trabajo

Junta Electoral General

VICENTE M. AGUILELLA FERNNDEZ, Profesor Titular de Fsica Aplicada del Departament de Cincies Experimentals de la Universitat JAUME I de Castell de la Plana,

CERTIFICO:

Que don MARCEL AGUILELLA I ARZO, licenciado en Ciencias Fsicas por la Universitat de Valncia, ha realizado bajo mi direccin el trabajo titulado:

INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIN DE CARGA SOBRE LOS FENMENOS ELECTROCINTICOS EN CANALES INICOS Y MEMBRANAS MICROPOROSAS,

el cual queda recogido en la presente Memoria, y constituye su tesis doctoral para

optar al grado de Doctor en Fsica. El trabajo ha sido realizado en el Departament de

Cincies Experimentals de la Universitat JAUME I.

Y para que as conste, a los efectos legalmente previstos, firmo el presente

certificado, en Castelln de la Plana, a 10 de abril de dos mil.

2

A Roco

3

En primer lugar me gustara expresar mi ms sincero agradecimiento a Vicente, mi

director de Tesis, que durante todos estos aos ha estado animndome a continuar, a

pesar de que, ciertamente en alguna ocasin, y creo que l ya lo intuy, pas por mi

mente la idea de dejarlo correr.

Naturalmente gracias tambin a todos los miembros del Departamento de Ciencias

Experimentales: a Vicente Company, a Patricio Ramrez, a Antonio Alcaraz, a Lidn

Lpez, a Andreu Andrio, a Pepe Fernndez Petit, ... en fin, a todos. Y tambin a Vctor

Levadny, que ya es como del departamento, y con el que he tenido el gusto de

compartir charlas agradables en nuestro pequeo rincn, en el Laboratorio de Fsica

Aplicada.

Y unas gracias muy especiales a Roco, que se ha ocupado de obligarme a dedicar

ms tiempo a terminar la Tesis. Seguro que sin ella no estara ahora escribiendo estas

lneas.

A todos, muchas gracias.

T A B L A D E C O N T E N I D O

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TABLA DE CONTENIDO

1. Introduccin .......................................................................................................... 7

2. El modelo clsico de carga espacial ............................................................... 31

Caractersticas generales .............................................................................. 33

Modificaciones del modelo de carga espacial ................................................ 49

3. Efecto de la carga fija situada fuera de la pared del poro ......................... 55

Introduccin .................................................................................................. 57

Resolucin numrica y coeficientes Lij .......................................................... 59

Resultados ..................................................................................................... 69

El potencial de flujo ......................................................................... 70

La conductividad ............................................................................. 73

4. Efecto de una capa de dipolos en la pared del poro .................................... 81

Introduccin .................................................................................................. 83

Modelo ............................................................................................................ 88

Potencial de flujo ........................................................................................... 94

Potencial de membrana ................................................................................ 96

Resultados ..................................................................................................... 98

5. Asimetra axial en la carga ............................................................................. 103

Introduccin ................................................................................................ 105

El potencial elctrico ................................................................................... 106

Los coeficientes de Onsager......................................................................... 111

El potencial de flujo .................................................................................... 114

La exclusin ................................................................................................ 119

La conductancia .......................................................................................... 123

Conclusiones ............................................................................................... 127

6

6. Modelo de dos regiones con superficie divisoria de Gibbs .......................129

Introduccin ............................................................................................131

El concepto de superficie divisoria propuesto por Gibbs ........................131

Superficie plana cargada ........................................................................138

Superficie cilndrica cargada ..................................................................143

Resultados y discusin ............................................................................146

7. Conclusiones ......................................................................................................157

8. Referencias bibliogrficas ..............................................................................161

9. Apndices ............................................................................................................171

Programa de resolucin de la ecuacin de Poisson-Boltzmann

no lineal ...................................................................................................173

Coeficientes de Onsager con asimetra axial en la carga .......................180

Lista de smbolos .....................................................................................184

I N T R O D U C C I N

7

C A P T U L O 1

8


9

El trmino transporte inico a travs de membranas cargadas no es totalmente

unvoco, ya que las membranas, aun distinguiendo entre las de origen biolgico y las

sintticas, tienen caractersticas bien diferenciadas que precisan un tratamiento

distinto. Sin embargo, cuando se acota un poco ms el trmino y nos referimos a

membranas sintticas microporosas con cargas fijas y a membranas biolgicas

atravesadas por canales inicos, cabe emplear al menos un lenguaje comn en el que

se habla de poros acuosos, de distribucin de carga y de geometra del poro o canal.

Naturalmente persisten las diferencias: la ms notable y evidente es la de las

dimensiones espaciales en las que tiene lugar el transporte de iones; en muchos casos

supone pasar de las micras a los angstroms, aunque tambin es posible encontrar

membranas en las que no es fcil una clasificacin a tenor simplemente del tamao de

los poros.

En el caso de las membranas sintticas, se consigue un tamao de poro y una

geometra razonablemente bien definidas mediante bombardeo de partculas sobre un

soporte base y posterior tratamiento qumico (el substrato puede ser una placa

delgada de policarbonato, una membrana de mica, etc.). En el caso de los canales

inicos que atraviesan las membranas biolgicas, el tamao del poro y su geometra

vienen dados por la estructura de la molcula que constituye el canal, en la que hay

en mayor o menor grado una cierta simetra (aproximadamente cilndrica en

bastantes casos; vase, por ejemplo, la Figura 1.1 en la que se muestra un modelo

tridimensional del canal de gramicidina A).

Con estas consideraciones se pretende justificar de algn modo la inclusin en esta

Memoria de aplicaciones y ejemplos entre los que se encuentran tanto membranas

sintticas microporosas como poros acuosos abiertos en membranas de tipo biolgico.

El objetivo principal, no obstante, son estos ltimos.

Por otro lado, el transporte inico a travs de membranas biolgicas ofrece, en su

complejidad, unas posibilidades de estudio mucho ms variadas. Sin pretender ser

exhaustivos, apuntemos algunas razones:

Las molculas que forman los canales por donde se transportan los iones no son

estructuras fijas sino dinmicas.

C A P T U L O 1

10

Figura 1.1

Modelo tridimensional del canal de Gramicidina A. (De The Ion Channel Web Page[Io00])

Las propiedades dielctricas de la molcula-canal pueden influir, y mucho, en la

energa libre de los iones que cruzan el canal aun en canales sin carga fija neta ni

cargas dipolares, debido a la influencia de las cargas imagen.

La interaccin membrana-canal puede determinar la concentracin inica en la

boca del canal y/o cambiar la conductancia de ste (por ejemplo, en una membrana

lipdica, la mayor o menor repulsin electrosttica entre las cabezas polares puede

hacer variar la presin lateral en el lpido y hacer que la protena-canal pase a un

estado conformacional distinto con otro nivel de conductancia).

La inhomogeneidad en la distribucin de cargas fijas a lo largo del canal es

mucho ms frecuente en canales inicos que en membranas sintticas microporosas.

La teora de la electrodifusin ya fue aplicada a sistemas biolgicos cuando J.

Bernstein la emple para describir el potencial de membrana de los msculos y

nervios. Pero esto no quiere decir que las propiedades electrostticas de las

membranas y de los canales inicos se hayan estudiado desde entonces. Como


11

comentaba acertadamente S. McLaughlin [La89] hace una dcada, Tres de las cuatro

fuerzas fundamentales conocidas son irrelevantes en la mayora de los aspectos de la

biologa molecular y celular; la cuarta ha sido ignorada hasta hace muy poco.

Obviamente se refera al papel de la electrosttica en los procesos biolgicos y esto

puede particularizarse al transporte inico, prcticamente ubicuo en cualquier

organismo vivo.

La modelizacin de los canales inicos biolgicos tiene una larga historia que se

remonta a ms de 100 aos [Hi84] [Le99]. El movimiento de los iones a travs de las

membranas biolgicas fue descrito durante bastante tiempo usando las ecuaciones de

la electrodifusin de Nernst-Planck. Sin embargo, al comienzo de la dcada de los 50,

la descripcin del movimiento de los iones a travs de las membranas dio un paso ms

all de la implementacin convencional del anlisis de Nernst-Planck.

Primero, se encontr que el movimiento de los iones K+ a travs del canal de

potasio dependiente del voltaje no poda describirse mediante las ecuaciones de la

electrodifusin de Nernst-Planck, ya que el exponente de la relacin de flujos que

describa el flujo del trazador K+ era mucho mayor que el valor de 1 esperado. Esto

condujo a la nocin del flujo ion a ion (single-file flux) [Ho55]. En segundo lugar, se

introdujeron explcitamente las interacciones ion-ion en las ecuaciones de flujo de

Nernst-Planck mediante la ecuacin de Poisson [Br65]. En tercer lugar, se hizo

patente que los canales inicos no son simplemente poros acuosos, sino que pueden

concentrar los iones y mostrar comportamientos de saturacin. Esta propiedad no

puede explicarse fcilmente mediante las ecuaciones de Nernst-Planck y condujo al

desarrollo de los modelos de barreras de energa (rate theory) para la permeacin de

iones [La73].

En la poca de la biologa premolecular, la interpretacin de estos modelos simples

constitua la fuente primaria de informacin sobre la estructura del canal. A medida

que la biologa molecular y la Difraccin de Rayos X han proporcionado informacin

directa sobre la estructura, la modelizacin ha pasado a ocupar un papel secundario

en la bioqumica de los canales.

C A P T U L O 1

12

Los primitivos modelos de canales se conceban siempre como aproximaciones muy

simplificadas que se esperaba que contuviesen las caractersticas esenciales del canal.

