théorie de hodge et correspondance de hitchin …théorie de hodge et correspondance de...
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Théorie de Hodge etcorrespondance de Hitchin-Kobayashi
sauvages[d’après T. Mochizuki]
Claude Sabbah
Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
UMR 7640 du CNRS
École polytechnique, Palaiseau, France
Programme SEDIGA ANR-08-BLAN-0317-01
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 1/15
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Var. struct. de Hodge & sing. régulières
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 2/15
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 2/15
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 2/15
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
∀x ∈ Xo, F pVx =⊕
p′>p V p′,w−p′
x
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
∀x ∈ Xo, F pVx =⊕
p′>p V p′,w−p′
x
Polarisation→ h: métrique hermitienne sur V
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
∀x ∈ Xo, F pVx =⊕
p′>p V p′,w−p′
x
Polarisation→ h: métrique hermitienne sur V
THÉORÈME (Griffiths-Schmid 1973): (j∗V )lb: sect. de Vde norme loc. bornée est un fibré holom. sur X et ∇ àpôles simples sur (j∗V )lb. + Prolong. holom. de F pV .
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
∀x ∈ Xo, F pVx =⊕
p′>p V p′,w−p′
x
Polarisation→ h: métrique hermitienne sur V
THÉORÈME (Griffiths-Schmid 1973): (j∗V )lb: sect. de Vde norme loc. bornée est un fibré holom. sur X et ∇ àpôles simples sur (j∗V )lb. + Prolong. holom. de F pV .
THÉORÈME DE HODGE (Zucker 1979): X compacte⇒struct. de Hodge pure polarisée sur H∗(X, j∗(V
∇)).
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Var. struct. de Hodge & sing. régulièresX: surf. de Riemann, D ⊂ X fini, j : X r D → X
Var. struct. Hodge polarisée sur Xo := X r D:
V : fibré holom. sur Xo à conn. ∇:V →Ω1Xo ⊗ V
F •V : filtr. ց par des sous-fibrés,∇F p ⊂ F p−1
∀x ∈ Xo, F pVx =⊕
p′>p V p′,w−p′
x
Polarisation→ h: métrique hermitienne sur V
THÉORÈME (Griffiths-Schmid 1973): (j∗V )lb: sect. de Vde norme loc. bornée est un fibré holom. sur X et ∇ àpôles simples sur (j∗V )lb. + Prolong. holom. de F pV .
THÉORÈME DE HODGE (Zucker 1979): X compacte⇒struct. de Hodge pure polarisée sur H∗(X, j∗(V
∇)).
QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 2/15
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧).
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(X, (Ω•
X(∗D), d + df∧))?
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(Oalg(X
o)−−−→d+df
Ω1alg(X
o))?
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(Oalg(X
o)−−−→d+df
Ω1alg(X
o))?
d + df∧ = e−f d ef ⇒H0 = 0.
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(Oalg(X
o)−−−→d+df
Ω1alg(X
o))?
d + df∧ = e−f d ef ⇒H0 = 0.
Périodes exponentielles∫
Γefω
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(Oalg(X
o)−−−→d+df
Ω1alg(X
o))?
d + df∧ = e−f d ef ⇒H0 = 0.
Périodes exponentielles∫
Γefω
EXEMPLE: X = P1, f = −z2, ω = dz, Γ = R,∫
R
e−z2
dz = π1/2.
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Var. struct. de Hodge sauvage ?QUESTION: Existe-t-il une théorie de Hodge sauvage ,i.e.,→∇ à sing. irrégulières (⇒ pôles d’ordre > 2)?
MOTIVATION: f : X → P1 fonct. mérom. sur X.D = f−1(∞). (OX , d + df∧). Struct. surH∗(X, f) := H∗
(Oalg(X
o)−−−→d+df
Ω1alg(X
o))?
d + df∧ = e−f d ef ⇒H0 = 0.
Périodes exponentielles∫
Γefω
EXEMPLE: X = P1, f = −z2, ω = dz, Γ = R,∫
R
e−z2
dz = π1/2.
Deligne (1984): filtr. de Hodge sur H1(X, f
)avec
exposants ∈ Q (ici 1/2).Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 3/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
a ∈ A ⊂ C[1/z] sans terme cst, Ca cste.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
a ∈ A ⊂ C[1/z] sans terme cst, Ca cste.
monodromieformelle
.
.
.
e−2πiCa
.
.
.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
a ∈ A ⊂ C[1/z] sans terme cst, Ca cste.monodromie
monodromieformelle
.
