviluppo futuro di un eventuale modello più dettagliato.
Nello schema seguente sono rappresentati gli azionamenti dei tre assi.
+
-
Kv
Reg.Posiz
Trasmissione X_rif
X ωm
s
- ωm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Figura 62: Azionamenti
Questo modello Dymola si relaziona con il modello della “macchina utensile” costituita
dalle catene cinematiche e dalla struttura attraverso le flange meccaniche traslazionali e
attraverso i segnali forniti dalle righe ottiche modellate appunto nella struttura.
Per quanto riguarda i segnali forniti nella parte sinistra del modello, sono associati ai
riferimenti di posizione.
Letture righe
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 68
Figura 63: Modello Dymola di un azionamento relativo ad uno degli assi
Nel modello rappresentato dalla figura precedente sono state evidenziate le varie parti già
descritte nel paragrafo precedente.
Questo modello di azionamento è stato realizzato per poter effettuare, mediante un
opportuno “settaggio” di determinati parametri logici, contemporaneamente sia la
regolazione dell’anello di velocità che quello di posizione.
Esiste inoltre la possibilità di disattivare l’azione di anticipo di velocità.
feed-forward
anello corrente+motore
anello velocità
anello posizione
Step1
startTi...
Spe...
PIA...
tar_vel...
k=...
Gai...
-Fee...
Add1
+1
+1Add1
++1
+1
feed_...Deriva...
k={1} k=Kf_...
Gain2
k={(2*...
Gain3
k={1/...
Gain4
k={(2*...
Gain5
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 69
I parametri significativi da ricavare tramite la taratura(che verrà illustrata nell’apposita
sezione del lavoro) sono tre:
Kv: guadagno proporzionale dell’anello di posizione
Kpv: guadagno proporzionale dell’anello di velocità
Ti: costante di tempo integrale del regolatore proporzionale-integrale di velocità
E’ necessario ora descrivere, anche se in questo caso il formalismo del modello Dymola è
particolarmente chiaro, quali sono i componenti più significativi del modello:
“Motore-controllo di corrente”
Figura 64:Modello del primo ordine del motore-regolatore di corrente
Questo sottomodello è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento nel dominio
di Laplace:
motore del coppia di costante la :Kt e
ordine 2 del modello del ticacaratteris pulsazione la e
osmorzament lo è D
dove
1)(2)( 2
°
+⋅+=
è
sDsKt
iC
rif
m
ω
ωω
Torque1
tau
SecondOrder1
P...
w ={w c}
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 70
I parametri da fissare sono ovviamente la pulsazione caratteristica e la costante di coppia.
Per la Kt si farà riferimento a [21].
Regolatore PI dell’anello di velocità
Figura 65:Modello Dymola di un regolatore Proporzionale-Integrale
Questo componente permette di ottenere in uscita il seguente segnale:
integrale tempodi costante :T
K dove
)()(
I
I
0
eT
K
dtteKteKpvOut
I
PV
t
I
=
⋅+⋅= ∫
Ovviamente i parametri da attribuire al modello sono Kpv e Ti.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 71
“Speed-Sensor”
Figura 66: Modello Dymola dello Speed-Sensor
E’ un componente che fornisce in uscita il valore della coordinata angolare sulla flangia
meccanica rotazionale in ingresso.
Elencheremo anche gli altri componenti anche se la loro funzione è ben comprensibile
dallo schema:
Componente Nome Funzione
Gain Moltiplica l’ingresso per una costante K
Der Derivata Analitica del segnale d’ingresso
Derivative Derivata approssimata del segnale d’ingresso
(nell’eventualità che si verifichino problemi
d’integrazione numerica)
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Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 72
Mux 2_1 Componente che impone, secondo il valore di
un parametro logico, uno dei due ingressi in
uscita
Add Esegue la somma dei segnali d’ingresso
Interruttore In relazione ad un parametro, pone o meno il
segnale d’ingresso in uscita
Figura 67:Tabella con i principali componenti utilizzati nel modello dell’azionamento
Il modello è stato realizzato in modo tale da decidere quale tipologia di blocco derivativo
utilizzare(nel caso in cui segnali d’ingresso determinino derivate infinite).
Esistono alcuni blocchi “Gain” che servono per rendere omogenee le grandezze trattate e
per esplicitare, nella corretta unità di misura, i parametri dei regolatori da tarare.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 73
2.4 MODELLO DELL’UTENSILE
Per quanto riguarda l’utensile, la sua modellazione dipende essenzialmente dal fatto di
considerare o meno la sua cedevolezza e da come si decide di modellare il sistema
“processo di taglio-pezzo”.
In questo lavoro si è deciso di considerare l’utensile completamente rigido.
Ovviamente per un centro di lavoro di questo tipo ha senso ricondursi ad una lavorazione
di fresatura.
Decidendo di modellare il processo-pezzo in modo da simulare l’azione dei denti della
fresa sul pezzo è necessario considerare, nella sua modellazione, la posizione effettiva dei
taglienti.
Ad esempio si può considerare il seguente modello dell’utensile:
Figura 68: Modello di un utensile di fresatura a quattro taglienti
Se ipotizziamo ad esempio di considerare quattro taglienti, si può proporre il modello
Dymola di Figura 69.
Si può osservare, oltre ai terminali Multi-Body rappresentanti i quattro taglienti, anche la
presenza di una flangia per imporre al modello una determinata velocità di rotazione.
Il modello presentato, infatti, considera anche il fatto che l’utensile, in realtà, è mantenuto
in rotazione dal mandrino.
Sostanzialmente si pensa di poterlo collegare al modello del “pezzo-processo” attraverso i
quattro terminali Multi-Body in basso e a quello della macchina utensile grazie al
terminale posizionato nella parte alta della Figura 69.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 74
Figura 69: Modello Dymola di un utensile per fresatura a quattro taglienti
Per realizzare il modello di Figura 69 si è creato un componente in grado di poter disporre i
sistemi di riferimento dei terminali Multi-Body proprio in corrispondenza dei taglienti, che
a loro volta, almeno idealmente, sono posizionati su una circonferenza di raggio pari a
quello della fresa.
Frame-RotationMOD
Il componente creato è in grado, mediante l’assegnazione dei parametri alfa e r, di disporre
il sistema di riferimento del terminale_b secondo una determinata posizione angolare su
una circonferenza di raggio r. Il componente effettua la roto-traslazione planare del sistema
di riferimento_b rispetto a quello del terminale_a (Figura 71).
corpo utensile
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 75
Figura 70: Modello Dymola del Frame-RotationMOD
Figura 71: Roto-traslazione del sistema di riferimento realizzata dal componente Frame-RotationMOD
alfa r
a
b
1a
2a
1b
2b
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 76
workpiece_process_zForze posizioni
terminali da collegare all’utensile
riferimento posizione pezzo
2.5 MODELLO DEL “PEZZO-PROCESSO”
Prima di procedere con la descrizione del modello Dymola realizzato per la modellazione
del pezzo-processo è necessario accennare quali aspetti del problema sono stati tenuti in
considerazione.
Per quanto riguarda il processo, si è deciso di considerare l’azione di ogni singolo tagliente
della fresa in modo che vada ad asportare materiale e a generare la relativa superficie
lavorata. L’azione di ogni singolo dente influenza così l’asportazione del dente successivo.
Con un modello che considera questi aspetti è quindi possibile osservare fenomeni di
instabilità dovuta al processo di taglio (chatter rigenerativo [9],[10],[11]). Ovviamente si è
in grado di osservare fenomeni d’instabilità nel caso in cui venga simulato il processo di
taglio includendo anche il comportamento dinamico della macchina utensile.
Per quanto riguarda la modellazione del pezzo si è deciso di considerarlo completamente
rigido.
Figura 72: Modello Dymola del "pezzo-processo" nel caso di un utensile con 7 taglienti
In Figura 72 è rappresentato il modello Dymola del “pezzo-processo”.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 77
Il modello si relaziona con quello dell’utensile grazie a sette terminali (in questo caso
specifico), che verranno opportunamente collegati a quelli rappresentanti i taglienti del
modello dell’utensile.
L’altro terminale serve per fornire al pezzo una collocazione spaziale rispetto a al
riferimento assoluto.
In definitiva, i terminali Multi-Body nel lato alto della figura rappresentano idealmente i
taglienti della fresa.
Il numero di terminali, come verrà illustrato successivamente, può essere facilmente
modificato.
L’idea di base, sfruttata per la realizzazione del modello di Figura 72, è quella di far
acquisire ai terminali del modello le posizioni dei taglienti e calcolare, ovviamente se la
fresa è in presa, le forze che si generano dall’asportazione di materiale.
Le forze di taglio andranno a determinare dinamicamente, se si pensa di collegare
l’utensile ad una macchina utensile “non rigida” , la posizione dei taglienti stessi.
Il calcolo delle forze, secondo le coordinate radiale, tangenziale e assiale, è ottenuto
mediante le seguenti relazioni:
izsiizz
itsiitt
irsiirr
bKbhKFbKbhKFbKbhKF
⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=
Dove hi è lo spessore del truciolo e bi è la profondità di passata.
Kr, Kt e Kz sono le pressioni specifiche di taglio secondo le tre direzioni in N/(mm^2).
Krs, Kts, Kzs sono i coefficienti che permettono di contemplare l’attrito tra il tagliente ed il
truciolo.
E’ importante osservare che le tre componenti risultanti delle forze di taglio sono costituite
dalla somma di due termini: il primo calcola le forze di taglio in funzione della sezione
istantanea di truciolo mentre il secondo considera l’attrito tra i taglienti e la superficie
lavorata.
Per il calcolo delle forze di taglio risulta così cruciale la determinazione dello spessore
istantaneo del truciolo.
Si può pensare di determinare lo spessore del truciolo come la differenza tra la coordinata
attuale di ogni singolo tagliente e la posizione assunta dal tagliente precedente quando era
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 78
nella medesima posizione angolare, questa ultima informazione è memorizzata attraverso
un elemento di ritardo.
Il valore dell’intervallo di tempo di ritardo dipende ovviamente dalla velocità di rotazione
ed è pari a:
tn⋅⋅
=ω
πτ 2
dove ω è la velocità di rotazione della fresa e nt il numero di denti.
Il problema può così essere così scomposto in sottomodelli rappresentanti l’azione di ogni
singolo tagliente.
A livello concettuale il modello rappresentante la porzione di pezzo-processo associata ad
un generico tagliente è ben schematizzato dalla Figura 73.
Figura 73: Schema concettuale del modello "pezzo-processo" associato al singolo tagliente i.
La verifica della condizione di taglio consiste nell’accertare che il singolo tagliente sia nel
pezzo e che sia effettivamente in una fase di lavoro.
Ti Ti_prec
CALCOLO FORZE
TAGLIO tagliente i-esimo (sezione truciolo
istantanea) izsiizz
itsiitt
irsiirr
bKbhKFbKbhKFbKbhKF
⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=
PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO ii
Verifica
condizione
taglio
Posizione attuale Forze Ti
ritardo
Posizione attuale
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 79
La verifica della fase di lavorazione è stata implementata introducendo una condizione
sullo spessore istantaneo di truciolo (hi positivo).
In Figura 74 è illustrata la modalità di connessione dei sottomodelli relativi ad un singolo
tagliente. Ognuno di questi sottomodelli viene collegato al terminale dell’utensile
contenente le informazioni del corrispettivo tagliente e a quello contenente le informazioni
relative al tagliente precedente( E’ necessario per il calcolo della sezione istantanea di
truciolo).
Figura 74: Modalità di connessione tra i sottomodelli relativi al pezzo-processo di un singolo tagliente
Dopo aver spiegato a livello concettuale la modellazione del “pezzo-processo” si può
illustrare la relativa implementazione in ambiente Dymola.
i-1 i i+1
PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO
ii
PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO
ii++11
PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO
ii--11
i i-1
PEZZO PROCESSO
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 80
Figura 75: Modello della porzione del processo di taglio associato ad un singolo tagliente(pezzo-
processo i)
Nel modello di Figura 75, avendo considerato l’utensile rigido, vengono solo introdotte
informazioni relative alla dimensione e alla collocazione spaziale del pezzo da lavorare.
Figura 76: Implementazione Dymola del modello concettuale di Figura 73
generico tagliente tagliente precedente
posizione pezzo riferimento assoluto
dentro _pezzo?
Ti-1
(del
ay)_
rif_A
1
Forze_i_postta...1
32
• calcolo forze di taglio
• verifica condizione su h elemento ritardo
verifica condizione:
tagliente nel pezzo
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 81
Il modello di Figura 76, grazie anche all’elemento di ritardo, calcola la sezione istantanea
di truciolo, effettua la verifica della condizione di taglio e calcola le forze istantanee.
Figura 77:Implementazione Dymola modello di Figura 72 e collegamento dei sottomodelli(Figura 74)
In Appendice è riportato il codice Modelica del modello evidenziato in Figura 76 che calcola le
forze di taglio.
workpiece_process_z
r=p.
..po
...
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 82
3 DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI
Questa è sicuramente una fase critica del lavoro, infatti la corretta determinazione dei
parametri da inserire nel modello permette sia di verificarne la correttezza in fase di
debugging sia di utilizzare le simulazioni per estrapolare informazioni sul funzionamento
della macchina.
3.1 PARAMETRI MECCANICI MACCHINA UTENSILE
3.1.1 Premessa sulla determinazione dei valori di smorzamento
Prima di presentare i valori dei parametri inseriti nel modello è necessario fare una
premessa sulla determinazione degli smorzamenti viscosi.
E’ difficile avere indicazioni su questa tipologia di parametro, occorrerebbero prove di
laboratorio per ogni componente.
Dopo aver modellato un elemento, in generale, si tende a prendere come smorzamento un
valore modale che va dal 2% al 4%.
In questo lavoro di Tesi è impossibile operare come descritto in quanto Dymola non
permette di effettuare analisi in frequenza in coordinate modali.
Si è deciso allora di ragionare in termini molto pragmatici.
Prendendo in esame un generico componente visco-elastico si può dire che, se è in grado di
esercitare una forza elastica elevata(componente molto rigido) sarà in grado di esercitare
anche una forza viscosa elevata.
In realtà la componente viscosa della forza varia linearmente in funzione della velocità
ovvero in funzione della pulsazione, come si può vedere nel diagramma di Figura 78:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 83
Figura 78: Andamenti forze elastiche e viscose
Come si può facilmente osservare, ω_star è la pulsazione per cui la componente viscosa
della forza eguaglia quella elastica.
Per esprimere quanto detto precedentemente si può pensare di fissare a priori per, ogni
tipologia di componente, una ω_star e da questa calcolarne lo smorzamento.
E’ possibile quindi scrivere :
starKcstarxcxKFF vel _
_ω
ω =⇒⋅⋅=⋅⇒=
Componenti molto rigidi avranno una ω_star elevata.
Una volta fissate tutte le ω_star dei componenti, sarà necessario eseguire prove che
possano validare i valori ipotizzati o che comunque dimostrare la loro fondatezza.
Fe/Fv
ω
ω_star
Fe
Fv
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 84
3.1.2 Struttura meccanica
In questo paragrafo si spiegherà quali sono e come sono stati determinati i principali
parametri della struttura meccanica.
Figura 79:Modello Dymola della struttura meccanica con guide cedevoli
Per ogni sottomodello della struttura, descritto nel capitolo relativo alla modellazione, si
sono determinate fondamentalmente le seguenti informazioni:
1) Massa
2) Matrice d’inerzia baricentrale
3) Informazioni geometriche (da associare ai vari“frame traslation”)
4) Rigidezze delle guide.
