tesis doctorado oaaa

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS

FACULTAD DE CIENCIAS

EXTENSIONES MICROTONALES DECONTRAPUNTO

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE

DOCTOR EN CIENCIAS

P R E S E N T A

OCTAVIO ALBERTO AGUSTIN AQUINO

DIRECTOR DE TESIS:

DR. GUERINO BRUNO MAZZOLA

MEXICO, D. F. SEPTIEMBRE DE 2011

Este trabajo esta dedicado:

a mi esposa, Angelica,por brindarme todo su amor y paciencia

mientras batallaba con mi doctorado y esta tesis,

y a mis padres,Zoila D. Aquino Perez y

Gregorio Alberto Agustın Escamilla,por todo su apoyo y carino incondicional.

Indice general

Prefacio IV

Algunas advertencias sobre la terminologıa y la notacion VI

1. Introduccion 11.1. ¿Que es el contrapunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El modelo mazzoliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Variaciones al modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Nociones preliminares 72.1. Dicotomıas marcadas de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Dicotomıas de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. El teorema microtonal de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Cuasipolaridades y dicotomıas de intervalos 153.1. Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Caracterizacion de las cuasipolaridades . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Calculo de dicotomıas fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Torres de contrapunto 234.1. La categorıa de dicotomıas fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Torres de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3. Consonancias y disonancias densas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Contrapunto de la segunda especie 365.1. Dicotomıas de 2-intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2. Simetrıas de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3. Algoritmo para el calculo de simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . 38

Conclusiones y trabajo futuro 41

A. Codigo fuente 42A.1. Algoritmo de Hichert generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2. Calculo de dicotomıas fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.3. Simetrıas de contrapunto para la segunda especie . . . . . . . . . 48

Bibliografıa 51

iii

Prefacio

Yo creıa que, sin las formulas [ma-tematicas], nunca podrıa transmi-tir la dulce melodıa que tocaba micorazon.

Kiyoshi Ito (1915-2008)

Desde que tuve mis primeros contactos simultaneos con la Musica y la Mate-matica, percibı una ıntima conexion entre ellas. Y empece a sonar con modelosmatematicos que capturaran la belleza de ambas disciplinas. En ellos, el Algebra,la Teorıa de Numeros, el contrapunto y la fuga brillaban con inefable esplendor.

No imaginaba que esto ya hubiese sido hecho (o, al menos, iniciado) porGuerino Mazzola, ni que su modelo emplease poderosas herramientas matema-ticas. Estoy convencido de que sus resultados y los de sus colaboradores superanampliamente mis mas audaces expectativas, y me alegro profundamente porello. El presente trabajo pretende contribuir a esos esfuerzos, y a continuaciondescribo brevemente su contenido, capıtulo por capıtulo.

En el primero se introduce de manera sumaria el concepto de contrapunto yse justifica el modelo matematico que inspira esta tesis, haciendo enfasis en suimportancia como medio para poner en perspectiva la teorıa tradicional.

En el segundo, se establecen algunas definiciones concernientes al modelocontrapuntıstico en el ambito microtonal. Se demuestra que el modelo es viabley se demuestra el teorema microtonal de contrapunto. Tambien se proporcionaun algoritmo para calcular las simetrıas de contrapunto, que pueden verse comola parte “tangible” del teorema microtonal de contrapunto.

En el tercero, se estudian las cuasipolaridades y las dicotomıas de intervaloscon mayor detalle y se establecen algunas propiedades utiles para subsecuentesresultados. Las cuasipolaridades son desarreglos involutivos de los espacios de2k tonos que, cuando estan asociadas a las llamadas dicotomıas fuertes, sonpolaridades.

En el cuarto, se definen las torres de contrapunto y se demuestra su existen-cia. Las torres de contrapunto son el mecanismo mediante el cual el contrapuntose puede extender razonablemente de un espacio microtonal de cardinalidad 2ka otro con un multiplo de tonos, digamos 2ak. En particular, se demuestra queexiste una torre que conduce a una polaridad continua; esto podrıa ser funda-

iv

v

mento futuro de una teorıa continua de contrapunto.Finalmente, en el quinto capıtulo, se propone una manera de extender el

esquema anterior al contrapunto de la segunda especie. Se obtiene tambien unteorema de contrapunto y un algoritmo para el calculo de simetrıas. Las si-metrıas en este nuevo contexto no son, sin embargo, invertibles en general.

Es muy oportuno dar algunos agradecimientos. Primero que nada, al ConsejoNacional de Ciencia y Tecnologıa, por su apoyo a traves de una beca con numerode becario 217020/207309, que me permitio concluir esta investigacion. Tambiena los doctores Emilio Lluis-Puebla, Guerino Mazzola y Rodolfo San AgustınChi por guiarme e infundirme animo mientras redactaba esta tesis. Por ultimo,pero no por ello de forma menos importante, a los doctores Emmanuel Amiot,Pablo Padilla Longoria y Marıa de Lourdes Palacios Fabila por su revision delborrador y sus atinados comentarios y correciones; espero haberlos incorporadocon acierto en la version final.

Todos los resultados son originales salvo donde se especifica explıcitamente.

Octavio Alberto Agustın AquinoTeotitlan de Flores Magon, Oaxaca

Febrero de 2011

Algunas advertencias sobrela terminologıa y lanotacion

En el texto usamos el formalismo de formas y denotadores, introducido porG. Mazzola en su magna obra The Topos of Music [Maz02]. Intuitivamente, unaforma es un espacio y un denotador es un punto en una forma.

Una forma de particular interes para nosotros es PiMod2k, el espacio detonos modulo la octava en la afinacion equitemperada de 2k-tonos. Siempre queaparezca tal sımbolo, el lector lo puede reemplazar por Z2k para una mejorcomprension. Se mantiene aquı por coherencia con otras fuentes y porque laconstruccion PiMod2k esta dotada con caracterısticas adicionales que puedenser (y de hecho son) utiles.

La notacion de teorıa de numeros viene del maravilloso libro Concrete Mat-hematics [GKP94] de Graham, Knuth y Patashnik. En particular, la relacion dedivisibilidad se representa con una barra inclinada \, usamos mod en la formausual y como una operacion binaria y

[P ] =

{1, P es verdadera,

0, en otro caso,

es el corchete de Iverson.

vi

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. ¿Que es el contrapunto?

Puesto que el tema principal de este trabajo es el contrapunto, vale la penaexaminar el significado de este termino con algo de detalle. Ciertamente nolo haremos de manera exhaustiva, por que tal empresa rebasa los lımites deesta obra. Ademas, la definicion de contrapunto vario notablemente antes deasentarse en la teorıa escrita y aun despues de eso no resulto del todo nıtida nicarecio de polisemia.

Pese a todo, una nocion bastante estable del contrapunto surge alrededordel siglo XV. Johannes Tinctoris, por ejemplo, dice [Tin77]:

El contrapunto es un concierto racional y moderado de sonidos queresulta de colocar una voz contra otra. Se denomina contrapunto por“contra” y “punto”, pues se pone una nota contra otra justo comoun punto se pone contra otro. En consecuencia, todo contrapunto secompone de una mezcla de voces.

Despues J. J. Fux (en el siglo XVIII), explica esto mas detalladamente[Man65]:

[...] En tiempos prıstinos, en lugar de nuestras notas modernas, seutilizaban puntos o cırculos. Ası, se acostumbraba a llamar a unacomposicion en la que cada punto se colocaba contra otro punto,contrapunto; esta usanza se conserva hoy todavıa, aun cuando laforma de las notas ha cambiado.

Por el termino contrapunto, por lo tanto, se entiende una composi-cion que se escribe estrictamente de acuerdo a reglas tecnicas.

Finalmente, K. Jeppesen nos proporciona la acepcion moderna mas comun[Jep92]:

[...] Es el arte de preservar la independencia melodica en un complejopolifonico armonicamente balanceado.

1

2 Capıtulo 1. Introduccion

En suma, podrıamos descomponer la definicion de contrapunto en tres par-tes:

1. Dos o mas voces (polifonıa),2. independientes entre sı,3. armonica y racionalmente conjuntadas.

Del anhelo de preservar los ultimos dos aspectos de la definicion surgen lasreglas tecnicas mencionadas por Fux. La busqueda de la armonıa entre las voces(refiriendonos a la biensonancia del conjunto polifonico) justifica la predominan-cia de las consonancias como las relaciones intervalicas entre ellas. No obstante,a lo largo de los siglos, ha fluctuado el consenso sobre cuales intervalos sonconsonancias o si lo son de manera absoluta. Por ejemplo: el tratado Musicaenchiriadis del siglo IX (alguna vez atribuido a Hucbald) reconoce primordial-mente a la cuarta, la quinta y la octava como tales y secundariamente a lasterceras y las sextas. Posteriormente, la cuarta es reclasificada como disonanciay se afianzan las terceras y sextas como consonancias imperfectas, en contrastecon el resto que son llamadas perfectas. Que estas distinciones hayan cuaja-do en el contrapunto clasico (como lo describe Fux, al menos) confirma que elcontrapunto no esta fundado exclusivamente en consideraciones psicoacusticas:la cuarta perfecta es acusticamente una consonancia, pero existe al menos unateorıa que no la considera como tal.

¿Y que se puede decir sobre la independencia? A lo largo del Gradus ad Par-nassum se establecen varias reglas cuyo fin presumiblemente es el de preservardistinguibles a las voces, aunque no resulta claro por que resultan efectivas (sies que lo son). Al respecto, Klaus-Jurgen Sachs [Sac74, p. 33] menciona quea veces el “contra” del contrapunto se refiere a la prevalencia del movimientocontrario en las voces. ¿Pero puede garantizar la independencia de las voces laobservancia irrestricta de este principio? El comportamiento resultante es, a finde cuentas, tan dependiente como el movimiento paralelo.

Adicionalmente, Sachs [Sac74, p. 34] indica que la independencia de las vo-ces no es exclusiva del ambito vertical (en la separacion entre ellas), sino quetambien se da horizontalmente. En tal caso, el “contra” se interpreta como layuxtaposicion de intervalos1. Siendo que hay consonancias perfectas e imper-fectas, la juxtaposicion alternada de estas aporta otro elemento (posiblementevital) de tension.

El modelo propuesto por Guerino Mazzola [Maz02], aunque restringido acierta instancia sencilla pero fundamental del contrapunto, aporta una nuevaperspectiva sobre estas cuestiones. Utilizando ciertas propiedades algebraicasy geometricas de los intervalos consonantes, permite obtener reglas tecnicasbasadas en la nocion de simetrıa de contrapunto que, al ser simetrıas locales,en cierto modo representan las fuerzas motoras del contrapunto. Discutimos acontinuacion dicho modelo y su relevancia.

1Los intervalos de contrapunto pueden verse, a fin de cuentas, como puntos en el espaciode numeros duales Z12[ε].

1.2. El modelo mazzoliano 3

1.2. El modelo mazzoliano

La encarnacion mas simple del contrapunto consiste en dos voces que si-multaneamente tocan notas de identica duracion. Se acostumbra prescribir lamelodıa de una de ellas y llamarla cantus firmus, mientras que la otra (el dis-cantus) se compone utilizando reglas tecnicas ya mencionadas.

A esto Tinctoris [Tin77] lo denomino contrapunto simple y es el primero queestudia Fux en el Gradus, aunque el lo llama contrapunto de la primera especie.Tambien lo denominaremos ası en lo subsecuente.

A pesar de su simplicidad, esta instancia del contrapunto es lo suficiente-mente compleja para instituir varias reglas de composicion y plantear preguntasteoricas interesantes. Sachs [Sac74, p. 123], por ejemplo, lo cataloga como elnucleo de la teorıa del contrapunto durante los siglos XIV y XV, y el resto comoelaboraciones graduales. Aun durante el siglo XVI, se esperaba que un musicoentrenado fuese capaz de improvisar voces contrapuntısticas de la primera espe-cie sobre otra voz dada (en lo que se denominaba contraponto alla mente). Envirtud de la importancia de este tipo de contrapunto, resulta natural que sea elprimer objeto de un modelo matematico.

Como ya hemos mencionado, uno de los aspectos mas importantes de lateorıa del contrapunto desde el siglo XIV es la division de los intervalos musicalesen consonancias y disonancias. Restringiendonos a las equivalencias enarmonicasy de octavas, los 12 intervalos resultantes se dividen en dos mitades con seiselementos cada una. Adicionalmente, todos los intervalos que aparecen en elcontrapunto de la primera especie deben ser consonantes. Evidentemente, estehecho inextricablemente ata al contrapunto de la primera especie con la nocionde consonancia2.

