The Van Hiele Model of Geometric Thought.Two Dutch educators, Dina and Pierre van Hiele, suggested that children may learn geometry along the lines of a structure for reasoning that they developed in the 1950s. educators in the former Soviet Union learned of the van Hiele research and changed their geometry curriculum in the 1960s. During the 1980s there was interest in the United States in the van Hieles' contributions; the {\it Standards} of the National Council of Teachers of Mathematics (1989) brought the van Hiele model of learning closer to implementation by stressing the importance of sequential learning and an activity approach.The van Hiele model asserts that the learner moves sequentially through five levels of understanding. Different numbering systems are found in the literature but the van Hieles spoke of levels 0 through 4.Level 0 (Basic Level): VisualizationStudents recognize figures as total entities (triangles, squares), but do not recognize properties of these figures (right angles in a square).Level 1: AnalysisStudents analyze component parts of the figures (opposite angles of parallelograms are congruent), but interrelationships between figures and properties cannot be explained.Level 2: Informal Deduction Students can establish interrelationships of properties within figures (in a quadrilateral, opposite sides being parallel necessitates opposite angles being congruent) and among figures (a square is a rectangle because it has all the properties of a rectangle). Informal proofs can be followed but students do not see how the logical order could be altered nor do they see how to construct a proof starting from different or unfamiliar premises. Level 3: DeductionAt this level the significance of deduction as a way of establishing geometric theory within an axiom system is understood. The interrelationship and role of undefined terms, axioms, definitions, theorems and formal proof is seen. The possibility of developing a proof in more than one way is seen.Level 4: RigorStudents at this level can compare different axiom systems (non-Euclidean geometry can be studied). Geometry is seen in the abstract with a high degree of rigor, even without concrete examples. The majority of high school geometry courses is taught at Level 3. The van Hieles also identified some characteristics of their model, including the fact that a person must proceed through the levels in order, that the advancement from level to level depends more on content and mode of instruction than on age, and that each level has its own vocabulary and its own system of relations.The van Hieles proposed sequential phases of learning to help students move from one level to another.Phase 1: Inquiry/Information At this initial stage the teacher and the students engage in conversation and activity about the objects of study for this level. Observations are made, questions are raised, and level-specific vocabulary is introduced.Phase 2: Directed OrientationThe students explore the topic through materials that the teacher has carefully sequenced. These activities should gradually reveal to the students the structures characteristic at this level.

Phase 3: ExplicationBuilding on their previous experiences students express and exchange their emerging views about the structures that have been observed. Other than to assist the students in using accurate and appropriate vocabulary, the teacher's role is minimal. It is during this phase that the level's system of relations begins to become apparent.Phase 4: Free OrientationStudents encounter more complex tasks - tasks with many steps, tasks that can be completed in more than one way, and open-ended tasks. They gain experience in resolving problems on their own and make explicit many relations among the objects of the structures being studied.Phase 5: IntegrationStudents are able to internalize and unify relations into a new body of thought. The teacher can assist in the synthesis by giving ''global surveys'' of what students already have learned. Reference: Teppo, Anne , "Van Hiele Levels of Geometric Thought Revisited." , Mathematics Teacher , March 1991, pg 210-221. Bai1

Hai nhà giáo dục Dina và Pierre Hà lan chuyên chở bằng xe tải Hiele, đã gợi ý rằng con cái có thể học hình học dọc theo những dòng một cấu trúc (cho) lý luận mà họ phát triển trong 1950 S. nhà giáo dục trong cựu Liên bang Xô viết được học (của) nghiên cứu Hiele xe tải và thay đổi chương trình học hình học của họ vào những năm 1960. Trong thời gian 1980 S có sự quan tâm trong Nước Mỹ trong những xe tải Hiele \ ' Những đóng góp; {\\ Nó Những tiêu chuẩn} Của Hội đồng Quốc gia (của) những giáo viên (của) Toán học (1989) được mang mô hình Hiele xe tải của việc học người đóng tới sự thi hành bằng việc nhấn mạnh sự quan trọng (của) sự học và một cách tiếp cận hoạt động tuần tự

Mô hình Hiele xe tải khẳng định rằng học viên di chuyển tuần tự xuyên qua năm mức của việc hiểu. Những hệ thống đánh số Khác được tìm thấy trong văn học nhưng xe tải Hieles nói về những mức Từ 0 đến 4.

Ngang mức 0 (Mức Cơ bản): Trực quan hóa.Những sinh viên đoán nhận những hình như tổng số thực thể (những hình tam giác,

những hình vuông), nhưng không đoán nhận những thuộc tính (của) những hình này (những góc vuông trong một hình vuông).

Ngang mức 1: Phân tích.Những sinh viên phân tích những linh kiện (của) những hình (những góc đối đỉnh

(của) những hình bình hành phù hợp), nhưng những sự quan hệ lẫn nhau giữa những hình và những thuộc tính không thể được giải thích.

Ngang mức 2: Suy diễn Không hình thức.Những sinh viên có thể thiết lập những sự quan hệ lẫn nhau (của) những thuộc tính

bên trong những hình (trong một hình bốn cạnh, những nửa kia song song cần phải có những góc đối đỉnh phù hợp) và trong số những hình (một hình vuông là một hình chữ nhật bởi vì nó có mọi thuộc tính (của) một hình chữ nhật). Những sự chứng minh Không hình thức có thể được đi theo sau nhưng những sinh viên không nhìn thấy mệnh lệnh lôgíc có thể (thì) biến đổi mà cũng không họ nhìn thấy để xây dựng một sự chứng minh bắt đầu như thế nào từ nhà cửa khác hay xa lạ như thế nào.

Ngang mức 3: Suy diễn.

Tại mức này ý nghĩa (của) suy diễn như một cách thiết lập lý thuyết hình học bên trong một hệ thống tiên đề được hiểu. Sự quan hệ lẫn nhau và vai trò (của) những thuật ngữ và chứng minh hình thức không xác định những tiên đề, những định nghĩa, những định lý được nhìn thấy. Khả năng của việc phát triển một sự chứng minh vào nhiều cách được nhìn thấy.

Ngang mức 4: Khắc nghiệt.Những sinh viên tại mức này có thể Những hệ thống tiên đề khác so sánh (hình học

phi Ơclit có thể được học). Hình học được nhìn thấy một cách tóm tắt với một độ cao (của) sự khắc nghiệt, thậm chí không có những ví dụ cụ thể.