Actualmente, la combinacin de los datos de estructura de los canales incluso a

resolucin atmica con la enorme potencia de clculo numrico disponible ofrece la

posibilidad de obtener soluciones exactas para los flujos inicos (basadas en la

Dinmica Molecular). Con estas soluciones se busca relacionar la estructura de un

canal inico con su funcin. Sin embargo, como veremos a continuacin, ni este tipo de

mtodos es el nico ni, desafortunadamente, conduce a resultados fiables por ms que

sus posibilidades tericas sean fascinantes. Existen tambin otros mtodos que

ajustan los datos experimentales sin requerir una informacin exhaustiva sobre la

estructura molecular del canal. A continuacin se revisan brevemente las

posibilidades y limitaciones de algunos de los mtodos, con el fin de situar en su

contexto el modelo continuo basado en las ecuaciones de Nernst- Planck, Poisson-

Boltzmann y Navier-Stokes que se utiliza en esta Memoria.

La solucin exacta de la Dinmica Molecular

Como se ha dicho anteriormente, este tratamiento se ha hecho posible tras la

determinacin de las estructuras de las molculas que constituyen los canales inicos.

Hasta hace muy poco, el nico canal que cumpla esta condicin era el canal de

gramicidina. Sin embargo, actualmente se han determinado y publicado las

estructuras del canal porin [Kr94], del canal de potasio [Do98], del canal

transportador de hierro [Fe98] y de un canal mecnico-sensible [Ch98] entre otros.

Por consiguiente, el rango de aplicabilidad de la Dinmica Molecular se ha extendido

a unos cuantos sistemas ms de inters biolgico.

La idea bsica es muy simple. Primero, se compone un modelo atmico ideal que

contenga la protena-canal, el agua del canal, una regin prxima de lpidos que

rodean la protena y una muestra de agua libre a ambos lados del canal. A

continuacin se colocan unos cuantos iones en el agua, se fija la temperatura, y se

aplica un gradiente de potencial elctrico o de concentracin. Luego, se mide

directamente el flujo inico en funcin del tiempo a medida que el ordenador va

calculando exactamente la dinmica atmica del modelo. En cada paso de la


13

simulacin se calculan todas las fuerzas que actan sobre cada tomo (cargas fijas,

dipolos, etc.) y el tomo se mueve bajo estas fuerzas durante un lapso de tiempo lo

suficientemente pequeo como para considerar las fuerzas constantes. Una

simulacin que tenga en cuenta las vibraciones atmicas debe usar al menos pasos

temporales de 10-16 s; si los intervalos son ms largos, no se puede decir que sea una

simulacin directa sino que depende de la teora empleada y de diversas hiptesis.

Por desgracia, la aplicacin correcta de este tratamiento supera los lmites de

clculo de cualquier sistema convencional actual, ms all de lo razonable. La

simulacin ha de ejecutarse durante un periodo de tiempo que sea al menos suficiente

para observar cmo un ion atraviesa el canal. De hecho, puesto que el ion puede

seguir diversas rutas dentro del canal y tanto las interacciones especficas ion-canal

como las ion-ion varan aleatoriamente, habra que observar el paso de al menos 10

iones antes de estimar la conductancia del canal. Para un canal con una conductancia

de 50 pS y un voltaje aplicado de 100 mV, 10 iones tardan en pasar unos 0.4 s.

Comparemos este dato con valores reales de tiempo de clculo. Una simulacin

reciente del canal OmpF (consistente en 1020 aminocidos, 300 molculas de

fosfatidilcolina, 12992 molculas de agua y 27 tomos de sodio) requiri 2 horas de

CPU para 1 pS de tiempo real [Ti98]. Por tanto, los 4 s de tiempo real necesarios para simular el paso de 10 iones supondran alrededor de 100 aos de clculo de

ordenador. Este clculo es para el caso ideal en el que se incluyen en la simulacin

todo el canal (la protena que lo constituye, que no siempre es un monmero) y parte

del lpido. El tiempo de clculo se podra reducir simulando nicamente los residuos

de la protena que constituyen las paredes del canal y reemplazando el resto de la

protena y el lpido por un medio continuo como aproximacin. Por ejemplo, en la

simulacin por dinmica molecular del canal de acetilcolina [Sa98], slo se simulaban

directamente las hlices de M2 y el tiempo de clculo se redujo aproximadamente a un

ao para el paso de un ion. En el caso del porin, al tener tan gran conductancia,

Suenaga et al. [Su98] pudieron observar el paso de un ion Na+ a travs del canal

durante una simulacin de 1.3 ns usando un modelo reducido del canal. A la vista del

incremento en potencia de clculo, probablemente puedan realizarse simulaciones

fiables en el plazo de unos pocos aos, siempre que se empleen modelos reducidos.

C A P T U L O 1

14

Estos clculos numricos tienen tambin otras limitaciones, aparte de la del tiempo

de clculo. El problema ms serio es la limitacin en la precisin con la que se conocen

las constantes de las fuerzas atmicas. Por ejemplo, si se quiere estimar la

conductancia de un canal con un error menor de un factor 7, ha de determinarse la

energa de interaccin del ion y el canal con un error menor de 2 kT. Esto es menos

de la mitad de la energa de un enlace de hidrgeno. Adems, los efectos de segundo y

tercer orden (polarizacin, etc.), que generalmente se omiten en los clculos de

dinmica molecular, pueden originar fcilmente errores mucho mayores. Otros

autores [No99] mencionan tambin el hecho de que la integracin directa de las

ecuaciones diferenciales de la dinmica molecular (es decir, las ecuaciones

diferenciales que constituyen las leyes de Newton) no es fiable para tiempos mayores

de unos cuantos picosegundos, ya que las trayectorias divergen exponencialmente

[Ot97] y son extraordinariamente sensibles a las condiciones iniciales y al error de

truncamiento [Fr96] [Ra97].

En cuanto a la cantidad de tomos a incluir en la simulacin, hay que tener en

cuenta que si han de definirse las concentraciones de las disoluciones masa (ya que

dichas concentraciones suelen influir en los fenmenos biolgicos de ms inters), el

sistema ha de ser suficientemente grande. Puesto que los errores tienden a crecer con

la raz cuadrada del nmero de partculas estudiadas, hace falta que intervengan en

la simulacin unos 1000 iones para definir las concentraciones con una precisin del

3%. Esos mil iones se encuentran solvatados por un nmero mucho mayor de

molculas de agua, dado que en los sistemas biolgicos la fraccin molar de iones suele

ser pequea (los valores oscilan entre 0.150/55 para la concentracin de Na+

extracelular hasta 10-5/55 para la concentracin de Ca+2 intracelular). Por

consiguiente, una simulacin correcta debera incluir unas 3 105 molculas (casi un

milln de tomos) para definir una concentracin tpica de Na+ extracelular en las

disoluciones que rodean el canal y 3 109 tomos para definir una tpica

concentracin de Ca+2 intracelular.

Por ltimo, aunque los modelos de la molcula de agua que se emplean en estas

simulaciones han sido previamente refinados y puestos a prueba, no son lo

suficientemente buenos para el objetivo de calcular flujos inicos.


15

Estas limitaciones bsicas se reflejan claramente en los estudios ms recientes de

la gramicidina. Por su pequeo tamao (vase la Figura 1.2 para la comparacin con

otros canales inicos) y su estructura atmica bien conocida, la gramicidina ha sido

histricamente el campo de pruebas para los modelos de canales inicos. Es el canal

donde se prueba cualquier procedimiento nuevo de dinmica molecular. Proporciona

un test riguroso de los diferentes modelos, ya que el hecho de tener un radio pequeo

y uniforme ( 3 ) hace que el ion interaccione directamente con el canal a lo largo de

toda su longitud ( 30 ). Y lo que es ms importante: existe informacin obtenida

experimentalmente mediante tcnicas de RMN sobre los sitios especficos en donde el

ion se asocia con residuos del canal (binding sites).

canal VDAC

r 12

canal Alameticina

r 7

canal gramicidina

r 3

Figura 1.2

Tamao relativo de diferentes canales inicos insertados en una bicapa de lpidos

Woolf y Roux [Wo97] intentaron predecir estos resultados de RMN mediante

simulaciones de dinmica molecular. Usaron un modelo bastante sofisticado y

modificaron el programa estndar CHARMM [Br83] para incluir efectos de

polarizacin de primero y segundo orden del ion sobre el pptido. A pesar de que el

modelo se optimiz pensando en la gramicidina, las predicciones tericas de la

localizacin de los sitios antes mencionados se apartaban de forma significativa de los

resultados experimentales. Predecir con exactitud estas localizaciones requiere

C A P T U L O 1

16

calcular el perfil de energa libre del ion en funcin de la posicin con una precisin de

decenas de kcal/mol [Wo97] y esto est hoy por hoy fuera del alcance de las

simulaciones de dinmica molecular.

A pesar de estas limitaciones, la dinmica molecular tiene un papel importante en

la modelizacin de canales inicos. Las simulaciones de tiempos cortos (10 pS) sirven

para obtener informacin sobre la energa potencial local y el coeficiente de difusin

del ion en funcin de su posicin en el canal [Sa98b] [Ti98] [Zh98]. Esta informacin

puede usarse luego, en combinacin con la Dinmica Browniana o la teora de Nernst-

Planck-Poisson, para calcular el flujo a travs del canal. Actualmente puede decirse

que la Dinmica Molecular se ha convertido en un procedimiento casi rutinario

gracias a la aparicin y desarrollo de software altamente sofisticado (AMBER,

GROMOS, CHARMM, XPLOR).

