Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Primera clase: Estadística Descriptiva

Luis Diego Fernández Gómez

Programa Técnico en Riesgo, 2017

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Tipos de variables

Variables Cuantitativas

Comprenden valores que vienen en números signi�cativos. Esta

se puede dividir en variables continuas (toman cualquier valor

dentro de un intervalo de números reales) o variables discretas

(variables cuyos valores solo varían en unidades enteras).

Ejemplo

Edad, peso, rendimiento de un bono, precio de una acción, etc.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Tipos de variables

Variables Cualitativas

Valores caen en alguna categoría, por lo mismo, indican una

cualidad o propiedad de un objeto. Esta se puede dividir en

variables ordinales (cuyas categorías pueden ponerse en algún

orden natural) o variables nominales (sin orden natural).

Ejemplo

Raza, sexo, Banco emisor, tipo de acción, clasi�cación de

crédito, etc.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Propósito

¾Qué es una medida de Posición?

Tratar de resumir, en un solo número la posición o localización

de la distribución de los datos.

Las medidas más usadas son la Media o promedio,mediana, moda y cuantiles.

Ejemplo

El monto promedio de la emisión de acciones de la

Comporación Davivienda (Costa Rica) registrados en la página

de la Superintendencia General de Valores (SUGEVAL) es de

26,451 millones de colones.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Media aritmética

Usualmente llamada promedio, parte del principio de la

esperanza matemática o valor esperado.

Se ve afectado por valores extremos.

Fórmula

X̄ =X1 +X2 +X3 + . . .+Xn

n=

∑ni=1

Xi

n

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Datos

Table: Acciones Cómunes de origen nacional (En millones de colones)

Emisor Monto

AD ASTRA ROCKET COMPANY 0.8

CORPORACION DAVIVIENDA (COSTA RICA) S.A. 40,403.5

CORPORACION ILG INTERNACIONAL, S.A. 2,605.2

FLORIDA ICE AND FARM COMPANY S.A. 38,168.5

GRUPO FINANCIERO IMPROSA S.A. 17,914.4

HOLCIM (COSTA RICA) S.A. 8,577.4

INMOBILIARIA COMERCIAL DEL OESTE S.A. 475.3

INMOBILIARIA ENUR S.A. 3,000.0

LA NACION S.A. 4,507.9

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Ejemplo Media aritmética

Ejemplo

En el cuadro anterior disponemos de los últimos movimientos

de acciones cómunes de origen nacional negociadas en la bolsa

Nacional de Valores. La media Aritmética se puede cálcular

como:

X̄ =40,403.5+2,605.2+ . . .+4,507.9

8=

115,652

8= 14,456.52

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Media geométrica

Usualmente utilizada para mostrar cambios porcentuales en

una serie de números positivos.

Tiene como principal ventaja que no se ve tan in�uenciada por

los valores extremos.

También puede usarse cuando la distribución de los valores

está altamente sesgada en dirección positiva o negativa.

Usada frecuentemente cuando los datos se encuentran en

forma de razones o porcentajes.

Fórmula

X̄ = n√X1 ∗X2 ∗X3 ∗ . . .∗Xn

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Ejemplo Media geométrica

Ejemplo

X̄ = 8

√40,403.5∗2,605.2∗ . . .∗4,507.9 = 6,680.72

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Media ponderada

La media ponderada toma en cuenta la importancia relativa de

las observaciones.

Fórmula para la Média aritmética

X̄ =∑ni=1

WiXi

∑ni=1

Wi

Fórmula para la Média geométrica

X̄ = ∑ni=1Wi

√XWii

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Mediana

De�nición

Valor central de una serie de datos ordenados. También

llamada media posicional, porque queda exactamente en la

mitad del conjunto de datos.

Fórmula

mediana =n+1

2

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Ejemplo Mediana

Ejemplo

Ordenando los datos:

mediana =8+1

2= 4.5⇒ 6,542.6

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Moda

De�nición

Valor más común, más típico o que ocurre más

frecuentemente en un conjunto de datos.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Cuantilos

De�nición

Esta medida divide a un conjunto de observaciones, ordenadas

de menor a mayor, en grupos que contienen el mismo número

o porcentaje de la población.

