5 . Theovetische Untereuchungeiz iiber eZast$sche Korpes.; von Paui? G l a n .

I. Ueber Geetalteiinderungen.

Es so11 zuerst eine s t e e p Gestahunderung eines Korpers in Betracht gezogen werden, bei der aneinander liegende Theile desselben vor ihrem Eintritt es auch bleiben nach derselben. Durch sie wird also der Korper an keinem seiner Theile zer- rissen oder zerdriickt. Die Verriickung der Theile desselben wiihrend der betrachteten stetigen Gestaltsanderung muss d a m sich stetig andern mit ihrer Lage im Raume vor Beginn der- selben. Ich will den Einfluss einer solchen Gestaltsanderung auf einen sehr kleinen Theil des Iiorpers untersuchen. Es sei w der Vector eines Punktes P eines solchen unendlich kleinen Theils in Bezug auf einen beliebig gewahlten Anfangspunkt 0 der Vectoren, dann ist der Vector irgend eines anderen Punktes P' dieses Theils w + dw, wenn dw ein unendlich kleiner, mit der Lage von P wechselnder Vector ist. Der Vector von P nach der stetigen Gestaltsanderung sei p, das wird dann eine stetige Function von w sein, und wir konnen schreiben:

@=Tow, in welcher Gleichung cp das Zeichen fur eine vector Function ist. Nun ist cp (GI + d o ) , weil sich Q stetig mit w andert, un- endlich wenig von Q. w verschieden, folglich in hoherer Ordnung

do [ Y (0 + <) -T@]r unendlich klein, wenn n der Unendlichkeit zustrebt. Also ist

oder d y w , jedenfalls nicht uneiidlich gross anzunehmen. Es kann deshalb cp (o + d o ) nach Taylors Satz fur Quaternionen entwickelt werden, wenn die Entwickelung nur bis zu dem ersten Differential von ym fortgefuhrt wird, und wir haben

S ~ ( W + do]) = Y Q + d e w & .

h’lastische Korper. 303

Es ist hier von mir dem Differentiale dyco der Index d o an- geftigt, der das Differential der vector Variabeln o bezeichnet, weil der Werth von d y o von dem Werthe des Differentials d w der unabhangigen vector Variabeln o abhangt und durch diesen bestimmt wird. Aus dem Vector d o , oder PP, vor der behandelten Gestaltsanderung wird also der Vector

wenn sie ausgeftihrt worden ist. Ich will zunachst die Veranderung einer sehr kleinen

geraden Linie von P aus untersuchen. Eine solche erhalt man, wenn man wahlt d w = x wl, in welcher Gleichung w ein con- stanter Einheitsvector und x ein unendlich kleiner variabler Scalar ist. Aus d o wird dann d y m , , oder - nach einer be- kannten Eigenschaft der Differentiale von quaternion Func- tionen - x d y ow, . den constanten Werth des Vectors von P und xdyco,,, ist eine unendlich kleine gerade Linie des Korpers von - im allgemeinen - anderer Rich- tung und anderem Anfangspunkte im Raurne als d o . Mithin bleiben bei einer stetigen Gestaltsanderung sehr Rleine gsrade Linien des Korpers solche.

Ftir eine sehr kleine parallele Linie zu der eben betrach- teten haben wir d w = x o l + E , wenn E ein sehr kleiner con- stanter und nicht paralleler Vector zu w1 ist.

weil das Differential einer quateruion Function distributiv in Bezug nuf das Differential der unabhiingigen Variabeln ist. Der letztere Vector ist jedoch offenbar eine Gerade, welche parallel x d y w w l ist. Also bleiben sehr nahe und sehr RZeine gerade Linien bei einer stetigen Gestaltsanderung gerade und parallel.

Die Verschiebung eines Punktes der Linie x w l soweit sie eine Gestaltsanderung bewirkt, eines Punktes, der urn die Lange x von P absteht, ist x (d y ow, - ol); ich will eine solche Veranderung eine schi4winklige Gestaltsanderung nennen.

Der Vector x w l + E erfahrt in entsprechenden Punkten, das heisst in solchen, die ebenfalls um x von seinem Anfangs- punkte entfernt sind, dieselbe Verschiebung und mithin die gleiche schiefwinklige Gestaltsanderung.

[y(m + ‘lo)-yow], oder d y c d d w ,

Hier hat

Dann ist

d q ~ d w = d y ~ z w , + e = x d y wwl f d v ,

304 P. Glan.

Da, abgeselien von einer parallelen Verschiebung ohne Drehung, aus der materielleii Linie x w I die Linie r d y w,, wird, und da

ist, stellt die schiefwinklige Gestaltsanderung eine Behnmq vom Betrage (Tdyw,, - 1) znd eine Brehiing urn den Winkel

d 9 0 w L --' w 1

dar. Da sehr nahe und sehr kleine gerade Linien bei einer stetigen Gestaltsanderung dieselbe schiefwinklige Gestaltsanderung er- leiden, erfahren sie yleiche Dehrnyen iind Brehungen.

