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DOCENTE:
Salcedo Rebaza, Wilmer Alejandro
TRABAJO:
DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA
PRESENTADO POR:
Alaya Misahuamán, Jeanpierre
Malca Yopla, Miriam
Muñoz Sánchez, Oscar
Ramírez Delgado, Alithú
Saldaña Chávez, Rey
Vásquez Delgado, Manuel
Vásquez Villanueva, Ely
Cajamarca, 15 de septiembre del 2015
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
PROYECTO Y PLANEAMIENTO DE MINA Página 2
Contenido I. OBJETIVOS ................................................................................................................................................ 3
II. INTRODUCCION ........................................................................................................................................ 4
III. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................................. 5
DETERMINACION DE LA LEY MEDIA ....................................................................................................5
1. METODOS ESTADISTICOS PARA LA DETERMINACION DE LA LEY MEDIA ......................... 5
1.1. CARÁCTER NORMAL O LOGNORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS. ................ 5
1.1.1 Método de los histogramas ............................................................................................................. 5
1.1.2 Método de la recta de Henri ............................................................................................................ 6
1.2. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA EN DISTRIBUCIONES NORMALES ......................... 11
1.3. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA Y DISTRIBUCIONES LOGNORMALES .................... 12
1.3.2 Los Estimadores de Sichel ........................................................................................................... 15
1.4 CURVAS LEY MEDIA VERSUS TONELAJE ................................................................................. 18
2. MÉTODOS DE PONDERACIÓN PARA LA DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA. ......................24
IV. ANEXOS ...................................................................................................................................... 27
V. CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 31
VI. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 32
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I. OBJETIVOS
Determinar la ley media en un sondeo o grupo de muestras de una superficie a través
de teoría.
Indagar sobre los métodos estadísticos para la determinación de la ley media.
Demostrar a través de un ejercicio la ley media
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II. INTRODUCCION
La determinación de la ley media en un sondeo o sondeos, o en un grupo de muestras distribuidas a
lo largo de una superficie o sección, o, por extensión, en un yacimiento completo, es un paso
imprescindible en la evaluación de las reservas de un depósito mineral. Además de la importancia
económica de este dato, de, que en el caso del yacimiento en su conjunto va a condicionar, al menos
en parte, la viabilidad económica de la explotación, el conocimiento de la ley media tiene numerosas
aplicaciones adicionales, como son su utilización para establecer los modelos ley- tonelaje(Bustillo y
López Jimeno, 1996), dar una visión rápida de la riqueza relativa del yacimiento, si se han establecido
sus valores por zonas, fijar secuencias de explotación en función de las fluctuaciones en el valor del
metal/ mineral útil, etc.
El concepto que muchas veces se tiene del significado de la ley media es erróneo, pues no
necesariamente se trata de la media aritmética de un conjunto de datos, como se verá más adelante.
Se debe tener en cuenta hacer un modelo apriori antes de explotar el yacimiento, para así poder
determinar la viabilidad económica de la mineralización. Si el estudio se hace a posteriori solo sería
con el fin de conocer la bondad del modelo geológico elaborado, lo cual no es poco, pero claramente
es insuficiente.
Basándose en lo dicho, es necesario estimar el valor de la citada ley media antes de comenzar la
explotación del depósito. Este hecho tan simple es, en muchas ocasiones sumamente complejo y ha
generado una gran cantidad de trabajos científicos, especialmente en el caso del oro, donde pequeñas
fluctuaciones en la ley media de este metal precioso pueden comprometer seriamente el desarrollo
económico de la explotación. En si la geoestadística y los trabajos anteriores de kriging tienen por
objetivo realizar esta estimación con la máxima fiabilidad posible.
Existen dos situaciones a la hora de calcular la ley media: en un sondeo o sondeos, o en un grupo de
datos tomados aleatoriamente y distribuidos uniformemente. En el primer caso se utilizarán los
métodos de ponderación (regularización), mientras que en el segundo será necesario llevar a cabo
estimaciones estadísticas. En muchas ocasiones no se trata de elegir uno de los dos métodos, pues
el propio carácter de los datos implica la forma de tratarlos.
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III. MARCO TEÓRICO
DETERMINACION DE LA LEY MEDIA
1. METODOS ESTADISTICOS PARA LA DETERMINACION DE LA LEY MEDIA
1.1. CARÁCTER NORMAL O LOGNORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS.
El cálculo de la ley media por métodos estadísticos requiere que el conjunto de datos a tratar presente
una distribución normal o gaussiana. Esto no presenta problemas ya que los elementos químicos
presentan este tipo de distribución, caracterizada por poseer una distribución normal del logaritmo de
la variable.
Sin embargo, salvado el problema de la necesidad de tratar datos con distribución gaussiana, si es
imprescindible dilucidar si los valores presentan una distribución normal o Lognormal, pues los
métodos a seguir para el cálculo de la ley media son diferentes y, por tanto, los resultados también lo
son.
Por eso primero se debe saber si los datos presentan una distribución normal y, sino es aso, calcular
sus logaritmos y volver a repetir el proceso para testificar el posible carácter Lognormal de la
distribución. Existen tres grandes métodos a la hora de investigar so una distribución es normal:
histogramas, recta de Henri y Ji-cuadrado. Los 2 primeros son métodos visuales, es decir, no existe
ningún control matemático que permita definir el carácter normal de la distribución. Por el contrario, la
Ji- cuadrado establece dicho carácter según un estadístico y en función de un determinado nivel de
significancia, tal como se verá en el apartado correspondiente.