La Dinmica Browniana en 3D

Los prrafos anteriores dejan claro que para llegar a resultados fiables es preciso

hacer algunas hiptesis simplificadoras. En el tratamiento basado en la Dinmica

Browniana se supone que la estructura de la protena permanece fija y las molculas

de agua se sustituyen por un medio continuo. Con estas hiptesis, el movimiento en

tres dimensiones (3D) del ion i puede describirse mediante una ecuacin bien simple

como la siguiente:

( )ii i i i R i idvm m f v F t q Edt = + + (1.1)

donde mi , vi , qi y fi son respectivamente la masa, velocidad, carga y coeficiente de

friccin del ion i. FR es una fuerza trmica aleatoria que representa los efectos de las

colisiones con el agua y con la pared del canal. Ei es el campo elctrico total sobre el

ion, incluyendo las cargas parciales de la protena, todos los restantes iones del


17

sistema, y las cargas inducidas debidas a la variacin de la constante dielctrica en

las fronteras entre la protena, el agua y el lpido.

En la ecuacin (1.1) se supone que las nicas fuerzas significativas que actan

sobre el ion son las fuerzas elctricas de largo alcance ms una cierta fuerza de corto

alcance cuando el ion entra en contacto con el radio de esfera dura de las paredes del

canal. Aunque se podran aadir otras fuerzas especficas de corto alcance, se tratara

en definitiva de un trmino emprico no deducible directamente de la estructura de la

protena.

En cuanto a la solucin, se procede de modo anlogo al visto en la dinmica

molecular. Se definen los lmites del canal, se colocan todos los iones en el canal y

tambin las disoluciones masa. Una vez hecho esto, se integra la ecuacin (1.1) en

intervalos de tiempo discretos (Dinmica Browniana). Como no se incluye la dinmica

de las molculas de agua ni la de la protena, y pueden tomarse intervalos de tiempo

relativamente largos para el movimiento de los iones, este procedimiento es varios

rdenes de magnitud ms rpido que la dinmica molecular.

Uno de los aspectos ms crticos y difciles de la modelizacin de los canales inicos

es la adecuada representacin de la interaccin entre los iones dentro del canal. De no

existir tales interacciones, la conductancia del canal variara linealmente con la

concentracin inica. Puesto que casi todos los canales inicos exhiben una cierta no-

linealidad (es decir, saturacin) en el rango de concentraciones fisiolgicas, es

imprescindible modelizar adecuadamente esa interaccin. La principal ventaja de la

Dinmica Browniana es que permite una simulacin directa de esta interaccin ion-

ion. En cada paso de la dinmica se determina la posicin de todos los iones en el

canal y se calcula su energa de interaccin, Ei , para el siguiente paso temporal.

Una dificultad de este procedimiento es que debido a las cargas inducidas en las

interfases agua-membrana y agua-canal, el clculo de la energa electrosttica, Ei,

requiere un clculo algo complicado y que consume tiempo de CPU.

Recientemente se han descrito dos simulaciones de dinmica browniana en 3D que

emplean potenciales electrostticos exactos en 3D [Ch98b] [Li98]. En el primer

clculo, Li et al. [Li98] usaron un modelo idealizado de canal con una geometra un

C A P T U L O 1

18

tanto irrealista, que permita obtener una solucin analtica de Ei. Es un anlisis

interesante de los efectos que tiene el hecho de permitir que el ion se mueva por todas

partes de la boca del canal en lugar de limitar su movimiento al eje del canal como se

acostumbra a hacer en las soluciones 1D. El segundo clculo se hizo sobre un modelo

idealizado del canal receptor de acetilcolina (ACHR). En este caso fue necesario usar

en primer lugar una solucin numrica para hallar el campo elctrico y el potencial en

una malla de puntos. Estos datos, almacenados en una tabla, se iban usando luego a

lo largo de la simulacin en la que participaban 52 iones. Para simular 1 s de tiempo

real en este canal ACHR hizo falta 18 h de clculo: esto es aproximadamente 5

rdenes de magnitud menos que lo que se tardara en una simulacin de dinmica

molecular.

Puede decirse que para modelizar la conductancia de canales de estructura atmica

conocida, el mejor procedimiento, hoy por hoy, es una combinacin de la dinmica

molecular y la dinmica browniana. En este tratamiento combinado se llevan a cabo

simulaciones de dinmica molecular locales para diferentes posiciones del ion. Con

estos clculos se determinan los coeficientes de difusin locales y la perturbacin de la

estructura local del canal inducida por el ion (por ejemplo, desplazamientos de los

grupos carbonilos, etc.). El valor local del coeficiente de difusin se usa luego para

determinar el coeficiente de friccin, fi , y la estructura perturbada se emplea como

estructura fija del canal: ambos parmetros dependientes de la posicin del ion en el

canal son los que se introducen en el clculo de dinmica browniana.

El formalismo de Nernst-Planck-Poisson en 3D

La siguiente hiptesis simplificadora consiste en mantener bsicamente la ecuacin

(1.1) pero sustituir la expresin exacta de Ei por una aproximacin de campo medio

que represente una especie de promedio sobre todas las posibles posiciones de los

otros iones en el sistema. El campo medio se calcula usando la ecuacin de Poisson.

Esta combinacin de movimiento trmico al azar del ion y la solucin de E segn la

ecuacin de Poisson se conoce como la solucin de Poisson-Nernst-Planck (PNP) en la

bibliografa de canales inicos. Aunque como veremos en el siguiente apartado, la

mayora de las soluciones dentro del formalismo PNP se han desarrollado en 1D,


19

recientemente se ha descrito un mtodo que proporciona soluciones en 3D [Ku99] y

que representa un escaln intermedio entre la dinmica browniana y el formalismo

PNP clsico en 1D. Por su novedad, vale la pena que nos detengamos brevemente a

comentar algunas de sus caractersticas ms relevantes.

La ecuacin de Nernst-Planck para el estado estacionario en 3D puede escribirse

como

( ) ( ) ( ) ( )0 1 /i i ic R kT c R V R = + (1.2)

donde R

es el vector de posicin en 3D, ci es la concentracin del ion i, k es la

constante de Boltzmann, T la temperatura absoluta y Vi es la energa potencial total

del ion i, descrita por la expresin

( ) ( ) ( )i iV R U R z e R= + (1.3)

en la que U( R

) es el potencial debido a fuerzas no electrostticas, es el potencial

electrosttico, zi es la valencia del ion i, y e es la carga elemental. El valor de se determina resolviendo la ecuacin de Poisson en 3D. Una vez dadas las

concentraciones y el potencial en los lmites del canal con las disoluciones masa, estas

ecuaciones tienen una solucin nica para la concentracin interior ci en el canal, de

la cual se deduce el flujo de dicho ion. La solucin PNP es mucho ms rpida que la de

la Dinmica browniana porque en lugar de simular el movimiento del ion en una

secuencia de pasos temporales, trata de encontrar una solucin numrica global de

una ecuacin diferencial. Una caracterstica relevante del procedimiento de

Kurnikova et al. [Ku99] es que la solucin de las ecuaciones (1.2) y (1.3) se combina

con el conocido programa DELPHI de resolucin de la ecuacin de Poisson-Boltzmann

[Ni90], habitualmente utilizado para calcular potenciales electrostticos en protenas.

C A P T U L O 1

20

El tratamiento de Kurnikova et al. se ha puesto a prueba en el canal de

gramicidina. Una vieja cuestin a propsito de este canal es el origen de su

selectividad catinica. Puesto que el canal es neutro, su selectividad posiblemente

surge de las cargas dipolares parciales presentes en las paredes. Se trata de un

problema clsico que ha sido estudiado por numerosos investigadores y nunca se ha

conseguido obtener resultados tericos que concuerden con los experimentales si no es

a fuerza de imponer algunos parmetros ajustables arbitrarios. El nico parmetro

ajustable empleado por Kurnikova et al. en el canal de gramicidina es el coeficiente de

difusin del ion Na+, al que se le asign el valor 1.27 10-6 cm2/s para ajustar los datos

experimentales (obsrvese que es aproximadamente un orden de magnitud menor que

el valor a dilucin infinita: 1.33 10-5 cm2/s). En general, el acuerdo de los resultados

obtenidos con esta solucin PNP en 3D y los datos experimentales es excelente, con la

excepcin, quiz, de la localizacin de uno de los sitios de gran afinidad en el canal.

Este resultado del formalismo PNP, empleando una estructura fija para la

gramicidina (independiente de la presencia de los iones), es en cierto modo

sorprendente. Sobre todo, porque una de las predicciones de la dinmica molecular era

que es esencial incluir las perturbaciones inducidas por los iones en la estructura del

canal (en los grupos carbonilo, concretamente) para explicar cualitativamente el

comportamiento de la gramicidina.

Naturalmente, existen limitaciones bien claras en este tratamiento PNP en 3D. La

primera simplificacin mencionada en este apartado, el uso de una aproximacin de

campo medio, es una de ellas, ya que reduce la interaccin especfica ion-ion a una

interaccin entre el ion y el campo medio. Es difcil evaluar la exactitud de esta

aproximacin y su rango de validez es materia de debate desde tiempo atrs e incluso

actualmente [Ja98]. Curiosamente, las teoras de campo medio suelen funcionar mejor

de lo que sera de esperar (La teora de Debye-Hckel es un ejemplo claro), y el nico

modo de ponerlas a prueba es compararlas con modelos tericos ms precisos, como

puede ser la dinmica browniana.


21

La Dinmica Browniana en 1D

La siguiente principal simplificacin consiste en sustituir la concentracin como

funcin de punto (3D) por una concentracin promediada sobre la seccin radial del

canal (1D). Al igual que sucede con la aproximacin de campo medio, es difcil valorar

esta hiptesis, y su rango de validez no puede establecerse a priori. En lneas

generales, con cada hiptesis adicional de las que se han descrito hasta ahora, el

modelo se hace ms y ms emprico y menos conectado con el conocimiento detallado

de la estructura del canal. Sin embargo, si la estructura del canal no se conoce hasta

la resolucin atmica, que es lo que sucede en la mayora de los casos, entonces el

error introducido por estas aproximaciones es probablemente del mismo orden que la

indeterminacin en la estructura y no se consigue ninguna ventaja empleando

modelos ms complicados.