Nehmen wir d o = X W ~ +y(02,

in welcher Gleichung w1 und w2 zwei nicht parallele Einheits- vectoren und x uncl y zwei unendlich kleine variable Scalars sind, so liegen die Endpunkte von do auf einem sehr kleinen Stuck einer Ebene durch P. In diesem Falle wird

C ~ ( W + d w ) - ~ ( 0 ) = x d y w , , + ~ d y ~ ~ ~ . Diese Gleichung stellt den Vector eines Punktes dieses ebenen Stiicks in Bezug auf P als Anfangspunkt nach der stetigen Gestaltsanderung dar, und sein Errdpunkt bildet danach ein sehr kleines ebenes Stuck durch die constanten und nicht- parallelen Vectoren d y w,, und d y w,*. Mithin bleibt bei einer stetigen Gestaltsunderung ein sehr kleines ebenes Stiick eines KOr- pers ein solches. Es kann dabei parallel zu seiner Anfmgslage verschoben und gedreht und im Abstand seiner einzelnen Punkte geandert sein.

Wahlen wir d w = a: w1 + y m2 + E ,

in welcher Gleichung die Buchstaben der rechten Seite die gleiche Bedeutung hnben sollen, welche sie kurz zuvor hatten,

Elastisch e Korper . 305

so ist der Ort des Endpunktes von dcd, ein sehr kleines. dem eben betrachteten paralleles Stuck einer Kbenc irn Korper. Dann erhalten wir

y (co + d ro) - y ro = .r d y w,,, + ?J d y Ein Vergleich niit dein vorletzteii Ausdruck fir

+ d me .

[ff (., + t l fU) - y w]

zeigt, cla d yw. ein constanter, weder zu d y f i )w, noch zu d y w, paralleler Vector ist , dass bei einer stethen Gestaltsiinderuny sehr kleine und sehr nahe parallele Ebenenstiicke in einem Kiirper es bleibcn. Oder, wie wir es nuch ausdrucken konnen, ein sehr kleines und sehr nahes Ebene~ipaar in einem h-orper bleibt l e i einer stetzyen Gestaltsiinderunr/ ein solcltes.

Ein kleiner Wurfel in der Siibstanz wird durcli drei sehr kleine und sehr nshe parallele Ebenenpaare begrenzt. Wird der Korper einer stetigen Gestaltsanderung unterworfen , so bleibt also dieser Wiirfel ein Korper, der durch drei parallele Ebenenpaare begrenzt wird. Die Form desselben wird also irn allgemeinen ein schiefwinkliges Parallelepiped sein. Folglich wird aus einem selir kleinen Wiirfel in einem Kiirper l e i einer stetigen Gestaltsanderuny desselben ein schiefwinkliyes Parallel- epiped.

Ein Punkt dieses Wiirfels, dessen Vector or der stetigen Gestaltsanderung w + dw ist, hat nacli derselben den Vector

Y ( ( O + dw)= Y G J + . T ~ ~ ~ O ) , , , , + ? ~ d ~ w ~ , ? + = d f p w W , ,

wenn

ist. Oder es ist (1 w = x o1 + ?J 102 + z w3

ip (GJ + d co) = ilt + d GJ + (y o - o) - (d y o ) ~ , - 0,).

8 6 3 d w - ((1 y io,? - w2)s w2 d - (d (1 cog - w3) 8 o3 d ni.

Uie Yeranderung, welche ein sehr kleiner N'urfel in einem Korper bei einer steti'en Gestaltsanderullg erleidet, besteht danuclt aus einer geradliniyeti Verschieburiy, - hier (y (o - w ) - die f u r alle seine Punkte die yleiche ist, und aus drei gleichzeitigen schief- winkhgen Gestultsandminyen.

Ein besonderer Fall einer schiefwinkligen Gestaltsande- ruiig ist es, wenn die Richtung der Verschiebung mit derjenigen

Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. 55. 20

306 P. Glan.

der Linien iibereinstimmt , welche sie erleiden. Eine solche Gestaltsanderung nenne ich eine Behnung. Eine Linie erfahrt eine solche, wenn jeder Punkt derselben eine Verschiebung in ihrer Richtung erleidet, welche proportional seinem Abstande yon einem festen Punkte 0 desselberi ist. Sie ist vollstandig bestimmt, wenn der Vector e der Verschiebung fur den Punkt angegeben wird, welcher um die Einheit der Lange \-om An- fangspunkte 0 derselben entfernt ist. Die Grosse der Dehnung wird durch den Tensor, TE, des Vectors der Behnung e be- s timm t.

