5. Theorethwhe Unter.suchumye9a uber eIast4sche K 6 , r p e ~ ; c o n PauI G Enm.

V. Theorie dee Lichtes ale Wellenbewegung der gewohnlichen Korper.

Die Aenderungen der Vectoren der elastischen Krafte Actl, Act2, Au,, welche infolge einer unendlich kleinen Ge- s ta l tshderung eines unendlich kleinen Parallelepipeds eines elastischen Korpers eintreten, die durch die Werthe t, m,. . . . , n, der Temperatur und der Gestaltsvariabeln und deren Zunahmen d t , d m , , . .'., dn, wahrend derselben bestimmt wird, sofern diese die Anfangs- und Endwerthe diescr Grossen bei der betrachteten unendlich kleinen Zustandsanderung charakteri- siren, sind bisher nur in ihrer Abhangigkeit von den Zunahmen dt, dm, , . . . , dn, betrachtet worden. Es sind aber auch Er- scheinungen bekannt, welche eine Abhangigkeit dieser Aende- rungen der Vectoren der elastischen Kriifte bei einer Gestalts- anderung von der Zeit darthun, in der sie sich vollzieht. Die elastischen Krafte, welche das Innere eines Elementes des Korpers auf seine Umgrenzung ausiibt, kBnnen nur von seinem Zustande abhangen uiid konnen sich nicht andern, wenn es in seinem augenblicklichen Zustande erhalten bleibt und von den es umgebenden Elementen des Xorpers getrennt wird. Wir betrachten hier nur diejenigen Zustiinde desselben , bei denen es sich fortdauernd im Gleichgewichte unverandert er- halt, wenn die aussereii und inneren Kriifte in einem Augen- blicke im Gleichgewichte sind. Der augenblickliche Zustand eines einzelnen , von den angreozenden getrennt gedachten Elementes, sofern er auf seine inneren elastischen Krafte von Einfluss sein kann, wird dann nur durch die Werthe seiner Gestaltsvariabeln und Temperatur und ihrer sammtlichen Theil- ableitungen nach der Zeit bestimmt. Es konnen dann Act1, Act2, Au, nur rector Functionen der Anfangswerthe derselben uiid ihrer Zunahmen wahrend eines Zeittheilchens dt sein.

In derselben Weise wie friiher kann danii Aul, Av2, Au,

510 P. Glan.

in Ausdrucken, vermittels der Mac Laurin’schen Reihe fur Quaternionen, bis zu den Gliedern mit den ersten Potenzen dieser Zunahmen in den Formen entwickelt werden: AOC, = A’a, + A”gl + A’”v, + . . .+ dial + d ; ~ , + dyel + . . ., AU 2 - - l a 2 + A”u, + A”’oc, + . . .+ A;a2 + A;’oJ, + d;l’u2 + . . ., A a , = A’a, + A”u, + A’”cc, +- . . .+ A;u, + A;’a3 + dya, + . . . . In diesen Gleichungen ist

A’a, = ,uL;dml + y;‘dm, + pydm, + vidn, + v;‘dn, + vydn,,

Aoc, = fpL;,23t2 ml + ,412 Dt” ma + p.;:i& m3 + ~ ; , 2 - @ n1 + vi2B; nz + v;:i-@ n3] d t ,

Aa,=f ,u i ,3mn1 + p;1,3D&m2 + y ; , a m , + 4 3 1)’ n1 + v;1,3Bt3 ah + vY,b 02 12, ] d t ,

und entsprechende Gleichungen gelten * fur A I V a , , . . . , Au, , Aa,, . . ., A a 3 , Aa,, . . ., in denen die ersten Indices der vector Factoren den unteren Indices von a,, a,, a3, ihre zweiten Indices den oberen der A entsprechen und dial, . . ., A ; a 2 , . . ., A;a3 die Glieder mit den Factoren dt, 0,2 td t , D i t d t , . . . darstellen. Die vector Factoren in diesen Gleichungen sind zunachst als Functionen der Anfangswerthe ml , . . . , n3, t, B,ml , , . . , Btn3, D,t, . . . anzusehen. Diese vector Factoren kann man, wie fruher , nach Potenzen der unendlich kleinen Werthe der Gestaltsvariabeln m, , . . . , n3 entwickeln, dann sind die vector Factoren dieser Entwickelungen nur noch ah Functionen von t, Btt, . . ., D , m l , . . ., Dtn3, B;n3, . . . zu be- trachten. Fu r sehr langsame Gestaltsanderungen bei nahezu constanter Temperatur sind sie als unabhangig von den Theil- ableitungen der Gestaltsvariabeln nach der Zeit erfahrungs- massig sehr nahezu anzusehen und das ist auch die nachst- liegende Annahme fur schnelle Gestaltsanderungen. Demnach waren sie dann nur noch als Functionen der Temperatur und ihrer Theilableitungen nach der Zeit zu betrachten. Auch eine Abhangigkeit dieser vector Factoren von diesen letzteren Theil- ableitungen so11 zunachst nicht in Rechnung gezogen werden und sie waren dann nur noch als Functionen der Temperatur anzusehen. Fur alle Zustandsanderungen constanter Temperatur haben sie dann danach den gleichen Werth. Denken wir uns

Wastische K6rper. 611

ron einem bestimniten hnfangszustande aus die Gestalt cines unendlich klcinen Parallelepipeds des betrachteten elilstischen Korpws bei constantcr Temperatur unendlicli s en ig und so langsam verandert , dass die Theilableitungen dcr Gestalts- rariabeln nach der Zeit rernaclilassigt merden konnen , und es sollen die l ianten des Wurfels, zu dem dies Parallelepiped im Zustande d i n e innere elastisclic Kriifte wird, den krystallo- graphischcn Axeii seiner Masse parallel w in , weiiii er ein Krystall ist. Die Austlriicke fur A u l , d uz, Arc, werden dann die fruheren und ihre elastischen rector Constaiitcn p i , . . .v;", also diejenigen von A ' q , A ' u 2 , A'u, i n den hier cntwickelten Ausdrucken fur A u1 , A u1 , Au, erhalten ilire fruheren Wcrthe und sind in derselben Weise wie fruhcr zu bestimmen.