Al margen de estos métodos. Que serán tratados a continuación, existe también una forma rápida de
conocer la posible normalidad de una distribución. Se basa en el cálculo del coeficiente de variación y
el valor que este toma. Según Koch y Link (1970) el valor del coeficiente de variación debe ser inferior
a 0.5 para que una distribución pueda considerarse como gaussiana, mientras que valores superiores
indican un carácter Lognormal o un conjunto de datos con distribución errática. Carras (1984), por el
contrario, admite valores del coeficiente de variación de hasta uno.
1.1.1 Método de los histogramas
Es el método más sencillo y consiste en dividir el conjunto de datos en una serie de intervalos (no
menos de seis pero tampoco una gran cantidad de ellos) y representarlos en forma de histogramas de
frecuencias. La observación del conjunto de los histogramas y su posible similitud con una curva de
Gauss permite avanzar el posible carácter normal de la distribución. En la figura 4.1 se muestra un
histograma de frecuencias de un conjunto de datos cuya distribución podría semejarse a una
distribución normal.
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1.1.2 Método de la recta de Henri
Si se establece la curva de frecuencias acumuladas de un conjunto de datos en los cuales se quiere
testificar su posible ajuste a una distribución normal y se utiliza en la escala acumulativa una
distribución de intervalos aritmética, es decir, la misma cantidad de espacios para cualquier intervalo,
la curva en la que es muy difícil aproximar visualmente su carácter normal. Ello es debido a que, como
es sabido la distribución normal presenta una mayor concentración de datos en los valores próximos
a la media, mientras que las zonas extremas poseen un menor número de valores. Por esta razón si
se dispone la escala acumulativa de tal forma que la distribución normal quede representada por una
recta, el ajuste visual de la distribución será más sencillo.
En la Fig. 4.2 se puede observar el mismo conjunto de datos que en la figura 4.1 aproximadamente
se ajustan a una recta, por lo que puede asignárseles el carácter de distribución normal. En dicha figura
también se puede observar, como se ha comentado anteriormente, como la escala de probabilidad
acumulada (eje X) presenta unos intervalos con tamaños diferentes en función del valor de la
probabilidad.
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1.1.3 Método de la Ji- cuadrado
Este método constituye la única forma de testificar el carácter normal de una distribución con una
determinada fiabilidad estadística. Es un método más complejo y costoso en tiempo que los anteriores,
pero debe llevarse a cabo cuando la necesidad de conocer la normalidad de una distribución se hace
imprescindible. En sí, el método consiste en establecer una serie de rebanadas para la distribución
normal establecida estadísticamente y las mismas rebanadas para la distribución cuya justificación se
quiere llevar a cabo, para, a continuación, comparara ambos grupos de rebanada y comprobar su
parecido, comparación que se realiza con un estadístico definido como Ji- Cuadrado. Los pasos a
seguir para este proceso serían los siguientes.
a) Se calcula la media aritmética y la desviación estándar del conjunto de datos.
b) Se tipifican los valores, es decir, a cada valor se le resta la media y se divide este resultado por
la desviación estándar, con lo que los datos anteriores se convierten en un grupo de valores
que oscilan, en su mayor parte alrededor de -3 y +3. El valor cero correspondería, por definición,
a la media aritmética.
c) Se establece un número de intervalos (correspondiente a las rebanadas citadas anteriormente)
en los que se calcula la frecuencia relativa para los datos estudiados. El número de intervalos
es libre, siendo seis (tres valores de la desviación estándar a cada lado de la media) un valor
aceptable.
d) Se construye una tabla con las frecuencias obtenidas (las calculadas en el paso anterior) y las
esperadas, estas últimas correspondientes a las que serían de esperar si se tratase de una
distribución normal definida matemáticamente (tabla 4.1).
e) Se calcula el estadístico Ji- cuadrado (𝑥2), definido como:
𝑥2 = [(𝑜1 − 𝑒1)2
𝑒1] + [
(𝑜2 − 𝑒2)2
𝑒2] + ⋯ + [
(𝑜𝑛 − 𝑒𝑛)2
𝑒𝑛] = ∑
(𝑜𝑖 − 𝑒𝑖)2
𝑒𝑖
Dónde:
𝑥2 = Estadístico Ji- cuadrado.
𝑒1 − 𝑒2 … 𝑒𝑛 = Frecuencias esperadas.
𝑜1 − 𝑜2 … 𝑜𝑛 = Frecuencias obtenidas.
Este estadístico representaría la medida de la discrepancia entre ambas distribuciones (la que se
estudia y la normal).
f) Por último, se compara el valor de la Ji –cuadrado con otro obtenido en la tabla de este
estadístico (tabla 4.2), que se calcula entrando por dos valores: a) el número de grados de
libertad, que se define como el número de intervalos establecidos menos el valor 3 y b) el nivel
de significancia, que se define como la probabilidad máxima de cometer un error cuando se
rechaza una hipótesis que debería ser aceptada. Si el valor de la Ji- cuadrado es menor que el
valor de tabla, se puede asumir, entonces, que el conjunto de datos estudiado se ajusta a una
distribución normal. Hay que hacer constar que, en estadística, esta aseveración no es correcta,
es decir, nunca se puede llegar a afirmar que un conjunto de datos es una distribución normal.
