thptdoanket-tanphu.edu.vnthptdoanket-tanphu.edu.vn/files/thanhvien_upload/369/tuyen_tap_bdt.pdf ·...

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

1

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:

33 3a b a b

2 2

2. Chứng minh:

2 2a b a b

2 2

3. Cho a + b 0 chứng minh:

3 3

3a b a b

2 2

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b

a bb a

5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2

1 1 2

1 ab1 a 1 b

6. Chứng minh: 2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c R

7. Chứng minh: 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e

8. Chứng minh: 2 2 2x y z xy yz zx

9. a. Chứng minh:

a b c ab bc ca

; a,b,c 03 3

b. Chứng minh:

22 2 2a b c a b c

3 3

10. Chứng minh: 2

2 2ab c ab ac 2bc

4

11. Chứng minh: 2 2a b 1 ab a b

12. Chứng minh: 2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz

13. Chứng minh: 4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1)

14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1a b

4

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a

2 + b

2 + c

2 < 2(ab + bc + ca).

b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a

2b

2 + 2b

2c

2 + 2c

2a

2 – a

4 – b

4 – c

4 > 0

Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ

2

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0

2. Chứng minh: 2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

3. Chứng minh: 331 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c 0

4. Cho a, b > 0. Chứng minh:

m mm 1a b

1 1 2b a

, với m Z+

5. Chứng minh: bc ca ab

a b c ; a,b,c 0a b c

6. Chứng minh:

6 9

2 3x y3x y 16 ; x,y 0

4

7. Chứng minh:

4 22

12a 3a 1

1 a.

8. Chứng minh: 1995a 1995 a 1 , a > 0

9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

2 2 2 2 2 2

a b c 1 1 1 1

2 a b ca b b c a c

11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3a 3 a b b c c .

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc

c)

1 1 11 1 1 64

a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:

1x 3

x y y

16. Chứng minh:

a)

2

2

x 22

x 1 ,x R b)

x 86

x 1 , x > 1 c)

2

2

a 54

a 1

17. Chứng minh:

ab bc ca a b c; a, b, c 0

a b b c c a 2

18. Chứng minh:

2 2

4 4

x y 1

41 16x 1 16y , x , y R


3

19. Chứng minh:

a b c 3

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0

20. Cho a , b , c > 0. C/m:

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1

abca b abc b c abc c a abc

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)

b. 3a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )

22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0

23. Chứng minh: 3 942 a 3 b 4 c 9 abc

24. Cho x 18

y2 x

, x > 0. Định x để y đạt GTNN.

25. Cho

x 2y ,x 1

2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.

26. Cho

3x 1y , x 1


27. Cho

x 5 1y ,x

3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN.

28. Cho

x 5y

1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.

29. Cho

3

2

x 1y

x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.

30. Tìm GTNN của

2x 4x 4

f(x)x

, x > 0.

31. Tìm GTNN của 23

2f(x) x

x , x > 0.

32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5

2 . Định x để y đạt GTLN

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5

x 52

. Định x để y đạt GTLN

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1

2 x

5


37. Cho 2

xy

x 2 . Định x để y đạt GTLN


4

38. Cho

2

32

xy

x 2


III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)

2 (a

2 + c

2)(b

2 + d

2) BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh: sinx cosx 2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b

2 7.


2

725

47.


2

2464

137.

6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b

4 2.

7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1a b

2

Lời giải:

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:

33 3a b a b

2 2 (*)

(*)

33 3a b a b0

2 2

23a b a b 0

8. ĐPCM.

2. Chứng minh:

2 2a b a b

2 2 ()

a + b 0 , () luôn đúng.

a + b > 0 , ()

2 2 2 2a b 2ab a b

04 2

2

a b0

4 , đúng.

Vậy:

2 2a b a b

2 2.

3. Cho a + b 0 chứng minh:

3 3

3a b a b

2 2

3 3 3a b a b

8 2

2 23 b a a b 0 2

3 b a a b 0 , ĐPCM.

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b

a bb a

()

() a a b b a b b a a b a a b b 0


5

a b a b 0 2

a b a b 0 , ĐPCM.

5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2

1 1 2

1 ab1 a 1 b ()

2 2

1 1 1 10

1 ab 1 ab1 a 1 b

2 2

2 2

ab a ab b0

1 a 1 ab 1 b 1 ab

2 2

a b a b a b0

1 a 1 ab 1 b 1 ab

2 2

b a a b0

1 ab 1 a 1 b

2 2

2 2

b a a ab b ba0

1 ab 1 a 1 b

2

2 2

b a ab 10

1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.

Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0.

6. Chứng minh: 2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c R

2 2 2

a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM.

7. Chứng minh: 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e

2 2 2 2

2 2 2 2a a a aab b ac c ad d ae e 0

4 4 4 4

2 2 2 2a a a a

b c d e 02 2 2 2

. ĐPCM

8. Chứng minh: 2 2 2x y z xy yz zx

2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0

2 22

x y x z y z 0

9. a. Chứng minh:

a b c ab bc ca

; a,b,c 03 3

2 2 2a b c ab bc ca

2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca

3 9 3

a b c ab bc ca

3 3

b. Chứng minh:

22 2 2a b c a b c

3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c

22 2 2a b c 2 ab bc ca a b c


6

22 2 2a b c a b c

3 3

10. Chứng minh: 2

2 2ab c ab ac 2bc

4

2

2 2aa b c b c 2bc 0

4

2a

b c 02

.

11. Chứng minh: 2 2a b 1 ab a b

2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0

2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0

2 2 2

a b a 1 b 1 0 .

12. Chứng minh: 2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz

2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0 (x – y + z)2 0.

13. Chứng minh: 4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1)

4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0

2 2 22 2x y x z x 1 0 .

14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1a b

4

a + b 1 b 1 – a b3 = (1 – a)

3 = 1 – a + a

2 – a

3

a3 + b

3 =

21 1 1

3 a2 4 4

.

