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Teste de hipóteseTeste de hipótese
1
a) a) UmaUma populaçãopopulação
b) b) DuasDuas populaçõespopulações
c) c) Três ou maisTrês ou mais populaçõespopulações
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Teste Teste para comparação de para comparação de duasduas médiasmédias dededuasduas médiasmédias dede
populaçõespopulações normaisnormais
2
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H0: 1 = 2
H1: 1 2
H0: 1 = 2
H : >
H0: 1 – 2 = 0H1: 1 – 2 0
H0: 1 – 2 = 0H : – > 0
t
Teste bilateral
Teste unilateral à direita
3
H1: 1 > 2
H0: 1 = 2
H1: 1 < 2
H1: 1 – 2 > 0
H0: 1 – 2 = 0H1: 1 – 2 < 0
t0
t0
Teste unilateral à esquerda
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Comparar as médias de duas populações Comparar as médias de duas populações
a) dependentes
Duas
1º passo:As variáveis estão ou não relacionadas?
2º passo:As variâncias populacionais
são conhecidas?
3º passo:As variâncias populacionais
são iguais?
Var desconhecida
b) independentes
Var conhecidaDuas
populações
b2) variâncias diferentes
b1) variâncias iguais
4
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a) Populações a) Populações dependentesdependentes
observações pareadasobservações pareadas(Teste (Teste tt--pareadopareado))
Teste para comparação de Teste para comparação de duasduas médiasmédiaspopulaçõespopulações normaisnormais
(Teste (Teste tt--pareadopareado))
São comparadas duas médias populacionais sendo que, para cada unidade amostral, realizou-se duas medições da
característica de interesse.
Correspondem a medidas tomadas antes e após uma dada intervenção.
5
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Uma distribuidora de combustíveis deseja verificar se um novo tipo de gasolina é eficaz na revitalização de motores velhos. Selecionou-se 12 automóveis de um
mesmo modelo com mais de 8 anos de uso e, após regulagem dos motores, verifica-se a quilometragem média percorrida com 1 litro de combustível (X). Em seguida, o carro é abastecido com o novo tipo de combustível durante 15
semanas e uma nova aferição é feita (Y).
Automóveis
ExemploExemplo
6
Km/L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antes (X) 8,1 7,9 6,8 7,8 7,6 7,9 5,7 8,4 8,0 9,5 8,0 6,8
Após (Y) 11,6 8,8 9,9 9,5 11,6 9,1 10,6 10,8 13,4 10,6 10,5 11,4
Como o desempenho dos automóveis foi medido antes e depois das 15 semanas, é razoável assumir que exista alguma
dependência entre as variáveis.
Essa é a típica situação que o teste t-pareado
deve ser utilizado.
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Automóveis
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antes (X) 8,1 7,9 6,8 7,8 7,6 7,9 5,7 8,4 8,0 9,5 8,0 6,8
Após (Y) 11,6 8,8 9,9 9,5 11,6 9,1 10,6 10,8 13,4 10,6 10,5 11,4
D = Y – X 3,5 0,9 3,1 1,7 4,0 1,2 4,9 2,4 5,4 1,1 2,5 4,6
Obtendo a variável diferença: Di= Yi – Xi
O efeito produzido pelo i-ésimo indivíduo, pode ser representado pela variável:
7
As hipóteses:H0: D = 0 (O novo combustível não aumenta o rendimento) Ha: D > 0 (O novo combustível aumenta o rendimento)
Fixando =5%, determina-se a região crítica, com base na hipótese
alternativa: D
Di= Yi – Xi
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Supondo, para i = 1, ..., n, assumimos, por hipótese, que:
Estima-se a média e variância populacional de D por:
1
ˆ1
2
2
n
md
s
n
iDi
D
n
d
m
n
ii
D
1ˆ
nmNm D
D
2
,~ˆ 2,~ DDi mND
8
n
)1(0 ~
ˆ
n
D
DD t
ns
mmt
n
stmmIC D
nDD
2
)2/;1( 1ˆ%; • A estatística do teste de hipótese
é dada por:
• A estimação intervalar para a média será:
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### 2 pop - pareado
X <- c(8.1, 7.9, 6.8, 7.8, 7.6, 7.9, 5.7, 8.4, 8.0, 9.5, 8.0, 6.8) # antesY <- c(11.6, 8.8, 9.9, 9.5, 11.6, 9.1, 10.6, 10.8, 13.4, 10.6, 10.5, 11.4) # aposD <- Y-X # Diferença
t.test(D, paired = F, conf.level = 0.95, alternative='greater')
2 populações dependentespopulações dependentes
Exemplo 2:Exemplo 2: Desempenho dos automóveis medido antes (X) e após (Y) a aplicação do novo tipo de combustível. α = 5%.
