10. TheoswtCsche Uwtersu.c.hunys2h iiber eEnst4sche Kcirper uwd Licht; vow Paw I G lam.

XI. Von den Krystallen bei GestaltsBnderungen. Es sollen jetzt die Zunahmen der Vectoren der elastischen

Krafte al, ct, , a,, also die Vectoren d u1 , d a, , A a3 fur eine unendlich kleine Zustandsiinderung eines beliebigen kryslalli- schen oder nichtkrystallischen Stoffes und die Beziehungen der in ihnen enthalteneii elastischen Constanten bestimmt werden. Die unendlich kleine Zustandsanderung. finde bei constanter Temperatur statt. Die nach der fruheren theore- tischen Untersuchung mogliche Abhangigkeit der vector Fac- toren p i , . . . , pi,:, . . . pi,:3. . . von D, t , 0: t . . ., D, m, , . . . D, n3, D t m , , . . . D : n , , . . . soll auch hier nicht berucksichtigt wer- den, sodass sie nur als veranderlich mit der Temperatur im Folgenden betrachtet werden sollen. Sie haben dann f i r alle Zustandsanderungen bei gleicher Temperatur denselben Werth und konnen aus einer beliebigen solchen bestimmt werden. Die Abhangigkeit dieser vector Factoren von der Temperatur t soll, wie frilher, nur in Betreff ihrer Grosse angenommen werden , sodass der Versor dieser vector Factoren als unab- hangig von der Temperatur dann zu betrachten ist.

Wir denken uns jetzt eine unendlich kleine Gestalts- anderung eines sehr kleinen Theilchcns des betrachteten kry- stallischen oder nichtkrystallischen Stoffes , welches ohne Einwirkung ausserer Kriifte die Gestalt eines Wurfels haben soll, dessen Kantenvectoren z w l , y o a l z w 3 sein m8gen. Die Drehung um o1 von o, nach w3 soll positiv oder rechtlaufig sein und die Kanten den Richtungen der clrei zu einander rechtwinkligen Krystallaxen parallel sein, wenn der Stoff kry- stallisch ist. Dieser Wurfel mag die unendlich kleine Ge- staltsanderung d m , , d m , l d m , erfahren, die so langsam vor sich gehen soll, dass die hijheren Theilableitungen von m, , m,, mg nach der Zeit t unberiicksichtigt bleiben kihnen. Es soll d m , = wbdm, und d m , = w i d m , sein; u.$ und w> be- zeichnen wie fruher drts Dehnungsverhaltniss von 2 bez. 3

h'lastisch e Kiirp er unil Licht. 175

z u 1, w i i i i Iiur nuf clie Endfliichen des Wiirfels senkreclit zur Kante R ' W ~ eine normale Kraft wirkt. In diesem Falle sind A a , und A u3 Null, A a , gleich - el d m1 Udcp,, , und es er- geben sich fur pi , . . ., 11:' die fruher ermittelten Werthe. Es mag jetzt zweitens derselbe Wurfel wieder dieser Gestalts- anderung d m, , d m, ) dni, , wie soeben, unterworfen werden, aber nun in einer solcheri Weise, dass auch in den Ausdriicken fur Au, ) A u2 , A u , clie Glieder mit den Factoren D:m, d t , D: in, d t , D,Z m, d t in Betracht gezogen werden miissen. Diese fruher mit A'u, , Aor , und A u 3 bezeichneteu Glieder, die nun zu den vorigen Ausdriicken fur die vector Zunahmen der elastischen Krafte hinzutreten , sollen wieder von gleicher Richtung mit den entsprechendeii vorigen Zunahmen ) die friiher A ' a l , A'u2, A'a, genannt wurden, angenommen werden. Jetzt soll aber, was bisher nicht geschehen ist, auch fiir die Zunahmen A"a, und A'u, angenommen werden, dass sie Null sind, und A"a, soll zunachst gleich e;;? Dim, Udrp,,,, ge- nommen werden, dann ergiebt sich:

Aa, + A'a, = [ - e e , d m l + e ; ; ~ 1 ) , 2 n i 1 ' l t ] U d ~ , , , , , A'o, = 0 , A"a3 = 0.

Da diese Gleichungen fur beliebige , unendlich kleine Werthe von d m, , 0: m, d t gelten mussen, folgt aus ihnen

A'u, == - el dm, U d yo,, , A a , = 0 = Aa3:

111 und daraus die friiher bestimmten Werthe von pi , . . ., pn ) und ferner:

pi;. + dip;::! + & p [ i = 4;~ Udyo, , , pi;> + Wip$;> + w;pg = 0 , pi,:! + w; d;. + lo; p . z = 0 .

Durch entsprechende aussere Einwirkung auf die Seitenflachen des Wurfels senkrecht zu den Kanten y m a und Z Q , ergiebt sich weiter :

p;;. 20;' + pCc;:. + p;;b w;; = 0,

p& w;' + 6;. + p$ w; = 0 , ,&;J w;' + raL, + p.:; w.: = U d ( F . ~ ,

176

und

P. Glnn.

Aus diesen letzten neun Gleichungen folgt dann:

In diesen Gleichungen ist, wie vorher,

r = I - w;'wa - wzu,6- wiw;"+ w;lw;'wj + W:W~W;".

