the olympiad corner
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7/30/2019 The Olympiad Corner
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3 2 5
T H E O L Y M P I A D C O R N E R
N o . 2 0 0
R . E . W o o d r o w
A l l c o m m u n i c a t i o n s a b o u t t h i s c o l u m n s h o u l d b e s e n t t o P r o f e s s o r R . E .
W o o d r o w , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l g a r y ,
C a l g a r y , A l b e r t a , C a n a d a . T 2 N 1 N 4 .
A s a s e t o f p r o b l e m s f o r t h i s i s s u e , w e g i v e p r o b l e m s o f t h e X L M a t h -
e m a t i c a l O l y m p i a d o f t h e R e p u b l i c o f M o l d o v a . M y t h a n k s g o t o R a v i V a k i l
f o r c o l l e c t i n g t h e m w h e n h e w a s T e a m L e a d e r f o r C a n a d a a t t h e I n t e r n a t i o n a l
M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d a t M u m b a i .
R E P U B L I C O F M O L D O V A
X L M A T H E M A T I C A L O L Y M P I A D
C h i s i n a u , 1 7 2 0 A p r i l , 1 9 9 6
F i r s t D a y T i m e : 4 h o u r s
1 0 F o r m
1 . L e t n = 2
1 3
3
1 1
5
7
. F i n d t h e n u m b e r o f d i v i s o r s o f n
2
w h i c h a r e
l e s s t h a n n a n d a r e n o t d i v i s o r s o f n
2 . D i s t i n c t s q u a r e t r i n o m i a l s f x a n d g x h a v e l e a d i n g c o e c i e n t 1
I t i s k n o w n t h a t f , 1 2 + f 2 0 0 0 + f 4 0 0 0 = g , 1 2 + g 2 0 0 0 + g 4 0 0 0
F i n d a l l t h e r e a l v a l u e s o f x w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n f x = g x
3 . T h r o u g h t h e v e r t i c e s o f a t r i a n g l e t a n g e n t s t o t h e c i r c u m c i r c l e a r e
c o n s t r u c t e d . T h e d i s t a n c e s o f a n a r b i t r a r y p o i n t o f t h e c i r c l e t o t h e s t r a i g h t
l i n e s c o n t a i n i n g t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e a r e e q u a l t o a b a n d c a n d t o t h e
t a n g e n t s a r e e q u a l t o x y a n d z . P r o v e t h a t a
2
+ b
2
+ c
2
= x y + x z + y z
4 . T w o b r o t h e r s s o l d n l a m b s a t a p r i c e n d o l l a r s . T h e y d i v i d e t h e
m o n e y a s f o l l o w s : t h e e l d e r b r o t h e r t o o k 1 0 d o l l a r s , t h e y o u n g e r o n e t o o k
1 0 d o l l a r s , t h e e l d e r o n e t o o k a g a i n 1 0 d o l l a r s a n d s o o n . A t t h e e n d i t
t u r n e d o u t t h a t t h e s u m f o r t h e y o u n g e r b r o t h e r w a s l e s s t h a n 1 0 . H e t o o k
t h e r e m a i n d e r a n d t h e p e n - k n i f e o f h i s b r o t h e r . T h e b r o t h e r s a g r e e d t h a t t h e
d i v i s i o n w a s c o r r e c t . W h a t i s t h e c o s t o f t h e p e n - k n i f e ?
1 1 1 2 F o r m
1 . P r o v e t h e e q u a l i t y
1
6 6 6
+
1
6 0 7
+ +
1
1 9 9 6
= 1 +
2
2 3 4
+
2
5 6 7
+ +
2
1 9 9 4 1 9 9 5 1 9 9 6
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2 . P r o v e t h a t t h e p r o d u c t o f t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n
p
1 9 9 6 x
l o g
1 9 9 6
x
= x
6
i s a n i n t e g e r a n d n d t h e l a s t f o u r d i g i t s o f t h i s i n t e g e r .
3 . T w o d i s j o i n t c i r c l e s C
1
a n d C
2
w i t h c e n t r e s O
1
a n d O
2
a r e g i v e n . A
c o m m o n e x t e r i o r t a n g e n t t o u c h e s C
1
a n d C
2
a t p o i n t s A a n d B r e s p e c t i v e l y .
T h e s e g m e n t O
1
O
2
c u t s C
1
a n d C
2
a t p o i n t s C a n d D r e s p e c t i v e l y . P r o v e
t h a t :
a t h e p o i n t s A B C a n d D a r e c o n c y c l i c ;
b t h e s t r a i g h t l i n e s A C a n d B D a r e p e r p e n d i c u l a r .
4 . A m o n g n c o i n s , i d e n t i c a l b y f o r m , l e s s t h a n h a l f a r e f a l s e a n d d i e r
b y w e i g h t f r o m t h e t r u e c o i n s . P r o v e t h a t w i t h t h e h e l p o f s c a l e s w i t h o u t
w e i g h t s u s i n g n o m o r e t h a n n , 1 w e i g h i n g s o n e c a n n d a t l e a s t o n e t r u e
c o i n .