.
.
e−2πiCa
.
.
.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
a ∈ A ⊂ C[1/z] sans terme cst, Ca cste.monodromie
monodromieformelle
phenomenede Stokes
.
.
.
e−2πiCa
.
.
.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. 1)V =C(z)-esp. vect., conn.∇ = d+Adz, A∈Md(C(z))
V = C((z))⊗ V avec conn. ∇Levelt-Turrittin (sans ramif.): ∃P ∈ GLd(C((z))),
B := P−1AP + P−1P ′z = diaga∈A(a′z Id +Ca/z)
a ∈ A ⊂ C[1/z] sans terme cst, Ca cste.monodromie
monodromieformelle
phenomenede Stokes
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 4/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
X D
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
X D
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
X D
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya):
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya): X projective lisse. ∃ π : X ′ → X
modif. projective t.q. D′ := π−1(D) = DCN
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya): X projective lisse. ∃ π : X ′ → X
modif. projective t.q. D′ := π−1(D) = DCN et π∗(V ,∇)
sans point tournant :
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya): X projective lisse. ∃ π : X ′ → X
modif. projective t.q. D′ := π−1(D) = DCN et π∗(V ,∇)
sans point tournant : ∀x′∈D′, ∃P ∈ GLd(Obx′(∗D′)),
P−1∇P =mod. ramif.
d + diaga∈Irrx′ (∇)
(da Id +
∑i Ca,i
dzi
zi
)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya): X projective lisse. ∃ π : X ′ → X
modif. projective t.q. D′ := π−1(D) = DCN et π∗(V ,∇)
sans point tournant : ∀x′∈D′, ∃P ∈ GLd(Obx′(∗D′)),
P−1∇P =mod. ramif.
d + diaga∈Irrx′ (∇)
(da Id +
∑i Ca,i
dzi
zi
)
avec Ca,i cste, a ∈ Ax′ ⊂ Obx′(∗D′), Ax′ fini et bon
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 5/15
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Sing. irrégulières (dim. > 2)X: var cplxe, D: diviseur, V = OX(∗D)-mod. coh.∇ : V → Ω1
X ⊗ V : conn. mérom. intégrable (∇2 = 0)
THÉORÈME LEVELT-TURRITTIN EN DIM. >2 (TH. 3.3)(Mochizuki, Kedlaya): X projective lisse. ∃ π : X ′ → X
modif. projective t.q. D′ := π−1(D) = DCN et π∗(V ,∇)
sans point tournant : ∀x′∈D′, ∃P ∈ GLd(Obx′(∗D′)),
P−1∇P =mod. ramif.
d + diaga∈Irrx′ (∇)
(da Id +
∑i Ca,i
dzi
zi
)
avec Ca,i cste, a ∈ Ax′ ⊂ Obx′(∗D′), Ax′ fini et bon
THÉORÈME (Mochizuki): De plus, ∀ cpte D′i de D′, soitai ∈ R. Alors ∃! OX ′ -réseau loc. libre aV ⊂ V t.q. ∀x′,∃ base de aVbx′ adaptée à la decomp. et
Re(val. propre Ca,i)∈ [ai, ai + 1[
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Conjecture de Kashiwara
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
DRalgM =(Ωn+•
X ⊗M ,∇), DR M =(Ωn+•
Xan⊗M ,∇).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
![Page 49: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/49.jpg)
Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
DRalgM =(Ωn+•
X ⊗M ,∇), DR M =(Ωn+•
Xan⊗M ,∇).
H∗(X, DRalgM ) = H∗(Xan, DR M )
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
DRalgM =(Ωn+•
X ⊗M ,∇), DR M =(Ωn+•
Xan⊗M ,∇).
H∗(X, DRalgM ) = H∗(Xan, DR M )
EX.: f : Xo→A1 propre ,
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
DRalgM =(Ωn+•
X ⊗M ,∇), DR M =(Ωn+•
Xan⊗M ,∇).
H∗(X, DRalgM ) = H∗(Xan, DR M )
EX.: f : Xo→A1 propre , (V alg,∇)=(OXo , d+df).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara(V alg,∇) fibré alg. sur Xo quasi-proj. lisse dim = n,à conn.∇ intégrable (∇2 = 0).On supposera (V alg,∇) simple (ou semi-simple).
X: compact. de Xo, proj. lisse/C.
D(alg)X : op. diff. (alg.) sur X.