Es mag ietzt zweitens dasselbe Parallelepiped ron deni- selben Anfangszustande aus bei constanster Temperatur in der Wcise sich andern , dass ausser deli uiieiidlicli kleinen Zunahmen der Gestaltsvariabeln auch ihre ersteii Tlieilablei- tungen nach der Zcit beriicksichtigt werden niiissen, doch lteine 1iDlieren , dass es zuni Beispicl seine Gestalt unendlicli wenig init constanter Beschleunigung rerandcrt, dann wiirden fur die hierdurch entstehenden Zunahmen der Vectoren der clastischen Krafte A @ , , Act , , ArL, beLiehlich zu setzen scin A ' a , + d " u , , A ' u , + A " v , , A'u,+A"rc,. Die betraclitete Ge- staltsanderung sol1 derart sein, dass sich nur m,, m,, m, be- ziehlicli urn dm,, d m 2 , dm, Bndert und zwar sei dm,=w$dm,, und d m3 = zc:S dm, und die Anfangsgcstalt hierbci die eincs rechtwinkligen Parallelepipeds. Dann ist nach Friiherem

A*", = A'cc, = 0 A'u, = - el dm, V d g , , , und es wird

A ril = -el dm, l i d rp,,, + ( p i , 2 0: ml + p$Of m2 + ,u,':i Btm,) d t .

A ua= ( p i 2 0: m, + pi:2 0: m,+ p$ -% m,) d t , A u, = ( ~ 4 . 2 m, + p i 2 0: m2 + p 6 3: m3) d t .

Wenn nun die Masse des Parallelepipeds niclitk ystallinisclt ist, so muss eine Abhangigkcit der Vectoren pi,2l . . ., pi;; von einander wegen der physikalischen Gleichartigkeit der Masse in Bezug auf jede Richtung bcstehen. Zunachst ist in Bezug auf die durch A"u, , A"u, , A"ct, dargestellten Krafte. die :tub

512 P. Glan.

reinen, mit der Zeit an Grosse wechselnden Dehnungen nach den Richtungen der Kanten des Parallelepipeds hervorgehen, anzunehmen, dass sie normal zu den Flachen sind, denen sie zugehoren. Da dieses fur jedes Werthsystem 0,2m,, Dfm, , B:m, gelten muss, so sind dann pi,z, pL;:z, p?,; als parallel mit dem gemeinsamen Versor Udq, , zu betrachten, der ge- meinsame Versor von pi,^, pzz, pG ist Udgn, und Udgpw,, der yon p ; , ~ , &2, p i ; . Die Coefficienten dieser Versoren konnen dann positiv und negativ sein und mogen mit e;3, . . . bezeichnet werden. Wenn dann in Bezug auf die Kanten parallel der Richtung 1 einmal dieselbe Zustandsainderung erzeugt wird, wie danach in betreff der Kanten parallel der Richtung 2 und sich in beiden Fallen die Zustandsanderungen nach den Richtungen 2 und 3, beziehlich 1 und 3 gleichen, muss lJA"al im ersteren Falle gleich T A o l , im zweiten Falle sein, und deshalb

ei,a = ei'z I 4 , a = 4 2 , e;:B = e2,2. Entsprechende Betrachtungen in betreg der Richtungen 1 und 3 beziehlich 2 und 3 fuhren zu den Gleichungen

e;,z = e G , e 5 = "$2, el,^ = e3,Z und e & ! 5 e G , e 6 = e& , ei,2 = e&.

Daraus folgt fur einen Nichtkrystall:

111

I, I ,

e;,z = e!& = e z = e;z) , e;,z = 4 2 = 4 2 = e1,2 = e2,z = e 3 , ~ = qi) ,

A"al = (eiz) 0: m, + e& 0; m, + e& 0: m,) U d gpm, d t A"a2 = (ei;, 0; ml + etal 0: m2 + e?) D,? m,) U d c p , d t , A' CL, = (e& 0: m, + e& 0: m2 + e& 0: m,) U d gp,, d t .

Da die Vectoren pi,^, . . nur als Functionen der Temperatur in betreff ihres Tensors anzusehen sind und die betrachteten Gcstaltsanderungen als unendlich klein , konnen die letzteren Ausdriicke allgemein die GIieder mit den Beschleunigungen der Dehnungsvariabeln in den Vectoren A'a, , A"a2, A"a, fur einen Nichtkrystall darstellen.

Wenn die Beschleunigungen der Gestaltsvariabeln nicht constant sind, jedoch ihre dritten Theilableitungen nach der Zeit, muss zu den beiden ersten Gliedern in den allgemeinen

I,, ,,I ,I

und also in diesem Falle:

Elastische Korper. 513

Ausdrucken fir A u l , A u a , Au, auch noch das dritte, also beziehlicli A"'ul, A"'u, , A"'u3 hinzugefugt werden. Ent- sprechende Betrachturigen, wie sie eben angestellt wurden, fuhrer1 dann bei einem Nichtkrystall zu ahnlichen Ausdruckell fur die Glieder mit den dritten Theilableitungen der Dehnungs- variabeln nach der Zeit, wie sie eben fur die rnit ihren zweiten hergeleitet wurden. Die beiden Constanten in ihrien miigen mit e:s, und el;, bezeichnet werden und in ahnlicher Weise sind auch die weiteren Glieder in den Ausdriicken fur d u x , d ua, d u3 fiir n'ichtkrystalle zu bilderi , welche die Theil- ableitungen der Dehnungsvariabeln nach der Zeit enthal ten.