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De forma estricta, en estadística se plantea la hipótesis nula: no se ajusta a una distribución
normal, para, a continuación, rechazar la hipótesis nula: No hay razones para rechazar la
hipótesis nula. Aunque a efectos prácticos, lo que interesa es saber si un conjunto de datos
puede ser tratado como si fuese una distribución normal, es importante siempre tener en cuenta
esta matización de carácter estadístico.
Ejemplo Sean los valores mostrados a continuación las Leyes en Zn (%) de 33 muestras
tomadas en un yacimiento estratiforme de Pb- Zn. Comprobar, a través de los métodos
descritos anteriormente, si dichos valores se ajustan a una distribución normal.
6,4 5,4 4,7 8,2 6,8 6,2 6,3 3,9 6,2
7,1 4,9 5,7 6,1 6,2 7,4 7,5 6,1 5,6
5,4 7,5 5,8 2,8 5,9 9,1 7,3 3,3 5,1
5,9 5,8 5,8 4.6 4,9 6,2
Solución. En primer lugar, para la construcción del histograma de frecuencias se definen
intervalos. Puesto que las leyes oscilan, aproximadamente, entre el 2% y el 10%, se pueden
establecer 8 intervalos, de uno en uno por ciento. Con ello, las frecuencias absolutas obtener
el histograma serían:
2% - 3% = 1
3% - 4% = 2
4% - 5% = 4
5% - 6% = 10
6% - 7% = 9 7% - 8% = 5
8% - 9% = 1 9% - 10% = 1
En la Figura 4.3 se puede observar el histograma de frecuencias correspondiente. A su en la Figura
4.4 se muestra el conjunto de datos representados en escala probabilística ambas figuras se
pone de manifiesto que no se comete un error excesivo si se considera población como una
distribución normal.
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Tabla 4.1. Probabilidades acumuladas para la distribución normal estandarizada.
DESVIACIONES
ESTANDAR DESDE
LA MEDIA
PROBABILIDA
D
ACUMULADA
DESVIACIONES
ESTANDAR DESDE LA
MEDIA
PROBABILI
DAS
ACUMULAD
A -3.0 0.0014 +0,0 0,5000 -2,9 0,0019 +0,1 0,5398 -2,8 0,0026 +0,2 0,5793 -2,7 0,0035 +0,3 0,6179 -2,6 0,0047 +0,4 0,6554 -2,5 0,0062 +0,5 0,6915 -2,4 0,0082 +0,6 0,7257 -2,3 0,0107 +0,7 0,7580 -2,2 0,0139 +0,8 0,7881 -2,1 0,0179 +0,9 0,8159 -2,0 0,0228 +1,0 0,8413 -1,9 0,0287 +1,1 0,8643 -1,8 0,0359 +1.2 0,8849 -1,7 0,0446 +1,3 0,9032 -1,6 0,0548 +1,4 0,9192 -1,5 0,0668 +1,5 0,9332 -1,4 0,0808 +1,6 0,9452 -1,3 0,0968 +1,7 0,9554 -1,2 0,1151 +1,8 0,9641 -1,1 0,1357 +1,9 0,9713 -1,0 0,1587 +2,0 0,9773 -0,9 0,1841 +2,1 0,9821
-0,8 0,2119 +2,2 0,9861
-0,7 0,2420 +2,3 0,9893
-0,6 0,2743 +2,4 0,9918
-0,5 0,3085 +2,5 0,9938
-0,4 0,3446 +2,6 0,9953
-0,3 0,3821 +2,7 0,9965
-0,2 0,4207 +2,8 0,9974
-0,1 0,4602 +2,9 0,9981
-0,0 0,5000 +3,0 0,9987
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Tabla 4.2. Valores de la Ji-cuadrado para determinados grados de libertad y niveles de significancia.
Quedaría, por tanto, para completar el análisis, la testificación a través de la Ji - cuadrado. Para ello, y de acuerdo con los pasos a seguir descritos anteriormente, lo primero sería tipificar la variable (media = 5,94 y desviación estándar = 1,31). A continuación se muestran valores de las leyes tipificados.
+0,35 -0,41 -0,95 +1,73 +0,66 +0,20 +0,27 -1,56 +0,20
+0,89 -0,79 -0,18 +0,12 +0,20 +1,11 +1,19 +0,12 -0,26
-0,41 +1,19 -0,11 -2,40 -0,03 +2,41 +1,04 -2,02 -0,64 -0,03 -0,11 -0,11 -1,02 -0,79 +0,20
Posteriormente se define la tabla de frecuencias obtenidas y frecuencias esperadas (Tabla 4.3)
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Tabla 4.3. Frecuencias obtenidas y esperadas para el ejemplo 4.1.