In entsprechender Weise wiirden sich die Vectoren . . ., p3,3, . . . ergeben und man erhielte sie danach aus den letzten Gleichungen allein durch Aenderung des unteren Index von e;,2 oder e& oder ek2, der ubereinstimmend mit demjenigen des zu bestimmenden Vectors pi,i , . . . , P;,'~ zu wahlen ist.

Denken wir uns jetzt an dem Wiirfel eine Gestalts- anderung bei constanter Temperatur erzeugt , bei der nur d n , , @ n , d t , @ n , d t , . . ., bez. d n , , D i n , d t , .. ., oder d ng , D;n, d t , . . . als Aenderungen der Gestaltsvttriabeln zu berucksichtigen sind , welche also nur aus einer unendlich kleinen Verdrehung besteht , und nehmen wir , wie fruher,

I , ,

Elastische Korper und Licht. 177

zunachst an, dass die durch Berucksichtigung der hoheren Theilableitungen der Verdrehungsvariabeln nach der Zeit hinzu- tretenden vector Glieder nur die Grosse, doch nicht die Rich- tung von Au, , bez. Au, oder Au, andern, und beachten, dass die fur die soeben erwiihnten unendlich kleinen Ver- drehungen sich aus der allgemeinen Form fur d el, d u,, A us ergebenden Werthe der letzteren Vectoren fur beliebige Werth- systeme, d n , , D,1n,dt ,..., d % , D,1n2dt, ..., d n g , D l n , d t ,... mit den nur von der Temperatur hier abhilngenden Vectoren v; , . . . v;,’~ gelten mussen, so ergiebt sich ausser den friiher hergeleiteten Werthen von vi , . . . v r :

~ ; , 2 = - v;,? Ud vY, &,2 = - V& U d v W 1 , ~3,:! ‘ = 0 , v K ~ = 0 , ~ 1 ~ 2 = - VG U d vW,,

V ~ Z = - V& UdrpmU,,

VG = 0 , V;. = - V;,Z U d y , , ~ 3 , 2 = - V$ U d vW, ;

t,, I , ,

und entsprechende Gleichungen fiir die weiteren Vectoren vipi, . . ., vKi sind hier anzuschliessen. Die Scalare v;,~, . . ., vci kbnnen positiv oder negativ sein.

Daraus, dass kein Zuwachs der elastischen KrLfte ein- tritt, wenn sich ein Korper bei constanten ausseren Kraften in seiner Temperatur andert, ergiebt sich wie fruher :

+Are , + AY‘oc, +. . . = - A’u, - A’u, - A”’oc, - . . . mit entsprechenden Gleichungen Air A;u8 + . . . und A;@, + ...; in Arc,,. .. ist bez. d?, Dim, d t , . . ., dn, , D l n , d t , , . . durch dt ml , D, (dt ml), . . . , dt n,, D, (dt %), . . . zu ersetzen.

Aus der Bedingungsgleichung fur die Vectoren der elasti- schen Krafte:

P ( A drp,, + A u2 drp- + A us d v m J = 0,

die fur beliebige Werthe der unendlich kleinen Scalare d nl, d,?, . . ., D ~ T , B,(dtnJ, . . . gelten muss, folgt, wie zuvor:

vi2 = G,a , ~ $ 3 = v;):3 I

Wenn zwei Rrystallographische Axen physikalisch gleich- werthig sind, z. B. die Axen 1 und 2, so ergeben sich er- sichtlich ausser den Beziehungen zwischen den in Aoc, , Act2,

I,,

v;,2 = vi,z , vi,3 = 4 3 ,

4$ = v1,2 , vs,s = ~ 1 , s 9 . . #,, 111

bnn. d. P h p u. Chem. N. F. 60. 12

178 P. Glan.

A a8 auftretenden elastischen Constanten, welcher friiher an- gegeben sind, die folgenden:

ei,2 = 4,a ~5',2 = VZ , l l ,

4 3 = 4 3 9 v;,? = v1,3,

. . . . . . . . 1st die kystallographisehe Axe 3 eine Hauptaxe in dem

Sinne, dass alle durch sie gehenden Ebenen physikalisch gleichwerthig sind, miissen sich alle Wiirfel, deren eine Kante jener Hauptaxe parallel ist , gleich verhalten. Ein Vector parallel jener Axe sei der Einheitsvector a,, senkrecht zu ihm und zu einander seien die Enheitsvectoren ma und wl, und ferner mi und m i ; die Drehung um m3 von wp nach w1 oder von mi nach w; sei rechtslilufig oder positiv. Der Krystall erleide bei constanter Temperatur die Gestaltsanderung :

c p o = o - a w ~ S w ~ o - b w ~ S w ~ w - c c , S w , w .