Guerino Mazzola [Maz02, Parte VII] usa esta division de consonancias y di-sonancias como punto de partida para su modelo matematico. A esta divisionde intervalos la denomina dicotomıa de intervalos. Mas precisamente, si las dis-tancias intervalicas modulo octava se modelan con la forma PiMod12, donde0 es el unısono, 1 la segunda menor, etcetera, entonces la dicotomıa clasica deintervalos es

K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D = {1, 2, 5, 6, 10, 11},donde K son las consonancias y D las disonancias. Esta dicotomıa disfruta de“buenas” propiedades algebraicas y geometricas para fines contrapuntısticos.Quiza la mas notable es el hecho de que la transformacion afın

p(K/D)(x) = e2 ◦ 5(x) = 5x+ 2

manda a K en D y viceversa. Esta propiedad es esencial para formular las lla-madas simetrıas de contrapunto. Como mostraremos mas tarde, la teorıa maz-zoliana se funda esencialmente en las simetrıas de contrapunto y los numeros

2Esto sucede incluso si la definicion de consonancia varıa, como en el caso del contrapuntodisonante. El modelo mazzoliano predice que la unica prohibicion general en el contrapuntodisonante son las segundas menores paralelas, mientras que Cowell [Cow96, p. 35] se conten-ta con invertir los papeles de las consonancias y disonancias y prohibir las octavas porque“probablemente sonarıan inconsistentes”.


duales para explicar la tension horizontal del contrapunto que mencionamosanteriormente.

Salvo isomorfıa afın, existen otras cinco biparticiones de PiMod12 que tienenlas mismas propiedades matematicas deseables de la dicotomıa (K/D), comomostro Jens Hichert en su tesis de maestrıa [Hic93]. Despues definiremos comofuertes a las dicotomıas de este tipo en los ambitos microtonales. Una dicotomıafuerte notable aparte de la clasica es la dicotomıa jonica

I = {2, 4, 5, 7, 9, 11}, J = {0, 1, 3, 6, 8, 10},

cuya primera parte consiste precisamente en la escala mayor medida desde latonica.

Dado un cantus firmus, la teorıa de Fux limita la sucesion de intervalosen la composicion basandose puramente en los movimientos de las voces conla dicotomıa de consonancias y disonancias en mente. La teorıa mazzoliana,por otra parte, usa el concepto de simetrıa de contrapunto para establecer unconjunto de sucesores admisibles de un intervalo dado. Este nuevo enfoque haconducido a notables resultados:

1. El teorema de contrapunto, que establece que para cualquier dicotomıafuerte cualquier intervalo tiene al menos 36 sucesores admisibles; inclusosi se prescribe el cantus firmus, el sucesor admisible existe. Para el ca-so particular de la dicotomıa (K/D), las quintas paralelas estan siempreprohibidas. Cabe mencionar que esta es una consecuencia, y no un prere-quisito, del modelo.

2. Con respecto a la dicotomıa (K/D), la escala mayor es la que brindala mayor libertad de eleccion para intervalos sucesores (si uno restringeal discanto a permanecer en la escala mayor), en contraste con la esca-la melodica menor. Por ejemplo, si el primer intervalo y el cantus firmusestan dados, en solo dos casos el intervalo sucesor esta unıvocamente de-terminado. En contraste, esto ocurre en 16 caso para la escala melodicamenor.

3. La dicotomıa (K/D) es antipodal a la dicotomıa jonica, en el siguientesentido: no siempre es posible encontrar un sucesor admisible dentro dela primera mitad de la dicotomıa jonica tal que tanto el cantus firmuscomo el discanto pertenescan a la escala mayor, mientras que la escalaK∗ = 0, 3, 4, 7, 8, 9, 11 (que es muy similar al conjunto K de consonanciasy tambien a una escala basica de las ragas hindues) no tiene este problema.

4. El primer teorema de “unificacion de la armonıa y el contrapunto”, debidoa Noll [Nol95]. A grandes rasgos, pone a los intervalos consonantes (de ladicotomıa unica en la clase de (K/D) que es un monoide) en correspon-dencia algebraica con las simetrıas afines de una trıada mayor.

5. Los “mundos de contrapunto” derivados de las seis dicotomıas fuertes (queson rigurosamente definidos por Junod y Mazzola en [MJ07]) pueden usar-se para propositos composicionales. Los morfismos entre estos “mundos”pueden definirse de manera matematicamente precisa, lo que provee una

1.3. Variaciones al modelo 5

herramienta pionera para la transformacion de una composicion del con-trapunto clasico a otros sistemas “exoticos” de reglas, siempre que seaposible. De hecho, tales transformaciones han sido implementadas por Ju-nod como modulos del programa RUBATO [Jun10].

6. Investigaciones que emplean electroencefalografıa ha demostrado la rele-vancia cognitiva de la polaridad p(K/D) que relaciona algebraicamente lasconsonancias y disonancias clasicas [Maz02, p. 637]. Esto ha conducidotambien a nuevas perspectivas sobre la manera en que el cerebro humanointerpreta la musica.

1.3. Variaciones al modelo

Los logros del modelo mazzoliano alientan un mayor examen del mismo.En particular, sera deseable ampliar la discusion del principio antropico deMazzola. En este caso, el principio establece que, si interpretamos la aparicionhistorica de una escala musical o dicotomıa como resultado de una eleccionentre una familia de posibilidades parametrizada, entonces la eleccion efectivacorresponde a cierta optimalidad de los parametros relevantes. Un ejemplo deesto es el punto concerniente a las escalas mayores y menores. En esta tesis,la cardinalidad par de las escalas cromaticas equitemperadas se toma como elparametro a elegir. Podemos entonces formular las siguientes preguntas:

1. ¿Que hace a la escala de 12 tonos equitemperada tan especial? En otraspalabras: tiene esta escala propiedades especiales entre las escalas equi-temperadas en relacion al contrapunto?

2. ¿Es posible definir dicotomıas fuertes de intervalos para escalas mas gene-rales?

3. Si es ası, ¿cuales haran patente el principio antropico? En otras palabras¿las elecciones maximas seran las mas musicales de todas?

4. ¿Para cuales de ellas existe un teorema de contrapunto?5. ¿Existe algun resultado similar al teorema de unificacion de Noll que nos

permita estudiar (o incluso definir) una morfologıa armonica en estas es-calas?

Como menciona Mazzola en [Maz07], estas preguntas sobre las variacionesal modelo son importantes para apreciar mejor el valor de los “mundos” musi-cales en los que vivimos. Si bien es importante saber que existe una explicacionpara, por ejemplo, la prohibicion de las quintas paralelas, es necesario exploraralternativas para entender por que funciona este principio. Es preciso transgre-dir los lımites de los modelos para justificar la belleza en nuestras elecciones ypara encontrar nuevas maneras de crearla.

En este sentido, el presente trabajo extiende los seis mundos de contrapuntode 12 tonos al ambito microtonal, donde su numero se multiplica infinitamente.Por ejemplo: para las escalas 24-tonales equitemperadas existen ¡359 clases dedicotomıas fuertes de contrapunto! Resulta intrigante pensar si debieran recha-zarse mas de trescientas maneras de hacer contrapunto 24-tonal para preferir las


seis de la escala 12-tonal, o cuales nos deleitaran mas despues de experimentarcon ellas.

Tambien podrıamos preguntarnos por que no se toman menos tonos. Pudieraser que la posibilidad de contraponer un mundo de contrapunto a otras cincosea la razon pues, por un lado, no hay manera de hacer contrapunto con cuatrotonos. Para dos, seis y ocho tonos, esencialmente solo hay una.

Pero, por otro lado, la escala de 10 tonos tiene tres mundos de contrapun-to. ¿Por que no fue elegida? Un resultado de J. Junod [Jun10] podrıa ser larespuesta, pues dice que las isometrıas afines de este espacio (con la topologıametrica inducida por su descomposicion de Sylow) no coincide con el total desus simetrıas afines. El sistema de 12 tonos sı tiene esta propiedad.

Algo mas que vale la pena estudiar es la posibilidad de transformar coheren-temente las composiciones regidas por ciertos parametros de un modelo, a otraque obedezca a las impuestas por otros parametros. Por ejemplo, si se componealgo utilizando las reglas deducidas de la dicotomıa (K/D), nos gustarıa trans-formarla razonablemente de modo que ahora obedezca a las reglas dadas por ladicotomıa (I/J). Como habıamos mencionado antes, esto es un morfismo entremundos de contrapunto [Jun10]. En esta tesis encontramos algunas las relacio-nes entre las dicotomıas microtonales de diferente cardinaldiad y bosquejamosalgunas consecuencias que tendrıa en las reglas de contrapunto que determinacada una. Un resultado importante es que existe una sucesion de dicotomıasanidadas de modo que, en el lımite, su polaridad se puede extender a todas lasfrecuencias en la octava. Esto abre la puerta a un contrapunto continuo, dondela polaridad es continua para alguna topologıa apropiadamente definida en elespacio de intervalos de contrapunto.

Capıtulo 2

Nociones preliminares

En este capıtulo demostraremos que el contrapunto microtonal basado endicotomıas fuertes y simetrıas de contrapunto es viable para una cantidad pararbitraria de tonos (salvo cuatro). Tambien describimos el algoritmo de Hichertpara la busqueda de simetrıas de contrapunto en este nuevo contexto.

2.1. Dicotomıas marcadas de intervalos

Definicion 2.1. Sea A un modulo. Una dicotomıa marcada X (con domicilioA) es una composicion local A-domiciliada que tiene la misma cardinalidad quesu complemento {(X) en la composicion local total.

Ciertas dicotomıas marcadas nos interesan en el contrapunto, que distingui-mos a continuacion.

Definicion 2.2. Sea A un Z-modulo. Una dicotomıa marcada de intervalos Xes una dicotomıa marcada con espacio ambiente PiMod2k,q.

Una dicotomıa marcada de intervalos usualmente se denota con (X/{X),para hacer explıcito al complemento. Mas aun, el complemento define una accionde Z2 sobre el conjunto de dicotomıas marcadas de intervalos. Una orbita deesta accion se denomina dicotomıa de intervalos. Por otra parte, el grupo

−→GL(Z2k) = {eb ◦ a : b ∈ Z2k, a invertible}

donde

eb ◦ a(x) = ax+ b,

tambien actua sobre las dicotomıas marcadas de intervalos. Las orbitas de es-ta accion se llaman clases de dicotomıas marcadas. No es difıcil ver que estasacciones conmutan; las orbitas de la accion conjunta son conocidas como clasesde dicotomıa.

7

8 Capıtulo 2. Nociones preliminares

Definicion 2.3. Una dicotomıa marcada de intervalos X se dice autocomple-mentaria si es isomorfa a su complemento {(X), esto es, si y solo si su clasede dicotomıa coincide con con su clase de dicotomıa marcada. La dicotomıamarcada X se dice rıgida si su grupo de simetrıa es trivial. Se dice fuerte si esautocomplementaria y rıgida.

Escolio 2.4. Un automorfismo p ∈−→GL(Z2k) tal que pX = Y = {X recibe el

nombre de polaridad. Para una dicotomıa fuerte (X/Y ), la polaridad es unica.En efecto, si hubiese otra q tal que qX = Y entonces

(p−1 ◦ q)X = X

y la fuerza de (X/Y ) implica que p−1 ◦ q = id. En consecuencia q = p.

No es inmediato que existan dicotomıas autocomplementarias, rıgidas o fuer-

tes. Pero, siempre que dispongamos una involucion p de−→GL(Z2k) que no tenga

puntos fijos, entonces podemos construir facilmente una dicotomıa autocomple-mentaria. De hecho, escojemos primero un elemento arbitrario x1 ∈ Z2k, luegoelegimos x2 ∈ Z2k distinto de x1, p(x1), y ası tomamos xj diferente de

x1, . . . , xj−1, p(x1), . . . , p(xj−1)

hasta llegar a j = k. De este modo, X = ({x1, . . . , xk}/{p(x1), . . . , p(xk)}) esuna dicotomıa marcada autocomplementaria.

Lema 2.5. Para cualquier n y 0 ≤ t ≤ 2n impar, et ◦ −1 ∈−→GL(Z2n) es

involutivo y no tiene puntos fijos (es decir, es un desarreglo involutivo afın).

Demostracion. Dado que

(et ◦ −1) ◦ (et ◦ −1) = et ◦ e−t ◦ 1 = e0 ◦ 1 = 1

queda establecido su caracter involutivo. Si et ◦ −1(x) = t − x = x para algunx, entonces 2x− t = 0. Esto significa que 2n divide a 2x− t, lo que contradiceque 2x− t es impar. En consecuencia, et ◦ −1 no tiene puntos fijos.

Cuando k = 1, es obvio que ({1}/{0}) y ({0}/{1}) son las unicas dicotomıasfuertes. Para k = 2, no hay dicotomıas fuertes. Basta verificar esto para

X1 = ({0, 1}/{2, 3}), X2 = ({0, 2}/{1, 3}), X3 = ({0, 3}/{1, 2}),

pues todas ellas son autocomplementarias. Sin embargo, e1 ◦ −1(X1) = X1,−1(X2) = X2 y e−1 ◦ −1(X3) = X3, ası que ninguna de ellas es rıgida.

Ahora podemos demostrar que existe al menos una dicotomıa fuerte con es-pacio ambiente PiMod2k para k ≥ 3. Hay que tener en mente que los elementosinvertibles de Z2k son impares pues son coprimos con 2k.

Proposicion 2.6. Sea k ≥ 3. La dicotomıa

(X/Y ) = ({−1, 2k − 2, 2k − 4, . . . , 4, 2}/{0, 1, 3, . . . , 2k − 5, 2k − 3})

en PiMod2k (que se obtiene del automorfismo e−1 ◦ −1) es fuerte.