Las frecuencias esperadas se calculan a partir de la tabla correspondiente a las probabilidades
acumuladas de la distribución normal (Tabla 4 .1). Por ejemplo, para el primer intervalo, que
corresponde a los valores incluidos entre 0 y + 1o, en la Tabla 4.1 se buscaría el valor de 0
(0,5 en tanto por uno = 50%) Y el valor de + 1o (0,8413 en tanto por uno = 84,13 %).
Restando ambos (34,13 %) se obtendría el porcentaje de datos incluido entre la media y una
desviación estándar. Ahora bien, este valor sería para 100 datos, como en el problema se tienen
33, el nuevo valor sería 34,13 x 0,33 = 11,26, que es el que figura en la casilla de las
frecuencias esperadas, tanto para el intervalo antes citado como para el siguiente (entre cero
y menos una desviación estándar), pues la distribución normal es simétrica respecto a la media.
El resto de frecuencias se calcularían de forma similar.
A continuación se estima el valor del estadístico Ji-cuadrado utilizando la formula
correspondiente:
𝑋2 = ( (10−11,26)2
11.26+ (
(13−11,26)2
11.26+
(5−4,49)2
4,49+
(2−4,49)2
4,49+
(1−0,71)2
0.71+
(2−0,71)2
0.71= 0,14 + 0,30 + 0,06 +
1,38 + 0,12 + 2,34 = 4,34
Es decir, el valor de Ji-cuadrado es 4.34. Ahora se entra en la Tabla 4.2, considerando; 3
grados de libertad (6 intervalos - 3) y un nivel de significancia, por ejemplo, del 10 % tendría
el valor 6,25. Puesto que este valor es superior al de la Ji-cuadrado, se considerar la
población como una distribución normal.
1.2. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA EN DISTRIBUCIONES NORMALES
Una vez comprobado el carácter normal de la distribución estudiada, el cálculo de la ley media resulta
sencillo, pues se define como la ley media aritmética, es decir:
𝐺𝑚 = ∑(𝐺/𝑛)
Donde: 𝐺𝑚: Ley media
𝐺: Valores de las diferentes leyes 𝑛: Número de datos En el caso del ejemplo 4.1. la ley media en Zn sería del 5.96%
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1.3. DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA Y DISTRIBUCIONES LOGNORMALES
El cálculo de la ley media en distribuciones lognormales se lleva a cabo de forma diferente a si se
tratase de una distribución normal. La larga experiencia del tratamiento de datos en las minas de oro
en Sudáfrica, que suelen presentar casi siempre distribuciones lognormales, llevo a los mineros a
buscar una expresión que permitiese obtener, de forma más real, el valor de la ley media. La presencia
de una cierta cantidad de datos segados, e ocasiones de alto valor (efecto pepita o mamut), generaba
unas estimaciones de la ley media, obtenida simplemente como la media aritmética, que se alejaban,
posteriormente, de los valores que ofrecían los datos de producción. Aun más, estos datos de
producción siempre eran inferidos a la ley media, con lo que l error que se cometía era importante,
pues siempre se tenía a sobrevolar el yacimiento si se consideraba como la ley media de la media
aritmética.
Cuando al obtener el histograma de frecuencias se observa un cierto sesgo de los datos (fig. 4.5a), se
puede avanzar ya el carácter lognormal de la distribución. Por ello, no resulta necesario, incluso,
continuar con los siguientes métodos de testificación de la normativa y si transformar los valores a
logaritmos (p.e. tomado los logaritmos naturales, como se comentó anteriormente) y volver a obtener
el histograma de frecuencias, que, probablemente, ya mostrará el carácter normal de la nueva
distribución (fig.4.5b), por lo que se podrá considerar a la distribución como lognormal. También se
puede, para asegurarse, aplicar los otros métodos (recta de henri y Ji-cuadrado) a la nueva distribución,
se puede calcular la ley media a través de las fórmulas que se comenta a continuación.
1.3.1. formula general
Si los datos se asemeja a una distribucion lognormal, la poblacion se puede definir como una
poblacion lognormal de los parametros, siendo estos parámetros de media y la varianza de la
poblacion logaritmica. Entonces, el valor verdadero de la ley media se obtiene co la formula.
µ = е[𝛼+{𝛽2/2}
donde:
µ: valor estimado de la ley media
𝛼= madia de la distribucion de los logaritmos de las leyes 𝛽= desviacion estandar de la distribucion de los logaritmos de las leyes
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Figura 4.5. Histograma de frecuencias. a) con los datos sin transformar y b) con los datos
trasformados en el logaritmo natural
Puede ocurrir que, al representar los datos logaritmos en un diagrama de probabilidad, no se ajusten
exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el ajuste (fig.4.6), lo que es indicativo de
la presencia de una población lognormal de tres parámetros. Este tercer parámetro, denominado
constante aditiva (α), se calcula como:
𝛼 = [𝑥50 − (𝑥75 ∗ 𝑥25)]/(𝑥25 + 𝑥75 − 2𝑥50)
Siendo 𝑥25 , 𝑥50 𝑦 𝑥75 los valores de los percentiles 25, 50 y 75.
Figura 4.6. Representación en un diagrama de probabilidad de una población logarítmica de tres
parámetros
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Este valor α se añade a la población original de datos (sin transformar logarítmicamente) y, a
continuación, se realiza la transformación logarítmica, obteniéndose una nueva población In (X1+α)
que, representada en el papel probabilístico, si genera ya una línea recta.