5) Smorzamenti (si vedrà successivamente che valori sono stati attribuiti alle ω_star)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 85
Masse-matrici d’inerzia ed informazioni geometriche
Per quanto riguarda le masse, le matrici d’inerzia e le informazioni geometriche, queste
sono state determinate mediante CAD 3D.
Per realizzare il modello solido di tutta la macchina è stato utilizzato il software Solid
Edge.
Rigidezze
Le rigidezze delle guide sono state determinate dalle indicazioni dei costruttori, sono state
inoltre verificate con un modello ad elementi finiti nel lavoro di Tesi [14]
I grafici carico-deformazione forniti dai costruttori delle guide mostrano andamenti non
lineari.
Si è reso quindi necessario valutare la zona in cui il componente lavora per poter
linearizzare e calcolare la rigidezza con la seguente relazione:
δFK =
dove F è la reazione vincolare e δ il relativo cedimento.
Nel modello ad elementi finiti si sono vincolati i punti di contatto in prossimità dei pattini e
si sono caricati i modelli con la relativa forza peso.
E’ importante comunque osservare, come si vedrà in seguito, che tutte le guide lavorano
nella zona lineare dei diagrammi.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 86
Di seguito si riportano i risultati ottenuti:
CARICO ASSIALE
CARICO TRASVERSALE
POSIZIONE DESIGNAZIONE RIGIDEZZA ASSIALE [KN/µm]
CARRO-PORTALE RUE 45 DLFEW2 2,6
TESTA-CARRO RUE 35 DHLFEW3 1,87
TESTA-CANOTTO RUS 0,5
TESTA-CANOTTO RUE 35 DFEW2 1,5
POSIZIONE DESIGNAZIONE RIGIDEZZA TRASVERSALE [KN/µm]
CARRO-PORTALE RUE 45 DLFEW2 1,72
TESTA-CARRO RUE 35 DHLFEW3 1,8
TESTA-CANOTTO RUE 35 DFEW2 1,18
Di seguito si riportano i diagrammi delle diverse tipologie di pattini.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Pattini tra canotto e testa
Le reazioni vincolari del canotto hanno come modulo massimo il valore 1216 N. Questa
forza è stata scomposta nelle due direzioni: quella normale e quella tangenziale al pattino.
Le due componenti sono uguali poiché l’angolo di inclinazione del pattino rispetto agli assi
del modello FEM è di 45°.
Si ottengono quindi:
Fx =1216*cos45 = 860 N
Fy =1216*cos45 = 860 N
Entrando nelle ordinate dei grafici sottostanti con questi valori di forza si possono
calcolare le cedevolezze e, di conseguenza, la rigidezze assiale e quella trasversale.
Figura 80:Grafici rigidezze unità a ricircolazione di rulli RUE 35D. Nel grafico di sinistra carico di
compressione, in quello a destra carico laterale.[20].
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 88
Figura 81:Grafico di trazione a sinistra e particolare della zona d’interesse a destra [20]
ed usando la seguente:
δFK =
COMPRESSIONE: F = 0,86 KN δ = 0,57 µm KA = F/δ = 1,5 KN/µm
CARICO LATERALE: F= 0,86 KN δ = 0,73 µm KT = F/δ = 1,18 KN/µm
Nella parte superiore del canotto, con la sola funzione d’appoggio, sono montati dei pattini
a ricircolazione di rulli chiamati in gergo (“carri armati”) che scorrono su guide piane. Per
queste unità ha senso solo parlare di rigidezza assiale. Come si vede dal grafico la
relazione che lega i carichi alle deformazioni di tali pattini è strettamente lineare per cui la
rigidezza è costante e vale:
KA = F/δ = 0,5 KN/µm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 89
Pattini tra testa e carro
Per ricavare correttamente le reazioni vincolari che agiscono su questo elemento è stato
necessario inserire i dati di massa del canotto nel modello solido della testa.
Figura 82: Andamenti delle rigidezze
Carico laterale(da INA) Carico di trazione(da INA ).
Calcolo della rigidezza assiale:
F = 0,2 KN δ = 0,106 µm KA = F/δ = 1,87 KN/µm
Calcolo della rigidezza trasversale:
F = 1,3 KN δ = 0,72 µm KA = F/δ = 1,8 KN/µm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 90
Pattini tra carro e portale
Analogamente a quanto fatto per i pattini tra testa e carro si sono aggiunti al modello solido
del carro le masse riguardanti la testa e al canotto fissate con dei collegamenti rigidi.
Figura 83: Carico laterale Compressione
COMPRESSIONE: F = 3,2 KN δ = 1,23 µm KA = F/δ = 2,6 KN/µm
CARICO LATERALE : F = 0,1 KN δ = 0,05 µm KT = F/δ = 1,72 KN/µm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 91
Maschere riassuntive per l’inserimento parametri meccanici in Dymola
E’ importante segnalare la presenza di un parametro rid_k che implementa una riduzione
delle rigidezze delle guide.
Questo parametro è stato inserito per tenere in considerazione, anche se in maniera
piuttosto pragmatica, la mancata modellazione della cedevolezza vera e propria della
struttura.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 92
Figura 84:Parametri inseriti nel modello dell’assieme carro
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Figura 85: Parametri inseriti nel modello dell’assieme “supporto canotto”
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Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Figura 86:Parametri dell’assieme canotto
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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3.1.3 Catene cinematiche
Facendo riferimento sempre al medesimo modello presentato in precedenza:
Figura 87:Modello delle catene cinematiche
Ogni singola trasmissione può essere modellata nel seguente modo:
Figura 88:Modelli dei componenti contenuti in ogni catena cinematica
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 97
Quindi per ogni singolo modello si sono definiti i seguenti parametri:
1) J_motore: momento d’inerzia del motore
2) Parametri trasmissione a cinghia
a) dm, dc : diametro puleggia motrice e condotta
b) Jm, Jc :momento d’inerzia puleggia motrice e condotta
c) i: interasse tra le pulegge
d) k_spec: rigidezza specifica percentuale del ramo della cinghia
e) w_star_cinghia: per determinare smorzamento
3) Parametri trasmissione a vite a ricircolo di sfere:
a) Jc o Jv: momento d’inerzia chiocciola o vite in relazione alla tipologia di
trasmissione
b) Kn: rigidezza chiocciola
c) Kb:rigidezza cuscinetti
d) dn, dm :diametro nocciolo e medio della vite
e) p:passo vite
f) w_star_cuscinetti,w_star_chiocciola: per determinare smorzamento
cuscinetti e chiocciola
g) w_star_vite: per determinare smorzamento vite.
I valori di ω_star per la determinazione degli smorzamenti dei vari componenti verranno
illustrati in seguito.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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Motori
I momenti d’inerzia dei motori sono stati determinati dai data-sheet dei motori [21]
Figura 89: Motori FT8082
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Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 99
Figura 90:Motore FT 8086
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 100
Trasmissione a cinghia
I valori dei momenti d’inerzia delle pulegge,i relativi raggi e l’interasse sono stati
determinati dai modelli solidi e dai disegni tecnici degli stessi componenti .
La rigidezza specifica è stata calcolata dai cataloghi dei costruttori di
cinghie(Poggi:trasmissioni meccaniche):
Figura 91: Diagramma per il calcolo della rigidezza specifica della cinghia
Si usa la stessa cinghia per entrambe le tipologie di catene cinematiche.
L rigidezza specifica può essere calcolata con la seguente:
100⋅∆
=
llFK spec
che non è altro che la pendenza della retta evidenziata nella figura sopra.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 101
Vite a ricircolo di sfere
I momenti d’inerzia Jv o Jc ed i diametri della vite sono stati determinati dai disegni
costruttivi e dai modelli solidi dei componenti (basandosi sulle indicazioni del costruttore).
In modo analogo è stato determinato il passo della vite.
Per quanto riguarda la rigidezza della chiocciola: è stata determinata dalle indicazione dei
relativi a [17].
Figura 92: Dati rigidezza chiocciola
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 102
Anche le rigidezze dei cuscinetti sono state determinate da cataloghi:
Figura 93: Rigidezza cuscinetti "vite fissa"
Figura 94: Rigidezza cuscinetti "vite rotante"
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 103
I valori delle lunghezze iniziali delle viti sono state determinate da CAD 3D(relativamente
alla configurazione analizzata della macchina)
Si possono elencare i parametri inseriti con la presentazione delle maschere Dymola( la
presentazione delle maschere rispetta l’ordine gerarchico di modellazione ):
In questa fase si può vedere come i parametri possano essere “propagati” da un modello ad
un sottomodello di livello inferiore.
Trasmissione a “vite fissa”
Per” Carro”
Figura 95:Maschera per inserimento parametri: “vite fissa”
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 104
e quindi per la trasmissione a cinghia:
Figura 96:Maschera per inserimento parametri nella trasmissione a cinghia della “vite fissa”
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 105
e per quella a ricircolo di sfere:
Figura 97:Maschera per l’introduzione dei parametri nella vite a ricircolo della “chiocciola girevole”
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 106
Per “Supporto canotto”
La trasmissione ha i medesimi parametri di quella che movimenta il carro eccetto per il
momento d’inerzia del motore.
Figura 98:Maschera per l’inserimento parametri “vite fissa”
trasmissione vite fissa
momento d’inerzia motore asse W
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Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 107
Trasmissione a “vite rotante”
Questo tipo di catena cinematica viene utilizzata solo per la movimentazione del canotto
ovvero dell’asse verticale.
Figura 99:Maschera per inserimento parametri: “vite rotante”
vite rotante
vite rotante
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 108
Figura 100:Maschera per inserimento parametri nella trasmissione a cinghia della “vite rotante”
cinghia tras parametri vite rotante
cinghia tras parametri vite rotante
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 109
Figura 101:Maschera per l’introduzione dei parametri nella vite a ricircolo della “vite rotante”
vite ricircolo vite rotante
vite ricircolo vite rotante
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Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 110
3.2 VERIFICA PARAMETRI MECCANICI DELLA MACCHINA UTENSILE
In questo paragrafo vengono fissati i valori da attribuire alle varie ω_star per la
determinazione degli smorzamenti viscosi da associare ai relativi componenti.
Si procede nel verificare sia la correttezza del modello sia che questi parametri permettano
al sistema “Macchina utensile” di comportarsi coerentemente con la macchina reale.
E’ necessario approfondire meglio questo aspetto.
Le macchine utensili possiedono infiniti modi di vibrare ovvero, se sollecitate, rispondono
vibrando cioè muovendo alcune sue parti. Questa vibrazione è composta da vibrazioni a
diversa frequenza e le diverse componenti si chiamano appunto “modi di vibrare”.
Ovviamente anche il modello avrà dei modi di vibrare ad esso associati. Il numero
complessivo dei modi di vibrare dipende dal dettaglio con cui si è modellato il sistema,
ovvero dai gradi di libertà che si sono considerati.
In generale, sia nella macchina reale che nel modello, i modi caratterizzati dalle frequenze
più basse sono sicuramente quelli più interessanti e significativi.
Per andare ad analizzare questi modi di vibrare occorrerà eccitare la struttura ad esempio
con un gradino di forza.
Essendo una macchina con un piano di simmetria, esisteranno dei modi di vibrare associati
a queste direzioni preferenziali.
Si è pensato di analizzare il comportamento della risposta del modello della macchina ad
un gradino di forza applicato al naso mandrino della macchina utensile.
Il gradino di forza è stato applicato nelle tre direzioni principali.
Per ogni caso si sono analizzati gli andamenti temporali appunto delle tre coordinate
principali cercando di ricavare le frequenze dei primi modi di vibrare, i relativi
smorzamenti ed i cedimenti statici associati al gradino di forza.
I parametri di smorzamento inseriti per ogni modello di componente andranno ad
influenzare lo smorzamento dei modi di vibrare della macchina.
L’idea di base è quella di assegnare determinati valori di ω_star per i componenti al fine di
ottenere un comportamento altrettanto ragionevole del modello in relazione alla tipologia
di macchina utensile studiata.
Per valutare il comportamento della macchina utensile si sono effettuate delle simulazioni,
si sono succesivamente analizzati le simulazioni numeriche dele risposte temporali.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 111
E’ però piuttosto difficile analizzare risposte temporali soprattutto in relazione alla
determinazione delle frequenze dei modi di vibrare e dei relativi smorzamenti.
Si è deciso di effettuare quindi delle analisi in frequenza in ambiente Matlab-Simulink.
Per poter convertire i modelli Dymola, per definizione a-causali, in un formato “Matlab-
Simulink” si è reso necessario modificarli esplicitando i segnali d’ingresso ed uscita.
Questa operazione permette di definire una sorta di causalità se si pensa di considerare il
modello come un semplice “blocco” dotato di input ed output.
Nei differenti modelli studiati, sono stati scelti come ingressi ed uscite, a seconda dei
risultati a cui si era interessati, le variabili opportune.
In appendice[1.2] sono spiegate le procedure per trasformare modelli Dymola in modelli
sfruttabili da Matlab-Simulink.
Dopo aver effettuato alcune analisi, si è deciso di assegnare il valore agli smorzamenti dei
componenti mediante la definizione delle seguenti:
• ω_star_pattini=9000rad/s
• ω_star_cuscinetti= ω_star_chiocciola= ω_star_vite=7000rad/s
• ω_star_cinghia=5500rad/s.
Le simulazioni delle risposte della macchina utensile, ovvero della struttura con le catene
cinematiche, a gradini di forza sono state ottenute pensando di “bloccare” i rotori dei tre
motori.
Per meglio comprendere quanto si è fatto è necessario rifarsi al modello di
Figura 102:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 112
Figura 102: Modello Dymola per analizzare le simulazioni delle risposte al gradino
Esplicitando gli ingressi e le uscite è possibile ottenere un modello Dymola che può essere
convertito in uno adatto alle analisi in frequenza.
In ingresso si ha il segnale forza mentre in uscita le tre coordinate del naso-mandrino.
Figura 103:Modello Dymola convertibile in un blocco Simulink
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 113
Figura 104:Equivalente Simulink del modello Dymola.
Con a disposizione il modello convertito sono possibili una serie di analisi supplementari.
E’ possibile ad esempio linearizzare il modello ed ottenerlo in forma State-Space:
[ ] { } [ ] { }
{ } [ ] { } [ ] { }uDxCy
uBxAx
⋅+⋅=
⋅+⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •
dove x sono gli stati del sistema, u gli ingressi e y le uscite del sistema.
Si può ottenere il sistema nella forma dello spazio degli stati attraverso il comando Matlab
“linmod” [5].
Con il comando Matlab damp(A) o eig(A) è possibile determinare gli autovalori della
matrice A che corrispondono ai poli della funzione di trasferimento tra gli stati e
l’ingresso.
La matrice A è quella che descrive la dinamica del sistema infatti la dinamica libera e
descritta dalla seguente equazione nello spazio degli stati:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 114
[ ] { }xAx ⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •
Che può essere ricavata dalla formulazione classica che descrive un sistema dinamico:
[ ] [ ] [ ] { }
[ ] [ ]
{ }{ }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] { }zAz
MKR
C
MM
B
zCzB
x
xz
xMxM
xKxRxM
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⋅+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧•
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅
=⋅+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅
•
•
•
••
•••
ottiene si e0
00
dove
0
risulta
ponendo e
identità seguente dalla e
0
Con il comando bode(A,B,C,D) è inoltre possibile tracciare i diagrammi di Bode delle
funzioni di trasferimento tra le uscite e gli ingressi (Non si sono tracciati per questo caso
specifico).
E’ significativo anche diagrammare su un piano complesso i poli del sistema.