t.test(D, paired = F, conf.level = 0.95, alternative='greater')
# One Sample t-test## data: D# t = 6.5396, df = 11, p-value = 2.097e-05# alternative hypothesis: true mean is greater than 0# 95 percent confidence interval:# 2.133833 Inf# sample estimates:# mean of x # 2.941667
9
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ttab = t(11; 5%) =1,796
4846,6
124,2
09,2
calct
• A média e a variância amostrais de D são:
d = 2,9 e s2=2,4.
t(11)
t0
Ao nível de 5% de significância, como tcalc > ttab , rejeitamos H0 e concluímos que o novo combustível é eficaz na melhora do
rendimento, ou seja, aumenta a km.
10
ttab0
Aumenta quanto? Responda essa pergunta ao pesquisador fazendo a tarefa:
Tarefa: Determine o IC(D, 95%) = IC[(1 – 2), 95%] para esse exemplo.
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b) Populações b) Populações independentesindependentes
Teste para comparação de Teste para comparação de duasduas médiasmédiaspopulaçõespopulações normaisnormais
b) Populações b) Populações independentesindependentes
11
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Teste Teste para comparação de para comparação de variânciavariância de de duasduas populaçõespopulaçõesvariânciavariância de de duasduas populaçõespopulações
normaisnormais
12
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22 22
1.1.OO Passo: Passo: Defina as hipóteses
Considere uma amostra de uma população ; e),( 211 mN),...,,(
121 nXXX
uma amostra de uma população ,
sendo essas amostras independentes.
),( 222 mN),...,,(
221 nYYY
Teste para comparação das Teste para comparação das variânciavariância de de duasduas populações normaispopulações normais
22
211
22
210
:
:
H
H22
211
22
210
:
:
H
H
2.2.OO Passo: Passo: Sejam e as variâncias amostrais. Sob H0, a estatística dos teste será:21s
2Ys
)1;1(22
21
21~ nnF
s
sV
13
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3.3.OO Passo:Passo: Dado o nível de significância , estabelecer a RR do teste:
v
1 V
vV
1 2
2
v
2
)1( nV ~
Teste para comparação das Teste para comparação das variânciavariância de de duasduas populações normaispopulações normais
4.4.OO Passo:Passo: Determinar os pontos críticos.
5.5.OO Passo:Passo: Concluir o teste.
RR de H0RA de H0
cvV
1cvV
RR de H0RA de H0RR de H0
2cv
14
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Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas:
_Na primeira (Turma J) utiliza-se um método japonês,
_Na segunda (Turma A) utiliza-se um método alemão.