Para calcular, en este caso, el valor se la ley media, se aplica el procedimiento descrito para la
población de dos parámetros, sustrayéndose el valor de la constante aditiva del resultado final.
Ejemplo 4.2.
Se ha realizado un muestreo en un posible yacimiento tipo placer de oro. El análisis de 181 muestras
ha generado una base de datos (expresada en g/t de oro), cuya transformación logarítmica ofrece unos
valores para la media y la desviación estándar de -1.606 y 1.733 respectivamente. Calcular el valor de
la ley media para el yacimiento utilizando la formula general del apartado 2.3.1.
Solución:
En primer lugar, y como ejemplo de la transformación que se genera al tomar los logaritmos
naturales de a variable ley en oro, en la figura 4.7b el mismo histograma pero con los valores ya
transformados. Se puede observar como el primer histograma presenta una disposición claramente
sesgada (sesgo =2.96), indicativa de un posible carácter lognormal de la población, mientras que el
segundo histograma está mucho más centrado (sesgo = -0.003), acercándose notablemente a una
distribución normal, aún más el valor del coeficiente de variación para el primer caso de 1.72
(expresado en tanto por uno) mientras que en el segundo es de 1.07, lo que corrobora lo antes
comentado.
Figura 4.7. Histograma de frecuencias del ejemplo 4.2. a) para el conjunto original de los datos y b)
para los datos logarítmicos transformados.
Lo mismo podría decirse de la representación en papel probabilístico (figs. 4.8a y b). En que el primer
caso (fig. 4.8a), datos originales, la curva apenas se ajusta a una recta, mientras que una vez
tomados los logaritmos (fig. 4.8b), su parecido con una recta es mucho mayor.
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Fig. 4.8 Diagrama de probabilidad para los datos del ejemplo 4.2 a) para el conjunto original de las
leyes y b) para las leyes transformadas logarítmicamente.
Del análisis de las figuras. 4.7 y 4.8 se deduce que la población, a la hora de calcular su ley media,
debe ser tratada como una distribución lognormal de dos o tres parámetros, la de observación de la
figura 4.9b parece indicar una ausencia de curvatura, por lo que la población puede considerarse de
dos parámetros. Por ello, la fórmula a utilizar, para calcular la ley media, sería la expresada
anteriormente.
Por tanto, teniendo en cuenta los valores de la media y la desviación estándar ofrecido en el
enunciado del problema, se tendría:
1.3.2 Los Estimadores de Sichel
Cuando se tiene un número pequeño de datos, por ejemplo en los primeros estadios de viabilidad
económica de un yacimiento, y se presume que la población presenta una distribución lognormal, el
cálculo de la ley media también puede llevarse a cabo utilizando los estimadores de Sichel La gran
ventaja de los estimadores de Sichel reside no sólo en el método en sí, pues la ley media puede
también obtenerse por la formula general expuesta anteriormente, sino que ofrece, además tablas para
estimar el valor de la ley media con unos niveles de confianza, es decir se puede definir un intervalo
en el que existe un determinado nivel de confianza de la que la ley media esté incluida en dicho
intervalo, tal como se verá posteriormente.
La expresión del estimador de Sichel es el siguiente:
t=mx f (v)n
Dónde: t= Estimador de la ley media
m=𝑒 α, siendo α la media de los logaritmos de las leyes
f(V)n= Valor que se obtienen la tabla 4.4, entrando por n= número de muestras y V= varianza de los
logaritmos de las leyes.
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4.4 Valores de la función de Sichel
Ejemplo 4.3. Se han tomado cinco muestras en un bloque de explotación de un yacimiento de oro,
cuyas leyes (g/t) han sido las siguientes: 4.8, 5,2, 6,1, 3,9, y 16,8. Calcular el valor de la ley media a
través del estimador de Sichel.
Solución. El primer paso será la transformación logarítmica de los datos. Tomando los logaritmos
naturales se tendrán los siguientes nuevos datos transformados: 1,569, 1,649, 1,808, 1,361 y 2,821.
Su media y varianza serán 1,842 y 0,260. Por tanto, aplicando el estimador de Sichel:
t= 𝑒 1,842 . 𝑓( 0.260)𝑠
Entrando en la tabla 4.4, por V=0,260 y n=5, el valor resultante será, interpolando 1,13, con lo que:
t= 6,309 x 1,13 = 7,13 g/t
Si se calculase la ley media como la media aritmética de las cinco leyes originales, se obtendría un
valor de 7,36. Como se puede observar, este valor es ligeramente superior al calculado con el
estimador de Sichel, siendo este hecho, como se comentó anteriormente, característico de las
distribuciones lognormales.
Para el cálculo de los niveles de confianza, el método a seguir es el siguiente.
Tomando como base las tablas 4.5 y 4.6, se define el intervalo para la ley media, con un nivel de
confianza del 90%, como:
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Ø95 = 𝑡. 𝑓(𝑉)n
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Ø5 = 𝑡. 𝑓(𝑉)n
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Donde f (V)n para el límite superior se obtiene en la tabla 4.5 y f (V)n para el límite inferior en la tabla
4.6. Con estos valores, se podrá afirmar que existe un 90% (φ95- φ5) de probabilidad de que la ley
media está comprendida en este intervalo.