Como sucede en 3D, la dinmica browniana unidimensional tiene la gran ventaja

de que permite una modelizacin bastante precisa de las interacciones ion-ion. A

pesar de esta aparente ventaja terica, no existen muchos ejemplos del uso de este

procedimiento. Uno de los ms detallados es la simulacin de un canal catinico de

ocupacin mltiple realizada por Bek y Jakobson [Be94], sin embargo estos autores

slo estaban interesados en el aspecto cualitativo de la solucin y no intentaron

modelizar el potencial electrosttico real.

Modelos de Constantes de Reaccin o Barreras de Energa

En estos modelos se supone que los iones estn localizados en regiones

determinadas del canal, y la cintica est representada por constantes de reaccin que

controlan el salto de los iones de una regin a otra y entre la disolucin masa y

dichas regiones. Esta aproximacin representa, como es evidente, una simplificacin

grosera que reduce la cintica del canal a la mnima expresin. El modelo de

constantes de reaccin debera clasificarse ms bien como una simplificacin de la

dinmica browniana ms que de la teora PNP, ya que no usa la hiptesis de campo

medio.

C A P T U L O 1

22

Existe un viejo debate entre teoras de constantes de reaccin versus teoras del

continuo (entendiendo por estas ltimas las de Poisson-Nernst-Planck o sus

aproximaciones) [Mi99]. La respuesta depende de lo que uno pretende modelizar. Si se

quiere interpretar la conductancia del canal en trminos de la geometra y la

electrosttica del canal, entonces conviene utilizar una teora del continuo ya que

por lo menos proporciona una aproximacin de primer orden de la estructura real del

canal. Por otro lado, si se quiere simplemente parametrizar el canal o se sospecha que

las interacciones ion-ion son importantes, entonces es preferible emplear un modelo

de constantes de reaccin [Da98].

El problema con estos tratamientos surge cuando se quiere ir demasiado lejos en la

interpretacin de resultados y se pretende relacionar las constantes de reaccin con

las barreras de energa reales [Le86]. Por ejemplo, la rapidez del paso entre la

disolucin masa y un sitio de asociacin del canal puede estar limitada simplemente

por la difusin, sin que haya ninguna barrera fsica de energa. El problema se

agudiza si se intentan explicar las curvas experimentales de intensidad-voltaje (I-V)

usando la dependencia con el voltaje de las barreras de energa de este modelo. Por

ejemplo, la mayor parte de los canales inicos biolgicos tienen relaciones intensidad-

voltaje relativamente lineales, mientras que la dependencia de una sola barrera de

energa respecto del voltaje es en gran medida no-lineal [Le86]. Para ajustar una

curva I-V con el modelo de barreras de energa es necesario aadir mltiples barreras

que probablemente no tienen conexin con las barreras fsicas de energa reales del

canal. Como comenta acertadamente O. S. Andersen [An99], los modelos de

constantes de reaccin con un nmero suficiente de pasos intermedios resultan a la

postre modelos difusivos, ya que el movimiento de los iones no es otra cosa que una

transferencia electrodifusiva.

El formalismo de Nernst-Planck-Poisson en 1D y 2D

La teora PNP en una y dos dimensiones abarca tratamientos muy diversos entre

s, sobre todo en cuanto a hiptesis sobre el canal (que lgicamente se reflejan en la

complejidad resultante a la hora de resolver las ecuaciones y llegar a obtener

predicciones del flujo, la selectividad, etc.). Segn los diversos grados de refinamiento,


23

la modelizacin de la interaccin ion-canal es ms o menos sofisticada (aunque casi

siempre se reduce a la interaccin electrosttica) pero, en cualquier caso, la

interaccin ion-ion siempre responde a una teora de campo medio.

Puesto que en este breve recorrido que estamos haciendo en la Introduccin se hace

hincapi fundamentalmente en los rasgos diferenciadores de cada posible descripcin

del transporte inico en los canales, empezaremos por limitarnos a las caractersticas

comunes de los modelos PNP (excluyendo la solucin numrica en 3D antes

mencionada) y luego estudiaremos las variantes existentes sobre la idea bsica.

Las ecuaciones (1.2) y (1.3) pueden reducirse a una dimensin, si se considera que

las nicas variaciones de las concentraciones inicas y del potencial total que

experimenta el ion tienen lugar a lo largo del eje del canal (coordenada axial: x):

( ) ( ) ( ) ( )0 1 /i i ic x kT c x V x = + (1.4)

( ) ( ) ( )i iV x U x z e x= + (1.5)

El potencial electrosttico depende de las concentraciones a travs de la ecuacin

de Poisson y el potencial no electrosttico suele omitirse muy a menudo.

Esta reduccin a 1D es de esperar que sea vlida en canales suficientemente

estrechos en los que el dimetro efectivo no es mucho mayor que el tamao de los

iones solvatados o despojados de las molculas de agua, de tal modo que no pasan

muchos iones al mismo tiempo; o incluso tan estrechos como para obligar a un

transporte ion-a-ion (un ion detrs de otro, todo lo ms separados por varias

molculas de agua). La aplicacin ms completa de este modelo PNP 1D a canales

inicos es la modelizacin del canal receptor de la acetilcolina, realizada por Levitt

[Le91a] [Le91b]. En esta solucin se usaron una geometra del canal y una

electrosttica realistas (ver Figura 1.3) y se obtuvo el flujo de cationes y aniones en

C A P T U L O 1

24

funcin de la variacin de cargas parciales del canal. El acuerdo entre flujos tericos y

experimentales fue muy bueno, con un mnimo nmero de parmetros de ajuste.

Figura 1.3

Modelo idealizado del canal de acetilcolina.

El mismo tratamiento ha sido empleado recientemente por Nonner y Eisenberg

[No98] para el estudio de canales de Calcio de tipo L. Esta solucin no intenta

modelizar de forma rigurosa la geometra del canal o la electrosttica, sino que

pretende ilustrar las caractersticas generales que se requieren para ajustar los datos

de flujo en este tipo de canales. Pese a que se supona que la cintica de los canales de

calcio requiere interacciones directas entre dos o ms sitios de asociacin de los iones,

los resultados de Nonner y Eisenberg mostraron que un simple modelo PNP poda

reproducir cualitativamente muchas de las propiedades de estos canales observadas

experimentalmente.

Un rasgo esencial de esta solucin es la introduccin de un trmino de interaccin

ion-canal no electrosttico. Por ejemplo, para ajustar los datos del canal de calcio, tuvo

que suponerse que el canal tena un sitio con una afinidad respecto del Ca+2 mucho

mayor que respecto del Na+, que no poda explicarse en trminos de cargas parciales

del canal. Se trata de un factor corrector semi-emprico y tiene la desventaja de que el


25

comportamiento del canal no puede entenderse simplemente en trminos de sus

propiedades electrostticas. Un problema derivado del uso de potenciales atractivos

grandes es el hecho de que no hay nada que impida que la concentracin local de los

iones llegue a ser ms de un ion por volumen de esfera dura del ion. En el tratamiento

de Levitt [Le91a] [Le91b] se introdujo una pequea modificacin del modelo PNP para

corregir este inconveniente.

En estos modelos 1D la inclusin de un trmino convectivo en la ecuacin de

Nernst-Planck no plantea grandes dificultades ya que se considera que la velocidad

del disolvente es constante a lo largo del canal. De todos modos, slo cuando se intenta

predecir el potencial de flujo o el flujo electroosmtico se incorpora el trmino

convectivo en el modelo PNP-1D:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 /i i i ic x kT c x V x c x v = + + (1.6)

En su forma ms simple, la hiptesis bsica del modelo PNP-1D consiste en

suponer que el canal puede describirse como una distribucin unidimensional de

carga fija, que corresponde en una primera aproximacin a las cargas fijas sobre los

tomos que constituyen la pared del poro. En esta primera aproximacin, la carga

efectiva sera la carga total sobre la pared del canal en una cierta seccin transversal

del poro. La nica contribucin de la protena-canal a las propiedades de transporte de

los iones mviles es el campo elctrico creado por estas cargas.

Las ecuaciones de Nernst-Planck usan un solo parmetro para describir las fuerzas

de friccin que limitan las dos componentes del flujo, difusin y migracin, suponiendo

que es vlida la relacin de Nernst-Einstein entre el coeficiente de difusin y la

movilidad en todos los casos de inters. Ciertas versiones ms elaboradas del

formalismo PNP no utilizan esta hiptesis. El coeficiente de difusin del ion en

realidad depende de las propiedades de la pared del canal, tanto debido a efectos

estricos como debido a la friccin dielctrica producida por el movimiento de los

C A P T U L O 1

26

tomos de la protena-canal inducidos por el campo elctrico del ion que permea. En

cualquier caso, el modelo PNP no considera explcitamente este mecanismo [Wo80].

No obstante todas estas simplificaciones, el modelo PNP consigue ajustar las

curvas I-V de un gran nmero de canales inicos en condiciones diversas de

concentraciones inicas (tanto simtricas como asimtricas) [Ch97a] [Ch97b] [Ch95]

[Ta97] [Ch99], ya sean canales de estructura bien conocida, como canales de los que

no hay informacin detallada. En algunos casos se hace necesario incluir un

parmetro extra a fin de tener en cuenta las interacciones qumicas. Basta con aadir

una constante para cada ion, que describa el exceso de potencial qumico de ese ion

dentro del canal. La constante es la misma para un determinado tipo de ion en un

canal concreto y no vara con las concentraciones de los iones ni con el potencial de

membrana.

El acuerdo teora-experimento observado en los trabajos que se acaban de citar

contradice la opinin generalizada de que una teora del transporte inico en canales

debe incluir algo ms que la ley de Coulomb. Ms en concreto, desafa abiertamente la

idea de que una teora de los canales inicos satisfactoria requiere componentes y

parmetros que describan por separado la desolvatacin/solvatacin, el transporte

single-file, o la interaccin qumica del ion permeante con la protena-canal.