Per il modello analizzato si hanno i seguenti poli, (nell’elenco si riportano solo i poli a
frequenza più bassa):
Autovalori Damping Freq. (rad/s) -8.07e+000 + 3.35e+002i 2.41e-002 3.35e+002 1)
-8.07e+000 - 3.35e+002i 2.41e-002 3.35e+002
-1.47e+001 + 4.54e+002i 3.24e-002 4.54e+002 2)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 115
-1.47e+001 - 4.54e+002i 3.24e-002 4.54e+002
-2.56e+001 + 5.99e+002i 4.27e-002 6.00e+002 3)
-2.56e+001 - 5.99e+002i 4.27e-002 6.00e+002
-5.03e+001 + 8.94e+002i 5.62e-002 8.95e+002
-5.03e+001 - 8.94e+002i 5.62e-002 8.95e+002
-5.97e+001 + 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003
-5.97e+001 - 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003
-1.01e+002 + 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003
-1.01e+002 - 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003
-2.02e+002 + 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003
-2.02e+002 - 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003
……. -6.41e+002 + 2.63e+003i 2.37e-001 2.71e+003
-6.41e+002 - 2.63e+003i 2.37e-001 2.71e+003
7.58e+002 + 2.83e+003i 2.59e-001 2.93e+003
-7.58e+002 - 2.83e+003i 2.59e-001 2.93e+003
-7.66e+002 + 2.82e+003i 2.62e-001 2.92e+003
-7.66e+002 - 2.82e+003i 2.62e-001 2.92e+003
…….
Come si vedrà nel proseguo della trattazione i poli più significativi per l’analisi delle
risposte ai gradini di forza sono sicuramente quelli evidenziati.
I poli sono stai inoltre rappresentati su un piano complesso(Figura 105).
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 116
-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Poli del modello MU a rotori bloccati
Figura 105:Rappresentazione su un piano complesso dei poli del sistema(struttura+catene cinematiche a rotori bloccati)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 117
-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Modi principali
(1,2,3)
Figura 106: Poli associati ai modi principali (zoom)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 118
E’ importante sottolineare che le frequenze associate ai primi modi di vibrare sono relative
alla configurazione a rotori bloccati.
E’ possibile inoltre analizzare più dettagliatamente il significato fisico dei singoli poli del
sistema.
Questo può essere fatto tipicamente con un’analisi agli autovalori-autovettori.
Si è già anticipato che gli autovalori della matrice A rappresentano i poli del sistema.
Ad ogni autovalore è associato un autovettore che fornisce informazioni sulle ampiezze dei
gradi di liberta del sistema (definiti a meno di una costante) in corrispondenza del modo di
vibrare associato appunto al polo considerato.
In questa particolare applicazione, dovendo convertire i modelli Dymola in ambiente
Matlab-Simulink, è necessario ricondurre gli autovettori effettivamente a delle uscite
fisiche (quelle eventualmente esplicitate nei modelli Dymola adattati alla conversione).
Questo può essere fatto con la seguente relazione:
{ } [ ] [ ]VCy ⋅=
dove C è la matrice denominata trasformazione d’uscita e V è il generico autovettore.
Ricavando i moduli dei vari componenti del vettore { }y si ha a disposizione, ovviamente
definita a meno di una costante, la deformata del sistema in corrispondenza della frequenza
associata al relativo autovalore.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 119
Figura 107:Dettaglio del diagramma complesso dei poli
-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
Trasmissioni a cinghia
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 120
OUTPUT
INPUT
xy
ExtLin...
Catene cine...
ExtLin...
ExtLin...
Machining...UGRADINI FORZA
LETTURA RIGHE
Cons...
k={6...
Cons...
k={6...
Con
sta.
..
k={3
65}
CATENE CINEMATICHE
cinghia_tr...Inertia_motore
J=J_motore/10000 vite
AngleS...
AngleS...
1 2 3 4 5 6
SCHEMA TRASMISSIONE
USCITE SINGOLA TRASMISSIONE
USCITE TRASMISSIONI
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 121
Figura 108: Modello Dymola per analisi in ambiente Simulink
In Figura 108 è rappresentato un modello Dymola della struttura e delle trasmissioni creato
appositamente per effettuare analisi (autovalori-autovettori) in ambiente Matlab-Simulink.
Come è già stato anticipato si sono esplicitate come ingressi ed uscite opportune grandezze
associate ad alcuni terminali.
Sostanzialmente in questo modello, come segnali d’uscita, si hanno le letture delle righe
ottiche e alcune altre grandezze cinematiche relative ad ogni singola trasmissione.
Per tutte le trasmissioni sono state esplicitate alcune grandezze:
n° Grandezza Unità di misura
1 Rotazione puleggia motore (frame_a cinghia) [rad]
2 Rotazione puleggia motore (frame_a cinghia) [rad]
3 Traslazione cuscinetti(frame_a) [m]
4 Traslazione cuscinetti(frame_b) [m]
5 Traslazione chiocciola(frame_b) [m]
6 Traslazione vite(frame_b) [m]
E’ possibile quindi conoscere, in corrispondenza delle pulsazioni di alcuni poli, come si
deformano gli elementi delle catene cinematiche. Per ottenere tale indicazioni è necessario
calcolare i cedimenti come differenza tra il valore della grandezza sul terminale b e quello
sul terminale a.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 122
modo a (2.93E03rad/s)
-0.0000006
-0.0000004
-0.0000002
0
0.0000002
0.0000004
0.0000006
0.0000008
0.000001
0.0000012
cingh
ia u
cusc
inetti
u
chioc
ciola
uvit
e u
cingh
ia w
cusc
inetti
w
chioc
ciola
wvit
e w
chioc
ciola
vvit
e v
cusc
inetti
v
cingh
ia v
componenti
ampi
ezze
ced
imen
ti m
odo
cinghia ucuscinetti uchiocciola uvite ucinghia wcuscinetti wchiocciola wvite wchiocciola vvite vcuscinetti vcinghia v
Figura 109: Ampiezza cedimenti modo a 2.93E3 rad/s
modo a (2.92E03 rad/s)
-0.0000008
-0.0000006
-0.0000004
-0.0000002
0
0.0000002
0.0000004
0.0000006
0.0000008
0.000001
0.0000012
cingh
ia u
cusc
inetti
u
chioc
ciola
uvit
e u
cingh
ia w
cusc
inetti
w
chioc
ciola
wvit
e w
chioc
ciola
vvit
e v
cusc
inetti
v
cingh
ia v
componenti
ampi
ezze
ced
imen
ti m
odo
cinghia ucuscinetti uchiocciola uvite ucinghia wcuscinetti wchiocciola wvite wchiocciola vvite vcuscinetti vcinghia v
Figura 110: Ampiezze cedimenti modo a 2.92E3 rad/s
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 123
modo a 2.71E03rad/s
-0.0000006
-0.0000004
-0.0000002
0
0.0000002
0.0000004
0.0000006
0.0000008
0.000001
0.0000012
0.0000014
cingh
ia u
cusc
inetti
u
chioc
ciola
uvit
e u
cingh
ia w
cusc
inetti
w
chioc
ciola
wvit
e w
chioc
ciola
vvit
e v
cusc
inetti
v
cingh
ia v
componenti
ampi
ezze
ced
imen
nti m
odo
cinghia ucuscinetti uchiocciola uvite ucinghia wcuscinetti wchiocciola wvite wchiocciola vvite vcuscinetti vcinghia v
Figura 111:Ampiezze cedimenti modo a 2.71E3 rad/s
Come si può facilmente osservare dalla Figura 109, Figura 110, Figura 111, in
corrispondenza dei poli evidenziati in Figura 107 sono le tre cinghie a vibrare
maggiormente.
La disposizione dei poli del sistema sul piano complesso è in un certo modo figlia della
scelta della procedura di calcolo dello smorzamento:
Nel nostro caso si è utilizzata la seguente:
∗=ωKc
con ∗ω maggiore per componenti più rigidi.
In Figura 112 si è messo in evidenza come potrebbe cambiare la disposizione dei poli del
sistema in relazione alla determinazione degli smorzamenti dei vari componenti.
La scelta dei valori di ∗ω per le diverse tipologie di componenti meccanici è stata fatta
cercando di rispettare le seguenti condizioni:
• smorzamenti dei modi principali inferiori a circa 5%
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 124
• disposizione dei poli del sistema più o meno coerente con l’andamento raffigurato
in Figura 112. Si è cercato di evitare poli che si scostassero eccessivamente e cioè
poli che fossero eccessivamente o troppo poco smorzati.
Il risultato è quello rappresentato in Figura 105.
Figura 112: disposizione poli del sistema meccanico sul diagramma complesso
Im
Re
smorzamento modale costante
∗=ωKc
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 125
Si passa ora ad analizzare le risposte temporali al gradino di forza nelle varie direzioni.
In tutti i casi si è applicato un gradino di forza di 1000N applicato all’istante t=0.5s.
E’ necessario premettere la presenza di un transitorio iniziale dovuto all’applicazione,
all’intera struttura, della forza peso all’istante iniziale t=0s. Si ha una sorta di
“assestamento”.
GRADINO U (diretto secondo la coordinata U)
Risposta coordinata U
Figura 113:Andamento temporale coordinata U
E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata U e calcolarne la rigidezza la
quale risulta:
Ku_u=77 N/µm
Si può inoltre stimare in maniera approssimativa, dall’analisi del diagramma temporale, la
frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 54Hz circa 339rad/s).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0....
+4...
+8...
+1...
+1...
+2...
+2...
struttura_MU1.naso_mandrino.r0[1]
[m]
[sec]
0.000013mm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 126
Come si può facilmente osservare dalla lista dei poli, il modo individuato nella risposta
temporale corrisponde alla coppia di poli complessa coniugata evidenziata e contrassegnata
dal numero 1 (a 335 rad/s).
E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=2.41%.(smorzamento
dimensionale percentuale h)
Questi smorzamenti possono essere determinati anche nel tempo con la tecnica del
decremento logaritmico [22], lo si è fatto solo come verifica.
Si analizzano ora anche le risposte nelle altre due direzioni:
Risposta coordinata W
Figura 114:Risposta temporale coordinata W
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25+0...
+2...
+4...
+6...
+8...
+1...
+1...
+1...
+1...
+1...struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1+0...
+2...
+4...
+6...
+8...
+1...
+1...
+1...
+1...
+1...
+2...struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]
[m]
[sec]
2E-08m
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 127
Si può facilmente osservare che il gradino di forza applicato al naso mandrino lungo U
influenza pochissimo la coordinata W. La rigidezza che ne consegue è molto più elevata
della Ku_u.
Analogamente anche per l’ultima coordinata rimasta valgono le medesime considerazioni
fatte per la coordinata W. Si evita di riportare gli andamenti temporali della risposta.
GRADINO W (diretto secondo la coordinata W)
Risposta coordinata W
Figura 115:Andamento temporale coordinata W
E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata W e calcolarne la rigidezza la
quale risulta:
Kw_w=77.5 N/µm
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7+0...
+2...
+4...
+6...
+8...
+1...
+1...
+1...
+1...
+1...
+2...
+2... struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]
0.0129mm
[m]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 128
Si può inoltre stimare in maniera approssimativa, dall’analisi del diagramma temporale, la
frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 71,43 Hz pari a 448 rad/s). Si
nota la presenza di un modo a frequenza più elevata ma sicuramente più smorzato.
Come si può facilmente osservare dalla lista dei poli, il modo individuato nella risposta
temporale corrisponde alla coppia di poli complessa coniugata evidenziata e contrassegnata
dal numero 2 (a 454 rad/s).
E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=3.24%.(smorzamento
dimensionale percentuale h)
Risposta coordinata U
Figura 116:Andamento temporale coordinata U(sonopresenti anche disturbi numerici)
Anche in questo caso il cedimento statico è molto inferiore e così la rigidezza molto
superiore a Kw_w.
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55-0....
+2...
+4...
+6...
+8...
+1...
+1...
+1...
struttura_MU1.naso_mandrino.r0[1]
[m]
[sec]
3E-08m
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 129
Risposta coordinata V
Figura 117:Risposta temporale coordinata V
Si possono fare le medesime considerazioni che per la coordinata U.
GRADINO V (diretto secondo la coordinata V)
Risposta coordinata V
Figura 118:Risposta temporale coordinata V.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75-0....
+2...
+4...
+6...
+8...
+1...
+1...
+1... struttura_MU1.naso_mandrino.r0[3]
[m]
[sec]
6.3E-6m
0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8-0....
+1...
+2...
+3...
+4...
+5...
+6...
struttura_MU1.naso_mandrino.r0[3]
[m]
[sec]
1.1E-6m
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 130
E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata V e calcolarne la rigidezza la
quale risulta:
Kv_v=159 N/µm
In questa direzione si ottiene un valore di rigidezza leggermente più elevato.
Si può inoltre stimare in maniera approssimativa, dall’analisi del diagramma temporale, la
frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 95.3 Hz pari a circa 598rad/s).
Come si può facilmente osservare dalla lista dei poli, il modo individuato nella risposta
temporale corrisponde alla coppia di poli complessa coniugata evidenziata e contrassegnata
dal numero 3 (a 600 rad/s).
E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=4.27%.
I poli associati ai modi principali sono evidenziati inFigura 106
Dopo aver analizzato i casi proposti, si può affermare che il comportamento simulato della
macchina è ragionevole sia in termini di smorzamenti che in termini di cedimenti statici.
I valori di rigidezza statica e di smorzamento dei modi principali sono coerenti con quelli
di una macchina della medesima tipologia.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 131
m rad rad/s
feed-forward
anello corrente+motore
anello velocità
anello posizione
Step1
startTi...
Spe...
PIA...
tar_vel...
k=...
Gai...
-Fee...
Add1
+1
+1Add1
++1
+1
feed_...Deriva...
k={1} k=Kf_...
Gain2
k={(2*...
Gain3
k={1/...
Gain4
k={(2*...
Gain5
3.3 TARATURE AZIONAMENTI
3.3.1 Considerazioni
Ci si può riferire fondamentalmente al medesimo schema valido per tutti gli assi della
macchina.
Questo modello è stato ottenuto semplificando gli schemi degli usuali azionamenti
industriali [4].
Figura 119: Schema dell’azionamento
Sostanzialmente è necessario determinare i seguenti parametri:
• Kv (guadagno proporzionale di posizione)
• Kpv (guadagno proporzionale dell’anello di velocità)
• Ti (costante di tempo integrale dell’anello di velocità)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 132
Per quanto riguarda la pulsazione ωc, associata al modello del secondo ordine
rappresentante l’anello di corrente, si è deciso di assumere ωc=5026.5 rad/s(800Hz)e
smorzamento relativo del 70%.
Questa semplificazione è adatta a studiare casi con banda di corrente non troppo elevata o
quando non interessano saturazioni di corrente o tensione.
La taratura viene effettuata partendo dagli anelli più interni fino ad arrivare a quelli più
esterni.
Nel caso in esame è necessario prima tarare l’anello di velocità, determinando Kpv e Ti, e
solo successivamente effettuare la taratura dell’anello di posizione ricavando un valore per
il parametro Kv.
Le procedure ed i criteri di taratura sono quelli estratti dalla consuetudine industriale
E’ importante sottolineare il valore assunto dal guadagno Gain5 il quale permette di
esprimere coerentemente le unità di misura dei segnali e di assegnare al Kv il significato di
banda passante di posizione(spiegato nel paragrafo relativo alle tarature).
m
cgain r
rp
K ⋅⋅
=
1000
25
π
Questo guadagno non rappresenta altro che il rapporto di trasmissione dell’intera catena
cinematica, ovvero il rapporto di trasmissione complessivo realizzato da cinghia e vite a
ricircolo di sfere.