Foram escolhidas duas amostras aleatoriamente (uma de cada turma) e mediu-se o
tempo gasto na realização de uma tarefa para cada aluno. Os dados obtidos foram:
ExemploExemplo
Método Tempo (min)
15
Método Tempo (min)
J 10 13 9 10 14 13 10 15 12 10 9 10 13 14
A 15 12 18 16 15 17 17 15 16 17 11 17 14 -
Ao nível de significância de 10%, é possível afirmar que as variância dessas populações são iguais?
nJ = 14, e s2J = 4,1
nA = 13, e s2A = 4,3
Assim, temos:
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221
220
:
:
AJ
AJ
H
H
1.1.OO Passo: Passo: Defina as hipóteses
2.2.OO Passo: Passo: A estatística dos teste é: )1;1(2
2
~ mn
Y
X Fs
sV
ResoluçãoResolução
9535,03,4
1,42
2
A
Jcalc
s
sV
nJ = 14, e s2J = 4,1
n = 13, e s2 = 4,3
= 10%
16
3,4As
)12;13()113;114( FFVtab
nA = 13, e s2A = 4,3
RR de H0RA de H0RR de H0
V%5
%5%90
0,38 2,66
Ao nível de 10% de significância, aceitamos H0 e concluímos que as
variâncias das duas populações treinadas são iguais.
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b.1) Populações b.1) Populações independentes independentes com com
Teste para comparação de Teste para comparação de duasduas médiasmédiaspopulaçõespopulações normaisnormais
variâncias variâncias desconhecidas iguaisdesconhecidas iguais
17
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Suponha duas populações, onde os dados para essas populações são variáveisaleatórias independentes (X1, ..., Xn1) e (Y1, ..., Yn2), respectivamente e queseguem a distribuição Normal. Portanto,
Suponha que para ambas as populações temos a mesma variância (desconhecida!!!) .
Queremos testar se existe diferença entre as médias populacionais, ou seja:
Xi ~ N(m1, 12) , i = 1, 2, ..., n1
Yj ~ N(m2, 22) , j = 1, 2, ..., n2
18
Testar se as médias populacionais são iguais é equivalente a testar se a diferença entre elas é “estatisticamente” igual a 0. Logo podemos reescrever as hipóteses em termos de mD = m1 – m2:
H0: m1 = m2
H1: m1 m2 ou H1: m1 < m2 ou H1: m1 > m2
H0: mD = 0H1: mD 0 ou H1: mD < 0 ou H1: mD > 0
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Desta forma, usaremos o estimador (intuitivo)
Do TLC tem-se que se n>30
mD = m1 – m2^ ^ ^
1
21
11 ,~ˆn
mNm
2
22
22 ,~ˆn
mNm
e
19
1n 2
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Como as amostras são independentes:
21
212121 )ˆ()ˆ()ˆ)1(ˆ()ˆˆ(ˆ
mm
mEmEmmEmmEmE D
22
22
12121 )ˆ()1()ˆ()ˆ)1(ˆ()ˆˆ(ˆ mVarmVarmmVarmmVarmVar D
Como m1 e m2 têm distribuição normal (se n>30) então:
2
22
1
21
21 ,~ˆnn
mmNmD
2
22
1
21
21 )ˆ()ˆ(nn
mVarmVar
20
^ ^
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Como 2 é desconhecida, precisará ser estimada.
Como e são estimadores não viciados dessa variância, usaremos como estimativa para 2 uma combinação deles dada por:
21s
22s
é uma média ponderada entre as variâncias das duas populações e é um estimador não viciado!!!
11
11
2
)ˆ()ˆ(
21
222
211
21
1
22
1
21
2
21
nn
snsn
nn
mYmX
s
n
jj
n
ii
C
• A estimação intervalar para a diferença entre as média será:
21
21
2)2/;2(2121
11ˆˆ%;
21 nnstmmmmIC Cnn
• A estimação intervalar para a diferença entre as média será:
)2(
21
2
020121
21~
11
ˆˆ
nn
C
t
nns
mmmmt
•A estatística do teste é dada por:
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Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas:
_Na primeira (Turma J) utiliza-se um método japonês,
_Na segunda (Turma A) utiliza-se um método alemão.
