i. hàm số mũ - logarit :...

I. Hàm số mũ - logarit :

1) Lũy thừa:

an = . . ....

n thuøa soá

a a a a ( n * ). a– n = 1

n

a

( a ≠ 0, n * ).

m

n mna a ( m , n *

, a > 0)

Chú ý : a0 = 1 ( a ≠ 0) và 00, 0-nkhông có nghĩa

Cho a > 0, b > 0, a, b, x, t . Ta có tính chất sau:

ax.at = ax + t (a.b)x = ax.bx

( x

a )t = x

at

x x

x

a a

b b

;

x

x t

t

aa

a

x

a = at x = t 0 < a< b

0

0

x x

x x

a b khi x

a b khi x

a > 1 x

a > at x > t 0 < a < 1 x

a > at x < t

2) Logarit :

Cho 0 < a ≠ 1 , b > 0. logab = M aM = b

Các tính chất: với 0 < a ≠ 1.

logaa = 1; loga1 = 0.

logabn = nloga b (b ≠ 0,n chẵn).

Nếu b > 0 thì logabn = nlogab

1

log logn aab b

n.

log logn

m

aa

mb b

n

= logn m

ab ( b > 0, n ≠ 0).

loga

b

a b

log log

a ac b

b c (c > 0 , b > 0).

log ,b

aa b b R .

loglog

log

c

a

c

bb

a

(với 0 < a, c ≠ 1 và b > 0).

logab. logba = 1 hay logab = 1

logb

a

(0 < b ≠ 1).

Nếu x1 > 0 và x2 > 0 thì

loga(x1.x2) = logax1 + logax2; 1

1 2

2

log log loga a a

xx x

x

Nếu x1, x2 cùng dấu thì

loga(x1.x2)= 1 2log log

a ax x ; 1

1 2

2

log log | | log | |a a a

xx x

x

Nếu x1 > 0, x2 > 0, …, xn > 0

thì loga(x1.x2…xn) = logax1 + logax2 + … + logaxn.

log10x = lgx = logx ; logex = lnx (e 2,71828 , x > 0)

3) Đạo hàm

Hàm số mũ:

' ; . ( ) ' ln ; ,0 1x x x xe e x a a a x a

' ' ; ( )

( ) ' ' ln ; ( ) ,0 1

u u

u u

e u e u u x

a u a a u u x a

Hàm logarit:

( 0) ( 0)

( 0) ( 0)

1ln ' ln '

1(log ) ' (log ) ' ;0 1

ln

x x

a x a x

x xx

x x ax a

( 0) ( 0)

( 0) ( 0)

'ln ' ln '

'(log ) ' (log ) ' ;0 1

ln

u u

a u a u

uu u

u

uu u a

u a

Hàm số lũy thừa: 1( )' voi , 0x x x

1(u )' u' voi , u 0u

II. Bài tập :

1. Tính caùc giaù trò sau:

a) 2 1

4

log 4.log 2 b) 5 27

1log .log 9

25

c) 3log

aa

d) 32

log 2log 34 9 e)

2 2log 8 f) 9 8

log 2 log 2727 4

g) 3 4

1/3

7

1

log .log

log

a a

a

a a

a

h) 3 8 6

log 6.log 9.log 2 i) 3 812log 2 4log 5

9

k) 9 93log 36 4log 7log 5

81 27 3 l) 5 7log 6 log 8

25 49 m) 53 2log 4

5

n) 6 8

1 1

log 3 log 29 4 o) 9 2 125

1 log 4 2 log 3 log 273 4 5

p) 36

log 3.log 36

q) 3 2

3 7 2 71 . . 7 .

8 7 14

A

r)

2 64

6 42

3 . 15 .8

9 . 5 . 6

B

s) 3 2

2 34 8C t) 2

3 5

232D

u)

7 34

4 5 2

18 .2 . 50

25 . 4 . 27

E

v)

3 36

42

3

125 . 16 . 2

25 5

F

2. Vieát bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ

a) A =

5

3 3 12:a a a a a ; b) B =

2

5 3

a b

b a

.