Prima di procedere con la taratura vera e propria è indispensabile premettere i concetti sui
quali si basa la regolazione di un qualsiasi anello.
La taratura ha lo scopo di ottenere un buon compromesso tra un sistema pronto e un
sistema non troppo smorzato. Aumentando i guadagni d’anello si ottiene un sistema
controllato sempre più pronto a seguire i segnali di riferimento (si aumenta la banda
passante BP tra riferimento e grandezza controllata) ma è necessario evitare di ottenere un
sistema troppo poco smorzato [12].
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 133
La taratura può essere fatta in modo equivalente sia nel dominio delle frequenze (attuali
CN) che in quello temporale.
In questo caso, avendo a disposizione uno strumento come Dymola, si è costretti ad
effettuare la taratura analizzando le risposte del sistema nel tempo.
Grazie alla possibilità di convertire modelli Dymola in modelli adatti all’ambiente
Simulink, si sono rese possibili analisi in frequenza relative ai sistemi precedentemente
tarati.
Si riportano i diagrammi di Bode delle risposte in frequenza e le risposte temporali degli
anelli di velocità e posizione di un asse.
Si potranno così effettuare considerazioni su come il sistema modifica il suo
comportamento quando viene controllato.
Per quanto riguarda gli altri assi, si riporteranno solamente i risultati ottenuti.
Procedura di taratura nel tempo
La taratura, come già anticipato in precedenza, serve per ottenere un compromesso ideale
tra:
• prontezza di risposta
• smorzamento delle oscillazioni
• nessuna sovraelongazione nei posizionamenti.
Questo viene ottenuto seguendo i passi successivi.
Taratura anello di velocità:
1) Si impone un gradino di velocità all’ingresso.
2) Si annulla inizialmente l’effetto dell’integratore ponendo Ti ad un valore molto
alto.
3) Si aumenta progressivamente il valore di Kpv fino ad ottenere delle
sovraelongazioni della velocità che vanno dal 15 al 20% del valore di riferimento.
Questo equivale, ragionando nel dominio delle frequenze, a fissare un margine di
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 134
fase o di guadagno per non avere un sistema controllato troppo oscillante e ovvero
troppo poco smorzato.
4) Una volta fissato il Kpv, si ritorna a far diminuire Ti fino a che la sovraelongazione
di velocità non riprende a crescere.
In generale si può affermare che il guadagno Kpv dell’anello di velocità è limitato, oltre
che dalla banda passante dell’anello di corrente, dalla flessibilità strutturale e dai picchi di
risonanza del sistema.
Taratura anello di posizione:
1) Con i valori di Kpv e Ti ricavati si impone al riferimento di posizione un
segnale a rampa
2) Si aumenta progressivamente il guadagno di posizione fino al massimo valore
che non genera oscillazioni. Per un anello di posizione è preferibile ottenere un
sistema meno pronto ma che non generi oscillazioni che andrebbero
inevitabilmente a peggiorare la qualità dei pezzi lavorati.
3) A questo punto si può inserire l’anticipo di velocità (feed-forward).
Il guadagno Kv sarà limitato dalla banda passante dell’anello di velocità e da eventuali
risonanze delle catene cinematiche.
Per quanto riguarda la rampa da utilizzare come riferimento di posizione, si è creato un
segnale che avesse accelerazioni limitate. Questo segnale è stato ottenuto imponendo un
profilo trapezoidale alla velocità, la posizione è stata ottenuta integrando la velocità stessa.
Un segnale così descritto è sicuramente più aderente, ai fini della valutazione delle
risposte, ad una situazione reale.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 135
3.3.2 Taratura asse U
Per prima cosa è necessario analizzare il comportamento dell’asse U non a rotore bloccato.
Si può fare quindi riferimento allo schema Dymola di :
Figura 120: Modello Dymola per la determinazione della FRF ω /Cm
Convertendo il sistema in un modello Matlab-Simulink è possibile ricavare la FRF tra la
velocità angolare ω e la coppia motrice Cm.
La FRF fornisce informazioni sulla caratteristica meccanica dell’asse U.
E’ interessante conoscere questa risposta in frequenza anche per poterla successivamente
confrontare , nella fase di validazione del modello, con quella ricavata dall’azionamento
840D della macchina utensile reale.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 136
Figura 121:FRF ω /Cm asse U
100 101 102-45-35-25-15
-55
15253545556575
units
: dB
; OPVEL U.M1&2; AXIS: U;
100 101 102-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
grad
i
Hz
. 7.1 -45.0
Modello w/Cm [(rad/s)/(Nm)]
meccanica rigida
prima risonanza asse U
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 137
Figura 122: Disposizione poli sistema di Figura 120
-7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 138
Figura 123: Zoom
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)
poli nell’origine
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 139
E’ possibile notare la presenza di una risonanza e di una anti-risonanza (Figura 121).
La frequenza associata allo zero dovrebbe corrispondere alla pulsazione del primo modo di
vibrare dell’asse a rotore bloccato(circa 335 rad/s).
Come si può facilmente osservare la frequenza del polo associato al primo modo dell’asse
U è in linea con le indicazioni fornite dalla risposta in frequenza di Figura 121
Si riportano alcuni poli del sistema
smorz. pulsazione[rad/s] 5.00e-003 -1.00e+000 5.00e-003
8.63e-008 + 6.98e-003i -1.24e-005 6.98e-003
8.63e-008 - 6.98e-003i -1.24e-005 6.98e-003
-5.00e-003 1.00e+000 5.00e-003
-1.37e+001 + 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002 Primo modo di vibrare dell’asse U
-1.37e+001 - 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002
-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
…..
…..
Come si può facilmente notare, i poli nell’origine evidenziati sono associati al fatto che
l’asse U e l’asse W non hanno il rotore bloccato e non sono controllati in velocità e
posizione.
Ovviamente anche la pulsazione dei due modi a frequenza minore è sensibilmente
differente da quella del sistema a rotori bloccati di Figura 103.
Si può procedere ora con la taratura degli anelli di posizione e velocità dell’asse U.
Si effettua prima la taratura nel tempo sfruttando le simulazioni in Dymola, poi si
verificano le stesse con opportune analisi in frequenza (FRF in anello chiuso ed aperto)
realizzate in ambiente Matlab-Simulink operando sui modelli convertiti.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 140
Per la taratura dell’asse “U” si fa riferimento al modello di Figura 124:
Figura 124: Modello Dymola utilizzato per la taratura dell’asse U
Per la taratura dell’asse U si è bloccato il rotore della catena cinematica che comanda
l’asse verticale mentre l’asse W è stato lasciato “libero”.
Le tarature degli anelli di velocità e posizione sono state realizzate seguendo le procedure
descritte precedentemente.
Con lo schema riportato sopra è possibile aprire e chiudere i diversi anelli semplicemente
imponendo determinati valori ad opportuni parametri logici.
La maschera Dymola con la quale si possono inserire i parametri per effettuare la taratura è
riportata in Figura 125:
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 141
Figura 125: Maschera Dymola per inserimento parametri nei regolatori
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 142
Taratura anello di velocità
Riportiamo ora i risultati della taratura dell’anello di velocità dell’asse U:
Secondo la procedura precedentemente descritta si sono ottenuti i seguenti risultati:
Figura 126:Risposta temporale ad un gradino di velocità (Kpv=5Nm/(rad/s))
Si è inizialmente disabilitato l’azione integrale dell’anello di velocità (Figura 126).
La risposta al gradino con azione integrale è riportata in Figura 127.
Figura 127:Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms
12.5%
s
rad/s
29%
s
rad/s
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 143
Diminuendo progressivamente la costante di tempo Ti si è arrivati ad ottenere un
overshooting compatibile con i criteri di taratura elencati precedentemente.
Inizialmente la taratura è stata fatta nel tempo, solo successivamente si sono analizzati i
risultati corrispondenti.
E’ interessante analizzare cosa succede al sistema, ed in particolare ai poli e alle FRF,
quando si retroaziona il segnale di velocità e ed eventualmente quando si fanno variare i
guadagni.
Figura 128: Anello aperto di velocità asse u (con azionamento e Kpv=1Nm/(rad/s))
Nella figura sopra, al sistema meccanico, è stato aggiunto il regolatore P di velocità e il
modello dell’azionamento. L’anello di velocità è aperto.
Inizialmente il guadagno proporzionale di velocità è stato preso pari a Kpv=1Nm/(rad/s).
I...x
y
trasmissionsU
V
Fixed1=0Machining_str...
U
VW
VEL_A...
Spe...
k=Kpv/...
Gain1
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 144
Figura 129: Poli del sistema di Figura 128.
-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Poli anello aperto velocità (con azionamento) Kpv=1Nm/(rad/s)
poli azionamento
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 145
Ovviamente nel diagramma di Figura 129 sono evidenziati i poli complessi coniugati del
modello del secondo ordine che approssima il sistema motore-regolatore di corrente.
In Figura 130 si riporta il modello Dymola dell’anello chiuso di velocità:nel sistema è
quindi presente un regolatore PI
Figura 130: Anello chiuso di velocità con regolatore PI
Di seguito si riporta la disposizione dei poli del sistema di Figura 130 con i seguenti valori
del regolatore PI di velocità:
I...x
y
trasmissionsU
V
Fixed1=0
V...
Machining_str...
U
VW
Spe...
PIA...
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 146
• Kpv=1Nm/(rad/s)
• Tiv molto grande in modo da annullare l’effetto integrativo
Alcuni poli del sistema
Smorz. Freq.[rad/s] 8.36e-009 + 5.08e-003i -1.65e-006 5.08e-003 1)
8.36e-009 - 5.08e-003i -1.65e-006 5.08e-003 2)
7.52e-009 -1.00e+000 7.52e-009 3)
8.96e-012 -1.00e+000 8.96e-012 4)
-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
……
……
-3.45e+003 + 3.52e+003i 7.00e-001 4.93e+003 5)
-3.45e+003 - 3.52e+003i 7.00e-001 4.93e+003 6)
……
-6.11e+001 1.00e+000 6.11e+001 7)
……
I poli 1) e 2) nell’origine sono quelli legati al fatto che l’asse W è lasciato libero.
Il polo 3) è dovuto al fatto che l’asse U è controllato solo in velocità ma non in posizione.
Il polo 4) nell’origine è associato all’integratore del regolatore di velocità.
I poli contrassegnati dal 5) e dal 6) sono effettivamente i poli associati al modello del
secondo ordine dell’azionamento. La loro pulsazione caratteristica è di circa 800Hz e il
loro smorzamento del 70%
In Figura 131 e Figura 132 sono riportati rispettivamente i poli del sistema e la FRF in
anello chiuso.
In Figura 133 è mostrato come si spostano alcuni poli del sistema meccanico(struttura
meccanica+ trasmissioni) quando si chiude l’anello di velocità.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 147
Figura 131: Alcuni poli del sistema di Figura 130 con Kpv=1Nm(rad/S) e Ti molto grande
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x 10-3
Anello chiuso di velocitàKpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 148
Figura 132: Diagrami di Bode anello chiuso di velocità
100 101 102 103-40
-30
-20
-10
0
w [rad/s]
w/w
rich
[dB
]
100 101 102 103-200
-150
-100
-50
0
50
100
w [rad/s]
grad
iAnello chiuso di velocità
Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande
BP
-3dB
-45°
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 149
Figura 133: Confronto poli sistema Figura 128 con sistema in anello chiuso
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000 w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)
Anello chiuso di velocitàKpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 150
Ovviamente chiudendo l’anello di velocità si può facilmente notare l’insorgere di un polo
reale(7) che rappresenta appunto la banda passante del sistema regolato in velocità.
L’indicazione della banda passante ricavata dal polo reale 7) è del tutto aderente a quella
ricavabile dai diagrammi di Bode di modulo e fase di Figura 132.
Con questa taratura il sistema potrebbe essere ben approssimato da un sistema del primo
ordine.
Si può inoltre notare che alcuni poli hanno spostato leggermente la loro posizione
aumentando il relativo smorzamento (è l’effetto della chiusura dell’anello di velocità).
E’ interessante vedere come si modificano i poli del sistemi al variare dei parametri del
regolatore di velocità ovvero al variare della taratura.
Ad esempio aumentando ancora il guadagno proporzionale di velocità:
• Kpv=5Nm/(rad/s)
• Tiv grande
Smorz. Freq[rad /s] -9.91e-011 1.00e+000 9.91e-011 Poli nell’origine
-4.49e-008 1.00e+000 4.49e-008
-5.08e-008 + 5.07e-003i 1.00e-005 5.07e-003
-5.08e-008 - 5.07e-003i 1.00e-005 5.07e-003
-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
…..
-4.74e+002 1.00e+000 4.74e+002 Polo reale legato alla banda passante
…..
E’ facile osservare che la pulsazione associata al polo reale è cresciuta, in questo modo la
banda passante del sistema regolato si è innalzata sensibilmente rispetto al caso precedente.
Il sistema è sicuramente molto più pronto a seguire riferimenti di velocità.
In Figura 134 sono riportate due differenti risposte in frequenza al variare del guadagno
proporzionale di velocità.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 151
100 101 102 103-40
-30
-20
-10
0
w [rad/s]
w/w
rich
[dB
]
100 101 102 103-200
-150
-100
-50
0
50
100
w [rad/s]
grad
i
Anello chiuso di velocità
Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande Kpv=5Nm/(rad/s)Ti grande
Figura 134: Confronto FRF in anello chiuso di velocità con diversi valori di taratura
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 152
Si prova ora ad aumentare l’effetto integrativo diminuendo la costante di tempo integrale:
• Kpv=5Nm/(rad/s)
• Ti=100ms;
In Figura 135 si mettono in evidenza gli spostamenti dei poli al variare dei parametri del
regolatore, in particolare si può osservare il fatto che diminuendo la costante di tempo
integrale il polo associato all’integratore si sposta verso valori reali sempre più negativi.
Alcuni poli del sistema:
Smorz. Freq[rad/s] 1.63e-009 + 5.06e-003i -3.22e-007 5.06e-003
1.63e-009 - 5.06e-003i -3.22e-007 5.06e-003
-8.23e-013 1.00e+000 8.23e-013
-1.63e+001 1.00e+000 1.63e+001 Polo reale associato all’integratore
-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002
-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002
…….
-4.47e+002 1.00e+000 4.47e+002 Polo reale
…….
E’ sicuramente interessante analizzare anche cosa succede ai poli e alle risposte in
frequenza del sistema con i valori estratti della taratura realizzata nel tempo secondo i
criteri comuni nella pratica industriale descritta precedentemente.
• Kpv=5Nm/(rad/s)
• Ti=20ms
In Figura 136, Figura 137 sono riportati il diagramma e la risposta in frequenza del sistema
regolato e con i parametri della taratura ricavati da quella fatta nel tempo seguendo quanto
si faceva in anni passati nella procedura industriale.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 153
Figura 135: Disposizione poli con diverse tarature del regolatore
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000 Anello chiuso di velocità Kpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande
Poli anello chiuso di velocitàKpv=5Nm/(rad/s)Ti=100ms
Anello chiuso velocità
spostamento polo reale
spostamento polo dell’integratore
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 154
Figura 136: Disposizione poli Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms
-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
Poli anello chiuso di velocitàKpv=5Nm/(rad/s)Ti=100ms
poli:
BP+integratore
Poli anello chiuso di velocità
Kpv=5Nm/(rad/s)
Ti=20ms
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 155
Figura 137: FRF in anello chiuso di velocità(differenti tarature)
100 101 102 103-40
-30
-20
-10
0
w [rad/s]
w/w
rich
[dB
]
100 101 102 103-200
-150
-100
-50
0
50
100
w [rad/s]
grad
iAnello chiuso di velocità
Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande Kpv=5Nm/(rad/s)Ti grande
Kpv=5Nm/(rad/s)Ti=20ms
BP
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 156
smorz. pulsaz[rad/s]
1.67e-009 + 5.04e-003i -3.31e-007 5.04e-003
1.67e-009 - 5.04e-003i -3.31e-007 5.04e-003
0.00e+000 -1.00e+000 0.00e+000
….
