ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALITICA

Cursos do DEGGE - Ano lectivo 2009/2010

2o TESTE - 17/12/2009 - Duracao: 2 horas

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Nas tres questoes de escolha multipla, assinale apenas a unica resposta correctano enunciado do teste. Resolva as restantes questoes no seu caderno de teste,justificando todas as respostas dadas.Cotacao: 1, 2 e 3: 0,6 valores (cada resposta errada desconta 0,2 valores).4: 1,5 valores; 5: 2,7 valores; 6: 3,5 valores; 7: 2,5 valores; 8: 1 valor.

Questoes de escolha multipla

1. A matriz que representa o operador linear de R2 que e composicao de umarotacao de 30o em torno da origem (no sentido contrario ao dos ponteirosdo relogio) seguida de uma projeccao ortogonal sobre o eixo dos yy e

(a)

[0 0

1/23/2

](b)

[ 3/2 1/20 0

]

(c)

[0

3/2

0 1/2

](d)

[0 0

1/2 3/2]

2. Sejam u, v, w vectores nao nulos de R3 tais que uv+w = (0, 0, 0). Entao(a) o conjunto {u, v, w} e linearmente independente(b) o conjunto {u, v, w} e gerador de R3(c) o conjunto {u, v, w} e linearmente dependente(d) o conjunto {u, v, w} e um subespaco vectorial de R3

3. A matriz A =

[a 22 3

]e definida positiva se

(a) a = 0 (b) detA 0 (c) a2 = 1 (d) a = 2Formulario

Se U e um subespaco vectorial de Rn e {u1, . . . , ur} e uma base de U ,entao a matriz da projeccao ortogonal sobre U e dada por A(ATA)1AT ,com A = [u1| . . . |ur]. O volume do paraleleppedo definido pelos vectores u1, u2, u3 R3 e iguala | det[u1|u2|u3]|.

1

4. Considere a base de R3: B = ((0, 1, 0), (3, 2, 1), (1, 0, 1)).(a) Qual o volume do paraleleppedo definido pelos vectores da base B?(b) Utilize a regra de Cramer para calcular as coordenadas do vector

w = (1, 1, 2) em relacao a` base B.

5. Seja A =

1 11 21 11 2

.(a) Calcule a dimensao dos quatro subespacos fundamentais de A.

(b) Complete a factorizacao A = QR:1 11 21 11 2

=

1/2 1/2a 1/2

1/2 b1/2 1/2

[ 2 10 c].

(c) Qual a projeccao ortogonal do vector v = (1, 0, 0, 0) sobre o planoU = (1, 1, 1, 1), (1, 2,1, 2)?

6. Seja A =

[1 16 0

].

(a) Calcule det(xI2 A).(b) Mostre que os valores proprios de A sao 1 = 3 e 2 = 2.(c) Determine dois vectores proprios de A linearmente independentes.

(d) Escreva uma diagonalizacao A = PP1, onde P e uma matriz in-vertvel e e uma matriz diagonal.

7. Sejam u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 0, 1), u3 = (1,1, 0) e seja A R33 tal queAu1 = u1, Au2 = u2 e Au3 = u3.

(a) Escreva uma diagonalizacao A = QQT , onde Q e uma matriz orto-gonal e e uma matriz diagonal.

(b) Calcule a matriz A100.

(c) Justifique que A e a matriz da reflexao dos vectores de R3 sobre oplano de equacao x y = 0.

8. Sejam P = (a, b) e Q = (c, d) pontos de R2. Mostre que o ponto (x, y)pertence a` recta que passa por P e Q se e so se

det

x a cy b d1 1 1

= 0.

2