3. Tính

a) log264; b) lg0,01; c) 1

3

log 81 ; d) 3

9

log 27 ;

e) 1

16

2log

2; f)

2 5 3

3

loga

a a

a

; g) – log2log3

4 43 ;

a) 6

log 5

36 ; b)

5

1log 10

31

25

; c) 5

2 3log 4

5

;

d) 3 81

2log 2 4log 5

9

; e)

3log 2a

a ; f)

41

lg 4

2100

.

4. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho laø coù nghóa).

a) logax(bx) = log log

1 log

a a

a

b x

x

;

b)2

1 1 1 ( 1)...

log log log 2.logna aa a

n n

x x x x

;

c) 1 2

1 2

...

1log

1 1 1...

log log log

n

n

a a a

a a ax x x

;

5. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:

a)

1,5 1,5

0,5 0,5

0,50,5 0,5

0,5 0,5

2

a ba b

ba b

a b a b

b) 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

2 2 1.

12 1

a a a

aa a a

c)

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2.

x y x y x y y

x y x y

xy x y xy x y

d)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

21 1

2 2

3 3.

2

x y x y x y

x y

x y

e) 1 2 2 1 2 4

3 3 3 3 3 3. .a b a a b b f) 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 2 2. .a b a b a b

g)

11 2 2 2

2

11

. 1 .

2

a b c b c aa b c

bca b c

h)

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

2 2 ( 1).

1

2 1

a a a

a

a a a

6. So sánh các cặp số sau:

a) 22

0,01 vaø 10

b) 2 6

vaø

4 4

c) 2 3 3 2

5 vaø 5

d) 300 2005 vaø 8 e)

0,33

0,001 vaø 100

f) 2

24 vaø 0,125

g) 3 4

1log 4 vaø log

3

h) 3

0,1 0,2log 2 vaø log 0,34 i)

3 5

4 2

2 3log vaø log

5 4

j) 1 1

3 2

1 1log log

80 15 2

vaø

k)

13 17log 150 log 290vaø l)

66

1log

log 322 vaø 3

m) 7 11

log 10 log 13vaø n) 2 3

log 3 log 4vaø p) 9 10

log 10 log 11vaø

7. So sánh hai số m, n nếu:

a) 3,2 3,2m n b) 2 2

m n

c) 1 1

9 9

m n

d) 3 3

2 2

m n

e) 5 1 5 1

m n

f) 2 1 2 1

m n

8. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho

2log 14 a . Tính

49log 32 theo a.

b) Cho 15

log 3 a . Tính 25

log 15 theo a.

c) Cho lg3 0,477 . Tính lg9000 ; lg0,000027 ; 81

1

log 100

.

d) Cho 7

log 2 a . Tính 1

2

log 28 theo a.

9. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho 25

log 7 a ; 2

log 5 b . Tính 3

5

49log

8

theo a, b.

b) Cho 30

log 3 a ; 30

log 5 b . Tính 30

log 1350 theo a, b.

c) Cho 14

log 7 a ; 14

log 5 b . Tính 35

log 28 theo a, b.

d) Cho 2

log 3 a ; 3

log 5 b ; 7

log 2 c . Tính 140

log 63 theo a, b, c.

10. Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau ñaây:

a) y = log3 (x2 – 8x + 12);

b) y = 2

2log (4 3 5)x x .

c) x

y

x

ln(2 1)

2 1

d) x

y

x

ln(2 1)

1

11. Tính y’:

2 4 22 2

sincos22

) ; b) .