Dann werden die Gestaltsvariabeln mi = a , ma = b , m, = c, n; = ni = nk = 0. Die Scalare a, b, c kiinnen unendlich klein beliebiger Ordnung gewahlt werden. Es wird in diesem FaJle m ; : m ; = b : a = 4, und m,:m; = c : a = wb. Dann ist, nach dem Vorigen

= - el mi w; + e;,z D , m ; o i + e;,s D : m ; o i + . . . ui = 0 =a;,

wenn a;, a&, a; in Bezug auf den WUrfel mit den Kanten parallel w ; , m i , wg die entsprechende Bedeutung haben, wie die Vectoren der elastischen Krafte %, as, a, in Beziehung zum Wiirfel mit den Kanten parallel CU,, ogl w,. Far diesen letzteren Wiirfel werden nun die Gestaltsvariabeln bei der hier betrachteten Gestaltsilnderung:

m, = a ( S o , w ~ a + i u i S o l w ~ a ) ,

Elastische Korper iind Licht.

Wir haben nach Friiherem: - ff, = ff; s w; u V d y* d - u2 = UiSO; li Tcdyo3dcp,,,

- u3 = a; S U V d yCu, d yw,, oder

uI = a el 0; S w , w; - e;,z D, a w; Sw, w; - . . . , U, = a el m i S W , W; - 4 2 D, a (0; SGI, w;- . . . , ctg = 0;

179

hierbei sind die in Bezug auf a, b, c unendlich kleinen Grossen zweiter Ordnung nicht beriicksichtigt. Da jedoch a, b, c un- endlich klein beliebiger Ordnung gewilhlt werden konnen, gelten die im Folgenden hergeleiteten Beziehungen fur jeden Grad der Annaherung ; denn die hier vernachlassigten Werthe konnen immer kleiner angenommen werden, als die in einer besonderen Rechnung noch zu beriicksichtigenden. Nun ist u, = pi a (8 w, 0;' + wi S w1 oh') + pya (S w, 0;' + 14 S.w, GI?)

+ p;"a w:, + 9; 2 u (1 - Z U ~ ) Sm, 0; SrtIa 0; + p;,2Bta (So, W? + 1u; sol, mb') + . . . ,

a2 = ~ ~ ~ ( S ~ ~ , W ; ~ + ~ U ~ ~ W ~ ~ ~ ) + ~ ~ ~ ( S ~ , W ; ~ + ~ U ~ S W ~ W ; ~ )

+ p i f a 20; + vk 2 a (I - 1.i) Sw, G); S ma GI; + cC;,2 D, a (8 wl w;'

+ w.>SW, &*j + . . . , a3 = pia(Srd, o;2 + w $ S o , mi') + pga(Sw, my2 + ?l,6Sw2 GI?)

+ , U ~ ; ' U W ~ + & ; ~ D , U ( S G I ~ W ; ~ + W ~ S O , ~ ~ ' ) + . . . Durch Gleichsetzung der zuletzt erhaltenen je zwei Ausdrucke fur ul, bez. rx2 oder u3 und mit Beriicksichtigung, dass die so erhaltenen Gleichungen fur beliebige Werthe von a , D, a, So, o;, Sw, o;, . . . gelten miissen, folgen aus ihnen, drt die Gleichungen mit dem Factor Bif)u sich von denen mit dem Factor a nur dadurch unteracheiden, dass e;,i+l an Stelle von el tritt und v i t i t l an Stelle von v;, in entsprechender Weise, wie fruher entwickelt wurde, die Seziehungen :

& = 1 - el : 2 v; = 1 + e;,z : 4 , ~ = 1 + .;,a: v;,s = . . . Aus ihnen folgt weiter:

, I I , el : v; = - el,? : v1,z = - elp? : 01,s = . . . = 2 (1 - wi). 12*

180 P. Glan.

Diese Beziehungen treten zu denen hinzu, wenn nur zwei krystallographische Axen, hier die Axen 1 und 2, physikalisch gleichwerthig sind.

Bei den cubischen Krystallen haben wir ausser den fruher hergeleiteten Beziehungen der elastischen scalar Constanten in A’u, , A u 2 , Au8 nach dem Vorigen, d s bei ihnen die drei Ebenen durch j e zwei krystallographische Axen physikalisch gleichwerthig sind, ersichtlich die weiteren:

e;,2 = eh,2 = ek,z = sagen wir e(2) , e;,3 = e&3 = e$,3 = sagen wir e(s) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ferner v;,z = $ 2 = v;,i = wie wir schreiben wollen ot2,,

v;,3 = vi,s = v’;:9 = wie wir schreiben wollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fur einen NichtRrystall, bei dem jede Ebene physikalisch gleichwerthig ist, treten zu den vorigen deshalb noch die Oleichungen :

10 = 1 - e : 2 v = 1 + e(2) : 2 up) = 1 + e(3) : 2 v(3) = . . . hinzu.