Foram escolhidas duas amostras aleatoriamente (uma de cada turma) e mediu-se o
tempo gasto na realização de uma tarefa para cada aluno. Os dados obtidos foram:
ExemploExemplo
22
Método Tempo (min)
J 10 13 9 10 14 13 10 15 12 10 9 10 13 14
A 15 12 18 16 15 17 17 15 16 17 11 17 14 -
Deseja-se comparar os dois métodos ao nível de significância de 10%.
H0: mJ = mA
H1: mJ mA
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### 2 pop – indep, com var =tempo<- c(10, 13, 9, 10, 14, 13, 10, 15, 12, 10, 9, 10, 13, 14,
15, 12, 18, 16, 15, 17, 17, 15, 16, 17, 11, 17, 14)turma<- factor(c(rep("J",14), rep("A",13))); turmatapply(tempo, turma, mean)tapply(tempo, turma, var)
2 populações independentes2 populações independentesccom variâncias iguaisom variâncias iguais
Exemplo 3:Exemplo 3: Deseja-se comparar os dois métodos de digitação ao nível = 1%: método japonês com o método alemão.
t.test(tempo ~ turma, paired = F, var.equal = T, alternative="two.sided", conf.level =0.99)
Two Sample t-test# # data: tempo by turma# t = 4.7965, df = 25, p-value = 6.313e-05# alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0# 99 percent confidence interval:# 1.597201 6.029173# sample estimates:# mean in group A mean in group J # 15.38462 11.57143 23
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Voltando ao exemplo:
nJ = 14, mJ = 11,57 e s2J = 4,1
nA = 13, mA = 15,38 e s2A = 4,3
^
^
Método Tempo (min)
J 10 13 9 10 14 13 10 15 12 10 9 10 13 14
A 15 12 18 16 15 17 17 15 16 17 11 17 14 -
Então: md = 11,57 – 15,38 = – 3,81
2,425
3,4*121,4*13
11
11 222
AJ
AAJJC
nn
snsns
24
nA = 13, mA = 15,38 e s2A = 4,3^
^
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Fixando = 0,10, como a hipótese alternativa é bilateral e n < 30, a regiãocrítica tem a forma:
Usando a estatística do teste temos:
83,4
13
1
14
12,4
081,3
11
ˆˆ
21
2
0
nns
mmt
C
DDcalc
Conclusão: Como -4,83 pertence a região crítica, concluímos que os métodos de fato diferem a um
nível de significância de 10%.
25
-ttab ttab
ttab = t(25; 10%)
1,7081–1,7081
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Teste para comparação de Teste para comparação de duasduas médiasmédiaspopulaçõespopulações normaisnormais
b.2) Populações b.2) Populações independentes independentes com com
26
variâncias variâncias desconhecidas diferentesdesconhecidas diferentes
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O teste para o caso com as variâncias desconhecidas e desiguais é semelhante ao anterior, mas a quantidade a ser usada para aceitar ou rejeitar H0 é:
)(
2
22
1
21
020121 ~ˆˆ
t
n
s
n
s
mmmmt
11 2
2
2
22
2
1
1
21
2
2
22
1
21
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
, sendo
27
11 21 nn
2
22
1
21
)2/;(2121ˆˆ%;
n
s
n
stmmmmIC
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### 2 pop – indep, com var diferentesY <- c( )pop <- factor(c(rep(“pop1",n1), rep(“pop2",n2)))
2 populações independentes2 populações independentesccom variâncias diferentesom variâncias diferentes
ExemploExemplo 44:: Sendo Y a variável resposta observada 2 populações (pop),usando α = 5%
t.test(Y ~ pop, paired = F, var.equal = FALSE, conf.level =0.95)
28
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Teste de hipóteseTeste de hipótese
29
a) a) UmaUma populaçãopopulação
b) b) DuasDuas populaçõespopulações
c) c) Três ou maisTrês ou mais populaçõespopulações
???? O que fazer ????