Phần lớn (của) những khóa học hình học trung học (thì) dạy tại Mức 3. xe tải Hieles cũng xác định một số đặc trưng (của) mô hình của họ, kể cả thực tế mà một người phải theo đuổi xuyên qua những Mức trong mệnh lệnh, mà sự tiến bộ từ Mức đến Mức phụ thuộc Hơn Trên nội dung và kiểu (của) chỉ dẫn so với trên tuổi, và mỗi Mức đó có từ vựng và hệ thống (của) riêng mình (của) những quan hệ của mình. Xe tải Hieles đề xướng những pha tuần tự (của) sự học để giúp đỡ những sinh viên di chuyển từ mức này sang cái khác.

Thực hiện dần 1: Điều tra/ Thông tin.Tại giai đoạn khởi sinh này những giáo viên và sinh viên hoạt động vì cuộc nói

chuyện và hoạt động về những đối tượng (của) sự nghiên cứu (cho) mức này. Những sự quan sát được làm, những câu hỏi được nâng, và từ vựng chuyên biệt về mức được giới thiệu

Thực hiện dần 2: sự Định hướng Định hướng.Những sinh viên khám phá đề tài xuyên qua nguyên liệu mà giáo viên có cẩn thận

sequenced. Những hoạt động này cần phải dần dần để lộ ra tới những sinh viên những cấu trúc đặc trưng tại mức này.

Thực hiện dần 3: Giải thích.Dựa vào những kinh nghiệm có trước của họ những sinh viên biểu thị và trao đổi

(sự) nẩy sinh những sự nhìn (của) họ về những cấu trúc Rằng có to built observed. (Kẻ) Khác so với để giúp đỡ những sinh viên sử dụng từ vựng chính xác và thích hợp, giáo viên \ Là vai trò Là cực tiểu. Nó trong thời gian pha này mà mức \ Là hệ thống (của) những quan hệ Bắt đầu trở nên hiển nhiên.

Thực hiện dần 4: sự Định hướng Tự do.Những sinh viên gặp những nhiệm vụ phức tạp hơn- những nhiệm vụ với nhiều

bước, những nhiệm vụ mà có thể (thì) hoàn tất vào nhiều cách, và những nhiệm vụ có tính chất mở. Họ kiếm được kinh nghiệm trong việc tự ý giải quyết những vấn đề và làm rõ ràng nhiều quan hệ trong số những đối tượng (của) những cấu trúc cố ý.

Thực hiện dần 5: Hợp nhất.Những sinh viên (thì) có khả năng để chủ quan hóa và hợp nhất những quan hệ vào

trong một thân thể mới (của) sự suy nghĩ. Giáo viên có thể tham gia sự tổng hợp bằng việc đưa cho\'\' toàn cầu những sự khảo sát \ '\' Của điều mà những sinh viên đã đã học.

Van Hiele levels and learning geometry notesThe Van Hiele's research in math eduction was focussed on the learning of geometry. They postulated (and subsequent research supports their framework), that students must

pass through a series of levels of understanding for a geometry topic as they master that content area. Their levels are roughly as follows. Note that there are two alternate numeration schemes (0-4 and 1-5) for Van Heile levels (I am using the 0-4 numeration):

Level 0 (visualization): learners identify a geometric object or concept because it is like a prototypical examples that they have been exposed to. Children in grades PreK-1 are often at level 0 with respect to recognizing triangles, in that they may not accept thin or obviously scalene triangles as being triangles, because their concept of "triangle" is directly tied to the prototypical example of a point-up equilateral triangle.

Level 1 (Analysis): learners identify the properties of shapes, and can recognize a shape by its properties Children in grades 2 and up are often at level 1 in their understanding of shapes such as triangles, squares and rectangles, because they can identify the properties that those shapes have, and can, at least in most cases, identify shapes by their properties. They generally are not able to distinguish the most important (necessary and sufficient) conditions for identifying a shape. Children up to grade 4 and 5 are generally still convinced that a square is not a rectangle.

Level 2 (Abstraction): learners recognize relationships between types of shapes. They recognize that all squares are rectangles, but not all rectangles are squares. They can tell whether it is possible or not to have a rectangle that is, for example, also a rhombus. Students need to be comfortably at this level to be well prepared for a high school geometry course (though many students are not). One of our goals in this class will be to consider ways that we can help children progress to a level 2 understanding of some important geometric topics.

Level 3 (Deduction): learners can construct geometric proofs at a high school level. Learners should be exposed to deduction at a pre-high-school level in the context of level 2 discussions (what properties tell us that all squares are also rectangles), but the primary consideration of level 3 work will not be discussed in this course.

Level 4 (Rigor): learners understand how geometry proofs and concepts fit together to create the structure we call geometry. This is the level at which most college geometry courses (for math majors) are designed.I got some of the details for this explanation from the paper The Van Hiele Levels of Geometric Understanding by Marguerite Mason.I got some of my information about PreK-1 students from the article Young Children's Developing Understanding of Geometric Shapes by Mary Anne Hannibal, published in Teaching children Mathematics Feb. 1999 (available in our library)Thanks also to information presented by Michael Serra at the 2004 NCTM regional meeting in Minneapolis.

Bai2Xe tải Hiele\\\ Là nghiên cứu trong rút ra math Được tập trung vào sự học Của

geometry. Bọn họ được ước định (và nghiên cứu kế tiếp hỗ trợ khung của họ), những sinh viên đó phải đi qua xuyên qua một loạt (của) những mức của việc hiểu (cho) một đề tài hình học như Họ chủ mà làm bằng lòng vùng.Những mức Của họ Thô nhám như follows. Chú ý rằng có hai sơ đồ phép đếm xen kẽ (0-4 và 1-5) (cho) Heile mức Xe tải (Tôi đang sử dụng 0-4 phép đếm)

Ngang mức 0 (trực quan hóa): đồng nhất những học viên Một vật thể hình học hay khái niệm vì nó cũng như một prototypical ví dụ mà họ đã được phơi bày Tới. Con cái

trong những thứ bậc PreK-1 thường tại mức 0 đối với việc đoán nhận những hình tam giác, trong tháng năm bọn họ đó không phải là sự chấp nhận mỏng hay rõ ràng những tam giác thường như là những hình tam giác, vì khái niệm của họ (của) hình tam giác\" \ " Trực tiếp bị ràng buộc đối với ví dụ prototypical (của) một hình tam giác lên trên đều điểm.