O(alg)X -mod. à conn. int. ⇔ D
(alg)X -mod. à gauche
(V alg,∇) simple⇔M : DalgX -mod.
holon. simpleSupp M = X
DRalgM =(Ωn+•
X ⊗M ,∇), DR M =(Ωn+•
Xan⊗M ,∇).
H∗(X, DRalgM ) = H∗(Xan, DR M )
EX.: f : Xo→A1 propre , (V alg,∇)=(OXo , d+df).
H∗(X, DRalgM ) = H∗
(Xo, (Ωn+•
Xo , d + df))
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 6/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
![Page 55: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/55.jpg)
Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
RIEMANN-HILBERT (Kashiwara & Mebkhout)⇒Tout faisc. pervers simple est obtenu.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
RIEMANN-HILBERT (Kashiwara & Mebkhout)⇒Tout faisc. pervers simple est obtenu.
Faisc. pervers simple F :
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
RIEMANN-HILBERT (Kashiwara & Mebkhout)⇒Tout faisc. pervers simple est obtenu.
Faisc. pervers simple F :Zo ⊂ X quasi-proj. lisse irred. , Z = adh.Zo,
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
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Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
RIEMANN-HILBERT (Kashiwara & Mebkhout)⇒Tout faisc. pervers simple est obtenu.
Faisc. pervers simple F :Zo ⊂ X quasi-proj. lisse irred. , Z = adh.Zo,L faisc. loc. cst. irred. sur Zo,
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
![Page 62: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/62.jpg)
Conjecture de Kashiwara
X = Xan: proj. lisse/C
M : DX -mod. holonome simple.
DR M : complexe à cohom. C-constr. (Kashiwara).
DR M : faisceau pervers.
QUESTION: Caractériser les faisc. perv. obtenus ?
RIEMANN-HILBERT (Kashiwara & Mebkhout)⇒Tout faisc. pervers simple est obtenu.
Faisc. pervers simple F :Zo ⊂ X quasi-proj. lisse irred. , Z = adh.Zo,L faisc. loc. cst. irred. sur Zo,F = ICZ(L ) décalé de dim Z.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 7/15
![Page 63: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/63.jpg)
Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Conj. Kashiwara 1998):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
M = (OX , d): Hodge (∼1940).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
M = (OX , d): Hodge (∼1940).
M = (V,∇)X var. str. Hodge polarisable: Deligne(∼1975).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
M = (OX , d): Hodge (∼1940).
M = (V,∇)X var. str. Hodge polarisable: Deligne(∼1975).
M = (V,∇)X simple: Corlette (1988) & Simpson(1992).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
M = (OX , d): Hodge (∼1940).
M = (V,∇)X var. str. Hodge polarisable: Deligne(∼1975).
M = (V,∇)X simple: Corlette (1988) & Simpson(1992).
Dém.: ∃ métrique harmonique sur (V,∇)X .
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu:
M = (OX , d): Hodge (∼1940).
M = (V,∇)X var. str. Hodge polarisable: Deligne(∼1975).
M = (V,∇)X simple: Corlette (1988) & Simpson(1992).
Dém.: ∃ métrique harmonique sur (V,∇)X .
Équivalent (Simpson): (V,∇) sous-jacent à unevar. structure de twisteur polarisée de poids 0.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 8/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu (Zo ⊂ Z ⊂ X ⊃ Xo):
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 9/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu (Zo ⊂ Z ⊂ X ⊃ Xo):
M ↔ (OZo , d): Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber(1982).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 9/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu (Zo ⊂ Z ⊂ X ⊃ Xo):
M ↔ (OZo , d): Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber(1982).
M ↔ (V,∇)Xo var. str. Hodge polarisable etX r Xo = DCN: Cattani-Kaplan-Schmid &Kashiwara-Kawai (1982→1988).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 9/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu (Zo ⊂ Z ⊂ X ⊃ Xo):
M ↔ (OZo , d): Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber(1982).
M ↔ (V,∇)Xo var. str. Hodge polarisable etX r Xo = DCN: Cattani-Kaplan-Schmid &Kashiwara-Kawai (1982→1988).
M ↔ (V,∇)Zo var. str. Hodge polarisable: M. Saito(1988-1990).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 9/15
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Conjecture de KashiwaraTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Ce qui est déjà connu (Zo ⊂ Z ⊂ X ⊃ Xo):
M ↔ (OZo , d): Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber(1982).
M ↔ (V,∇)Xo var. str. Hodge polarisable etX r Xo = DCN: Cattani-Kaplan-Schmid &Kashiwara-Kawai (1982→1988).