Die Behnung einer Ebenc kann durch einen Einheitsvector u bezeichnet werden, der die Richtung der Linien in ihr Be- stimmt , welche eine Gestaltsanderung der Art erleiden , und

durch einen positiven oder nega- tiven Coefficienten m , der ihre Grosse und ihr Vorzeichen angibt. Ein Punkt 0, oder mehrere Punkte (Fig. l), werden sich stets angeben lassen, durch welche sich eine Linie senkrecht zur Richtung yon a so legen Iasst, dass die Platte ganz jenseits derselben nnch der Seite hin liegt, nach welcher tc weist. Wenn man dann die Linien

der Ebene parallel u, welche von der durch 0 gelegten Linie senk- recht zu u ausgehen oder von ihr ausgehend anzunehmen sind, eine Dehnung m a erleiden lasst, sodass sich also alle Funkte der Ebene auf einer Linie senkrecht zu Q! gleich vie1 verriicken, so sol1 das eine Delmung m a der Ebene sein.

Wir wahlen 0 zum Anfangspunkte der Vectoren. Der Vector eines Punktes P der Ebene sei o; es erfahrt dann P dieselbe Verschiebung, wie seine Projection auf 0 A , oder cr. 1st also der Vector von P nach der Dehnung m a, so wird

Fig. 1.

0 = w - u m S w u .

Was man unter der Behnung m u eiaes beliebig gestalteten Korpers zu verstehen habe, ist nun leicht ersichtlich. Man theilt ihn in Linien parallel a, welche yon einer Ebene senk- recht zu u ausgehen oder ausgehend angenommen sind, die

Ehstische Korper. 307

durch einen seiner Bussersten Punkte 0 in der Anfangsrich- tung von cc geht, und lasst sammtliche Linien eine Dehnung m a erleiden. Der Punkt 0 sei der Anfangspunkt der Vectoren, m, cc, o, mogen die bisherige Bedeutung haben, dann ist wie im eben behandelten Falle

= fii - u m S w u .

Eine zweite einfache Art der Gestnltsanderung soll jetzt in's Auge gefasst werden. Wenn von zwei Linien OA und OB, welche in einem Punkte zusammentreffen oder zusammen- hangen, und die also einen materiellen Winkel bilden, die eine - zum Beispiel OB - in der Ebene OAB um den Winkel n gedreht wird, wo n positiv oder negativ sein kann, so soll eine solche Gestaltsanderung eiue Verdrehuny n des Winkels heissen. 1st u der Vector von O d und (3 der Vector OB vor der Verdrehung, so ist der von (3 nach derselben:

n ist in dieser Gleichung in rechtem Winkel zu messen. Eine Kerdrehung (u, @, n) einer Ebene ist eine solche Ge-

staltsanderung derselben , bei der alle Linien in derselben parallel dem Einheitsvector u, diese von einer Geraden 0 B (Fig. 1) ausgehend angenommen, welche senkrecht zu Od ist und durch einen oder mehrere ihrer Randpunkte geht, sodass die ganze Ebene auf einer Seite dieser Linie nach der Richtung des Vectors cc hin liegt, urn denselben Winkel n gedreht werden. Der Vector w eines Punktes P der Ebene kann dann, da cc und f i in ihr liegen, in der Form

dargestellt werden, in der x und y zwei variable Scalare sind. Der Vector e desselben Punktes P nach der Verdrehung (a, f i , n) ist dann

Hier sind a und #I Einheitsvectoren und der Winkel n ist in Rechten zu messen.

In demselben Sinne konnen wir von einer Verdrehung (a, 3, n) eines Korpers sprechen. Die Linien des Korpers parallel dem Einheitsvector a, diese ausgehend angenommen von einer Ebene senkrecht zu ihm durch die Grenze des Korpers, von

(1 = (u7up)n/?;

w = x u + y p

p = " ( V p u y u + y p .

20 *

308 P. Glan.

welcher aus der ganze KBrper nach der Richtung des Vectors a hin liegt, erfahren hierbei in der Ebene der Einheitsvectoren u, /? eine Drehung uni den Winkel von n Rechten um ihren Anfangspunkt in der erwahnten Grenzebene und zwar von (3 fort, wenn n positiv ist. Bei der friiheren Bedeutung von w und 9 und der Lage des Vectorenanfangspunktes 0 in jener Grenzebene ist dann

wenn

ist. Bei einer Dehnung erleiden die Punkte einer parallelen

Linienschnar Verschiebungen in der Richtung dieser Linien, welche an Grosse proportional ihrem Abstande von ihrem An- fangspunkte sind , bei einer uneiidlich kleinen Drehung solche senkrecht zu diesen Linien. Wenn die Verschiebung irgend eiiien Winkel mit einer derartigen Linienschaar macht und an Grosse proportional der Entfernung von der durch die Anfangs- punkte jener Linienschaar gehenden Ebene ist, die senkrecht zur Schnar ist, so entsteht die allgemeinere schiefiuinklige Ge- staltsunderriny eines Korpers.

Unter einer schiefi~uMz$en Gestaltsiinderung (a, /3) eines Korpers wird man danach eine solche verstehen, bei der die Punkte der Linien des Karpers parallel dem Vector a, diese Linien ausgeheiid gedacht von der Ebene durch die iiusserste Grenze desselben nach dein Anfange des Vectors u und senk- recht zu ihm, Verschiebungen parallel dem Vector t9 erleiden, proportional ihrer Entfernung von jener Ebene, und wobei die Punkte derselben eine Verschiebung p erfahren, die urn die Entfernung eines von dieser Ebene abstehen.