-1.26e+002 1.00e+000 1.26e+002
-2.86e+002 1.00e+000 2.86e+002
......
…..
Come si può vedere, i poli reali, spingendosi, con i parametri del regolatore, verso una
taratura più spinta, cominciano a influenzarsi.
Alzando ancora i guadagni si può notare che i poli reali si avvicinano sempre di più
interagendo fino a diventare una coppia di poli complessi coniugati. Questo corrispondere
ad avere un sistema sicuramente più pronto ma anche più oscillante.
La banda passante di velocità, limitata dalle risonanze del sistema controllato, può essere
anche calcolata in modo approssimativo sfruttando il seguente schema a blocchi
semplificato che considera la meccanica rigida.
Nello schema sono trascurate anche le dinamiche dell’anello di corrente.
-
Figura 138: Diagrammi a blocchi meccanica rigida
Dove Jeq è il momento d’inerzia equivalente di tutta la meccanica.
Il momento d’inerzia è stato ricavato semplicemente simulando il comportamento della
macchina ad una coppia costante applicata al rotore del motore. Si è ricavata
l’accelerazione a regime e quindi anche il momento d’inerzia equivalente.
Si può dimostrare, sfruttando lo schema precedente, che la banda passante di velocità può
essere calcolata con la seguente relazione:
eq
pvvel J
KBP =
Kpv 1/(Jeq*s) ωrich ω
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 157
Nel caso in esame si è ricavato:
con Kpv=5 Nm/(rad/s)
Jeq=0.0169 Kgm^2
e quindi BPvel=296rad/s.
Si può concludere che questo valore approssimato è in linea con il valore deducibile dal
diagramma di Bode.
E’ possibile ora, sfruttando il modello di Figura 139, confrontare le risposte in frequenza
ω/Cm all’utensile, al motore e alla riga ottica (Figura 140). InertialS
ystem1
xy
Fixed1=0
C_m
v el_riga...
Machining_st...
U
VWTorque1
tau
k={42...
Gain1Der1d...
v el_ute...
k={42...
Gain2Der2d...
pul_mot1
pul_cond1
spost_rig1
cuscine...
chioccio...
vite_u1
pul_mot2
pul_cond2
spost_rig2
cuscine...
chioccio...
vite_u2
chio
ccio
...
vite
1
cusc
ine.
..
spos
_ri..
.
pul_
cond
3
pul_
mot
3
Catene cinematic...
SpeedSe...
w
vel_m
Figura 139:Modello per la determinazione delle FRF w(utensile, motore, riga)/Cm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 158
Figura 140: Risposte in frequenza w/Cm in anello aperto
100 101 102 103-80
-60
-40
-20
0
20
40
100 101 102 103-500
-400
-300
-200
-100
0
FRF w/Cm
Utensilem
rad/s
dB
gradi
Motore
Rigam zero
risonanza
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 159
100 101 102 103-120
-100
-80
-60
-40
100 101 102 103-400
-350
-300
-250
-200
-150
(tetau-tetam)/Cm
rad/s
dB
gradi
Figura 141: FRF mCθ∆
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 160
100 101 102 103
-150
-100
-50
0
50
100 101 102 103-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
tetau/Cmtetam/Cm
rad/s
dB
gradi
FRF teta/Cm
Figura 142: FRF grandezze angolari/Cm
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 161
Analizzando opportunamente le risposte in frequenza è possibile dedurre come si comporta
il sistema e soprattutto, grazie alla Figura 141 , si evince che la catena cinematica si
deforma maggiormente in corrispondenza della risonanza a circa 438rad/s.
La FRF di Figura 142 ci permette di capire in che modo oscilla il sistema osservando il lato
motore e il lato utensile. Il modulo delle oscillazioni è prossimo ad essere identico ma si ha
uno sfasamento relativo di circa 180° tra le due coordinate, motore e utensile(carico) sono
quindi in opposizione di fase.
Se si pensa di considerare solo il lato motore e il lato utensile(a meno di una costante):
Figura 143: Modo di vibrare del motore e dell'utensile un corrispondenza della risonanza
Per la FRF di Figura 142 si può scrivere:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
m
u
m
m
m
u LOGC
LOGC
LOGθθθθ
202020
quindi in corrispondenza dello zero si ha
182520 ≈⇒≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
m
u
m
u dBLOGθθ
θθ
m
u
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 162
Figura 144:Modo di vibrare motore ed utensile alla frequenza dello zero
Un discorso analogo a quello di Figura 144 può essere fatto anche per le velocità in
corrispondenza della pulsazione dello zero. Si può affermare che il motore sia praticamente
fermo rispetto all’utensile.
E’ possibile pensare di individuare, tra gli elementi meccanici della trasmissione, quelli che
si deformano maggiormente in corrispondenza della frequenza della risonanza.
Alcuni poli del sistema in esame:
...... Smorz. Pulsazione[rad/s] -1.37e+001 + 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002 Risonanza
-1.37e+001 - 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002
-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
…..
Con il solito approccio agli autovalori-autovettori è possibile ottenere i risultati di Figura
145.
Il componente della trasmissione che si deforma maggiormente in corrispondenza della
frequenza della risonanza è la vite
m
u
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 163
modo a 438rad/s
-0.000003
-0.000002
-0.000001
0
0.000001
0.000002
0.000003
0.000004
0.000005
cinghia_u cuscinetti_u chiocciola_u vite_u
elementi
ampi
ezze
mod
o
cinghia_ucuscinetti_uchiocciola_uvite_u
Figura 145: Ampiezze oscillazioni elementi catena cinematica alla frequenza di risonanza
Si riportano di seguito le risposte in frequenza in anello chiuso di velocità all’utensile.
InertialSystem1
xy
Fixed1=0
v el_riga...
Machining_st...
U
VW
k={42...
Gain1Der1d...
v el_ute...
k={42...
Gain2Der2
d...
pul_mot1
pul_cond1
spost_rig1
cuscine...
chioccio...
vite_u1
pul_mot2
pul_cond2
spost_rig2
cuscine...
chioccio...
vite_u2
chio
ccio
...
vite
1
cusc
ine.
..
spos
_ri..
.
pul_
cond
3
pul_
mot
3
Catene cinematic...
vel_rich
v el_mot...
Figura 146:Modello Dymola per la determinazione delle FRF in anello chiuso di velocità
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 164
Smorz. Pulsazione[rad/s] 1.62e-009 + 4.98e-003i -3.25e-007 4.98e-003
1.62e-009 - 4.98e-003i -3.25e-007 4.98e-003
-8.53e-014 1.00e+000 8.53e-014
-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-1.00e+002 + 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002
-1.00e+002 - 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002
-1.26e+002 1.00e+000 1.26e+002
-2.87e+002 1.00e+000 2.87e+002
modo a 379 rad/S
-5E-10
0
5E-10
0.000000001
1.5E-09
0.000000002
2.5E-09
0.000000003
cinghia_u cuscinetti_u chiocciola_u vite_u
componenti asse U
ampi
ezze
mod
i
cinghia_ucuscinetti_uchiocciola_uvite_u
Figura 147:Ampiezze vibrazione del modo a 379rad/s(anello chiuso di velocità)
In corrispondenza dello zero la FRF in anello chiuso al motore presenta brusco
decadimento, in corrispondenza di tale frequenza la velocità del motore è molto piccola
rispetto a quella dell’utensile che a sua volta è paragonabile a quella di riferimento.
Analizzando le FRF di Figura 149, relative alle coordinate angolari di utensile e motore, si
può evincere che si ha la massima deformazione della trasmissione in corrispondenza della
frequenza della coppia di poli complessi coniugati a 379rad/s.
Il componente della trasmissione che contribuisce maggiormente al cedimento
complessivo è sempre la vite.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 165
100 101 102 103-80
-60
-40
-20
0
20
40
100 101 102 103-500
-400
-300
-200
-100
0
Utensilem
FRF anello chiuso velocità
rad/s
dB
gradi
Motore
Kpv=5Nm/(rad/s)
Ti=20ms
Rigam
Figura 148: FRF in anello chiuso di velocità(utensile,riga,motore)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 166
100 101 102 103
-150
-100
-50
0
100 101 102 103-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
tetau/wr
rad/s
dB
gradi
tetam/wr
(tetau-tetam)/wr
Figura 149:FRF anello chiuso di velocità
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 167
Taratura anello di posizione
In questa sezione ripresentano i risultati della taratura dell’anello di posizione.
Il valore del guadagno proporzionale di corrente è stato ricavato effettuando una taratura
nel dominio del tempo secondo i criteri precedentemente illustrati: si è cercato, visto
l’importanza del posizionamento nelle macchine utensili, di limitare il Kv a valori tali da
non innescare delle oscillazioni nella risposta alla rampa di riferimento.
Come si è già anticipato, il segnale di riferimento presenta accelerazioni limitate per porsi
in una condizione sicuramente più vicina alla realtà.
Figura 150: Risposta temporale a rampa di posizione ad accelerazione limitata
(Kv=4.8m/(mm1')=80rad/s,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms)
E’ comunque significativo, come è stato fatto per l’anello di velocità, analizzare i risultati
ottenuti anche nel dominio delle frequenze.
Nelle figure seguenti si riportano infatti i diagrammi di Bode delle risposte in frequenza
dell’anello di posizione evidenziando cosa accade quando si chiude in retroazione il
segnale di posizione.
s
m
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 168
In Figura 154 si presentano le disposizioni dei poli del sistema sia in anello chiuso che in
anello aperto.
In Figura 153 vengono presentate le FRF di anello senza feed-forward e con lo stesso
anticipo di velocità attivato.
L’attivazione dell’anticipo di velocità non comporta cambiamenti nei poli del sistema in
esame.
A questo punto sarebbe interessante cercare di capire cosa limita il guadagno proporzionale
di posizione Kv.
Rifacendosi allo schema semplificato di Figura 151:
Figura 151: Schema semplificato controllo di posizione
Affinché l’anello sia tarato correttamente, secondo le teorie del controllo, è necessario un
certo margine di guadagno in corrispondenza di uno sfasamento di 180° nella fase della
risposta in frequenza del sistema controllato, questo si traduce appunto nel non far
innescare oscillazioni nel dominio del tempo.
Il guadano dell’anello di posizione è limitato dalla coppia di poli raffigurata in Figura 155
(introduce sfasamento):
E’ ora necessario individuare, analizzando il sistema controllato in velocità, quali sono i
poli in esame:
…… Smorz. Pulsazione[rad/s] -1.00e+002 + 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002
-1.00e+002 - 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002
…..
s1 Kv
-
pos_rif
+
rif
riga
ωω
pos_riga
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 169
E’ sicuramente significativo cercare di capire quale componente della trasmissione si
deforma maggiormente in corrispondenza della frequenza associata alla coppia di poli
complessi coniugati riportata sopra.
La banda passante dell’anello di velocità è quindi limitata maggiormente da tale
componente.
Questo genere d’indagine può essere fatta analizzando gli autovalori-autovettori del
sistema controllato.
Il componente che si deforma maggiormente è la vite della vite a ricircolo di sfere(analisi
già effettuata in Figura 147).
Quindi per migliorare le prestazioni dinamiche dell’asse bisognerebbe migliorare le
caratteristiche del componente vite.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 170
Bode Diagrams
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
101
102
103
104
-500
-400
-300
-200
-100
0
To: Y
(1)
Anello aperto posizione Kv=1rad/s Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20msAnello aperto posizione Kv=80rad/s Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms
dB
gradi
Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms
Figura 152: FRF Chiusura anello di posizione
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 171
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-200
-150
-100
-50
0
From: U(1)
100
101
102
103
104
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
To: Y
(1)
Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms ff=on
Figura 153: FRF anello chiuso di posizione(feed-forward on-off)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 172
-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000Poli anello chiuso di posizione Kv=4.8m/(mm*min),Kv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms "O" Poli anello aperto di posizione Kv=4.8m/(mm*min),Kv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms "*"
Figura 154:Disposizione dei poli anello aperto-anello chiuso
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 173
Figura 155:FRF anello chiuso di velocità(velocità riga/velocità riferimento)
100 101 102 103-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
100 101 102 103
-400
-300
-200
-100
0rad/s
dB
gradi
w rigam/w rif
Anello chiuso di velocità
coppia poli 379rad/s
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 174
E’ possibile, analogamente a quanto fatto per l’anello di velocità, verificare la banda
passante.
Per la determinazione indicativa della banda passante dell’anelo di velocità è possibile
sfruttare il seguente schema semplificato dove si trascurano le dinamiche dell’anello di
velocità.
Figura 156: Schema semplificato controllo posizione
Si può dimostrare che la banda passante, per il sistema rappresentato dallo schema, è pari
a: BPpos=Kv.
Per ottenere questa indicazione dal Kv è necessario esprimere appunto il Kv nell’unità di
misura corretta ed è indispensabile non dimenticare di considerare i “guadagni” associati
alle trasmissioni ovvero i rapporti di trasmissione.
Si ha Kv=80rad/s
Il polo reale del sistema vale invece:
Alcuni poli del sistema:
Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)
…. -2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002
-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002
-5.05e+001 + 8.95e+002i 5.64e-002 8.96e+002
-5.05e+001 - 8.95e+002i 5.64e-002 8.96e+002
-5.44e+001 1.00e+000 5.44e+001 Polo reale
-5.97e+001 + 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003
-5.97e+001 - 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003
Kv 1/s pos_rich pos
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 175
-6.59e+001 + 3.11e+002i 2.08e-001 3.18e+002
-6.59e+001 - 3.11e+002i 2.08e-001 3.18e+002
-1.01e+002 + 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003
-1.01e+002 - 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003
-2.02e+002 + 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003
-2.02e+002 - 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003
-2.14e+002 + 1.74e+002i 7.76e-001 2.76e+002
-2.14e+002 - 1.74e+002i 7.76e-001 2.76e+002
….
Le indicazioni differenti fornite dal polo reale e dal Kv dipendono dal fatto che si vuole
approssimare la banda passante del sistema con un sistema del primo ordine.
In realtà la FRF, rappresenta in Figura 157, mostra come non possa essere facilmente
approssimata da un modello del primo ordine.
Le indicazioni della banda passante fornite dal polo reale, dal Kv e dai diagrammi di Bode
sono in generale tutte differenti.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 176
Figura 157:Dettagli FRF anello chiuso di posizione
100 101 102 103-50
-40
-30
-20
-10
0
10
100 101 102 103
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Anello chiuso di posizione
pos. riga/pos. richiesta
rad/s
dB
gradi
polo reale 54.4rad/s coppia complessa coniugata
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 177
3.3.3 Risultato tarature assi
In questo paragrafo verranno riproposti sinteticamente i risultati delle tarature dei vari assi.