Wir werden jetzt die W>rthe der thermischen Ausdehnunp indicis fur eine beliebige R ich tuy von einem Punkte eines Kry- stalles aus nach einer Gestaltsanderung desselden bestimmen. Die Gestaltsanderung eines unendlich kleinen, den betrachteten Punkt umgebenden Theilchens des Krystalles ist durch die betreffenden Gestaltsvariabeln bestimmt. Es ksnn unbeeintlusst von ausseren Kraften als ein unendlich kleiner Wurfel be- trachtet werden, dessen Kanten den drei zu einander recht- winkligen Krystallaxen parallel sein sollen und auf sie bezogen seien die Werthe der Gestaltsvariabeln ml, m2, m,, n l , n2, n3.

Ich werde hier die Gleichungen hinzuftigen zur Bestimmung der Gestaltsvariabeln derselben Gestaltsanderung in Bezug auf ein neues Axensystem o;, o:J, G&, dreier zu einander recht-

Elastische Korper und Licht. 181

winkliger Axen, in dem die Drehung urn o; von mi nach w$ rechtslaufig oder positiv ist. Die gegebene Gestaltsanderung v w habe in Bezug auf das Axensystem o,, oq, o, die Gestalts- variabeln m, , . . . n, und in Bezug auf das nene Axensystem o;, m i , wb, die Gestaltsvariabeln m i , , , . nk. Nun ist:

m i = - w , S O ; O , - ~ 2 S ~ ; ~ z - ~ o , S ~ i ~ , , d vW,t = - S W; 0, d vW, - SW; me d v p , - SO; W, d vW,;

und entsprechende Ausdrucke ergeben sich fir d ‘pot‘, d (P,,,,~ durch Ersetzung von o; durch oi, bez. oi in der letzten Gleichung. Danach ergiebt sich:

dcp;,, = S w ’ , w : d v & + Sw’,o:dcp& + So’,w:dcp& - 2 S o ’ , w 1 S o ’ , 0 2 n , - 2So’ ,w ,So’ , cu ,n ,

wenn nur kleine Grossen erster Ordnung beriicksichtigt werden. Es ist jedoch

- 2 so’, ma so’, w3 71p !

d v;,, = - TdT&, , Y’dq~t,,? - 1 = (TdvW,l - l ) ( 7 ’ d v W , f + l), 1 = So’ ,wy + Sm‘,ro:+ So‘,o:

und demnach folgt aus der Qleichung fur dcp:,?:

= m‘,(2 + m‘,) , = 2 m ; ;

m’,= m , S w ’ , w : + m , S w ; o : + ni,Sw’,w:+ n, S o ; w , S w ; w 2 + 3 So’, oz So’, w, + n, So; o, So’, o1 ,

+ n2 S W ’ , ~ , Sw’ ,09 + % Srfi’,o, S W ; ~ , , ni;= m, S w ’ ; o : + m2 So’,o: + m , S o ~ o : + n, So’ ,w, S w i o ,

m i = m , S w j w : + m a S w ’ , w ~ + m , S o ’ , w : + n ,Sw’ ,ro ,Sw’ ,o , + n g 8 r ~ ’ , c ~ g S ~ ’ , w s + n , S w ‘ , m , S o $ w , ,

und es ergiebt sich weiter: n’, = 2So’, w1 So‘, m, m, + 2 S c 4 wg S GI; wg mg + 2 Sm‘, w, So2’o, m,

+(scI~’,w,so‘,o, + s f o ; w , s o ’ , w , ) . ~ + ( s w ; w , s o ‘ , w , + Sw’,rogSco)1r03)n2 +(So‘,o,.So’,o, + S o ‘ , o , S o ’ , w , ) n , ,

n’, = 2 5 o’, w, So’, o, m, + 2 Sol, og So’, wg ma + 2So’ , o, So’, o, mS +(Sw’ ,o , Sn)’,rd, + Sw‘,oaSo’,cu,)~ + ( S o ‘ , o , S c ~ ’ , w , + So: o, S w j ma) ng + ( S W ‘ , ~ , Swl, o), + Sw’,wl So’, 0,) n,,

182 Y. Glan.

n', =2Scu~o lSo ' ,o lml+2Scujo ,Sw' ,oam,+2Sw' ,o ,So ' ,w ,m,

+(Sm~o,Scu',cu, + Sa)' ,w,So' ,a) , , )n, +(Sojo,So',w, + S a', o, S cu', ma) na + (S w', o, S w', w1 + S GI; o1 S a)', cl),) R , .

Vernachlilssigt sind in diesen Gleichungen die Glieder mit hoheren Potenzen der Gestaltsvariabeln als der ersten.