Tabla 4.5 Límite superior de confianza (φ95) para los estimadores de Sichel.
Tabla 4.6: Límite superior de confianza Ø5 para los estimadores de Sichel.
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Calcular del ejemplo anterior el valor de la ley media con un nivel de confianza de 90%
En efecto:
Siendo V=2.6 y n=5 en la tabla 4.5 (límite superior, se tendrá que f (V)=2.3 y en la tabla 4.6 de límite
inferior, f(V)=0.69 , por lo tanto;
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 7.13𝑥2.3 = 16.40
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 7.13𝑥0.69 = 4.92
Es decir la ley media estará comprendida entre 4.92g/t y 16.40g/t con un nivel de confianza del 90%.
1.4 CURVAS LEY MEDIA VERSUS TONELAJE
Conocida la ley Media del yacimiento y su tonelaje asociado, se establece los diferentes tonelajes que
existen en función de unas determinadas leyes mínimas de explotación, esto permite afrontar posibles
oscilaciones en el precio de la materia prima, que inciden directamente en la calidad del material a
explotar.
El trabajo a desarrollar necesita llevar implícita la asunción de que las leyes se distribuyen
normalmente, lo que no supone un gran problema pues dicha asunción se suele cumplir con suma
frecuencia.
La mejor forma de revisar el método es con un ejemplo. Considérese la existencia de un posible
yacimiento de sulfuros masivos que posee 200 Mt extraíbles con una ley media del 3% en cobre y una
varianza de 0.90%. Se desea conocer que tonelajes explotables se tendrán para unas leyes mínimas
de corte del 1%, 2% y 2.5 % y que leyes medias poseerán esos tonelajes.
Puesto que las leyes se distribuyen normalmente, se establecen cuantas desviaciones estándar se
desvían de la media los valores solicitados (1%, 2% y 2.5%)
1% -(1-3)/0.95=2,11α
2% -(2-3)/0.95=-1,05α
2,5%-(2,5-3)/0,95=0,53 α
Luego se busca en la tabla de probabilidades de la distribución normal (tabla 4.1), eñ porcentaje para
esas desviaciones estándar y, puesto que se quiere saber el porcentaje que corresponde a los valores
por encima de 1%,2% y 2,5% de Cu, se le resta del 100%, es decir:
-2,11α- 1,75%-98,25%-196,5 Mt
-1,05α- 14%-86%-172 Mt
-0,53α-29%-71%-142 Mt
Estos tonelajes serían, pues, las toneladas para unas leyes mínimas de explotación del 1%, 2% y 2,5%,
respectivamente.
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Como se desea sabes las leyes medias de estos tonelajes, se opera, para una ley mínima de
explotación del 3% se tiene un 71% del tonelaje, lo que supone una sustracción del total del 29% que,
centrándolo respecto a la media, correspondería a un 14,5 % en cada lado de la distribución normal ,
o como en la tabla (4.1)aproximadamente 0,38α. Este valor se le suma a la ley media del yacimiento
(3%): 3%+0,38.0, 95= 3,36%. Este valor sería la ley media de los 142 Mt existentes para una ley
mínima de explotación del 2,5% de Cu.
De igual forma se obtendría la ley media para las
leyes mínimas de explotación del 1% y 2% de Cu.
En concreto, los valores que salen son 3,18%y
3,02%. Es decir la relación tonelajes-leyes medias
para las leyes mínimas de explotación requeridas
seria la que se muestra en la tabla 4.7.
Tabla 4.7: Relación tonelaje-leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación.
En el ejemplo considerado se ha tomado en cuenta una población que es el yacimiento y unos
individuos que son los sondeos, de tal manera que el análisis llevado a cabo afirma que, si el depósito
s e dividiese en bloques del tamaño de los sondeos, se obtendrían, por ejemplo, 172 Mt para una ley
mínima de explotación del 2% de Cu. Sin embargo, si la mina se subdividiese en bloques de un tamaño
mucho mayor que el de los sondeos (lo que resultaría evidente), la ley media tendría un valor
semejante, pero disminuiría la varianza al aumentar el tamaño del soporte, con lo que los tonelajes a
recuperar se verían afectados, así como sus leyes medias asociadas.
Como ejemplo considérese que el valor de la varianza, en el ejemplo anterior, fuese de 0,45%2 en
lugar de 0,90%2, Entonces se tendría:
1% → (1-3)/0,67 = -2,99σ
2% → (2-3)/0,67 = 1,49σ
2,5% → (2,5-3)/0,67 = -0,75σ
Con lo que:
-2,99σ → 0,14% → 99,86% → 199,7 Mt
-1,49σ → 6,5% → 93,5% → 187 Mt
-0,75σ → 22,5% → 77,5% → 155 Mt
Como se puede observar, el tonelaje a recuperar sube notablemente al disminuir la varianza. De igual
forma, si se calculasen las leyes medias que corresponden a esos tonelajes, se tendría la Tabla 4.8:
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Tabla 4.8. Relación tonelaje-ley medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación.