Ngang mức 1 (Phân tích): đồng nhất những học viên Những thuộc tính của những hình dạng, và có thể đoán nhận một hình dạng bởi Con cái những thuộc tính (của) nó trong những thứ bậc 2 và lên trên thường tại việc Ngang mức 1 trong những derstande $Un của họ (của) hình dạng như những hình tam giác,những hình vuông và những hình chữ nhật, vì bọn họ có thể xác định những thuộc tính mà những hình dạng đó có, và có thể, ít nhất trong đa số những trường hợp, đồng nhất hình thành bởi những thuộc tính của họ.Họ nói chung không phải (thì) có thể phân biệt những nhiều điều kiện quan trọng (cần thiết và đủ) nhất để đồng nhất hóa(nhận ra) Một shape. Con cái để lên trên sắp xếp 4 và 5 nói chung còn bị thuyết phục rằng một hình vuông là không phải một hình chữ nhật.

Level 2 (Abstraction): những học viên đoán nhận những mối quan hệ giữa những kiểu của shapes. Họ đoán nhận rằng tất cả các hình vuông đều là những hình chữ nhật, nhưng không phải tất cả các hình chữ nhật đều là những hình vuông. .Họ có thể nói liệu nó khả dĩ hay không để có một hình chữ nhật Điều đó, (Cho) ví dụ một hình thoi nữa. Những sinh viên cần tiện lợi tại mức này sẽ được chuẩn bị (cho) một khóa học hình học trung học cẩn thận ( Tuy nhiên Nhiều sinh viên Không phải). Một trong số những mục đích (của) chúng ta trong lớp này sẽ sẽ xem xét những cách mà chúng tôi có thể giúp đỡ con cái tiến triển tới Một mức 2 hiểu của một số đề tài hình học quan trọng.

Ngang mức 3 (Suy diễn): những học viên Có thể xây dựng những sự chứng minh hình học tại một trung học level. Những học viên cần phải được phơi bày tới Suy diễn tại một Mức trường học- cao trước trong văn cảnh (của) Mức 2 thảo luận.(những thuộc tính nói với chúng ta rằng tất cả các hình vuông đều là những hình chữ nhật nữa là gì), trừ phi sự xem xét sơ cấp (của) mức 3 công việc sẽ không được bàn luận trong khóa học này.

Ngang mức 4 (Khắc nghiệt): những học viên Biết làm sao những sự chứng minh hình học và những khái niệm hợp với nhau để tạo ra cấu trúc chúng tôi gọi là geometry. Đây là mức mà đa số những khóa học hình học trường cao đẳng ((cho) các công ty lớn nhất math) được thiết kế.

Van Hiele Levels of Geometric Reasoning

The work of two Dutch educators, Pierre van Hiele and Dina van Hiele-Geldof, has given us a vision around which to design geometry curriculum.3 Through their research they have identified five levels of understanding spatial concepts through which children move sequentially on their way to geometric thinking.4 There are four characteristics of these levels of thought:

The Van Hiele levels of geometric reasoning are sequential. Students must pass through all prior levels to arrive at any specific level.

These levels are not age-dependent in the way Piaget described development.

Geometric experiences have the greatest influence on advancement through the levels.

Instruction and language at a level higher than the level of the student may inhibit learning.5

Below are listed the van Hiele levels and activities that would be appropriate for students at each level. Most students in grades K-3 will be at Level 1 (visualization) while students in grades 4-5 may be at Level 2 (analysis) and some possibly at Level 3 (informal deduction). It is important for elementary school teachers to provide their students with experiences that will help them move from Level 1 to Level 3 by the end of the eighth grade.

(Note that the five van Hiele levels are sometimes numbered 0-4, as opposed to 1-5, which is used in this document.)

1. Visualization

Students can name and recognize shapes by their appearance, but cannot specifically identify properties of shapes. Although they may be able to recognize characteristics, they do not use them for recognition and sorting.

Suggestions for instruction using visualization6

sorting, identifying, and describing shapes manipulating physical models seeing different sizes and orientations of the same shape as to distinguish

characteristics of a shape and the features that are not relevant building, drawing, making, putting together, and taking apart shapes.

2. Analysis

Students begin to identify properties of shapes and learn to use appropriate vocabulary related to properties, but do not make connections between different shapes and their properties. Irrelevant features, such as size or orientation, become less important, as students are able to focus on all shapes within a class. They are able to think about what properties make a rectangle. Students at this level are able to begin to talk about the relationship between shapes and their properties.

Suggestions for instruction using analysis

shifting from simple identification to properties, by using concrete or virtual models to define, measure, observe, and change properties

using models and/or technology to focus on defining properties, making property lists, and discussing sufficient conditions to define a shape

doing problem solving, including tasks in which properties of shapes are important components

classifying using properties of shapes.

3. Informal Deduction

Students are able to recognize relationships between and among properties of shapes or classes of shapes and are able to follow logical arguments using such properties.

Suggestions for instruction using informal deduction

doing problem solving, including tasks in which properties of shapes are important components

using models and property lists, and discussing which group of properties constitute a necessary and sufficient condition for a specific shape

using informal, deductive language ("all," "some," "none," "if-then," "what if," etc.)

investigating certain relationships among polygons to establish if the converse is also valid (e.g., "If a quadrilateral is a rectangle, it must have four right angles; if a quadrilateral has four right angles, must it also be a rectangle?")

using models and drawings (including dynamic geometry software) as tools to look for generalizations and counter-examples

making and testing hypotheses using properties to define a shape or determine if a particular shape is

included in a given set.

Note: Students usually do not reach Levels 4 and 5 until high school or college, but teachers should be aware of these levels nonetheless.

4. Deduction

Students can go beyond just identifying characteristics of shapes and are able to construct proofs using postulates or axioms and definitions. A typical high school geometry course should be taught at this level.

5. Rigor

This is the highest level of thought in the van Hiele hierarchy. Students at this level can work in different geometric or axiomatic systems and would most likely be enrolled in a college level course in geometry.

Implications of van Hiele for instruction

Geometry taught in the elementary school should be informal. Such informal geometry activities should be exploratory and hands-on, in order to provide children with the opportunity to investigate, to build and take apart, to create and make drawings, and to make observations about shapes in the world around them.7 This provides the basis for more formal activities at higher levels.

Teaching a geometry lesson at one van Hiele level when students are functioning at a

lower level may hinder student learning. For example, a teacher asks his or her students to play the "What am I?" game with properties of geometric figures, saying, "I have four sides and all of my interior angles are right angles. What am I?" To answer this question, a student must be functioning at Level 2 (analysis) in van Hiele's model of geometric reasoning.

If the students in this class are functioning at Level 1 (visualization), where they recognize a figure by its appearance, they will not be able to play the game. If students are at different levels in one class, the teacher must use differentiated instruction to meet the needs of all of his or her students.