S e c o n d D a y T i m e : 4 h o u r s
1 0 F o r m
5 . P r o v e t h a t f o r a l l n a t u r a l n u m b e r s m 2 a n d n 2 t h e s m a l l e s t
a m o n g t h e n u m b e r s
n
p
m a n d
m
p
n d o e s n o t e x c e e d t h e n u m b e r
3
p
3
6 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y 2
a
1
+ 2
a
2
+ + 2
a
1 9 9 6
1 9 9 5 + 2
a
1
+ a
2
+ + a
1 9 9 6
f o r a n y r e a l n o n - p o s i t i v e n u m b e r s a
1
a
2
a
1 9 9 6
7 . T h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r t o t h e s i d e B C o f a t r i a n g l e A B C
i n t e r s e c t s t h e s t r a i g h t l i n e A C a t a p o i n t M a n d t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r
t o t h e s i d e A C i n t e r s e c t s t h e s t r a i g h t l i n e B C a t a p o i n t N . L e t O b e t h e
c e n t r e o f t h e c i r c u m c i r c l e t o t h e t r i a n g l e A B C . P r o v e t h a t :
a p o i n t s A B M N a n d O l i e o n a c i r c l e S
b t h e r a d i u s o f S e q u a l s t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m c i r c l e t o t h e t r i a n g l e
M N C
8 . A m o n g 1 9 9 6 c o i n s , i d e n t i c a l b y f o r m , t w o a r e f a l s e . O n e i s h e a v i e r
a n d t h e s e c o n d i s l i g h t e r t h a n a t r u e c o i n . W i t h t h e h e l p o f s c a l e s w i t h -
o u t w e i g h t s u s i n g f o u r w e i g h i n g s , w h a t i s t h e w a y t o s h o w i f t h e c o m b i n e d
w e i g h t o f t h e s e t w o c o i n s i s e q u a l , g r e a t e r t h a n o r l e s s t h a n , t h e c o m b i n e d
w e i g h t o f t w o t r u e c o i n s ?
1 1 1 2 F o r m
5 . L e t p b e t h e n u m b e r o f f u n c t i o n s d e n e d o n t h e s e t f 1 2 ; : : : ; m g
m 2 N
, w i t h v a l u e s i n t h e s e t f 1 2 3 5 3 6 g a n d q b e t h e n u m b e r o f
f u n c t i o n s d e n e d o n t h e s e t f 1 2 n g n 2 N
, w i t h v a l u e s i n t h e s e t
f 1 2 3 4 5 g . F i n d t h e l e a s t p o s s i b l e v a l u e f o r t h e e x p r e s s i o n p , q
6 . S o l v e i n r e a l n u m b e r s t h e e q u a t i o n
2 x
2
, 3 x = 1 + 2 x
p
x
2
, 3 x
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7 . O n a s p h e r e d i s t i n c t p o i n t s A B C a n d D a r e c h o s e n , s o t h a t
s e g m e n t s A B a n d C D c u t e a c h o t h e r a t p o i n t F , a n d p o i n t s A C a n d F
a r e e q u i d i s t a n t t o a p o i n t E . P r o v e t h a t t h e s t r a i g h t l i n e s B D a n d E F
a r e p e r p e n d i c u l a r .
8 2 0 c h i l d r e n a t t e n d a r u r a l e l e m e n t a r y s c h o o l . E v e r y t w o c h i l d r e n
h a v e a g r a n d f a t h e r i n c o m m o n . P r o v e t h a t s o m e g r a n d f a t h e r h a s n o t l e s s
t h a n 1 4 g r a n d c h i l d r e n i n t h i s s c h o o l .
N e x t , w e g i v e s o l u t i o n s b y o u r r e a d e r s t o p r o b l e m s o f t h e V I I I N o r d i c
M a t h e m a t i c a l C o n t e s t 1 9 9 8 : 1 3 3 .
1 . L e t O b e a p o i n t i n t h e i n t e r i o r o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e A B C w i t h
s i d e l e n g t h a . T h e l i n e s A O B O a n d C O i n t e r s e c t t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e
a t t h e p o i n t s A
1
B
1
a n d C
1
r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t
O A
1
+ O B
1
+ O C
1
a
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y
T o s h i o S e i m i y a , K a w a s a k i , J a p a n . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y S e i m i y a
B
A
1 O
0
A
0
C
A
B
1
C
1
O
S i n c e A B = A C w e h a v e , i n 4 A A
1
C
A B C = A C B = A C A
1
s o t h a t A A
1
A C = a
S i m i l a r l y w e h a v e t h a t B B
1
a a n d C C
1
a . W e d e n o t e t h e a r e a o f
4 P Q R b y P Q R . L e t A
0
O
0
b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m A O
t o B C r e s p e c t i v e l y . T h e r e , w e h a v e
O A
1
A A
1
=
O O
0
A A
0
=
O B C
A B C
O B
1
B B
1
=
O C A
A B C
O C
1
C C
1
=
O A B
A B C
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T h u s w e g e t
O A
1
A A
1
+
O B
1
B B
1
+
O C
1
C C
1
=
O B C + O C A + O A B
A B C
= 1
S i n c e A A
1
a B B
1
a C C
1
a w e h a v e
O A
1
A A
1
+
O B
1
B B
1
+
O C
1
C C
1
O A
1
a
+
O B
1
a
+
O C
1
a
T h u s w e h a v e 1
O A
1
a
+
O B
1
a
+
O C
1
a
T h i s i m p l i e s t h a t O A
1
+ O B
1
+ O C
1
a
2 . A n i t e s e t S o f p o i n t s i n t h e p l a n e w i t h i n t e g e r c o o r d i n a t e s i s c a l l e d
a t w o - n e i g h b o u r s e t , i f f o r e a c h p q i n S e x a c t l y t w o o f t h e p o i n t s p + 1 q
p q + 1 p , 1 q p q , 1 a r e i n S . F o r w h i c h n d o e s t h e r e e x i s t a t w o -
n e i g h b o u r s e t w h i c h c o n t a i n s e x a c t l y n p o i n t s ?