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a

2 + b

2 + c

2 < 2(ab + bc + ca).

ab + bc + ca a2 + b

2 + c

2 (a – b)

2 + (a – c)

2 + (b – c)

2

a b c , b a c , c a b

2 2 2a b 2bc c , 2 2 2b a 2ac c , 2 2 2c a 2ab b

a2 + b

2 + c

2 < 2(ab + bc + ca).

b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

22 2a a b c 2a a c b a b c

22 2b b a c 2b b c a a b c

22 2c c a b 2c b c a a c b

2 2 22 2 2a b c a b c a c b b c a

abc a b c a c b b c a c. 2a

2b

2 + 2b

2c

2 + 2c

2a

2 – a

4 – b

4 – c

4 > 0

4a2b

2 + 2c

2(b

2 + a

2) – a

4 – b

4 – 2a

2b

2 – c

4 > 0


7

4a2b

2 + 2c

2(b

2 + a

2) – (a

2 + b

2)2 – c

4 > 0

(2ab)2 – [(a

2 + b

2) – c

2]2 > 0 [c

2 – (a – b)

2][(a + b)

2 – c

2] > 0

(c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

a b 2 ab , b c 2 bc , a c 2 ac

2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc .

2. Chứng minh: 2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3a b c 3 abc , 32 2 2 2 2 2a b c 3 a b c

32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc .

3. Chứng minh: 331 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c 0.

1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.

3a b c 3 abc , 3 2 2 2ab ac bc 3 a b c

33 2 2 23 31 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc

4. Cho a, b > 0. Chứng minh:

m mm 1a b

1 1 2b a

, với m Z+

m m m m m

m m 1

a b a b b a1 1 2 1 . 1 2 2

b a b a a b

2 4 2

5. Chứng minh: bc ca ab

a b c ; a, b, c 0a b c

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

2bc ca abc

2 2ca b ab

, 2bc ba b ac

2 2ba c ac

,

2ca ab a bc

2 2ab c bc

bc ca ab

a b ca b c

.

6. Chứng minh:

6 9

2 3x y3x y 16 ; x,y 0

4 ()


8

() 6 9 2 3x y 64 12x y 3 32 3 3 2 3x y 4 12x y

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:

3 32 3 3 2 3 2 3x y 4 3x y 4 12x y .

7. Chứng minh:

4 22

12a 3a 1

1 a ()

()

4 4 2 22

1a a a 1 4a

1 a.

Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:

4 4 22

1a , a , a 1,

1 a

4 4 2 4 4 2 242 2

1 1a a a 1 4 a a a 1 4a

1 a 1 a

8. Chứng minh: 1995a 1995 a 1 () , a > 0

() 1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a

19951995 1995 1995 1995

1994 soá

a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a

9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:

62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6a a b b b c c c a 6 a b c 6abc

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

2 2 2 2 2 2

a b c 1 1 1 1

2 a b ca b b c a c

2 2

a a 1

2ab 2ba b ,

2 2

b b 1

2bc 2cb c ,

2 2

c c 1

2ac 2aa c

Vậy:

2 2 2 2 2 2

a b c 1 1 1 1

2 a b ca b b c a c

11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.

a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1

ab 2b a 1 , ab 2a b 1

ab a b 1 b a 1

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

x x 1 1 x 1 x y z 3

24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1


9

Tương tự: 24y 4 x 1 y 1 z 1 ;

24z 4 x 1 y 1 z 1

xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).

13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3a 3 a b b c c .

3a a b b c c 3 a b b c c

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc.

2b c

bc2

2 22b c 1 a

16abc 16a 16a 4a 1 a2 2

2 224a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc

(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 2 bc.2 ac.2 ab 8abc

c)

1 1 11 1 1 64

a b c

4 21 a a b c 4 a bc1

a a a

4 21 4 ab c

1b b

4 21 4 abc

1c c

1 1 11 1 1 64

a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:

1x 3

x y y

3

x y y1VT x y y 3 3

x y y x y y

16. Chứng minh:

a)

2

2

x 22

x 1 2 2x 2 2 x 1 2 2x 1 1 2 x 1

b)

x 8

x 1 =

x 1 9 9 9x 1 2 x 1 6

x 1 x 1 x 1

c. 2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1

2

2

a 54

a 1

17. Chứng minh:

ab bc ca a b c; a, b, c 0

a b b c c a 2

Vì : a b 2 ab


10

ab ab ab

a b 22 ab ,

bc bc bc

b c 22 bc ,

ac ac ac

a c 22 ac

a b c ab bc ca , dựa vào: 2 2 2a b c ab bc ca .

ab bc ca ab bc ac a b c

a b b c c a 2 2

18. Chứng minh:

2 2

4 4

x y 1

41 16x 1 16y , x , y R

2 2 2

4 2 2

x x x 1

81 16x 2.4x1 4x

2 2 2

4 2 2

y y y 1

81 16y 2.4y1 4y

2 2

4 4

x y 1

41 16x 1 16y

19. Chứng minh:

a b c 3

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0

Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.

a + b + c = 1

2(X + Y + Z)

Y Z X Z X Y X Y Z

a , b , c2 2 2

a b c 1 Y X Z X Z Y3

b c a c a b 2 X Y X Z Y Z

1 3

2 2 2 32 2

.

Cách khác:

a b c a b c1 1 1 3

b c a c a b b c a c a b

1 1 1 1a b b c c a 3

2 b c a c a b

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

1 1 1 1 9 3a b b c c a 3

2 b c a c a b 2 2

20. Cho a , b , c > 0. C/m:

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1

abca b abc b c abc c a abc

3 3 2 2a b a b a ab a a b ab


11

3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự

3 3b c abc b c bc abc bc a b c

3 3c a abc c a ca abc ca a b c

1 1 1 1 a b cVT

ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)

a b 2 ab , c d 2 cd

4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd

b. 3a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )

4a b c a b c

a b c 4. abc3 3

4a b c a b c

abc3 3

4a b c a b c

abc3 3

3a b c

abc3

3a b c 3 abc .