Wird der Anfangspunkt 0 der Vectoren in diese Ebene verlegt, una haben p, (d die friihere Bedeutung, so ist der Vector g eines Punktes P eines Korpers, nach einer schief- winkligen Gestaltsanderung (u, p) desselben , bestimmt durch die Gleichung:

(I = ((3 u)" s u + y 13 + z y,

rl) = . V f L + y p + z i '

p = o - p s o a . Die Ebenen senkrecht zu u oevschieben sich bei einer Ge-

staltsanderiing (u, 19) ohne Gestaltsiinderiing parallel zu ihrev An- f hng~la~ye.

- - -

h’lastische Korper. 309

Wenn man einen Korper von irgend welcher Form einer Dehnung m u unterwirft, so kann man sich die Frage stellen, wie sich dabei die Linien desselben von irgend einem seiner Punkte aus andern. Es sei P der Punkt, von dem alle diese Linien ausgehen, und sein Vector vor der Dehiiung sei w (Fig. 2). Der Vector einer solchen Linie sei von P aus z y , wo T y = 1 und x > 1 ist. Der Vector e des Puuktes P nach der Dehnung m a ist:

Der Vector von P’ vor der Dehnuiig sei

nach derselben ist er dann

1’ = m - m u S w a .

(0’ = 0 + 2.7;

9‘ = w + xy-rnaSwu-.xmc~SSyu. Da a im allgemeinen nicht parallel y ist, erleidet die materielle Linie x y eine geradlinige Tkrruckung ohne Gestaltsande- rung, - m a S w a, und eine schiefwinklige Gestaltsanderung , - m u S y u, folglich eine parallele Verschiebung ohne Gestalts- anderung, eine Behnung and eine Brehung. Diese schiefwinklige Gestaltsanderung ist offenbar fir alle Linien in einem geraden Kreiskegel, dessen Spitze in P und dessen Axe parallel a ist, dieselbe. Die Behnung eines solchen Vectors r y ist in diesem Falle [T(y-mmSya)-Ty]y .

Sie ist also fur alle Linien in einem geraden Abeiskegel mil dem Scheitel in P, dessen Are parallel a ist, und seineni Gegen- kegel dieselbe. Sie erreicht ihren grossten Werth fur den Vector von P aus parallel a, nimmt ab, wenn der Winkel zwischen y und u wachst, und wird Null, wenn y senkrecht zu u ist.

Die Drehung eines Vectors r y im Korper, dessen Anfangs- punkt vor der Dehnung ma der Punkt P ist, betragt

8; J

Fig. 2.

y - m a S y a Y

L

AZle Linien in einem geraden Kreiskegel und seinem Gegenkegel, welche ihre gemeinsame Spitze in P und ihre Axe parallel u

310 P. Glan.

haben, merden um denselben Finkel gedreht, doch in jedem dieser beiden’ Kegel in entgegengesetztem Sinne.

Die Grosse der Drehung ist Null, wenn y senkrecht oder parallel u ist und erreicht im Kegel urn u ihren grossten Werth, wenn

L = arc c o s j = . 1

1st die Dehnung, also m , unendlich klein, so wird der Vector am meisten gedreht, der einen Winkel von beinahe 45O mit u macht.

Wir wollen jetzt die Yeranderung der geraden Zinien von einem Punhte P des Korpers aus bei einer Jkrdrehung (u, p , n) desselben untersuchen. 1st der Vector eines Punktes P ‘ in Bezug auf P gleich .zy’ und 9’ sein Vector nach der Ver- drehung in Bezug auf den Vectorenanfangspunkt 0 und haben q , w die friihere Bedeutung, so ist der Vector von P nach der Verdrehung in Bezug auf P, wenn y = up,

Die Pzinkte eines Tectors xy‘ von P aus erfahren also bei einer Verdrehung, im allgemeinen, einmal eine geradlinige Verschiebung (4 - w), welche fur alle gleich ist, und dann eine schiefwiuklige G‘estaltsanderung, denn der Vector (e’- p)x-1- y‘ hat im all- gemeinen eine andere Richtung als y‘; folglich eine parallele Tirschiebung ohne Gestaltsanderung, eine Dehnung und eine Drehung.

P I - 4 = - (pu)nuSuxy‘ - psgxyp- y S y x y ’ .

Die Dehnun.9 eines Vectors .zyf von P a m ist

{ T[- (pu)”.suy’- @ s p y ’ - y S y y ’ ] - q q y ’ oder

Die Vectoren gleicher Dehnung sind bestimmt durch die Gleichung:

cos L cos L t = const. = c B

oder durch

mit der Beziehung f l l y = 1.

Elustische Korper . 31 1

Die vorletzte Gleichung stellt einen Kegel mit der Spitze in P dar, welcher durch den Kreis geht, in dem die Ebene senkrecht zu - ,A durch den Endpurikt dieses rectors die &gel schneidet, deren einer Durchmesser - alC ist.