Dn die vector Factoren in den Ausdriicken fur d u l , d u 2 , Au, nach dem vorigen nur a19 Fulictionen der Tem- peratur anzusehen und mithin bei gleicher Temperatur fur alle unendlich kleinen Zustandsiinderungen die gleichen sind, konnen sie rnit Hulfe besonders gewahlter bestimmt werden. Es mag sich zuerst bei conatanter Temperatur nur n1 urn d n , andern, B:n,, Dfn, und die hoheren Theilableitungen nach der Zeit dagegen verschwindend klein sein. Man wurde dann in derselben Weise wie friiher finden

V; = - vi lidq,,, ~i = - v.; Lid?,,. V; = 0;

und in entsprechender Weise wie fruher, wenn stets die zweiten und haheren Theilableitungen der Verdrehungsvariabeln nach der Zeit unberlicksichtigt bleiben konnen,

vy=0, v $ = - v ~ U d ~ ) ( , , ~ , v i=-v iUdcy , , und V ~ ' = - U U ~ ~ ~ , ,

v13(t=0, v;'= -vvp'Ud(p,,.

Sind die betrachteteii Gestaltsanderungen bei constanter Tem- peratur derart, dass auch die zweiten und hijheren Theil- ableitungen der Verdrehnngsvariabeln nach der Zeit beruck- sichtigt werden mussen, so ist zunachst anzunehmen, dass durch das Hinzukommen der Glieder rnit ihnen in den Aus- drticken fur A u , , A u 2 , d u3 nur die Griisse der Kraft verandert wird, und im besonderen die Glieder rnit den zweiten und hoheren Theilableitungen einer Verdrehungsvsriabeln, z. B. 5, einen vector Zuwachs von derselben, oder entgegengesetzten, Richtung erzeugen wie das Glied mit dem ersten Differential dieser Verdrehungsvariabeln. Dann ware also zu nehmen

Ann d Phys. u. Cheiii. N. F. %I. 33

514 P. G h n .

V;,Z

v I , ~ = - vi',; UdQo, , . . ., u;:; = - V;,Z Udcp,,, . . .l ~ g 2 = - V ~ Z Udcpw,, . . .) ~ 4 2 = 0

- ~ ; , 2 U d ~ ~ ~ , , . . ., v C ~ = 0 = V Y , ~ = . . ., 111

,!I 111

V ~ ; A -- . . ., v;22 = o = t ~ ; , ~ = . . . , g2 = - ?)x2 ua?,,, . . . , VG = - V$Vdcp,,, . . .

Wenn sich die Temperatur wahrend des Zeittheilchens d t bei constanten ausseren Kraften urn d t andert, findet dabei kein Kraftzuwachs statt und die allgemeinen Ausdriicke fur d a,, A az, A a, ergeben in diesem Falle:

d;al+d;'al+d;l'a,+. . .=--jd'al+d1'uz+A'a3+. . .), d;f%z+d;'a,+dd;l' az+. . .= -~d ' f%~+L'uz+d" 'a3+. . .), A; a3 + A;'@, + A;" +. . . = -{d'c~, + d"a3 + ~ " ' c c , +. . .),

und es miissen in La,, . . ., d'az, . . .) d'a, . . . beziehlich dm,, B,Z m, d t , . . . , dn,, Djn, d t , . . . ersetzt werden durch

Dn bei einer Zustandsanderung, bei der elastische Krafte entstehen, die Vectoren derselben - wie friiher hergeleitet ward - der Gleichung geniigen miissen:

d t m l , Dt(dtm,)i - * dta31 Bt(dtn3)i * * *

q d ~ , d y o , + Aa,dy, ,+ da,dy,,)=O, so ergiebt sich mit den neuen Ausdriicken fiir du,, du2, doc, aus ihr die Gleichung:

P U d cy, U d ywI (4 - vi) (d n, - 4 n,) + P U d 9% Vd y,, (v; - v$') (d TZ, - dt nz) + Y U d qma Ud y,, ( v r - v y ) (dn, - dt n,)

+ 7 U d q w , ud yw2 ($2 - 4 , 2 ) (D? a1 - Bt (4 8,)) d t + PUdy,, Udqp,,(v~z--&) (-W2-BD,(dtn,)) d f

+ 7 U d qm8 U d y,, (v& -v$) (0: n3 -B, (dt v,)) d t f... = O .

Da diese Gleichung fur beliebige unendlich kleine Werthe der Differenzen ( d n , - di n J , . . . l (UZn, - Bt(d,n,)) d t : . . . be- stehen muss, folgen aus ihr die Beziehungen:

I f I , 11, - 111 I I , I , ,I, 11, 4=4, v2=v3, 03 -v1 1 v1,2=05,2, v2,2=2'3J, v3,2=01,2, . * . Fiir einen NichtkrystaZZ ergiebt sich daraus, dass elastische

Krafte von gleicher Grosse erzeugt werden miissen, wenn

Eastische Korper. 515

einmal bei constanter Temperatur eine Gestal’tsanderung d 3, Bfn,. d t , . . ., dann dn2? D:n2. d t , . . ., endlich dn,,@n,. d t , . . . ausgefiilirt wird und

d n , = d n Z = d n g , D : n , d t = B : n , d t = B : n , d t , . . . gewiililt w i d und dass dies fiir jedes unendlich kleine Wcrth- system der ersten und hoheren Theilableituiigen der Ver- drehungsvariabeln nach der Zeit stattfindeii muss, dnss

? ? , r ,!, ,,, v , = 132 = V? = v:< = u3 = v1 = V ) I , ,I ,,, I , ,

U1,2 = V?,? = C?,? I; U3.2 = ‘13 3 = V1 2 = V,?, , ,- sein miissen.