M ↔ (V,∇)Zo var. str. Hodge polarisable: M. Saito(1988-1990).
M simple à sing. reg. (DR M = ICZ L [dim Z]):Drinfeld (2001), Mochizuki (2007).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 9/15
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Métrique harmonique
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 77: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/77.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 78: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/78.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 79: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/79.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .∃! conn. métrique ∂E + ∂E sur H = C∞ ⊗ V t.q.
∇+ ∂ = (∂E + ∂E) + (θ + θ†)
avec θ† = h-adjoint de θ.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 80: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/80.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .∃! conn. métrique ∂E + ∂E sur H = C∞ ⊗ V t.q.
∇+ ∂ = (∂E + ∂E) + (θ + θ†)
avec θ† = h-adjoint de θ.
DÉFINITION: h est harmonique pour (V,∇) si
∂2E = 0, ∂E(θ) = 0, θ ∧ θ = 0
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 81: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/81.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .∃! conn. métrique ∂E + ∂E sur H = C∞ ⊗ V t.q.
∇+ ∂ = (∂E + ∂E) + (θ + θ†)
avec θ† = h-adjoint de θ.
DÉFINITION: h est harmonique pour (V,∇) si
∂2E = 0, ∂E(θ) = 0, θ ∧ θ = 0
⇒ E = ker ∂E fibré holom., θ = chp de Higgs holom.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 82: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/82.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .∃! conn. métrique ∂E + ∂E sur H = C∞ ⊗ V t.q.
∇+ ∂ = (∂E + ∂E) + (θ + θ†)
avec θ† = h-adjoint de θ.
DÉFINITION: h est harmonique pour (V,∇) si
∂2E = 0, ∂E(θ) = 0, θ ∧ θ = 0
⇒ E = ker ∂E fibré holom., θ = chp de Higgs holom.
fibré plat harm. ←→ fibré de Higgs harm.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 83: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/83.jpg)
Métrique harmonique(V,∇) holom. intégrable sur Xo lisse.h: métrique herm. sur V .∃! conn. métrique ∂E + ∂E sur H = C∞ ⊗ V t.q.
∇+ ∂ = (∂E + ∂E) + (θ + θ†)
avec θ† = h-adjoint de θ.
DÉFINITION: h est harmonique pour (V,∇) si
∂2E = 0, ∂E(θ) = 0, θ ∧ θ = 0
⇒ E = ker ∂E fibré holom., θ = chp de Higgs holom.
fibré plat harm. ←→ fibré de Higgs harm.
⇒ ∀λ ∈ C, V λ := ker(∂E + λθ†) fibré holom.,∇λ := λ∂E + θ: λ-conn. holom. intégrable sur V λ.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 10/15
![Page 84: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/84.jpg)
Métrique harmonique (exemple)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 85: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/85.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 86: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/86.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 87: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/87.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 88: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/88.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 89: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/89.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
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Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
e = exp(−γ(z)) · ε⇒ ‖e‖h = |z|−a.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 91: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/91.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
e = exp(−γ(z)) · ε⇒ ‖e‖h = |z|−a.
ϕ(z) = a′(z) + α/z,α ∈ C, a ∈ O(∆∗) sans terme cst.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 92: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/92.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
e = exp(−γ(z)) · ε⇒ ‖e‖h = |z|−a.
ϕ(z) = a′(z) + α/z,α ∈ C, a ∈ O(∆∗) sans terme cst.
p(λ) = a + 2 Re(αλ), e(λ) = α− aλ− αλ2
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 93: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/93.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
e = exp(−γ(z)) · ε⇒ ‖e‖h = |z|−a.
ϕ(z) = a′(z) + α/z,α ∈ C, a ∈ O(∆∗) sans terme cst.
p(λ) = a + 2 Re(αλ), e(λ) = α− aλ− αλ2
vλ = (eλa(z)−λa(z)|z|−2αλ) · e, ‖vλ‖h = |z|−p(λ)
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
![Page 94: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/94.jpg)
Métrique harmonique (exemple)Xo = ∆∗, E = O∆∗ · ε,θε = ϕ(z)dz ⊗ ε, ϕ ∈ O(∆∗).
‖ε‖h = exp(η(z)), η réelle C∞ sur ∆∗.
(E, θ, h) harmonique ⇐⇒ η harmonique
η(z) = Re γ(z)− a log |z|, γ holom., a ∈ R.
e = exp(−γ(z)) · ε⇒ ‖e‖h = |z|−a.