2.2. Dicotomıas de contrapunto 9

Demostracion. En general, la dicotomıa propuesta es claramente autocomple-mentaria, con isomorfismo e−1◦−1. Para demostrar su rigidez, mostraremos quebajo cualquier automorfismo eu ◦ w, salvo la identidad, al menos un elementode la dicotomıa marcada es enviado a un elemento en el complemento. Si u = 0,entonces w(−1) = −w 6= −1 es impar y por lo tanto w(−1) ∈ {X. Si u 6= 0 espar, entonces X 3 −w−1u 6= 0 es par y eu ◦ w(−w−1u) = u− u = 0 ∈ {X. Si ues impar, eu ◦w(2) = u+ 2w es impar. Si pertenece {X, ya esta. De otro modo,eu ◦ w(2) = u + 2w = −1. Es imposible que eu ◦ w(4) = u + 4w = −1, puesimplicarıa que 2w = 0 y 2 = 0, lo que contradice que k ≥ 3.

Vale la pena hacer enfasis en que existen dicotomıas fuertes de cardinali-dad par arbitraria excepto 4. Esto significa que, en terminos de este modelo,no podemos formular una teorıa contrapuntıstica para la escala equitemperadade cuatro tonos. Esta escala puede interpretarse como los tonos de un acordedisminuıdo de septima en la escala equitemperada de doce tonos.

Escolio 2.7. La dicotomıa construıda para k = 6 en la Proposicion 2.6

({11, 10, 8, 6, 4, 2}/{0, 1, 3, 5, 7, 9})

pertenece a la clase de la dicotomıa

∆78 = ({0, 1, 2, 4, 6, 10}/{3, 5, 7, 8, 9, 11})

en la lista de Mazzola, [Maz02, ap. L].

2.2. Dicotomıas de contrapunto

Guerino Mazzola descubrio que los intervalos de contrapunto pueden mo-delarse muy bien usando a Z2k[ε] (el algebra de numeros duales sobre Z2k),dotandolos tangencialmente con notables propiedades algebraicas. Ası, a cual-quier x+ ε.y ∈ Z2k[ε] se le llama intervalo de contrapunto, donde x es el cantusfirmus y y es el intervalo. Nos adherimos a esta convencion para Z2k[ε].

Definicion 2.8. Una dicotomıa marcada de contrapunto X con espacio ambien-te PiMod2k[ε] es una dicotomıa marcada con espacio ambiente PiMod2k,q[ε].

Escolio 2.9. Dada una dicotomıa marcada de intervalos (X/Y ), la dicotomıamarcada de contrapunto cuyo soporte es el conjunto

X[ε] := Z2k + ε.X

es una dicotomıa marcada de contrapunto.

Las definiciones de dicotomıa de contrapunto y de clases de contrapunto,autocomplementariedad, rigidez y fuerza se definen modificando las anterioresadecuadamente usando

−→GL(Z2k[ε]) := {es+ε.t ◦ (u+ εv) : s, t, u, v ∈ Z2k, u invertible}


en lugar de−→GL(Z2k). Ahora enumeramos algunas definiciones y resultados en

preparacion para el algoritmo de Hichert general. Las demostraciones que seomiten son similares a las que se encuentran en [Maz02] y [Agu09], salvo modi-ficaciones menores.

Proposicion 2.10. Sea ∆ = (X/Y ) una dicotomıa fuerte con polaridad p∆ =eu ◦ v. Escojase un cantus firmus x. Entonces existe exactamente un automor-fismo px∆ en el espacio de intervalos de contrapunto PiMod2k[ε] que es unapolaridad de (X[ε]/Y [ε]) tal que

px∆(x+ ε.Z2k) = x+ ε.Z2k,

px∆ = ex(1−v)+ε.u ◦ v y px+y∆ = ex ◦ py∆ ◦ e

−x.

Definicion 2.11. Dada una dicotomıa (X[ε]/Y [ε]) y un automorfismo g ∈−→GL(Z2k[ε]), un par de intervalos ξ, η ∈ Z2k[ε] se dice que es polarizado por g siξ ∈ gY [ε] y η ∈ gX[ε].

De ahora en adelante, supondremos que (X/Y ) es una dicotomıa fuerte.

Proposicion 2.12. Sea (X[ε]/Y [ε]) y ξ, η dos intervalos diferentes. Entonces

existe un automorfismo g ∈−→GL(Z2k[ε]) tal que el par ξ, η is polarizado por g.

Definicion 2.13. Sea ∆[ε] = (X[ε]/Y [ε]) y ξ = x+ ε.i ∈ X[ε]. Un g ∈−→GL(Z2k)

es una simetrıa de contrapunto para ξ si, y solo si,

1. ξ ∈ gX[ε],2. px∆ es una polaridad de g∆[ε],3. la cardinalidad de gX[ε]∩X[ε] es maxima entre todos los g que tienen las

primeras dos propiedades.

Definicion 2.14. Si son dados una dicotomıa ∆[ε] = (X[ε]/Y [ε]) y un intervaloξ ∈ X[ε], otro intervalo η se dice un sucesor admisible de ξ si esta contenido enla interseccion gX[ε] ∩X[ε] para una simetrıa de contrapunto g de ξ.

Lema 2.15. El grupo de automorfismos de X[ε] es eZ2k .

Lema 2.16. Para g = eε.t ◦ (u+ ε.v) ∈−→GL(Z2k[ε]) y z ∈ Z2k, definimos

g(z) = g ◦ eε.u−2vz ∈ H := eε.Z2k ◦GL(Z2k)

Entonces

(g(z1))(z2) = g(z1+z2)

ez ◦ gX[ε] = g(z)X[ε] y ez ◦ gY [ε] = Y [ε].

Demostracion. Solo la segunda parte necesita demostracion. Tenemos

ez ◦ g = ez+ε.t ◦ (u+ ε.v)

= eε.t ◦ (u+ ε.v) ◦ ez(u−1−ε.u−2v)

= g ◦ e(−z) ◦ ezu−1

2.3. El teorema microtonal de contrapunto 11

de donde

ez ◦ gX[ε] = g(−z) ◦ ezu−1

X[ε] = g(−z)X[ε],

usando el Lema 2.15. El caso para Y es enteramente analogo.

Corolario 2.17. Para g ∈−→GL(Z2k[ε]) y la dicotomıa marcada de contrapunto

inducida X[ε], existe una simetrıa h ∈ H tal que gX[ε] = hX[ε].

Lema 2.18. Sean ξ = x+ ε.k, g ∈−→GL(Z2k[ε]) y z ∈ Z2k. Si

ξ /∈ gX[ε] y px∆ : gX[ε]∼=−→ gY [ε]

entonces

ezξ /∈ ez ◦ gX[ε] y pz+x∆ : ezgX[ε]∼=−→ ezgY [ε].

Ademas

ez ◦ gX[ε] ∩X[ε] = ez(gX[ε] ∩X[ε])

y, en particular,

|gX[ε] ∩X[ε]| = |ez ◦ gX[ε] ∩X[ε]|.

Proposicion 2.19. Las simetrıas de contrapunto se pueden calcular si unoconoce las simetrıas de contrapunto g ∈ H con cantus firmus x = 0. De modomas preciso, si ξ = x+ ε.y ∈ X[ε] y g es de contrapunto para ξ, entonces existeuna simetrıa de contrapunto h = et ◦ (u + ε.v) ∈ H para ξ. Mas aun, paraverificar que h es de contrapunto, basta comprobar que h(x) es de contrapuntopara el intervalo ε.y y la polaridad p0

∆.

2.3. El teorema microtonal de contrapunto

Como puede verse de la Proposicion 2.19, para determinar las simetrıas decontrapunto es importante evaluar el numero de sucesores admisibles |gX[ε] ∩X[ε]| para g = eε.t ◦ (u + ε.uv). Mazzola demostro que, con la notacion de laProposicion 2.19, t debe satisfacer

t = y − up(s) y wt+ r = ur + t, (2.1)

donde p = er ◦ w es la polaridad de (X/Y ) y s ∈ X.

Escolio 2.20. Las condiciones (2.1) implican que

u(s(w − 1)− wr) = y(1− w)− r

y se satisfacen tomando s = y y u = w, por lo que existe por lo menos unasimetrıa de contrapunto para el intervalo consonante ε.y.


Sea ρ = mcd(v, 2k) cuando v 6= 0. En [Maz02], se demuestra que

|gX[ε] ∩X[ε]| =

∑y∈Z2k

|ey ◦ uX ∩X|, v ∈−→GL(Z2k),

2k|ey−up(s) ◦ uX ∩X|, v = 0,

ρ∑(2k/ρ)−1j=0 |ejρ+y−up(s) ◦ uX ∩X|, de otro modo,

(2.2)

donde y, s ∈ X y p es la polaridad de (X/Y ). Adicionalmente, para el primercaso, Mazzola da la formula∑

y∈Z2k

|ey ◦ uX ∩X| = |X|2 = k2.

Para el resto, observese que la cardinalidad de ey−up(s) ◦ uX ∩X no puedeexceder k− 1, porque (X/Y ) es fuerte y y− p(s) 6= 0, al ser p la polaridad. Porlo tanto,

2k|ey−up(s) ◦ uX ∩X| ≤ 2k(k − 1).

La ecuacion jρ + y − p(s) = 0 tiene a lo mas una solucion en el intervalo0 ≤ j < 2k/ρ. Esto significa que

ρ

2k/ρ−1∑j=0

|ejρ+y−up(s) ◦ uX ∩X| ≤ ρ[(

2k

ρ− 1

)(k − 1) + k

]= ρ+ 2k(k − 1)

≤ k + 2k(k − 1) = 2k2 − k.

Resumiendo, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.21 (Teorema microtonal de contrapunto). Sea ∆ = (X/Y ) unadicotomıa fuerte, y sea ξ ∈ X[ε]. El numero N de sucesores admisibles de ξsatisface

k2 ≤ N ≤ 2k2 − k.

La cota superior es justa: la dicotomıa

∆ = ({0, 2, 3}/{1, 4, 5})

(con polaridad e1 ◦ −1) en PiMod6 es fuerte1, y el numero de sucesores admi-sibles de ε.2 es exactamente 15 = 2 · 32 − 3. Su unica simetrıa de contrapuntoes eε.3 ◦ (1 + ε.3).

Para el calculo efectivo de las simetrıas de contrapunto, damos el siguientealgoritmo; la version para k = 6 se debe a Jens Hichert.

Algoritmo 2.22. Aquı χ(x, y) es una funcion que devuelve la cardinalidad delconjunto ex ◦ yX ∩X.

Entrada: Una dicotomıa fuerte ∆ = (X/Y ) y su polaridad er ◦ w.

1De hecho, es la unica dicotomıa fuerte en PiMod6, salvo por imagenes afines isomorfas.

2.3. El teorema microtonal de contrapunto 13

Salida: El conjunto de simetrıas de contrapunto Σy ⊆ H para cada ε.y ∈ X[ε].

1: para todo y ∈ X hacer2: M ← 0,Σy ← ∅.3: para todo u ∈ GL(Z2k) hacer4: para todo s ∈ X hacer5: para todo v ∈ Z2k hacer6: t← y − u(ws+ r).7: si wt+ r = ur + r entonces8: si v = 0 entonces9: S ← 2kχ(t, u).

10: si no si v ∈ GL(Z2k) entonces11: S ← k2

12: si no

13: ρ← mcd(v, 2k), S ← ρ∑ 2k

ρ −1

j=0 χ(jρ+ t, u).14: si S > M entonces15: Σy ← {eε.t ◦ (u+ ε.uv)}, S ←M .16: si no si S = M entonces17: Σy ← Σy ∪ {eε.t ◦ (u+ ε.uv)}.18: devolver Σy.

Ejemplo 2.23. La salida del algoritmo para la dicotomıa fuerte

∆ = ({0, 2, 3}/{1, 4, 5})

es

Σ0 = {eε.4 ◦ (5 + ε.4), eε.4 ◦ (5 + ε.2)},Σ2 = {eε.3 ◦ (1 + ε.3)},

Σ3 = {eε.4 ◦ (5 + ε.4), eε.4 ◦ (5 + ε.2)},

El numero de sucesores admitidos es, respectivamente: 10, 15, 10. Se enlistande manera explıcita en el Cuadro 2.1.


y N Simetrıas Sucesores admisibles0 10 eε.4 ◦ (5 + ε.4) {1, 4}+ ε.{0, 3}

{2, 5}+ ε.{0, 2}{0, 3}+ ε.2

eε.4 ◦ (5 + ε.2) {2, 5}+ ε.{0, 3}{1, 4}+ ε.{0, 2}{0, 3}+ ε.2

2 15 eε.3 ◦ (1 + ε.3) Z6 + ε.{0, 3}z + ε.2, z impar

3 10 eε.4 ◦ (5 + ε.4) ver y = 0eε.4 ◦ (5 + ε.2) ver y = 0

Cuadro 2.1: Sucesores admisibles para la dicotomıa {0, 2, 3}.