Diagnostic assessment will help to determine the developmental level in geometry for each student.

Bai 3

Hiele mức Xe tải (của) Lý luận Hình học

Công việc (của) hai nhà giáo dục Pierre xe tải Hiele và Dina Hà lan chuyên chở bằng xe tải Hiele- Geldof, đã đưa cho chúng ta một sự nhìn xung quanh thiết kế chương trình học hình học nào. 3 Xuyên qua nghiên cứu của họ họ đã xác định năm mức của việc hiểu những khái niệm không gian mà Xuyên qua (cái) đó con cái di chuyển tuần tự trên cách của họ tới sự suy nghĩ hình học. 4 ở đó Bốn Đặc tính Của Này Mức Của Sự suy nghĩ :

Hiele mức Xe tải (của) lý luận hình học sequential. Những sinh viên phải đi qua sự xuyên qua đều trước những mức để đến tại bất kỳ mức đặc biệt nào. " Những mức này là không phải người sống bám tuổi trong cách mà Piaget mô tả sự phát triển.

Van Hiele Levels

Pierre van Hiele and Dieke van Hiele-Geldof, mathematics teachers from the Netherlands, observed their geometry students in the 1950's. They describe five levels of geometrical reasoning, which are sequential and hierarchical. Progress from one level to the next is more dependent on mathematical experiences than chronological age.

Level 0: Visual

DESCRIPTION

Recognize basic shapes by appearance without attention to parts, attributes, or properties

Refer to visual prototypes such as doors, balls, and signs

Đoán nhận những hình dạng cơ bản bởi vẻ ngoài không có sự chú ý tới những phần, những thuộc tính hay những thuộc tính.

Tham chiếu tới những nguyên mẫu trực quan như những cái cửa, những quả bóng và những dấu hiệu

SUGGESTIONS Examine examples and non-

examples Find "hidden" figures Rearranging into other shapes Tangrams Mosaic puzzle

Những gợi ý.

" Khảo sát những ví dụ và những không ví dụ.

" Tìm thấy\" được che giấu \ " Những hình.

" Việc thu xếp vào trong (kẻ) khác hình thành.

" Tangrams.

" Bài toán đố Khảm

Van Hiele Level 1

Level 1: Analysis

DESCRIPTION

Recognize and name properties but do not understand ordered relationships

Inability to consider an infinite variety of shapes

Cannot discern between necessary and sufficient properties

Sự Mô tả.Đoán nhận và đặt tên những thuộc tính nhưng không hiểu những mối quan hệ có trật tự.Sự Không có khả năng để xem xét một sự đa dạng vô hạn (của) những hình dạng.Không thể nhận rõ những thuộc tính giữa cần thiết và đủ

SUGGESTIONS Identify relationships by folding,

measuring, and looking for symmetry

Folding paper with a dot on it Fold and cut, predict shape Sorting and drawing Geoboards

Những gợi ý.

" Xác định những mối quan hệ bằng việc xếp lại, đo, và tìm kiếm sự đối xứng.

" Giấy Gấp với một của hồi môn trên nó.

" Nếp gấp và cắt, dự đoán hình dạng.

" Sự Chọn và vẽ.

" Geoboards

Level 2: ABSTRACT

DESCRIPTION

Properties are logically ordered

Meaningful definitions and informal arguments

SUGGESTIONS Express relationships verbally Learn technical language Dot arrays and grids Open-ended tasks

Sự Mô tả.

Những thuộc tính (thì) hợp lý được ra lệnh.

Những định nghĩa và những lý lẽ không hình thức Đầy ý nghĩa

Những gợi ý." Biểu thị những mối quan hệ bằng lời nói." Học ngôn ngữ kỹ thuật." Đánh dấu chấm những mảng và những lưới." Những nhiệm vụ có tính chất mở

Level 3:DEDUCTION

DESCRIPTION

Deduction of sufficient conditions and equivalent definitions

Suy diễn (của) những điều kiện đủ và những định nghĩa tương đương

SUGGESTIONS Drawings and constructions Construct proof

" Những bản vẽ và những xây dựng.

" Sự chứng minh Cơ cấu

Level 4: RIGOR

DESCRIPTION

Rigor in foundations and interrelationships

Indirect proof and proof by

Sự Khắc nghiệt trong những nền tảng và những sự quan hệ lẫn nhau.Phép chứng minh gián tiếp và sự chứng minh Bởi Trái ngược contrapositive

SUGGESTIONS High abstraction level Rigorous formal proof Compare mathematical systems and

non-Euclidean systems

" Mức trừu tượng hóa Cao.

" Chứng minh hình thức Nghiêm khắc.

" Những hệ thống toán học So sánh và những không Euclidean hệ thống

O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA METODOLOGIA VAN HIELE:

UMA EXPERIÊNCIA

ADRIANA CLARA HAMAZAKIadrianahamazaki@ig.com.br

Orientadora: Profª Mestre Dumara Coutinho Tokunaga SameshimaUNIVERSIDADE GUARULHOS

GRUMAM – Grupo de Pesquisa em Educação Matemática

ResumoOs Parâmetros Curriculares Nacionais propõem o ensino da geometria, mas este objetivo não vem

sendo alcançado.

Proponho uma alternativa para o ensino da Geometria baseado no Método van Hiele, cujo modelo

consiste na valorização da aprendizagem como um processo gradual, global e construtivo. Gradual,

porque considera que a intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são obtidos gradualmente. Global,

porque figuras e propriedades não são abstrações isoladas, inter-relacionam-se pressupõem diversos

níveis que levam a outros significados. Construtivo, porque pressupõem que não existe transmissão de

conhecimentos, mas que o aluno deverá construir ele próprio os seus conceitos (Serrazina, 1996).

No Brasil o trabalho dos van Hiele não recebeu o devido reconhecimento. Motivada pela

curiosidade de conhecer suas aplicações é que dedico esta pesquisa à aplicação do Método dos van Hiele

em turmas ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática como tentativa para suprir o necessário

conhecimento da Geometria.

O ensino de Geometria no Brasil permanece no nível inicial, onde os alunos julgam que o

quadrado não é retângulo só porque possuem aparências diferentes (Lorenzato, 1995).

Será possível ensinar Geometria através da intuição e do raciocínio de forma que os alunos

construam seus próprios conceitos geométricos?