S o l u t i o n b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e
O n v a p r o u v e r q u e l e s v a l e u r s d e n c h e r c h e e s s o n t t o u s l e s e n t i e r s
p a i r s s u p e r i e u r s o u e q a u x a 4 s a u f 6 . O n v e r i e f a c i l e m e n t q u e n 4 e s t
n e c e s s a i r e .
S o i t S u n t e l e n s e m b l e a v e c c a r d S = n . P o u r M p q 2 S , o n d i t q u e
l e p o i n t P e s t v o i s i n d e M l o r s q u e P 2 S e t P 2 f p + 1 q p q + 1
p , 1 q p q , 1 g . A l o r s t o u t p o i n t d e S a d m e t e x a c t e m e n t d e u x v o i s i n s
S o i t M
1
p q 2 S
S o i t M
2
u n v o i s i n d e M
1
O n p o s e M
3
e s t l e v o i s i n d e M
2
a v e c M
3
6= M
1
, e t c .
S i M
k
e t M
k + 1
s o n t c o n s t r u i t s k 1 o n p o s e M
k + 2
e s t l e v o i s i n d e
M
k + 1
a v e c M
k + 2
6= M
k
O n c o n s t r u i t a i n s i , a p a r t i r d e M
1
, u n e s u i t e d e p o i n t s d e S . M a i s S
e s t n i . D o n c i l e x i s t e i j 2 N
a v e c i j t e l s q u e M
i
= M
j
. S o i t a l o r s
E = f k 2 N
9 i 2 N
; i k e t M
i
= M
k
g . O n a E 6= E N
, d o n c
E a d m e t u n p l u s p e t i t e l e m e n t . O n p o s e p = m i n E
S o i t a l o r s i p i 2 N
t e l q u e M
i
= M
p
. O n a a l o r s i = 1 : e n e e t ,
s i o n s u p p o s e i 1 a l o r s M
i , 1
M
i + 1
M
p , 1
s o n t d e s v o i s i n s d e M
i
= M
p
a v e c
M
i , 1
6= M
i + 1
p a r c o n s t r u c t i o n
M
i , 1
6= M
p , 1
c a r p = m i n E
d ' o u M
i + 1
= M
p , 1
e t
c o m m e p = m i n E , o n a i + 1 = p , 1 o n a p , 1 p e t i + 1 p d ' o u
p = i + 2 e t M
i
= M
i + 2
, c e q u i e s t i m p o s s i b l e p a r c o n s t r u c t i o n .
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3 2 9
D e n i t i o n U n e c h a ̂ n e C , d e l o n g u e u r a a 2 N
a 2 e s t u n e n s e m b l e
f M
1
M
a
g d e p o i n t s d e S t e l s q u e p o u r t o u s i j d e f 1 a g
M
i
2 S
M
i + 1
e t M
i
s o n t v o i s i n s ,
M
a
e t M
1
s o n t v o i s i n s ,
s i i 6= j , a l o r s M
i
6= M
j
S a n s p e r t e d e g e n e r a l i t e o n p e u t t o u j o u r s s u p p o s e r q u e p o u r t o u t
i 2 f 1 ; : : : ; a g M
i
p
i
q
i
a v e c
p
i
1
s i i 1 e t p
i
= p
1
a l o r s q
i
q
1
M
2
p
1
+ 1 q
1
C e l a e n t r a ̂ n e M
a
p
1
q
1
+ 1 e t p e r m e t d ' e v i t e r d e c o n s i d e r e r d e u x f o i x l a
m ^e m e c h a ̂ n e s i l ' o n c h a n g e d e s e n s d e p a r c o u r s " o u d e p o i n t d e d e p a r t " .
O n v e r i e a i s e m e n t q u e a 4
P r o p r i e t e S i C = f M
1
M
a
g e t C
0
= f P
1
P
b
g s o n t d e u x c h a ^ n e s
a l o r s C C
0
= o u C = C
0
P r e u v e : P a r l ' a b s u r d e . S i C C
0
6= e t C 6= C
0
, a l o r s i l e x i s t e M 2 C C
0
t e l q u e :
i l e x i s t e i 2 f 1 a g j 2 f 1 b g M = M
i
= P
j
c a r d M
i , 1
M
i + 1
P
j , 1
P
j + 1
3 O n p o s e M
, 1
= M
a
P
, 1
= P
b
M a i s a l o r s M 2 S p o s s e d e a u m o i n s t r o i s v o i s i n s , q u i e s t u n c o n t r a -
d i c t i o n .