ϕ(z) = a′(z) + α/z,α ∈ C, a ∈ O(∆∗) sans terme cst.
p(λ) = a + 2 Re(αλ), e(λ) = α− aλ− αλ2
vλ = (eλa(z)−λa(z)|z|−2αλ) · e, ‖vλ‖h = |z|−p(λ)
∇λvλ =((1 + |λ|)2za′(z) + e(λ)
)dz
z⊗ vλ
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 11/15
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Hitchin-Kobayashi sauvage
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
HYPOTHÈSE: Bon Levelt-Turrittin pour∇ sur D.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
HYPOTHÈSE: Bon Levelt-Turrittin pour∇ sur D.
⇒ ∃ filtr. de Deligne-Malgrange aV .
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
HYPOTHÈSE: Bon Levelt-Turrittin pour∇ sur D.
⇒ ∃ filtr. de Deligne-Malgrange aV .
THÉORÈME (Mochizuki 2011): ∃ métr. h harm. pour(V ,∇)|Xo , adaptée à la filtr. de Deligne-Malgrange aV
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
HYPOTHÈSE: Bon Levelt-Turrittin pour∇ sur D.
⇒ ∃ filtr. de Deligne-Malgrange aV .
THÉORÈME (Mochizuki 2011): ∃ métr. h harm. pour(V ,∇)|Xo , adaptée à la filtr. de Deligne-Malgrange aV
X = ∆n, D = z1 · · · zℓ = 0, ∀U ⊂ X, aV (U):v ∈ V (UrD) | ∀ε > 0, ‖v‖h = O
( ∏ℓi=1 |zi|
−ai−ε)
loc. sur U
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Hitchin-Kobayashi sauvageXo ⊂ X ⊃ D, X proj. lisse, D = DCN
(V alg,∇) fibré alg. à conn. intégrable simple
⇐⇒ OX(∗D)-mod. coh. (V ,∇) à conn. int. simple
HYPOTHÈSE: Bon Levelt-Turrittin pour∇ sur D.
⇒ ∃ filtr. de Deligne-Malgrange aV .
THÉORÈME (Mochizuki 2011): ∃ métr. h harm. pour(V ,∇)|Xo , adaptée à la filtr. de Deligne-Malgrange aV
X = ∆n, D = z1 · · · zℓ = 0, ∀U ⊂ X, aV (U):v ∈ V (UrD) | ∀ε > 0, ‖v‖h = O
( ∏ℓi=1 |zi|
−ai−ε)
loc. sur U
De plus, (E, θ) est un fibré de Higgs holom. sur Xo
sauvage le long de D: ∀x ∈ D,θx = diaga∈Irrx(θ)(da Id +Θa), Char Θa mérom.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 12/15
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Prolongement
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 13/15
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Prolongement
THÉORÈME (Mochizuki 2011): Pour tout λ ∈ C et touta = (ai), le OX -mod. aV
λ est loc libre et (V λ,•V λ,∇λ)
est un fibré mérom. parabolique plat/de Higgs.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 13/15
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Prolongement
THÉORÈME (Mochizuki 2011): Pour tout λ ∈ C et touta = (ai), le OX -mod. aV
λ est loc libre et (V λ,•V λ,∇λ)
est un fibré mérom. parabolique plat/de Higgs.
⇐ propriétés loc. des métriques harmoniques sauvages:elles sont acceptables (au sens de Cornalba-Griffiths1975), i.e., la norme de la courbure (par rapport à lamétrique et la métrique de type Poincaré sur la base) estbornée.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 13/15
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Prolongement
THÉORÈME (Mochizuki 2011): Pour tout λ ∈ C et touta = (ai), le OX -mod. aV
λ est loc libre et (V λ,•V λ,∇λ)
est un fibré mérom. parabolique plat/de Higgs.
⇐ propriétés loc. des métriques harmoniques sauvages:elles sont acceptables (au sens de Cornalba-Griffiths1975), i.e., la norme de la courbure (par rapport à lamétrique et la métrique de type Poincaré sur la base) estbornée.
PROBLÈME DÉLICAT: La dépendance en λ n’est pasholomorphe.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 13/15
![Page 108: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/108.jpg)
Prolongement
THÉORÈME (Mochizuki 2011): Pour tout λ ∈ C et touta = (ai), le OX -mod. aV
λ est loc libre et (V λ,•V λ,∇λ)
est un fibré mérom. parabolique plat/de Higgs.
