El trabajo W efectuado por un agente que ejerce una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento d.

W ! F d ! Fd cos USi la fuerza se expresa en newton (N) y el desplazamiento en metros (m), la unidad de trabajo es el Joule (J).

p p

Un joule es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N para desplazar a un objeto un metro.

Una estudiante sostiene un libro, que tiene una masa de 1.5 kg, afuera de una ventana del segundo piso de su residencia hasta que su brazo se cansa; entonces lo suelta. (a) Cunto trabajo efecta la estudiante sobre el libro por el simple hecho de sostenerlo sobre la acera? (b) Cunto trabajo efecta la fuerza de gravedad durante el tiempo en que el libro cae 3.0 m?

(a) W ! F d ! 0 (b) W ! F dp p

p p

W ! (1.5)(9.8)(3.0) cos 0rW = 44 J

Si la persona de la figura empuja la podadora con una fuerza constante de 90.0 N con un ngulo de 40 respecto a la horizontal, cunto trabajo efecta al empujarla una distancia horizontal de 7.50 m?

W ! F d ! (90.0)(7.50) cos 40rW = 517 JEl trabajo total o neto es el trabajo efectuado por todas las fuerzas; es la suma escalar de esas cantidades de trabajo.

p p

Wn ! W

Un bloque de 0.75 kg se desliza con velocidad uniforme bajando por un plano inclinado de 20. (a) Cunto trabajo efecta la fuerza de friccin sobre el bloque mientras se desliza la longitud total del plano? (b) Qu trabajo neto se efecta sobre el bloque?

Fx ! 0 f k ! mg sin U Fy ! 0 N ! mg cos U L d! cos U

Un bloque de 0.75 kg se desliza con velocidad uniforme bajando por un plano inclinado de 20. (a) Cunto trabajo efecta la fuerza de friccin sobre el bloque mientras se desliza la longitud total del plano? (b) Qu trabajo neto se efecta sobre el bloque?

(a ) W f ! f k d cos180r L W f ! mg sin U ! mgL tan U cos UWf = 3.2 J

Un bloque de 0.75 kg se desliza con velocidad uniforme bajando por un plano inclinado de 20. (a) Cunto trabajo efecta la fuerza de friccin sobre el bloque mientras se desliza la longitud total del plano? (b) Qu trabajo neto se efecta sobre el bloque?

(b) Wg ! mg sin Ud cos 0r L Wg ! mg sin U ! mgL tan U cos UWg = 3.2 J Wneto = 0 J

Trabajo de una fuerza variable

Trabajo efectuado por la fuerza de un resorteConforme un resorte se estira (o comprime), su fuerza de restauracin (la fuerza que se opone al estiramiento o la compresin) se vuelve cada vez mayor, y es preciso aplicar una fuerza ms grande. Para la mayor parte de los resortes, la fuerza aplicada F es directamente proporcional al cambio de longitud del resorte respecto de su longitud sin estiramiento.

F ! k(x

La k de esta ecuacin es una constante de proporcionalidad y suele llamarse constante elstica. Cuanto mayor es el valor de k, ms rgido es el resorte. La unidad SI de k es el newton sobre metro (N/m).

W ! ( x)(kx)1 2

W ! kx1 2

2

La energa es uno de los conceptos cientficos ms importantes. Es una cantidad que poseen los cuerpos o sistemas. Bsicamente, el trabajo es algo que se hace sobre los objetos, mientras que la energa es algo que los objetos tienen: la capacidad para efectuar un trabajo. La energa es una cantidad escalar y tambin se mide en joules (J).

Energa cinticaLa energa cintica (K) de un cuerpo es su capacidad para realizar un trabajo, debido a su movimiento.

K ! mv1 2

2

El teorema del trabajo-energaEl trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre un objeto es igual al cambio de energa cintica del objeto.

Wn ! Fn x Wn ! max2 v2 v0 Wn ! m 2x x

v ! v 2ax2 2 0 2 v2 v0 a! 2x

2 Wn ! 1 mv 2 1 mv 0 2 2

Wn ! K K 0

Una jugadora de tejo empuja un tejo de 0.25 kg que inicialmente est en reposo, de modo que una fuerza horizontal de 6.0 N acta sobre l durante una distancia de 0.50 m. Si se desprecia la friccin: (a) Qu energa cintica y rapidez tiene el tejo cuando se deja de aplicar la fuerza? (b) Cunto trabajo se requerira para detener el tejo?