Capıtulo 3

Cuasipolaridades ydicotomıas de intervalos

Como vimos en el capıtulo anterior, los desarreglos afines involutivos sonimportantes pues son las polaridades de las dicotomıas fuertes en PiMod2k,p. Eneste capıtulo los caracterizaremos para futuras referencias. Vale decir aquı que

|GL(Zn)| = ϕ(n)

donde ϕ es la funcion totalizadora de Euler. Por lo tanto, |−→GL(Zn)| = nϕ(n).

3.1. Consideraciones previas

Sea g = eu ◦ v ∈−→GL(Zn). La funcion g es una involucion afın si, y solo si,

v2 = 1, (3.1)

u(v + 1) = 0. (3.2)

Sea n = 2αpα11 · · · p

α`` la descomposicion en primos de n. En [Vin71] se de-

muestra que el numero de soluciones Q de (3.1) es

Q =

{2`, α = 0, 1,

2`+1, α ≥ 2,

y se pueden determinar resolviendo explıcita y simultaneamente

v ≡ 1 (mod 2[α>0]a), v ≡ −1 (mod 2[α>0]b)

para todas las maneras de escribir n = 2αab. Aquı [P ] es el corchete de Iverson.Para que g sea un desarreglo, es necesario y suficiente que la ecuacion

(v − 1)x = −u (3.3)

15

16 Capıtulo 3. Cuasipolaridades y dicotomıas de intervalos

no tenga soluciones. En adelante ν sera un representante de la clase de v y

σ(ν, n) = mcd(ν − 1, n), τ(ν, n) = mcd(ν + 1, n);

los valores de u que satisfacen (3.2) son multiplos de

u0 =n

τ(ν, n).

Lema 3.1. Sea v ∈ GL(Zn) una involucion. Entonces

u0 =n

τ(ν, n)\σ(ν, n),

donde ν es un representante de la clase v.

Demostracion. Existen enteros a, b, c, d tales que

σ(ν, n) = a(ν − 1) + nb, τ(ν, n) = c(ν − 1) + nd.

Tenemos el producto

σ(ν, n)τ(ν, n) = ac(ν2 − 1) + n((ad+ bc)(ν − 1) + nbd).

Puesto que v2− 1 = 0, existe un entero m tal que ν2− 1 = nm, por lo tanto

σ(ν, n)τ(ν, n) = n(acm+ (ad+ bc)(ν − 1) + nbd)

y el resultado es inmediato.

3.2. Caracterizacion de las cuasipolaridades

Definicion 3.2. Una cuasipolaridad es un desarreglo involutivo afın.

La ecuacion (3.3) no se satisface si, y solo si, σ(ν, n) = mcd(ν − 1, n) nodivide a −u (o, equivalentemente, no divide a u). Vale mencionar aquı que,al ocuparnos de una involucion, n no puede ser impar pues toda involucionactuando sobre un conjunto de cardinalidad impar tiene un punto fijo. Por lotanto, en adelante tomaremos n = 2k.

Por el algoritmo de la division, u debe ser un multiplo de u0 de la forma

u = σ(ν, 2k)q + r, 0 < r < σ(ν, 2k), q ∈ Z (3.4)

De esto y el Lema 3.1 deducimos que r tambien debe ser un multiplo de u0.Es claro que u0 ≤ σ(ν, 2k).

Proposicion 3.3. Si u0 = 2kτ(ν,2k) = σ(ν, 2k), no hay cuasipolaridades con v

como su parte lineal.

Demostracion. Pues si u0 = σ(ν, 2k), entonces σ(ν, 2k)\u.

3.2. Caracterizacion de las cuasipolaridades 17

Teorema 3.4. La transformacion afın g = eu ◦ v ∈−→GL(Z2k) es una cuasipola-

ridad si, y solo si, se cumple lo siguiente:

1. la parte lineal v es involutiva,2. se satisface que u0 = 2k

τ(ν,2k) < σ(ν, 2k) (de hecho, σ(ν, 2k) = 2u0),

3. se satisface que u es de la forma (3.4) con r = u0.

Si k es impar, el segunda condicion se puede omitir.

Demostracion. Supongase que eu◦v es una cuasipolaridad. Entonces se cumplenlas ecuaciones (3.1) y (3.2) y (3.3) no tiene soluciones. En consecuencia, u es unmultiplo de u0. El entero u garantiza que (3.3) no tiene soluciones si, y solo si,es de la forma (3.4). Esto sucede si, y solo si, u0 < σ(ν, 2k). Esta desigualdades suficiente porque u0 divide a σ(ν, 2k) y por la Proposicion 3.3; es necesariaporque u0 divide a r y por lo tanto u0 ≤ r < σ(ν, 2k).

Recıprocamente, dado g = eu ◦ v ∈−→GL(Z2k) con v involutivo, supongamos

que u es de la forma (3.4). Por el Lema 3.1, u es un multiplo de u0, por lo quees una solucion de (3.2). Tambien garantiza que (3.3) no tiene soluciones puesu0 < σ(ν, 2k). En conclusion, g es una cuasipolaridad.

Demostramos enseguida que u0 < σ(ν, 2k) es verdadero cuando k es impar.Sean λ y µ tales que

ν − 1 = 2λ, ν + 1 = 2µ. (3.5)

Notese que λ y µ son coprimos pues

µ− λ =ν + 1

2− ν − 1

2= 1

y entonces mcd(λ, µ)\1, por lo que mcd(λ, µ) = 1.Tenemos ahora

2km = ν2 − 1 = 4λµ

ası que

km = 2λµ,

por lo que 2 divide am (de lo contrario, km es impar, lo que es contradictorio). Sesigue que λµ es un multiplo de k. Puesto que λ ⊥ µ, entonces mcd(λ, µ)\ k

mcd(µ,k)

Afirmamos que kmcd(µ,k) divide tambien a mcd(λ, µ). Efectivamente, existen en-

teros a, b, c, d tales que

φ = mcd(λ, k) = aλ+ bk, ψ = mcd(µ, k) = cµ+ dk. (3.6)

La afirmacion se sigue del examen del producto

φψ = acλµ+ adλk + bckµ+ k2bd

= kacm2 + kadλ+ kbcµ+ k2bd

= k(acm2 + adλ+ bcµ+ kbd).


De lo anterior concluimos que

σ(ν, 2k) = 2 mcd(λ, k) = 2k

mcd(µ, k)= 2

2k

τ(ν, 2k)= 2u0

y se sigue inmediatamente que u0 < σ(ν, 2k).Resta demostrar que cuando u0 < σ(ν, 2k) entonces σ(ν, 2k) = 2u0 si k

es par. Por la discusion previa sabemos que kφψ es un entero no nulo y, por

hipotesis,k

φψ=

4k

(2φ)(2ψ)= 2

2k

σ(ν, 2k)τ(ν, 2k)< 2.

lo que implica que kφψ = 1. Por ello, tanto si k es par como si no, tenemos que

r = u0 en (3.4) si, y solo si, g es una cuasipolaridad.

Escolio 3.5. Observese que el Lema 2.5 es un corolario directo del Teorema 3.4tomando v = −1, pues

σ(ν, 2k) = mcd(−2, 2k) = 2, τ(ν, 2k) = mcd(0, 2k) = 2k.

Entonces

u0 =2k

τ(ν, 2k)=

2k

2k= 1

y por lo tanto todos los enteros de la forma

u = σ(ν, 2k)q + u0 = 2q + 1

(es decir, todos los enteros impares) son tales que eu ◦−1 es una cuasipolaridad.

Proposicion 3.6. El grupo de isotropıa de una cuasipolaridad g = eu◦v bajo laaccion de conjugacion tiene cardinalidad σ(ν, 2k)ϕ(2k). Equivalentemente, hayexactamente 2k

σ(ν,2k) elementos en la orbita de g bajo la accion de conjugacion.

Demostracion. Sea h = et ◦ s ∈−→GL(Z2k). Tenemos

g′ = h ◦ g ◦ h−1 = (et ◦ s) ◦ (eu ◦ v) ◦ (e−s−1t ◦ s−1) = et(1−v)+su ◦ v. (3.7)

Los elementos del estabilizador de g son aquellos cuyos parametros satisfacenla ecuacion

t(1− v) = u(1− s),

que tiene solucion para cada s ∈ GL(Z2k) fijo pues

σ(ν, 2k) = mcd(1− ν, 2k)\u(1− s).

dado que 1− s es par.Mas aun, tiene exactamente σ(ν, 2k) soluciones diferentes. Dado que esto

ocurre para cada s ∈ GL(Z2k), la cardinalidad del grupo de isotropıa de g es

|−→GL(Z2k)g| = σ(ν, 2k)ϕ(2k).

3.3. Calculo de dicotomıas fuertes 19

Esto quiere decir que cada orbita consta de

|−→GL(Z2k)|

σ(ν, 2k)ϕ(2k)=

2k

σ(ν, 2k)

elementos.

Corolario 3.7. El grupo−→GL(Z2k) actua transitivamente (por conjugacion) so-

bre el conjunto de todas las cuasipolaridades con parte lineal fija v.

Demostracion. Pues (3.4) puede tomar 2kσ(ν,2k) valores modulo 2k, y la orbita de

cada cuasipolaridad eu ◦ v tiene ese mismo numero de elementos.

3.3. Calculo de dicotomıas fuertes

Dada una dicotomıa autocomplementaria de intervalos (X/Y ) en PiMod2k

y p es alguna de sus polaridades, entonces cualquier gX ∈−→GL(Z2k)X tambien

es autocomplementaria y una de sus polaridades es g ◦ p ◦ g−1. En efecto,

(g ◦ p ◦ g−1)(gX) = (g ◦ p)(X) = gY.

Cuando X es fuerte, tambien gX es fuerte: si h es uno de sus automorfismosentonces g−1 ◦ h ◦ g serıa un automorfismo de X, luego g−1 ◦ h ◦ g = id y enconsecuencia h = id.

Ahora bien, por el Teorema 3.4 y la demostracion de la Proposicion 3.6, laorbita bajo la accion de conjugacion de las cuasipolaridades esta determinadapor su parte lineal. Es decir, las orbitas de las cuasipolaridades f1 = eu1 ◦ v1 yf2 = eu2 ◦ v2 coinciden si, y solo si, v1 = v2.

Consideremos la descomposicion en transposiciones de la cuasipolaridad p(x1 p(x1)

) (x2 p(x2)

)· · ·(xk p(xk)

)de modo que podemos definir C = {xi}ki=1 tal que (C/p(C)) es una dicotomıaautocomplementaria de intervalos. Afirmamos que las dicotomıas marcadas deintervalos autocomplementarias (cuyo conjunto denotaremos con Ap) estan enbiyeccion con los subconjuntos de C.

Ciertamente: a la dicotomıa autocomplementaria de intervalos (X/Y ) conpolaridad p le asociamos un subconjunto X ∩ C mediante la funcion

κp,C : Ap → ℘(C),

X 7→ X ∩ C,

y a cualquier subconjunto de D ⊆ C le asignamos una dicotomıa de intervalosautocomplementaria definiendo

θp,C : ℘(C)→ Ap,D 7→ D ∪ p(C \D).


2k 2 4 6 8 10 12 14 16

ND 1 0 1 1 3 6 9 15

2k 18 20 22 24 26 28 30 32

ND 40 90 105 359 355 1092 3007 2152

2k 34 36 38 40 42 44 46 48

ND 4305 17826 15267 48549 130839 170820 198753 780645

Cuadro 3.1: Numero de dicotomıas fuertes para 2 ≤ 2k ≤ 48.

Estas dos aplicaciones son inversas una de la otra pues ℘(C) es un conjuntofinito y

κp,C ◦ θp,C(D) = κp,C(D ∪ p(C \D))

= (D ∪ p(C \D)) ∩ C= (D ∩ C) ∪ (p(C \D) ∩ C) = D,

pues p(C \D) ⊆ p(C) = {C.

Escolio 3.8. El grupo−→GL(Z2k)p actua sobre las dicotomıas autocomplemen-

tarias con polaridad p. Pues si para h ∈−→GL(Z2k)p, una dicotomıa autocomple-

mentaria (C/p(C)) y D ⊂ C tenemos h(x) ∈ h(θp,C(D)) y tambien p ◦ h(x) ∈h(θp,C(D)), entonces

h−1 ◦ h(x) = x ∈ θp,C(D) y h−1 ◦ p ◦ h(x) = p(x) ∈ θp,C(D)

lo que contradice el hecho de que (C/p(C)) es autocomplementaria.

En vista de lo anterior, podemos encontrar las dicotomıas fuertes de in-tervalos calculando, para cada subconjunto D ∈ ℘C, el grupo de isotropıa dela dicotomıa marcada θ(D) y descartando aquellas θ(D) que no sean rıgidas.Ademas, si se examina a un D en particular, no es necesario examinar a C \Dpues θ(C \D) = p(D), lo que significa que C \D esta en la orbita de D.

Para lo que sigue, definimos la biyeccion

ω : ℘C → {0, 1, . . . , 2k},

D 7→k∑i=1

χD(xi)2i−1

donde C = {xi}ki=1 es una dicotomıa autocomplementaria en PiMod2k y χDes la funcion caracterıstica del conjunto D. Notese que ω({D) = 2k−1 − ω(D),

ası que {ω−1(i)}2k−1−1i=0 consiste en todos los subconjuntos de C que no son

complementarios entre sı. Podemos describir ahora el algoritmo “inocente” paracalcular las clases marcadas de dicotomıas fuertes.