Der Wiirmeverbrauch d wq der betrachteten unendlich kleinen Zustandsiinderung ist mit ihr und diese wieder durch die sie bestimmenden Elemente bestimmt und also eine Func- tion der letzteren. Diese sind nun, wie friiher gezeigt wurde, die ihren Anfangs- und die ihren Endzustand bestimmenden Werthe. also in diesem E’alle m, ? . . ., n,, t, Ot m, , . . . Btn3 , B, t, . . . und die Zunahmeu dieser Grossen beim Uebergange zum Endzustand, mithin die unendlich kleinen Grijssen dm, , . . .?

dn,, d t , D f m , d t , . . .) D f n , d t , D i t d t , . . . Xs kanii folglich der in Betritcht kommeude Wiirmeverbrauch d wT vermittelst einer Gleichung r o i l der Form

d w p = f ( m ],... t, D t m l , ... B,t ,..., dm, ,... d t , JJim, d t , . . . 0: t d t , . . .)

nusdriickbar aiigenommen werdeii. Diese Function des Warme- verbrauchs eiiier unendlich kleineii Zustandsanderung der be- trachteten Ar t eines unendlich kleiiien Theiles eiiies elastischen KBrpers gerechnet fur die Volumeiieinheit kann nach Potenzen der durch sic bewirkten Zunahmen ihrer Zustandsvariabeln durch M a c L a u r i n ’ s Reihe entwickelt werden in der Gleichung:

+ - LLfo - - B ; t d t f . . d (D; t d t )

d a sie mit diesen Zunahmen zugleich verschwinden muss und wegen deron unendlich kleiner Grosse und der Stetigkeit der Function in Bezug auf sie die Glieder mit den hoheren

338

516 P. Glan.

Potenzen derselben als der ersten unberiicksichtigt bleiben diirfen. Wir denken uns die behandelte unendlich kleine Zustandsanderung eines unendlich kleinen Parallelepipeds des KSrpers in umkehrbarer Weise ausgefiihrt, es sollen sich also bei ihr innere und aussere Krafte nur verschwindend wenig unter- scheiden, sodass sie in der Rechnung als gleich gesetzt werden konnen, wie auch die eigene Temperatur des Parallelepipeds und die des dasselbe umgebenden Stoffes. Es muss dann d wp, : S ein vollstandiges Differential d 3’ einer Function P der Zustandsvariabeln sein, wenn 5 die absolute Temperatur des Anfangszustandes der betrachteten Zustandsanderung des Parallelepipeds ist. Wenden wir auf diese Zustandsanderung den Satz der Erhaltung der Energie an und bezeichnen wie friiher den fiir die Volumeneinheit gerechneten Energiezuwachs in Warmemaass mit d U und mit a das mechanische Warme- aquivalent , und ist die Arbeitsleistung der ausseren Krafte bei derselben

8 [a1 ( U d y w , d m, + U d yuh d nl) + 012 ( U d y w * d m, + U d yo, d n,)

+a3(Ud$&$m3+ UdgD,,dn,l,

ebenfalls gerechnet fur die Volumeneinheit, so ergiebt sich : 1 dw,=d U- ,S[a, (Udy, ,dml + Udy,dn,)

+ 01, ( U d y w * d m , + Udyw,d7%)

+ fl3 ( U d yo, d m3 + .cTd p o l d nJ1. Da die Energie U nur vom augenblicklichen Zustande eines Korpers abhangt, so kann sie als Function seiner Zustands- variabeln angesehen werden und wir konnen deshalb fiir ihr Gesammtdifferential d U schreiben:

Die Gleichung, welche die Constanz der Energie bei der be- trachteten unendlich kleinen Zustandsanderung ausdruckt, muss fur beliebige solche von demselben Anfangszustande aus gelten, also fur beliebige unendlich kleine Werthe der Zunahnien del-

Elastische Kiirper. 517

Zustandsvariabeln von denselben Anfangswerthen aus. Dann mlissen jedoch in ihr die Factoren je einer solchen Zunahme die Summe Null ergeben, und es folgen also aus ihr, wenn man die Gesammtdifferentiale d w , und d U durch die soeben fur sie entwickelten Ausdriicke ersetzt, die weiteren Gleichungen :

und da

wie friiher gezeigt ward, nimmt die Qleichung der Constanz der Energie f i h die betrachtete unendlich kleine Zustands- anderung die Form an:

d U d ( U / m, I

+---- - - - I $ m , d t + . . .

518 P. Glan.

Da d wq=% d P=% faml F d m , + . . . +Dt F d t +aD, m,li)D;ml d t + . . .

+ D D , t P D j t d t + - ist, kann die Gleichung der Constanz der Energie fur die be- trachtete unendlich kleine Zustandsanderung in folgender Form geschrieben werden:

a {om, Udm, + . . . + Dt Udt + DDtm, UB? m,dt + . .. + B D t t uot" t d t + .. .f =(&a, Udcpwldml+. . .+Sa3 UdSPwldn,l+a%(D,Pdm,+. . . + Dt F d t + DD,,,PD,2 ml d t+. . . + DDtt PO," t d t+.. .].

Da diese Gleichung fur beliebige unendlich kleine Werthe der Zunahmen der Zustandsvariabeln gelten muss, folgen aus ihr einmal die schon zuvor hergeleiteten sechs Gleichungen; nach Einfiihrung der Theilableitungen -~ d f o

d (dwr,) ' ' * " 1 __-- - d f a +,Scr, Udcp,,, ... d U

d m , d ( d m , )

und d a m die weiteren Gleichungen :

d U S d F

d U - S d E

-=- d t dt '

5 E d F _- d U , . . . -- d (Dt ml) d (Dt m,) d ( D t n d d ( D , n s ) '

. . . . . . . . . . . . . . Differentiirt man die erste nach einer anderen Zustandsvariabeln als t , z. B. D,m,, und von den folgenden Gleichungen die- jenige, welche die Theilableitungen nach dieser Zustands- variabeln, z. B. nach D, m, , enthalt nach t und subtrahirt die beiden differentiirten Gleichungen von einander, so folgen Gleichungen von folgender Art, da U und P Functionen der unabhangigen Zustandsvariabeln sind ;

h'lastische Kvrper. 519

Infolge derselben fuhrt dann das vorige System von Gleichungen xu den neuen Gleichungen:

und die Cleichung ziir Bestimmurig des If-iirmeuerbrauches der betrachteteii uneridlich kleinen Zustandsiiiiderung des P:Lrallel- epipeds gerechnet fur die Voluineneiitheib mird dic folgende :

'X a

d 7 0 ~ = s cg d t - - Bt S { cil c' d yo,, J m, + rc2 LTd ym, d m2

+ c3 I / ' d y , d m , f ccI l idry , ,dn , -+ ccz Udcpo,,dn2 + ccg l i d y , , , d n , I .