22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0

3 2a abc 2a bc , 3 2b abc 2b ac , 3 2c abc 2c ab

3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab

3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab ,

vì : 3 3 3a b c 3abc

Vậy: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab

23. Chứng minh: 3 942 a 3 b 4 c 9 abc Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:

3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc

24. Cho x 18

y2 x

, x > 0. Định x để y đạt GTNN.

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: x 18 x 18

y 2 . 62 x 2 x

Dấu “ = ” xảy ra 2x 18x 36 x 6

2 x, chọn x = 6.

Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6

25. Cho

x 2y ,x 1



12

x 1 2 1y

2 x 1 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

x 1 2,

2 x 1:

x 1 2 1 x 1 2 1 5y 2 .

2 x 1 2 2 x 1 2 2

Dấu “ = ” xảy ra

2 x 3x 1 2x 1 4

x 1(loaïi)2 x 1

Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5

2

26. Cho

3x 1y , x 1


3(x 1) 1 3y

2 x 1 2


3 x 1 1,

2 x 1:

3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3y 2 . 6

2 x 1 2 2 x 1 2 2


2

6x 1

3 x 1 1 2 3x 1

2 x 1 3 6x 1(loaïi)

3

Vậy: Khi 6

x 13

thì y đạt GTNN bằng 3

62

27. Cho

x 5 1y ,x

3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN.

2x 1 5 1y

6 2x 1 3


2x 1 5,

6 2x 1:

2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1y 2 .

6 2x 1 3 6 2x 1 3 3



13

2

30 1x

2x 1 5 22x 1 30

6 2x 1 30 1x (loaïi)

2

Vậy: Khi

30 1

x2

thì y đạt GTNN bằng 30 1

3

28. Cho

x 5y

1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.

x 5 1 x 5x x x 1 x 1 xf(x) 5 5 2 5 5 2 5 5

1 x x 1 x x 1 x x

Dấu “ = ‘ xảy ra

2x 1 x x 5 5

5 5 x1 x x 1 x 4

(0 < x < 1)

Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi

5 5

x4

29. Cho

3

2

x 1y

x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.

3

32 2 2 2 3

x 1 1 x x 1 x x 1 3x 3

2 2 2 2 4x x x x

Dấu “ = ‘ xảy ra 2

x x 1

2 2 x 3x 2 .

Vậy: GTNN của y là 3

3

4 khi 3x 2

30. Tìm GTNN của

2x 4x 4

f(x)x

, x > 0.

2x 4x 4 4 4

x 4 2 x. 4 8x x x


xx

x = 2 (x > 0).

Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.

31. Tìm GTNN của 23

2f(x) x

x , x > 0.

3 22 2 2 22 5

3 3 3 3 5

2 x x x 1 1 x 1 5x 5

3 3 3 3 27x x x x


14


53

x 1x 3

3 x x = 2 (x > 0).

Vậy: GTNN của y là 5

5

27 khi 5x 3 .

32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

f(x) = –10x2 + 11x – 3 =

22 11x 11 1 1

10 x 3 10 x10 20 40 40

Dấu “ = “ xảy ra 11

x20

Vậy: Khi 11

x20

thì y đạt GTLN bằng 1

40.

33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6):

6 x 6 x 2 x 6 x x(6 – x) 9

Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5

2 . Định x để y đạt GTLN.

y = (x + 3)(5 – 2x) = 1

2(2x + 6)(5 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,

53 x

2:

11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x 1

2(2x + 6)(5 – 2x)

121

8

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x 1

x4

Vậy: Khi 1

x4


8.

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5

x 52

. Định x để y đạt GTLN.

y = (2x + 5)(5 – x) = 1

2(2x + 5)(10 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,

5x 5

2:

2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x 1

2(2x + 5)(10 – 2x)

625

8

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x 5

x4


15

Vậy: Khi 5

x4


8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1

2 x

5


y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,

1 5x

2 2:

2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x (2x + 1)(5 – 2x) 9

Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.

37. Cho 2

xy

x 2 . Định x để y đạt GTLN

2 22 x 2 2x 2x 2 2

1 x

2 2 2 x

1y

2 2

Dấu “ = “ xảy ra 2x 2 và x > 0 x= 2

Vậy: Khi x 2 thì y đạt GTLN bằng 1

2 2.

38. Cho

2

32

xy

x 2


32 2 2x 2 x 1 1 3 x .1.1

232 232

x 1x 2 27x

27x 2

Dấu “ = “ xảy ra 2x 1 x 1

Vậy: Khi x 1 thì y đạt GTLN bằng 1

27.

III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)

2 (a

2 + c

2)(b

2 + d

2) () BĐT Bunhiacopxki

() 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d

2 2 2 2a d c b 2abcd 0 2

ad cb 0 .

2. Chứng minh: sinx cosx 2

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

sinx cosx 2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2


2 7.

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b :


16

2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b 3a2 + 4b

2 7.


2

725

47.

2 3

2a 3b 3 a 5b3 5

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 2 3

, 3 a , , 5b3 5

:

2 22 3 4 93 a 5 b 3a 5b

3 53 5 3a

2 + 5b

2

735

47.


2

2464

137.

3 5

3a 5b 7 a 11b7 11

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5

, 7 a , , 11b7 11

:

2 23 5 9 25

7 a 11b 7a 11b7 117 11

7a2 + 11b

2

2464

137.

6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b

4 2.

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

2 22 a b 1 1 a b a2 + b

2 2

2 2 4 42 a b 1 1 a b a4 + b

4 2

7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1a b

2

2 2 2 2 2 2 11 a b 1 1 a b a b

2


17

PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z

2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x

3 + y

3 + z

3 x + y + z.