D ' a p r e s c e q u i p r e c e d e , 8 M 2 S 9 c h a i n e C t e l q u e M 2 C , d o n c
S
S
c h a ^ n e
C
P a r d e n i t i o n , t o u t e c h a ^ n e e s t c o n t e n u e d a n s S , d ' o u S =
S
c h a ^ n e
C
T o u t e s c e s c h a ^ n e s e t a n t d e u x a d e u x d i s j o i n t e s , a l o r s
n = c a r d S =
X
c h a ^ n e
c a r d C . 1
S o i t u n e c h a ^ n e C = f M
1
M
a
g
O n p o s e h = n o m b r e d e s a u t s " v e r s l e h a u t c . a . d . l e n o m b r e d ' i n d i c e s
i t e l q u e p
i + 1
= p
i
e t q
i + 1
= q
i
+ 1
b = n o m b r e d e s a u t s " v e r s l e b a s i d e m a v e c p
i + 1
= p
i
q
i + 1
= q
i
, 1
g = n o m b r e d e s a u t s " v e r s l a g a u c h e i d e m a v e c p
i + 1
= p
i
, 1 q
i + 1
= q
i
d = n o m b r e d e s a u t s " v e r s l a d r o i t e i d e m a v e c p
i + 1
= p
i
+ 1 q
i + 1
= q
i
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3 3 0
L e n o m b r e d e s a u t s v e r s l a g a u c h e e s t e g a l a u n o m b r e d e s a u t s v e r s l a
d r o i t e , e t l e n o m b r e d e s a u t s v e r s l e h a u t e s t e g a l a u n o m b r e d e s a u t s v e r s
l e b a s p l u s u n r a p p e l q
a
= q
1
+ 1
C a . d . h = b + 1 g = d
o r a = n o m b r e d e p o i n t s = n o m b r e d e s a u t s p l u s u n = d + g + h + b + 1
D o n c a = 2 g + b + 1 p a i r
T o u t e c h a ^ n e e s t d o n c d e l o n g e u r p a i r e .
D ' a p r e s 1 , o n e n d e d u i t q u e n e s t p a i r
P o u r n = 4
M
3
M
2
M
4
M
1
c o n v i e n t .
P o u r n = 6 : C o m m e a 4 , u n t e l e n s e m b l e S , s ' i l e x i s t e , n ' u t i l i s e q ' u n e
s e u l e c h a ^ n e , e t g + b = 3 , a v e c g b 2 N
, d ' o u g = b = 1 e t d = 1 h = 2
S i M
1
e s t c h o i s i s , M
2
e t M
6
s o n t i m p o s e p a r c o n s t r u c t i o n .
C a r d = 1 , i l y a d e u x p l a c e s p o s s i b l e s p o u r M
3
1
e r
c a s
M
3
M
2
M
4
M
1
M
6
2
e m e
c a s
M
2
M
3
M
4
M
1
M
6
D a n s l e s d e u x c a s , l a p l a c e p o u r M
4
e s t i m p o s e c a r d = 1 = b . D a n s
l e 1
e r
c a s , M
1
a d o n c 3 v o i s i n s , u n e c o n t r a d i c t i o n . D a n s l e 2
i e m e
c a s , M
3
a
t r o i s v o i s i n s , c o n t r a d i c t i o n .
D o n c n = 6 e s t i m p o s s i b l e .
P o u r n = 2 p p 4
2
z |
p , 1
8
:
c o n v i e n t .
D ' o u l e r e s u l t a t a n n o n c e
7/30/2019 The Olympiad Corner
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3 3 1
3 . A s q u a r e p i e c e o f p a p e r A B C D i s f o l d e d b y p l a c i n g t h e c o r n e r D
a t s o m e p o i n t D
0
o n B C s e e g u r e . S u p p o s e A D i s c a r r i e d i n t o A
0
D
0
c r o s s i n g A B a t E . P r o v e t h a t t h e p e r i m e t e r o f t r i a n g l e E B D
0
i s h a l f a s l o n g
a s t h e p e r i m e t e r o f t h e s q u a r e .
D C
A B
D
0
E
A
0
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y
T o s h i o S e i m i y a , K a w a s a k i , J a p a n . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y A a s s i l a
D C
A B
D
0
E
A
0
F
A B + B C = A E + E B + B D
0
+ D
0
C
= E F + E B + B D
0
+ F D
0
= E D
0
+ E B + B D
0
E d i t o r ' s c o m m e n t : i t i s e a s y t o s h o w t h a t E D
0
i s t a n g e n t t o t h e c i r c l e , c e n t r e
D , r a d i u s D C ; s e e M o r e M a t h e m a t i c a l M o r s e l s b y R o s s H o n s b e r g e r , M A A
D o l i c i a n i M a t h e m a t i c a l E x p o s i t i o n s , 1 9 9 1 , p . 1 1 .