Seinen grossten und kleinsten Werth erreicht der Tensor des Dehnungsvectors, wenn cos L y'lu cos L y ' l p den kleinsten oder grossteu Werth annimmt, und dieser ist - + und + 9. Denn wenn mir den Winkel der Ebenen (u, 7') und (u, p) mit B bezeichnen, ist

cos L r = sin L -cosB, 7'

Y' = Q sin 2 L cos B = C . cos L Z- cos L 3 Dieses 2i'iarimurn und 2Jfinimum der Dehnung tritt ein fir die beiden Vectoren von P aus in der Ebene von u und ,8, welche den Winkel z2/4 oder 3n/4 mit a bilden.

Bei einer sehr kleinen Terdrehung konnen wir n n / 2 statt s innni2 setzen und erhalten €ir die Dehnung eines Vectors .zyf von einem Punkte P aus

-- n m cos L - Yf cos L y,. 2 B In diesem Falle ist die GTosse der Dehnung dwjenigen der Drehung n proportional.

Was die Drehuny eines solchen Vectors y', von einem Punkt P des Korpers aus, bei einer Verdrehung (u, ,8, n) betrifft, SO ist ihre Grosse durch den Winkel, L (p'- ~)x-~/y' , bestimmt. Denn (0'- 9 ) ist der Vector, zu dem xy' nach der betrachteten Gestaltsanderung wird.

Bei einer scltiefwinkligen Gestaltsanderung (u, t9) ist der Vector eines Punktes P, der urn xy' von P absteht, wenn die Zeichen die bisherige Bedeutung haben und der Anfangs- punkt 0 der Vectoren in der vorigen Weise gewahlt wird, nach derselben

$= w -+ "7'- psoa - r,8Sy'u.

Der Vector xy' erfahrt also eine Verschiebung - PSou und eine schief binklige Gestaltsiinderun,q - f Sy'u. Seine Deiinuny ist [T(y ' - PSY'U) - Ty'] 7'.

312 P. Glan.

Die Vectoren der Dehnung gleicher Gr&se sind danach be- stimmt durch die Qleichung :

oder durch - /32(Sy‘a)a - 2 8 . y’(- /!l+l’a) = const.,

const. Sy’aSy’(a - 2P-1) = - ,-j- = c oder vermitt.elst der Gleichung :

Sie bilden also den schiefen Kreiskegel mit der Spitze in P, der durch den Kreis geht, in dem die Ebene senkrecht zum 32ctor - a durch seinen Endpunkt die Kugel mit dem Durchmesser 2p- I - a l C schneidet.

Die Grosse der Drehung eines Vectors x 7’ wird durch den Winkel. L (y’- (38y’a)/;.’, bestimmt.

Es SOU jetzt die Teranderung untersucht werden , die ein Korper

C I durcli inehrere gleicltzeitige Dehnungen erfahrt. Durch eine Dehnung m a erleidet ein Punkt desselben die Ver-

Fig. 3. schiebung - amSuco , wenn 01 der Vector dieses Punktes Tor der Deh-

nung in Bezug auf den ihr zugehorigen Vectorenanfangs- punkt 0 ist. Infolge einer zweiten Dehnung m l a l ware die Verriickung desselben Punktes - m, a1 Sa, w’, wenn Q’ der Vector dieses Punktes P in Bezug nuf den der zweiten Dehnung zugehorigen Vectorennnfangspuiikt 0’ ist (Fig. 3). 1st nun ro, der Vector von 0 in Bezug auf 0 als Anfangspunkt der Vec- toren, so wird (GI= w - c~~ uncl die letztere Verrilckung wird dann - a, m, Sa,

Danach ergabe sich der Vector p eines Punktes P eines Korpers nach beliebig vielen gleichzeitigen Dehnungen m a , m, a, , m2 a2, . . . . m,, a,, in Bezug auf den der ersten zugehorigen Anfangspunkt, in Bezug auf welchen er vor diesen o ist, in der Form:

@[

+ m a l 8a, m, .

,I = 31 n = 11

0 = o + C V I , , Su,, (oil - 2’ ni,ccn Sa,, co . ? I = 1 8 1 = 0

Elastische Korper . 31 3

Die Wirkung aller ware also eine geradlinige Perscliiebting des Korpers ohne Gestaltsiinderung und zu.gleich eine Trer~*iickung seiner Punkte, toelche eine solche zur Folge hat.

Nun ist

eine selbstconjugirte, wenden wir auf sie

lineare, oder distributive Vectorfunction; die rechtwiiiklige Transformation einer

Hier sind cl, c 2 , c3 drei reelle Scalare, welche durch die Con- stanten der linken Seite der Gleichung bestimmt sind, und A, pa, 8, drei zu einander rechtwinklige constante Einheits- vectoren. Setzen wir

= einem Vector 7 ,

in welchem Ausdruck w l , ma und w3 beziehlich die Vectoren der Anfangspunkte sind, in Bezug auf 0, den1 Anfangspunkte zur Dehnung ?nu, welche den Dehnungen c l p l , c2p2 und c3p3 zugehoren, so haben wir

f’= 0 + y - clplS(31(m - mi) - c2p2s/9s(w-o,j -c,p,sp3(~0-w3). Danach lasst sich die 7l”irkung leliebiger gleichzeitiger Deh-

nun.qen an einem Korper zuriickfuhren auf cine geradlinige Per- schiebung ohne Gestaltsanderung und auf drei zu einander recht- poinklige gleichzeitige Dehnungen.