3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: A = x + y + z + 1 1 1

x y z

4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: A = 4 1

x 4y.

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:

a b c d

a b c b c d c d a d a b< 2

6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2

2

1 21

xx 16.

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:

a b c a b c a b c

9a b c

8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x

2 + x = y + 12.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1

thì:

a b c a b c

1 1 1 a b c3

3 3 3 3 3 3

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a

2 + b

2 + c

2 = 1. Chứng minh:

2 2 2 2 2 2

a b c 3 3

2b c c a a b

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)


18

Cho các số a, b, c thoả:

2 2 2a b c 2

ab bc ca 1

Chứng minh: 4 4 4 4 4 4

a ; b ; c3 3 3 3 3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 12

p a p b p c a b c

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 y2 x 2 z 1 1 1

x y y z z x x y z

15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: b c c a a blog a log b log c 1

16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x + – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

3 3 3

3 3 3

a b c a b c

b c ab c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi

bằng 3 thì: 3a2 + 3b

2 + 3c

2 + 4abc ≥ 13

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:

2 2 2

3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh

rằng: 8a + 8

b + 8

c ≥ 2

a + 2

b + 2

c

21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng

minh rằng:

2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c

3ab bc ca

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:

33 3a b a b

2 2

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:


19

a) a2 + b

2 + c

2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)

2 ≥ 3abc(a + b + c)

24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P = 2 2 2 2 2 2

bc ca ab

a b a c b c b a c a c b

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 3

31 abc

26. (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3

6x y

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a

c + 1 + b

c + 1 ≥ ab(a

c – 1 + b

c – 1)

28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

18xyz

2 xyz

29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n

n + 1 > (n + 1)

n

30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: A = a 1 b 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

khác không: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 9

x y z x y z

BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c ab c a

33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

x y z 3 1 1 1

2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x

3 + y

3 + z

3) – (x

2y + y

2z + z

2x) ≤ 3 (*)

35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc

nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:


20

2 2 2a b c

x y z2R

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5

4. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 4 1

x 4y

37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.

Chứng minh bất đẳng thức:

2a c b b 50

b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: S = a c

b d.

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các

cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 1 1 13

a b c h h h

39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng:

2 2 22 2 2

1 1 1x y z 82

x y z

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx

41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

4p(p a) bc (1)

A B C 2 3 3sin sin sin (2)

2 2 2 8

trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c

2.

42. (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 1 1

4x y z

.


21

Chứng minh rằng:

1 1 11

2x+y+z x 2y z x y 2z

43. (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x R, ta có:

x x xx x x12 15 20

3 4 55 4 3

Khi nào đẳng thức xảy ra? 44. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x

3 3xy yz zx

Khi nào đẳng thức xảy ra? 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: x y z3 4 3 4 3 4 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:

2y 9

1 x 1 1x y

256

Đẳng thức xảy ra khi nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3

4. Chứng minh rằng:

3 3 3a 3b b 3c c 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì 1

x y y x4

.

Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:

2 2 2x y z 3

1 y 1 z 1 x 2

50. (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x

2 + y

2 – xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 3

1 1

x y.

51. (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 2 22 2x 1 y x 1 y y 2


22

LỜI GIẢI

1. (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:

A

y 3x ; z

2 2, B

3 30; y z

2 2, C

y z;0

2 2

Ta có: AB =

222 2y 3

x y x xy y2 2

AC =

222 2z 3

x z x xz z2 2

BC =

222 2y z 3

(y z) y yz+z2 2 2

Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z

2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

x3 + y

3 + z

3 3 3 3 33 x y z 2(x

3 + y

3 + z

3) 6

x

3 + 1 + 1 3

3 3x x3 + 2 3x (1)

Tương tự: y3 + 1 + 1 3 33 y y

3 + 2 3y (2)

z3 + 1 + 1 3

3 3z z3 + 2 3z (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cách 1:

Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0

3

1 1 1 3

x y z xyz

Từ đó: A 3 3 xyz + 3

3

xyz

Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t 1

3

Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t

1

3


23

f(t) = 3 – 2

3

t =

2

2

3(t 1)

t < 0, t

10;

3

Bảng biến thiên:

1

3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3

Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.

Cách 2:

Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0 3

1

xyz 3

x + 1 2

9x 3, y +

1 2

9y 3, z +

1 2

9z 3

Từ đó: A=

1 1 1 8 1 1 1x y z

9x 9y 9z 9 x y z 2 +

3

8 3

9 xyz 10

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

1

3

4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)

Ta có: x + y = 5

4 4x + 4y – 5 = 0

A = 4 1

x 4y =

4 14x+ 4y 5

x 4y A 2

4.4x

x + 2

1.4y

4y – 5

A 5

Dấu "=" xảy ra

44x

x

14y

4y

5x y

4

x,y 0

x 1

1y

4

. Vậy Amin = 5.

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:

a c a c1

a b c c d a a c a c


24

b d b d1

b c d d a b b d b d

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Ta có: (x + 1)2

2

1 21

xx 16 (1) (x + 1)2

21

1x 16

(x + 1)

11

x 4 (do x > 0) (x + 1)

2 4x (x – 1)

2 0 (2)

(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = b c a c a b

1 1 1a a b b c c

= 3 +

b a c a c b

a b a c b c

Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:

b a b a

2 . 2a b a b

; b c b c

2 . 2c b c b

; c a c a

2 . 2a c a c

Khi đó: VT 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 8. (CĐKTYTế1 2006) y 0, x

2 + x = y + 12 x

2 + x – 12 0 – 4 x 3

y = x2 + x – 12 A = x

3 + 3x

2 – 9x – 7

Đặt f(x) = A = x3 + 3x

2 – 9x – 7 với – 4 x 3

f(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f(x) = 0 x = 1 hoặc x = – 3

f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z 3 3 xyz xyz 3 3 xyz (xyz)2 27 xyz 3 3

Dấu "=" xảy ra x = y = z = 3 .

Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001)

Ta có hàm số f(x) = x

1

3 là hàm nghịch biến nên:

(a – b)

a b

1 1

3 3 ≤ 0, a, b.

a b a b

a b b a

3 3 3 3, a, b. (1)

Tương tự: b c c b

b c b c

3 3 3 3 (2)


25

c a c a

c a a c

3 3 3 3 (3)

Mặt khác: a b c a b c

a b c a b c

3 3 3 3 3 3 (4)

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

a b c a b c

a b c 1 1 13 (a b c)

3 3 3 3 3 3

Hay

a b c a b c

a b c 1 1 13

3 3 3 3 3 3 (vì a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1

3.

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Do a2 + b

2 + c

2 = 1 nên

2

2 2 2 2

a a a

b c 1 a a(1 a ) (1)

Mà 2a2.(1 – a

2)2 ≤

3 32 2 22a (1 a ) (1 a ) 2

3 3

a2.(1 – a

2)2 ≤

4

27 a(1 – a

2) ≤

2

3 3 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

22 2

a 3 3a

2b c

Do đó:

2 2 22 2 2 2 2 2

a b c 3 3 3 3(a b c )

2 2b c c a a b

Dấu “=” xảy ra

2 2

2 2

2 2

2a 1 a

2b 1 b

2c 1 c

a = b = c = 1

3.

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Ta có:

2 2 2a b c 2

ab bc ca 1

2 2(a b) 2ab 2 c

c(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt

a b S

ab P (S

2 – 4P ≥ 0)

Ta được hệ:

2 2S 2P 2 c (1)

cS+P =1 (2)

Từ (2) P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:


26

S2 – 2(1 – cS) = 2 – c

2 S

2 + 2cS + c

2 – 4 = 0

S c 2

S c 2

Với S = – c – 2 P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c – 2)

2 – 4(c

2 + 2c + 1) ≥ 0

–3c2 – 4c ≥ 0

4c 0

3 (3)

Với S = –c + 2 P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c + 2)

2 – 4(c

2 – 2c + 1) ≥ 0

–3c2 + 4c ≥ 0

40 c

3 (4)

Từ (3), (4) ta được: 4 4

c3 3

Tương tự ta chứng minh được: 4 4

a,b,c3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:

1 1 4

x y x y (1)

Dấu “=” xảy ra x = y.

Áp dụng (1) ta được:

1 1 4 4

p a p b p a p b c

1 1 4 4

p b p c p b p c a

1 1 4 4

p c p a p c p a b

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:

1 1 1 1 1 12 4

p a p b p c a b c đpcm

Dấu “=” xảy ra a = b = c. 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x

3, y

2 ta có:

x3 + y

2 ≥ 2 3 2x y 2xy x

3 2

2 x 2 x 1

xy2xy xx y

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2

1 1,

x y ta có:


27

2 2

1 1 1 1

xy 2 x y

3 2 2 2

2 x 1 1 1

2x y x y

Tương tự ta cũng có:

3 2 2 2

2 y 1 1 1

2y z y z;

3 2 2 2

2 z 1 1 1

2z x z x

Suy ra: 3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 y2 x 2 z 1 1 1

x y y z z x x y z


3 2 3 2 3 2x y y z z xvaø vaø

x y y z z x x = y = z = 1

15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = alog x là đồng biến

và dương.

Do đó hàm số y = logxa = a

1

log x là nghịch biến.

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được:

VT= b c c a a b a b a b a b a blog a log b log c log a log b log c log abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Xét f(x) = x – x + – 1 (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = 0 x = 1

Vậy với x ≥ 0 và > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x + – 1 ≥ x.

BĐT cần chứng minh:

3 3 3

2 2 2a b c a b c

b c a b c a

Áp dụng BĐT đã chứng minh với = 3

2, ta có:

3

2a 1 3 a.

b 2 2 b;

3

2b 1 3 b.

c 2 2 c;

3

2c 1 3 c.

a 2 2 a

Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:


28

3 3 3

2 2 21 a b c 3

2 b c a 2

Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:

3 3 3

2 2 23 a b c 3 3 a b c 3

2 b c a 2 2 b c a 2

Suy ra:

3 3 3

2 2 2a b c a b c

b c a b c a

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

BĐT (*)

a b 1 b a 1

1ab ab

1 1 1 11 1 1

b b a a (1)

Theo BĐT Côsi ta có:

1 11

1 1 1b b1

b b 2 2

1 11

1 1 1a a1

a a 2 2

Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.


1 1 11

b b 2

1 1 11

a a 2

a = b = 2.

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do đó theo BĐT Côsi ta có:

(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤

33 2a 3 2b 3 2c

3 = 1

27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 3(a

2 + b

2 + c

2) + 4abc ≥ 3(a

2 + b

2 + c

2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13

Đẳng thức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)


29

Từ giả thiết ta có: a b

c c = 1 0 <

a b,

c c < 1

2 2

3 3a b a b

c c c c = 1

Từ đó suy ra:

2 2 2

3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2

a, y = 2

b, z = 2

c thì x, y, z > 0.