4 . D e t e r m i n e a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n 2 0 0 s u c h t h a t n
2
+ n + 1
2
i s
a p e r f e c t s q u a r e .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y P a n o s
E . T s a o u s s o g l o u , A t h e n s , G r e e c e ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d L a u r i e r
U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e W a n g ' s s o l u t i o n a n d r e m a r k
T h e r e a r e e x a c t l y t h r e e s o l u t i o n s , n = 3 2 0 1 1 9 . S u p p o s e t h a t
n
2
+ n + 1
2
= k
2
f o r s o m e n a t u r a l n u m b e r k . T h e n n n + 1 k i s a
P y t h a g o r e a n t r i p l e . I t i s i n f a c t a p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n t r i p l e s i n c e
n n + 1 = 1 . B y a w e l l k n o w n r e s u l t , t h e r e e x i s t n a t u r a l n u m b e r s s a n d t
w i t h o p p o s i t e p a r i t i e s a n d s t s u c h t h a t e i t h e r
7/30/2019 The Olympiad Corner
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3 3 2
i n = 2 s t n + 1 = s
2
, t
2
k = s
2
+ t
2
o r
i i n = s
2
, t
2
n + 1 = 2 s t k = s
2
+ t
2
I n c a s e i w e h a v e s
2
, 2 t s , t
2
+ 1 = 0 . S o l v i n g f o r s w e n d
s = t +
p
2 t
2
+ 1 . C l e a r l y s 2 N i f a n d o n l y i f 2 t
2
+ 1 i s a p e r f e c t s q u a r e .
S i n c e n 2 0 0 i m p l i e s s t 1 0 0 , w e h a v e t
2
1 0 0 o r t 1 0 . S u b s t i t u t i n g
t = 1 2 9 r e v e a l s t h a t 2 t
2
+ 1 i s a s q u a r e o n l y w h e n t = 2 , i n w h i c h
c a s e s = 5 n = 2 0 n + 1 = 2 1 a n d k = 2 9
I n c a s e i i w e h a v e s
2
, 2 t s , t
2
, 1 = 0 . S o l v i n g f o r s , w e n d
s = t +
p
2 t
2
, 1 . N o t e t h a t t ,
p
2 t
2
, 1 0 f o r a l l t 1 . A s i n c a s e i ,
n + 1 2 0 1 i m p l i e s s t 1 0 0 a n d t h u s t
2
1 0 0 o r t 1 0 . S u b s t i t u t i n g
t = 1 2 9 r e v e a l s t h a t 2 t
2
, 1 i s a p e r f e c t s q u a r e e x a c t l y w h e n t = 1
a n d t = 5 . W h e n t = 1 , w e g e t s = 2 n = 3 n + 1 = 4 k = 5 . W h e n
t = 5 , w e g e t s = 1 2 n = 1 1 9 k = 1 6 9
R e m a r k . I n f a c t , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f a l l p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n
t r i p l e s o f t h e f o r m n n + 1 k i s k n o w n ; f o r e x a m p l e , i n C h a p t e r 2 . 4 o f E l e -
m e n t a r y T h e o r y o f N u m b e r s b y W . S i e r p i n s k i , 2 n d e d . , 1 9 8 5 , i t i s p r o v e d t h a t
i f t h e s e q u e n c e s f x
n
g f y
n
g , a n d f z
n
g a r e d e n e d r e c u r s i v e l y b y
x
n + 1
= 3 x
n
+ 2 z
n
+ 1 y
n + 1
= x
n + 1
+ 1 z
n + 1
= 4 x
n
+ 3 z
n
+ 2 f o r
a l l n 1 , w i t h i n i t i a l v a l u e s x
1
= 3 y
1
= 4 a n d z
1
= 5 , t h e n x
n
y
n
z
n
n = 1 2 3 w o u l d b e a l l t h e p r i m i t i v e P y t h a g o r e a n t r i p l e s f o r w h i c h
y
n
= x
n
+ 1 . U s i n g t h e s e i t e r a t i o n s o n e c a n e a s i l y v e r i f y t h a t t h e t r i p l e s w e
o b t a i n e d i n t h e s o l u t i o n d o i n d e e d g i v e t h e r s t t h r e e s u c h t r i p l e s . T h e n e x t
f o u r v a l u e s o f n a r e 6 9 6 4 0 5 9 , a n d 2 3 6 6 0
W e n i s h t h i s n u m b e r o f t h e C o r n e r b y g i v i n g r e a d e r s ' s o l u t i o n s t o
p r o b l e m s o f t h e 4 4
t h
L i t h u a n i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d 1 9 9 8 : 1 9 6 1 9 7 .
G R A D E X I
1 . Y o u a r e g i v e n a s e t o f 1 0 p o s i t i v e i n t e g e r s . S u m m i n g n i n e o f t h e m
i n t e n p o s s i b l e w a y s w e g e t o n l y n i n e d i e r e n t s u m s : 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1
9 3 9 4 9 5 . F i n d t h o s e n u m b e r s .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y
C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; b y M u r r a y S . K l a m k i n ,
U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d
L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e B r a d l e y ' s w r i t e - u p
L e t S b e t h e s u m o f a l l t e n p o s i t i v e i n t e g e r s a n d s u p p o s e x i s t h e
r e p e a t e d s u m . C a l l t h e e l e m e n t s a
1
a
2
a
1 0
. T h e n w e h a v e
S , a
1
= 8 6 S , a
2
= 8 7 S , a
9
= 9 5 S , a
1 0
= x
7/30/2019 The Olympiad Corner
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3 3 3
A d d i n g , 9 S = 8 1 3 + x . T h e o n l y v a l u e o f x f r o m 8 6 8 7 8 8 9 5 w h i c h
m a k e s 8 1 3 + x d i v i s i b l e b y 9 i s x = 8 7 a n d t h e n S = 1 0 0 . I t f o l l o w s t h a t
t h e t e n n u m b e r s a r e r e s p e c t i v e l y 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 9 7 6 5 a n d 1 3
2 . W h a t i s t h e l e a s t p o s s i b l e n u m b e r o f p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t t h e
s u m o f t h e i r s q u a r e s e q u a l s 1 9 9 5 ?