Existen casos particulares como Cuartiles (cuatro grupos de

25% cada uno), Quintiles (cinco grupos de 20% cada uno),Deciles (diez grupos de 10% cada uno) y Percentiles (ciengrupos de 1% cada uno).

Fórmula

percentilm =m

100(n+1)

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

Ejemplo Cuantilos

Ejemplo

Busquemos el cuartil 1 y 3:

percentil25 =25

100(8+1) = 2.25⇒ 2,605.2+3,000.0

2= 2,802.6

percentil75 =75

100(8+1) = 6.75⇒ 17,914.4+38,168.5

2= 28,041.5

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Propósito

¾Qué es una medida de variabilidad o dispersión?

Busca describir a cuánta distancia del centro se encuentran las

observaciones. Es fundamental para determinar la validez de

un valor central que busque resumir a los datos.

Las medidas más usadas son Recorrido o amplitud,desviación media, desviación estándar y varianza; ycoe�ciente de variación. Esta medida es fundamental para

medir el riesgo de un activo.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Desviación estándar

De�nición

Nos indica cuánto se alejan, en promedio, las observaciones de

la media aritmética del conjunto. Es la medida de dispersión

más usada en estadística, tanto en aspectos descriptivos como

analíticos.

Fórmula

σ =

√∑ni=1

(Xi − X̄ )2

n−1

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Ejemplo desviación estándar

Ejemplo

Calculemos la desviación estándar:

σ =

√(40,403.5−14,456.5)2+ . . .+(4,507.9−14,456.5)2

8−1= 16,248.8

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Varianza

De�nición

Si elevamos al cuadrado la desviación estándar.

A diferencia de la desviación estándar la varianza no se

encuentra medida en las mismas unidades de los datos

originales, por este motivo es menos utilizada.

Fórmula

σ2 =

∑ni=1

(Xi − X̄ )2

n−1

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Ejemplo Varianza

Ejemplo

Calculemos la varianza

σ2 = (16,248.8)2 = 264,025,248.1

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Coe�ciente de variación

De�nición

Indica la importancia de la desviación estándar en relación al

promedio aritmético.

Se utiliza cuando se comparan las variabilidades de dos

conjuntos de datos, medidos en diferentes unidades, o son muy

diferentes en sus magnitudes. Es útil para comparar los riesgo

de activos con diferente rendimiento esperado.

Fórmula

CV =σ

µ∗100

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Ejemplo coe�ciente de variación

Ejemplo

Calculemos el coe�ciente de variación:

CV =16,248.8

14,456.5∗100= 112.4

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Asimetría o sesgo

De�nición

Es una medida de la falta de simetría en la distribución de los

datos.

Fórmula del coe�ciente de Pearson

P =3(X̄ −mediana)

σ

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Asimetría o sesgo

Coe�ciente de Pearson

Si es mayor que cero la distribución está sesgada a la derecha

o es asimetríca positiva.

Si es menor que cero la distribución está sesgada a la izquierda

o es asimetríca negativa.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Asimetría o sesgo

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Ejemplo coe�ciente de asimetría

Ejemplo

Calculemos el coe�ciente de asimetría de Pearson:

P =3(14,456.5−6,542.6)

16,248.85= 1.46

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición

2 Medidas de Posición

Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidas

Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

CurtosisLuis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Curtosis

De�nición

Analiza el grado de concentración que presentan los valores

alrededor de la zona central de la distribución.

Fórmula de la curtosis

g2 =

{n(n+1)

(n−1)(n−2)(n−3) ∑

(xi − x̄

s

)}− 3(n−1)2

(n−2)(n−3)

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Asimetría o sesgo

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Ejemplo Curtosis

Ejemplo

Calculemos el coe�ciente de curtosis:

g2 =−0.69

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de mediciónMedidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

PropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

Bibliografía

Barrantes G., Miguel

Elementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, Carey

Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.

Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., Allen

Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.

Luis Diego Fernández Gómez Estadística Descríptiva