Wir werderi nun tiuch die linearen tltermischen Ausdehmings- indices a l , a2! ug cines unendlich kleinen Theils des betrach- teten elastischen Kiirpers riach deli l i ichhtqen deer Hauptaxen aeines E'llipsoids der Gestaltsanderurty nichk nur als Functionen der Dehnungen seiner Masse nach diesen Richtungen anzusehen haben, sonderii allgemein aucli als solche ihrer Ableitungen nocIi der Zeit, ausserdem abhiirigig vori der Temperatur und ihren Ahleitungen nach der Zeit. Sie sind also jetzt allgemein als Functionen von

zu betrachten. Es ist auch jetzt zuniichst anxunehmen, dass bei einer Temperaturanderung dieses unendlich kleinen Theils urn d t bei constanten iiusseren Iiriiften seine Hauptaxen des Ellipsoids der Gestaltsiinderung nur ihre Liinge, doch nicht ihre Riclitung Bndern. Es kijnneii bei den hier behandelten unendlich kleinen Gestsltsiinderungen allgemein auch nur die Dehnungen

als unendlich klein angesehen werden und wir werden des- halb a ] , a2 , u3 d l g m e i n nur i n Hezug auf diese Variabeln nach M a c L a u r i n ' s Reihe in einc Potenzreihe entwickeln kijnnen, welchc :tuf die (;lieder niit den ersten Potenzen dieser

520 P. Glan.

Variabeln beschrankt werden darf. Wir werden deshalb wie friiher

schreiben konnen und aus diesen Gleichungen in derselben Weise wie friiher fur einen Nichtkrystall erhalten:

a , = u + a ' ( __ - 1 + ) at!( ~- ""'2 1) + u"(32 - I ) , X ?;.

-"* 1) f a, = a + a" (+ - 1 ) + a' (* - 1) + a"("- - - '12 -'h

- '12 - ' I 2 -112

a3 = a + a" (+ - 1) + a" (+ - 1) + a' (+ - 1) i

aber a , a;, . . .> air7 beziehlich a , a', a" sind jetzt allgemein als Functionen von

-'I* 1) , D t ( % 4 ) ) Bt(?-l), Bt(+- - 'I2 -'h

- 112

B;(+ - l ) , . . .) t , D,t, o;t, . . . zu betrachten.

I n entsprechender Weise ergeben sich fiir einen Nicht- krystall die Werthe der Jeitungsfahigkeiten fur Tarme in einem unendlich kleinen Theile desselben nach den Richtungen der Hauptaxen des Ellipsoids der Gestaltsanderung der letzteren vermittelst der Gleichungen :

c1 -'/a -'h -'is

k , = k + k"(- - 1 ) + K ' L - ( 1) + k"(+ - 1) > X Y

Elastische Korper. 521

I n ihnen sind k , k', k" allgemein als Functionen derselben Variabeln anzusehen, wie zuvor a . a'. a". Hier bezeichnen wie fruher

stets die Dehnungen der Linien der Substanz um einen Punkt, welche die Hauptaxen des Ellipsoids der Gestaltsanderung des unendlich kleinen, ihn umgebenden Massentheilchens bilden.

Wir wollen uns jetzt einen unendlich ausgedehnten elasti- schen Korper denken, in dem ebene Wellen fortschreiten. Die Art der Schwingung der einzelnen Theile in diesen Wellen muss so beschaffen sein? dass sie mit den Gleichungen fiir die Bewegung in elastischen Kiirpern vereinbar ist. Da die Vor- gange an den unendlich entfernten Grenzen des Korpers die Bewegungen nicht beeinflussen konneri , welche in endlicher Entfernung von dem im Endlichen angenommenen Anfangs- punkte 0 der Vectoren stattfinden, koniien wir bei der Be- trachtung dieser im Endlichen vor sich gehenden Bewegungen die Vorgange an den unendlich entfernten Grenzen beliebig so annehmen, dass sie der Gleichung fur die Grenzflache eines elastischen Korpers geniigen und bra uchen dann diese Vor- g h g e und diese Gleichung nicht weiter in Betracht zu zichen. Wir wollen die in ebenen Wellcn vor sich gehende Beweguiig betrachten , welche durch folgende Gleichuiig bestimmt wird:

.

Sie enthiilt die vorlaufig noch unbestimmte Function f ( S ( w / o , ) , t ) zu dem Zwecke, durch spatere Berechnung derselben diese Bewegung so zu gestalten, dass sie die Gleichung fur die Bewegung im Innern der elastischen Kiirper befriedigt. Da sich in diesem Falle alle Punkte, fur welche S(m/o) , ) den- selben Werth hat, in gleichen BewegungszustLnden betinden, SO sind die Ifilhiebenen senkrecht zu o1 und pflanren sich in der Richtung des rectors mi fort. Ihre E'ortpflanxunysgeschu+a- digkeit ist Zh, die WeZZenZange ist 4 1 und die Schwinyungs- dauer 4 : h . Es bedeutet ferner E in ihr die Basis der natiir-

522 2’. Glan.

lichen Logarithmen und g und j gegebene Scalare. Die Function f ( 8 (w / w,), t ) sol1 eine scalar Function ihrer scalar Variabeln sein. Das zweite Glied der rechten Seite der Gleichung fur den variabeln Vector p stellt kreisformige Langsschwingungen dar , welche in Ebenen senkrecht zur Wellenebene um die Ruhelage P eines Theilchens statt haben. Die Bahnebenen der Theilchen sind hierbei parallel der die Vectoren w, und w 3 enthaltenden Ebene und der Fortpflanzungs- richtung der ebenen Wellen, namlich derjenigen von w,. Die Radien oder Amplituden dieser Schwingungskreise sind 9 &-jNw/42wJ, der Schwachungsindex derselben ist &-J41 und gibt die verhaltnissmassige Abnahme der Amplitude beim Fort- schreiten um die Langeneinheit an. Seinen Exponenten j / 4 I wollen wir den Yernichtungsindex derselben nennen. Der Scalar g und die scalar Function. f ( S ( w / w , ) , t) sollen als un- endlich klein im Folgenden behandelt werden.