Đ.kiện a + b + c = 0 xyz = 2a+b+c

= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x

3 + 1 + 1 ≥ 3x x

3 ≥ 3x – 2

Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z

3 ≥ 3z – 2

x3 + y

3 + z

3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z

8a + 8

b + 8

c ≥ 2

a + 2

b + 2

c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2

b 2a b 2a 1 12.

ab a b a b

Đặt x = 1

a; y =

1

b; z =

1

c thì

giả thiết

a,b,c 0

ab bc ca abc

x,y,z 0

x y z 1

và đpcm 2 2 2 2 2 2x 2y y 2z z 2x 3

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x

2 + 2y

2) = 3(x

2 + y

2 + y

2) ≥ (x + y + y)

2

2 2 1x 2y (x 2y)

3

Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

2 2 2 2 2 2 1x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3

3

Đẳng thức xảy ra x = y = z = 1

3 a = b = c = 3

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Ta có:

33 3a b a b

2 2 4(a

3 + b

3) ≥ (a + b)

3

(a + b) [4(a2 + b

2 – ab) – (a

2 + b

2 + 2ab)] ≥ 0

(a + b)(3a2 + 3b

2 – 6ab) ≥ 0 (a + b)(a – b)

2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra a = b. 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) a) a

2 + b

2 ≥ 2ab; b

2 + c

2 ≥ 2bc; c

2 + a

2 ≥ 2ca

a2 + b

2 + c

2 ≥ ab + bc + ca.


30

Đẳng thức xảy ra a = b = c b) (ab + bc + ca)

2 = (ab)

2 + (bc)

2 + (ca)

2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Ta có:

2

2 2 22

1

bc bc 1 a1 11 1a b a c a (b c) ab cb c

Đặt x = 1

a; y =

1

b; z =

1

c thì

giả thiết

a, b, c > 0

abc = 1

x,y,z 0

xyz=1 và P =

2 2 2x y z

y z z x x y

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

(y + z + z + x + x + y).P ≥

2x y z

y z. z x. x y.y z z x x y

2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 P ≥

1

2(x + y + z) ≥ 31 1

.3 xyz .32 2

P ≥ 3

2

Nếu P = 3

2 thì x = y = z = 1 a = b = c = 1

Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = 3

2. Vậy minP =

3

2

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥

≥ 1 + 3 3 2 2 23 abc 3 a b c + abc =

331 abc

Đẳng thức xảy ra a = b = c > 0. 26. (ĐH Y HN 2000)

22 2 3 2 3

2 3 . x . y (x y)x y x y

= 6(x + y)

x + y ≥

22 3

6


31

Giá trị

22 3

6 đạt được

2

2 3: x : y

x y

2 3x y

6

2( 2 3)x

6

3( 2 3)y

6

Vậy min(x + y) = 5 2 6

6

27. (ĐH An Giang khối D 2000) Giả sử a ≥ b ≥ 0 a

c(a – b) ≥ b

c(a – b) a

c + 1 + b

c + 1 ≥ ab(a

c – 1 + b

c – 1)

28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1)

và xy + yz + zx ≥ 3 2 2 23 x y z (2)

Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx >

18xyz

2 xyz (vì 2 +xyz > 0)

29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Ta có: 3

4 = 81, 4

3 = 64 3

4 > 4

3 BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.

Với n > 3, đpcm n >

nn 1

n

n1

1n

< n (1)

Ta có:

n1

1n

= n

kn k

k 0

1C

n =

= 1 +

2 n

n n(n 1) 1 n(n 1)...(n n 1) 1. ... .

n 2! n!n n

= 1 + 1 +

1 1 1 1 2 n 11 ... 1 1 ... 1

2! n n! n n n <

< 1 + 1 + 1 1

...2! n!

< 1 + 1 +

n 1

1 1...

2 2 <

< 1 + 1 +

n 1

1 1...

2 2+ … = 1 +

1

11

2

= 3

n1

1n

< 3 < n (1)

30. (CĐSP Nha Trang 2000)


32

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1 ), ta có:

A = 1. a 1 1. b 1 ≤ (1 1)(a 1 b 1)

mà a + b = 1 nên A ≤ 6

Dấu “=” xảy ra a 1 b 1 a = b a = b = 1

2 ( do a + b = 1)

Vậy maxA = 6 khi a = b = 1

2

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

BĐT cần chứng minh

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

y z x z x y1 1 1

x x y y z z≥ 9

3 +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

y z x z x y

x x y y z z ≥ 9

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có:

* 2 2 2 2 2 2

32 2 2 2 2 2

a b c a b c3 . . 3

b c a b c a (1)

* 2

2

a a1 2

bb;

2

2

b b1 2

cc;

2

2

c c1 2

aa

2 2 2

2 2 2

a b c a b c2 3

b c ab c a (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

2 2 2

2 2 2

a b c a b c2 2

b c ab c a

2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c ab c a

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x

2 + 1 ≥ 2x

2

2x

1 x ≤ 1

Tương tự ta cũng có: 2

2y

1 y ≤ 1;

2

2z

1 z ≤ 1

Do đó: 2

2x

1 x +

2

2y

1 y +

2

2z

1 z ≤ 3

Hay: 2 2 2

x y z 3

21 x 1 y 1 z (1)

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:


33

33

1 1 1

1 11 x 1 y 1 z

3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)

33(1 x)(1 y)(1 z)

1 1 1

1 x 1 y 1 z

≤ (1 x) (1 y) (1 z)

3 ≤ 2

3 1 1 1

2 1 x 1 y 1 z (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x

2 ≥ x

3; y

2 ≥ y

3; z

2 ≥ z

3.

Suy ra: 2(x3 + y

3 + z

3) – (x

2y + y

2z + z

2x) ≤ 2(x

2 + y

2 + z

2) – (x

2y + y

2z + z

2x)

Do đó nếu ta chứng minh được: 2(x

2 + y

2 + z

2) – (x

2y + y

2z + z

2x) ≤ 3 (1)

thì (*) đúng. Ta có: (1 – y)(1 + y – x

2) ≥ 0 x

2 + y

2 – x

2y – 1 ≤ 0 (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra

y 1

x 1

y 0

Tương tự ta cũng có: x2 + z

2 – z

2x – 1 ≤ 0 (3)

y2 + z

2 – y

2z – 1 ≤ 0 (4)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x

2 + y

2 + z

2) – (x

2y + y

2z + z

2x) ≤ 3

Vậy (1) đúng (*) đúng

Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra (x; y; z) (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)

1 1 1

x y z . ax . by . cza b c

≤

1 1 1(ax+by+cz)

a b c

≤

1 1 1.2S

a b c =

1 1 1 abc

a b c 2R =

ab bc ca

2R

≤ 2 2 2a b c

2R


a b c

x y z

ABC ñeàu

M truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Cách 1: S = 5

1 1 1 1 1 5

x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥

5.5

x x x x 4y = 5


34

minS = 5

1 1

x 4y

x 4y

5x y

4

x 1

1y

4

Cách 2: S =

4 1

x 5 4x = f(x), 0 < x <

5

4

f(x) = 2 2

4 4

x (5 4x); f(x) = 0

2 2x (5 4x)

50 x

4

x = 1

Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5.