Introdução

Os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem para o ensino da geometria, que o aluno

desenvolva a compreensão do mundo em que vive, aprendendo a descrevê-lo, representá-lo e a se

localizar nele, estimulando ainda a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, a identificar

regularidades, compreender conceitos métricos, e permitir o estabelecimento de conexões entre a

Matemática e outras áreas do conhecimento; porém este objetivo não está sendo realizado por diversas

razões, tais como o tema geometria estar normalmente no final dos livros didáticos, a falta de preparo do

professor em geometria, detectada após o movimento da Matemática Moderna no Brasil, onde a Álgebra

é mais enfatizada.

Devemos citar ainda a importância da Geometria na formação acadêmica dos alunos; em relação à

própria Matemática, por facilitar a compreensão de conteúdos que de forma geral auxiliam

significativamente na aprendizagem de outras disciplinas como a Física, Química, Geografia.

No contexto profissional a importância da Geometria só é reconhecida nas profissões onde se faz

necessária a utilização da mesma. Como exemplo podemos citar Engenharia, Arquitetura, Desenho, a

Geometria aparece na forma de habilidades em profissões onde sua aplicação é menos formal: costureira,

mestre de obras, coreógrafo, desportista, manobrista, etc.

Em relação à potencialidade da geometria como conhecimento, Freudenthal1, se expressa da

seguinte maneira:

“A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender

matematizar a realidade. É uma oportunidade de fazer descobertas como muitos

exemplos mostrarão. Com certeza, os números são também um domínio aberto às

investigações, e pode-se aprender a pensar através da realização de cálculos, mas as

descobertas feitas pelos próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes.

Até que possa de algum modo ser dispensadas, as formas no espaço são um guia

insubstituível para a pesquisa e a descoberta.”

Segundo projeto de pesquisa realizado pela PUC-SP:

“A geometria é um ramo importante tanto como objeto de estudo como instrumento

para outras áreas. No entanto, os professores do ensino fundamental apontam a

geometria como um dos problemas de ensino/aprendizagem  e quando solicitados a

indicar os cursos de extensão que gostariam fazer, em sua maioria, indicam um curso

de geometria. O diagnostico dessa situação vem sendo discutido nos meios acadêmicos,

1 FREUDENTHAL, Hans. Mathrmatics as an educational task.Dordrecht::Reidel,1973,p.407 apud FONSECA, Maria da

Conceição F. R. et al. O ensino de geometria na escola fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos

iniciais. Belo Horizonte, Autêntica, 2001.

em alguns segmentos da sociedade e inclusive, em algumas instancias governamentais.

A Secretaria de Ensino Fundamental do MEC colocou em discussão nacional,

Parâmetros curriculares e aponta a necessidades de revisão na formação de

professores para a efetiva implantação de novas alternativas2“.

Baseando-se em todas as afirmações anteriores proponho uma alternativa para o ensino de

Geometria baseado na contribuição do casal van Hiele.

É importante citar que sob a orientação do educador matemático Hans Freudenthal, o casal van

Hiele pesquisou o ensino da Geometria com alunos de 12 e 13 anos, enfatizando a manipulação de figuras

(Lorenzato, 1995).

“O Modelo de van Hiele, que concebe diversos níveis de aprendizagem geométrica (ou

níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico) com as seguintes características:

no nível inicial (visualização), as figuras são avaliadas apenas pela sua aparência, a

ele pertencem os alunos que só conseguem reconhecer ou reproduzir figuras (através

das formas e não pelas propriedades); no nível seguinte (análise) os alunos conseguem

perceber características das figuras e descrever algumas propriedades delas; no outro

nível (ordenação), as propriedades das figuras são ordenadas logicamente (inclusão) e

a construção das definições se baseia na percepção do necessário e do suficiente. As

demonstrações podem ser acompanhadas, memorizadas, mas dificilmente elaboradas.

Nos dois níveis seguintes estão aqueles que constroem demonstrações e que comparam

sistemas axiomáticos3”.

Resumindo, os van Hiele descreveram um modelo de aprendizagem fundamentado numa visão

que valoriza a aprendizagem da Geometria como um processo gradual, global e construtivo. Gradual,

porque considera que a intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são obtidos gradualmente. Global,

2 PROJETO: FENÔMENOS DE ENSINO APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA Projeto PUC/SP – FAPESP

3 LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? A educação matemática em revista.

Geometria. Blumenau, número 04, p.03-13, 1995. Edição especial.

porque figuras e propriedades não são abstrações isoladas, inter-relacionam-se e pressupõem diversos

níveis que levam a outros significados. Construtivo, porque pressupõem que não existe transmissão de

conhecimentos, mas que o aluno deverá construir ele próprio os seus conceitos(Serrazina, 1996).

Verificar se o Método dos van Hiele se mostra como uma metodologia alternativa no ensino da

Geometria em processos de intervenção.

Pelo fato de no Brasil o trabalho dos van Hiele não ter recebido o devido reconhecimento e

motivada pela curiosidade de conhecer sua aplicações é que dedico esta pesquisa à aplicação do Método

dos van Hiele em turmas ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática como tentativa para suprir

o necessário conhecimento da Geometria.

O ensino de Geometria no Brasil permanece no nível inicial, onde os alunos julgam que o

quadrado não é retângulo só porque possuem aparências diferentes (Lorenzato, 1995).

Desenvolvimento e discussão

A metodologia aplicada será por meio das Atividades Complementares conforme exigência da

atual legislação para cursos de licenciatura, na forma de aulas presenciais, onde serão aplicadas atividades

para o desenvolvimento do raciocínio em geometria pelo Método dos van Hiele, que deve seguir os

seguintes níveis:

Nível dos van Hiele Características Exemplo

1º Nível

Reconhecimento

Reconhecimento,

comparação e nomenclatura

das figuras geométricas por

sua aparência global.

Classificação de recortes de

quadriláteros em grupos de

quadrados, retângulos,

paralelogramos, losangos e

trapézios.

2º Nível

Análise

Análise das figuras em

termos de seus

componentes,

reconhecimento de suas

Descrição de um quadrado

através de propriedades: 4

lados iguais, 4 ângulos retos,

lados opostos iguais e

propriedades e uso dessas

propriedades para resolver

problemas.

paralelos.

3º Nível

Abstração

Percepção da necessidade de

uma definição precisa, e de

que uma propriedade pode

decorrer de outra;

Argumentação lógica

informal e ordenação de

classes de figuras

geométricas.

Descrição de um quadrado

através de suas propriedades

mínimas: 4 lados iguais, 4

ângulos retos.

Reconhecimento de que o

quadrado é também um

retângulo.