Benutzeii wir die cyclische Transformation einer selbst- conjugirten linearen Vectorfunction, so konnen wir schreiben :

hier ist g’ ein constanter Scalar und 1 und p sind zwei con- stante Vectoren, deren Tensor im allgemeinen jedoch nicht eins ist. Setzt man

n = n

11 = 1 2 l)tn tc,, SU,, C ~ J ~ - 1.Sp C C ) ~ - p 81.0, = einem Vector y1 ,

314 P. PZ J an.

in welcher Gleichung w1 und w, die Anfangspunkte in Bezug auf 0 bestimmen, welche den Richtnngen der Vectoren p, be- ziehlich I zugehoren.

Den Theil der Gestaltsanderung, welcher vom Gliede - 9’0 herkommt, konnen wir eine sphiirische Gestaltsanderung nennen, weil durch ihn alle Punkte des Korpers, welche auf der Ober- flache einer Kugel urn 0 a19 Mittelpunkt liegen, in der Rich- tung ihres Radius auf eine neue Kugeloberflache mit demselben Mittelpunkte iibergefuhrt werden. Die beiden letzten Glieder der rechten Seite der letzten Gleichung stellen rzvei schief- u9inAZige Gestaltsunderungen dar , welche in der Beziehung zu einander stehen, dass die Vectoren, die bei der einen die Richtung der Linien angeben , welche die eine schiefwinklige Gestaltsanderung erleiden, fur die andere die Richtung be- stimmen, nach welcher die Verriickung der einzelnen Punkte solcher Linien statt hat. Wir wollen zwei schiefwinklige Ge- staltsanderungen der Srt conjugirte schiefioinhlige Gestaltsande- rungen nennen und konnen dann sagen:

Die wirhung mehrerer gleichzeitiger Dehnungen eines Korpers ist gleich einer geradlinigen Verschiebung desselben ohne Gestalts- iinderung, einer spharischen und zwei conjugirten schiefu~inhligen Gestaltsunderungen.

Drittens konnen wir die Focaltransformation einer selbst- conjugirten und linearen Vectorfunction einfuhren und be- kommen dann

Dann ist der Ausdruck fur g : (1 = 0 + y1 -g’m - I S ( 0 - w l ) p - pS(w - W , ) h .

n = 11 ~ n 2 , ~ ( , ~ S v , , w = - au’Vu’o + bPSt!?w ,

in welch letzterem Ausdrucke a und b zwei constante Scalare und u‘ und zwei constante Einheitsyectoren sind. Setzt man

11 = 0

n = 11 2 ~ n n u n s u n ~ n - bpSlSo1 = ?a = 1

7

in welcher Gleichung w1 der Vector des der Richtung ,8 zu- gehorigen Anfangspunktes in Bezug auf 0 ist, so wird

(1 = w + y, + a ~’J-u’w - b /IS@ (o - [UJ.

Das Glied au’PFu’w bewirkt eilie Gestaltsanderung , bei der alle Linien in einem geraden Kreiskegel mit der Spitze in 0,

Elastische Korper. 315

dessen Axe u‘ ist, der Grosse nach dieselbe schiefwinklige Ge- staltsanderung erleiden. Die Richtung der Verriickung liegt in der Ebene einer solchen Linie oder Seite des Kegels und seiner Axe u‘ und ist senkrecht zu ihr. Wir konnen sie eine conische Gestalt$anderung nennen ; die Seiten eines geraden Kreis- kegels mit der Spitze in 0 werden durch sie auf einen neuen solchen mit derselben Spitze iibergefuhrt.

Die Ffirkung mehTeTer gleichreitiger Dehnungen kann also auch gieich einer geradiinigen, f ~ r alle Punkte des Korpers gieichen T’erriickung, einer conischen Gestahanderung und einer Behnzing desseiben aufgefasst werden.

w i r wollen jetzt die Wirkung mehrerer gieichreitiger Fir- drehzmgen untersuchen. Nach einer solchen (a, (3, n) ist der Vector g eines Punktes P des denselben unterworfenen Korpers

9 = - (,9u)iluSrird - P S P w - ySytc),

wenn er vor derselben o = - uSuo - PSPo - ct/?SalPo war und der Vectorenanfangspunkt 0 der gemass dieser Verdrehung gewahlte ist. Die Verschiebung, welche der Punkt P bei einer Verdrehung (u, p, n) erfahrt, ist danach

+ p c o s y ) .

Infolge einer zweiten Verdrehung (el, PI, n,) ware die Ver- riickung desselben Punktes P

wenn w1 der Vector des der zweiten Verdrehung zugehorigen .4nfangspunktes in Bezug auf den der ersten 0 ist.