Algoritmo 3.9. Consideramos−→GL(Z2k) = {g1 = e0 ◦ 1, g2, . . . , g|−→GL(Z2k)|}.

3.3. Calculo de dicotomıas fuertes 21

Entrada: Una cuasipolaridad p en PiMod2k.Salida: El conjunto F de los representantes de las clases de dicotomıas fuertes

con polaridad p.1: C ← ∅, F ← ∅.2: para todo x ∈ Z2k hacer3: si x, p(x) /∈ C entonces4: C ← C ∪ {x}.5: para 0 ≤ i < 2k−1 hacer6: b← 1, X ← θ(ω−1(i)), `← 2.

7: mientras ` ≤ |−→GL(Z2k)| y b 6= 0 hacer

8: si g`X = X o g`X ∈ F entonces9: b← 0

10: `← `+ 1.11: si b = 0 entonces12: F ← F ∪ {X}.

En el Cuadro 3.1 se ve cuantas clases de dicotomıas fuertes hay para PiMod2k,2 ≤ 2k ≤ 42, calculadas utilizando el Algoritmo 3.9.

De lo anterior podemos sacar en conclusion que el numero ND de dicotomıasfuertes en PiMod2k no es mayor que el numero de involuciones en GL(Z2k)multiplicado por la mınima cantidad de orbitas que determinan los θ(D) paracada D ⊆ C de la dicotomıa (C/p(C)). Dada la cuasipolaridad p = eu ◦ v, por

la Proposicion 3.6 el subgrupo de−→GL(Z2k) que actua sobre los subconjuntos de

C tiene cardinalidad

σ(ν, 2k)ϕ(2k) ≥ 2ϕ(2k),

donde la desigualdad resulta de considerar la polaridad e1 ◦ −1 y la dicotomıafuerte de la Proposicion 2.6.

Para concluir este capıtulo, damos una cota superior para el numero de clasesde dicotomıa fuertes en PiMod2k.

Para una involucion dada v ∈ GL(Z2k) tal que existe una cuasipolaridadp = eu ◦ v, sea (C/p(C)) una dicotomıa autocomplementaria. Llamaremos auna dicotomıa θ(D) para D ⊆ C relativamente fuerte respecto a la accion de−→GL(Z2k)p si para cualquier h ∈

−→GL(Z2k)p distinto de la identidad, tenemos

h(θ(D)) 6= θ(D).

Por la Proposicion 3.6, el subgrupo de−→GL(Z2k) que actua sobre los subcon-

juntos de C tiene cardinalidad

σ(ν, 2k)ϕ(2k) ≥ 2ϕ(2k),

donde la desigualdad resulta de considerar la polaridad e1 ◦ −1 y la dicotomıafuerte de la Proposicion 2.6. Por lo tanto, el numero Np de dicotomıas relativa-mente fuertes para una p fija esta acotado por

Np ≤|℘C|

|−→GL(Z2k)p|

=2k

σ(ν, 2k)ϕ(2k)≤ 2k

2ϕ(2k)≤ 2k−1

ϕ(2k).


Las dicotomıas fuertes con polaridad p siempre son dicotomıas relativamentefuertes, ası que el numero de clases de dicotomıas fuertes debe estar acotado porel numero de clases de dicotomıas relativamente fuertes. Puesto que hay 2k

σ(ν,2k)

conjugados de p, el numero total de clases de dicotomıas relativamente fuerteses a lo mas ∣∣∣∣∣∣

⋃h∈−→GL(Z2k)

Nh−1◦p◦h

∣∣∣∣∣∣ ≤ 2k

σ(ν, 2k)· 2k−1

ϕ(2k)≤ k2k−1

ϕ(2k).

Para el numero ND de clases de dicotomıa fuertes de PiMod2k tenemos

ND ≤ |GL(Z2k)| · k2k−1

ϕ(2k)= ϕ(2k) · k2k−1

ϕ(2k)= k2k

ya que el numero de involuciones de Z2k es, evidentemente, a lo mas |GL(Z2k)|.

Capıtulo 4

Torres de contrapunto

El proposito de este capıtulo es introducir la nocion de torre de contrapunto,que surge del embebimiento progresivo de una instancia microtonal en otraal subdividir (y, a veces, transponer) tonos. Demostraremos que existen torresinfinitas de contrapunto, y que una en particular contiene una instancia isomorfaa la dicotomıa clasica de consonancias y disonancias. Tambien se prueba quehay torres infinitas cuyo lımite es denso en la octava, y su polaridad puedeextenderse continuamente en la topologıa estandar de S1.

4.1. La categorıa de dicotomıas fuertes

Sean ∆1 = (X1/Y1) y ∆2 = (X2/Y2) dos dicotomıas marcadas fuertes enespacios ambientes PiMod2k1 y PiMod2k2 , respectivamente. Un morfismo entreestas dicotomıas es un morfismo de modulos φ : Z2k1

→ Z2k2tal que

φ(X1) ⊆ X2, φ(Y1) ⊆ Y2

y el siguiente cuadrado conmuta

Z2k1

φ−−−−→ Z2k2

p∆1

y yp∆2

Z2k1

φ−−−−→ Z2k2

donde p∆1y p∆2

son sendas polaridades de ∆1 y ∆2. Definidos de esta ma-nera, los morfismos entre dicotomıas fuertes se convierte en una categorıa quedenotaremos con DF.

Estamos particularmente interesados en los morfismos de dicotomıas donde

φ : Zk → Z2k : x 7→ 2x

es la inyeccion canonica, y mas especıficamente en las dicotomıas donde k = 2n ·3para n ≥ 0. Para demostrar que existen, demostraremos primero que existenciertas cuasipolaridades en sus espacios subyacentes.

23

24 Capıtulo 4. Torres de contrapunto

Proposicion 4.1. El morfismo afın

e2n−1

◦ (4dn2 e + 1) ∈

−→GL(Z2n·3)

es una cuasipolaridad.

Demostracion. Empezamos definiendo v = 4dn2 e + 1 y observando que

v2 = 42dn2 e + 2 · 4dn2 e + 1

= 24dn2 e + 22dn2 e+1 + 1

= 22dn2 e+1(22dn2 e−1 + 1) + 1

≡ 1 mod 3 · 2n

dado que 22dn2 e−1 ≡ 2 mod 3 y 2dn2 e+ 1 > n. Ahora sean

σ = mcd(v − 1, 3 · 2n)

= mcd(4dn2 e, 3 · 2n)

= 2n,

τ = mcd(v + 1, 3 · 2n)

= mcd(4dn2 e + 2, 3 · 2n)

= mcd(2(22dn2 e−1 + 1), 3 · 2n)

= 2 mcd(22dn2 e−1 + 1, 3 · 2n−1)

= 3 · 2.

Entonces

u =3 · 2n

τ=

3 · 2n

3 · 2= 2n−1 < σ = 2n.

Por el criterio del Teorema 3.4, tenemos que

eu ◦ v = e2n−1

◦ (4dn2 e + 1)

es una cuasipolaridad.

Proposicion 4.2. El cuadrado

Z3·2n2−−−−→ Z3·2n+1

e2n−1◦(4d

n2e+1)

y ye2n◦(4dn+12e+1)

Z3·2n −−−−→2

Z3·2n+1

es conmutativo.

Demostracion. Por un lado tenemos

2 ◦ e2n−1

◦ (4dn2 e + 1) = e2n ◦ (2 · 4dn2 e)

= e2n ◦ (22dn2 e+1)

4.2. Torres de contrapunto 25

mientras que por el otro

e2n ◦ (4dn2 e + 1) ◦ 2 = e2n ◦ (2 · 4d

n+12 e)

= e2n ◦ (22dn+12 e+1).

Los numeros 2dn+12 e+ 1 y 2dn2 e+ 1 difieren por 0 o por 2. En el ultimo caso

tenemos

22dn+12 e+1 − 22dn2 e+1 = 22dn2 e+1(22 − 1)

= 22dn2 e+1 · 3≡ 0 mod 3 · 2n+1.

En consecuencia, el cuadrado conmuta.

4.2. Torres de contrapunto

El resultado principal de esta seccion se refiere a la existencia de un sistemadirigido infinito de dicotomıas fuertes muy especial. Para poder construirlos,necesitamos primero el siguiente resultado.

Lema 4.3. Sea n un entero par y (Xn/Yn) una dicotomıa fuerte en PiModn con

polaridad pn ∈−→GL(Zn). Para cualquier conjugado p′ de pn existe una dicotomıa

autocomplementaria (V/{V ) con funcion de autocomplementariedad p′ tal queni pertence a la orbita Xn ni es invariante bajo el morfismo antipodal

en/2 : Zn → Zn,x 7→ x+ n/2.

Demostracion. Empezamos con las desigualdades

nϕ(n) < n2 ≤

{2n2 , n > 15,

2n4 − 1, n > 43,

nϕ(n) < 2n2 , n = 12, 14,

nϕ(n) < 2n4 − 1, n = 36, 40.

La orbita de Xn tiene nϕ(n) elementos, mientras que el numero de dico-tomıas autocomplementarias con funcion de autocomplementariedad p′ es 2

n2 .

Ası es seguro que para n > 12 existe al menos una dicotomıa V que no pertenecea la orbita de Xn y p′(V ) = {V .

Ahora demostraremos que al menos una de esas V no es invariante bajo laaccion del morfismo antipodal. Considerese el grafo H cuyos vertices son Zny sus aristas son {x, en2 (x)}. Coloreense las aristas de H con negro si sus dosvertices pertenecen a V , con blanco si sus dos vertices no pertenecen a V y con


gris de otro modo. Denotense con NVB , N

VW , N

VG el numero de aristas negras,

blancas y grises definidas por V . Notese que (o vease [Igl81])

2NVB +NV

G = 2NVW +NV

G = n2

y de aquı que NVB = NV

W .Si n2 es impar, la ecuacion anterior implica que NV

G es impar, ası que NVG ≥ 1.

Por lo tanto, al menos un elemento de V es enviado al complemento de V bajola aplicacion antipodal.

Si n2 es par, entonces NV

G es par. Supongamos que NVG = 0 y que en conse-

cuencia NVW = NV

B = n4 .

Para encontrar una biyeccion f entre las aristas negras y blancas, anadimosprimero a H las aristas {x, p′(x)} para obtener H ′. Ninguna de estas aristasestaba ya en H, pues no tenıa aristas grises. Todos los vertices de H ′ son degrado 2, pues cualquier vertice tiene como vecinos exactamente un vertice desu mismo color (definido por la aplicacion antipodal) y exactamente uno de sucolor opuesto (definido por p′) y no tiene lazos (pues tanto p′ como la aplicacionantipodal son involuciones y no tienen puntos fijos). Por lo tanto, H ′ es eule-riano, ası que puede descomponerse en k ciclos. Tales ciclos son disjuntos en losvertices, pues de otro modo algun vertice de H ′ tendrıa grado mayor que 2.

En cada ciclo, no hay dos aristas del mismo color que sean adyacentes, puescada una de ellas esta definida por la funcion antipodal. Tampoco puede ser quearistas del mismo color esten conectadas por una arista de la forma {x, p′(x)},pues esto significa que x y p′(x) pertenecerıan o bien ambos a V o bien ambosa {V , una imposibilidad por la definicion misma de p′. De esto deducimos queen cada ciclo las aristas blancas y negras alternan y son iguales en numero.

Ahora dotemos a cada ciclo de una orientacion arbitraria pero fija, y orde-nemos linealmente sus aristas blancas y negras acorde con dicha orientacion.Hagamoslo de modo que el ınfimo de cada ordenamiento sea una arista negracuyo vertice tenga el representante mas pequeno. Ası, para el j-esimo ciclo quetiene rj aristas negras resulta

b1,j < w1,j < b2,j < w2,j < · · · < brj ,j < wrj ,j .

Definamos f segun f(bi,j) = wi,j . Ası definida, f es una biyeccion, porquecada arista negra pertenece a exactamente un ciclo y su sucesor en el ordena-miento correspondiente es blanco y unıvocamente determinado. Observese quela arista bi,j tiene un vertice x tal que p′(x) esta en f(bi,j), por lo que si re-emplazamos a x por p′(x) entonces obtenemos una nueva dicotomıa V ′ tal queNV ′

G = 2.Puesto que inicialmente existen n

4 aristas negras, podemos construir al menos2n4 −1 dicotomıas autocomplementarias diferentes distintas de V que definen al

menos dos aristas grises (usando todos los subconjuntos de las aristas negras).Ası, para n > 35, existe al menos una de ellas fuera de la orbita de Xn.

Los casos n = 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 28, 32 no estan cubiertos por el razona-miento anterior, pero tenemos las siguientes dicotomıas:

PiMod6 3 V = {1, 2, 3}+ k, p′ = e2k+1 ◦ 5,


PiMod8 3 V = {1, 2, 3, 4}+ k, p′ = e2k+1 ◦ 7,

PiMod10 3 V = {1, 2, 3, 4, 5}+ k, p′ = e2k+1 ◦ 9,

PiMod12 3 V = {2, 4, 5, 6, 7, 9}+ 2k, p′ = e4k+2 ◦ 5,

PiMod12 3 V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}+ k, p′ = e2k+1 ◦ 11,

PiMod16 3 V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, p′ = e8 ◦ 1,

PiMod16 3 V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}+ k, p′ = e2k+1 ◦ 15.