) 5 . ; d)

x x x

x x xx

x x

a y e y x e

e ec y e y

e e

2 2

2 2

) ln ( 0)

) .lg 3

e y x x a a

f y x x x

2)

xeg y

x 2) 2 2 . xh y x x e

2) lni y x ) .xj y x

) ln .lg ln .log (0 1)ak y x x a x a

12. Tính y’:

sin 2) (2 1). cos( ); )x x x tgxa y x e e b y e

c) y = ln(3x+1) + ln(tg3x) vôùi ( 0 < x <3

)

d) y = log6(x – 2)(3 – x) vôùi (2 < x < 3)

e) y = lntg(1

12 x

) + tgln(1

12 x

)

f) y = xx với x>0

g) y =

35 2 2

4

1 . 2 .sin

2

x x x x

x

vôùi ( 1 < x < 2)

13. CMR:

a) 1

ln ; 1

1

yy xy e

x

b) 1

; ln 1

1 ln

y xy y y x

x x

c) y x x y xy x y2

sin(ln ) cos(ln ); 0

d) x

y x y x y

x x

2 2 21 ln; 2 ( 1)

(1 ln )

e) Cho y = xe 2

e1. y”’ + 2xy” + 4y’ = 0 e2. y(4)

+ 2xy”’ + 6y’’ = 0

14. Cho hsoá y= ex (ax

2 + bx +c) .Tìm a; b; c ñeå :

y” +2y’ – y = ex (2x

2 + 12x + 10) vôùi moïi x .

**************************************************************

III) Phương trình mũ- logarit:

PP: + Đưa về cùng cơ số. + lấy logarit 2 vế.

+ Đặt ẩn phụ. + Dùng tính đơn điệu.

+ Đánh giá 2 vế(CM nghiệm duy nhất)

af(x) = ag(x) f(x) = g(x) , (f(x) và g(x) có nghĩa, 0 < a ≠ 1)

af(x) = b f(x) = logab ( b > 0)

logaf(x) = b b

0 a 1

f(x) a

logaf(x) = logag(x)

0 1

( ) 0

( ) ( )

a

g x

f x g x

; f(x) và g(x) có nghĩa

IV. Bài tập :

1) PT mũ :

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2 5

6

22 16 2

x x

; 2) 10 5

10 1516 0,125.8

x x

x x ;

3) 0,125.2 3

24

8

x

x

; 4) 5 17

7 332 0,25.128

x x

x x ;

5) 3 2 1

2 .3 .5 4000 x x x

; 6) 1 1

3 6 .2 .3 x x x x

;

7) 1 1 2 1 2

2 2 2 3 3 3 x x x x x x

;

8) 1 2 1 2

2 2 2 7 7 7 x x x x x x

;

9) 2

3 5 6

2 5 x x x

; 10) 2

3 7 12

3 5 x x x

;

11)

2 1

15 .2 50

x

x x ; 12) 13 .8 36

x

x x .

Bài 2. Giải các phương trình sau: (ẩn phụ)

1) 4x + 5.2x – 6 = 0; 2) 9x – 5.3x + 6 = 0;

3) 1 1

4 5.2 4 0x x ; 4) 4x – 10. 2x – 1 = 6;

5) 2 8 5

3 4.3 27 0 x x

; 6) 4x + 3 + 2x + 7 = 17;

7)

2 11

1 13. 12

3 3

x x

; 8) 2 2

sin x cos x

9 9 10 .


1) 4x – 13.6x + 6.9x = 0; 2) 3.16x + 2.81x = 5.36x ;

3)

1 1 1

x x x9.4 5.6 4.9 ; 4)

1 1 1 21

x 2 x x25 3.10 2 0

;

5) 125x + 50x = 23x + 1; 6) 8x + 18x = 2.27x.


1) x x

(4 15) (4 15) 62 ;

2) x x

( 3 8 ) ( 3 8 ) 6 ;

3) x x

( 6 35 ) ( 6 35 ) 12 ;

4) x x x 3

(5 21) 7(5 21) 2 ;


1) 3x + 4x = 5x ; 2) 5x + 12x = 13x ;

3) 3x – 4 = x

25 ; 4) 1 + 3 x7 = 2x;

5) 4x + (2x – 5) 2x + 6x – 24 = 0;

6) 3.25x – 2 + (3x – 10)5x – 2 + 3 – x = 0.

2) PT logarit :

Bài 1. ( a là hằng số)

Giải các phương trình sau:

1) log3(x2 + 4x + 12) = 2; 2) log2(x + 1)2

= 2;

3) 1 1

3 2

log log x 1 ; 4) 1

5

1log log x 0

3

;

5) log2(3.2x – 1) = 2x + 1; 6) x + log2(9 – 2x) = 3;

7) 1 2

1

4 lgx 2 lgx

; 8) ln(lg(x – 3)) = 1

2.