Dann werden

Fiihrt man zwei neue Scalare g, und u ein, welche durch die Gleichungen

j -=glcOsu,

bestimmt sein mogen, so wird

7c - = g, sin u 2 4

Elastische Kiirper. 523

- h t ) - u ] w 3 ] + d f ( S : , t)@,w3; ferner ist

dSpWP = ma, d q , , = WQ'

Danach werden die Gestaltsvariabeln., wenn man die Ent- wickelung bis zu den in Bezug auf g und f ( S ( w / o l ) , t ) un- endlich kleinen Grossen zweiter Ordnung susfiihrt und ab- kiirzend

mit s' und

m2= 0 = m3 n1 = 0 = n2, n3 = s"(1 + s').

Die Pectoren der Hauptaxen des &'ll+soids der Gestalts- anderring fiir einen Punkt des Korpers, nach den friiheren Bezeichnungen also die Werthe von c ; ' l S p1, c;'la p2, c;'/s p3, ergeben sich im vorliegenden Falle in folgender Weise. Da bei der hier betrachteten Wellenbewegung alle Punkte einer Ebene senkrecht zum Vector w1 dieselbe Verschiebung er- leiden so erfahren solche Ebenen keine Gestaltsanderung. Der Kreis, in dem eine solche Ebene eine unendlich kleine Kugel um einen Punkt des betrachteten elastischen Korpers vor Beginn der Wellenbewegung schneidet, bleibt mithin wSihrend derselben ein solcher mit demselben Radius und wird also ein Kreisschnitt des dem Punkte zugehorigen Ellipsoids der Gestaltshderung. Sein Radius bestimmt folglich die Lange der mittleren Hauptaxe dieses Ellipsoids; da er keine Dehnung erfahren hat, muss - wenn wir die Dehnung der mittleren Hauptsxe eines derartigen Ellipsoids der Gestalts-

524 P. Glan.

anderung mit c;ll% : y - 1 bezeichnen - diese Grosse Null sein, und dernnach wird

c, = y-2.

Die Gleichung des Ellipsoids der Gestaltsanderung haben wir friiher in der Form

SQ Yo Q = 1 gegeben und die vector Function y , ~ durch die Vectoren drpw,, d y % , dgDwo ausgedriickt. Die Versoren der Vectoren der Hauptaxen dieses Ellipsoids sind die Versoren der Werthe von e , welche der Gleichung

yeyoe = O geniigen. Mit den vorliegenden Werthen von d yw, , d yw., d yw3 nimmt die Function yo e die durch die Gleichung

y o e =.zd2 (wl Sw, Q + 0, (1 -s') S w2 (1 -8') Q + [a3 (1 -8')

-s"wl] S[w3 (1 -s'"''wl] Q]: (1 -s')Z

bestimmte Form an. Die drei Wurzeln der vector Gleichung Pe yo Q = 0 sind die drei zu einander rechtwinkligen Einheits- vectoren /3,, p, , p3, mit rler Eigenschaft, dass yo pl = - c1 pl, yo pz = - c, /I,, yo /?, = - c3 p3 wird. Da nun

c, P a = - Y- bl a1 P a + w2 8% P 2 + w3 S (33 P A und demnach

y o 1 3 , + c , ~ z = y - " ~ l s [ o , ( 2 s ' + 3 8 ' 2 ) - - S"

- s" w,)] pz - w3 8s'' w1 p,) (1 - sy ( ~ 3 (1 -s')

ist, denn I, y , z konnen a19 gleich gross angesehen werden, und da yo /I2 + c, la, verschwinden soll, ist dies nach der letzten Gleichung nur moglich, wenn der Einheitsvector pz senkrecht zu w1 und w3 und mithin gleich w, ist. Der Vector der mittleren Hauptaxe des Ellipsoids der Gestaltsanderung ist demnach yr iz und liegt in der Wellenebene.

Die Versoren der beiden anderen Hauptaxen, PI und b,, miissen danach in der Ebene der zum Vector w, senkrechten Ebene der Vectoren w1 und w3 liegen und also in der Form x'w,+z' w3 darstellbar sein; die Scalare x' und z' sind durch

Elastische KGrper. 525

die Gleichung 2 ' 2 + z'2 = 1 zu verbinden und der Vector x' w1 + z' GI, muss der Gleichung

yo Q + c g = 0 geniigen, die auch den Scalar c bestimmt, durch den die Tensoren cf/% und cf/2 dieser Hauptaxen gegeben sind. Nun wird mit dem vorigen Werthe von yo0 und der Ersetzung von Q durch x' w1 + z' w 3 die letzte Gleichung die folgende:

, -2 (1 - S')S

0 = -{- w1 [5'- Z'd ' (1 - s') + x' s"2]

- w, [z' (1 - s')2 - 5' s" (1 - s')]) + c 2' w1 + c z' 0,.

Sie kann nur dadurch befriedigt werden, dass der Factor von w1 und der von w, einzeln verschwinden und das fuhrt nach Fortlassung des gemeinsamen Factors - 2- a x' : (1 - s ' ) ~ und nach Bezeichnung von x2 c (1 -s')2 mit C und von z' : x' durch A zu den beiden Gleichungen:

1 +s"2 -C- -As" ( l - s ' ) = O ,

- S " ( l - s ' ) + A ( ( l - s s ' ) 2 - C ) = 0 .