4º Nível

Dedução

Domínio do processo

dedutivo e das

demonstrações;

Reconhecimento de

condições necessárias e

suficientes.

Demonstração de

propriedades dos triângulos

e quadriláteros usando a

congruência de triângulos.

5º Nível

Rigor

Capacidade de compreender

demonstrações formais;

Estabelecimento de

teoremas em diversos

sistemas e comparação dos

mesmos.

Estabelecimento e

demonstração de teoremas

em uma geometria finita.

Desenvolvimento de atividades em aulas presenciais, com os seguintes conteúdos e objetivos:

Conteúdos Atividades Objetivos

Quadriláteros

1

e

2

- Diferenciar figura geométrica plana de sólido

geométrico;

- Observar as semelhanças e diferenças entre os

pares de figuras e de sólidos.

3 - Classificar os quadriláteros.

4 - Identificar propriedades características dos

diferentes tipos de quadriláteros.

5 - Observar que alguns tipos de quadriláteros têm

propriedades em comum.

6 - Concluir que há propriedades mínimas para

descrever os diferentes tipos de quadriláteros.

7 - Reconhecer figuras geométricas, através de

seus elementos.

8 - Identificar figuras geométricas através de

propriedades específicas.

9 - Reconhecer as figuras geométricas que fazem

parte do Tangram, e identificar suas

propriedades através de seu manuseio. A idéia

de conservação de área deverá ser dominada.

Isometrias

1 - Conceituar eixo de simetria.

2 - Reconhecer eixos de simetria de figuras e

letras.

3 - Conceituar a transformação de reflexão e suas

propriedades.

4 - Determinar a imagem de figuras através de

uma reflexão.

Isometrias 5 - Conceituar a transformação de translação e

suas propriedades.

6 - Determinar a imagem da figura através de uma

translação.

7 - Conceituar a transformação de rotação e suas

propriedades.

8 - Diferenciar os sentidos horário e anti-horário

da rotação;

- Determinar a imagem de figuras de uma

rotação.

9 - Diferenciar e comparar as três isometrias

estudadas.

Congruência

De

Figuras

- Reconhecer e definir figuras congruentes;

- Destacar as condições necessárias para a

congruência de duas figuras planas;

- Identificar elementos correspondentes em

figuras congruentes.

Construção e

Congruência de

Triângulos

- Explorar a construção de triângulos;

- Observar sob que condições um triângulo fica

bem determinado;

- Concluir os três casos de congruência de

triângulos.

Semelhança

- Construir o conceito de semelhança de figuras,

através da homotetia;

- Reconhecer polígonos semelhantes;

- Identificar propriedades de polígonos

semelhantes.

Semelhança de

Triângulos

- Identificar as condições necessárias e

suficientes para a semelhança de polígonos e

triângulos;

- Identificar propriedades de triângulos

semelhantes.

Teorema de

Pitágoras

- Deduzir o Teorema de Pitágoras e as relações

métricas no triângulo retângulo, através da

semelhança de triângulos, usando recortes e

dobraduras;

Considerações finais

Como resultado final espera-se a elaboração de uma proposta de intervenção pedagógica para o

ensino da Geometria aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Guarulhos.

Com uma nova proposta de intervenção pedagógica para o ensino da Geometria, os professores

terão mais uma opção em material didático para ministrar suas aulas, com o objetivo de facilitar o

esquema ensino-aprendizado.

Até o presente momento, os alunos da graduação, se mostram muito interessados em desenvolver

(aprender) geometria segundo a metodologia do casal van Hiele.

Referências bibliográficas

FONSECA, Maria da Conceição F. R. et al. O ensino de geometria na escola fundamental: três

questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte, Autêntica, 2001.

RAUBER, Jaime José (Coord.); SOARES, Marcio (Coord.). Apresentação de trabalhos científicos:

normas e orientações práticas. Passo Fundo, UPF, 2003.

SEVERINO, Antônio Joaquim. Metodologia do trabalho científico. 22.ed. São Paulo, Cortez, 2002.

PROJETO: Fenômenos de ensino aprendizagem da geometria.

Projeto PUC/SP – FAPESP

PIRES, Célia Maria C. et al. Espaço & forma : a construção de noções geométricas pelas crianças

das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo, Proem, 2000.

NASSER, Lílian (Coord.); SANT’ANNA, Neide P. (Coord.). Geometria segundo a teoria de van

Hiele. Rio de Janeiro, Projeto Fundão IM/UFRJ, 2000.

LOPES, Maria Laura M. Leite (Coord.); NASSER, Lílian (Coord.).Geometria: na era da imagem e do

movimento. Rio de Janeiro, Projeto Fundão IM/UFRJ, 1996.

SERRAZINA, Maria de Lurdes; MATOS, José Manuel. Didáctica da matemática.Portugal,

Universidade Aberta, 1996.

LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? A educação matemática em revista.

Geometria. Blumenau, número 04, p.03-13, 1995. Edição especial.

The Problem of Transition Across Levels in the van Hiele Theory of Geometric Reasoning

Steve C Perdikaris

Technological Educational Institute of Messologi

Messologi 30 200, Greece

E-mail:sperd@teimes.gr

The most outstanding characteristic of the van Hiele theory of geometric reasoning (Hoffer, 1983;

Perdikaris, 1994; van Hiele,1986) is perhaps the relationship between the levels of reasoning, a

hierarchical sequence of levels of cognitive development, and the phases of learning, a cyclical sequence

of stages of learning within levels.

The levels of reasoning constitute a description of the ways of student reasoning in Euclidean geometry.

Students can progress through five levels of increasing structural complexity hierarchically. A higher

level contains all knowledge of any lower level and some additional knowledge that is not explicit at the

lower levels. Each level appears as a metatheory of the previous one (Freudenthal, 1973).

The phases of learning constitute a prescription for organising learning that helps students to pass from

the current level to the next one. The phases are: inquiry, directed orientation, expliciting, free orientation

and integration. According to van Hiele (1986), this functor (Hoffer, 1983) is the transition mechanism

that prompts the transition to the next level.

The transition mechanism proposed by van Hiele does not involve any epistemologically sound

prescriptive procedures for managing the uncertainty available. Besides, it does not imply any measure of

uncertainty that will operationalise prescriptive procedures so that they will be useful in praxis.

During the van Hiele process, students use linguistic terms and concepts that are inherently ambiguous

and hence their geometric reasoning constitutes a source of conflict. It is this conflict that plays a central

role in the transition. Since conflict is a type of uncertainty, it is ultimately connected with information,

that is, any reduction of conflict is an equal gain of information (Klir, 1995).