Wenn von einem Punkte eines Krystalles, der ohne Ge- stsltsinderung ist, sodass er keine elastischeii Krafte ausiibt, ein Vector cub gezogen ist, so kommt der Linie seines Stoffes, die durch ihn dargestellt werden kann, ein bestimmter ther- mischer Ansdehnungsindex swot zu, der nnch friiher gegebenen Gleichungen aus seinen thermischen Ausdehnungsindices a l , as, a , , welche seinen Krystallaxen zugehoren , hergeleitet werden kann. Wenn nun der Krystall eine Gestaltsanderung m, , . . ., n, erfkhrt, andert sich erfahrungsmassig der thermische Ausdehnungaindex einer materiellen Linie des Krystalles , die dabei im allgemeinen eine Drehung erleider, und zwar je nach der Art der Gestaltsanderung in besonderer Weise. Der thermische Ausdehnungsindex a,, einer materiellen Linie des Krystalles, deren Vector vor der Gestaltsanderung cob ist, wird also eine Function des Anfangswerthes aio von w' und der Gestaltsvariabeln m, , . . . , n, sein und es kann gesetzt werden:

= f (wi , mi , 9 m3 1 n.1, n2 7 n,).

Nach der Erfahrung ist diese Function a1s stetig, eindeiitig und, iiberhaupt nur klein, verhaltnissmassig wenig veranderlich mit den Gestaltsvariabeln zu betrachten. Dann konnen aber die ersten Theilditferentiale dieser Function nicht a19 unendlich gross betrachtet werden und sie ist nach der von mir her- geleiteten Mac Laurin'schen Reihe fur Quaternionen dnnn bis zu den Gliedern mit jenen ersten Theildifferentialen ent- wickelbar in der Gleichung:

a,! = a,,,o' + a&,, u o ~ m, + a k , .%J ma + 4, w,' m3

?t3 + 4,. wo' n1 + 4?, w,; nB + oitJ,

Die Coefficienten U ; B ~ , , ~ ~ , . . ., ai3,,,ol sind nur Functionen des Werthes w: des Vectors GI' vor Beginn der Gestdtsanderung und der Temperstur.

Elastische Korper und Jicht. 183

In entsprechender Weise ergiebt sich die Leifahigkeit fur N’arme fur dieselbe materielle Linie nach der Gestaltshdernng, da auch diese eine stetige, eindeutige und nur massig ver- lnderliche Function der Gestaltsvariabeln ist , durch die Gleichung :

hmf = koa. i- KO& m, m, + Kg, q m2 + &, 9n* mg

+ KOa*, n, 121 + L a g , ?I¶ 122 + &, Th 719

In ihr ist h,; die Leitfahigkeit dieser materiellen Linie vor der Gestaltsanderung und die Coefficienten Kwr, ,,,, , . . . , I;&., ,, sind allein Functionen von wb und der Temperatur.

Allgemeiner waren die Coefficienten ai, ,,,I , . . . , k&, ol, , . . . auch abhangig von den ersten und hoheren Theilableitungen der Gestaltsvariabeln und der Temperatur nach der Zeit an- zusehen.

Der Vector g eines Punktes des Krystalles wahrend einer in ihm stattfindenden Bewegung sei gegeben durch die Gleichung :

in ihr ist w der Vector dieses Punktes in der Anfangslage nnd sp (Sw y , t) eine beliebige Vector-Function von Sw y und der Zeit t. Der Vector y sei ein Einheitsvector; es ist dem- nach fur alle Punkte einer Ebene senkrecht xUm Vector y

die Verschiebung stets dieselbe. Bezeichnen wir abkiirzend den Scalar S m y mit 9, wird

da nun

g = 0 + y ( S o y , t ) ;

S w y = const. = C

dg,, = 0 1 + d m sp (80 y , t)m,;

dw Yi = Smy y (S 7 , t)dm&oym,.= (8, t)&uIy

= S ~ , Y d , s P ( g , ~ ) + , = S o , Y ~ , r p ist, und entsprechende Ableitungen fur dwyy und d,y% gelten, folgt :

d e m l = w l + S w , ~ 4 , y , d g c o , = m a + S ~ , Y ~ ~ C P , d e y = w8 + 80, Y

Danach ergeben sich die Gestaltsvariabeln in den Formen, wenn der Werth von sp als klein angesehen w i d und kleine

184 P. Glan.

Werthe hoherer Ordnung als er selber nicht in Betracht ge- zogen werden,

m, = - Sw, y So, B, cp, m2 = - so, Y so, 4 cp, m3 = - S%YS%B,cp , n , = - - * [ q ~ ~ , Y + @ 2 S q y p g c p ,

na= - - S [ O , S O , Y + ~ , S ~ ~ Y ~ D , ~ P , ns = - S[O, Sm, Y + w, s m , y ] Dgcp.

Fth die Pectoren der elastischen Krafle ul, a,, u, ergeben sich nach dem Vorigen folgende Ausdriicke. Es wird:

t t

a, = { [ - e, (m, - Jdt m,) + ei,2 Dt (m, - Jdt m,) 0 0

t 1

t t -...I (wy- wgw;11) + PI (m, --Sd,m,) - e;,zDt (m,-Jdtm,) 0 0

t

- 4 3 Dl (m, - j d t m,) - . . .] (w:' - w g wy) 0

t

1 t

Elastische Xorper und Zirht. 185

t t

1 t

t

t 1

- e6,R UP (m, - ,fdt m,) - . . .] (20; - W; w;) 0

186 P. Glan.

1 t

Die Vectoren u ~ , ~ , c r ~ , ~ , stellen den Werth der Vectoren dar elastischen Kriifte zur Zeit Null dar und konnen in be- sonderen Fallen Nullvectoren sein.