En las lneas anteriores ha quedado patente que en cuanto los efectos no

electrostticos son relevantes, empiezan a aparecer los puntos dbiles del modelo

PNP-1D y se hace necesario hacer diversas correcciones que den cuenta de

interacciones qumicas especficas, transporte single-file, tamao finito de los iones,

etc. Ahora bien, estos efectos tienen una importancia muy relativa en los canales

inicos llamados mesoscpicos, es decir, aquellos que pese a sus reducidas

dimensiones (radios efectivos del orden de 10-15 ) ya permiten un transporte

multiinico, en los que las cargas fijas del canal estn o pueden estar apantalladas

por los iones mviles, y en los que la interaccin ion-canal predominante es la

electrosttica, de largo alcance.

Es en estas condiciones en las que el modelo basado en las ecuaciones de Poisson y

de Nernst-Planck ofrece unas considerables ventajas y puede obtenerse algo ms de


27

informacin sobre la estructura o la distribucin de carga del canal a partir de

medidas de las curvas I-V (conductividad), de fenmenos electrocinticos (potencial de

flujo), o de la selectividad inica. Con algunas hiptesis simplificadoras sobre la

geometra del canal, la distribucin de las cargas fijas y la constante dielctrica, es

posible en bastantes casos obtener una solucin analtica del problema en 2D que

incluya tambin el transporte convectivo a travs del canal. En este punto, el modelo

entronca con el llamado modelo de capilar cilndrico cargado o tambien conocido como

modelo de carga espacial (SCM) que ha venido aplicndose con xito desde hace varias

dcadas [Mo65] [Gr68] [Dr63] al transporte inico a travs de membranas

microporosas con carga fija.

El modelo SCM, que ser descrito con ms detalle en el siguiente captulo, se basa

en las ecuaciones de Nernst-Planck para los flujos inicos, la ecuacin de Poisson-

Boltzmann para las concentraciones inicas y la ecuacin de Navier-Stokes para el

flujo de disolvente. A lo largo de las pginas de esta Memoria se pretende introducir

diversas modificaciones al modelo SCM que permitan adaptarlo para el trasnporte en

canales inicos mesoscpicos. No se pretende agotar la cuestin sino abordar algunos

problemas concretos que permiten una solucin analtica o una solucin numrica no

excesivamente complicada o larga en tiempo de clculo.

En unos casos se comparan las predicciones tericas del modelo modificado con

resultados experimentales, mientras que en otros, se apunta el comportamiento

esperado del sistema mediante un catlogo de soluciones.

En el captulo 2 se introduce el modelo de carga espacial, que constituye el punto de

arranque de una gran parte de este trabajo. En primer lugar se describe con detalle el

modelo de poro, en el que son patentes las grandes simplificaciones implcitas en l. A

continuacin, haciendo uso de las ecuaciones de transporte y electrostticas en que se

fundamenta, se deducen expresiones para los llamados coeficientes de Onsager. stos

coeficientes se emplean habitualmente en las aplicaciones del modelo SCM ya que a

partir de ellos es fcil obtener expresiones para la mayora de las magnitudes

electrocinticas de inters. El procedimiento expuesto en este apartado es, en lneas

generales, el que se sigue la mayora de las extensiones posteriores que se presentan

en la memoria, con un grado mayor o menor de complicacin.

C A P T U L O 1

28

Abierto

Cerrado Seccin del

poro

Figura 1.4

Vista esquemtica del canal VDAC en la que se ilustra cmo podra transferirse energa cintica entre los iones mviles y la zona del sensor mvil. Esto podra dar lugar a algn tipo de friccin con el canal, a incluir en el modelo. Existe evidencia experimental de dicha transferencia de energa cintica [Zi98].

En el captulo 3 se investiga el efecto que puede tener sobre el transporte a travs

del poro el hecho de que las cargas fijas no se hallen dispuestas de manera uniforme

en la pared del poro como una distribucin superficial (2D), sino que, al contrario, los

grupos cargados en la pared se adentren en el poro una cierta distancia promedio. Los

clculos numricos presentados al final del mismo permiten valorar cualitativamente

la influencia de esta distribucin transversal de la carga en algunos parmetros

electrocinticos segn las condiciones de concentracin, densidad de carga fija y radio

de poro.

En el captulo 4 se introduce un modelo que intenta dar cuenta de un modo muy

simple del efecto sobre el transporte de la existencia de cargas de distinto signo en las

paredes del canal. Estas cargas dan lugar a una cierta densidad superficial de

momento dipolar, cuyo potencial asociado podra modificar el potencial microscpico


29

total. Los resultados muestran que esa carga dipolar, razonable desde un punto de

vista puramente terico, se manifestara como una densidad de carga dependiente de

la concentracin, que de otra manera podra achacarse a fenmenos de adsorcin de

algunos iones mviles por las molculas que forman el poro.

En el captulo 5 se analiza en qu medida puede ser importante el hecho de que la

carga, sobre todo en membranas de origen biolgico, ocupe regiones concretas sobre la

superficie interna de la ruta porosa, a causa de su carcter fundamentalmente

discreto. Los efectos de discretitud slo se espera que tengan importancia en el caso de

poros muy pequeos, o densidades superficiales de carga pequeas. En nuestro caso

este efecto se analiza eligiendo una carga distribuida de manera no uniforme; ms

concretamente, situndola toda sobre un anillo en el centro del poro, tal y como

sugieren algunos resultados para canales inicos [Wu91]. Al final del apartado se

presentan resultados para valores tpicos propios de membranas biolgicas y se

discute qu tipo de problemas presenta el enfoque usado, a causa de la aparicin de

valores grandes del potencial elctrico que ponen en duda la validez de la

aproximacin lineal.

En el captulo 6 se presenta un modelo alternativo al SCM en el que se sustituye la

variacin gradual de potencial y distribucin inica en el interior del poro, es decir, la

doble capa difusa, por dos regiones entre las que existe un cambio brusco de estas

magnitudes, usando para ello el concepto de superficie divisoria de Gibbs. Se consigue

as una descripcin mucho ms sencilla tanto desde el punto de vista matemtico

como fsico de los fenmenos que tienen lugar en el poro, lo que permite obtener

expresiones totalmente analticas, que se presentan al final del apartado, para las

magnitudes electrocinticas ms comunes. Adems, se introduce un parmetro nuevo,

la longitud a la que se encuentra la superficie divisoria de Gibbs de la pared cargada.

Se discute el sentido fsico de ste nuevo parmetro, comparndolo con el que se

atribuye tradicionalmente a la longitud de Debye.

Tambin se acompaa la memoria de un Apndice en los que se expone con detalle

el programa usado para resolver de forma numrica la ecuacin de P-B no lineal. Este

programa se ha usado extensamente con el fin de obtener el perfil de potencial en el

interior del poro en aquellos apartados en los que ha sido necesario, usando como

C A P T U L O 1

30

herramienta Mathematica, un entorno numrico con amplias facilidades de clculo,

tanto simblico como numrico.

M O D E L O D E C A R G A E S P A C I A L

31

C A P T U L O 2

32


33

2.1

Caractersticas generales

El acoplamiento entre las fuerzas elctricas y la transferencia de masa en medios

porosos cargados llega a ser importante cuando la parte difusa de la doble capa ocupa

una fraccin apreciable del volumen del poro. Dicho de otra manera, los mecanismos

de transporte de masa y carga estn interrelacionados cuando la longitud de Debye () es del mismo orden de magnitud que la menor dimensin del poro. es la distancia de las cargas fijas a la cual el campo elctrico se reduce en un factor 1/e y por lo tanto

constituye un modo de cuantificar el apantallamiento de dichas cargas que se produce

en el medio en que se encuentran. En el caso de capilares circulares de radio a, esto

ocurre cuando a/ < 10 aproximadamente. En disoluciones acuosas es normalmente menor de 103 , de manera que los medios microporosos (a < 1 m) son susceptibles de

acoplamiento electrocintico; tales medios incluyen membranas de ultrafiltracin e

intercambio inico, separadores porosos en celdas electrolticas, y electrodos porosos.

En los canales inicos de las membranas biolgicas es del orden del radio del canal o incluso mayor.

Hay considerable bibliografa acerca de los modelos tericos para los efectos de la

doble capa en el transporte de iones en capilares circulares largos, en los que los

llamados efectos de borde son despreciables. Las primeras y ms completas

publicaciones son debidas a Dresner [Dr63] y a Osterle y colaboradores [Mo65] [Gr68]

[Fa71], quienes emplearon el modelo de Gouy-Chapman para la estructura de la doble

capa, la ecuacin de Nernst-Planck para los flujos inicos, y una ecuacin de Navier-

Stokes modificada para el flujo viscoso de disoluciones. Su anlisis llevaba a

integrales definidas, en cuyo integrando apareca el perfil de potencial elctrico. ste

deba ser evaluado para obtener los coeficientes de transporte macroscpicos relativos

a las fuerzas de arrastre elctricas, mecnicas y qumicas (gradiente de potencial

qumico). Los clculos para capilares no circulares [An77], usando la misma teora

bsica que para el transporte de fases fluidas dentro del poro, parecen indicar que la

geometra de la seccin transversal del poro no es importante para fenmenos

dominados por la distribucin de iones (como la conduccin elctrica debida a la

migracin de los iones mviles), pero poda ser importante para fenmenos de flujo

viscoso (como la de electrosmosis).

C A P T U L O 2

34

La teora bsica de Osterle y Dresner tiene en cuenta slo el flujo de masa y carga,

una vez conocidas las condiciones electrostticas de la pared del poro, y no considera

la importante cuestin de las relaciones carga-potencial en la pared del poro. Al

incorporar las relaciones carga-potencial, que surgen del equilibrio cido-base, en el

clculo del perfil del potencial de la doble capa, Keesom y colaboradores llevaron el

modelo un paso ms all, lo que permiti obtener ajustes razonablemente buenos para

el potencial de flujo en poros grandes.