⇐ propriétés loc. des métriques harmoniques sauvages:elles sont acceptables (au sens de Cornalba-Griffiths1975), i.e., la norme de la courbure (par rapport à lamétrique et la métrique de type Poincaré sur la base) estbornée.
PROBLÈME DÉLICAT: La dépendance en λ n’est pasholomorphe. Exemple en rang 1 et dimension 1:
∇λvλ =((1 + |λ|)2za
′(z) + e(λ))dz
z⊗ vλ
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 13/15
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Conclusion
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
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ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
![Page 111: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/111.jpg)
ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Z = support M , Z ⊂ X irred.M|Zo ⇐⇒ (V alg,∇)Zo (semi)simple.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
![Page 112: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/112.jpg)
ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Z = support M , Z ⊂ X irred.M|Zo ⇐⇒ (V alg,∇)Zo (semi)simple.
∃ compact. proj. lisse Z′ ⊃ Zo t.q.D = Z′ r Zo = DCN et (V alg,∇) bon L.-T. sur D.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
![Page 113: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/113.jpg)
ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Z = support M , Z ⊂ X irred.M|Zo ⇐⇒ (V alg,∇)Zo (semi)simple.
∃ compact. proj. lisse Z′ ⊃ Zo t.q.D = Z′ r Zo = DCN et (V alg,∇) bon L.-T. sur D.
⇒ ∃ filtr. Deligne-Malgrange le long de D.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
![Page 114: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/114.jpg)
ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Z = support M , Z ⊂ X irred.M|Zo ⇐⇒ (V alg,∇)Zo (semi)simple.
∃ compact. proj. lisse Z′ ⊃ Zo t.q.D = Z′ r Zo = DCN et (V alg,∇) bon L.-T. sur D.
⇒ ∃ filtr. Deligne-Malgrange le long de D.
⇒ ∃ métrique h harm. et adaptée à la filtr. DM.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
![Page 115: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/115.jpg)
ConclusionTH. LEFSCHETZ DIFFICILE (Mochizuki 2011):L = c1(ample) ∪ . M : DX -mod. holon. (semi)simple.
∀k > 1, Lk : H−k(X, DR M )∼−→ Hk(X, DR M )
Z = support M , Z ⊂ X irred.M|Zo ⇐⇒ (V alg,∇)Zo (semi)simple.
∃ compact. proj. lisse Z′ ⊃ Zo t.q.D = Z′ r Zo = DCN et (V alg,∇) bon L.-T. sur D.
⇒ ∃ filtr. Deligne-Malgrange le long de D.
⇒ ∃ métrique h harm. et adaptée à la filtr. DM.
SUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 14/15
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ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 117: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/117.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 118: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/118.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 119: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/119.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK:THÉORÈME DE HODGE (Zucker 1979): X compacte⇒struct. de Hodge pure polarisée sur H∗(X, j∗(V
∇)).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 120: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/120.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 121: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/121.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK.
Si dim Z > 1, stratégie de M. Saito: ∃ catégorie desD-modules avec structure de twisteur polarisable(familles de D-modules paramétrés par λ).
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 122: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/122.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK.
Si dim Z > 1, stratégie de M. Saito: ∃ catégorie desD-modules avec structure de twisteur polarisable(familles de D-modules paramétrés par λ).
Th. Lefschetz difficile OK dans cette catégorie.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
![Page 123: Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin …Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages [d’après T. Mochizuki] Claude Sabbah Centre de Mathématiques](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052611/5f0432937e708231d40ccb71/html5/thumbnails/123.jpg)
ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK.
Si dim Z > 1, stratégie de M. Saito: ∃ catégorie desD-modules avec structure de twisteur polarisable(familles de D-modules paramétrés par λ).
Th. Lefschetz difficile OK dans cette catégorie.
Point délicat: M simple⇒M = M|λ=1 avec M
twisteur polarisable.
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15
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ConclusionSUGGESTION: considérer la cohom. L2 de (V,∇) parrapport à h et à une métrique de type Poincaré sur Z′?
OK si dim Z = 1. Mais Th. Lefschetz difficile trivialen dim. 1.
Par contre, analogue du th. de Zucker OK.
Si dim Z > 1, stratégie de M. Saito: ∃ catégorie desD-modules avec structure de twisteur polarisable(familles de D-modules paramétrés par λ).
Th. Lefschetz difficile OK dans cette catégorie.
Point délicat: M simple⇒M = M|λ=1 avec M
twisteur polarisable.
⇒ Th. Lefschetz difficile OK pour M .
Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages – p. 15/15