Durch Elimination von C aus ihnen gelangt man zur quadrati- when Gleichung:

(8'12 + 2 s' - s'2)

s" (1 - s') A2 - - - A - l = O ,

welche die beiden Werthe:

Da das Product A, A, = - 1 ist, ist der Scalar

SP, (33 = Sz;58fi)l + A , + A, as) = 0 , und die geforderte Rechtwinkligkeit der Versoren der zu be- stimmenden Hauptaxen des Ellipsoids der Gestaltshnderung fur die ermittelten Werthe derselben xi (wl + A, 0,) und J& (wl + A, w,) damit bewiesen.

Aus der letzten der beiden Gleichungen zur Bestimmung von A und C ergeben sich dann hie Werthe von c1 und c3 vermittelst der Gleichungen :

526 P. Glan.

c1 = 2-2 (1 - ] 7

c3 = I-2 (1 - sf! } . A, (1 - S')

A, (1 - s')

Wenn s" Null wird, ergiebt sich A, = 00, A, = 0 und mithin

PI = w37 p 3 = w1,

wenn jedoch s' verschwindet, wird sfr s"a sII p a

A, = 1 + y + a, A, = - 1 + - - -, 2 8 und folglich

P , = u + ; { w , + w , +

Da nun s" eine kleine Grosse ist, betragt der Unterschied der Richtungen von p,, beziehlich rS,, in den zuletzt be- trachteten beiden Fallen fast 45O.

Danach erhalteu wir fur die Grijsse der Dehnungen nach der Richtung der Hauptaxen des Ellipsoids der Gestalts- anderung von einem Punkte des betrachteten Korpers aus, also fur ~ ~ ' 1 2 : 3 - 1 , c;'/z : y - 1, c;l1, : z - 1, die folgenden Ausdriicke:

c ; l / : : y - 1 = 0 ,

Der elastische Korper von unendlich grosser Ausdehnung, in dem die behandelten ebenen Wellen sich fortpflanzen, mogen ein Nichtkrystall sein. Fur ihn gelten dann die fur einen solchen zuvor angegebenen Werthe der thermischen linearen Ausdehnungsindices a , , aa , a, nach den Richtungen jener Haupt- a.xen mit den soeben im vorliegenden Falle entwickelten Werthen von (c;'" :I - 1), (cf1~ : y - l ) , c$/* : z - 1). Es ergiebt sich ferner mit den in diesem Falle anzuwendenden vorigen Werthen von PI, P2, 1, und d y w , , dym2, dyw,, wenn Glieder von hoherer als der zweiten Okdnung in Bezug auf die kleinen Grossen st und s" unberucksichtigt bleiben,

Elastische Kzrper. 527

sfQ 1 + s'+ s'2 - -

sp, Udcpw, = V T T Z 2 ~ ( - 1 + " - A 1 s " ) ,

8 / 3 2 Udvw,= 07

sp, U d y , , =

Spl Udy,,= 0 ,

-__ (- 1 + s'- A , s"), ) / F A A : .

813, UdyWe = - 1, i S p 3 Udcpm, = 0 ,

s/3, Udy, , = 0, A,

4 )/i>z ' s/3, Udcp,,- -

sp, Udy, , = - ~ / l + a z , '

und danach infolge der friiher entwickelten Gleichung zur Bestimmung des thermischen linearen Ausdehnungsindex nach einer beliebigen Richtung von einem Punkte eines Kiirpers, der sich in dieser Hinsicht wie ein Krystall verhalt,

s t l a a -'la (1 - s'+ A , s " ) ~ ad Vw, (L x - l ) ' ( l + f q ) = a + at (1 + s'+ sr2- T ) {

(1 - s'+ A, s")* - 'it + ( + - I ) - (l+A!F-} + a " ( 1 +s'+s'2--

- 'I2 (1 - s'+ A, s")~ --% (1 - S'f A, s")* (1 + A % ) I l + (L- 1 ) _______

X

c1 -% -'I2

ad Vw, =a + a" (- $- - I ) + a " ( 6 - - 1 1 ,

a d Vw8 = a + a' { ("- 5 - 1) : (1 + ~ ; 2 ) + (53;- - 1) : (1 +A; 2))

+ a" { (+ - I ) : (1 + A; 2) + r%- - 1) : (1 + A; 2)) .

- v 2 - '12

- ' l a -'/2

Die Veranderungen , welclie die Gestaltsvariabeln erleiden, wenn sich die Temperahcr eines Theichens um df andert, also nach der friiheren Bezeichnung die Werthe von d t m l , dtm2, d t m , , d in l , dt n 2 , dtn,, welche friiher fur irgend eine stetige Gestaltsanderung cp (c. , t) eines Korpers entwickelt wurden, mogen hier nach einigen fur den vorliegenden Fall angemessenen Umformungen folgen. Wenn man beachtet, dass, da PI , /I2, P3 drei zu einander senkrechte Einheitsvectoren sind,

528 ' P. Glan.

Elastische . KoTper. 529

530 P. Glan.

In einem besonderen I f d e lassen sich die Werthe der Coefficienten a’ und a” bestimmen. Nach Messungen von R. D ah lande r , der den thermischen linearen Ausdehnungs- index von Drahten aus Messing, Neusilber, Kupfer und Eisen im ungespannten und durch verschiedene Belastungsgewichte bewirkten gespannten Zustande ermittelt hat , findet er fur die von ihm untersuchten Stoffe, dass der Unterschied dieses Index im gespannten und ungespannten Zustande wenn nicht ausschliesslich , doch wenigstens zum allergrossten Theile von der Aenderung herriihrt, welche die elastischen Constanten des Stoffes bei Veranderung der Temperatur erleiden , durch welche sich die Grosse der Dehnung eines Drahtes bei un- verandertem Spannungsgewichte mit der Temperatur andert. Ein Draht aus nichtkrystallinischem Stoffe sei durch ein Ge- wicht p gespannt, sein Querschnitt sei g . Der Vector w1 liege in seiner Axe und sei von seinem Befestigungspunkte nach abwarts gerichtet. Die drei zu einnnder rechtwinkligen , un- endlich kleinen Linien x w, , y w2 , z o3 von einem Punkte des Drahtes aus bleiben rechtwinklig nach der eben erwahnten Spannung desselben, sie bilden also die Hauptaxen des Ellipsoids der Gestaltsanderung fur diesen Punkt. Ihre Dehnungen sind also die Werthe von

( C p : z - 1) ,, (+y - l), (c,lh:z - 1)

in diessm Falle, und werden, wenn wir uns die Streckung so ausgefuhrt denken, dass die durch sie entstehenden Aenderungen der Temperatur rasch ausgeglichen werden, nach den fruher gegebenen Werthen von el, a2, a3 fiir eine Gestaltsanderung eines nichtkrystallinischen Korpers,

c;’” : 2 - 1 = p : q e , c ; ’ / 2 : 9 - 1 = w p : q e = cy1/2 : z - 1.