La escasez de estudios experimentales rigurosos para comprobar los modelos

tericos se explica por dos dificultades experimentales. En primer lugar la mayora de

las membranas microporosas no tienen la estructura capilar supuesta en la teora. En

segundo lugar la matriz slida del medio poroso es normalmente no conductora, de

manera que ni la carga ni el potencial del poro se pueden medir para hacer

predicciones a priori de la teora. As, slo han sido posibles comparaciones

cualitativas entre la teora y experimento. Algunos estudios usando membranas de

mica track-etched han superado el problema de la geometra del poro, pero todava se

encuentran con el obstculo que supone el desconocimiento de las condiciones

electrostticas de la pared del poro. Bean [Be76] estim la carga de la pared mediante

dos experimentos electrocinticos independientes (conductancia y potencial de flujo)

en una misma membrana y compar entonces las dos medidas; sus resultados son

consistentes con la teora de Osterle y Dresner. En un intento por alterar la carga de

la pared, Frohlich y colaboradores [Fr77] fijaron grupos funcionales cidos sobre las

paredes de los poros de membranas de mica, pero el proceso podra haber cambiado el

tamao de poro de manera importante.

Veamos con detalle este modelo de Osterle y Dresner, llamado comnmente modelo

estndar o modelo de carga espacial, que es el que se utiliza habitualmente para

describir los fenmenos electrocinticos a travs de membranas microporosas. El

modelo se basa en la teora de Gouy-Chapman, modificada para el caso de la

geometra cilndrica del poro. En l, la membrana se supone atravesada por un cierto

numero de poros, en su versin ms simple cilndricos, de radio a, y perpendiculares a

la interfase membrana-disolucin. La densidad de cargas fijas en las paredes del poro,

, se supone uniforme. La disolucin se supone que tiene una determinada


35

concentracin c de un electrlito z+:z que est completamente disociado, aunque en el

desarrollo del modelo se suele suponer, sin prdida de generalidad, un electrlito 1:1.

A consecuencia de la carga interior del poro, los iones positivos y negativos se

distribuyen para formar la doble capa elctrica o doble capa difusa. Esta reordenacin

es una consecuencia del equilibrio entre las tendencias opuestas de difusin trmica e

interaccin electrosttica con la pared.

D e ns idad s upe rf ic ialde carga unifo rm e

C arga m vilnegativa

C arga m vilpos it iva

M EM B RAN A

Figura 2.1

Corte transversal del modelo de poro cilndrico con carga dispuesta uniformemente sobre la superficie interior del mismo. Se observa una exclusin de los iones negativos del interior del poro a causa de la carga negativa fija en sus paredes.

Las ecuaciones que describen el sistema son las siguientes. En primer lugar, la

ecuacin de Poisson,

( ) ( )r

r

=

, (2.1)

que expresa la relacin entre el potencial elctrico microscpico y las fuentes del

C A P T U L O 2

36

campo: las cargas elctricas, representadas mediante la densidad volmica (que contiene, en general, todas la cargas que participan en la creacin de ese potencial).

Implcitamente se supone que la permitividad del medio, , es homognea y constante

(es decir, que no vara apreciablemente con la magnitud del campo elctrico).

En cuanto al potencial elctrico, es conveniente distinguir entre el local o

microscpico, que denotamos por y el externo o macroscpico que llamaremos V. El primero tiene su origen en la carga fija de la membrana, as como en la que proviene

de la redistribucin de los iones en su cercana, o carga espacial. El problema que

representa el obtener el potencial de una distribucin de carga que depende de esta

manera del potencial creado por ella misma, es anlogo al que se presenta en la teora

de Debye-Hckel de los electrlitos fuertes, y se resuelve de manera similar haciendo

uso de la distribucin de Boltzmann para los iones en funcin de su energa

electrosttica. En cuanto al potencial macroscpico V, su origen puede interpretarse

de manera distinta: como un potencial aplicado al sistema entero (electrodifusin, etc.)

o bien como el potencial que surge de la redistribucin macroscpica de la carga en

todo el sistema (potencial de flujo, etc.). En cualquier caso, V se entiende como una

incgnita, que se quiere conocer, o bien como un dato en los clculos, segn el

fenmeno electrocintico en el que estamos interesados. Adems, en el modelo

estndar se suele suponer que V slo depende de la coordenada axial del poro,

situacin que es habitual en los dispositivos experimentales.

La distribucin de carga , por lo dicho, consta de dos partes:

( ) ( ) ( )S Vr r r = + (2.2)

La primera, S, incluye las cargas fijas situadas en las paredes del poro (supuestamente independientes de la concentracin, ya que en el modelo estndar no

se consideran correcciones por adsorcin, etc.). La segunda es la carga espacial V,


37

debida a las cargas mviles, es decir, la debida a los propios iones en disolucin, y que

se puede expresar en funcin de las respectivas concentraciones inicas de la forma:

( ) ( )V i ii

r F z c r = (2.3)

en donde F es la constante de Faraday, o carga de un mol de electrones cambiada de

signo, zi representa en nmero de carga del ion y ci representa la concentracin de

cada especie inica.

Para la parte volmica se supone que existe un equilibrio como el dado en la teora

de Debye-Hckel, es decir que los iones seguirn una distribucin de Boltzmann:

( ) ( )exp ii iz r

c r c

=

(2.4)

en donde c representa la concentracin en un punto en el que el potencial

microscpico se anula, por ejemplo en la disolucin libre en equilibrio con la disolucin

en el interior del poro, i el coeficiente estequiomtrico del ion i (positivo negativo) y

= kT/e, siendo k la constante de Boltzmann, T la temperatura absoluta y e la carga elemental.

Esta ecuacin supone que existe un equilibrio entre las tendencias opuestas de

agitacin trmica, que tiende a homogeneizar la distribucin de los iones, y la

interaccin electrosttica, que por el contrario acumula o aleja a los iones de la

disolucin en funcin de su carga.

A la combinacin de las ecuaciones (2.1)-(2.4), se le conoce con el nombre de

ecuacin de Poisson-Boltzmann. Es una ecuacin diferencial no lineal (debido al

C A P T U L O 2

38

trmino exponencial de Boltzmann), no susceptible de solucin analtica excepto en

ciertas geometras.

En el caso de simetra cilndrica, como la que se da en el interior del poro, con la

carga distribuida sobre la pared interna de manera homognea, y un electrlito

binario z:z, la ecuacin de Poisson-Boltzmann (P-B) se escribe:

( ) ( )1 2

senhr z rFzc

rr r r

= (2.5)

En general, esta ecuacin no tiene solucin analtica. Por ello lo habitual ha sido

intentar sustituirla por aproximaciones o bien hacer uso de mtodos numricos.

Existen ya aproximaciones a la ecuacin (2.5) que se han convertido en clsicas en el

estudio de membranas microporosas y que corresponden respectivamente al caso en

que el potencial es muy grande o bien muy pequeo respecto a kT/e. En el caso

> kT/e se toma la aproximacin exp(-e/kT) 0 en la ecuacin (2.5)

[Le75]. Esta ltima aproximacin es conocida comnmente con el nombre de

exclusin total ya que equivale a suponer que la concentracin de iones de signo

idntico al de las cargas fijas (coiones) es prcticamente nula en el poro y, en

consecuencia, puede decirse que se encuentran completamente excluidos del poro. En

ambos casos es posible encontrar solucin analtica a la ecuacin (2.5).

Otra manera de abordar el problema de resolucin de la ecuacin (2.5) consiste en

hacer uso de las soluciones para el caso de potencial grande [en trminos de

exp(e/kT)] y para el potencial pequeo [Le75]. Para ello se divide el poro en dos

regiones, de manera que en una de ellas, la ms interna, se toma exp(e/kT) 1 +


39

e/kT, es decir la aproximacin lineal, mientras que en la ms externa se toma la aproximacin >> kT/e. Posteriormente se conectan ambas soluciones.

En relacin con las posibles aproximaciones analticas a la resolucin de la

ecuacin (2.5), este ltimo procedimiento es uno de los ms eficientes hasta la fecha,

aunque tambin se ha avanzado en el aspecto numrico. Existen multitud de

esquemas aplicados con mayor o menor xito a la resolucin del problema completo,

siendo el de mayor uso el de diferencias finitas por su sencillez a la hora de

implementarse y por sus buenos resultados. Digamos como inciso que en nuestro

trabajo, cuando ha sido necesaria la resolucin numrica de ecuaciones diferenciales

se ha empleado un algoritmo de diferencias finitas. Sin embargo, hay nuevas e

interesantes alternativas que hacen uso de algoritmos originales mediante elementos

finitos resueltos con el mtodo de Garlekin [Bo97]. En otra aproximacin, para el caso

en que la longitud de Debye () es mucho menor que el radio de poro, se hace uso de la solucin analtica de la ecuacin (2.5) para el caso plano, transformndola en un

problema integral [Qi97].

Una vez se ha obtenido, mediante alguno de los mtodos mencionados, el perfil de

potencial, se impone la necesidad de comparar las predicciones del modelo con

medidas hechas en algn sistema real. Aunque ya existen actualmente algunos

mtodos ms o menos directos para la medida de potenciales, normalmente la

comprobacin experimental se hace deduciendo expresiones para algn parmetro

electrocintico, siendo algunos de los ms usados el potencial de flujo, la

conductividad y el potencial de concentracin (tambin conocido como reversal

potential en la bibliografa). Este ltimo suele utilizarse como una medida de la

selectividad de la membrana.