Wn ! Fn x ! (6.0)(0.50)Wn = 3.0 J

Wn ! K K 0 3.0 ! K 0 2(3.0) K ! mv v ! 0.251 2 2

K = 3.0 J v = 4.9 m/s

Una jugadora de tejo empuja un tejo de 0.25 kg que inicialmente est en reposo, de modo que una fuerza horizontal de 6.0 N acta sobre l durante una distancia de 0.50 m. Si se desprecia la friccin: (a) Qu energa cintica y rapidez tiene el tejo cuando se deja de aplicar la fuerza? (b) Cunto trabajo se requerira para detener el tejo?

Wn ! K K 0 ! 0 K 0 ! K 0 Wn ! 1 (0.25)(4.9) 2 2Wn = 3.0 JEl signo menos indica que el tejo pierde energa al frenarse.

Energa potencialLa energa potencial (U) de un cuerpo es la energa de posicin.

Energa potencial gravitacionalLa energa potencial gravitacional (Ug) est asociada a la atraccin gravitacional de la superficie de la Tierra.

U g ! mgy

Una pelota de 0.50 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. (a) Cmo cambia la energa cintica de la pelota entre el punto de partida y su altura mxima? (b) Cmo cambia la energa potencial de la pelota entre el punto de partida y su altura mxima? (Despreciar la resistencia del aire)

(K ! K K 0 (K ! 0 1 (0.50)(10) 2 2(K = 25 J

Una pelota de 0.50 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. (a) Cmo cambia la energa cintica de la pelota entre el punto de partida y su altura mxima? (b) Cmo cambia la energa potencial de la pelota entre el punto de partida y su altura mxima? (Despreciar la resistencia del aire)

(U ! U U 0

(U ! (0.50)(9.8)(5.1) 0(U = 25 J

Punto de referencia ceroComo la energa potencial es energa de posicin, es necesario la seleccin de un punto de referencia cero. La posicin o punto de referencia es arbitrario, como lo es el origen de coordenadas para analizar un sistema.

La diferencia o cambio de energa potencial asociada a dos posiciones es la misma, sea cual sea la posicin de referencia.

Energa potencial elsticaUn resorte tiene energa potencial elstica (Ue) cuando se le comprime o se le suelta puede efectuar un trabajo.

U e ! kx1 2

2

Se puede pensar en la energa potencial como un trabajo almacenado.

W ! (U ! U U 0 ! kx kx1 2 2 1 2

2 0

Fuerzas conservativasUn fuerza es conservativa cuando el trabajo efectuado por ella o contra ella para mover un objeto es independiente de la trayectoria del objeto. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Fuerzas no conservativasUn fuerza es conservativa cuando el trabajo efectuado por ella o contra ella para mover un objeto depende de la trayectoria del objeto. El trabajo de una fuerza no conservativa a lo largo de un camino cerrado no es cero.

Cul es el trabajo de la fuerza peso cuando la partcula se traslada de A hacia C, a lo largo de la trayectoria AC y ABC?A

AC : W ! mgd sin U h W ! mg sin UC

h

U B

sin U

W ! mgh ABC ! AB BC : W ! mgh mgl cos 90 W ! mghEl peso es una fuerza conservativa

Cul es el trabajo de la fuerza peso cuando la partcula se traslada de A hacia B, y a continuacin cuando se traslada de B hacia A?

WAB= mgx

WBA= mgx

El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A es cero. WABA = 0

Cul es el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partcula se traslada de A hacia B, y a continuacin cuando se traslada de B hacia A?

WAB= Frx

WBA= Frx El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, es distinto de cero WABA= 2Frx

La fuerza de rozamiento no es conservativa

Principio de conservacin de la energaLa energa total del Universo o de un sistema aislado siempre se conserva.

Principio de conservacin de la energa mecnicaLa energa mecnica de una partcula es la suma de la energa cintica ms potencial.

E ! K USi sobre un sistema slo fuerzas conservativas efectan trabajo, la energa mecnica total es constante.

E0 ! E f K0 U 0 ! K f U f

Un pintor en un andamio deja caer una lata de pintura de 1.50 kg desde una altura de 6.00 m. (a) Qu energa cintica tiene la lata cuando est a una altura de 4.00 m? (b) Con qu rapidez llegar la lata al suelo? (La resistencia del aire es despreciable) La nica fuerza que acta sobre la lata al caer es su peso, por lo que la energa mecnica se conserva.