Da der Krystall vor Eintritt der Wellenbewegung iiberall dieselbe Temperatur haben mag und deren Veranderung n u r durch die in ihm fortschreitenden ebenen Wellen erzeugt wird, ist die Temperatur beim Beginn der Warmeleitung in einer Ebene parallel den Wellenebenen constant und andert sich nur von einer solchen Ebene zur anderen; sie wird dann durch die Warmeleitung in der Art dieser Gleichmassigkeit in Ebenen parallel den Wellenebenen nicht geandert werden und sie wird sich deshalb als Function des Abstandes - Smy und der Zeit t betrachten lassen in der Form:

t = f (9, t). Der Wkmeverbrauch fur eine unendlich kleine Znstands-

anderung, bei der sich die Temperatur urn d t und die Ge- staltsvariabeln um dm,, . . dn, andern und auch die Theil- ableitungen der Gestaltsvariabeln nnd der Temperatur nach der Zeit ist gerechnet f ir die Volumeneinheit nach Frtiherem

Elastische Korper und Licht. 187

Hierin kann nach Friiherem cg durch c, ersetzt werden bei Nichtberucksichtigung von Gliedern , welche die Producte dreier kleiner Grassen als Factor enthalten.

Die Gleichung zur Bestimmung der Temperatur wird danach in diesem Falle die folgende:

Dtlk = S(sc,,a)-lBt(cc, Udgo,Btml -I- ua Udg, , B t m , + ug ud Ows Bt m3 + u1 l id 40, Bt 121 + u2 U d Qw,Dt n, + u s Udgw,Btn,J + k, (sc , ) -1D;5;

in ihr ist

k , = k , sq Y 2 + k , s w 2 Y 2 + A, so, ya + m, m, + ' - ' + *IJ n,

Da in der Gleichung zur Bestimmung der Temperatur u l , u2, u3 mit den kleinen Theilableitungen der Gestalts- variabeln multiplicirt vorkommen, brauchen die Ausdriicke filr iliese Vectoren nur bis zu den kleinen Werthen erster Ord- nung entwickelt zu werden, urn zu einer Entwickelung dieser Gleichung bis zu den kleinen Werthen zweiter Ordnung zu fiihren. Es brauchen also die in diesen Vectoren vorkom- inenden Summen oder Integrale

t t

Jh* m, , * - 7 J'dt nS 0 0

nur bis zu kleinen Werthen erster Ordnung in Rechnung ge- stellt zu werden. Nun ist

t t t

J-4 m, = a, ( t - to ) + Jut,. It), m, d f + ' * - + $a:,, 4 n3 d t * 0 0 0

Ich habe fruher angefuhrt, dass die Coefficienten der Ge- staltsvariabeln in den Ausdrucken fur die thermischen Aus- dehnuiigsindices als kleine Grossen betrachtet werden konnen, dann konnen wir auch die hier auftretenden Coefficienten at,, ,,,, , . . at,, ,,a als solche ansehen und die Integrale der letzten Gleichung auf deren rechter Seite konnen als kleine Grassen zweiter Ordnung angesehen werden, also hier fortfallen. Die Temperatur zu Beginn der Zeitrechnung ist to. Dann wird also in diesem Falle:

188 P. Glan.

t t

t

l d t m, = ag ( t - t o ) . 0

Es ergiebt sich dann aber weiter d t n l , d t n , , d tn , durch folgende Betrachtung. Die Drehung , welche eine materielle Linie der Substanz eines Krystalles bei einer Temperatur- veranderung d t erleidet, wenn er unter dem Einflusse con- s tauter iiusserer Krafte steht, mithin eine Gestaltsanderung m,, . . n3 erlitten hat, hangt ab 170n der Lage dieser Linie im Krystall vor seiner Gestaltsanderung - diese mag durch den Einheitsvector bestimmt Rein -, ferner von der Ge- stalts- und der Temperaturanderung. Sie ist erfahrungsmassig klein und kann durch einen kleinen Vector 1 dargestellt werden. der die Sehne dieses Winkels ist. Dann ware

I = r p ( ~ i , m ~ , . . n , , d t ) . Wenn auf diese stetige, eindeutige und kleine Function

die Mac Laurin’sche Reihe fur Quaternionen angewandt wird und zwar bis zu den ersten Theildifferentialen der Ge- staltsvariabeln, was geschehen kann, da sie mit den Gestalts- vnriabeln verhaltnissmassig wenig veranderlich ist , so er- giebt sich

und in dieser Entwickelung sind die Vectoren nur Functionen von wb und d t . Wenn man sie nach der letzteren Grosse, mit der sie sich nur massig andern, nach der Mac L a w i n ’ - schen Reihe fur Quaternionen entwickelt, bis zu den ersten Theilableitungen, und beachtet, dass sie mit d t verschwinden, wird :

1 = ( Ioo< + lm,,m’m, + - . . + lnJ ,oo ’n , )d t .