La razn ltima para la eleccin de uno u otro parmetro experimental habr de

residir siempre en la informacin que podamos extraer a travs de l acerca de la

estructura interna de la membrana, que en ltima instancia es lo que realmente

interesa describir. Parmetros como el potencial de flujo, la conductividad, la

conductancia o la selectividad, se encuentran directamente relacionados con

propiedades microscpicas de la membrana de enorme inters, como la densidad

superficial de carga, el radio de poro (o radio equivalente en el caso de poros no

C A P T U L O 2

40

cilndricos), la distribucin interior de carga, etc. Si los parmetros utilizados

predicen, a travs del modelo usado, valores con sentido fsico, se podr obtener una

descripcin ms detallada del sistema que permita en su caso modificar

convenientemente sus propiedades de transporte.

En cualquier caso, la mejor opcin consistir evidentemente en el uso de varias

magnitudes electrocinticas independientes, dado que tambin son mltiples los

parmetros microscpicos sobre los que descansa la descripcin. Esto no siempre es

fcil, porque no se suele disponer de medidas experimentales de muchas magnitudes

de un mismo sistema.

El clculo de cualquiera de los parmetros electrocinticos aludidos se suele hacer

obteniendo expresiones de los coeficientes fenomenolgicos de Onsager. Este es el

mtodo utilizado por Westermann-Clark para la verificacin experimental del modelo

de carga espacial [We83]. Para ello se parte de las ecuaciones que rigen la dinmica,

tanto de la disolucin como un todo, como del soluto. Las primeras no son ms que la

segunda ley de Newton para los fluidos (Ecuacin de Navier-Stokes) ms la ecuacin

de continuidad, de la que se elimina la dependencia temporal, es decir, se supone que

no hay fuentes ni sumideros de disolvente ni soluto:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0

0

0i

v r p r r r

v r

J r

=

=

=

(2.6)

donde p es la presin de la disolucin, es la viscosidad de la disolucin, que suele

tomarse igual a la del disolvente, iJ

es el flujo de iones de especie i, v

es la velocidad

del disolvente, = V + es el potencial elctrico total y V representa el potencial elctrico macroscpico entre las disoluciones a ambos lados de la membrana. ste


41

ltimo potencial, en la eleccin habitual de coordenadas para el poro, suele tener slo

dependencia axial, siendo sta la coordenada que coincide con el eje del poro.

Las segundas son las ecuaciones de Nernst-Planck para los flujos inicos (tantas

como especies inicas distintas intervengan en el transporte, de ah el subndice i):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii i i i iz eJ r D c r c r r c r v rkT

= + +

(2.7)

en donde Di representa el coeficiente de difusin del ion i.

Todas estas ecuaciones (2.6)-(2.7), junto con la ecuacin (2.5), constituyen el

sistema completo de ecuaciones para el transporte a travs del poro. Con ellas es

necesario especificar tambin las condiciones de contorno, que dependen de la

geometra del problema a considerar. No obstante, las usadas ms frecuentemente son

las siguientes:

a) Velocidad del disolvente nula junto a la pared del poro o canal (r = a radio del

poro),

( ) 0v a =

b) Suponer que la discontinuidad en el campo es proporcional a la densidad

superficial de carga .

1 21 2n nE E =

(2.8)

C A P T U L O 2

42

en donde in

E

expresa la componente del campo elctrico normal a la superficie

cargada, positiva a un lado y negativa al otro lado de sta, mientras que i representa

la permitividad en los dos medios 1 y 2 separados por la superficie cargada.

A stas se aaden las que provienen de razonamientos geomtricos; por ejemplo en

el caso de una superficie plana cargada, el potencial se ha de anular en el infinito, o

bien en el caso cilndrico la derivada del potencial en la direccin radial calculada

sobre el eje axial debe ser nula, etc.

Muchas veces se supone que el campo en el interior de la membrana es nulo,

aunque esto slo sera realmente cierto para el caso de superficies conductoras. En el

caso de membranas de origen biolgico, sin embargo, existe otro razonamiento que

permite la analoga con el caso de un conductor. Si hacemos uso de la ecuacin (2.8)

tendremos que:

1 1 2 2E E = (2.9)

en donde, teniendo en cuenta que la constante dielctrica de la membrana 2, es

normalmente mucho menor que la de la disolucin 1 (por ejemplo 1 80 0 para el

agua y 2 2 0 para una membrana lipdica), podemos hacer una aproximacin y

tomar

1 1 2 2 11

E E E

= + (2.10)

que equivale, como en el caso de un conductor, a ignorar totalmente el campo en la

membrana, aunque su justificacin, como puede verse, sea totalmente diferente en


43

uno y otro caso. sta, sin embargo, es una posible modificacin que aadir a las que se

citan en el apartado 2.2.

Cuando se resuelven las ecuaciones (2.5)-(2.7), se obtienen las densidades de flujos

inicos y de disolvente locales, y con ellos expresiones para la intensidad elctrica,

flujo de disolvente total y velocidad del fluido. stas son las expresiones que se

utilizan para conseguir las de los coeficientes de Onsager. Estos coeficientes provienen

del estudio de membranas en el marco de la Termodinmica de Procesos Irreversibles

(TPI), y satisfacen las denominadas relaciones de reciprocidad de Onsager [On31a]

[On31b]. Numerosos investigadores han usado este principio (ver ref. en [Su97]) para

obtener ecuaciones en trminos de fuerzas y flujos, considerando la membrana como

una caja negra, es decir, sin descender a su estructura interna. Estas ecuaciones

forman un conjunto de relaciones acopladas linealmente, vlidas siempre que las

fuerzas generalizadas sean suficientemente pequeas.

Las ecuaciones que ligan las fuerzas y los flujos se pueden escribir de la siguiente

forma,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13

11 12 13

11 12 13

ln

ln

ln

A

S A

A

q I p I N kT C I

J I p I N kT C I

I I p I N kT C I

= + +

= + +

= + +

(2.11)

Los coeficientes caracterizan la contribucin de cada fuerza para un flujo

particular. En virtud del teorema de Onsager tenemos que Kij = Kji. Estos coeficientes

fenomenolgicos, que se obtienen a partir de las ecuaciones bsicas del Momento y de

difusin-conveccin, definen completamente las propiedades de transporte de una

membrana.

C A P T U L O 2

44

Las expresiones que utilizaremos para los coeficientes de Onsager en este trabajo

son totalmente equivalentes a las anteriores, y toman la forma siguiente para la

intensidad de corriente elctrica, flujo de disolvente y velocidad del fluido:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

V c pI L L L

x x x

V c pJ L L L

x x x

V c pU L L L

x x x

= + +

= + +

= + +

(2.12)

Para hallar la forma de esos Lij en funcin de parmetros del modelo estndar, se

sigue el siguiente procedimiento.

A partir de las definiciones elementales:

( ) ( )( )02 , , aAI eN z J r x z J r x r dr + + = +

( ) ( )( )02 , , aJ J r x J r x r dr + = + (2.13)

( )02 , a

xU v r x r dr=

puede verse que interesa disponer de expresiones para J+ (r, x) en funcin nicamente

del potencial, que conseguiremos usando alguno de los mtodos comentados

anteriormente. Esto puede hacerse de la siguiente manera. Tomemos la componente

radial de la primera de las expresiones (2.6), la ecuacin de Navier-Stokes, que se

escribe en coordenadas cilndricas como:


45

( ) ( )( ) ( ) ( ), ,0 , ,A r x p r xeN z c r x c r x r r+

= + (2.14)

en donde se supone que vr (r, x) = 0, es decir, que no hay flujo de disolvente en la

direccin radial (lo cual es bastante aceptable para la disolucin en general si el flujo

no es turbulento, aunque no tanto para el flujo de iones); Adems se toma, por

simplicidad un electrlito simtrico (z:z) y se hace uso de la ecuacin (2.3). La ecuacin

de continuidad para la velocidad har, en consecuencia, que vx(r, x) = vx(r), pues sta

se escribe simplemente

( ),

0xv r x

x

=

Evidentemente no se considera velocidad con componente angular . La ecuacin (2.14) sugiere que definamos una cantidad p , que se puede entender como presin del

disolvente [Fa71], y que no depende de r, de la siguiente manera,

( ) ( ) ( ) ( ), , ,Ap x p r x N kT c r x c r x+ = + (2.15)

Se puede comprobar que si derivamos esta expresin respecto de r, se obtiene

justamente la parte derecha de la expresin (2.14), que es nula, y por tanto hace

consistente nuestra definicin en trminos slo de la coordenada axial.

Recordando la ecuacin (2.4), es fcil comprobar que la derivada de la presin del

disolvente p respecto de x es:

C A P T U L O 2

46

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ln, ,( , ) , ,e A c xp x p r x r xr x N kT c r x c r xx x x x

+ = + + (2.16)

Este desarrollo se puede sustituir en la componente axial de la ecuacin de Navier-

Stokes, (2.6), de manera que se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 ln0 , , ,x A ec xdp x dVv r N kT c r x c r x r xdx x dx + = + (2.17)

Integrando dos veces respecto de r, y teniendo en cuenta que para d p /dx , dV/dx y

para dc /dx no existe dependencia radial, se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 ''0

'2 1cosh ' ' ''

4 ''

r rA

x a

ze rN kTr a dp dV dcv r r a r dr dr

dx dx c r kT dx

= + (2.18)

En esta ecuacin hemos tenido en cuenta las expresiones (2.1)-(2.4), es decir, la

ecuacin de P-B para el caso en que la carga est uniformemente distribuida

(lo que hace que el potencial no dependa de la coordenada axial), tomando de ella una

expresin para la densidad de carga en funcin del potencial. Esta es la ecuacin que

necesitamos para sustituir en la componente axial de (2.7), que ser la que usaremos

para obtener as los coeficientes de Onsager. El resultado final es el siguiente:


47

( ) ( ) ( )( ){ }11 1 2 32 2 2A A A AzecL N ez D D I N ez D D a N kT I N kTIkT + += + + +

( ) ( )( ) ( ){ }12 3 2 12 2 2Az NL kTI a kT D D e I D D e I + + = +

( )213 2 4AN ezcL a I I=

( ) ( )( ) ( ){ }21 1 2 62 2 2cL ez D D a kT I ez D D I kTIkT + + = + + ( ) ( )22 1 2 62 22 a kT kTL D D I D D I Ie e

+ +

= + + + (2.19)

( )223 5 1cL I a I=

( )( )231 72L a a I =

( ){ }232 72kTL a a Iec

=

4

33 8a

L

=

donde se han definido unos coeficientes Ii, que son integrales sobre el potencial, y que

tienen la forma:

( )1 0

cosha ze u

I u dukT

=

C A P T U L O 2

48

( )2 0

senha ze u

I u dukT

=

( ) ( )3 0 senha

B

ze uI u u du

k T

=

( ) 34 0

senha ze u

I u dukT

= (2.20)

( ) 35 0

cosha ze u

I u dukT

=

( ) ( )6 0 cosha ze u

I u u dukT

=

( )7 0a

I u u du=

En el caso lineal, (aproximacin de Debye-Hckel o de potenciales pequeos), usado

con mucha frecuencia, slo habremos de hacer las sustituciones elementales de primer

orden senh(x) x y cosh(x) 1, tanto en Ii como en la ecuacin (2.5).