1) log5(x – 1) = log5x

1 x

;

2) 7 1

7

x 3 2log log 0

21 3x 6

;

3) log2(x2 – 1) = log1/2(x – 1);


1) log3(2x – 3) + log3(x + 6) = log3(x – 2) + 3;

2) log2(x – 4) + log2(x + 3) = log2(5x + 4);

3) lg(x – 3) + lg(x + 6) = lg2 + lg5;

4) ln(x3 + 1) –

1

2ln(x2 + 2x + 1) = ln3;

5) 2 log3(x – 2) + log3(x – 2)2 = 0;

6) log2(x + 2)2 + log2(x + 10)2 = 4log23;

7) 2log2 2

x 7 x 1log 1

x 1 x 1

;

8) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x

2 + 7x + 12) = 3 + log23;

9) log2(x + 1)2 + log2

2x 2x 1 =9


1) log3x + log9x + log27x = 11

2

;

2) log2x + log4x + log1/2x2 =

1

16

;

3) log3x. log9x. log27x. log81x = 2

3

;

4) log4(log2x) + log2(log4x) = 2;

5) logx2 – log4x + 7

6

= 0;

6) log2x64 + 2

xlog 16 = 3;

7) log2xx – 2

8xlog x =0;

8) x x x

3 81

log 3.log 3 log 3 0 ;

9) 2 3

4 82log (x 1) 2 log 4 x log (4 x)


1) 3 3

2 2

4log x log x

3

;

2) 2 2

1log x log x

2

;

3) (Y Hà Nội, 2000) lg4(x – 1)2 + lg2( x – 1)3 = 25;

4) 2

2 2log x (x 1)log x 2x 6 0 .

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9 3 0x x

m b) 9 3 1 0x xm

c) 14 2x x

m d) 2

3 2.3 ( 3).2 0x x x

m

e) 2 ( 1).2 0x x

m m f) 25 2.5 2 0

x xm

Bài 8. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) .2 2 5 0x x

m b) .16 2.81 5.36

x x xm

c) 5 1 5 1 2

x xx

m d) 7 3 5 7 3 5

8

2 2

x x

m

e) 34 2 3x x

m f) 9 3 1 0

x xm

*************************************************************

V) Bất phương trình mũ- logarit:

1) BPT mũ

Nếu a > 1 thì af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

Nếu 0 < a < 1 thì af(x) > ag(x) f(x) < g(x) ; f(x), g(x) có nghĩa.

Dạng cơ bản : af(x) > b

Trường hợp 1. Nếu b ≤ 0 và 0 < a ≠ 1 thì bất phương trình trên thoả mãn với mọi x

làm cho f(x) có nghĩa.

Trường hợp 2. Nếu b > 0 thì

f(x)

a

a bf(x) log b

a 1

;

f(x)

a

a bf(x) log b

0 a 1

Dạng cơ bản : af(x) < b

Trường hợp 1. Nếu b ≤ 0 và 0 < a ≠ 1 thì bất phương trình trên vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu b > 0 thì

f(x)

a

a bf(x) log b

a 1

;

f(x)

a

a bf(x) log b

0 a 1

2) BPT logarit

Loại 1. cơ số a là hằng số ( 0 < a ≠ 1)

Trường hợp : a > 1.

logaf(x) ≥ b f(x) ≥ ab.

logaf(x) ≤ b 0 < f(x) ≤ ab .

logaf(x) ≤ logag(x) f(x) 0

f(x) g(x)

Trường hợp : 0 < a < 1.

logaf(x) ≥ b 0 < f(x) ≤ ab .

logaf(x) ≤ b f(x) ≥ ab.

logaf(x) ≤ logag(x) g(x) 0

f(x) g(x)

Loại 2. Cơ số a có chứa ẩn

logaf(x) < logag(x)

0 a 1

f(x) 0

g(x) 0

(a 1)[f(x) g(x)] 0

VI) Bài tập :

1) BPT mũ

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

1) 2

2x 3x 6(0,3) 0,00243

; 2)

2

4x 15x 13

3x 412

2

;

x x

72 1 13 . 1

3 3

; 4)

2x 13

1 x1 1

5 5

;

5) 22x – 1 + 22x – 3 – 22x – 5 > 27 – x + 25 – x – 23 – x;

6)

x 1x 3

x 3x 1( 10 3) ( 10 3)

.