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y M u r r a y
S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; b y B o b P r i e l i p p , U n i -
v e r s i t y o f W i s c o n s i n O s h k o s h , W I , U S A ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d
L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e K l a m k i n ' s s o l u t i o n
F i r s t n o t e t h a t 1 9 9 5 = 3 5 7 1 9 . W e n o w u s e s o m e k n o w n t h e o r e m s
1 o n r e p r e s e n t a t i o n s o f a n u m b e r a s s u m s o f s q u a r e s .
1 . A n a t u r a l n u m b e r n i s t h e s u m o f t w o s q u a r e s i f a n d o n l y i f t h e f a c t o r i z a t i o n
o f n d o e s n o t c o n t a i n a n y p r i m e o f t h e f o r m 4 k + 3 t h a t h a s a n o d d e x p o n e n t .
2 . A n a t u r a l n u m b e r n c a n b e t h e s u m o f t h r e e s q u a r e s i f a n d o n l y i f i t i s n o t
o f t h e f o r m 4
l
8 k + 7 , w h e r e k l a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s .
3 . E a c h o d d n a t u r a l n u m b e r i s t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f f o u r i n t e g e r s , t w o
o f w h i c h a r e c o n s e c u t i v e n u m b e r s .
I n v i e w o f t h e a b o v e t h e o r e m s , t h e m i n i m u m n u m b e r i s t h r e e a n d a
r e p r e s e n t a t i o n i s g i v e n b y 1 9 9 5 = 1
2
+ 2 5
2
+ 3 7
2
C o m m e n t . A n u m b e r f o r w h i c h t h e m i n i m u m n u m b e r o f s q u a r e s i s f o u r
i s g i v e n b y 1 9 9 2 = 3 8 8 3 = 1 0
2
+ 1 8
2
+ 2 8
2
+ 2 8
2
= 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ 4 4
2
A l s o 1 9 9 5 = 1 3
2
+ 2 4
2
+ 2 5
2
+ 2 5
2
R e f e r e n c e
1 W . S i e r p i n s k i , E l e m e n t a r y T h e o r y o f N u m b e r s , H a f n e r , N Y , 1 9 6 4 , p p .
3 5 1 , 3 6 3 , 3 6 7 .
3 . R e p l a c e t h e a s t e r i s k s i n t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e "
b y t h e n u m b e r s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s o t h a t , s t a r t i n g f r o m t h e s e c o n d l i n e ,
e a c h n u m b e r i s e q u a l t o t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e d i e r e n c e o f t h e n e a r e s t
t w o n u m b e r s i n t h e l i n e a b o v e .
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3 3 4
I s i t a l w a y s p o s s i b l e t o i n s c r i b e t h e n u m b e r s 1 2 n , i n t h e w a y
r e q u i r e d , i n t o t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h e s i d e s h a v i n g n a s t e r i s k s ?
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; a n d b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l ,
U K . W e g i v e B r a d l e y ' s s o l u t i o n
T h e c a s e n = 9 c a n b e d o n e a s f o l l o w s :
1 7 8 1 9 8 1 7 6
6 1 7 8 1 7 6 1
5 6 1 7 6 1 5
1 5 6 1 5 4
4 1 5 4 1
3 4 1 3
1 3 2
2 1
1
F o r t h e c a s e n = 6 m + 3 o n e s t a r t s w i t h t h e r o w
1 4 m + 3 1 6 m + 1 6 m + 2 1
c e n t r e s q u a r e
z |
6 m + 3 6 m + 2 1 6 m + 1 6 m 1 4 m + 3 4 m + 2
T h e n i f o n e w o r k s d o w n s i x r o w s y o u g e t
1 4 m , 1 1 6 m , 5 6 m , 4 1 6 m , 3 6 m , 4 1 6 m , 5 6 m , 6 1 4 m , 1 4 m , 2
a n d t h e r e s u l t t h e n f o l l o w s b y i n d u c t i o n o n m , w i t h t h e p a t t e r n u p t o m = 1
a s i n t h e r s t t r i a n g l e .