Setze ich c p = y , so sind u , (3, y drei zu einander recht- winklige Einheitsvectoren. Es kann geschrieben werden

CC, = - usuu, - pspcc, - y s y u , Sa,w = - s u u , s u ~ - spa,spw - s y f f p y w

und die Verriickung von P durch die zweite Verdrehung kann auch in der Form dargestellt werden

316 P. Glan.

n n - 2 sin n - Su,o, 1 4

n ‘ 4

Nach beliebig vielen gleichzeitigen Verdrehungen (a, p , n) , ( u l , p, , nl), (ua, &, n2), . . . (u,, p,,, , n,) ist der Vector g cines Punktes P des Korpers, der ihnen unterworfen wird, in Bezug auf den der ersten von ihnen gemass gewahlten Anfangspunkt 0 der Vectoren danach durch den Ausdruck gegeben:

g = r9 + D + c,;.,Sum + C ~ Y ~ S I Y G I + c 3 y 3 S y w , in welcher Gleichung

n rc,,l sin n, - + p,,, cos nm 4

n

n

W J = m

11, = 1

c3y3 = - ?,I = 1

ist. Die Vectoren y l , y2, y3 konnen als Einheitsvectoren an- gesehen werden und cl, cz, c3 als drei Scalare. Die Summe der drei letzten Glieder im Ausdruck fur g stellt eine linenre oder distributive Vectorfunction dar , welche im allgemeinen nicht selbstconjugirt ist. Es lasst sich also schreiben :

c1 y1 Sum + ca y2 ’313 w + cg j., S y ro = yo rd + T-fw , und hier ist you der selbstconjugirte Theil der linken Seite der letzten Gleichung und y’ = + 7(cl yl u + c2 ya @ + c3 y3 y) . Und es folgt

Q = rti + 6 + 7y ’m + yo w . Der Vector c stellt eine allen Punkten gelueinsame Verschie- bung dar und T’y‘o eine - wie wir sagen konnen - conische Gestaltsanderung, denn durch sie werden alle Linien des Korpers yon 0 aus, welche auf dem Mantel eines geraden Kreiskegels mit dem Vector y‘ als Axe liegen, auf den Mantel eines neuen

Elastische Korper . 317

solchen mit derselben Axe iibergefiihrt. Die selbstcoiijugirte lineare oder distributive Vectorfunction eo w zusamnien mit einem Theile der in passender Weise veranderten Vectorcon- stanten CT stellt eine Gestaltsanderung dar, wie sie durch mehrere gleichzeitige Dehnungen hervorgebracht wird.

Es ist also die Jfirkung beliebig vieler gleichreitiger Ver- drehungen eines Klirpers gleich einer geradlinben Verriickung des- selben, einer bestimniten conischen Gesialtsanderuny und mehrerer gleichzeitiger Dehnzinyen desselben.

Es sol1 jetzt die ?7eranderung eines KGrpers durch meltrere schiefwinkliye, gleichzeitige Gestaltsanderungen untersucht werden.

Nach dem friiheren ist die Verschiebung eines Punktes P des Korpers nach einer schiefwinkligen Gestaltsanderung (u , Is) desselben - pSaw , wenn der Vectorenanfangspunkt 0 gemass dieser Gestaltsanderung gewiihlt ist, wie vorher auseinander- gesetzt worden ist. Fu r eine zweite schiefwinklige Gestalts- anderung (u l , Pl) ware die Verschiebung - ,$ Su1 (m - wl), wenn w1 der Vector des dieser zweiten schiefwinkligen Gestalts- anderung zugehorigen Anfangspunktes in Bezug auf 0 ist. Der Vector !) eines Punktes des Korpers nach beliebig vielen schiefwinkligen Gestaltsanderungen (u, p) , (ul , pl), ( rc z , p,), . . . (u,,, \ j n ) desselben in Bezug auf den der ersten (u, @) zu- gehorigen Anfangspunkt 0 ist danach bestimmt durch die Gleichung

n = m

!' = w - 3 PnSun ((0 - wn) , ,1 = 0

wenn w der Vector dieses Punktes vor der Gestaltsanderung uud mi der Vector des der schiefwinkligen Gestaltshderung (ui l pi) zugehorigen Anfangspunktes Oi in Bezug auf 0, den der ersten zugehorigen Anfangspunkt, ist. Wenn wir ?-up = y setzen, so haben wir:

318 P. Glan.

wenn CT das von w unabhangige Gliecl im Ausdruck fur 0 ist und y l , yz, y3 beziehlich die Vectorfactoren von Sum, Spw, Syw in ihm sind. Die Summe der drei letzten Glieder der rechten Seite der letzten Gleichung ist nun eine lineare oder distributive Vectorfunction von o, welche im allgemeinen nicht selbstconjugirt ist.

Dann lassen sich aber, wenn man sich die Vectorconstante c entsprechend umgestaltet denkt , mehrere gleiclrzeitiye schief- winklige Gestaltsanderunyen eines Korpers ersetzen durcli eine geradlinige Perriickung desselben ohne Gestaltsanderung und durch mehrere gleichzeitige T‘erdrehungen.