Parametro/asse Asse U Asse W Asse V
Kpv[Nm/(rad/s)] 4 4 4
Ti[ms] 20 20 15
Kv[m/(mm*1’)] 4.8 5.5 5
Tabella 2: Parametri di taratura dei vari assi
E’ necessario sottolineare che, per quanto riguarda il valore del guadagno proporzionale di
posizione, si è assunto, per ogni asse, il valore più basso tra quelli determinati attraverso il
processo di taratura. Questo serve per non avere comportamenti dinamici differenti, per
quanto riguarda il controllo della posizione, nelle differenti direzioni quando si fanno
lavorare i diversi assi in interpolazione.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 178
4 PROCESSO DI TAGLIO
In questo capitolo del lavoro di Tesi si riportano i risultati delle simulazioni relative alla
modellazione del processo di taglio.
Sostanzialmente vengono effettuate due tipologie di simulazioni: la prima considera una
lavorazione in cui l’utensile si sposta rigidamente mentre la seconda, considerando la
cedevolezza della macchina, è atta ad “individuare”, variando un parametro di taglio, il
limite di stabilità del processo e a rilevare fenomeni vibratori associati ad un eventuale
instabilità.
4.1 FRESATURA CON MECCANICA RIGIDA
L’analisi di questa simulazione serve anche in fase di debugging del modello, in altre
parole per assicurarsi che nei risultati compaiano essenzialmente tutti gli aspetti modellati.
Per verificare la correttezza del modello si sono confrontati i risultati ottenuti con quelli,
per la medesima lavorazione, forniti da CUTPRO (programma per la simulazione di
processi di taglio) [10],[11],[8].
Figura 158:Modello per simulare un'operazione di fresatura con meccanica rigida
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 179
Si sono considerati i seguenti parametri di taglio, riferendosi ad una lavorazione
dell’alluminio:
• ω_n=1500 giri/min (velocità di rotazione della fresa)
• b=25.4 mm (larghezza pezzo)
• v_a=1 (mm/(giro dente)) (velocità di avanzamento)
• Kr=200 N/mm^2, Kt=796 N/mm^2 e Kz=0 N/mm^2
• d=50 mm (diametro fresa)
I valori sono stati inseriti nel modello, unitamente alle informazioni sulla posizione del
pezzo e alle sue dimensioni, mediante la seguente maschera Dymola:
Figura 159: Maschera per inserimento parametri di taglio
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 180
Si è imposto,come riferimento per l’asse U, una rampa di posizione ad accelerazioni
limitate che presenta, nel tratto a velocità costante, la velocità di avanzamento imposta
come parametro di taglio.
Si riportano i risultati delle simulazioni:
Figura 160: Andamento della forza radiale per il tagliente i-esimo
Figura 161: Andamento della forza tangenziale per il tagliente i-esimo
[N]
[sec]
N
sec
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 181
Si possono riportati anche gli andamenti temporali delle forze di taglio risultanti misurate
in corrispondenza del terminale dell’utensile e scomposte lungo gli assi U e W.
Figura 162:Andamento forze al mandrino(direzione U o X)
Figura 163:Andamento forza al mandrino(direzione W o Y)
[N]
[sec]
[N]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 182
In Figura 164 si riportano i risultati delle simulazioni relative al medesimo processo
effettuate con CUTPRO.
Le simulazioni sono del tutto analoghe a quelli ottenute con Dymola.
Figura 164: Simulazioni ottenute con CUTPRO
Figura 165:Simulazioni effettuate con CUTPRO
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 183
La particolarità delle simulazioni effettuate con Dymola è che è possibile analizzare gli
andamenti delle forze nelle zone di transizione, ad esempio quando la fresa si appresta ad
uscire completamente dal pezzo. In una prima fase, quando il generico tagliente in
lavorazione esce dal pezzo, la forza di taglio ad esso associata si annulla, ma quando il
tagliente rientra nel pezzo e ricomincia a lavorare viene ovviamente ripristinata anche la
forza di taglio.
Figura 166:Andamento delle forze durante il transitorio d'uscita della fresa dal pezzo
[N]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 184
4.2 STABILITÀ DEL PROCESSO DI TAGLIO
Con il modello del processo di taglio proposto in questo lavoro di Tesi è possibile, se ci
riferisce ad un modello non rigido della macchina, osservare l’insorgere di fenomeni di
instabilità da chatter [10].
Il limite di stabilità del processo viene principalmente influenzato dal parametro di taglio p
ovvero dalla profondità di passata della fresatura.
In questa sezione si riportano i risultati delle simulazioni effettuate aumentando
progressivamente la profondità di passata.
Per gli altri parametri di taglio, si fa riferimento a quelli utilizzati nel paragrafo precedente.
Per le simulazioni ci si riferisce allo schema di Figura 167:
Figura 167: Modello Dymola complessivo per valutazione stabilità del processo
MECCANICA MU
AZIONAMENTO
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 185
Nella Figura 167, inoltre, sono state evidenziate le parti che costituiscono il modello
complessivo del sistema considerato in questo lavoro di Tesi.
Si riportano ora i risultati delle simulazioni:
a) p=5mm
Figura 168: Andamento temporale coordinata U del centro della fresa
Figura 169: Andamento temporale coordinata W del centro della fresa
[m]
[sec]
[m]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 186
Si può osservare, in corrispondenza dell’inizio del taglio, l’insorgere di vibrazioni con una
semi-ampiezza massima di circa 1.5 E-5 m. Questi fenomeni vibratori sono ovviamente
causati dalle forze di taglio e vanno ad influenzare la qualità delle lavorazioni ottenute.
Figura 170: Andamento temporale della coordinata V del centro della fresa
Vibrazioni lungo la direzione V: semi-ampiezza massima dell’ordine di 0.8 E-5 m.
Si riporta per completezza anche l’andamento della forza tangenziale associata ad un
tagliente generico.
Figura 171: Andamento temporale della forza tangenziale associata al singolo tagliente
[m]
[sec]
[N]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 187
Con questo valore di profondità di passata non si instaurano oscillazioni instabili o di
ampiezza troppo elevata.
b) Con p=30mm
Figura 172: Andamento temporale coordinata W del centro della fresa
Si può chiaramente osservare come si siano generate oscillazioni anomale di semi-
ampiezza pari a circa 4.5mm e quindi sicuramente inaccettabili. Questo fenomeno prende il
nome di instabilità da chatter.
Figura 173: Andamento temporale della coordinata V del centro della fresa
[N]
[sec]
[N]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 188
Per quanto riguarda le oscillazioni della coordinata V del centro della fresa, la loro semi-
ampiezza è più piccola di quella della coordinata W.
Figura 174: Andamento temporale della forza tangente relativa al singolo tagliente
Ovviamente anche la forza raggiunge valori molo elevati.
[N]
[sec]
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 189
5 VALIDAZIONE MODELLO
In questa sezione si presentano le prove sperimentali effettuate sulla “Event” al fine di
ottenere una prima validazione del modello dell’intera macchina utensile e per capire
quanto precise possono considerarsi le informazioni estratte dalle simulazioni numeriche.
Fondamentalmente sono state effettuate le seguenti verifiche sperimentali:
• Verifica del comportamento dinamico degli assi
• Verifica della taratura e funzioni di risposta in frequenza degli assi controllati in
velocità e posizione.
• Verifica dell’esecuzione di una traiettoria imposta.
• Verifica delle accelerazioni durante una prova di lavorazione.
Le prime tre verifiche sono state realizzate grazie alle funzioni del controllo numerico della
MU grazie alle quali si è in grado di determinare e salvare funzioni di risposta in frequenza
degli assi (controllati e non) ed eventualmente traiettorie realizzate dalla macchina durante
l’esecuzione di profili assegnati come riferimento.
Per la determinazione delle accelerazioni durante la prova di lavorazione si è impiegata
un’opportuna strumentazione in grado di acquisire i segnali forniti dall’accelerometro.
5.1 ANALISI MECCANICA DELLA STRUTTURA
Relativamente a questa fase di verifica si sono confrontate le funzioni risposta in frequenza
mCω dell’asse U sovrapponendo i diagrammi di Bode sperimentali a quelli numerici già
ricavati in precedenza(rendendo coerenti le unità di misura dei diagrammi di Figura 121).
Il risultato di questo confronto è presentato in Figura 175.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 190
Figura 175: Funzione risposta in frequenza ω/Cm (sperimentale-numerica asse U)
100 101 102-40-20
020406080
units
: dB;
100 101 102-200
-100
0
100
200
degr
ees
Hz
. 7.1 -45.0
Experimental data Numerical
Scostamento fra risultati sperimentali e risultati numerici
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 191
Analizzando il diagramma di Figura 175 si può vedere come il modello rappresenti
correttamente l’inerzia totale dell’asse (motore, trasmissione e struttura) che si comporta
come un corpo rigido a basse frequenza e l’inerzia del motore dopo la prima risonanza.
Per quanto riguarda la stima della prima frequenza di risonanza si notano degli scostamenti
tra il modello ed i risultati numerici, queste differenze sono dovute essenzialmente al fatto
di aver considerato, nella modellazione della macchina, i singoli elementi della struttura
come corpi rigidi. La stima numerica della risonanza si colloca ovviamente a frequenze più
elevate essendo il modello numerico più rigido.
5.2 TARATURA ASSI
Il risultato della taratura è importante perché può fornire indicazioni sulle prestazioni della
macchina progettata.
In Figura 176 vengono confrontate le FRF dell’anello chiuso di velocità mentre in Figura
177 le FRF relative all’anello di posizione con anticipo di velocità attivato.
I confronti proposti si riferiscono al comportamento sperimentale e numerico dell’asse U.
Nelle tabelle seguenti si riportano i risultati ottenuti, in termini di parametri di taratura e
valutazioni delle bande passanti per gli anelli di velocità e posizione.
Modello (tar.personale) Modello (tarat.sperim) 840D Siemens(sperim.)
Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms]
Taratura
anello
velocità U 5 20 4 10 4 10
BP(@-3dB) 40.7Hz 41.5Hz 32.6Hz
BP(@-45°) 29.8Hz 28.64Hz 27.8Hz
BP(Kpv/Jeq) 47Hz 37.7Hz (37.7Hz)*
Tabella 3:Taratura anello di velocità asse U
In queste tabelle si riportano anche i risultati numerici ottenuti impostando i parametri
sperimentali di taratura.
I risultati della taratura potrebbero anche differire leggermente in base ai criteri utilizzati.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 192
Esaminando le tabelle si può dedurre come l’assunzione di considerare rigidi gli elementi
costitutivi della struttura della macchina porti ad un errore del circa 20% nella stima della
banda passante dell’anello di velocità(40,7Hz invece di .32.6Hz a -3dB).
Modello(tar.personale) Modello 840D Siemens
Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms]
5 20 4 10 4 10
Kv[m/(mm1’)] Kv[m/(mm1’)] Kv[m/(mm1’)]
Taratura
anello
posizione U
ff=on
4.8 4 4
BP(-@3dB) *** (17.3Hz ff=off)* -
BP(-@45°) (11.9Hz ff=off) (11.5Hz ff=off) -
BP(Kv[rad/s]) 12.7Hz 10.6Hz (10.6Hz)
BP(polo reale) 8.66Hz(**) 9.1Hz(**) -
Tabella 4: Taratura anello di posizione asse U
Un’approssimazione simile è propagata anche all’anello di posizione
Nonostante le semplificazioni introdotte l’errore finale sulle valutazioni delle bande
passanti è limitato in quanto, in questo tipo di macchine, le bande passanti delle risposte
vengono fondamentalmente limitate dal primo modo in corrispondenza del quale è la
catena cinematica a deformarsi maggiormente. Questo aspetto è ben rappresentato nel
modello.
Il modello può essere utilizzato per individuare quali tra i componenti della trasmissione
contribuisce maggiormente alla deformazione della stessa in corrispondenza del primo
modo a circa 60Hz(anello chiuso di velocità).
Da analisi effettuate e già riportate in precedenza si vede che la deformazione della
trasmissione è dovuta principalmente alla vite (Figura 147).
Queste indicazioni sono utili al progettista per un eventuale miglioramento delle
prestazioni della macchina progettata.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 193
Figura 176: Confronto delle FRF relative alle tarature dell'anello di velocità
100 101 102-40
-20
0
20un
its: d
B;
.32.6 -3.0
100 101 102-200
-100
0
100
200
degr
ees
Hz
.27.8 -45.0
Experimental:Kpv=4Nm/(rad/s),Ti=10 ms Numerical: Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 194
100 101 102 103-100
-80
-60
-40
-20
0
20
units
: dB;
. 9.3 -3.0
100 101 102 103-600
-400
-200
0
200
grad
i
Hz
.18.2 -45.0
Experimental 840D Kpv=4Nm/(rad/s),Ti=10ms,Kv=4m/(mm*min) ff=onNumerical data Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms,Kv=4.8m/(mm*min) ff=on
Figura 177: Confronto FRF delle tarature dell'anello di posizione con feed-forward attivato
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 195
5.3 ESECUZIONE DI UNA TRAIETTORIA IMPOSTA
Il modello meccatronico della macchina è stato valutato esaminando l’accuratezza
nell’esecuzione di un profilo di una traiettoria imposta.
Prima di riportare i risultati della prova è necessario introdurre il fenomeno dell’attrito nel
modello delle guide.
5.3.1 Attrito nelle guide
Nei modelli illustrati in precedenza non si era considerato l’attrito.
In questa sezione si illustra ad esempio come si è pensato di introdurlo nel modello delle
guide.
Per prima cosa è necessario specificare a quale modello di attrito fare riferimento.
Si è pensato di implementare un modello che si basa sulla seguente caratteristica.
Figura 178: Caratteristica del modello d'attrito
Si è pensato di semplificare ulteriormente la trattazione sostituendo al tratto verticale uno a
pendenza molto elevata per evitare di introdurre discontinuità.
In definitiva si è implementata la seguente caratteristica:
vel [m/s]
F [N]
f_s
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 196
F_att
Figura 179: Caratteristica semplificata implementata
Il modello di riferimento delle guide è quello di Figura 180 nel quale agiscono due molle in
direzione perpendicolare alla traslazione concessa. Con l’introduzione dell’attrito si è
aggiunta anche una forza che si oppone al movimento della slitta sulla rotaia che dipende
dalla velocità secondo la caratteristica riportata in Figura 180:
Figura 180: Modello di guida con forze d'attrito
Questo aspetto è stato implementato in Dymola modificando opportunamente i modelli
realizzati in precedenza.
Ad esempio, per le guide di tipo RUE si è realizzato il seguente componente:
m
vel
F
f_s
vlim1
vlim
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 197
Figura 181: Spring-Damper 3D con attrito(Guide RUE)
In questo caso si è inserita la forza d’attrito lungo la direzione in cui il parametro elastico è
nullo, perché quella è la direzione in cui è permesso il moto.
I codice Modelica del componente è riportato nella relativa appendice.
Si sono successivamente fatte delle simulazioni con l’attrito introdotto solo nelle guide
dell’asse U.
Schema di riferimento usato per simulazioni:
Figura 182: Modello Dymola per analisi traiettorie
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 198
Grazie al modello di Figura 182 si sono analizzati gli errori commessi nella realizzazione
di una traiettoria circolare.
Si è inoltre modificato, per poter introdurre l’attrito, il modello Dymola associato
all’assieme carro:
Figura 183: Modello Dymola modificato dell'elemento assieme carro
rispetto alla versione precedente che non considerava la velocità di scorrimento tra le parti
mobili.
Figura 184: Modello Dymola del carro (senza attrito)
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 199
Convertendo il modello di Figura 182 in Simulink si è in grado di analizzare la traiettoria
ottenuta anche in riferimento al modello senza l’implementazione dell’attrito.
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01attrito guide UNo attrito
Traiettoria circolare U-W
Figura 185: Traiettoria che approssima una circonferenza (con e senza attrito)
Ovviamente in Figura 185 non è possibile osservare la differenza tra le due traiettorie.