Los coeficientes de Onsager (2.19) muestran una dependencia explcita respecto de

la coordenada axial, que proviene de la que lleva ( )c x . Esto es as porque para encontrar Lij slo se ha integrado sobre r. Los Lij as obtenidos son funcin del punto x

en el se calculan, y tambin por ello las magnitudes I, J y U. Esa dependencia no es

tenida en cuenta normalmente, porque se suele trabajar en el caso en que la

diferencia de concentraciones entre ambos lados de la membrana es nula o muy

pequea. La dependencia axial, adems, est prohibida a travs de las ecuaciones de

continuidad, que escritas respecto de los flujos integrados en toda la superficie

transversal de poro, son:


49

0, 0 0dI dJ dU

ydx dx dx

= = =

En las tres se supone que no hay fuentes ni sumideros (dependencia temporal

excluida). Sin embargo, los Lij, en las aplicaciones concretas que se hacen, tienen una

dependencia axial. El origen de esta dependencia incorrecta hay que buscarla en las

aproximaciones que se hacen en la deduccin, y ser, en caso de encontrarse,

necesariamente pequea.

Las ecuaciones hasta aqu descritas constituyen lo que en este trabajo llamaremos

el modelo estndar para describir los fenmenos de transporte a travs de los poros de

las membranas microporosas y los canales inicos.

2.2

Modificaciones del modelo de carga espacial

El modelo de carga espacial (tambin conocido por el acrnimo en ingls SCM),

expuesto en el apartado anterior, viene siendo utilizado en su forma original, o con

modificaciones ms o menos importantes, para describir el transporte de un electrlito

a travs de una membrana microporosa cargada. En realidad los sistemas a los que se

aplica son bastante ms numerosos que los que se ajustan de manera estricta a un

conjunto de poros perfectamente cilndricos y homogneamente cargados.

Incluso en los casos en los que los poros se pueden asimilar de forma aproximada a

un cilindro y, sobre todo, en membranas de origen biolgico, no es demasiado exacto

hablar de carga superficial, porque, en stas, los grupos cargados se encuentran

anclados sobre molculas que sobresalen en mayor o menor medida de la superficie.

En lnea con todas estas aproximaciones o simplificaciones, y de otras puestas de

manifiesto por distintos autores, que se encuentran en el modelo de carga espacial, se

han propuesto varias extensiones del modelo para adaptarlo a las caractersticas

estructurales de algunos sistemas particulares.

C A P T U L O 2

50

Se puede decir que en la actualidad el transporte de electrlitos a travs de

membranas asimilables de manera amplia a las que llamamos microporosas, (las que

poseen en su estructura zonas conectadas llenas del electrlito en el que hallan

inmersas), se describe mediante variantes ms o menos importantes del modelo de

carga espacial. Algunas de sus extensiones slo sirven para un conjunto muy reducido

de sistemas, y otras son de ms amplia aplicacin, pero no existe una receta nica

vlida para todos ellos.

A continuacin se enumeran algunos aspectos del modelo de carga espacial que han

sido objeto de modificaciones desde su formulacin original por Osterle y

colaboradores y ciertas hiptesis del modelo que requieren todavia una cierta

adaptacin si se pretende aplicarlo a los poros de las membranas biolgicas. En

cuanto a las extensiones ya estudiadas por diversos autores, se incluyen:

Efecto de la geometra del poro. Uso de poros no cilndricos. Pese a que en

las aplicaciones encontramos sistemas que se alejan, a veces mucho, del caso cilndrico

ideal, como por ejemplo al describir el transporte a travs de la capa ms externa de la

piel humana, el llamado Stratum Corneum, el modelo de carga espacial funciona

bastante bien para describir el transporte de electrlitos a travs suyo. [Ag97] No

obstante la geometra podra ser importante en algunos casos y por ello se ha

intentado investigar el posible efecto en sistemas concretos. Se trabaja en estos casos

con magnitudes que intentan medir el alejamiento de la forma ideal, como el ndice de

tortuosidad [Go92]. En otros casos se intenta conocer en que medida afectar el

alejamiento de la forma cilndrica ideal de una seccin del poro, supuesta en el modelo

estndar de carga espacial. Este ltimo caso fue investigado originalmente por

Anderson [An77], quien concluy que el efecto parece no ser importante para

fenmenos dominados por la distribucin de iones (como la conductancia), pero podra

ser importante para fenmenos de flujo viscoso (como la de electrosmosis), tal y como

ya se coment en el captulo 1.


51

Membrana

Proteina

Figura 2.2

Representacin en 2D del canal de gramicidina A. La zona irregular corresponde a la proyeccin de las posiciones de los tomos de las dos subunidades que forman el canal gramicidina, incrustada en la membrana lipdica. La zona gris interior corresponde a la regin del canal, mientras que en negro se muestran la regin de los depsitos de disolvente adyacentes. Es patente un cierto alejamiento de la forma cilndrica ideal. (Extrado de [Ku99])

Uso de una distribucin de tamaos de poro. Algunos investigadores [Sa95]

[Ka87] han analizado la hiptesis comnmente asumida de considerar todos los poros

de una membrana perfectamente idnticos entre s, lo que reduce el anlisis del

sistema al estudio de un solo poro. Una manera de relajar esta aproximacin consiste

en tomar una determinada distribucin estadstica de radios de poro en torno a un

valor promedio. Encontramos este tratamiento, por ejemplo, en el trabajo de Aguilella

y colaboradores [Ag94], o en el de Wang y colaboradores [Wa92].

Carga interior del poro dependiente de la concentracin. Incluye la

suposicin de que los iones pueden adsorberse a la superficie interna del poro,

modificando con ello la carga superficial. ste efecto ha sido incorporado en modelos

C A P T U L O 2

52

en los que la carga superficial de la pared depende de la concentracin de iones en sus

cercanas [Ma90], usualmente mediante el uso de una isoterma de Langmuir.

Otras extensiones que se abordan en este trabajo son:

Introduccin de una distribucin no estrictamente superficial de la carga

fija. Se intentar en este caso dar cuenta de la aproximacin que supone el tomar la

carga distribuida uniformemente sobre la pared del poro, descrita matemticamente

mediante una distribucin superficial de carga, cuando existen poros o canales inicos

en los que las cargas fijas sobresalen en mayor o menor medida de la superficie en

una proporcin, a veces, comparable con el radio de poro. Es de esperar que en estos

casos aparezcan modificaciones de cierta importancia en el potencial y, como

consecuencia, en los parmetros electrocinticos que describen el transporte a travs

del poro. Esto se investigar con cierto detalle en el captulo 3.

Introduccin de una distribucin de dipolos, junto a la carga fija

superficial. Esta correccin tiene sentido fundamentalmente en el caso de poros

abiertos en membranas biolgicas. En algunos canales acuosos, las cargas fijas tienen

su origen en residuos ionizados que conforman la pared del poro, y que contienen

grupos cargados con distinto signo, dando lugar a un momento dipolar, que, en

principio, puede afectar al transporte a travs de la membrana. Veremos este efecto

en el captulo 4.

Efecto de una distribucin no homognea de la carga sobre la superficie

del poro. Dado que la carga en poros y canales inicos tiene su origen, en la mayora

de los casos, en la ionizacin de molculas en la superficie interna de la pared, o bien

en la adsorcin de las que se encuentran en disolucin; y teniendo en cuenta que estos

procesos tienen lugar de forma totalmente al azar, es de esperar una disposicin no

homognea de la carga, a menos que el poro sea grande. Esta es la razn por la que se

pueden encontrar trabajos que investigan la influencia de este efecto en canales

inicos [Du93], cuyas dimensiones son lo suficientemente reducidas como para

justificarlos, mientras que en el caso de membranas microporosas ha sido poco

investigado.


53

En este trabajo (apartado 5) investigaremos el efecto de una distribucin

asimtrica axial de la carga, independiente de la concentracin, sobre el transporte a

travs de un poro.

Adems de las posibilidades revisadas, queda pendiente en funcin de su

importancia, y segn nuestro criterio, un estudio ms a fondo de las siguientes

cuestiones:

Validez del uso de una permitividad constante, o bien igual a la de la

disolucin libre. En las cercanas de la pared del poro los campos elctricos

generados pueden llegar a ser muy grandes. En estas condiciones la constante

dielctrica del disolvente disminuye [Hy95]. Este efecto de saturacin dielctrica

puede modificar en gran medida el potencial y los perfiles de concentracin en la

trabajo

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