Kehren wir jetzt zur allgemeinen stetigen Gestaltsanderung y w zuriick. Bei einer solchen erfahrt ein unendlich kleiner /P%rfel der Substanz drei gleiclueitige Dehnringen nach den Richtungen seiner drei Kanten und drei gleichzeitige Verdrehungen, tuelche die Linien in ihm parallel eben diesen Kanten erleiden.

Es finden, nach friiherem, keine Dehnungen statt, wenn Tdyw,, = l ’ d < f ~ d ~ , ~ = Tdyw, , = 1

ist, und keine Trerdrehungen, wenn

9d<fo,,w, = - 7’dTo,l, Sdyo,,w, = - l’dyo,,

Sdrpo,,m, = - !i”dywwt,

ist. rlus dem I f iirfkl wird ferner ein rechtioinkliges Parallel- epiped, wenn

ist. Denken wir uns von einem Punkte P des Korpers aus,

dessen Vector vor der allgemeinen Gestaltsanderung yo den Werth co haben moge, einen unendlich kleinen Vector dw. Es sei

in welcher Gleichung wl, w 2 , w3 drei gleich lange, zu einander rechtwinklige, unendlich kleine Vectoren und x, y, z drei variable im allgemeinen endliche Scalare sein mogen , welche der Be- dingungsgleichung

geniigen sollen. Der Ort deli Endpunktes von P ist dann eine Kugelfliiche urn P als Mittelpunkt, deren Radius der gemein-

Sdew,,drpw,, = SdFmwzd<pOy = Sdew,dTw,, = 0

dG) = X W 1 + ?JQ2 f ZG13 ,

x2 + yz + 22 = 1

Elastische Korper. 319

same Tensor von ol, 0,. m3 ist. Nach der stetiyen Gestalts- anderung y w wird aus einem solchen Vector d o der Vector

y (fcJ + dfil) - Y O = xdvw, , + y d v o , + Z d y o , , ,

mit der vorigen Bedingungsgleichung fur clie variabeln Scalare x, y, z . Der Ort des Endpunktes von [rp (Q + dm) - y w ] ist danach ein Ellipsoid urn die durch die Gestaltsanderung v w veriinderte Lage von P als Mittelpunkt, in dem dvw,, , d y w,, , dyw,, drei conjugirte Halbmesser sind. Also wird bei einer stetigen Gestaltsanderung aus einer sehr kleinen Kugel in einem Korper, im allgemeinen, ein Ellipsoid, und irgend drei ru einander rechtwinklige Radien der ersteren werden drei conjugirte Halb- messer des letrteren.

Nehmen wir wl, w, , w3 nicht rechtwinklig zu einander und nicht gleich lang an, so wird der Ort des Endpunktes von dco die Oberflache eines Ellipsoids um P als Mittelpunkt, in dem w1 , w, , to3 drei conjugirte Halbaxen sind. Fu r [y(m + d o ) - 97133

erhalten wir den vorigen Ausdruck mit veranderter Bedeutung td] , w,, tcJ3 . Bei einer stetigen Gestaltsanderung eines Korpers mird danach

a m einem sehr kleinen Ellipsoid in ihm wieder ein solches und irgend drei conjugirte Halbmesser bleiben es.

Wahlt man wl, o,, as bei unqleicher Lange zu einander senkrecht, so werden diese Vectoren die Hauptaxen eines solchen Ellipsoids vor seiner Gestaltsanderung und nach derselben drei conjugirte Halbmesser in dem veranderten Ellipsoid, welche - im allgemeinen - nicht dessen Hauptaxen sind. Man kann nun nach der Bedingung fragen, bei der diese Hauptaxen es bleiben. Es findet offenbar statt , wenn S d cp w,, d y w,, = S d y w,, dtp w,, = S d y w,, d y ww1 = 0 ist, denn dann sind die conjugirten Halbmesser, welche aus den Hauptaxen werden, auch zu einander rechtwinklig. Die Hauptaxen eines solchen Ellipsoids vor seiner Gestaltsanderung werden in diesem Falle im allgemeinen eine andere Richtung haben, als in der ver- anderten Gestalt desselben. Wenn jedoch dyo, , /wl = einem Scalar ist, und auch dyw, /o , und dy.w,/w, Scalare sind, so bleiben die Hauptaxen eines sehr kleinen Ellipsoids vor seiner Gestaltsanderung sich parallel nach derselben.

V O l l

320 P. Glaii. Elastische Kb'rper.

l/"etin die yeornetrisehen Briiche d y m w , Iw l , dcpww, /w,, d v o,, w3 Sealare und o1 , w2, o3 rechttoinkl@ zu einander sind, bleiben die Hauptaxen eines s e h kleinen Ellipsoids in eineni h-6rper es auch nach einer stetiyeir cestahanderun.y desselben und be- wahren ihre Richtun.9.

Berlin, den 19. Marz 1895.