PiMod20 3 {0, 1, 2, 4, 9, 13, 15, 16, 17, 18}, p′ = e10 ◦ 1.

PiMod20 3 {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 19}+ 2k, p′ = e2+4k ◦ 9.

PiMod20 3 {0, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 19}+ 5k, p′ = e5+10k ◦ 11.

PiMod20 3 {1, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19}+ k, p′ = e1+2k ◦ 19.

PiMod24 3 {0, 1, 2, 4, 9, 10, 11, 15, 17, 18, 19, 20},p′ = e12 ◦ 1.

PiMod24 3 {0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 16, 17, 20, 21, 22}+ 3k,p′ = e3+6k ◦ 7.

PiMod24 3 {0, 1, 2, 3, 5, 6, 911, 12, 15, 20, 22}+ 4k,p′ = e4+8k ◦ 17.

PiMod24 3 {0, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 22, 23}+ k,p′ = e1+2k ◦ 23.

PiMod28 3 {0, 2, 4, 5, 7, 10, 12, 15, 17, 20, 22, 23, 25, 27},p′ = e14 ◦ 1.

PiMod28 3 {1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 25, 26, 27}+ 2k,p′ = e2+4k ◦ 13.

PiMod28 3 {0, 1, 2, 5, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 27}+ 7k,p′ = e7 ◦ 15 + 14k.

PiMod28 3 {2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 19, 21, 22, 26}+ k,p′ = e1+2k ◦ 27.

PiMod32 3 {0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 21, 27, 29, 30, 31},p′ = e16 ◦ 1.

PiMod32 3 {0, 2, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 27, 28, 29, 30} + k, p′ =e1+2k ◦ 31.

Todas ellas no son fuertes ni invariantes bajo su respectiva aplicacion anti-podal.


Otra demostracion. Para el caso NVG = 0, hay otro argumento para establecer

la funcion biyectiva entre el conjunto B = {b1, . . . , bn4 } de aristas negras y elconjunto W = {w1, . . . , wn

4} de aristas blancas. Sea H ′ el grafo con vertices

B ∪W y aristas definidas por

e = {x, y} ∈ H ′ ⇐⇒ p′(x) ∩ y 6= ∅.

Todos los vertices de H ′ son de grado 1 or 2, pues para una arista x en Htenemos que p′(x) intersecta a una o dos aristas de H. Esto sucede porque cadavertice de H pertenece a alguna arista de H y estas son disjuntas dos a dos(pues la aplicacion antipodal es una involucion).

Sea H ′′ el subgrafo de H ′ generado por los vertices de grado 2 y F ′ el sugrafode H ′ generado por los vertices de grado 1. Ninguna arista de H ′′ cruza de H ′

a F ′, pues si un vertice y de F ′ es adyacente a un vertice x de H ′, entonces obien p′(x) = y o bien p′(y) = x y la involutividad de p′ implica que x′ ∈ F ′.

Por un teorema de teorıa de grafos (vease [Die05, p. 37]), H ′′ tiene un 1-factor F , i. e., un subgrafo generador 1-regular. Claramente, F ′ es un 1-factorde sı mismo, por lo tanto F ∪ F ′ es un 1-factor de H ′.

Ahora podemos definir la biyeccion f enviando bi a su vecino en F ′∪F . Porla construccion de H ′, al menos un vertice x de bi es enviado por p′ al verticep′(x) ∈ f(bi). Reemplazando a x por p′(x) en la dicotomıa V obtenemos unadicotomıa V ′ que induce una nueva coloracion en H tal que NV ′

G = 2. El restode la demostracion continua como antes.

Lema 4.4. Sea n un numero par. Supongase que existen cuasipolaridades pn =eu ◦ v y p2n = er ◦ w tales que el cuadrado

Zn2−−−−→ Z2n

pn

y yp2n

Zn −−−−→2

Z2n

conmuta. Entonces p′ = eu+w−12 ◦ v es una cuasipolaridad en Zn.

Demostracion. Usando el Teorema 3.4, sabemos que

u = mcd(v − 1, n)q +n

mcd(v + 1, n),

r = mcd(w − 1, 2n)q′ +2n

mcd(w + 1, 2n),

2n

mcd(v + 1, n)= mcd(v − 1, n),

22n

mcd(w + 1, 2n)= mcd(w − 1, 2n).


Observese que debido a la hipotesis de conmutatividad, r ≡ 2u (mod 2n) yv − w = kn para algun entero k, ası que

mcd(v ± 1, n) = mcd(v − kn± 1, n) = mcd(w ± 1, n).

Si 2 mcd(w + 1, n) = mcd(w + 1, 2n) entonces

mcd(w − 1, 2n) = 22n

mcd(w + 1, 2n)

= 2n

mcd(w + 1, n)

= 2n

mcd(v + 1, n)

= mcd(v − 1, n) = mcd(w − 1, n).

Tambien

2u = r = mcd(w − 1, 2n)q′ +2n

mcd(w + 1, 2n)

= mcd(w − 1, n)q′ +n

mcd(w + 1, n)

= mcd(v − 1, n)q′ +n

mcd(v + 1, n),

por lo que u = mcd(v − 1, n)(q − q′), lo que implica que mcd(v − 1, n)\u. Peroesto es imposible por el Teorema 3.4.

Si mcd(v + 1, n) = mcd(w + 1, n) = mcd(w + 1, 2n), entonces

mcd(v − 1, n) = 2n

mcd(v + 1, n)=

2n

mcd(w + 1, n)=

2n

mcd(w + 1, 2n)

y

r = mcd(w − 1, 2n)q′ +2n

mcd(w + 1, 2n)

= mcd(w − 1, 2n)q′ + mcd(v − 1, n)

= mcd(w − 1, 2n)q′ + mcd(w − 1, n)

Tampoco es posible que mcd(w − 1, 2n) = mcd(w − 1, n), pues la igualdadanterior implica que mcd(w− 1, 2n)\r, lo que nuevamente es una imposibilidadpor el Teorema 3.4.

La unica posibilidad valida que queda es

mcd(w − 1, 2n) = 2 mcd(w − 1, n) = 2 mcd(v − 1, n)

lo que implica inmediatamente que mcd(w−12 , n) = mcd(v − 1, n) y

mcd(v − 1, n)\(w − 1

2

).


En consecuencia eu+w−1

2 ◦ v es una cuasipolaridad, pues w−12 = mmcd(v −

1, n) para algun entero m y

u+w − 1

2= mcd(v − 1, n)(q +m) +

n

mcd(v + 1, n),

una parte afın valida para una cuasipolaridad segun el Teorema 3.4.

Teorema 4.5. Sea n un numero par. Si existe una dicotomıa fuerte (Xn/Yn)con polaridad pn = eu ◦ v y el cuadrado

Zn2−−−−→ Z2n

pn

y yp2n

Zn −−−−→2

Z2n

conmuta con p2n = e2u ◦w, entonces existe una dicotomıa fuerte (X2n/Y2n) conpolaridad p2n tal que 2 es un morfismo de dicotomıas, i. e. el cuadrado

Xn2−−−−→ X2n

pn

y yp2n

Yn −−−−→2

Y2n

conmuta.

Demostracion. Por los dos previos lemas, sabemos que existe una dicotomıaautocomplementaria V en Zn con funcion autocomplementaria p′n = e(w−1)/2 ◦pn = eu+(w−1)/2 ◦ v que no pertenece a la orbita de Xn ni es invariante bajo laaplicacion antipodal e

n2 . La hipotesis de conmutatividad implica que

p2n(2V + 1) = p2n(2V ) + w = 2pn(V ) + w = 2p′n(V ) + 1.

Definamos X2n = (2Xn) ∪ (2V + 1) y notemos que p2n(X2n) = {X2n. Su-pongamos que e2b ◦ s es una simetrıa no trivial de X2n. Si 2q ∈ 2Xn, entonces

e2b ◦ s(2q) = 2sq + 2b = 2(sq + b) ∈ 2Xn

lo que implica que eb ◦ s es una simetrıa de Xn. Por lo tanto, s = 1 +n y b = n.Ası, 2b = 0 y para cualquier 2q + 1 ∈ 2V + 1 tenemos que

e2b ◦ s(2q + 1) = e0 ◦ (1 + n)(2q + 1)

= 2q + 2qn+ 1 + n ≡ 2q + 1 + n (mod 2n),

por lo que 2q + 1 + n ∈ 2V + 1 y q + n2 ∈ V . Esto no puede ser, pues V no es

invariante bajo la aplicacion antipodal.

4.3. Consonancias y disonancias densas 31

Las simetrıas restantes son de la forma e2b+1◦s. Entonces para 2q+1 ∈ 2V +1

e2b+1 ◦ s(2q + 1) = 2sq + s+ 2b+ 1

= 2

(sq + b+

s+ 1

2

)∈ 2Xn

lo cual tambien es imposible, porque entonces eb+s+1

2 ◦ s(V ) = Xny esto con-tradice que V no esta en la orbita de Xn.

Teorema 4.6. Existe una sucesion infinita de dicotomıas fuertes {∆2n·3}∞n=1

(con ∆2n·3 en PiMod2n·3) e inyecciones canonicas

∆6 � ∆12 � ∆24 � · · ·� ∆2n·3 � · · · (4.1)

con sendas polaridades

pn = e2n−1

◦ (4dn2 e + 1) (4.2)

En particular, ∆12 puede elegirse en la orbita de

({0, 3, 4, 7, 8, 9}/{1, 2, 5, 6, 10, 11}),

que es la dicotomıa clasica de consonancias y disonancias del contrapunto occi-dental.

Demostracion. Es un simple calculo verificar que la sucesion en cuestion puedecomenzar con

{0, 2, 3}� {0, 1, 4, 5, 6, 9}

y ser continuada por induccion usando la Proposicion 4.2 y el Teorema 4.5.

Definicion 4.7. Una torre de contrapunto es un diagrama Γ : N→ DF tal queΓ(j < j + 1) : Γ(j)� Γ(j + 1) es un monomorfismo.

En terminos de esta definicion, el Teorema 4.6 establece que existe una torrede contrapunto que incluye a una dicotomıa de clase de (K/D). Su lımite existey es una dicotomıa en el lımite de Z2n·3.

4.3. Consonancias y disonancias densas

A continuacion exhibimos una torre de contrapunto tal que su lımite es densoen S1. La estrategia es encontrar una dicotomıa autocomplementaria no fuerteapropiada para completar la dicotomıa fuerte de cada “piso” de la torre.

Lema 4.8. Sean An = {0, . . . , 2n−1− 1} y Bn = {2n−1, · · · , 2n− 1} dicotomıasmarcadas con espacio ambiente PiMod2n y

g = e2n−1−1 ◦ (2n − 1) ∈−→GL(Z2n).


Entonces los cuadradosAn

3−−−−→ 3An

g

y ye3·(2n−1−1)◦(2n−1)=:h′

An −−−−→3

3An

y

Bne2◦3−−−−→ 3Bn + 2

g

y ye2n−1+1◦(2n+1−1)=:h′′

Bn −−−−→e2◦3

3Bn + 2

(donde 3An y 3Bn + 2 estan en PiMod2n·3) conmutan. Como gAn = An ygBn = Bn, entonces

h′(3An) = 3gAn = 3An (4.3)

h′′(3Bn + 2) = 3g(Bn) + 2 = 3Bn + 2. (4.4)

Demostracion. La conmutatividad del primer cuadrado es obvia. Para el segun-do es claro que

3(2n − 1) ≡ 3(2n+1 − 1) (mod 2n · 3),

y ademas

3(2n−1 − 1) + 2 = 3 · 2n−1 − 3 + 2

= 3 · 2n−1 − 1

≡ 3 · 2n+1 + 3 · 2n−1 − 1 (mod 2n · 3)

= 2n+2 + 2n−1 + 2n+1 + 2n − 1

= 2n+2 + 2n−1 + 3 · 2n − 1

= 2n+2 + 2n−1 − 1

= 2n+2 − 2 + 2n−1 + 1

= (2n+1 − 1) · 2 + (2n−1 + 1),

por lo que el resultado se sigue.

Lema 4.9. Supongase que (X/Y ) es una dicotomıa marcada en PiMod2n−1·3(n ≥ 2) con polaridad

q = e2n−2+22dn2e−1

◦ (4dn2 e + 1).

Entonces el siguiente cuadrado conmuta

Xe1◦2−−−−→ 2X + 1

q

y ypnY −−−−→

e1◦22Y + 1,


donde 2X + 1 y 2Y + 1 estan en PiMod2n·3 y pn esta dado por (4.2).

Demostracion. Notese que 4dn2 e + 1 ∈ GL(Z2n−1·3) puesto que

4dn2 e + 1 mod 3 = 2 and 4d

n2 e + 1 mod 2 = 1

por lo que es coprimo con 2n−1 · 3. La conmutatividad se sigue de

2(2n−2 + 22dn2 e−1) + 1 = 2n−1 + 22dn2 e + 1

= 2n−1 + (4dn2 e + 1) · 1.