K 0 U 0 ! K1 U 1Tomando el suelo como nivel de referencia cero, tenemos:

1 2

mv mgy0 ! K1 mgy12 0

K1 ! mg ( y0 y1 )K1 = 29.4 J

Un pintor en un andamio deja caer una lata de pintura de 1.50 kg desde una altura de 6.00 m. (a) Qu energa cintica tiene la lata cuando est a una altura de 4.00 m? (b) Con qu rapidez llegar la lata al suelo? (La resistencia del aire es despreciable)

K0 U 0 ! K2 U 21 2

mv mgy0 ! mv mgy22 0 1 2 2 2

v2 ! 2gy0v2 = 10.8 m/s

Tres pelotas de la misma masa se proyectan con la misma rapidez en diferentes direcciones, como se muestra en la figura. Si se desprecia la resistencia del aire, qu pelota tendr la mayor rapidez al llegar al suelo? (a) La pelota 1; (b) La pelota 2; (c) La pelota 3; (d) Todas tendrn la misma rapidez

Un bloque de 0.30 kg que se desliza sobre una superficie horizontal sin friccin con una rapidez de 2.5 m/s, como se muestra en la figura, choca con un resorte ligero cuya constante de resorte es de 3.0 x 103 N/m. (a) Calcule la energa mecnica total del sistema. (b) Qu energa cintica K1 tiene el bloque cuando el resorte se ha comprimido una distancia x1 = 1.0 cm? (Suponga que no se pierde energa en el choque.)

E ! K 0 U 0 ! (0.30)(2.5)1 2

2

E = 0.94 J

Un bloque de 0.30 kg que se desliza sobre una superficie horizontal sin friccin con una rapidez de 2.5 m/s, como se muestra en la figura, choca con un resorte ligero cuya constante de resorte es de 3.0 x 103 N/m. (a) Calcule la energa mecnica total del sistema. (b) Qu energa cintica K1 tiene el bloque cuando el resorte se ha comprimido una distancia x1 = 1.0 cm? (Suponga que no se pierde energa en el choque.)

E ! K1 U 1 K1 ! E U1 ! 0.94 (3.0 v 10 )(0.010)1 2 3 2

K1 = 0.79 J

En sistemas donde las fuerzas no conservativas realizan trabajo, ste es igual a la prdida de energa mecnica:

Wnc ! E1 E0 Wnc ! ( K U )1 ( K U ) 0

Un esquiador con una masa de 80 kg parte del reposo en la cima de una pendiente y baja esquiando desde una altura de 110 m. la rapidez del esquiador en la base de la pendiente es de 20 m/s. (a) Demuestre que el sistema no es conservativo. (b) Cunto trabajo efecta la fuerza no conservativa de la friccin?

E0 ! K 0 U 0 E0 ! (80)(9.8)(110)E0 = 8.6 104 J

E1 ! K1 U1 E1 ! (80)(20)1 2 2El sistema no es conservativo por que E0 E1.

Wnc ! E1 E0Wnc = 7.0 104 J

E1 = 1.6

104

J

Un bloque de 0.75 kg se desliza por una superficie sin friccin con una rapidez de 2.0 m/s. luego se desliza sobre un rea spera de 1.0 m de longitud y contina por otra superficie sin friccin. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y la superficie spera es de 0.17. Qu rapidez tiene el bloque despus de pasar por la superficie spera?

Wnc ! ( K U )1 ( K U ) 0 ! K1 K 0 Wnc ! f k x ! Q k Nx ! Q k mgx2 Q k mgx ! 1 mv12 1 mv0 2 2

v1 ! v 2 Q k gx2 0

v1 = 0.82 m/s

PotenciaEs la rapidez con la que se realiza un trabajo.

W P! t

La unidad de medida de la potencia en el Sistema Internacional ser igual a joule/segundo, dicha unidad se denomina watt (W). Si nos interesa la potencia instantnea:

dW Fdx cos U Pins ! ! ! Fv cos U dt dtEl caballo de fuerza (hp) es una unidad tcnica de potencia que, aun cuando no pertenece al SI, es utilizada frecuentemente en la caracterizacin de los motores.

1 hp = 746 W

Para el mircoles, traer resueltos los siguientes ejercicios: Captulo 7: 6, 15, 39, 47, 71 Captulo 8: 11, 13, 26, 57, 62