trabajo colaborativo 3 de calculo integral aporte de jarvi

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral TRABAJO COLBORATIVO 3

TRABAJO COLABORATIVO 3 DE CALCULO INTEGRAL

APORTE INDIVIDUAL

NOMBRE, CODIGO

JARVI DEIRO LABRADA LASSO, 76042127

GRUPO:

100411_ 218

CEAD:

SANTANDER DE QUILICHAO

TUTOR:

NEMESIO CASTAÑEDA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

SANTANDER DE QUILICHAO.

FECHA:

20 DE OCTUBRE, DE 2015.


INTRODUCCION

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez

construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra la

aritmética Y la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica; detrás de

cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe; indudablemente, la evolución de

ideas que hacen posible su nacimiento.

Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula,

desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular

y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva

teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado

actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza

conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte

siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos "infinitesimales" pero hubo que

esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que

permitiría construir el Cálculo que utilizarían en estos días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u

otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático

interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.


OBJETIVOS

GENERAL:

identificar adecuadamente los diferentes editores de ecuaciones para elaborar

fórmulas matemáticas y se logren realizar problemas modelos que involucren la

integración, técnicas, análisis de gráficas y aplicaciones de las integrales en las

diferentes disciplinas del saber humano, utilizando los conocimientos adquiridos.

Específicos:

Revisar el entorno de información inicial.

Revisar el entorno de conocimiento (referencias bibliográficas requeridas y

complementarias de la Unidad 3)

Establecer comunicación con sus compañeros del grupo colaborativo e interactuar

con ellos con el fin de establecer roles y estrategias para dar inicio a la actividad

colaborativa.

Participar en forma individual y colaborativamente en la planeación y construcción

de la Fase 3 del trabajo colaborativo propuesto (entorno de aprendizaje

colaborativo)

Utilizar las herramientas interactivas propuestas (entorno de aprendizaje práctico)

para desarrollar los problemas propuestos en la actividad colaborativa. Consultar la

hoja de ruta.

Entregar el Producto final en el entorno de evaluación y seguimiento.

Registrar en el e-portafolio, sus fortalezas, dificultades y sus oportunidades para mejorar (entorno de evaluación y seguimiento)


ROLES PROPUESTO

compilador

jarvi Deiro Labrada

Consolidar el documento que se constituye como el producto

final del debate, teniendo en cuenta que se hayan incluido los

aportes de todos los participantes y que solo se incluya a los

participantes Que intervinieron en el proceso. Debe informar a

la persona encargada de las alertas para que avise a quienes no

hicieron sus participaciones, que no se les incluirá en el

producto a entrega

revisor Asegurar que el escrito cumpla con las normas de presentación

de trabajos exigidas por el docente

evaluador

Janeth Millán

Asegurar que el documento contenga los criterios presentes en

la rúbrica. Debe comunicar a la persona encargada de las

alertas para que informe a los demás integrantes del equipo en

caso que haya que realizar algún ajuste sobre el tema

entregas Alertar sobre los tiempos de entrega de los productos y enviar

el documento en los tiempos estipulados, utilizando los

recursos destinados para el envío, e indicar a los demás

compañeros que se ha realizado la entrega

alertas Asegurar que se avise a los integrantes del grupo de las

novedades en el trabajo e informar al docente mediante el foro

de trabajo y la mensajería del curso, que se ha realizado el

envío del documento.


PROBLEMAS PROPUESTOS

Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica)

1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )=x3−x2−6 x y el eje X. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

2. Calcular el área de la región limitada por las curvas y2=2x e y=x−4 .

Sugerencia: Elabore la gráfica y despeje x en función de y en las curvas dadas.

3. Dada la curva y=√4−x2la cual gira alrededor del eje x, ¿cuál será el área de la

superficie de revolución, generada en el intervalo [−1 , 1 ] ? (La superficie es una porción de una esfera de radio 2)

4. Determine la longitud de la curva y=lncos( x ) en el intervalo [ 0 , π /3 ] . Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por f ( x )=2−x2,

y g( x )=1 alrededor de la recta y=1 . Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

6. Halle el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x = -1 la región encerrada por

la parábola x= y2 , y la recta x = 2y. Sugerencia: Utilice el método de las arandelas

para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

7. Hallar el centroide ( x¿

, y¿

) de la región limitada por la curva y=x2 y la recta

y=x+2 .

8. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al

cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir ρ( x )=Rx2 para R una constante.

Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de

masa (Ce). ρ( x ) = unidades de masa por unidad de longitud.


Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.

9. La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una recta es

a ( t )=π2cos (π t ) m2/seg . Si en el instante inicial ( t=0 ), la posición de la partícula es (s=0) y la velocidad es v=8 m /seg . Hallar s cuando t=1 .

10. Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm?

11. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por

S ( x )=52+2 x y D ( x )=100−x2 . Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.

12. El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es

−3 x2+60 x+4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000, ¿cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?

Solución

1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )=x3−x2−6 x y el eje X. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

Puntos de intercepción del eje x

f ( x )=x3− x2−6 x

x3−x2−6 x=0 : x=3 , x=0 , x=−2

x3−x2−6 x=0

Factor comun

x3−x2−6 x x (x+2)(x−3)

x3−x2−6x

Factorizar X

¿ x (x2−x−6)


Factor

x2−x−6 ( x−3 )(x+2)

x2−x−6

¿ (−3 x−6 )+(x2+2x )

Factorizar -3 de −3 x−6−3 ( x+2 )

Factorizar x de x2+2x : x (x+2)

¿−3 ( x+2 )+x (x+2)

Se factorizar ( x+2 )

¿ ( x−3 )(x+2)

¿ x (x−3 )(x+2)

x (x+2 ) ( x−3 )=0

Se resolver

x+2=0 , x=−2

x+2=0

x+2−2=0−2

x=−2

Se agregar 3 a ambos lados

x−3+3=0+3

x=3

( 13

(1−√19 )) , 227

(19√19−28¿ )

Minima

( 13

(1+√19 ) ,− 227

(28+19√19 ))


GRAFICA :

2. Calcular el área de la región limitada por las curvas y2=2x e y=x−4 .

Sugerencia: Elabore la gráfica y despeje x en función de y en las curvas dadas. Si

y2=2xy2=2 x

Forma alternativa:

x= y2

2 y2−2 x=0

Integrar en:x=2n2 , y=−2n ,n∈ z

Solución de variable y: y=−√2√ x

y=√2√ x

Derivada implícita:


∂ y (x)∂ x

= 1y

∂ y (x)∂ x

= 1y

Grafica de la parábola

3. Dada la curva y=√4−x2la cual gira alrededor del eje x, ¿cuál será el área de la

superficie de revolución, generada en el intervalo [−1 , 1 ] ? (La superficie e una porción de una esfera de radio 2)

y=√4−x2

√4−x2

2−x2

parabola Forma alternativa:−(x2−2) (√2−x )(x+√2)x=−√2x=√2

Polinomio discriminante:

∆=8Properties as a real function:

Dominio:R (números reales)

Rango:{y∈R : y ≤2}

Derivativa:


ddx

(√4−x2 )=−2x

Indefiniste integral:

∫ ( 2−x2 )dx=2x− x3

3+c

max {√4− x2 }=2atx=0

Integral definida:

∫−√ 2

√ 2

(2−x2)dx=8√23

≈3.77124

Área integral definida sobre el eje entre las raíces reales menor y mayor:

∫−√2

√2

(2−x2 )θ (2−x2 )dx=8√23

≈3.77124

Grafica

4. Determine la longitud de la curva y=lncos( x )en el intervalo [ 0 , π /3 ] . Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.


y=lncos( x )y=log (cos (x ))

Forma Altérnate:

y=log ( 12

(e−ix+e ix ))

Raíz x=2 πn ,nϵZPropiedades como una función real:

Dominio:

{x∈ R :− π2< x−2πn< π

2conn∈Z}

Derivativa:

∂∂ x

(log (cos (x ) ) )=− tan (x )

Implícita derivativas:∂ x( y)∂ y

=−cot (x)

∂ x( y)∂ y

=−tan (x )

Global máxima:Max {y=log (cos ( x ))}=0artx=2nπ paraintegral n

Habilitar interactividad


5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por f ( x )=2−x2,

y g( x )=1 alrededor de la recta y=1 . Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

f ( x )=2−x2, y g( x )=1 alrededor de la recta y=1 .

f ( x )+x2=2

X=√2

X=−√2

Properties as a real function:Dominio:

R(numeros reales)Rango:{f ∈ R : f ≤2}

Derivativa:

ddx

(2−x2 )=−2x

Integral indefinida asumiendo todas las variables son reales:

∫ ( 2−x2 )dx=2x− x3

3+c

Grafica de las parábolas:Max { f ( x )=2−x2}=2artan x=0


6. Halle el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x = -1 la región encerrada por

la parábola x= y2 , y la recta x = 2y. Sugerencia: Utilice el método de las arandelas

para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

x = -1 la región encerrada por la parábola x= y2 , y la recta x = 2y

x=2 yx−2 y=0Grafica:

Forma altérnate: x−2 y=0


7. Hallar el centro de ( x¿

, y¿

) de la región limitada por la curva y=x2 y la recta

y=x+2 .

Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2.

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

y=x2 x2=x , x=0 , x=1

y=x

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

A1=∫0

1

(x−x2)dx=¿=16u2

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

A2=∫1

2

(x2−x)dx=¿=56u2

A¿ 16+ 5

6=1μ2

Grafica


8. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al

cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir ρ( x )=Rx2 para R una constante.

Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de

masa (Ce). ρ( x ) = unidades de masa por unidad de longitud.

La distancia lineal seráρ1 ( x )=R x2 , de talmodo que cuando x=60 , P (60 )=7200

Luego R. 602=7200 donde obtendremos R= 2, y por tanto ρ1= (x )=2x2

Luego para encontrar halle su masa total m utilizo la fórmula:

m= ∫0

60

2 x2dx=2¿= 144000g

Luego para encontrar centro de masa (Ce). ρ( x ) = unidades de masa por unidad de longitud.

x=2∫

0

60

x . x2dx

m

= 2¿¿

Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.

9. La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una recta es

a ( t )=π2cos (π t ) m2/seg . Si en el instante inicial ( t=0 ), la posición de la partícula es (s=0) y la velocidad es v=8 m /seg . Hallar s cuando t=1 .

a ( t )=π2cos (π t ) m2/seg .( t=0 )


(s=0)v=8 m /seg .s Cuando t=1 . ?X=t,s= 0υ=8Solución a(t)= π2 cos (πt )m2/seg

1) Sabes que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

v = dsdt

= 3.t 2 - 12.t - 15

La aceleración es la derivada de la velocidad:

a = dvdt

= 6.t - 12

a) v = 0 = 3.t 2 - 12 t. 15; ecuación de segundo grado que resuelvo directamente:

t = 5 s y t = -1 s; esta última se descarta por ser negativa

b) La posición a los 5 segundos es:

x = 53 - 6.x 52 - 15. 5 + 40 = - 60 m (está detrás del origen de coordenadas.

La posición inicial es (t = 0) x = 40 m

Por lo tanto el espacio recorrido es en valor absoluto 40 + 60 = 100 m (retrocediendo)

c) Para t = 5 s; a = 6. 5 - 12 = 18 m/s2

d) La posición a los 4 s es: x = 43- 6x 42 – 15x 4 + 40 = - 52 m

La posición a los 6 s es: x = 63 – 6x62 – 15x 6 + 40 = - 50 m

Esto significa que se ha detenido (justamente en t = 5 s) para el cual x = - 60 m

Recorre entonces desde - 52 m hasta - 60 m, 8 metros (hacia atrás) y luego desde - 60m hasta - 50 recorre 10 metros (hacia adelante).


Por lo tanto el total recorrido es 18 metros.

2) Derivamos la posición: (¿se supone que es 37t en lugar de 37?)

v = dxdt

= 24.t 3 – 6xt 2- 24xt + 37

Derivamos la velocidad:

a == dvdt

= 72xt 2- 12xt - 24; igualamos a cero y se resuelve para t.

Resulta t = 2/3 y t = - 1/2 (se descarta por ser negativa).

Para t = 2/3 es:

x = 6. (2/3¿2 – 2x (2/3¿3- 12x (2/3¿3 + 37x 2/3 + 3 = 619/27 = 22, 9 m

v = 24. (2/3¿3 – 6x (2/3¿2- 24x 2/3 + 37 = 229/9 = 25, 4 m/s

10. Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm? Aplicamos la ley hooker la cual establece que la fuerza f(x) necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargadas (o acortadas) de una longitud natural está dado por:

f ( x )=kx k costantedependienteCuando se estira 10 cm a15 cm →5cm→100cm/1m¿0.05mF(0,05)¿40N 0,05K=40 →K=¿800ENTOCES f ( x )=800x y trabajoefetudo por elresorte esde5cm=0,05mF(0.05)

∫0,05

0,08

800 xdx=∫ 800xdx=400 x2+c

∫0,05

0,08

800 xdx=2,56−1=1,56

Grafica.


11. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por

S ( x )=52+2 x y D ( x )=100−x2 . Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por p = S(x) = 52 + 2x y p = D (x) =100 – X2

x=−¿b±√b2−4ac

2a¿, x=

2±√22−4.1 (−48 )4.1

las dos soluciones por consiguiente son

x=6yx-8Matemáticamente es posible que la oferta y la demanda se corten como en este caso para valores negativos (-8) económicamente, pero es posible -8unidades: la solución x=6Sustituyendo el valor en fusión de la oferta; para obtener el punto de equilibrio en la demandaP¿ S ( x )=52+2x=52+2.6=64u .mRespectivamente.


Para calcular el excedente del producto más sencillo ya que el área del triángulo que queda entre el eje de ordenada, la función de oferta el precio de equilibrio:

E.P (6.12)/2= 36u.m

Es el excedente del consumidor que se calculó con la integral entre 0 y 6de la fusión de la dela demanda por debajo del precio de equilibrio en ese intervalo:

E.C.¿∫0

6

(100−x2 )dx−64.6=¿¿

Determinar el superávit del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado. a) 100 y 36 b) 36 y 72 c) 144 y 36 d) 100 y 72 e) 144 y 72


12. El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es

−3 x2+60 x+4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000, ¿cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?

(x4+x2+2)/(x3-7x+6)= x + (8x2-6x+2)/(x3-7x+6)

a continuación, utilizar fracciones parcialesfactor común x3-7x+6= (x-2)(x-1)(x+3) (8x2-6x+2)/(x-2)(x-1)(x+3)= (A/x-1)+(B/x-2) +(C/x+3) resuelvo A, B, C

Con el fin de resolver para A, B, C multiplicamos (x-2) (x-1) (x + 3) desde ambos lados por lo que ambos lados tendría algo para anular

8x2-6x+2=A(x-2) (x+3)+ B(x-1) (x+3)+ C(x-2)(x-1) luego multiplico:8x2-6x+2= A(x2+x-6)+ B(x2+2x-3)+ C(x2-3x+2)

8x2-6x+2=(A+B+C)2x2+ (A+2B-3C) x-6A-3B+2C

A+B+C=8 A+2B-3C=-6 -6A-3B+2C=2 resuelvo A B C A=-1 B=22/5 C=23/5

∫¿¿(x4+x2+2)/(x3-7x+6)]=∫¿¿x-(1/x-1)+((22/5)/(x-2))+((23/5


R=x2/2 - Ln[x-1] + (22/5) Ln(x-2) + (23/5) Ln(x+3) + C

Otra forma:

dRdq

=−3 x2

+60 x+400 0

−x3+3 x2+4000 x+cRemplazo e integro

∫10

50

−x3+3 x2+4000 x+90000dx=

−3x 4

4+x3+2000 x2+90000x+c=4937500−1093500=3844000

el costo total de producción de las 50 primeras unidades 3844000


COCLUCIONES

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un

eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes

dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores, Barrow y Fermat, la

unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de

generalidad suficiente para su desarrollo posterioir. Estos desarrollos estuvieron

elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo,

Kepler, Valerio y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con

infinitesimales que estos hombres lograron, fueron tambien resultado directo de las

contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos

últimos estuvo inspirado por problemas matemaáicos y filosóficos sugeridos por

Aristóteles, Platon, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una

de las contribuciones previas decisivas fue la geometría analítica desarrollada

independientemente por Descartes y Fermat.

El conocimiento matemático del mundo moderno esta avanzado más rápido que

nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías

más complejas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes

han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y

estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación.

Aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la ingeniería

primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de

solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco

ortodoxas.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.

Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las

matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la


ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas

y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.gg

REFERENCIAS

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Educatina. (01 de febrero de 2012). Aplicacióndeintegral:cálculodeáreas-análisismatemático. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8E

Ayala, J. (2013). VideosenTextoUnidad3. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_3.pdf

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Delgado, R. (04 de noviembre de 2012). Integralaplicadaalaeconomía. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=g5IsC56fC5A

Ruiz, E. (09 de abril de 2012). Ingresomarginalyutilidadmarginal. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=9zzM8S3l74I


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http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf

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