1 = loof + lm2, w o r m , + * - - + Ing, mop n,

Die neuen Vectoren der rechten Seite sind jetzt nur noch Functionen von w;. Der Vector loo, stellt die Drehung der betrachteten materiellen Linie dar vor der Gestaltsanderung des Krystnlles, wenn er seine Temperatur andert; diese Drehung verschwindet fur die Krystallaxen. Es ist also two, ein Null- vector, wenn w; die Richtung einer Krystallaxe hat. Da nun die materiellen Linien des Krystalles von einem seiner Punkte

Elastische Korper und Licht. 189

aus, denen nach seiner Gestaltsanderung die Vectoren .d pol, d g% , d pus zugehoren, die Richtung der Krystallaxen haben, wird aus ihnen bei einer Temperaturanderung urn d t bez.

dQ,, + I f d ~ ~ , ( ( k , , , , m ~ + . . . + i L , , , n , ) d t , d e , p + T d C ’ o o ( i ~ , , , , p m l + . . . + ( & , o n n s ) d t ,

dew, + I’d.+, ( I : ; , coJ m, + . . . + 1:. ,J n,) d t .

Daraus ergiebt sich, bei Anwendung der Ausdrucke fur die Gestaltsvariabeln, wie

n1 = - S d p,, d po0 . I’d g,, T d ow,- 1 , dt nl = - S( l&,w,~nl + . . . + L 3 , , , n 3 ) d t U d e y

- s ( 4 , , , % m l + I . . + ~ z , , , n , ) d t Udp,, , d, n2 = - S ( i ; , , % m l + . . . + i : , % n g ) d t Udg, ,

- S(( : ,08m, + . . . + i z , , , n 3 ) d t UdQ,, d, n3 = - L9(i;:,(0,m, + . . . + iC , , ,n , )d t Udg , ,

- S ( L * , , , m , + * * f + &,,,n,)df U d g , , .

Nicht berucksichtigt sind Glieder , welche von hoherer als der zweiten Ordnung in Bezug auf die Gestaltsvnriabeln und d f sind.

An gespannten Metalldrahten fand D a h l a n d e r , dass sich die Wirkung der Warmevermehrung oder der Entziehung von Warme in doppelter Weise aussert, einmal findet eine Gestalts- anderung statt, wie sie bei der betreffenden Aenderung der Temperatur dem Stoffe unbeeinflusst von ausseren Kraften zu- kommt und zweitens tritt zu dieser bei unveranderter Ein- wirkung der im Anfangszustande der Temperaturanderung auf ihn einwirkenden iiusseren Krllfte eine weitere Gestaltsanderung hinzu, welche durch die Aenderung der elastischen Constanten mit der Temperatur bedingt ist. Es mogen hier die Ausdriicke fur dt ml , . . . dt n, bei der Annahme folgen, diese Art der Wirkung der Temperatursteigerung finde auch bei anderen Stoffen statt.

Es moge ein Korper einer in allen seinen Theilen gleichen Gestaltsanderung m,, . . . n, bei der constanten Temperatur t unter dem Einflusse gegebener ausserer Krafte unterworfen werden , unter dem er sich dann im Gleichgewichte befindet;

190 P. Glan.

darauf soll er bei der constanten Temperatur t + d t unter der Einwirkung derselben Krafte die Gestaltsanderung

m, + A m l , . . . n, + A n ,

erfahren, bei welcher er sich bei der veranderten Temperatur auch bei denselben ausseren Kraften im Gleichgewichte erhiilt. I n beiden Endzustinden, in denen der Korper jedesmal in allen seinen Theilen gleiche Gestaltsandernng erfahren haben soll, verschwinden dann die Theilableitungen der Gestalts- variabeln nach der Zeit und die Vectoren der elastischen Krgfte miissen in beiden Gleichgewichtszustanden dieselhen sein. Setzt man die nach den vorigen Ausdrlicken fur beide Zusttlnde erhaltenen Werthe von a,, 4, u, einander gleich, und 18sst die Glieder mit den Producten von d t und A m,, . . . fort, folgt:

o = [ - B t ( e , ( l - z u ~ z u ; ) . l . - l ) d t m , - e l ( l - w ? u G ) . r - l A m ,

+ Bt (el (ID;' - zuz zuy) , r-1) d t m , + el (zoy

- 20; Z U ; ~ ' ) . T -1 A m2 + B, (el (wy' - wr wy) . r - l ) d t m3

+ el (u$"- wy' wy) . T - ~ A m,] U d em, - v;,o d t n,

+ v; A % ) U d e y -((b, ,; ,v<~dtn, + v r An,) U d p W 8 , - ((bV9* v i , ~ d f n, + vi A n,) U d p,,,,

+ pt (e, (wi - w: u ~ ' ) . r-1) . d t m, + e,(wi - ?ck my)

. r-l A m , - B , ( e , ( l - ~ u ~ w ~ ) . r - ~ ) d ~ m ~ - e ~ ( l - z u ~ w ; " )