Ingrandendo i diagrammi:
-10 -9.998 -9.996 -9.994 -9.992 -9.99 -9.988 -9.986 -9.984 -9.982 -9.98
x 10-3
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10-4
attrito asse Uno attrito
Traiettoria circolare U-W
Inversione asse U
Figura 186: Differenza tra le traiettorie
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 200
Per rendere più significative le simulazioni si è calcolato l’errore commesso
nell’esecuzione della traiettoria rispetto al caso ideale di una circonferenza i raggio R.
Si è inserito solo l’attrito statico.
Figura 187: Errore durante l'inversione del moto dell'asse U (rispetto a traiettoria nominale)
Queste simulazioni sono state effettuate solo per verificare che fossero presenti gli aspetti
modellati.
Ritornando alla valutazione del modello nell’esecuzione di una traiettoria imposta.
Si è utilizzato il modello Dymola di Figura 188.
L’attrito è stato introdotto sia per l’asse U che per l’asse W.
I blocchi evidenziati sono serviti per caricare nel modello le traiettorie utilizzate macchina
utensile reale.
0.4 E-6 m
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 201
Figura 188: Modello per valutare comportamento modello imponendo una traiettoria
29.98 29.985 29.99 29.995 30 30.005 30.01 30.015 30.02
-30
-20
-10
0
10
20
30
U axis [mm]
W a
xis
[mm
]
60 mm square at 30000 mm/min, zoom. test: QUADR2F3U
zoomedarea
Figura 189: Confronto traiettoria sperimentale-simulata-imposta
I...x
y
trasmissionsU
REG_...
REG_...
REG_...
STR...
CombiTa...
CombiTa...
CombiTa...
k={1000}
Gain2
k={1000}
Gain3
k={1000}
Gain4
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 202
Per “stressare” la dinamica della macchina si è imposto un profilo quadrato con lato di
60mm. Il risultato del confronto (Figura 189) è relativo ad un avanzamento di
30000mm/min molto maggiore di quelli usati nella pratica industriale.
Il modello è così in grado di prevedere ragionevolmente, nonostante trascuri componenti
dinamiche a frequenze maggiori, l’errore commesso dalla macchina nella realizzazione
della traiettoria.
Esistono inoltre alcune discrepanze tra le simulazioni ed i risultati sperimentali dovute alla
semplificazione nella modellazione del controllo(es. non è stata modellata nessuna
compensazione dell’attrito mentre sulla macchina questa funzione era attiva).
5.4 PROVE DI LAVORAZIONE
L’ultima verifica effettuata nel tentativo di valutare il modello consiste in una prova di
esecuzione di una lavorazione di fresatura.
I parametri e le caratteristiche della lavorazione sono riportate in Figura 190:
Figura 190: Dati relativi alla lavorazione di fresatura realizzata
Come si nota in Figura 191 è stata realizzata una fresatura a spianare di un blocco di C45
con una fresa a sette taglienti, l’immersione della fresa nel pezzo era di circa il 65% del suo
diametro.
L’accelerometro è stato posizionato sul naso mandrino e le accelerazioni rilevate sono state
opportunamente registrate ed elaborate.
In Figura 192 si riporta un diagramma tempo-frequenza della componente
dell’accelerazione lungo un determinato asse.
Ovviamente nel diagramma si nota, come componente fondamentale, il contributo in
frequenza associato alla periodicità con cui ogni singolo tagliente entra in contatto con il
pezzo.
FFrreessaattuurraa :: p=1mm Vt=180m/1’ Vf=400 mm/1’ f=0.1mm/(dente*giro)
d=100mm (immersione fresa circa 65%)
UUtteennssiillee SSaannddvviikk:: Codice utensile:R245100Q32-12
Codice inserto:R24512T3EPLQ4030
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 203
Figura 191:Immagini della prova di lavorazione, collocazione accelerometro
Figura 192: Accelerometro e diagramma tempo frequenza dati
In Figura 193 si riporta il confronto tra l’andamento sperimentale e quello simulato di una
componente dell’accelerazione.
I risultati sperimentali mettono in evidenza una componente a frequenza più elevata non
perfettamente catturata dalla frequenza di campionamento.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 204
0 .67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 Der_w .ou tPo r t.s igna l[1 ]
[s]
[m/s2]
1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[m /s 2 ]
s 2
simulated
experimental
0.67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 Der_w .ou tPo r t.s igna l[1 ]
[s]
[m/s2]
1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[m /s 2 ]
s 2
0 .67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 Der_w .ou tPo r t.s igna l[1 ]
[s]
[m/s2]
0.67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 Der_w .ou tPo r t.s igna l[1 ]
[s]
[m/s2]
1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[m /s 2 ]
s 2
1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[m /s 2 ]
s 2
1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[m /s 2 ]
s 2
simulated
experimental
Figura 193: Confronto andamenti accelerazioni sperimentali e simulate
Nella figura seguente è invece riportato l’andamento di una componente delle forze al
mandrino.
Figura 194: Andamento simulato della forza al mandrino nella direzione di avanzamento U
Fu[N]
sec
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 205
Le verifiche effettuate mettono in evidenza alcune limitazioni del modello, soprattutto
quelle legate all’ipotesi semplificativa di considerare gli elementi della struttura meccanica
come corpi rigidi.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 206
6 SVILUPPI
In questo capitolo si presenterà un possibile sviluppo futuro atto a migliorare la
raffinatezza del modello della macchina utensile. Sicuramente l’introduzione della
deformabilità strutturale è l’aspetto più importante e significativo da trattare.
Questo aspetto non sarà sviluppato completamente ma si cercherà di presentarne le
problematiche e di individuarne le possibili soluzioni.
6.1 STRUTTURA DEFORMABILE
Una tematica che necessita di essere affrontata è sicuramente quella di capire come poter
modellare la deformabilità della struttura.
La deformabilità della struttura meccanica è sicuramente una componente importante
dell’intera cedevolezza che va ad influenzare il comportamento complessivo della
macchina.
Nel modello realizzato precedentemente non è stata modellata la deformabilità strutturale
se non cercando di tenerla in considerazione riducendo leggermente le rigidezze delle
guide (al 70% del loro valore nominale).
In ambiente Dymola, per ora, non è prevista la possibilità di considerare la deformabilità
della struttura con l’approccio agli elementi finiti.
In commercio esistono diversi programmi in grado di effettuare analisi agli elementi finiti.
Con questa metodologia si è in grado di rappresentare la reale distribuzione spaziale della
massa della struttura, considerando eventualmente anche la presenza di diversi tipi di
materiale. Si ottiene così un modello della macchina che possiede un numero elevatissimo
di gradi di libertà e con la possibilità di descrivere la deformazione dovuta a qualsiasi
sistema di forze applicato ai nodi e caratterizzato da frequenze di risonanza che
raggiungono valori decisamente superiori al campo reale d’interesse.
Tale ricchezza dinamica non è necessaria per l’analisi del comportamento di una macchina
utensile.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 207
Con tecniche di riduzione dei gradi di libertà basate sull’approccio modale è possibile
ottenere un modello con un numero piuttosto limitato di gradi di libertà che descriva
comunque in modo soddisfacente la struttura.
Questo approccio prevede comunque di partire da un modello dettagliato, che
successivamente viene “ridotto” mantenendone ovviamente la geometria, l’inerzia e la
rigidezza. La struttura del modello ridotto è però vincolata a muoversi secondo una
combinazione lineare di un predefinito insieme di deformate scelte dall’operatore.
Vengono aggiunte delle equazioni algebriche di vincolo alle classiche che descrivono
l’equilibrio dinamico del sistema:
[ ] [ ] [ ] { } [ ]
{ } [ ] { }qx
FxKxCxM
n ⋅=
=⋅+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •••
φφ ...........1
che sono le equazioni del modello ridotto(DAE) nel quale le matrici [ ]M , [ ]C e [ ]K sono
rispettivamente le matrici d’inerzia, smorzamento viscoso e rigidezza,{ }x sono gli
spostamenti dei nodi e { }q i gradi di libertà del sistema ridotto.
Questo modello ridotto può essere convertito nel formato del primo ordine nello spazio
degli stati(sistema ABCD):
[ ] { } [ ] { }
{ } [ ] { } [ ] { }
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅−=
⋅+⋅=
⋅+⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
••
0
0
11
T
B
IkmcmA
uDxCy
uBxAx
φ
Per maggiori dettagli sulla parte trattata fare riferimento a [3].
Per quanto riguarda la modellazione della deformabilità della struttura in Dymola, si può
ipotizzare di utilizzare i risultati ottenuti con un programma in grado di effettuare quanto
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 208
m m K
K K
X1 X2
STATE-SPACE
sopra descritto ed in particolare si può pensare di avere a disposizione le matrici del
sistema ABCD.
In Dymola esiste un blocco che descrive sistemi attraverso le equazioni ABCD (State-
Space).
Un generico sistema ABCD nello spazio degli stati rappresenta un sistema in cui sono stati
individuati sia gli ingressi, gli stati e le uscite ed è quindi tipicamente un sistema causale.
Rimane da capire come inserire un sistema causale State-Space in un ambiente tipicamente
a-causale come Dymola.
Per poter capire come implementare un sistema State-Space in Dymola si è pensato di fare
inizialmente riferimento ad un sistema molto semplice composto da componenti visco-
elastici e da due masse.
Figura 195: Modello composto da due masse
Ma il modello della figura precedente può essere visto anche nel seguente modo:
Figura 196: Individuazione del sistema State-Space
dove il sistema State-Space modella il sistema di Figura 197 che potrebbe essere associato
alla struttura deformabile (in questo caso semplificato con due soli gradi di libertà).
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 209
Figura 197: Modello fisico associato al sistema State-Space
dove le forze F1 e F2 dipendono dalle coordinate delle due masse.
E’ importante ora definire le grandezze associate al sistema ABCD.
Sicuramente come stati x del sistema possono essere prese le due coordinate e le relative
velocità.
Gli ingressi u sono le due forze elastiche, mentre le uscite sono le due coordinate attraverso
le quali sarà possibile ricalcolare le forze visco-elastiche F1 e F2 (per semplicità, nello
schema del modello non sono rappresentati gli smorzamenti).
Si ha così un sistema State-Space di questo tipo
Figura 198: Ingressi ed uscite del sistema State-Space
Per un sistema così semplice è facile determinare le matrici ABCD.
E’ assolutamente necessario capire come inserire il modello State-Space in un modello
Dymola per rappresentare il modello del sistema fisico.
Per prima cosa pensiamo di realizzare il sistema di Figura 195 in Dymola e in ambiente
“traslazionale”.
X2X1
m m F1 F2
K
STATE-SPACE F1,F2 X1,X2
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 210
Figura 199: Realizzazione Dymola del sistema di figura Figura 196
Il sistema State Space dovrà obbligatoriamente ricevere in ingresso il valore delle due
forze visco-elastiche e fornire in uscita le coordinate delle due masse.
In Dymola il componente State-Space è dotato di un segnale imput e di uno output
entrambi vettoriali.
In Dymola sono stati creati alcuni sottomodelli che permettano di interfacciare
correttamente i terminali meccanici con il sistema causale State-Space.
Meccanica-Coordinata/Forza
Coordinata
Forza
Figura 200:Meccanica Coordinata-Forza
Il funzionamento di questo blocco è spiegato direttamente dalla sua rappresentazione.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 211
Impone alla grandezza spostamento il valore presente sul terminale di Imput e trasferisce la
forza dal terminale meccanico a quello di Output.
Vettore 2_1
Figura 201:Vettore 2_1
Questo blocco è stato creato per trasferire le grandezze presenti sugli Imput su un unico
terminale vettoriale di Output.
Vettore 1_2
Figura 202:Vettore 1_2
Questo componente è duale rispetto al precedente: trasferisce le due grandezze presenti
sull’Imput vettoriale a due Output distinti.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 212
F
Utilizzando i sottomodelli creati si è così realizzato un modello del tutto equivalente a
quello di Figura 199.
Anche le simulazioni numeriche hanno dato gli stessi identici risultati
Figura 203: Sistema State-Space in un modello Dymola
Questa semplice applicazione dimostra la possibilità di introdurre un sistema causale in un
ambiente a-causale.
E’ ragionevole pensare che, con le relative generalizzazioni e complicazioni, questo possa
essere fatto anche in ambiente Multi-Body per poter così trattare in Dymola, grazie ad
analisi agli elementi finiti, anche la deformabilità distribuita della struttura.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 213
7 CONCLUSIONI
In questo lavoro di Tesi si ottenuto un modello completo del centro di lavoro e del
processo considerando tutte le parti dello schema di Figura 1.
In questo capitolo verranno riassunti (Tabella 5) gli aspetti modellati, i relativi gradi di
dettaglio con indicazioni su ulteriori possibili sviluppi.
MACCHINA UTENSILE
Parti della MU Modellato-Dettaglio Eventuali Sviluppi CN No
Regolatori Assi Si/Semplificato Modello più accurato degli
azionamenti:
• Modello del motore
e del controllo di
corrente più
dettagliati(ved.2.3)
• Saturazioni
Trasmissioni Si/Semplificate Modelli più accurati
Struttura meccanica Si:
Corpi Rigidi e guide
flessibili
• Deformabilità della
struttura
Processo Si
Pezzo Si:Rigido Cedevolezza del pezzo
Utensile Si:Rigido e con numero di
taglienti fissato
• Cedevolezza
dell’utensile
• Generalizzazione del
n° taglienti
Tabella 5:Aspetti considerati ed eventuali sviluppi
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 214
Con il grado di dettaglio scelto ed effettuando le simulazioni descritte all’interno del
lavoro, si sono ottenute le informazioni relative a:
a) Rigidezze statiche al mandrino relative alle direzione dei tre assi della parte
meccanica (Ku_u, Kw_w, Kv_v)
b) Caratterizzazione dinamica della parte meccanica con determinazione dei
modi principali di vibrare e relativi smorzamenti
c) Si sono realizzate le tarature dei vari assi e se ne sono determinate le
relative bande passanti di velocità e di posizione (BP_vel, BP_pos)
d) Si è modellato il processo di taglio e se ne è individuato un possibile limite
di stabilità ( profondità di passata per la quale si instaurano fenomeni
vibratori di chatter).
e) Esecuzione di una traiettoria imposta
f) Prova di lavorazione
a)
Nome ASSE Rigidezza [N/ µm]
Asse u Ku_u=77 N/µm
Asse w Kw_w=77.5 N/µm
Asse v Kv_v=159 N/µm
I valori ottenuti, considerando anche il fatto di aver modellato la struttura con solo le guide
cedevoli, sono coerenti con una macchina reale della stessa tipologia.
b)
Nome ASSE Frequenza modo
principale (rad/s)
Smorzamento %
Asse u 335 rad/s 2.41%
Asse w 454 rad/s 3.24%
Asse v 600 rad/s 4.27%
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 215
Anche questi valori sono sensati per la tipologia di macchina modellata.
c)
Per quanto riguarda i risultati delle tarature numeriche, con la determinazione delle bande
passanti di velocità, posizione e i relativi confronti con i valori estratti dalle prove
sperimentali sulla macchina sono stati riportati nell’apposita sezione.
d)
Per quanto riguarda il limite di stabilità del processo si è ricavato un valore di profondità di
passata p di circa 30mm.