Ahora es muy facil verificar que

(4dn2 e + 1) mod 3 = 2

y

2n−2 + 22dn2 e−1 mod 3 =

{0, n par,

1, n impar.

Esto significa que, si n es par

q(x) mod 3 =

0 x mod 3 = 0,

2 x mod 3 = 1,

1 x mod 3 = 2.

y que si n es impar,

q(x) mod 3 =

1 x mod 3 = 0,

0 x mod 3 = 1,

2 x mod 3 = 2.

Finalmente, observese que tanto h′ como h′′ son la identidad modulo 3 paran impar y par, respectivamente, ası que usando (4.3) y (4.4) vemos que seextienden a un automorfismo no trivial1 de la dicotomıa

U ′n+1 =

{{1 + 3k}2

n−1k=0 ∪ 3An−1, n par,

{1 + 3k}2n−1k=0 ∪ (3Bn−1 + 2), n impar

cuya polaridad es precisamente q. Notese que U ′n+1 no es invariante bajo laaplicacion antipodal, pues para n impar tenemos que 0 ∈ 3An−1 y

e3·2n−1

(0) = 0 + 3 · 2n−1 /∈ 3An−1

1El inverso de su parte lineal es el mismo, pues

(2s − 1)2 = 22s − 2s+1 + 1 ≡ 1 (mod 2n · 3)

cuando s ≥ n y s es impar, pues 2n · 3 divide a 22s − 2s+1.


mientras que para n par tenemos 3 · (2n − 1) + 2 ∈ 3Bn−1 + 2 y

e3·2n−1

(3 · (2n − 1) + 2) = −3 + 2 + 3 · 2n−1 = 3(2n−1 − 1) + 2 /∈ 3Bn−1 + 2.

Ahora, si Xn es una dicotomıa fuerte en PiMod2n·3 como en la demostraciondel Teorema 4.6, entonces U ′n+1 no esta en su orbita, pues no es fuerte. Sabemosentonces que

Xn+1 = (2Xn) ∪ (2U ′n+1 + 1)

es una dicotomıa fuerte en PiMod2n·3 que extiende a Xn canonica y equiva-riantemente. Construıda de este modo, Xn tiene la propiedad

{6k + 3}2n−1

k=0 ⊂ Xn+1, n ≥ 2.

La relevancia de esta propiedad radica en lo siguiente. El lımite de la torre decontrapunto (4.1) puede ser visto como una dicotomıa contenida en el siguientesubconjunto del cırculo unitario,

∞⋃n=1

{exp

(2πi

k

2n · 3

)}2n·3−1

k=0

⊂ S1

que, junto con su complemento, es un subconjunto denso de S1 en la topologıametrica estandar. Como hemos visto, el lımite de las consonancias lımXn contie-ne al conjunto {exp(2πi(6k+3)/(2n ·3)) : n,m ∈ N}, que tambien corresponde aun subconjunto denso de S1, luego lımXn tambien es denso. Reduciendo modulo6 a todas las polaridades, vemos que el lımite de las disonancias lımZn \ lımXn

contiene al conjunto {exp(2πi(6k + 1)/(2n · 3)) : n,m ∈ N}, que tambien esdenso.

Teorema 4.10. Existe una torre de contrapunto tal que el lımite inyectivo detanto sus consonancias como disonancias es denso en S1 con la topologıa metricaestandar. En consecuencia, el interior de dichos lımites es vacıo.

Para finalizar, mostramos una torre de contrapunto cuyo lımite tiene unapolaridad continua. Considerense los siguientes hechos:

1. Hay 15 clases de dicotomıas fuertes en PiMod24 con polaridad e12 ◦ 1.

2. Para n par, el cuadrado

Zn2−−−−→ Z2n

en2 ◦1

y yen◦1Zn

2−−−−→ Z2n

conmuta, donde en2 ◦ 1 y en ◦ 1 son cuasipolaridades en sus espacios res-

pectivos.


Por el Teorema 4.5 se sigue de lo anterior (por induccion) que existe unatorre de contrapunto

X24 � X48 � X96 � · · · .En la demostracion del Teorema 4.5, las dicotomıas fuertes X24·2n pueden

construirse usando la dicotomıa

U24·2n :=

{Z24·2n \ {0, 1, 2, . . . , 12 · 2n − 1}, n impar,

{0, 1, 2, . . . , 12 · 2n − 1}, n par,

en PiMod24·2n , puesto que no es fuerte (la transformacion e12·2n−1 ◦ −1 ∈−→GL(Z24·2n) es un isomorfismo no trivial de U24·2n) ni tampoco es invariantebajo el morfismo antipodal (¡de hecho es su polaridad!). Entonces

X24·2n = 2X24·2n−1 ∪ (2U24·2n−1 + 1).

para n ≥ 1.

Ejemplo 4.11. Tomemos la dicotomıa

X24 = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16}

en PiMod24. Ahora

U24 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

y

X48 = 2X24 ∪ (2U24 + 1) = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

18, 19, 20, 21, 22, 23, 28, 32}

es una dicotomıa fuerte en PiMod48.

El lımite X = lımn→∞X24·2n contiene a los subconjuntos

A =

{exp

(2πi

2`+ 1

24 · 22m+1

)}2`+1>12·22m+1

y

B =

{exp

(2πi

2`+ 1

24 · 22m

)}2`+1<12·22m

,

por lo que X contiene a A ∪B, que es un subconjunto denso de S1.Sea p = lımn→∞ p24·2n . Notese que

exp(

2πis

24 · 2n)

p7→ exp

(2πi

s+ 24 · 2n−1

24 · 2n

)= exp

(2πi

(s

24 · 2n+

1

2

))ası que p envıa a una sucesion convergente de consonancias {xj}∞j=1 ⊆ X ⊆ S1

a sucesion convergente de dissonancias {xjeπi}∞j=1 ⊆ pX ⊆ S1. Esto significaque el lımite se extiende a la funcion continua

P : S1 → S1,

x 7→ xeiπ.

Capıtulo 5

Contrapunto de la segundaespecie

En este capıtulo final damos una tentativa de teorıa para el contrapuntode la segunda especie, analoga a la de la primera. Nuestro enfoque es extenderla nocion de intervalo de contrapunto a un 2-intervalo, i. e., uno tal que dosintervalos se pegan a un cantus firmus.

Las simetrıas de contrapunto en este caso no determinan otro 2-intervalosucesor, sino un intervalo simple. La idea detras de esto es permitir que los dostipos de contrapunto se mezclen.

5.1. Dicotomıas de 2-intervalos

Para los propositos del contrapunto de la segunda especie, necesitamos unaestructura algebraica tal que dos intervalos puedan asociarse a un tono base.En el espıritu del modelo presentado anteriormente en esta tesis y en [Maz02]para el contrapunto de la primera especie, tomaremos todos los polinomios dela forma

x+ ε1.y + ε2.z ∈Z2k[X ,Y]

〈X 2,Y2,XY〉

donde x es el tono base y y, z son los intervalos. Si ∆ = (X/Y ) es una dicotomıamarcada fuerte de intervalos con polaridad p = eu ◦ v, entonces

X[ε1, ε2] := Z2k + ε1.X + ε2.Z2k

es una dicotomıa 0-domiciliada en PiMod2k[ε1, ε2]. Elegimos esta dicotomıa por-que las reglas del contrapunto demandan que el primer intervalo de un compassea una consonancia. Una polaridad para esta dicotomıa, que es analoga a la dela primera especie, es

px = ex(1−v)+ε1.u+ε2.u ◦ v

36

5.2. Simetrıas de contrapunto 37

puesto que

pxX[ε1, ε2] = ex(1−v) ◦ v.Z2k + ε1.pX + ε2.pZ2k

= Z2k + ε1.Y + ε2.Z2k

= Y [ε1, ε2]

y es tal quepx(x+ ε1.Z2k + ε2.z) = x+ ε1.Z2k + ε2.Z2k.

Tambien es cierto que

px1+x2 = e(x1+x2)(1−v)+ε1.u+ε2.u ◦ v= ex1(1−v)+x2(1−v)+ε1.u+ε2.u ◦ v= ex1 ◦ e−vx1 ◦ ex2(1−v)+ε1.u+ε2.u ◦ v= ex1 ◦ ex2(1−v)+ε1.u+ε2.u ◦ v ◦ e−x1

= ex1 ◦ px2 ◦ e−x1 .

5.2. Simetrıas de contrapunto

Representando el polinomio x + ε1.y + ε2.z como un vector columna, loscandidatos a simetrıas (no invertibles) de contrapunto son

g : Z2k[ε1, ε2]→ Z2k[ε1]xyz

7→ (s 0 0sw1 s sw2

)xyz

+

(t1t2

)= [sx+ t1] + ε1.[s(w1x+ y + w2z) + t2]

pues queremos que la segunda parte del intervalo influya en la primera parte delsucesor, pero no en la segunda. No requerimos que la simetrıa sea biyectiva puesdeseamos poder cambiar de contrapunto de la segunda especie a la primera sihace falta1.

Sea X[ε1, ε2.z] = Z2k + ε1.X + ε2.z. Podemos definir a una simetrıa decontrapunto para un 2-intervalo ξ = x+ ε1.y + ε2.z como una que satisface:

1. x+ ε1.y /∈ gX[ε1, ε2.z],2. el cuadrado

PiMod2k[ε1, ε2]g−−−−→ PiMod2k[ε1]

pxy ypx∆

PiMod2k[ε1, ε2] −−−−→g

PiMod2k[ε1],

(5.1)

1Para el cambio recıproco las reglas de la primera especie bastan, pues es posible definirarbitrariamente la tercera componente del 2-intervalo sucesor. Esto es coherente con la elcaracter local de las reglas de Fux.

38 Capıtulo 5. Contrapunto de la segunda especie

conmuta, donde

px∆ := ex(1−v)+ε1.u ◦ v

es la polaridad estandar de (X[ε1]/Y [ε1]), y3. la cardinalidad de gX[ε1, ε2.z] ∩X[ε1] es maxima entre las simetrıas con

las dos propiedades anteriores.

La razon del segundo requerimiento es que si se cumple entonces

px∆(gX[ε1, ε2]) = g(pxX[ε1, ε2]) = gY [ε1, ε2],

por lo que px∆ es una “polaridad” de gX[ε1, ε2].

5.3. Algoritmo para el calculo de simetrıas

Como en el caso de la primera especie, si para una simetrıa de la forma

g = eε1.t2 ◦(

s 0 0sw1 s sw2

)definimos

g(t1) = g ◦ eε1.s−1w1t1+ε2.t1

entonces se tiene la relacion

et1 ◦ g = g(−t1) ◦ es−1t1+ε2.t1 ,

y por lo tanto el analogo del Teorema 2.19 es valido. Siendo ası, nos podemosconcentrar en las simetrıas de contrapunto con t1 = 0 y trabajar con los interva-los de la forma ξ = ε1.y+ ε2.z. Si (5.1) ha de conmutar, es necesario y suficienteque

t2 + su(1 + w2) = u+ vt2. (5.2)

Para que ε1.y /∈ gX[ε1, ε2.z] debemos tener

y = sp(`) + t2 + sw2z

para algun ` ∈ X. Consecuentemente, para algun ` ∈ X se tiene que

t2 = y − s(p(`) + w2z). (5.3)

Escolio 5.1. Haciendo w2 = 0 en (5.2) y (5.3), se reducen a las condiciones dela primera especie. Por lo tanto, tomando s = v y ` = y se satisfacen ambasy concluımos que existe al menos una simetrıa de contrapunto de la segundaespecie.

5.3. Algoritmo para el calculo de simetrıas 39

Solo falta trabajar con el siguiente conjunto

gX[ε1, ε2.z] =⋃x∈Zk

g(x+ ε1.X + ε2.z)

=⋃

x∈Z2k

(sx+ ε1.(sw1x+ sw2z + t2 + sX))

=⋃

r∈Z2k

(r + ε1.(w1r + sX + w2sz + t2))

=⋃

r∈Z2k

(r + ε1.ew1r+w2sz+t2 ◦ sX)

para calcular la siguiente cardinalidad

|gX[ε1, ε2.z] ∩X[ε1, ε2.z]| =∑r∈Z2k

|ew1r+w2sz+t2 ◦ sX ∩X|.

Cuando se satisface (5.3), esto se reduce a

|gX[ε1, ε2.z] ∩X[ε1, ε2.z]| =∑r∈Z2k

|ew1r+y−sp(`) ◦ sX ∩X|. (5.4)

A partir de aquı solo se necesita adaptar mutatis mutandis el algoritmo deHichert para buscar las simetrıas que maximicen la interseccion.

Vale resaltar que (5.2) y (5.3) son perturbaciones de las condiciones para en-contrar las simetrıas de contrapunto para el caso de la primera especie. Ademas,en vista de (5.4), se satisface nuevamente (2.2); esto nos permite obtener el si-guiente teorema.

Teorema 5.2. Dada una dicotomıa marcada fuerte (X/Y ) en PiMod2k, el 2-intervalo ξ ∈ X[ε1, ε2] tiene al menos k2 y a lo mas 2k2−k sucesores admisibles.