4 . A f u n c t i o n f : N ! N i s s u c h t h a t f f m + f n = m + n f o r a l l
m n 2 N N = f 1 2 g d e n o t e s t h e s e t o f a l l p o s i t i v e i n t e g e r s . F i n d a l l
s u c h f u n c t i o n s .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y
C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K . W e g i v e t h e s o l u t i o n
b y B o r n s z t e i n
P o u r m n 2 N
, d ' a p r e s
f f m + f n = m + n 1
f f m + f n + f f m + f n = 2 m + n
e t d o n c
f f f m + f n + f f m + f n = f m + f n + f m + f n
= 2 f m + f n
e t
f f f m + f n + f f m + f n = f 2 m + 2 n
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3 3 5
A i n s i
2 f m + 2 f n = f 2 m + 2 n . 2
P o u r m = n 4 f n = f 4 n
P o u r m = 2 p + 1 n = 2 p , 1 2 f 2 p + 1 + 2 f 2 p , 1 = f 8 p =
4 f 2 p d ' o u p o u r p 1
f 2 p + 1 = 2 f 2 p , f 2 p , 1 . 3
D e m ^e m e p o u r m = 2 p + 2 n = 2 p , 2 p 2 o n o b t i e n t
f 2 p + 2 = 2 f 2 p , f 2 p , 2 . 4
O n p o s e f 1 = a f 2 = b
E n u t i l i s a n t 3 e t 4 o n t r o u v e
f 3 = 2 b , a
f 4 = f 4 1 = 4 f 1 = 4 a
f 5 = 9 a , 2 b
f 6 = 8 a , b
M a i s p o u r m = 2 n = 1 , 2 c o n d u i t a f 6 = 2 f 2 + 2 f 1 = 2 a + 2 b
D o n c 8 a , b = 2 a + 2 b ; c . a . d . b = 2 a . O n e n d e d u i t q u e p o u r n 2 f 1
6 g f n = a n . U n e r e c u r r e n c e i m m e d i a t e e n u t i l i s a n t 3 e t 4 p e r m e t
d ' o b t e n i r :
f n = a n p o u r t o u t n 2 N
A l o r s d a n s 1 , p o u r t o u s m n 2 N
m + n = f f m + f n = f a m + n = a
2
m + n
d ' o u a = 1 e t f = i d
N
R e c i p r o q u e n t , f = i d
N
c o n v i e n t .
5 . I n t h e t r a p e z i u m A B C D , t h e b a s e s a r e A B = a C D = b , a n d
t h e d i a g o n a l s m e e t a t t h e p o i n t O . F i n d t h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e t r i a n g l e
A B O a n d t r a p e z i u m .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y M i g u e l A m e n g u a l C o v a s , C a l a F i g u e r a , M a l l o r c a , S p a i n ;
b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; a n d b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y ,
C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K . W e g i v e t h e s o l u t i o n b y A m e n g u a l .
D C
B A
b
a
O
7/30/2019 The Olympiad Corner
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3 3 6
S i n c e t r i a n g l e s w i t h t h e s a m e h e i g h t h a v e a r e a s i n p r o p o r t i o n t o t h e i r b a s e s
a n d s i n c e 4 A O B 4 C O D , w e h a v e
D O A
A O B
=
O D
O B
=
b
a
o r D O A =
b
a
A O B
w h e r e P d e n o t e s t h e a r e a o f p o l y g o n P
A l s o , s i n c e t h e a r e a s o f s i m i l a r t r i a n g l e s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e s
o n c o r r e s p o n d i n g s i d e s ,
C O D
A O B
=
b
2
a
2
o r C O D =
b
2
a
2
A O B
F i n a l l y , s i n c e 4 A B D a n d 4 A B C h a v e t h e s a m e b a s e a n d e q u a l a l t i -
t u d e A B D = A B C , a n d s i n c e
A B D = A O B + D O A A B C = A O B + B O C
i t f o l l o w s t h a t D O A = B O C
C o n s e q u e n t l y ,
A B C D = A O B + B O C + C O D + D O A
= A O B + 2 D O A + C O D
t h a t i s , A B C D =
1 + 2
b
a
+
b
2
a
2
A O B
g i v i n g A B C D =
a + b
a
2
A O B
a n d
A O B
A B C D
=
a
a + b
2
R e m a r k . T h e f o l l o w i n g r e l a t e d p r o b l e m a p p e a r s i n S o l v i n g P r o b l e m s
i n G e o m e t r y b y V . G u s e v , V . L i t v i n e n k o a n d A . M o r d k o v i c h , M i r P u b l i s h e r s ,
M o s c o w 1 9 8 8 , p a g e 6 0 : T h e d i a g o n a l s o f a t r a p e z o i d A B C D A D k B C i n -
t e r s e c t a t t h e p o i n t O . F i n d t h e a r e a o f t h e t r a p e z o i d i f i t i s k n o w n t h a t t h e
a r e a o f t h e t r i a n g l e A O D i s e q u a l t o a
2
, a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e B O C
i s e q u a l t o b
2
G R A D E X I I
1 . C o n s i d e r a l l p a i r s o f r e a l n u m b e r s s a t i s f y i n g t h e i n e q u a l i t i e s
, 1 x + y 1 , 1 x y + x + y 1
L e t M d e n o t e t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x
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3 3 7
a P r o v e t h a t M 3
b P r o v e t h a t M 2
c F i n d M
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y
C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; b y M u r r a y S . K l a m k i n ,
U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d
L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e u s e t h e s o l u t i o n b y K l a m k i n
L e t t i n g u = x + 1 a n d v = y + 1 , t h e g i v e n i n e q u a l i t i e s b e c o m e
0 u v 2 1 u + v 3
C l e a r l y u a n d v m u s t e a c h b e n o n - n e g a t i v e a n d s o t h e m a x i m u m v a l u e o f u
i s 3 . F i n a l l y , x
m a x
= 2
2 . A p o s i t i v e i n t e g e r n i s c a l l e d a n a m b i t i o u s n u m b e r i f i t p o s s e s s e s
t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : w r i t i n g i t d o w n i n d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o n t h e
r i g h t o f a n y p o s i t i v e i n t e g e r g i v e s a n u m b e r t h a t i s d i v i s i b l e b y n . F i n d :
a t h e r s t 1 0 a m b i t i o u s n u m b e r s ;
b a l l t h e a m b i t i o u s n u m b e r s .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y , C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ;
b y M u r r a y S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a ; a n d b y
E d w a r d T . H . W a n g , W i l f r i d L a u r i e r U n i v e r s i t y , W a t e r l o o , O n t a r i o . W e g i v e
B r a d l e y ' s s o l u t i o n
W e a s s u m e i n t h i s s o l u t i o n t h a t n c a n n o t b e g i n w i t h a z e r o s o t h a t 0 4 i s
n o t a c c e p t a b l e . F o r n t o b e a m b i t i o u s i t m u s t b e a k d i g i t n u m b e r d i v i d i n g
1 0
k
m f o r a l l m , w h i c h i s s o i f a n d o n l y i f n 1 0
k
. T h e a m b i t i o u s n u m b e r s
a r e t h u s 1 2 5 1 0 2 0 2 5 5 0 1 0 0 1 2 5 2 0 0
3 . T h e a r e a o f a t r a p e z i u m e q u a l s 2 ; t h e s u m o f i t s d i a g o n a l s e q u a l s 4
P r o v e t h a t t h e d i a g o n a l s a r e o r t h o g o n a l .