Cách 3: 2 + 1 2 1

x. y.2 x 2 y

≤ 4 1

x y.x 4y

(3)

Dấu “=” ở (3) xảy ra

2 1

x. x 2 y. y

5x y

4

x 4y

5x y

4

x 1

1y

4

(3)

25 5 4 1

.2 4 x 4y

4 1

x 4y ≥ 5

Vậy minS = 5. 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b N) nên c ≥ b + 1 thành thử:

S = a c

b d ≥

1 b 1

b 50 =

2b b 50

50b

Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.


a 1

d 50

c b 1

Để tìm minS, ta đặt 2b b 50

50b =

b 1 1

50 b 50 và xét hàm số có biến số

liên tục x:

f(x) = x 1 1

50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48)

f(x) =

2

2 2

1 1 x 50

50 x 50x; f(x) = 0

2x 50

2 x 48 x 5 2

Bảng biến thiên:


35

5 2

Chuyển về biểu thức f(b) = 2b b 50

50b (2 ≤ b ≤ 48, b N)

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].

Ta có f(7) =

49 57 53

350 175; f(8) =

64 58 61 53

400 200 175

Vậy minS = 53

175 khi

a 1

b 7

c 8

d 50

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Ta có diện tích tam giác: S = a b c1 1 1

ah bh ch2 2 2

ha = 2S

a; hb =

2S

b ; hc =

2S

c

a b c

1 1 1 1(a b c)

h h h 2S

a b c

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(a b c)

a b c h h h 2S a b c

Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)

1 1 1

a b c≥ 9

và vì S = 3

2, nên ta có:

a b c

1 1 1 1 1 1 93

a b c h h h 3

39. (Đại học khối A 2003)

Với mọi u,v ta có:

u v u v (*)

Đặt

1 1 1a x; ; b y; ; c z;

x y z

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a b c a b c a b c

Vậy P = 2 2 22 2 2

1 1 1x y z

x y z

22 1 1 1

(x y z)x y z

Cách 1:


36

Ta có: P

22 1 1 1

(x y z)x y z

22

3 31

3 xyz 3xyz

= 9

9tt

với t = 23( xyz) 0 < t

2x y z 1

3 9

Đặt Q(t) = 9t + 9

t Q(t) = 9 –

2

9

t< 0, t

10;

9Q(t) giảm trên

10;

9

Q(t) Q

1

9 = 82. Vậy P Q(t) 82

Dấu "=" xảy ra x = y = z = 1

3.

Cách 2: Ta có:

(x + y + z)2 +

21 1 1

x y z = 81(x + y + z)

2 +

21 1 1

x y z – 80(x + y + z)

2

18(x + y + z).

1 1 1

x y z – 80(x + y + z)

2 162 – 80 = 82

Vậy P 82

Dấu "=" xảy ra x = y = z = 1

3.

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin

4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , x R (2)

3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 3 (1 – cosx) – (1 – cos

2x)

2 ≥ 0

(1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

≤

31 4 32

32 3 27

Vậy BĐT (3) đúng (2) đúng y ≤ 3 , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1

x = k2. Vậy maxy = 3 .

Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin

4x + 3 cosx.

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = + k2. 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

(1)

(a b c)(b c a)

1bc

2 2(b c) a

1bc

2bc(1 cosA)

1bc


37

2 A 1cos

2 4 2 A 3

sin2 4

A 3

sin2 2

(do 0 < A

2 2) (3)

Biến đổi vế trái của (2) như sau:

A B C 1 A B-C B+Csin sin sin sin cos cos

2 2 2 2 2 2 2 ≤

1 A Asin 1 sin

2 2 2 =

= –

21 A Asin sin

2 2 2 = –

21 A 1 1

sin2 2 2 4

=

21 1 A 1

sin8 2 2 2

Do (3) suy ra:

2A B C 1 1 3 1

sin sin sin2 2 2 8 2 2 2

= 1 1

(4 2 3)8 8

= 2 3 3

8


0

0

B-Ccos 1

A 1202

A 3 B C 30sin2 2

42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có:

4ab (a + b)2

1 a b

a b 4ab

1 1 1 1

a b 4 a b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có:

1 1 1 1

2x+y+z 4 2x y z

1 1 1 1 1

4 2x 4 y z =

1 1 1 1

8 x 2y 2z (1)

Tương tự:

1 1 1 1

x 2y z 4 2y x z

1 1 1 1 1

4 2y 4 x z =

1 1 1 1

8 y 2z 2x (2)

1 1 1 1

x y 2z 4 2z x y

1 1 1 1 1

4 2z 4 x y =

1 1 1 1

8 z 2x 2y (3)

Vậy:

1 1 1 1 1 11

2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1

Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

4.