Der Unterschied des linearen thermischen Ausdehnungs- index fur Warme in der Richtung der Drahtaxe im gespannten und ungespannten Zustande wird danach nach den zuvor ge- gebenen Ausdrucken fur a,, a2 , a2 bei einem Nichtkrystall clurch die Gleichung

al - a = (a‘+ 2 a” w)p : q e

bestimmt. Dieser Unterschied kann in den von D a h l a n d e r nntersuchten Fallen zunikchst gleich der Aenderung der Dehnung

Ehstische Korper. 531

des Drahtes gesetzt werden, welche dasselbe Gewicht p bei einer Steigerung der Temperatur um l o C. und der sie be- gleitenden Aenderung der elastischen Constanten erzeugt. Es ergiebt sich in diesen Fallen demnach weiter

al - a = - - p B i e : p e 2 .

Durch Vergleichung der beiden letzten Gleichungen folgt, wenn wir den Quotienten B, e : e abkiirzend mit b, bezeichnen,

a'+ 2 a" w = - be. Es mag nun der Korper einer Gestaltsanderung unter-

worfen werden , welche aus drei gleich grossen, zu einander rechtwinkligen Dehnungen besteht. Die Richtungen derselben mogen beziehlich diejenigen yon wl, w2, w3 sein. Fur jedes Element des Korpers ist dann

Die Gestaltsiinderung sol1 als bei constanter Temperatur statt- findend angesehen werden, dann sind die Vectoren der durch sie entwickelten elastischen Krafte nach den friiher gegebenen Ausdriicken fur sie vermittelst der Gleichungen

m3' m, = m2 =

e al = - m,(l - w ) ~ - Udgn,,,

e a2= - m Uf i y w a ,

( 3 - 4 )

e (3-t) U d S p w a , I ct3 = - m,

bestimmt. Jetzt mag derselbe KGrper unter dem Einfluss derselben a,usseren Krkfte drei gleiche, zu einander recht- winklige Dehnungen mi, mi, rn; beziehlich nach denselben Richtungen wie zwor erleiden, aber jetzt bei der constanten Temperatur t + d t, wahrend die soeben betrachtete Gestalts- anderung bei der constanten Temperatur t stattgefunden haben mag. Dann miissen auch, da die inneren und ausseren Erafte nach Eintritt dieser Dehnungen im Gleichgewichte zu denken sind, die hierbei entaickelten elastischen Widerstandskrafte

34*

532 P. Glan.

dieselben wie zuvor sein. Wenn e und v , wie kurz zuvor die Werthe des Dehnungs- und Verdrehungsindex des betrachteten elastischen Korpers bei der Temperatur t bedeuten, ergeben sich fur die Vectoren a,, a,, as dieser elastischen Krafte aus den allgemeinen Ausdriicken fur diese Vectoren bei einem Nichtkrystall in diesem Falle die durch die folgenden Gleichungen bestimmten Werthe :

a 3 = - ~ + a - d t ] m ; Udqp,. [ 3 ep 3 - -

Durch Gleichsetzung der beiden, fur denselben Werth von a,, beziehlich a2 oder a3 zerfallenen Ausdrucke ergiebt sich danach

mi-m,=e-l ( 3- - v ) e -1 ( - 3 D t e f F D t V ) e2 (mi+(mi-m,))*

Nun ist aber fur die zuvor genannten Stoffe mit grosser An- ntiherung

und diese letztere Differenz ist wieder nach den zuvor ge- gebenen allgemeinen Ausdrucken fur a l , u 2 , a3 bei einem Nichtkrystall im vorliegenden Falle, in welchem m, = m, = m3 ist, gleich (u’+ 2 u”)ml; nimmt man dies fur a,-a und jenes fur mi - m,, so folgt aus dem Vorigen

a , mi - m, = a, -

a’ + 2 a” = e-1(3 - +)-’ ( - 3 Dt e + -$ Dt v)

: [l - e - ‘ ( 5 - ~ ) - 1 ( - 3 3 * e + F D ~ v ea

oder, wenn wir vorher D t e : e mit be und D t v : v durch 6, ab- kiirzend bezeichnen,

a ’ + 2 a ’ ’ = ( 3 - ~ ) - 1 ( - 3 b , + $ b , ) : 11- (3-q)-1(-3h,+q6,)].

Wir hatten zuvor gefunden

u ’ + 2 a ” ( l -&) = - - h e .

Elastische Korper. 533

Aus den beiden letzten Gleichungen ergiebt sich danach, menn man Glieder fortlasst, welche von hoherer als der ersten Ordnung in Bezug auf die erfahrungsmassig kleinen Grossen be und b, sind,

und a'= - 2a"w - 6,.

Da nun erfahrungsmassig be und b,, welche die verhaltniss- massige Aenderung des Dehnungs- , beziehlich Verdrehungs- index eines nichtkrystallinischen elastischen Korpers bei einer Erhohung der Temperatur um lo C. bezeichnen, kleine Grossen sind, so sind es auch im vorliegenden Falle die Factoren a' und a". Sie sollen deshalb zunachst als kleine Grossen be- handelt werden.

-1 a"= (- be+ 6,) ( 3 -

Ber l in , den 26. Juli 1895.