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; b y M i g u e l A m e n g u a l C o v a s , C a l a F i g u e r a , M a l l o r c a , S p a i n ;
b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e ; b y C h r i s t o p h e r J . B r a d l e y ,
C l i f t o n C o l l e g e , B r i s t o l , U K ; a n d b y M u r r a y S . K l a m k i n , U n i v e r s i t y o f A l -
b e r t a , E d m o n t o n , A l b e r t a . W e g i v e t h e s o l u t i o n o f K l a m k i n
I f a a n d b a r e t h e d i a g o n a l l e n g t h s a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e m , t h e n
t h e a r e a 2 =
1
2
a b s i n . S i n c e 4 = a + b 2
p
a b , t h e m a x i m u m v a l u e o f a b
i s 4 . H e n c e s i n = 1 , s o t h a t = = 2
4 1 0 0 n u m b e r s a r e w r i t t e n a r o u n d a c i r c l e . T h e i r s u m e q u a l s 1 0 0 . T h e
s u m o f a n y 6 n e i g h b o u r i n g n u m b e r s d o e s n o t e x c e e d 6 . T h e r s t n u m b e r i s
6 . F i n d t h e r e m a i n i n g n u m b e r s .
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3 3 8
S o l u t i o n s b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c ; a n d b y P i e r r e B o r n s z t e i n , C o u r d i m a n c h e , F r a n c e . W e
g i v e t h e s o l u t i o n o f B o r n s z t e i n
O n a p p e l l e x
1
x
2
x
1 0 0
c e s n o m b r e s d a n s l e s e n s h o r a i r e , e t o n
p o s e x
1 0 0 + i
= x
i
. O n a , p o u r i = 1 2 1 0 0
x
i
+ x
i + 1
+ + x
1 0 0
+ x
1
+ : : : x
i , 1
+ x
i
+ x
i + 1
= 1 0 0 + x
i
+ x
i + 1
e t c o m m e i l y a 1 0 2 = 6 1 7 t e r m e s d a n s c e t t e s o m m e , e n l e s g r o u p a n t p a r
6 c o n s e c u t i f s , o n a 1 0 0 + x
i
+ x
i + 1
1 0 2
c a d x
i
+ x
i + 1
2
A l o r s
1 0 0 = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ + x
9 9
+ x
1 0 0
2 5 0
a v e c e g a l i t e s s i p o u r t o u t i 1 x
2 i , 1
+ x
2 i
= 2 . D o n c p o u r i 1
x
2 i , 1
+ x
2 i
= 2
D e m ^e m e
1 0 0 = x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ + x
1 0 0
+ x
1
2 5 0
a v e c e q a l i t e s s i x
2 i
+ x
2 i + 1
= 2 p o u r i 1
F i n a l e m e n t , p o u r t o u t i 1 x
i
+ x
i + 1
= 2 O r x
1
= 6 d o n c
x
2
= , 4 e t p a r r e c u r r e n c e i m m e d i a t e p o u r i = 1 2 5 0 x
2 i , 1
= 6
x
2 i
= , 4 . C e t t e f a m i l l e v e r i e b i e n l e s c o n d i t i o n s d e l ' e n o n c e
5 . S h o w t h a t , a t a n y t i m e , m o v i n g b o t h t h e h o u r - h a n d a n d t h e m i n u t e -
h a n d o f t h e c l o c k s y m m e t r i c a l l y w i t h r e s p e c t t o t h e v e r t i c a l 6 , 1 2 a x i s
r e s u l t s i n a p o s s i b l e p o s i t i o n o f t h e c l o c k - h a n d s . H o w m a n y s t r a i g h t l i n e s
c o n t a i n i n g t h e c e n t r e o f t h e c l o c k - f a c e p o s s e s s t h e s a m e p r o p e r t y ?
S o l u t i o n b y M o h a m m e d A a s s i l a , C R M , U n i v e r s i t e d e M o n t r e a l ,
M o n t r e a l , Q u e b e c
E l e v e n ,
3 6 0
n
1 1
n = 0 1 2 1 0
T h a t c o m p l e t e s t h e C o r n e r f o r t h i s i s s u e . S e n d m e y o u r n i c e s o l u t i o n s
a s w e l l a s c o n t e s t m a t e r i a l s .