Algoritmo 5.3. Nuevamente χ(x, y) es una funcion que devuelve la cardinali-dad del conjunto ex ◦ yX ∩X.

Entrada: Una dicotomıa fuerte ∆ = (X/Y ) y su polaridad eu ◦ v.Salida: El conjunto de simetrıas de contrapunto Σy,z ⊆ H para cada ε.y+ε.z ∈

X[ε1, ε2].1: para todo y, z ∈ X hacer2: M ← 0,Σy,z ← ∅.3: para todo s ∈ GL(Z2k) hacer4: para todo ` ∈ X hacer5: para todo w1, w2 ∈ Z2k hacer6: t2 ← y − s((v`+ u) + w2z).7: si t2 + su(1 + w2) = u+ vt2 entonces8: si w1 = 0 entonces9: S ← 2kχ(t2, s).

10: si no si w1 ∈ GL(Z2k) entonces11: S ← k2

40 Capıtulo 5. Contrapunto de la segunda especie

12: si no13: ρ← mcd(w1, 2k)

14: S ← ρ∑ 2k

ρ −1

j=0 χ(jρ+ t2 + w2z, s).15: si S > M entonces

16: Σy,z ←{eε2.t2 ◦

(s 0 0sw1 s sw2

)}.

17: S ←M .18: si no si S = M entonces

19: Σy,z ← Σy,z ∪{eε.t2 ◦

(s 0 0sw1 s sw2

)}.

20: devolver Σy,z.

Ejemplo 5.4. El primero ejemplo (valido) de contrapunto de la segunda especieen el Gradus ad Parnassum [Man65] es

ξ1 = 2 + ε1.7 + ε2.0, ξ2 = 5 + ε1.4 + ε2.6, ξ3 = 4 + ε1.8 + ε2.3,

ξ4 = 2 + ε1.7 + ε2.0, ξ5 = 7 + ε1.4 + ε2.5, ξ6 = 5 + ε1.9 + ε2.4,

ξ7 = 9 + ε1.3 + ε2.5, ξ8 = 7 + ε1.9 + ε2.4, ξ9 = 5 + ε1.9 + ε2.4,

ξ10 = 4 + ε1.7 + ε2.9, ξ11 = 2 + ε1.0

Algunas simetrıas de contrapunto para los sucesores son

g1 =

(7 0 00 7 0

), g2 = eε1.6 ◦

(1 0 06 1 0

), g3 = eε1.3 ◦

(7 0 00 7 0

)g4 = g1, g5 = g2, g6 = eε1.8 ◦

(5 0 08 5 0

),

g7 = g6, g8 = g6, g9 = g6, g10 = g1.

Conclusiones y trabajofuturo

Este trabajo aporta lo siguiente:

1. Hay una teorıa mazzoliana de contrapunto para escalas equitemperadasde cardinalidad arbitraria, a menos que esta sea 4.

2. Hay una sucesion infinita equivariante de embebimientos canonicos deteorıas de contrapunto microtonal, lo que permite formular una teorıade contrapunto infinita, cuya polaridad es continua al extenderse a todala octava.

3. Es posible extender el contrapunto de la primera especie a la segundaperturbando las simetrıas de contrapunto, sacrificando su biyectividad.

Queda pendiente:

1. Hallar una cota inferior para el numero de dicotomıas fuertes en PiMod2k.

2. Describir de manera mas completa las torres de contrapunto cuya polari-dad lımite pueda extenderse continuamente.

3. Realizar para el contrapunto de la segunda especie el analisis que hicieranMuzzulini y Mazzola del estilo estricto reducido para el contrapunto de laprimera especie.

4. Extender el modelo para abarcar las disonancias de suspension.

41

Apendice A

Codigo fuente

A.1. Algoritmo de Hichert generalizado

Este codigo corresponde al algoritmo de Hichert generalizado para PiMod6

y la dicotomıa fuerte {0, 2, 3}. Para otros valores de 2k hay que modificar NI

(la cardinalidad de GL(Z2k), CPM (el valor de 2k), CPM2 (el valor de k), y loscontenidos de u, s y la polaridad adecuadamente.

#include <iostream>

#include <vector>

#define NI 2

#define CPM 6

#define CPM2 3

using namespace std;

int u[NI] = {1,5}, s[CPM2] = {0,2,3};

int w = 5, r = 1;

bool chi[CPM] = {0};

int card(int p,int q)

{

// Calculo de la cardinalidad de la interseccion

// de g.X y X

int cont = 0;

for(int i=0; i<CPM2; i++)

if(chi[(q*s[i]+p)%CPM])

cont++;

return cont;

}

int main()

42

A.1. Algoritmo de Hichert generalizado 43

{

for(int g = 0; g<CPM2; g++)

chi[s[g]] = true;

vector < vector <int> > sim;

vector < int > aux;

for(int o=0; o<CPM2; o++)

// k: el intervalo consonante en cuestion

{

sim.clear();

int max = 0;

for(int l=0; l<NI; l++)

// u: la parte invertible "real" de la parte lineal de g

{

for(int m=0; m<CPM2; m++)

// s: barrido de las consonancias para el parametro t

{

for(int v=0; v<CPM; v++)

// v: la parte "imaginaria" de la parte lineal de g

{

int t = (s[o]-u[l]*(w*s[m]+r))%CPM; // t = k - up(s)

t = (t+CPM)%CPM;

if(((w*t+r)%CPM)==((u[l]*r+t)%CPM))

// Verificar si g es polaridad de (g.X/g.Y)

{

int suma = 0;


bool esinv = false;

for(int h=0; h<NI; h++)

if(v==u[h])

esinv = true;

if(v==0)

suma = CPM*card(t,u[l]);

else if(esinv)

suma = CPM2*CPM2;

else

{

int vv;

if(v>CPM2)

vv = CPM-v;

else

vv = v;

for(int j=0;j<(CPM/vv); j++)

suma += vv*card(((j*vv+t)%CPM+CPM)%CPM,u[l]);

}

44 Apendice A. Codigo fuente

// Actualizacion de la lista de simetrias de contrapunto

if(suma > max)

{

aux.clear();

aux.push_back(t); aux.push_back(u[l]);

aux.push_back(u[l]*v%CPM);

sim.clear();

sim.push_back(aux);

max = suma;

}

else if(suma == max)

{

aux.clear();


aux.push_back(u[l]*v%CPM);

sim.push_back(aux);

}

}

}

}

}

cout << "Intervalo: "<< s[o] << endl;

cout << "Numero de sucesores admisibles: "<< max << endl;

for(int x=0; x<sim.size(); x++)

{

cout << "e^(0," << sim[x][0] << ").(";

cout << sim[x][1] << "," << sim[x][2] << ")\n";

}

}

return 0;

}

A.2. Calculo de dicotomıas fuertes 45

A.2. Calculo de dicotomıas fuertes

#include<iostream>

#include<vector>

#include<cmath>

#include<set>


int mcd(int u, int v)

{

while((u>0)&&(v>0))

{

if(u>v)

u = u%v;

else

v = v%u;

}

return ((u==0)?v:u);

}

int main()

{

vector <bool> marca;

vector <int> inv,idem,dicot,mitad,transf;

set < vector <int> > lista;

idem.clear(); inv.clear();

int k,tau,sigma,u0,pot,aux,cont;

bool fuerte,esta,c;

cont = 0;

cin >> k;

for(int i=1; i<2*k; i+=2)

{

if((i*i)%(2*k)==1)

{ idem.push_back(i); inv.push_back(i); }

else if(mcd(i,2*k)==1)

{ inv.push_back(i); }

}

pot = 1;

for(int j=0; j<k; j++) pot = pot << 1;

cout << pot << endl;

for(int i=0; i<idem.size(); i++)

{

lista.clear();

sigma = mcd(idem[i]-1,2*k);

tau = mcd(idem[i]+1,2*k);

u0 = 2*k/tau;

//Comprobacion de involutividad sin puntos fijos


if(u0<sigma)

{

marca.clear();

mitad.clear();

for(int j=0; j<2*k;j++)

marca.push_back(false);

for(int j=0; j<2*k;j++)

{

// Separacion de PiMod2k en dos mitades

// complementarias segun e^u0.idem[i]

if(!marca[j])

{ mitad.push_back(j); marca[j]=true;

marca[(idem[i]*j+u0)%(2*k)] = true; }

}

for(int j=0; j<((pot>>1)+1); j++)

{

aux = j;

dicot.clear(); transf.clear();

// Construccion de una dicotomia

// autocomplementaria de e^u0.idem[i]

for(int l = 0; l < k; l++)

{

if((aux%2)==0)

dicot.push_back(mitad[l]);

else

dicot.push_back((mitad[l]*idem[i]+u0)%(2*k));

transf.push_back(0);

aux = aux >> 1;

}

fuerte = true;

esta = false;

sort(dicot.begin(),dicot.end());

// Verificar que sea fuerte o que no este ya

// entre la lista de las fuertes.

for(int s=0;(s<inv.size())&&!esta&&fuerte;s++)

{

for(int t=0; (t<2*k)&&!esta&&fuerte; t++)

if((inv[s]!=1)||(t!=0))

{

for(int m=0; (m<k)&&!esta&&fuerte;m++)

transf[m] = (inv[s]*dicot[m]+t)%(2*k);

sort(transf.begin(),transf.end());

esta = (lista.find(transf)!=lista.end());

A.2. Calculo de dicotomıas fuertes 47

if(transf==dicot)

fuerte = false;

}

if(fuerte&&!esta)

lista.insert(dicot);

}

}

if(lista.size()>0)

cout << "polaridad: e^" << u0 << "." << idem[i] << endl;

cont += lista.size();

set< vector <int> >::const_iterator pos;

for(pos=lista.begin(); pos != lista.end(); ++pos)

{

for(int v=0; v<(*pos).size(); v++)

cout << (*pos)[v] << " ";

cout << endl;

}

}

}

cout << cont << endl;

return 0;

}


A.3. Simetrıas de contrapunto para la segundaespecie

El siguiente codigo calcula las simetrıas de contrapunto de la segunda especiepara la dicotomıa clasica de contrapunto.

#include <iostream>

#include <vector>


int u[4] = {1,5,7,11}, s[6] = {0,3,4,7,8,9};

int w = 5, r = 2;

bool chi[12] = {0};

int card(int p,int q)

{


// de g.X y X

int cont = 0;

for(int i=0; i<6; i++)

if(chi[(q*s[i]+p)%12])

cont++;

return cont;

}

int main()

{

for(int g = 0; g<6; g++)

chi[s[g]] = true;

vector < vector <int> > sim;

vector < int > aux;

for(int p=0;p<12;p++){

for(int o=0; o<6; o++)

// s[o]: el intervalo consonante en cuestion

{

sim.clear();

int max = 0;

for(int v2=0;v2<12;v2++){

for(int l=0; l<4; l++)

// u[l]: la parte invertible "real" de la parte lineal de g

{

for(int m=0; m<6; m++)

// s[m]: barrido de las consonancias para el parametro t

{

for(int v=0; v<12; v++)

A.3. Simetrıas de contrapunto para la segunda especie 49

// v,v2: partes "imaginarias" de la parte lineal de g

{

int t = (s[o]-u[l]*(w*s[m]+r+v2*p))%12; // t = k - up(s)

t = (t+12)%12;

if(((w*t+r)%12)==((u[l]*r*(1+v2)+t)%12))

// Verificar si g es polaridad de (g.X/g.Y)

{

int suma = 0;


if(v==0)

suma = 12*card(t,u[l]);

else if(v==1 || v==5 || v== 7 || v == 11 )

suma = 36;

else

{

int vv;

if(v>6)

vv = 12-v;

else

vv = v;

for(int j=0;j<(12/vv); j++)

suma += vv*card(((j*vv+t)%12+12)%12,u[l]);

}

// Actualizacion de la lista de simetrias de contrapunto

if(suma > max)

{

aux.clear();


aux.push_back(u[l]*v%12);

aux.push_back(u[l]*v2%12);

sim.clear();

sim.push_back(aux);

max = suma;

}

else if(suma == max)

{

aux.clear();


aux.push_back(u[l]*v%12);

aux.push_back(u[l]*v2%12);

sim.push_back(aux);

}

}

}


}

}}

cout << "Intervalo: "<< s[o] << " " << p << endl;

cout << "Numero de sucesores admisibles: "<< max << endl;

for(int x=0; x<sim.size(); x++)

{

cout << "e^[0 " << sim[x][0] << "].[";

cout << sim[x][1] << " 0 0; " << sim[x][2];

cout << " " << sim[x][1] << " " << sim[x][3]<< "]\n";

}

}}

return 0;

}

Bibliografıa

[Agu09] Agustın Aquino, Octavio Alberto: El Teorema de Contrapunto. Tesisde Maestrıa, UNAM, 2009.

[Cow96] Cowell, Henry: New Musical Resources. Cambridge University Press,1996.

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[Hic93] Hichert, Jens: Verallgemeinerung des Kontrapunkttheorems fur die Hie-rarchie aller starken Dichotomien in temperierter Stimmung. TU Il-menau, 1993. Diplomarbeit.

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tesis doctorado oaaa

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