. r1 A m2 + D, (e, ( ~ 5 ' ' - w;" ?oh) . r - l ) d t m,

+ e2 ( w g - t o r w;) . r-1 A m, . l i d pY + (bes#, v& d t n2

+ 4' A 722) u d em, - (bU3-. v6 d f n3 + v r A n,) U d em, - (&,I ~ $ 0 d t n,

0 =

1 0 =

Elastische Korper und Jicht. 191

Es bezeichnet, wie friiher, b den Temperaturcoefficienten eines Verdrehungsindex und zwar des dem b als untarer In- dex angefiigten , also b,,, = Bt vi . vi-1; die Temperaturcoeffi- cienten der elastischen Constanten sind ineistens als sehr kleine Grossen ermittelt worden; die in den letzten drei Gleichungen fortgelassenen Glieder enthalten danach das Product dreier kleiner Scalare als Factor. Zu Beginn der hier betrnchtetan Zustandsanderungen sol1 der Korper ohne Gestaltsilnderung und nnbeeinflusst von ausseren Kraften in Ruhe sein. Dann sind die Anfangswerthe der Vectoren der elastischen Kriifte, nam- lich a1,o , 0150, a8,o nach der friiheren Bezeichnung gleich Null,

Da die Vectoren U d p , , Udp,, Udpm, diplanar sind, folgt aus den drei letzten Gleichungeu, dass die Koefficienten dieser Vectoren in jeder dieser Gleichnngen verschwinden miissen. Das ergiebt einmal, indem wir den Coefficienten von U d g , in der ersten, den von U d e , in der zweiten und den von U d g , in der dritten gleich Null setzen:

0 = - Dt (el ( 1 - w r wg). r - ] ) d t ml + Bt (el (w;I - w i w y ) . r - l ) d t m , + D t ( e , ( i o ; " - z u ~ ' w ~ ) . r - l ) d f m 3 - el ( 1 - i u ~ ' w $ ) . r - l d m l + e , ( w ; ' - w ~ r o ; " ) . r - l d m 2

+ e , ( w ~ - w ~ ' w ; l ) . r - 1 . A m S ,

Ut (e, (wi - wit&) . r-') d t m , - D t (e, ( 1 -&wT). r-') dttn, + Z j t ( e , ( w ~ - w ~ w ; ) . r - l ) d t ~ s = - e , ( & - w ~ & " ) . r - l d m , + e, (1 - w ~ w ~ ' ) . r - 1 d m , - e , ( l o ~ - u ~ w ~ ) . r - 1 d m 3 ,

Dt (es (wb - w i w i ) . r-') d t ml+Dt (es (tug -toy wh) .rl) d tm, - B t ( e s ( l - w ; l w i ) . r - l ) d t m , = - e S ( u ~ - w ~ l o $ ) . r - l d m l - e , ( w $ - w W ; I u ~ ) . r - 1 A m 2 + e S ( l - w ; ' & ) . r - l A m s .

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich ersichtlich, dass A m,, A m,, A ms nur homogene, lineare Functionen von 9, ma , m3 sind, welche d t proportional sind. Es ist aber die Zunahme der Dehnung von d go, , welche infolge einer Temperatur- anderung d t eintritt, oder dim, d a m wie dtm, und dtm, bestimmt durch die Gleichungen:

diml = a l d t + A m , , dt m, = a, d t + A m , , dt m, = as d t + A m,.

192 P. Clan. Eaatische Kiirper und Licht.

Wenn man weiter beachtet, dass v;=&, v$ = v i , v;”=&‘ ist , und dass eine Temperaturanderung eines krystallischen Wurfels, dessen Kanten den Krystallaxen parallel sind und der nicht von lusseren Kraften beeinflusst wird, keine Ver- drehung desselben erzeugt, dass mithin im vorliegenden Falle sich die Aenderung der Verdrehungen bei einer Temperatur- anderung nur aus den soeben betrachteten ergiebt, die nur eine Folge der Veranderung der . elastischen Constanten mit der Temperatur ist, so ergiebt sich durch Verschwindenmachen der Coeficienten von Ud gY, Ud g, in der ersten, von Ud go,, Udg,, in der zweiten und von U d g , , , U d g , in der dritten der vorigen Bestimmungsgleichungen fiir Am,, . . A n , ,

dt n1 = - bult U;,O n1 d t . vi-

din , = -bb , t tv&n,d t .v { - l , dt n3 = - bu;tt v;:b n, d f , vy- l .

Ber l in , den 17. September 1896.

Be r i c h t ig un g.

Bd. 58. ((3. Schwalbe) p. 508 in der Tabelle mues a v. 0. heiseen: 11. Trockene Ptatte

Ansschlag Volt Ausschlag Volt mm mm 296,O 10,l 286,O 927 156,O 5*3 156,O 5,s 86,O 299 86,O 299 55,Q 199 46,7 196 41,O 1,4 18,O 096

I. Trockene Platte

etc. etc.

Druck von M e t z g e r & W i t t i g in Leipig.