Ley mínima (%) Tonelaje (𝟏𝟎𝟖.t) Ley media (%)
1 199,7 3,00
2 187 3,07
2,5 155 3,20
Es decir, las leyes medias bajarán ligeramente. Por tanto, se podría concluir con los siguientes
comentarios:
1) La definición del soporte (tamaño del bloque de explotación) resulta fundamental para llevar a
cabo la construcción de las curvas leyes medias versus tonelajes. Este aspecto es una de las
claves de la Geoestadística.
2) La disminución (aumento) de la varianza, al cambia el tamaño del bloque de explotación, lleva
consigo un aumento (disminución) de los tonelajes susceptibles de ser explotados, así como
una disminución (aumento) de sus leyes medias asociadas.
Estos aspectos pueden comprobarse también en el siguiente ejemplo, menos teórico y más real.
Considérese un yacimiento de Zn en rocas carbonáticas, en el que se va a proceder a explotar una
parte de él, definida en un total de 256 sondeos en una malla regular de dimensiones 25m x 25m.
Las leyes medias (% en Zn) de los citados sondeos se pueden observar en la Tabla 4.9. En la
Figura 4.10 se muestra el histograma de frecuencias de las leyes, pudiéndose observar que la
distribución de las leyes es una distribución normal. Por tanto, la ley media se puede calcular como
la ley media aritmética de las leyes (9,51%), teniendo la desviación estándar un valor de 2,41%. El
tonelaje total de la zona a explotar es de 4 Mt. Considerando unas leyes mínimas de explotación
del 5%, 8%, 11% y 14% de cinc, las relaciones leyes medias-tonelajes serían:
5% → (5-9,51)/2,41=-1,87σ → 3% → 97% → 3,88 Mt
8% → (8-9,51)/2,41=-0,63σ → 26,4% → 73,6% → 2,94 Mt
11% → (11-9,51)/2,41=+0,62σ → 73,2% → 26,8% → 1,07 Mt
14% → (14-9,51)/2,41=+1,86σ → 96,9% → 3,1% → 0,12 Mt
Y a estos tonelajes le corresponderían unas leyes medias en Zn de 9,61%; 10,33%; 12,19% y
14,72% respectivamente. Estos valores serían los correspondientes a una explotación por bloques
de 25m x 25m x 10m cada uno.
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Tabla 4.9. Malla de 256 sondeos (25m x 25m) con los valores de las leyes medias (%) para cada
sondeo.
Determinación de la ley media
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Ahora bien, supóngase que en vez de definir bloques de 25m x 25m x 10m, se definiesen bloques
de 50m x 50m x 10m. Las leyes medias para cada bloque, obtenidas a partir de la media aritmética
de las cuatro leyes que entran por bloque (lo cual es correcto matemáticamente dado el número
de datos y el tipo de distribución que presentan) serían las mostradas en la tabla 4.10. La ley media
de los 64 bloques sería, lógicamente, semejante al caso anterior, mientras que la desviación
estándar toma ahora un valor de 1,04%. El cálculo de los tonelajes y leyes medias para las mismas
leyes mínimas de explotación que el caso anterior arroja los resultados de la tabla 4.11.
Tabla 4.10. Valores de las leyes medias (%) para bloques de 50m x 50m x 10m.
Tabla 4.11. Relación tonelaje-leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación
(bloques de 50m x 50m x10m).
Ley mínima de explotación (%)
Tonelaje (10*6.Mt)
Ley media (%)
5 4 9.51
8 3.7 9.60
11 0.304 11.35
14 ……. ......
Por último, podría considerarse la opción de definir bloques de 100 m x 100 m x 10 m, en los que las
leyes medias por bloque, calculadas de forma semejante al caso anterior, serían las que se muestran
en la tabla 4.12, mientras que las relaciones tonelajes-leyes medias se observan en la tabla 4.13 (para
una ley media igual que en los casos anteriores y una desviación estándar de 0.50 %).
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Tabla 4.12. Valores de las leyes medias (%) para bloques de 100 m x 100 m x10 m.
9,97 9,43 9,26 9,71
10,22 9,59 8,98 9,58
8,44 9,56 9,34 8,59
9,72 9,63 9,81 10,37
Tabla 4.13. Relación tonelaje- leyes medias para unas determinadas leyes mínimas de explotación
(bloques de 100 m x 100 m x 10 m).
Ley mínima de explotación (%)
Tonelaje (10*6,
Mt)
Ley media (%)
5 4 9,51
8 3,99 9,51
11 0,006 11,10
14% ……… ….
La observación y evolución de los datos, en los tres casos considerados, pone de manifiestos una
serie de aspectos interesantes de comentar:
1) Al aumentar el tamaño de los bloques, la ley media permanece constante, mientras que la
varianza (desviación estándar) va disminuyendo notablemente.
2) La disminución de la varianza genera un sucesivo aumento del tonelaje a explotar para leyes
mínimas de explotación inferiores a la ley media del yacimiento y una disminución de dicho
tonelaje para leyes mínimas de explotación superiores a la citada ley media.
3) Por el contrario, las leyes medias que corresponden a los tonelajes calculados siguen una pauta
diferente, disminuyendo para leyes mínimas de explotación inferiores a la ley media del
yacimiento, hasta llegar a valores semejantes a la propia ley media del yacimiento (para bloques
de 100 x 100 m x 10 m ).