1) 3x + 3x + 1 + 3x + 2 ≤ 5x – 1 + 5x + 5x + 1;

2) 6. 5x + 1 – 5x + 2 + 6. 5x > 22 ;

3) 5x – 3x + 1 > 2(5x – 1 – 3x – 2);


1) 52x + 1 > 5x + 4; 2) 4x – 10.2x + 16 < 0;

3)

2x 3

2x 1 12 21 2 0

2

; 4) 5.36x – 2.81x – 3.16x ≤ 0;

5) 6.

1 1 1

x x x9 13.6 6.4 0 ; 6) xx

2 2 2. 2 ;

7) (2,5)x – 2.(0,4)x + 1 + 1,6 < 0; 8)

2 11

x x1 13 12

3 3

;

9)x 1 x

1

5

log (6 36 ) 2 .

2) BPT logarit


1) log3(x2 – 2x – 2) ≤ 0; 2) log5(x

2 – 11x + 43) ≥ 2;

3) 3

1 2xlog 1

1 x

; 4)log2(2 – x 2

x 1 ) ≥ 1;

5) log1/5(2x2 + x + 1) < 0; 6) log1/3(x2 + 2x) < 0;

7) 2

1sin

2 4

log (4x 16x 15) 2 ; 8) 2

3 9

16

log log (x 4x 3) 0 ;

9) log5(2x – 4) < log5(x + 3); 10) log0,1(x2 + x + 2) > log0,1(x + 3);

11)log1/2(x + 1) ≤ log2( 2 – x); 12)2

1 2

2

x 6x 9log log (x 1)

2(x 1)

.


1) lg(x – 2) + lg(27 – x) < 2;

2) lg(x – 1) + lg(x – 2) < lg(x + 2);

3) log1/5(2x + 5) – log1/5(16x – x2) ≤ 1;

4) log7x – log7(2x – 5) ≤ log72 – log7(x – 3);

5) 2 1

2

1 xlog 1 log 1 1

x 4

;

6) 1 1 3

3 3

log (x 1) log (x 1) log (5 x) 1 ;

7) log2x2 + log2(x – 1)2 > 2;

8) log2(x2 – x) + log1/2(x + 3) > 0;

9) 2

3 1 1

3 3

log x x 6 log x 3 log (x 2) .

VII. Một số đề thi đại học

1) Giải phương trình 2

2 1

2

log (8 x ) log ( 1 x 1 x) 2 0 (x ) (D.2011)

2) Giải phương trình 3 32 2 2 2 4 44 2 4 2 ( )x x x x x x

x (D.2010)

3) (ÑHQGHN, 1998) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x

2 + 7x + 12) = 3 + log23;

4) (ÑH Hueá,1999) log2(x + 1)

2 + log2

2x 2x 1 = 9

5) (Hoïc vieän Kyõ thuaät Quaân söï, 2000)

log2(x2 + x + 1) + log2(x

2 – x + 1) = log2(x

4 + x

2 + 1) + log2(x

4 – x

2 + 1)

6) (ÑHSP Vinh, khoái D, G, M, 2000) (x – 1)log53 + log5(3x +1

+ 3) = log5(11.3x – 9).

7) (BKHN, 2000) 2 3

4 82log (x 1) 2 log 4 x log (4 x)

8) (Y Haø Noäi, 2000) lg4(x – 1)

2 + lg

2( x – 1)

3

= 25

9) (An Giang, 2000) (2,5)x – 2.(0,4)

x + 1 + 1,6 < 0

i. hàm số mũ - logarit :...

Documents