Two epistemologically sound prescriptive procedures, the principle of maximum uncertainty and the

principle of minimum uncertainty (Klir, 1995), are intuitively used, as useful principles of wisdom, to

manage the conflict involved in the integration phase at any van Hiele level. Thus, an appropriate

generalisation, that produces the transition, can be chosen. Then a measure of possibilistic uncertainty is

used to operationalise the principles of uncertainty by calculating the conflict of each of three student

groups, with the same mathematical background, in the work of Gutierrez, Jaime and Fortuny (1991).

These values of conflict are used to compare the geometric information of the student groups and thus

explain why they had acquired different van Hiele levels in a geometric task.

Managing the conflict

Student reasoning, in the integration phase at a van Hiele level, must employ all available information of

the level but no additional information (Hoffer, l983; van Hiele, 1986) to call into being inferences. That

is, the inferences should be based on all relevant information contained in the available evidence. These

inferences imply conclusions for formulating an appropriate generalisation that produces the transition to

the next level.

However, students may use ampliative reasoning that involves ampliative inferences whose content is

beyond the available evidence and hence conclusions not entailed in the given premises. Any information

not supported by evidence is unwarranted on epistemological and pedagogical grounds and must be

avoided. The proper way of dealing with this is to use the principle of maximum uncertainty. This

principle requires that conclusions resulting from any ampliative inference maximise the relevant conflict

(or minimise the relevant information) subject to constraints expressed by the premises. Thus, an

appropriate generalisation is chosen (or constructed) whose amount of information does not exceed the

amount of information in the level of functioning and the transition to the next level is attained.

The principle of maximum uncertainty may be violated and this will invariably lead to conflict in the

conclusions, that is, contradictions either between the data and the conclusions or between different

possible conclusions. These conclusions may produce a generalisation whose amount of information will

exceed the amount of information in the level of functioning, that is, an overgeneralisation.

The appearance of conflict in the conclusions requires that the conclusions be appropriately adjusted so

that the resulting generalisation is free of conflict. It is likely that some information, contained in the

conclusions, is lost by these adjustments. This is undesirable and must be avoided. Hence, the loss of

information should be minimised. The principle of minimum uncertainty is used to facilitate the selection

of only those adjustments for which the total loss of information (or total gain of conflict) is minimal. The

principle quarantees that conflict resolution is achieved with minimum information loss. Thus, a

generalisation is chosen (or constructed) that is free of conflict and the transition to the higher level is

attained.

Measuring the conflict

Gutierrez et al. (1991) evaluated the acquisition of the van Hiele levels in a geometric task. Their sample

consisted of 50 students in groups A, B and C with 20, 21 and 9 students respectively. The authors

summarised the various degrees of acquisition of the levels and tabulated the number of students attaining

degrees of acquisition of each level in Table 1.

Table 1

Number of students attaining degrees of acquisition of each van Hiele level (Adopted from Gutierrez et al. (1991))

    Degree of acquisition

Group van Hiele level

No Low Intermediate High Complete

A I 0 0 0 0 20

A II I 0 3 6 10

A III 2 3 6 6 3

Β I 0 0 1 2 18

Β II 0 3 4 13 1

Β III 9 6 5 1 0

C I 0 2 4 2 1

C II 3 4 2 0 0

C III 9 0 0 0 0

The attributes, acquisition of Level 1, acquisition of Level 2 and acquisition of Level 3 are observed.

These attributes can be expressed in terms of the variables v1, v2 and v3, respectively. Each variable has

five states that may represent fuzzy sets (Klir & Folger, 1988; Perdikaris, 1996b) whose linguistic labels,

no, low, intermediate, high and complete, can be represented by a, b, c, d and e respectively. It should be

noted that only the first three van Hiele levels are considered since the higher levels rarely appear in

secondary classrooms. Membership degrees of fuzzy sets (Klir & Folger, 1988) corresponding to these

linguistic labels may be found by the following method of mathematical psychology (Klir & Folger,

1988; Perdikaris, 1996a).

The fuzzy data for the three variables, each with five states (values, labels) is shown in Table 2.

Observations are distinguished by the student groups A, B and C. Each observation consists of three 5-

tuples of membership degrees, one 5-tuple for each variable and one membership degree for each fuzzy

set. For group A, for example, the membership degree of fuzzy set d of variable v2 is 6/20. This means

that 6 of the 20 students had high acquisition of van Hiele Level 2.

Table 2

Fuzzy data of three variables each with five states

      A B C

v1= {a 0 0 0

b 0 0 2/9

c 0 1/21 4/9

d 0 2/21 2/9

e 1 18/21 1/9

v2= {a 1/20 0 3/9

b 0 3/21 4/9

c 3/20 4/21 4/9

d 6/20 13/21 0

e 10/20 1/21 0

v3= {a 2/20 9/21 1

b 3/20 6/21 0

c 6/20 5/21 0

d 6/20 1/21 0

e 3/20 0 0

Research (Gutierrez et al., 1991) has shown that students used several levels of reasoning at the same time

during a geometric task. Thus, an overall system is more appropriate in the treatment of fuzzy data. It is

observed that the sample involves relatively few data and nonrandom and unpredicted variation in

behaviour. This implies that the conflict involved in the van Hiele process is possibilistic in nature and

consequently possibility distributions (Klir & Folger, 1988) can be used in this analysis. This is

reinforced by Shackle (1961,1979) who argues that human reasoning can be formalised more adequately

by possibility theory than probability theory. The possibility distribution estimates of the overall system,

for each student group, are found using Table 2 and shown in Table 3.

Consider, for example, the overall state (e d c) in Table 3. This overall state indicates that students have

achieved complete acquisition of level 1, high acquisition of Level 2 and intermediate acquisition of

Level 3 in the geometric task. The membership degree of (e d c), for student group A, is

mA(e d c)=(1)(6/20)(6/20)

=0.090

where 1 is the membership degree of fuzzy set e: complete acquisition of Level 1, 6/20 is the membership

degreee of fuzzy set d: high acquisition of Level 2 and 6/20 is the membership degree of fuzzy set c:

intermediate acquisition of Level 3.