43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:


38

x x x x12 15 12 15

2 .5 4 5 4

x x12 15

5 4 2.3

x (1)

Tương tự ta có:

x x12 20

5 3 2.4

x (2)

x x15 20

4 3 2.5

x (3)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

1 + x3 + y

3 3 3 33 1.x .y = 3xy

3 31 x y 3

xy xy (1)

Tương tự:

3 31 y z 3

yz yz (2);

3 31 z x 3

zx zx (3)

Mặt khác 33 3 3 3 3 3

3xy yz zx xy yz zx

3 3 3

3 3xy yz zx

(4)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4

x 4

4 x4

84x x x3 4 2 4 2 4

Tương tự: 8y y3 4 2 4 ;

8z z3 4 2 4

Vậy x y z3 4 3 4 3 4 2

8 8 8x y z4 4 4 3 8 x y z6 4 .4 .4

6 24 x y z4 = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Ta có: 1 + x = 1 + 3

43

x x x x4

3 3 3 3

1 + y

x = 1 +

34

3 3

y y y y4

3x 3x 3x 3 x


39

1 + 9

y = 1 +

3

43

3 3 3 34

y y y y

26

43

9 31 16

y y

Vậy:

2y 9

1 x 1 1x y

2563 3 6

43 3 3 3

x y 3. .

3 3 x y = 256

47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cách 1:

Ta có:

3 a 3b 1 1 1(a 3b).1.1 (a 3b 2)

3 3

3 b 3c 1 1 1(b 3c).1.1 (b 3c 2)

3 3

3 c 3a 1 1 1(c 3a).1.1 (c 3a 2)

3 3

Suy ra: 3 3 3 1a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6

3

1 34. 6

3 4 = 3

Dấu "=" xảy ra

3a b c

4

a 3b b 3c c 3a=1

a = b = c = 1

4

Cách 2:

Đặt x = 3 a 3b x3 = a + 3b; y = 3 b 3c y

3 = b + 3c;

z = 3 c 3a z3 = c + 3a

x3 + y

3 + z

3 = 4(a + b + c) = 4.

3

4 = 3. BĐT cần ch. minh x + y + z 3

Ta có: x3 + 1 + 1 3

3 3x .1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 3 33 y .1.1 = 3y;

z3 + 1 + 1 3

3 3z .1.1 = 3z

9 3(x + y + z) (vì x3 + y

3 + z

3 = 3)

Vậy x + y + z 3

Dấu "=" xảy ra

3 3 3x y z 1

3a b c

4

a 3b b 3c c 3a=1

3a+b+c=

4

a = b = c = 1

4

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Ta có: 0 x 1 x x2

1

x y y x4

1

x y y x4

(1)


40

Theo BĐT Côsi ta có: 2 21 1 1y x yx 2 yx . x y

4 4 4

1x y y x

4

Dấu "=" xảy ra

2

2

0 y x 1 x 1

x x 1y

1 4yx

4

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Ta có:

2 2x 1 y x 1 y2 . x

1 y 4 1 y 4

2 2y 1 z y 1 z2 . y

1 z 4 1 z 4

2 2z 1 x z 1 x2 . z

1 x 4 1 x 4

Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:

2 2 2x 1 y y 1 z z 1 xx y z

1 y 4 1 z 4 1 x 4

2 2 2x y z 3 x y zx y z

1 y 1 z 1 x 4 4

3(x y z) 3

4 4

3 3 9 3 3

.34 4 4 4 2

(vì x + y + z 3 3 xyz = 3)

Vậy:

2 2 2x y z 3

1 y 1 z 1 x 2.

50. (Đại học khối A 2006) Cách 1:

Từ giả thiết suy ra: 2 2

1 1 1 1 1

x y xyx y.

Đặt 1

x= a,

1

y= b, ta có: a + b = a

2 + b

2 – ab (1)

A = a3 + b

3 = (a + b)(a

2 – ab + b

2) = (a + b)

2

Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.

Vì ab ≤

2a b

2 nên a + b ≥ (a + b)

2 – 23

(a b)4

(a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4

Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16


41

Với x = y = 1

2 thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.

Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S

2 – 4P 0. Từ giả thiết S, P 0.

Ta có: SP = S2 – 3P P =

2S

S 3

A = 3 3

1 1

x y =

3 3

3 3

x y

x y=

2 2

3 3

(x y)(x y xy)

x y=

2

3 3

(x y) xy

x y=

2

2 2

(x y)

x y

A =

2

2

S S 3

SP

Đk: S2 – 4P 0 S

2 –

24S

S 3 0 S

2

S 1

S 3 0

S 1

S 3 0 (vì S0)

S 3

S 1 (*)

Đặt h = f(S) = S 3

S h =

2

3

S< 0, S thoả (*)

Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h 4 và h 1, S thoả (*).

Mà A = h MaxA = 16 khi x = y = 1

2 (S = 1, P =

1

4).

Cách 3:

(x + y)xy =

2 2y 3yx

2 4> 0

1 1 x y

x y xy> 0

A = 3 3

1 1

x y =

3 3

3 3

x y

x y=

21 1

x y

1 1A

x y

Dễ chứng minh được:

3 3 3a b a b

2 2 (với a + b > 0)

dấu "=" xảy ra khi a = b.

Áp dụng với a = 1

x, b =

1

y, ta có:


42

333 1 11 1

x yx y

2 2

3A A

2 2 A 16.

Dấu "=" xảy ra khi 1 1

2x y

. Vậy Max A = 16.

Cách 4:

A = 2

2

S

P, suy ra

2

S 3SA

P S SP

S2 – 4P 0 S

2 – 4

2S SP

3 0

P1

S1 43

0 P 1

S 4 (chia cho S

2)

Nên: A = 2

2

S

P 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =

1

2).

51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên:

2 22 2 2 2x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y

Do đó: A ≥ 2 21 y y 2 = f(y)

Với y ≤ 2 f(y) = 2 21 y + 2 – y f(y) = 2

2y

y 1– 1

f(y) = 0 2y = 21 y

2 2

y 0

4y 1 y y =

1

3

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

Với y ≥ 2 f(y) ≥ 2 21 y ≥ 2 5 > 2 + 3 .

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y.

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .

thptdoanket-tanphu.edu.vnthptdoanket-tanphu.edu.vn/files/thanhvien_upload/369/tuyen_tap_bdt.pdf ·...

Documents