Tale valore, per una lavorazione dell’alluminio e per la tipologia di modello della
macchina, risulta essere ragionevole.
e),f)
I risultati numerici delle prove di esecuzione di traiettorie, prove di lavorazione e i risultati
sperimentali correlati sono stati riportati nelle relative sezioni del lavoro.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 216
APPENDICI
1 CODICI MODELICA DEI MODELLI REALIZZATI
Spring Damper 3D
Codice Modelica
1) ta = zeros(3);
2) tb = zeros(3);
3) fa = -{(Kx*(r_rela[1] - deltax0) + Dx*v_rela[1]),(Ky*(r_rela[2] - deltay0) +
Dy*v_rela[2]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};
4) fb = S_rel*fa;
Prima di commentare il codice è necessario illustrare quali sono le grandezze utilizzate:
o ta, tb sono dei vettori coppie associate rispettivamente al frame_a e al frame_b
o r_rela è un vettore che fornisce l’informazione sulla posizione del frame_b rispetto
al frame_a valutato appunto nel frame_a
o v_rela è un vettore velocità relativa del frame_b rispetto al frame_a valutato nel
sistema di riferimento a
o S_rel è la matrice che descrive l’orientamento relativo tra i due frame
o deltax0,deltay0 e deltaz0 sono parametri relativi alla lunghezza indeformata delle
molle(In queste applicazioni vengono imposte a zero)
Con la1) e 2) si impone un vettore coppia nullo sulle due flange.
Con la 3) si calcola il vettore forza sul frame_a (tipica relazione per determinare una forza
visco-elastica)
Le forze sulle flange rappresentano l’azione-reazione della medesima forza visco-elastica.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 217
La 4) serve solamente per proiettare la forza (che viene calcolata secondo le componenti
del frame_a) lungo gli assi del frame_b.
Lettura riga
Codice Modelica
1) fa = zeros(3);
2) fb = zeros(3);
3) ta = zeros(3);
4) tb = zeros(3);
5) uno = outPort_uno.signal[1];
6) uno = (if GDL[1] == 1 then (r_rela[1]) else if GDL[2] == 1 then (r_rela[2])
else (r_rela[3]));
Con la 1), 2), 3), 4) si impongono vettori forze e coppie nulle su entrambe le flange
meccaniche.
Con la 5) si impone la variabile uno sul segnale d’uscita.
Con la 6) si calcola la variabile uno. In relazione al grado di libertà concesso al singolo
corpo della struttura, in uscita viene effettuata la lettura di posizione corrispondente.
Codice Spring-Damper 3D-45° in linguaggio Modelica
1) Ku = (Ka + Kt)/2;
2) Du = (Da + Dt)/2;
3) Kd = (Ka - Kt)/2;
4) Dd = (Da - Dt)/2;
5) ta = zeros(3);
6) tb = zeros(3);
7) fa = -{(Ku*(r_rela[1] - deltax0) + Du*v_rela[1] + Kd*(r_rela[2] - deltay0) +
Dd*v_rela[2]),(Ku*(r_rela[2] - deltay0) + Du*v_rela[2] + Kd*(r_rela[1] -
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 218
deltax0) + Dd*v_rela[1]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};
8) fb = S_rel*fa;
Codice Spring-Damper 3D-135° in Modelica
1) Ku = (Ka + Kt)/2;
2) Du = (Da + Dt)/2;
3) Kd = (Kt - Ka)/2;
4) Dd = (Dt - Da)/2;
5) ta = zeros(3);
6) tb = zeros(3);
7) fa = -{(Ku*(r_rela[1] - deltax0) + Du*v_rela[1] + Kd*(r_rela[2] - deltay0) +
Dd*v_rela[2]),(Ku*(r_rela[2] - deltay0) + Du*v_rela[2] + Kd*(r_rela[1] -
deltax0) + Dd*v_rela[1]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};
8) fb = S_rel*fa;
Codice Spring-Damper unilatero (RUS).
1) ta = zeros(3);
2) tb = zeros(3);
3) fae1 = -Kx*(r_rela[1] - deltax0);
4) fav1 = -Dx*v_rela[1];
5) fae2 = -Ky*(r_rela[2] - deltay0);
6) fav2 = -Dy*v_rela[2];
7) fae3 = -Kz*(r_rela[3] - deltaz0);
8) fav3 = -Dz*v_rela[3];
9) fa[1] = if (fae1 >= 0) then (fae1 + fav1) else 0;
10) fa[2] = if (fae2 >= 0) then (fae2 + fav2) else 0;
11) fa[3] = if (fae3 >= 0) then (fae3 + fav3) else 0;
12) fb = S_rel*fa;
Dove con la 3), 4), 5), 6), 7), 8) vengono calcolate le componenti lungo le tre direzioni
associate al frame_a delle eventuali forze elastiche e viscose.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 219
Con la 9), 10), 11) si impongono, con la condizione già anticipata, le componenti di forza
al frame_a.
La 12) impone la forza nel frame_b (collegato al concetto di azione-reazione).
Cinghia_e_c
Linguaggio Modelica
1) rc - rm = i*Modelica.Math.sin(alpha);
2) L = i*Modelica.Math.cos(alpha);
3) delta_l = (flange_a.phi*rm) - (flange_b.phi*rc);
4) k_ramo = (100*k_spec)/L;
5) v_delta_l = der(delta_l);
6) d_cinghia = k_ramo/w_asterisco_c;
7) F = (delta_l*k_ramo) + (v_delta_l*d_cinghia);
8) (flange_a.tau/rm) + (flange_b.tau/rc) = 0;
9) flange_a.tau = 2*F*rm;
La 1) e la 2) descrivono i legami geometrici tra i raggi delle pulegge, l’interasse e la
lunghezza L dei due rami.
La 3) calcola la variazione di lunghezza dei rami della cinghia in funzione delle rotazioni
delle due pulegge.
Con la 4) si calcola la rigidezza dei rami della cinghia avendo a disposizione il parametro
rigidezza specifica.
La 5) calcola la velocità di allungamento dei rami della cinghia.
Con la 6) si determina lo smorzamento (verrà spiegato nel capitolo relativo alla
determinazione dei parametri del modello la relazione utilizzata per ricavare lo
smorzamento dalla rigidezza).
L’equazione 7) calcola la forza visco-elastica generata dall’allungamento dei rami della
cinghia.
Con la 8) e la 9) si esprimono gli equilibri statici di una puleggia e del ramo della cinghia.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 220
“Spring-Damper_vite_assiale_totale”
Codice Modelica
1) InPort1.signal[1] = L0;
2) L = L0 + s_rel*1000 + InPort_allungamento_vite.signal[1]*1000
3) Kass = 1000*(E*pi*dn^2)/(4*L) "in N/m";
4) A = (f_att*pi*dm + p*cos(alfa_n))/(pi*dm*cos(alfa_n) - f_att*p);
5) Jp = (pi*dn^4)/32;
6) Kt_ass = 1000*(4*pi*G*Jp)/(A*dm*p*L) "in N/m";
7) Kass_tot = (Kass*Kt_ass)/(Kass + Kt_ass);
8) v_rel = der(s_rel);
9) d = Kass_tot/w_asterisco;
10) f = Kass_tot*(s_rel - s_rel0) + d*v_rel;
Con le dieci equazioni non si è fatto altro che tradurre in codice quanto detto
precedentemente.
Blocco generazione forze di taglio
Codice Modelica
1) Ti.t = zeros(3);
2) Ti_prec_0 ={uno_Ti_prec.signal[1],due_Ti_prec.signal[1],tre_Ti_prec.signal[1]};
3) pos_rel_Ti_prec = Ti.r0 - Ti_prec_0;
4) pos_rel_Ti_prec_radial = transpose(Ti.S)*pos_rel_Ti_prec
5) h = pos_rel_Ti_prec_radial[1];
6) p_e = p - (pos_rel_Ti_prec_radial[3]*1000)
7) Ti.f[3] = if (h >= 0) then ft3 else 0;
8) ft3 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kz*1000000*h*(p_e/1000) + Kzs*p_e);
9) ft2 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kt*1000000*h*(p_e/1000) + Kts*p_e);
10) Ti.f[2] = if (h >= 0) then ft2 else 0;
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 221
11) ft1 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kr*1000000*h*(p_e/1000) + Krs*p_e);
12) Ti.f[1] = if (h >= 0) then ft1 else 0;
Con la 1) si impone la coppia nulla sul terminale relativo al tagliente i, la 2), 3) e la 4)
permettono di ottenere la posizione relative tra il tagliente i e quello i-1(ritardato) nel
sistema di riferimento radiale-tangenziale.
La 5) calcola lo spessore istantaneo di truciolo e la 6) la profondità di passata
effettiva(somma di quella nominale e di un termine vibrazionale).
Le equazioni 7)-12) calcolono la forza di taglio e la impongono, solo se è verificata la
relative condizione, al terminale del tagliente i.
Spring-Damper 3D con attrito
Codice Modelica
1) ta = zeros(3);
2) tb = zeros(3);
3) fa[1] = (if (Kx == 0) then -(if (v_rela[1] >= v_lim2 and v_rela[1] <= v_lim1)
then -(((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[1]) else if (v_rela[1] > v_lim1)
then (f_s + m*(v_rela[1] - v_lim1)) else (-f_s + m*(v_rela[1] - v_lim2)))
else -(Kx*(r_rela[1] - deltax0) + Dx*v_rela[1]));
4) fa[2] = (if (Ky == 0) then -(if (v_rela[2] >= v_lim2 and v_rela[2] <= v_lim1)
then (((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[2]) else if (v_rela[2] > v_lim1)
then (f_s + m*(v_rela[2] - v_lim1)) else (-f_s + m*(v_rela[2] - v_lim2)))
else -(Ky*(r_rela[2] - deltay0) + Dy*v_rela[2]));
5) fa[3] = (if (Kz == 0) then -(if (v_rela[3] >= v_lim2 and v_rela[3] <= v_lim1)
then (((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[3]) else if (v_rela[3] > v_lim1)
then (f_s + m*(v_rela[3] - v_lim1)) else (-f_s + m*(v_rela[3] - v_lim2)))
else -(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3]));
6) fb = S_rel*fa;
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 222
Le equazioni che caratterizzano il componente, rispetto alla versione senta attrito sono la 3)
4) e 5)
Con queste equazioni, in base al valore della rigidezza associata a quella direzione, si
calcolano le relative componenti della forza sulla flangia_a. Se la rigidezza è nulla si
implementa la caratteristica Forza-Velocità dell’attrito, se invece la rigidezza è diversa da
zero si calcola normalmente la componente visco-elastica.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 223
2 APPENDICE DYMOLA
2.1 Generalità su Dymola-Modelica
Dymola è uno strumento commerciale per la modellazione e la simulazione di sistemi fisici
e al suo interno possiede due aree: in una vengono realizzati i modelli mentre nell’altra i
modelli vengono compilati e simulati [6][7].
Figura 204:Area Dymola in cui si realizzano i modelli
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 224
Figura 205: Area Dymola in cui si simulano i modelli
Dymola è uno strumento di modellazione orientato ad oggetti che si basa sul linguaggio
open-source Modelica [7][16][23].
Modelica permette di ottenere dei modelli a-causuali nei quali non è specificata la casualità
tra ingressi ed uscite.
Un modello a-causale è caratterizzato dalle seguenti prerogative:
• Il modello di ogni sistema è dato dalle equazioni costitutive
• Modello indipendente dalle condizioni al contorno quindi riutilizzabile in diversi
contesti, si ha quindi un approccio modulare.
• La simulazione di un aggregato di modelli è complessa, perché in generale richiede
qualche forma di manipolazione simbolica del sistema di equazioni prima di poter
passare ad un algoritmo numerico d’integrazione.
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 225
In relazione alla modularità dell’approccio, è possibile, ad esempio, sostituire un modello
con uno più complesso ma che si relaziona con gli altri attraverso gli stessi terminali di
collegamento.
In un contesto orientato ad oggetti i modelli vengono collegati tra loro mediante
“Terminali”.
Questi “terminali” sono stati standardizzati.
Il concetto di terminali nasce nel contesto della modellazione di sistemi fisici che
scambiano energia.
Figura 206:Generico modello che interagisce tramite terminali che permettono lo scambio energetico.
I diversi sottomodelli di un sistema vengono connessi tra loro appunto tramite dei
terminali.
In generale su questi terminali sono presenti due tipologie di grandezze: una di tipo “flow”
e l’altra di tipo “effort”.
L’energia che viene trasferita è pari al prodotto tra la grandezza flow e quella effort.
Si può fare riferimento per chiarezza ad un terminale di collegamento meccanico.
Sul terminale sono presenti la grandezza “forza(f)” che viene scambiata e la grandezza
“spostamento(s)”.
La grandezza forza è quella di tipo flow mentre la grandezza spostamento è una grandezza
effort.
In questo caso viene trasferita, attraverso il collegamento dei terminali, l’energia data del
prodotto tra la forza e lo spostamento.
Modello Sistema
terminali di connessione
Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro
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In generale, quando si collegano tra loro due o più terminali dello stesso tipo, si generano
le seguenti equazioni:
• Neee === .......21 (variabili di tipo effort)
• ∑ = 0jf (variabili di tipo flow )
Questo concetto delle variabili di tipo flow ed effort può essere generalizzato anche se sui
terminali sono presenti più di due grandezze (ad esempio per terminali o flange Multi-
Body).
Si può dire che questi terminali sono di per sé acausali in quanto non vengono specificati
quali sono le grandezze d’ingresso e quali le uscite.
Sapendo che ogni modello si relaziona con gli altri solo attraverso questi terminali, si può
affermare che è indispensabile scrivere le equazioni descrittive del modello in modo da
esplicitare le relazioni tra le “grandezze di terminale” e le variabili usate all’interno delle
equazioni rappresentanti il modello stesso.
In Dymola-Modelica esistono comunque dei terminali casuali per rappresentare la
connessione di segnali.
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2.2 Terminali utilizzati nel modello della Macchine Utensili
In questo paragrafo verranno semplicemente elencati i terminali o flange utilizzate nella
realizzazione del modello della macchina utensile specificandone le grandezze ad esse
associate.
NOME GRANDEZZE di terminale
Flange meccaniche
traslazionali
Spostamento s (effort)
Forza f (flow)
Flange meccaniche
rotazionali
Rotazione phi (effort)
Coppia tau (flow)
Flange meccaniche
Muly-Body
Vettore coppie: t (flow)
Vettore forze: f (flow)
Vettore posizione r0 (effort)
Matrice orientamento S (“”)
Vettore velocità v (“”)
Vettore vel. angolare w (“”)
Vettore accelerazione a(“”)
Vettore accelerazione angolare
z(“”)
Flange elettriche Tensione v (effort)
Corrente i (flow)
Segnali d’ingresso e
d’uscita
(terminali causali)
Input
Output(grandezze
adimensionali)
Figura 207:Terminali utilizzati nella creazione del modello Dymola della Macchina Utensile
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Per quanto riguarda le unità di misura delle grandezze di terminale, tutte aderiscono al
sistema SI.
Alcuni dei parametri introdotti nel modello sono espressi in unità di misura differenti da
quelle del SI, si è provveduto però ad effettuare le apposite conversioni all’interno dei
modelli per mantenere la coerenza con le grandezze di terminale.
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2.3 Altri ambienti di simulazione
Questo paragrafo si rifà alla possibilità di convertire modelli Dymola, opportunamente
adattati, in modelli simulabili in ambiente Matlab-Simulink.
Le modifiche che devono essere fatte servono per assegnare una causalità al modello.
Questa operazione viene realizzata fissando degli ingressi e delle uscite al sistema
attraverso gli appositi segnali di imput ed output.
Di seguito si riporta una porzione della guida di Dymola che spiega le operazioni da fare
per poter ottenere un modello equivalente in Simulink (in inglese).
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