Table 3

Possibility distribution estimates derived from fuzzy data

v1v2v3 mA rA mB rB mC rC

s= e e e0.075 0.500 0 0 0 0

e e a0.050 0.333 0.017 0.075 0 0

e e b0.075 0.500 0.012 0.053 0 0

e e c0.150 1 0.010 0.044 0 0

e e d0.150 1 0.002 0.009 0 0

e d a0.030 0.200 0.227 1 0 0

e d b0.045 0.300 0.150 0.660 0 0

e d c0.090 0.600 0.126 0.555 0 0

e a a0.005 0.033 0 0 0.040 0.200

e b a0 0 0.052 0.229 0.050 0.250

e c a0.015 0.100 0.070 0.308 0.025 0.125

e c b0.023 0.153 0.047 0.207 0 0

e b b0 0 0.035 0.154 0 0

c a a0 0 0 0 0.150 0.750

c b a0 0 0.003 0.011 0.200 1

d a a0 0 0 0 0.074 0.370

d b a0 0 0.006 0.026 0.100 0.500

b a a0 0 0 0 0.074 0.370

b b a0 0 0 0 0.100 0.500

c c a0 0 0.004 0.018 0.100 0.500

e c c0.045 0.300 0.038 0.167 0 0

e c d0.045 0.300 0.008 0.035 0 0

e d d0.090 0.600 0.025 0.110 0 0

e d e0.045 0.300 0 0 0 0

d d a0 0 0.025 0.110 0 0

e b c0 0 0.029 0.128 0 0

e a b0.008 0.053 0 0 0 0

e c e0.023 0.153 0 0 0 0

e a c0.015 0.100 0 0 0 0

e a d0.015 0.100 0 0 0 0

e a e0.008 0.053 0 0 0 0

d b b0 0 0.004 0.018 0 0

d b c0 0 0.003 0.013 0 0

d c a0 0 0.008 0.035 0.049 0.245

d e b0 0 0.005 0.022 0 0

d e c0 0 0.004 0.018 0 0

d d b0 0 0.017 0.075 0 0

d d c0 0 0.014 0.062 0 0

d d d0 0 0.003 0.013 0 0

d e a0 0 0.002 0.009 0 0

d e b0 0 0.001 0.004 0 0

d e c0 0 0.001 0.004 0 0

b c a0 0 0 0 0.050 0.250

e b b0 0 0.001 0.013 0 0

c b c0 0 0.002 0.009 0 0

c c b0 0 0.003 0.011 0 0

c c c0 0 0.002 0.009 0 0

c d a0 0 0.011 0.057 0 0

c d b0 0 0.008 0.035 0 0

c d c0 0 0.007 0.031 0 0

c d d0 0 0.001 0.004 0 0

The possibility of (e d c), for student group A, is

RA(e d c)=0.090/0.150

               =0.600

where 0.090 is the membership degree of (e d c) and 0.150 is the maximum membership degree of the

overall states of group A. The membership degrees and the corresponding possibilities of (e d c), for

student groups B and C, have been found in a similar manner.

The values of student group conflict can be found by using the strife function (Klir & Wierman, 1998)

on the ordered possibility distribution of each student group, l=r1≥r2≥…≥rn

The ordered possibility distribution for student group A, in Table 3, is

rA = (1, 1, 0.600, 0.600, 0.500, 0.500, 0.333, 0.300, 0.300, 0.300, 0.200, 0.153, 0.153, 0.100, 0.100, 0.100,

0.053, 0.053, 0.033, 0, ... , 0)

where ri≥ri+l. Then the strife function gives ST(rA)=0.490.

Thus, the conflict of student group A is 0.490 and, in a similar manner, the conflicts of student groups B

and C are 0.550 and 0.570 respectively.

Conclusions

Student group A has the least conflict of all student groups and hence the most geometric information.

This justifies why student group A had acquired higher van Hiele levels than groups B and C in the

experimental results (Gutierrez et al.,1991) shown in Table 1. The same can be said for group B in

relation to group C.

This work is the first scientifically based exegesis of the mechanism that prompts the transition from a

lower to a higher level in the van Hiele theory of geometric reasoning. It improves van Hiele's transition

mechanism by using results from the uncertainty-based information theory (Klir and Wierman, 1998) to

control and measure the conflict involved during the transition to higher levels.

The procedure in this paper will improve arguments about transition mechanisms in other models of

development, for exampie, the SOLO taxonomy (Biggs and Collis, 1982), the theory of cognitive

development (Case, 1980) and the classical Piagetian theory. Besides, future research results, which may

appear from applications of the strife measure on developmental models, will probably establish this

measure as a viable measure in developmental psychology and education.

It is possible that motivation, cognitive abilities and other variables play a role in the transition to a higher

level. However, considering the state of existing knowledge, the best that can be said is that these

variables remain fixed in any particular situation or should be considered as a useful background against

which the answers to the question of transition are observed.

References

Biggs, J.B. and Collis, K.F.(1982) Evaluating the Quality of Learning: The SOLO Taxonomy (Structure

of the Observed Learning Outcomes). New York: Academic Press.

Case, R. (1980) The Underlying Mechanism of Intellectual Development. In J. Kirby and J. Biggs (Eds),

Cognition, Development, and Instruction. New York: Academic Press.

Freudenthal, H. (1973) Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: D. Reidel.

Gutierrez, A., Jaine, A. and Fortuny, J.K.(1991) An Alternative Paradigm to Evaluate the Acquisition of

the van Hiele Levels, Journal for Research in Mathematics Education, 22, 237-251.

Hoffer, A. (1983) van Hiele-Based Research. In R. Lesh and M. Landau (Eds), Acquisition of Concepts

and Processes. New York: Academic Press.

Klir,G.J.(1995) Principles of Uncertainty: What are they? Why do we need them?, Fuzzy Sets and

Systems,74,15-31.

Klir,G.J. and Folger,T.A.(1988) Fuzzy Sets, Uncertainty, and Information. London: Prentice-Hall

International.

Klir,G.J. and Wierman,M.J.(1998) Uncertainty-Based Information: Elements of Generalized Information

Theory. Heidelberg: Physica-Verlag.

Perdikaris,S.C.(1994) Markov Chains and van Hiele Levels: A Method of Distinguishing Different Types

of Students' Geometric Reasoning Processes, International Journal of Mathematical Education in Science

and Technology, 25, 585-589.

Perdikaris, S.C.(1996a) Mathematizing the van Hiele Levels: A Fuzzy Set Approach, International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 27, 41-47.

Perdikaris, S.C. (1996b) A Systems Framework for Fuzzy Sets in the van Hiele Theory of Geometric

Reasoning, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 27,273-278.

Shackle, G.L.S. (1961) Decision, Order and Time in Human Affairs. Cambridge: Cambridge University

Press.

Shackle, G.L.S. (1979) Imagination and the Nature of Choice. Edinburgh: Edinburgh University Press.

van Hiele, P.M. (1986) Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Orlando,Florida:

Academic