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Estas tendencias también se pueden observar gráficamente, tal como se muestra en la figura
4.11.
Figura 4.11. Relaciones tonelajes-leyes medias para los diversos tamaños de bloques y
diferentes leyes mínimas de explotación.
2. MÉTODOS DE PONDERACIÓN PARA LA DETERMINACIÓN DE LA LEY MEDIA.
Cuando se posee un sondeo perfectamente testificado, con todos los valores de espesores,
leyes, etc., y se desea conocer el valor de la ley que es necesario aplicar, de forma puntual, a
dicho sondeo, es absurdo utilizar los métodos estadísticos, que tratan a todos los valores por
igual, pues, por ejemplo, grandes potencias con una ley determinada quedan infravaloradas
frente a pequeños niveles que poseen una ley similar, o por el contrario, leyes muy altas en
niveles muy finos pueden influir excesivamente frente a zonas de baja ley pero muy potentes.
Por todo ello, es necesario buscar un método de estimación de la ley media que permita tener
en cuenta estas particularidades. Estos métodos son los denominados métodos de ponderación
que, en ocasiones, también reciben el nombre de regularización.
Bien entendido que, si el muestreo en la testificación se ha llevado a cabo de forma sistemática
(una muestra cada metro), el cálculo de la ley media como simple media aritmética podría
acercarnos bastante al valor de la ley media del sondeo.
Este método es bastante utilizado en yacimientos masivos, potentes y con pequeños cambios
en las densidades aparentes del material. Por otro lado, no es ni más ni menos que el propio
método de ponderación pero teniendo en cuenta que la potencia es siempre la misma
(p.e. 1 metro) y que las densidades aparentes, como se acaba de comentar, varían muy poco.
En general, las leyes (o valores de la variable del mineral/ metal útil) se pueden ponderar
respecto a diversos factores:
Respecto al espesor.
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Respecto al dominio de influencia
Siendo el dominio de influencia de cada muestra.
Respecto al espesor y el dominio de influencia.
Respecto a la densidad aparente más cualquiera de las anteriores:
Donde
d¡ = densidad aparente de las muestras ¡
x¡ = dominio de influencia, espesor o ambos.
Cuando se quiere calcular el valor ponderado en una única dirección (sería el caso de un sondeo), se
Pondera respecto al espesor y/o densidad aparente, mientras que si la situación es la de una superficie
(p.e. un papel con varios sondeos), se puede (debe) introducir la variable correspondiente al dominio
de influencia, que expresa la segunda dimensión de la situación. Este dominio de influencia es el que
viene representado, en la figura 4.12, por los valores A+B, B +C, C+D y D+E. Su significado es sencillo
y representa la zona hasta donde puede extrapolarse el valor del sondeo.
Como es lógico, dados dos sondeos, el límite de influencia de cada uno de ellos vendrá definido por la
mitad de la distancia entre ambos. Y de igual forma cuando se tienen varios sondeos (fig. 4.12).
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Figura 4.12. Determinación de los dominios de influencia en un papel de sondeos.
Hay que hacer constar que la inclusión de la densidad aparente como factor de ponderación debe
llevarse a cabo únicamente si existe una adecuada correlación entre las leyes y las densidades
aparentes, lo que se puede comprobar ajustando una recta de regresión a los pares ley-densidad
aparente y calculando el coeficiente de correlación de la citada recta.
Ejemplo 4.5. se ha testificado un tramo mineralizado de un sondeo, obteniéndose los siguientes
valores de potencias y leyes de esas potencias. Calcular el valor de la ley media para ese tramo
mineralizado.
0,5 m – 8,0 %
1,0 m – 7,6 %
0,8 m – 8,2 %
0.3 m – 9,9 %
1,2 m – 6,5 %
Solución. La ley media del tramo mineralizado se obtendrá por ponderación de las leyes medias
respecto a los espesores. Es decir:
Gm = [(0,5 x 8) + (1 x 7,6) + (0,8 x 8,2) + (0,3 x 9,9) + (1,2 x 6,5)]/ (0,5 + 1 + 0,8 +0,3 + 1,2) = 7,61%
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IV. ANEXOS
PROBLEMA GENERAL: Yacimiento Aluvial
Un yacimiento situado en una delta consta de los pozos A, B, C, D que adoptan en forma correlativa
un cuadrilátero con el pozo E en el centro. El cuadrilátero es recto en todos los vértices; el lado AB en
dirección E-W es 400m. y el lado AC en dirección N-S es 300m. En la intersección de los diagonales
del cuadrilátero se localiza el pozo E. Calcular la ley promedio ponderado y el volumen del yacimiento
formado por cuatro bloques, en base a los datos del cuadro adjunto.
SOLUCIÓN:
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1. Cálculo de la Potencia promedio del Block:
2. cálculo del Área del Block
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3. Calculo del volumen del Block
4. Calculo de la Ley del Block
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5. Cálculo de la Ley X Volumen
6. Cálculo del Volumen del Yacimiento
7. Cálculo de la Ley promedio ponderado
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V. CONCLUSIONES
Se determinó el concepto de la ley media a través de teoría como se nos propuso.
Se comprendió los métodos que son posibles y existentes para la determinación de la
ley media.
Se demostró a través de un ejercicio propuesto anteriormente la ley media.